Константин Каратеодори
gigatos | януари 26, 2022
Резюме
Константин Каратеодори (13 септември 1873 г. – 2 февруари 1950 г.) е гръцки математик, който прекарва по-голямата част от професионалната си кариера в Германия. Той има значителен принос към реалния и комплексния анализ, вариационното смятане и теорията на мерките. Създава и аксиоматична формулировка на термодинамиката. Каратеодори е смятан за един от най-великите математици на своята епоха и за най-известния гръцки математик от античността насам.
Колегите му си спомнят за него като за почтен и културен човек.
Константин Каратеодори е роден през 1873 г. в Берлин от гръцки родители и израства в Брюксел. Баща му Стефанос, юрист, е бил османски посланик в Белгия, Санкт Петербург и Берлин. Майка му, Деспина, родена Петрококинос, е от остров Хиос. Фамилията Каратеодори, произхождаща от Боснохори или Виса, е добре установена и уважавана в Константинопол, а членовете ѝ заемат много важни държавни постове.
Семейство Каратеодори прекарва 1874-75 г. в Константинопол, където живее дядото на Константин по бащина линия, докато баща му Стефанос е в отпуск. След това през 1875 г. заминават за Брюксел, когато Стефанос е назначен за посланик на Османската империя. В Брюксел се ражда по-малката сестра на Константин – Юлия. 1879 г. е трагична за семейството, тъй като през тази година умира дядото на Константин по бащина линия, но много по-трагично е, че майката на Константин – Деспина, умира от пневмония в Кан. Бабата на Константин по майчина линия се заема със задачата да отгледа Константин и Юлия в дома на баща си в Белгия. Те наемат немска прислужница, която учи децата да говорят немски. По това време Константин вече владее два езика – френски и гръцки.
Константин започва официалното си образование в частно училище във Вандерсток през 1881 г. Напуска го след две години, след което прекарва известно време с баща си на посещение в Берлин, а също така прекарва зимите на 1883-84 и 1884-85 г. на Италианската ривиера. Връща се в Брюксел през 1885 г. и в продължение на една година посещава гимназия, където за първи път започва да се интересува от математика. През 1886 г. постъпва в гимназията Athénée Royal d’Ixelles и учи там до завършването си през 1891 г. Два пъти по време на обучението си в това училище Константин печели награда за най-добър ученик по математика в Белгия.
На този етап Каратеодори започва да се обучава за военен инженер. От октомври 1891 г. до май 1895 г. той посещава белгийското военно училище, а от 1893 г. до 1896 г. учи и в École d’Application. През 1897 г. избухва война между Османската империя и Гърция. Това поставя Каратеодори в трудно положение, тъй като той застава на страната на гърците, но баща му служи на правителството на Османската империя. Тъй като е обучен инженер, му е предложена работа в британската колониална служба. Тази работа го отвежда в Египет, където до април 1900 г. работи по изграждането на язовира в Асиут. През периодите, когато строителните работи трябвало да спрат поради наводнения, той изучавал математика от някои учебници, които имал със себе си, като „Курс по анализ“ на Йордан и текста на Салмон за аналитичната геометрия на коничните сечения. Освен това той посещава Хеопсовата пирамида и прави измервания, които записва и публикува през 1901 г. През същата година той публикува и книга за Египет, която съдържа богата информация за историята и географията на страната.
Каратеодори учи инженерство в Белгия в Кралската военна академия, където е смятан за харизматичен и блестящ студент.
Докторанти
Каратеодори има около 20 докторанти, сред които са Ханс Радемахер, известен с работата си по анализ и теория на числата, и Пол Финслер, известен със създаването на Финслеровото пространство.
Академични контакти в Германия
Контактите на Каратеодори в Германия са многобройни и включват такива известни имена като: Херман Минковски, Давид Хилберт, Феликс Клайн, Алберт Айнщайн, Едмунд Ландау, Херман Амандус Шварц, Липот Фехер. През трудния период на Втората световна война негови близки сътрудници в Баварската академия на науките са Перон и Тиц.
Айнщайн, който тогава е член на Пруската академия на науките в Берлин, работи върху общата си теория на относителността, когато се свързва с Каратеодори с молба за разяснения относно уравнението на Хамилтън-Якоби и каноничните трансформации. Той искал да види задоволително извеждане на първото и произхода на второто. Айнщайн казал на Каратеодори, че неговото извеждане е „красиво“, и препоръчал публикуването му в Annalen der Physik. Айнщайн използва първото в статия от 1917 г., озаглавена Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (За квантовата теорема на Зомерфелд и Епщайн). Каратеодори обяснява някои основни детайли на каноничните трансформации и препраща Айнщайн към „Аналитична динамика“ на Е. Т. Уитакър. Айнщайн се опитва да реши проблема за „затворените времеви линии“ или геодезиките, съответстващи на затворената траектория на светлината и свободните частици в статична вселена, който той въвежда през 1917 г.
Ландау и Шварц стимулират интереса му към изучаването на комплексния анализ.
Академични контакти в Гърция
По време на престоя си в Германия Каратеодори поддържа многобройни връзки с гръцкия академичен свят, за които може да се намери подробна информация в книгата на Георгиаду. Той е пряко ангажиран с реорганизацията на гръцките университети. Особено близък приятел и колега в Атина е Николаос Критикос, който е посещавал лекциите му в Гьотинген, по-късно отива с него в Смирна, а след това става професор в Атинската политехника. Критикос и Каратеодори помагат на гръцкия тополог Христос Папакириакопулос да защити докторат по топология в Атинския университет през 1943 г. при много трудни обстоятелства. Докато преподава в Атинския университет, Каратеодори има за студент Евангелос Стаматис, който впоследствие постига значителни успехи като изследовател на древногръцката математическа класика.
Вариационно смятане
В докторската си дисертация Каратеодори показва как да се разширят решенията за прекъснати случаи и изучава изопериметрични проблеми.
Преди това, между средата на 1700 г. и средата на 1800 г., Леонхард Ойлер, Адриен-Мари Лежандр и Карл Густав Якоб Якоби успяват да установят необходимите, но недостатъчни условия за съществуването на силен относителен минимум. През 1879 г. Карл Вайерщрас добавя четвърто, което наистина гарантира съществуването на такава величина. Каратеодори конструира своя метод за извеждане на достатъчни условия въз основа на използването на уравнението на Хамилтън-Якоби за конструиране на поле от екстремални величини. Идеите са тясно свързани с разпространението на светлината в оптиката. Методът става известен като метода на Каратеодори за еквивалентни вариационни задачи или кралския път към вариационното смятане. Основното предимство на работата на Каратеодори по тази тема е, че тя осветлява връзката между вариационното смятане и частните диференциални уравнения. Тя позволява бързо и елегантно извеждане на условията за достатъчност във вариационното смятане и води директно до уравнението на Ойлер-Лагранж и условието на Вайерщрас. През 1935 г. той публикува книгата си Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Вариационно изчисление и частични диференциални уравнения от първи ред).
Напоследък работата на Каратеодори върху вариационното смятане и уравнението на Хамилтън-Якоби е включена в теорията на оптималното управление и динамичното програмиране. Методът може да бъде разширен и за множество интеграли.
Изпъкнала геометрия
Теоремата на Каратеодори в изпъкналата геометрия гласи, че ако точка x{displaystyle x} от Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}} лежи в изпъкналия корпус на множество P{displaystyle P}, то x{displaystyle x} може да се запише като изпъкнала комбинация от най-много d+1{displaystyle d+1} точки в P{displaystyle P}. А именно, съществува подмножество P′{displaystyle P’} на P{displaystyle P}, състоящо се от d+1{displaystyle d+1} или по-малко точки, така че x{displaystyle x} лежи в изпъкналия корпус на P′{displaystyle P’}. Еквивалентно, x{displaystyle x} лежи в r{displaystyle r}-симплекс с върхове в P{displaystyle P}, където r≤d{displaystyle rleq d}. Най-малкият r{displaystyle r}, който прави последното твърдение валидно за всеки x{displaystyle x} в изпъкналия корпус на P, се определя като числото на Каратеодори на P{displaystyle P}. В зависимост от свойствата на P{displaystyle P} могат да се получат горни граници, по-ниски от тези, предоставени от теоремата на Каратеодори.
Приписва му се авторството на предположението на Каратеодори, според което затворената изпъкнала повърхнина има поне две пъпни точки. Към 2021 г. тази хипотеза остава недоказана, въпреки че е привлякла голям брой изследвания.
Реален анализ
Той доказва теорема за съществуване на решение на обикновени диференциални уравнения при леки условия за регулярност.
Друга негова теорема за производната на функция в точка може да се използва за доказване на верижното правило и формулата за производната на обратните функции.
Комплексен анализ
Той значително разширява теорията на конформното преобразуване, като доказва теоремата си за разширението на конформното преобразуване до границите на Йордановите области. При изучаването на граничното съответствие той създава теорията на простите краища. Той представя елементарно доказателство на лемата на Шварц.
Каратеодори се интересува и от теорията на функциите на множество комплексни променливи. В изследванията си по тази тема той търси аналози на класическите резултати от случая с една променлива. Той доказва, че една топка в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} не е холоморфно еквивалентна на бидиска.
Теория на мярката
Негова е заслугата за теоремата за разширението на Каратеодори, която е основополагаща за съвременната теория на мярката. По-късно Каратеодори разширява теорията от множества до булеви алгебри.
Термодинамика
Термодинамиката е тема, която е близка на Каратеодори още от времето, когато е в Белгия. През 1909 г. той публикува пионерския си труд „Изследвания върху основите на термодинамиката“, в който формулира втория закон на термодинамиката аксиоматично, т.е. без използването на двигатели на Карно и хладилници, а само чрез математически разсъждения. Това е още една версия на втория закон, наред с твърденията на Клаузиус, както и на Келвин и Планк. Версията на Каратеодори привлича вниманието на някои от най-добрите физици по онова време, сред които Макс Планк, Макс Борн и Арнолд Зомерфелд. Според изследването на термодинамиката на Бейлин подходът на Каратеодори е наречен „механичен“, а не „термодинамичен“. Макс Борн оценява високо тази „първа аксиоматично твърда основа на термодинамиката“ и изразява ентусиазма си в писмата си до Айнщайн. Въпреки това Макс Планк имал някои опасения, тъй като, макар да бил впечатлен от математическите умения на Каратеодори, той не приемал, че това е фундаментална формулировка предвид статистическия характер на втория закон.
В своята теория той опростява основните понятия, например топлината не е основно понятие, а производно. Той формулира аксиоматичния принцип на необратимостта в термодинамиката, като заявява, че недостъпността на състоянията е свързана със съществуването на ентропия, където температурата е интегралната функция. Вторият закон на термодинамиката е изразен чрез следната аксиома: „В околността на всяко начално състояние съществуват състояния, до които не може да се достигне произволно близо чрез адиабатни промени на състоянието.“ Във връзка с това той въвежда термина „адиабатна достъпност“.
Оптика
Работата на Каратеодори в областта на оптиката е тясно свързана с неговия метод на вариационното смятане. През 1926 г. той дава строго и общо доказателство, че никоя система от лещи и огледала не може да избегне аберация, с изключение на тривиалния случай на равнинните огледала.В по-късните си работи той дава теорията на телескопа на Шмид. В книгата си Geometrische Optik (1937 г.) Каратеодори доказва еквивалентността на принципа на Хюйгенс и принципа на Ферма, като изхожда от първия, използвайки теорията на Коши за характеристиките. Той твърди, че важно предимство на неговия подход е, че той обхваща интегралните инварианти на Анри Поанкаре и Ели Картан и допълва закона на Малус. Той обясни, че при изследванията си в областта на оптиката Пиер дьо Ферма е замислил принцип на минимума, подобен на този, изказан от Херо от Александрия, за да изследва отражението.
Исторически
По време на Втората световна война Каратеодори редактира два тома от пълните съчинения на Ойлер, посветени на вариационното смятане, които са представени за публикуване през 1946 г.
По онова време Атина е единственият голям образователен център в по-широкия район и има ограничен капацитет да задоволи в достатъчна степен нарастващите образователни нужди на източната част на Егейско море и Балканите. Константин Каратеодори, който по това време е професор в Берлинския университет, предлага създаването на нов университет – трудностите, свързани със създаването на гръцки университет в Константинопол, го карат да разгледа три други града: Солун, Хиос и Смирна.
По покана на гръцкия министър-председател Елефтериос Венизелос на 20 октомври 1919 г. той представя план за създаването на нов университет в Смирна, Мала Азия, който да бъде наречен Йонийски университет в Смирна. През 1920 г. Каратеодори е назначен за декан на университета и взема важно участие в създаването на институцията, като обикаля Европа, за да купува книги и оборудване. Университетът обаче никога не приема студенти поради войната в Мала Азия, която завършва с големия пожар в Смирна. Каратеодори успява да спаси книгите от библиотеката и е спасен едва в последния момент от един журналист, който го отвежда с гребна лодка до намиращия се наблизо боен кораб „Наксос“. Каратеодори пренася в Атина част от университетската библиотека и остава в Атина, като преподава в университета и техническото училище до 1924 г.
През 1924 г. Каратеодори е назначен за професор по математика в Мюнхенския университет и заема тази длъжност до пенсионирането си през 1938 г. По-късно той работи в Баварската академия на науките до смъртта си през 1950 г.
Новият гръцки университет в по-широкия район на Югоизточното Средиземноморие, както първоначално предвижда Каратеодори, най-накрая се реализира със създаването на Солунския университет „Аристотел“ през 1925 г.
Каратеодори е отличник по езици, както и много други членове на семейството му. Гръцкият и френският език са първите му езици, а немският овладява с такова съвършенство, че съчиненията му на немски език са стилистични шедьоври. Каратеодори също така говорел и пишел английски, италиански, турски и древните езици без никакво усилие. Такъв впечатляващ езиков арсенал му позволява да общува и да обменя идеи директно с други математици по време на многобройните си пътувания и значително разширява сферата на познанията му.
Нещо повече, Каратеодори е ценен събеседник за колегите си професори от философския факултет в Мюнхен. Уважаваният германски филолог, професор по древни езици Курт фон Фриц похвали Каратеодори, като каза, че от него човек може да научи безкрайно много за стара и нова Гърция, старогръцкия език и елинската математика. Фриц провежда многобройни философски дискусии с Каратеодори.
Гръцкият език се говори изключително в дома на Карагеодори – синът му Стефанос и дъщеря му Деспина учат в немска гимназия, но ежедневно получават допълнително обучение по гръцки език и култура от гръцки свещеник. Вкъщи не им е било позволено да говорят на друг език.
Каратеодори е талантлив оратор и често е канен да изнася речи. През 1936 г. именно той връчва първите в историята Фийлдсови медали на срещата на Международния конгрес на математиците в Осло, Норвегия.
През 2002 г., в знак на признание за постиженията му, Мюнхенският университет нарича една от най-големите лекционни зали в математическия институт лекционна зала „Константин-Каратеодори“.
В град Неа Виса, откъдето произхожда семейството на Каратеодори, се намира уникалният музей на семейството на Каратеодори. Музеят се намира на централния площад на града в близост до църквата и в него има много лични вещи на Константин, както и писма, които той е разменял с А. Айнщайн, за повече информация посетете оригиналния уебсайт на клуба http:
Координаторът на музея, Атанасиос Липордезис (Αθανάσιος Λιπορδέζης), отбелязва, че музеят е предоставил дом на оригинални ръкописи на математика от около 10 000 страници, включително кореспонденцията на Каратеодори с немския математик Артур Розентал за алгебраизацията на мярката. Също така посетителите могат да разгледат във витрините книгите „Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4“, „Mass und ihre Algebraiserung“, „Reelle Functionen Band 1“, „Zahlen
Продължават усилията за оборудване на музея с още експонати.
Статии в списания
Пълен списък на публикациите на Каратеодори в списания може да бъде намерен в неговите Събрани съчинения (Ges. Math. Schr.). Забележителни публикации са:
Конференции
Източници
