Carl Friedrich Gauss

Delice Bette | 15 huhtikuun, 2023

Yhteenveto

Johann Carl Friedrich Gauss (* 30. huhtikuuta 1777 Brunswick, Brunswick-Wolfenbüttelin ruhtinaskunta; † 23. helmikuuta 1855 Göttingen, Hannoverin kuningaskunta) oli saksalainen matemaatikko, tilastotieteilijä, tähtitieteilijä, geodeetti, sähköinsinööri ja fyysikko. Erinomaisten tieteellisten saavutustensa vuoksi häntä pidettiin jo elinaikanaan Princeps mathematicorumina (matemaatikkojen ruhtinaana). Puhtaan matematiikan lisäksi hänen toimintansa ulottui myös soveltaville aloille, esimerkiksi Hannoverin kuningaskunnan maanmittaustehtäviin, hän oli yhdessä Wilhelm Eduard Weberin kanssa yksi ensimmäisistä, jotka keksivät sähkömagneettisen lennätyksen, ja kumpikin käytti sitä ensimmäisenä pidemmillä etäisyyksillä, hän kehitti magnetometrejä ja käynnisti maailmanlaajuisen asemaverkoston geomagnetismin tutkimista varten.

Gauss kehitti 18-vuotiaana modernin yhtälölaskennan ja matemaattisen tilastotieteen perusteet (pienimpien neliöiden menetelmä), joiden avulla hän teki mahdolliseksi ensimmäisen asteroidi Cereksen uudelleenlöytämisen vuonna 1801. Epäeuklidinen geometria, lukuisat matemaattiset funktiot, integraaliteoriat, normaalijakauma, elliptisten integraalien ensimmäiset ratkaisut ja Gaussin kaarevuus ovat peräisin Gaussilta. Vuonna 1807 hänet nimitettiin Göttingenin yliopiston professoriksi ja observatorion johtajaksi, ja myöhemmin hänelle annettiin Hannoverin kuningaskunnan maanmittaustehtävät. Lukuteorian ja potentiaaliteorian lisäksi hän tutki muun muassa maan magneettikenttää.

Jo vuonna 1856 Hannoverin kuningas leimautti mitalit, joissa oli Gaussin kuva ja teksti Mathematicorum Principi (matemaatikkojen prinssi). Koska Gauss julkaisi vain murto-osan keksinnöistään, hänen työnsä syvyys ja laajuus tulivat jälkipolville täysin tutuiksi vasta, kun hänen päiväkirjansa löydettiin vuonna 1898 ja hänen jäämistönsä tuli tunnetuksi.

Gaussin mukaan on nimetty monia matemaattis-fysikaalisia ilmiöitä ja ratkaisuja, useita maanmittaus- ja havaintotorneja, lukuisia kouluja sekä tutkimuskeskuksia ja tieteellisiä kunnianosoituksia, kuten Braunschweigin akatemian Carl Friedrich Gauss -mitali ja juhlallinen Gauss-luento, joka pidetään joka lukukausi jossakin saksalaisessa yliopistossa.

Vanhemmat, lapsuus ja nuoruus

Carl Friedrich syntyi Braunschweigissa 30. huhtikuuta 1777 Gaussin ja Gaussin pariskunnan poikana. Hänen synnyinkotinsa Wendengrabenissa Wilhelmstraße 30:ssä – jonka pohjakerrokseen perustettiin myöhemmin Gauss-museo – ei selvinnyt toisesta maailmansodasta. Hän kasvoi siellä vanhempiensa ainoana lapsena; hänen isällään oli vanhempi velipuoli aiemmasta avioliitosta. Hänen isänsä Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) teki erilaisia ammatteja, muun muassa puutarhuri, teurastaja, muurari, apukauppias ja pienen vakuutusyhtiön rahastonhoitaja. Vuotta vanhempi Dorothea Bentze (1743-1839) työskenteli ennen avioliittoaan piikana, josta tuli hänen toinen vaimonsa. Hän oli varhain kuolleen velpekeläisen kivimiehen tytär, ja häntä kuvaillaan älykkääksi, iloiseksi ja luontevaksi. Gaussin suhde äitiinsä säilyi tiiviinä koko hänen elämänsä ajan. 96-vuotias asui viimeksi hänen kanssaan Göttingenissä.

Anekdootit kertovat, että jopa kolmevuotias Carl Friedrich korjasi isäänsä palkkalistoilla. Myöhemmin Gauss sanoi itsestään vitsaillen, että hän oli oppinut laskemaan ennen kuin oli oppinut puhumaan. Hänellä oli vielä korkeassa iässä lahja suorittaa monimutkaisetkin laskutoimitukset päässään. Wolfgang Sartorius von Waltershausenin kertomuksen mukaan pienen Carl Friedrichin matemaattinen lahjakkuus huomattiin, kun hän astui Catherinen kansanopiston aritmetiikkaluokalle kahden kansakouluvuoden jälkeen:

Siellä opettaja Büttnerilla oli tapana työllistää oppilaitaan pidemmillä laskutehtävillä, kun hän käveli ylös ja alas karbaatti kädessään. Yksi tehtävä oli laskusarjan yhteenlasku; se, joka oli saanut tehtävän valmiiksi, laittoi taulunsa, jossa oli laskutoimitukset ratkaisua varten, pöydälle. Sanoilla ”Ligget se.” Braunschweigin matalasaksaksi, yhdeksänvuotias Gauss asetti hämmästyttävän nopeasti taululle omansa, jossa oli vain yksi luku. Kun Gaussin poikkeuksellinen lahjakkuus oli tunnustettu, he hankkivat ensin toisen aritmeettisen kirjan Hampurista, ennen kuin avustaja Martin Bartels hankki heille käyttökelpoisia matemaattisia kirjoja, joita he opiskelivat yhdessä – ja varmisti, että Gauss pääsi opiskelemaan Braunschweigin Martino-Katharineumiin vuonna 1788.

Elegantti menettely, jolla ”pikku Gauss” laski ratkaisun niin nopeasti päässään, on nykyään nimeltään Gaussin summakaava. Aritmeettisen sarjan, esimerkiksi luonnollisten lukujen 1-100, summan laskemiseksi muodostetaan pareja yhtä suuria osasummia, esimerkiksi 50 paria, joiden summa on 101 (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51), jolloin tulokseksi saadaan nopeasti 5050.

Kun ”ihmepoika” Gauss oli neljätoistavuotias, hänet esiteltiin Brunswickin herttua Karl Wilhelm Ferdinandille. Tämä tuki häntä sitten taloudellisesti. Näin Gauss pääsi opiskelemaan vuosina 1792-1795 Collegium Carolinumissa (Braunschweig), jota voidaan pitää jonkinlaisena keskikoulun ja yliopiston välimuotona ja joka on nykyisen Braunschweigin teknillisen yliopiston edeltäjä. Siellä professori Eberhard August Wilhelm von Zimmermann tunnisti hänen matemaattisen lahjakkuutensa, tuki häntä ja hänestä tuli hänen isällinen ystävänsä.

Lukuvuodet

Lokakuussa 1795 Gauss siirtyi Göttingenin Georg August -yliopistoon. Siellä hän kuunteli Christian Gottlob Heynen luentoja klassisesta filologiasta, joka kiinnosti häntä tuolloin yhtä paljon kuin matematiikka. Jälkimmäistä edusti Abraham Gotthelf Kästner, joka oli myös runoilija. Georg Christoph Lichtenbergin luennoilla hän kuuli kokeellista fysiikkaa kesälukukaudella 1796 ja hyvin todennäköisesti tähtitiedettä seuraavalla talvilukukaudella. Göttingenissä hän ystävystyi Wolfgang Bolyain kanssa.

18-vuotiaana Gauss onnistui ensimmäisenä osoittamaan, että säännöllinen seitsenkulmio oli mahdollista rakentaa kompassin ja viivoittimen avulla puhtaasti algebrallisin perustein – tämä oli sensaatiomainen löytö, sillä tällä alalla ei ollut tapahtunut juurikaan edistystä antiikin ajoista lähtien. Sen jälkeen hän keskittyi matematiikan opiskeluun, jonka hän sai päätökseen vuonna 1799 Helmstedtin yliopistossa tekemällään väitöskirjalla. Matematiikkaa edusti Johann Friedrich Pfaff, josta tuli hänen väitöskirjansa ohjaaja. Brunswickin herttua piti huolen siitä, että Gauss ei väitellyt ”vieraassa” yliopistossa.

Avioliitot, perhe ja lapset

Marraskuussa 1804 hän kihlautui Braunschweigin valkoisen tannerin tyttären Johanna Elisabeth Rosina Osthoffin († 11. lokakuuta 1809) kanssa, jota hän oli seurustellut jo jonkin aikaa, ja meni naimisiin 9. lokakuuta 1805. Heidän ensimmäinen lapsensa, Joseph Gauss († 4. heinäkuuta 1873), syntyi Braunschweigissa 21. elokuuta 1806. Poika sai etunimensä Giuseppe Piazzin mukaan, joka oli Ceres-pienplaneetan löytäjä, jonka uudelleenlöytäminen vuonna 1801 oli mahdollistanut Gaussin ratalaskelmat.

Pian perheen muutettua Göttingeniin syntyi 29. helmikuuta 1808 heidän tyttärensä Wilhelmine, nimeltään Minna, ja seuraavana vuonna 10. syyskuuta 1809 heidän poikansa Louis. Kuukautta myöhemmin, 11. lokakuuta 1809, Johanna Gauss kuoli synnytykseen ja Louis muutamaa kuukautta myöhemmin 1. maaliskuuta 1810. Johannan kuolema sai Gaussin vaipumaan joksikin aikaa masennukseen; Gaussin kirjoittama liikuttava surukirjoitus on peräisin lokakuulta 1809, ja se löytyi hänen jäämistöstään. Löytäjä, Carl August Gauss (1849-1927), oli Gaussin ainoa saksalaissyntyinen pojanpoika, Joosefin poika ja Hannoverin lähellä sijaitsevan Lohnen tilan omistaja. Wilhelmine avioitui orientalisti Heinrich Ewaldin kanssa, joka myöhemmin lähti Hannoverin kuningaskunnasta yhtenä Göttingenin seitsemästä ja josta tuli Tübingenin yliopiston professori.

Elokuun 4. päivänä 1810 leskimies, jolla oli kaksi pientä lasta elätettävänään, meni naimisiin Friederica Wilhelmine Waldeckin († 12. syyskuuta 1831) kanssa, joka oli hänen edesmenneen vaimonsa parhaan ystävän, Göttingenin juristin Johann Peter Waldeckin tytär. Hän sai tämän kanssa kolme lasta. Oikeustieteen opiskelijana Eugen Gauss riitaantui isänsä kanssa ja muutti Amerikkaan vuonna 1830, jossa hän toimi kauppiaana ja perusti ”First National Bankin” St. Charlesiin. Wilhelm Gauss seurasi Eugenia Yhdysvaltoihin vuonna 1837 ja tuli myös varakkaaksi. Hänen nuorin tyttärensä Therese Staufenau johti isänsä taloutta äitinsä kuoleman jälkeen tämän kuolemaan asti. Minna Gauss oli kuollut tuberkuloosiin 13 vuoden kärsimyksen jälkeen.

Myöhemmät vuodet

Tohtorintutkinnon jälkeen Gauss asui Brunswickissa herttuan hänelle maksamalla pienellä palkalla ja työsti Disquisitiones Arithmeticae -teosta.

Gauss kieltäytyi kutsusta Pietarin tiedeakatemiaan kiitollisuudenosoituksesta Brunswickin herttualle, luultavasti myös siinä toivossa, että tämä rakentaisi hänelle observatorion Brunswickiin. Herttuan kuoltua äkillisesti Jenan ja Auerstedtin taistelun jälkeen Gaussista tuli marraskuussa 1807 Göttingenin Georg Augustin yliopiston professori ja Göttingenin observatorion johtaja. Siellä hän joutui pitämään luentoja, joita kohtaan hän kehitti vastenmielisyyden. Käytännön tähtitiedettä edusti siellä Karl Ludwig Harding, matemaattista professuuria hoiti Bernhard Friedrich Thibaut. Useista hänen oppilaistaan tuli vaikutusvaltaisia matemaatikkoja, kuten Richard Dedekind ja Bernhard Riemann sekä matematiikan historioitsija Moritz Cantor.

Korkeassa iässä hän kiinnostui yhä enemmän kirjallisuudesta ja luki innokkaasti sanomalehtiä. Hänen suosikkikirjailijoitaan olivat Jean Paul ja Walter Scott. Hän puhui sujuvasti englantia ja ranskaa, ja sen lisäksi, että hän tunsi antiikin klassiset kielet nuoruudestaan lähtien, hän luki useita nykyaikaisia eurooppalaisia kieliä (espanjaa, italiaa, tanskaa, ruotsia), ja viimeksi hän opetteli venäjää ja kokeili sanskritin kieltä, joka ei miellyttänyt häntä.

Vuodesta 1804 lähtien hän oli Académie des sciences -akatemian kirjeenvaihtajajäsen ja vuodesta 1820 lähtien akatemian associé étranger. Vuonna 1804 hänestä tuli myös Royal Societyn jäsen ja vuonna 1820 Edinburghin kuninkaallisen seuran jäsen. Vuonna 1808 hänet valittiin Baijerin tiedeakatemian kirjeenvaihtajajäseneksi ja vuonna 1820 ulkomaalaiseksi jäseneksi ja vuonna 1822 Amerikan tiedeakatemian jäseneksi.

Vuonna 1838 hän sai Royal Societyn Copley-mitalin. Vuonna 1842 hänet otettiin Pour le Mérite -järjestön rauhanluokkaan. Samana vuonna hän kieltäytyi kutsusta Wienin yliopistoon. Vuonna 1845 hänestä tuli salaneuvos ja vuonna 1846 filosofisen tiedekunnan dekaani kolmannen kerran. Vuonna 1849 hän vietti kultaista tohtorintutkinnon juhlavuottaan ja hänestä tuli Brunswickin ja Göttingenin kunniakansalainen. Hänen viimeinen tieteellinen tiedonvaihtonsa koski Foucault’n heilurin parantamista kirjeessä Alexander von Humboldtille vuonna 1853.

Hän keräsi kaikenlaista numeerista ja tilastollista tietoa ja piti esimerkiksi luetteloa kuuluisien miesten elinajanodotteesta (päivinä laskettuna). Niinpä hän kirjoitti 7. joulukuuta 1853 ystävälleen ja sääntökuntansa kanslerille Alexander von Humboldtille muun muassa: ”Ylihuomenna on se päivä, jolloin sinä, suuresti arvostamani ystäväni, siirryt alueelle, jonne yksikään eksaktin tieteen valopilkku ei ole vielä tunkeutunut, se päivä, jolloin saavutat saman iän, jossa Newton päätti maallisen uransa 30 766 päivällä mitattuna. Ja Newtonin voimat olivat tuossa vaiheessa täysin ehtyneet: sinä seisot edelleen ihailtavan voimasi täydessä nautinnossa koko tiedemaailman ylimmäksi iloksi. Pysyköön tässä nautinnossa vielä monta vuotta.” Gauss oli kiinnostunut musiikista, kävi konserteissa ja lauloi paljon. Sitä, soittiko hän jotain instrumenttia, ei tiedetä. Hän harrasti pörssikeinottelua ja jätti kuollessaan jälkeensä huomattavan omaisuuden, 170 000 talaria (professorin peruspalkalla 1000 talaria vuodessa), joka koostui pääasiassa arvopapereista, joista monet olivat peräisin rautateiltä. Tämä on yksi harvoista kohdista hänen kirjeenvaihdossaan, jossa hän suhtautuu kriittisesti politiikkaan ja sen kanssa yhteistyötä tekeviin pankkeihin; hänen Hessen-Darmstadtista hankkimansa rautatieosakkeet menettivät rajusti arvoaan, kun kävi ilmi, että rautatiet voitaisiin kansallistaa milloin tahansa.

Hän oli vielä elämänsä loppupuolella tieteellisesti aktiivinen, ja vuonna 1850 hän piti

Gauss oli hyvin konservatiivinen ja monarkistinen, Saksan vuoden 1848 vallankumous

Viimeisinä vuosinaan Gauss kärsi sydämen vajaatoiminnasta (diagnosoitu vesipöhnä) ja unettomuudesta. Kesäkuussa 1854 hän matkusti tyttärensä Therese Staufenaun kanssa Hannoverista Göttingeniin kulkevan rautatien rakennustyömaalle, jossa ohi kulkeva rautatie aiheutti hevosten säikähdyksen ja vaunujen kaatumisen, vaununkuljettaja loukkaantui vakavasti, Gauss ja hänen tyttärensä säilyivät vahingoittumattomina. Gauss osallistui silti rautatien vihkiäisiin 31. heinäkuuta 1854, minkä jälkeen hän oli yhä enemmän sidottu kotiinsa sairauden vuoksi. Hän kuoli nojatuolissaan Göttingenissä 23. helmikuuta 1855 kello 1.05 aamulla.

Albanin hautausmaalla sijaitseva hauta pystytettiin vasta vuonna 1859, ja sen suunnitteli hannoverilainen arkkitehti Heinrich Köhler. Sitä pidettiin pian Göttingenin maamerkkinä.

Perustelut ja panos ei-euklidiseen geometriaan

Jo kahdentoista vuoden iässä Gauss suhtautui epäluuloisesti alkeisgeometrian todistuksiin, ja kuusitoistavuotiaana hän epäili, että euklidisen geometrian lisäksi täytyi olla olemassa myös ei-euklidinen geometria.

Hän syvensi tätä työtä 1820-luvulla: János Bolyaista ja Nikolai Ivanovitš Lobatševskista riippumatta hän huomasi, että Eukleideen aksiooma paralleeleista ei ollut välttämätön denotaation kannalta. Hän ei kuitenkaan julkaissut ajatuksiaan muusta kuin euklidisesta geometriasta, luottamushenkilöidensä kertomusten mukaan luultavasti peläten, etteivät aikalaiset ymmärtäisi häntä. Kun hänen opiskelijaystävänsä Wolfgang Bolyai, jonka kanssa hän oli kirjeenvaihdossa, kuitenkin kertoi hänelle poikansa János Bolyain työstä, hän kehui tätä, mutta ei voinut olla mainitsematta, että hän itse oli keksinyt sen paljon aikaisemmin (”ylistäminen merkitsisi sitä, että ylistän itseäni”). Hän ei ollut julkaissut siitä mitään, koska hän ”kaihteli boeotialaisten huutoja”. Gauss piti Lobatševskin työtä niin kiinnostavana, että hän oppi venäjän kielen korkeassa iässä opiskellakseen sitä.

Päälukujakauma ja pienimmän neliösumman menetelmä

18-vuotiaana hän löysi joitakin ominaisuuksia alkulukujakaumasta ja keksi pienimmän neliösumman menetelmän, jossa minimoidaan poikkeamien neliösumma. Hän pidättäytyi toistaiseksi julkaisemisesta. Kun Adrien-Marie Legendre julkaisi ”Méthode des moindres carrés” -menetelmänsä tutkielmassaan vuonna 1805 ja Gauss teki tuloksensa tunnetuksi vasta vuonna 1809, syntyi prioriteettikiista.

Tämän menetelmän mukaan uuden mittauksen todennäköisin tulos voidaan määrittää riittävän suuresta määrästä aiempia mittauksia. Tältä pohjalta hän tutki myöhemmin teorioita käyrän alle jäävän alueen laskemiseksi (numeerinen integrointi), mikä johti hänet Gaussin kellokäyrään. Siihen liittyvä funktio tunnetaan normaalijakauman tiheytenä, ja sitä käytetään monissa todennäköisyyslaskennan tehtävissä, joissa se on keskiarvon ympärillä satunnaisesti hajoavien tietojen summan (asymptoottinen eli riittävän suurille aineistoille pätevä) jakauman funktio. Gauss itse käytti sitä muun muassa hallinnoidessaan menestyksekkäästi leskien ja orpojen rahastoa Göttingenin yliopistossa. Hän teki perusteellisen analyysin usean vuoden ajan ja tuli siihen tulokseen, että eläkkeitä voitaisiin hieman korottaa. Tällä tavoin Gauss loi pohjan myös vakuutusmatematiikalle.

Elliptisten funktioiden esittely

Vuonna 1796, 19-vuotiaana, kun hän tarkasteli kaaren pituutta lemniskaatilla käyrän pisteen etäisyyden funktiona origosta, hän esitteli historiallisesti ensimmäiset elliptiset funktiot, jotka tunnetaan nykyään lemniskaattisina sinifunktioina. Hän ei kuitenkaan koskaan julkaissut niitä koskevia muistiinpanojaan. Nämä työt liittyvät hänen aritmeettis-geometrisen keskiarvon tutkimukseensa. Elliptisten funktioiden, jo jonkin aikaa tunnettujen elliptisten integraalien käänteisfunktioiden, teorian varsinaisen kehittämisen suorittivat Niels Henrik Abel (1827) ja Carl Gustav Jacobi.

Algebran perusteoria, panos kompleksilukujen käyttöön.

Gauss ymmärsi kompleksilukujen hyödyllisyyden jo varhain, esimerkiksi vuonna 1799 julkaistussa väitöskirjassaan, joka sisältää todisteen algebran perusteormistosta. Tämän lauseen mukaan jokaisella asteeltaan nollaa suuremmalla algebrallisella yhtälöllä on vähintään yksi reaalinen tai kompleksinen ratkaisu. Gauss arvosteli Jean-Baptiste le Rond d’Alembertin vanhempaa todistusta riittämättömäksi, mutta edes hänen oma todistuksensa ei vielä vastannut myöhempiä topologisen tarkkuuden vaatimuksia. Gauss palasi perusopin todistukseen useita kertoja ja antoi uudet todistukset vuosina 1815 ja 1816.

Viimeistään vuonna 1811 Gauss tiesi kompleksilukujen geometrisen esityksen lukutasossa (Gaussin lukutasossa), jonka Jean-Robert Argand oli löytänyt jo vuonna 1806 ja Caspar Wessel vuonna 1797. Kirjeessä Besselille, jossa hän ilmoittaa tämän, kävi myös ilmi, että hän tunsi muita tärkeitä funktioteorian käsitteitä, kuten käyrän integraalin kompleksissa ja Cauchyn integraaliteorian, sekä ensimmäiset lähestymistavat integraalien jaksoihin. Hän ei kuitenkaan julkaissut näistä mitään ennen vuotta 1831, jolloin hän otti käyttöön nimen kompleksiluku numeroteoriaa käsittelevässä esseessään Theoria biquadratorum. Sillä välin Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) oli edeltänyt häntä julkaisemalla kompleksianalyysin perusteet. Vuonna 1849 hän julkaisi kultaisen merkkipäivänsä yhteydessä parannetun version algebran perusteoriaa käsittelevästä väitöskirjastaan, jossa hän ensimmäisestä versiosta poiketen käytti nimenomaisesti kompleksilukuja.

Panokset lukuteoriaan

Hän todisti 30. maaliskuuta 1796, kuukautta ennen yhdeksättätoista syntymäpäiväänsä, että säännöllinen seitsemästoista kärki voidaan rakentaa ja tarjosi näin ensimmäisen merkittävän lisäyksen euklidisiin konstruktioihin 2000 vuoteen. Tämä oli kuitenkin vain sivutulos hänen paljon laajemman lukuteoriaa käsittelevän teoksensa Disquisitiones Arithmeticae valmistelutyössä.

Ensimmäinen ilmoitus tästä teoksesta julkaistiin 1. kesäkuuta 1796 Jenan Allgemeine Literatur-Zeitungin Intelligenzblattissa. Vuonna 1801 julkaistusta Disquisitiones-teoksesta tuli perustavanlaatuinen lukuopin jatkokehitykselle, johon yksi hänen tärkeimmistä panoksistaan oli todistus kvadraattisesta vastavuoroisuuslaista, joka kuvaa kvadraattisten yhtälöiden ”mod p” ratkaistavuutta ja jolle hän löysi elämänsä aikana lähes tusinan verran erilaisia todistuksia. Modulaariseen aritmetiikkaan perustuvan alkeislukuteorian rakentamisen lisäksi hän käsitteli jatkettuja murtolukuja ja ympyräjakoa sekä antoi kuuluisan vihjeen Lemniskaatin ja muiden elliptisten funktioiden vastaavista lauseista, jotka myöhemmin innoittivat Niels Henrik Abelia ja muita. Suuren osan teoksesta vie kvadraattisten muotojen teoria, jonka sukupuoliteoriaa hän kehittää.

Tässä kirjassa on kuitenkin monia muitakin syvällisiä tuloksia, joista usein vain lyhyesti vihjaillaan ja jotka ovat monin tavoin hedelmöittäneet myöhempien lukuteoreetikoiden sukupolvien työtä. Lukuteoreetikko Peter Gustav Lejeune Dirichlet kertoi, että hänellä oli Disquisitiones aina käden ulottuvilla työssään koko elämänsä ajan. Sama pätee kahteen teokseen, jotka käsittelevät bikvadraattisia vastavuoroisuuslakeja vuosilta 1825 ja 1831 ja joissa hän esittelee Gaussin luvut (kokonaislukujen ristikko kompleksilukujen tasossa). Teokset ovat todennäköisesti osa Disquisitiones-teoksen suunniteltua jatkoa, jota ei koskaan ilmestynyt. Gotthold Eisenstein esitti näiden lakien todistukset vuonna 1844.

André Weilin oman kertomuksen mukaan näiden teosten (ja joidenkin päiväkirjan kohtien, jotka käsittelevät piilotetussa muodossa äärellisten kappaleiden yhtälöiden ratkaisua) lukeminen innoitti häntä Weilin arvauksia koskevaan työhön. Gauss tiesi alkulukuteoremin, mutta ei julkaissut sitä.

Gauss edisti tällä alalla yhtä nykyajan ensimmäisistä naismatemaatikoista, Sophie Germainia. Gauss kävi hänen kanssaan kirjeenvaihtoa numeroteoriasta vuodesta 1804 alkaen, vaikka hän käytti aluksi miesten salanimeä. Vasta vuonna 1806 hän paljasti naispuolisen henkilöllisyytensä, kun hän pyysi Gaussin turvallisuutta ranskalaiselta komentajalta Braunschweigin valtauksen jälkeen. Gauss kehui hänen työtään ja syvällistä ymmärrystään lukuteoriasta ja pyysi häntä hankkimaan hänelle tarkan heilurikellon Pariisissa vuonna 1810 Lalande-palkinnolla saamaansa palkintorahaa vastaan.

Panokset tähtitieteeseen

Saatuaan Disquisitionesin valmiiksi Gauss kääntyi tähtitieteen puoleen. Tilaisuus tähän oli Giuseppe Piazzin 1. tammikuuta 1801 tekemä kääpiöplaneetta Cereksen löytö, jonka sijainnin taivaalla tähtitieteilijä oli menettänyt uudelleen pian sen löytämisen jälkeen. 24-vuotias Gauss onnistui laskemaan radan uuden epäsuoran radanmääritysmenetelmän ja pienimpien neliöiden menetelmään perustuvien tasapainolaskelmiensa avulla niin, että Franz Xaver von Zach pystyi löytämään sen uudelleen 7. joulukuuta 1801 ja – vahvistettuna – 31. joulukuuta 1801. Heinrich Wilhelm Olbers vahvisti tämän Zachista riippumatta 1. ja 2. tammikuuta 1802 tehdyillä havainnoilla.

Ceresin löytämisen ongelmana oli se, että havaintojen perusteella ei tiedetä sen sijaintia, radan osaa eikä etäisyyttä, vaan ainoastaan havaintosuunnat. Tämä johtaa ellipsin etsimiseen eikä ympyrän etsimiseen, kuten Gaussin kilpailijat olettivat. Yksi ellipsin polttopisteistä tunnetaan (itse Aurinko), ja havaintosuuntien väliset Cereksen radan kaaret kulkevat Keplerin toisen lain mukaisesti, eli ajat käyttäytyvät kuin ohjaavan säteen pyyhkäisemät alueet. Lisäksi laskennallisen ratkaisun kannalta tiedetään, että itse havainnot alkavat avaruuden kartioleikkauksesta, itse Maan kiertoradasta.

Periaatteessa ongelma johtaa kahdeksasasteiseen yhtälöön, jonka triviaali ratkaisu on itse Maan kiertorata. Laajojen rajoitusten ja Gaussin kehittämän pienimmän neliösumman menetelmän avulla 24-vuotias onnistui antamaan laskemansa Cereksen radan sijainnin 25. marraskuuta-31. joulukuuta 1801. Näin Zach pystyi löytämään Cereksen ennustuksen viimeisenä päivänä. Sijainti oli peräti 7° (eli 13,5 täysikuun leveyspiiriä) itään siitä, missä muut tähtitieteilijät olivat epäilleet Cereksen olevan, minkä Zachin lisäksi myös Olbers tunnusti asianmukaisesti.

Tämä työ, johon Gauss ryhtyi jo ennen kuin hänet nimitettiin Göttingenin observatorion johtajaksi, teki hänestä Euroopassa kerralla numeroteoriaansa tunnetumman ja toi hänelle muun muassa kutsun Pietarin akatemiaan, jonka kirjeenvaihtajajäsen hänestä tuli vuonna 1802.

Gaussin tässä yhteydessä keksimää iteratiivista menetelmää käytetään vielä nykyäänkin, koska sen avulla voidaan yhtäältä sisällyttää kaikki tunnetut voimat fysikaalis-matemaattiseen malliin ilman huomattavaa lisävaivaa ja koska se on toisaalta tietoteknisesti helppokäyttöinen.

Tämän jälkeen Gauss tutki asteroidi Pallaksen rataa, jonka laskemisesta Pariisin akatemia oli tarjonnut palkintorahaa, mutta ei onnistunut löytämään ratkaisua. Hänen kokemuksensa taivaankappaleiden ratojen määrittämisestä johti kuitenkin vuonna 1809 julkaistuun teokseen Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Panos potentiaaliteoriaan

Potentiaaliteoriassa ja fysiikassa Gaussin integraaliteoria (1835, julkaistu vasta 1867) on perustavanlaatuinen. Vektorikentässä se identifioi divergenssin (vektorikenttään sovellettu derivaattavektori) integraalin tilavuuden yli ja vektorikentän integraalin tämän tilavuuden pinnan yli.

Maanmittaus ja heliotroopin keksiminen

Gauss sai ensimmäisen kokemuksensa geodesian alalta vuosina 1797-1801, kun hän toimi ranskalaisen kenraalimestari Lecoqin neuvonantajana tämän tehdessä Westfalenin herttuakuntaa koskevia kansallisia tutkimuksia. Vuonna 1816 hänen entinen oppilaansa Heinrich Christian Schumacher sai Tanskan kuninkaalta toimeksiannon suorittaa Tanskan alueen leveys- ja pituusmittauksen. Tämän jälkeen, vuosina 1820-1826, Gauss sai tehtäväkseen Hannoverin kuningaskunnan maanmittauksen (”gaußsche Landesaufnahme”), ja hänen apunaan toimi toisinaan hänen poikansa Joseph, joka oli Hannoverin armeijan tykistöupseeri. Tämä maanmittaus jatkoi Tanskan maanmittausta Hannoverin alueella etelään, ja Gauss käytti Schumacherin mittaamaa Braakerin pohjaa. Keksimänsä pienimmän neliösumman menetelmän ja laajojen lineaaristen yhtälöryhmien järjestelmällisen ratkaisemisen (Gaussin eliminointimenetelmä) avulla hän saavutti huomattavan tarkkuuden kasvun. Hän oli kiinnostunut myös käytännön toteutuksesta: hän keksi aurinkopeilien avulla valaistun heliotroopin mittalaitteeksi.

Gaussin kaarevuus ja geodesia

Näinä vuosina hän käsitteli geodesian ja karttateorian innoittamana pintojen differentiaaligeometrian teoriaa, otti käyttöön muun muassa Gaussin kaarevuuden ja todisti Theorema egregium -teoriansa. Sen mukaan Gaussin kaarevuus, joka määritellään pinnan pääkaarevuuksien avulla avaruudessa, voidaan määrittää pelkästään sisäisen geometrian mittauksilla eli pinnan sisällä tehtävillä mittauksilla. Siksi Gaussin kaarevuus on riippumaton pinnan upottamisesta kolmiulotteiseen avaruuteen, eli se ei muutu, jos pinnat on kuvattu toisiinsa pituususkollisesti.

Wolfgang Sartorius von Waltershausen raportoi, että Gauss etsi Hannoverin kansallisen tutkimuksen yhteydessä empiirisesti erityisen suurten kolmioiden kulmasumman poikkeamaa euklidisesta 180°:n arvosta – kuten Gaussin mittaama tasokolmio, jonka muodostavat Harzin vuoristossa sijaitseva Brocken, Thüringenin metsässä sijaitseva Inselsberg ja Dransfeldin lähellä sijaitseva Hoher Hagen. Max Jammer kirjoitti tästä Gaussin mittauksesta ja sen tuloksesta:

Tämän kolmion kulmaylijäämä on vain 0,25 kulmaminuuttia, mikä johtuu Maan koosta. Edellä mainittu arvaus motiivista on spekulaation varassa.

Magnetismi, sähkö ja lennätin

Hän työskenteli vuodesta 1831 alkaen yhdessä Wilhelm Eduard Weberin kanssa magnetismin alalla. Vuonna 1833 Weber ja Gauss keksivät sähkömagneettisen lennätinjärjestelmän, jossa oli releen kaltainen periaate ja joka yhdisti Weberin observatorion ja fysiikan laitoksen 1100 metrin etäisyydelle. He käyttivät galvanometrejä ja magnetometrejä, jotka oli sovitettu lennättimiin, ja kehittivät useita versioita. Johtimena oli kaksi kuparilankaa (myöhemmin rautalankaa), joista kumpikin yhdisti kaksi käämiä: toisen Weberin kaapissa ja toisen Gaussin observatoriossa. Molemmat käämit oli kiedottu löyhästi magneettisauvan ympärille, ja niitä voitiin siirtää sauvaa pitkin. Sähkömagneettisen induktion periaate, joka oli löydetty kaksi vuotta aiemmin, aiheutti sähkövirran, kun sauvamagneetin ympärille kääritty lähetinkela liikkui, joka johdettiin johtoa pitkin toiseen kelaan ja muutettiin siellä takaisin liikkeeksi. Vastaanottimessa puukehykseen kiinnitetyn puumagneetin ja kelan taipuminen (joka oli releen tai magnetometrin tai peiligalvanometrin kaltainen periaate) suurennettiin ja tehtiin näkyväksi peili- ja kaukoputkijärjestelmän avulla. Kirjaimet esitettiin binäärikoodilla, joka vastasi virran suuntaa (vastaanottimen peili käännettiin vasemmalle tai oikealle). Ensimmäinen viesti oli luultavasti tieto ennen minun, oleminen ennen näennäistä – tämä viesti löytyi Gaussin tallenteista binäärikoodina. Muiden lähteiden mukaan ne ilmoittivat palvelijan saapumisesta, joka muuten toimitti viestit (Michelmann tulossa). Jo kaksi vuotta ennen Gaussia ja Weberiä Joseph Henry ja vuotta ennen Gaussia ja Weberiä Paul Ludwig Schilling Cannstattista kehittivät sähkömagneettisen lennätinlaitteen, mutta kumpikaan heistä ei käyttänyt sitä pidemmillä etäisyyksillä eikä se herättänyt suurta huomiota. Vuonna 1845 Gaussin ja Weberin laitteet tuhoutuivat salamaniskussa, joka sytytti myös naisen hatun tuleen. Talli, jonka ohi linja kulki, säästyi kuitenkin, mikä olisi muuten saattanut aiheuttaa mahdollisen kaupunkipalon. Kaupallista käyttöä oli kuitenkin muilla, erityisesti Samuel Morseilla Yhdysvalloissa muutama vuosi Gaussin ja Weberin keksinnön jälkeen. Gauss näki kuitenkin sovellusmahdollisuuksia esimerkiksi Venäjän suurvaltakunnassa ja rautateillä, ja he kirjoittivat asiasta muistion, joka ei kuitenkaan toteutunut Saksassa tuolloin linjojen kustannusten vuoksi. Vaikka he myös julkaisivat siitä, Gaussin ja Weberin lennätinkeksintö lähes unohtui seuraavina vuosina, ja muut vaativat keksintöä itselleen.

Yhdessä Weberin kanssa hän kehitti CGS-järjestelmän, joka nimettiin sähköteknisten mittayksiköiden perustaksi Pariisissa vuonna 1881 pidetyssä kansainvälisessä kongressissa. Hän organisoi maailmanlaajuisen havaintoasemien verkoston (Magnetischer Verein) maan magneettikentän mittaamiseksi.

Gauss löysi Kirchhoffin säännöt sähköpiirejä varten vuonna 1833 ennen Gustav Robert Kirchhoffia (1845) sähköteoriaa koskevissa kokeissaan.

Muut

Häneltä on peräisin Gaussin pääsiäiskaava pääsiäisen ajankohdan laskemiseksi, ja hän kehitti myös pääsiäiskaavan.

Gauss työskenteli monilla aloilla, mutta julkaisi tuloksiaan vasta, kun teoria oli hänen mielestään valmis. Tämä johti siihen, että hän toisinaan huomautti kollegoilleen, että hän oli jo kauan sitten todistanut tämän tai tuon tuloksen, mutta ei ollut vielä esittänyt sitä, koska taustalla oleva teoria oli epätäydellinen tai koska häneltä puuttui nopeaan työskentelyyn tarvittava holtittomuus.

Merkittävää on, että Gaussilla oli hallussaan petschaft, jossa on puu, jossa on muutama hedelmä ja tunnuslause Pauca sed Matura (”Harva, mutta kypsä”). Erään anekdootin mukaan hän kieltäytyi vaihtamasta tätä mottoa esimerkiksi Multa nec immaturaan (”Paljon, mutta ei kypsymätöntä”) tuttavilleen, jotka tiesivät Gaussin laajasta työstä, sillä hän sanoi jättävänsä löydön mieluummin jonkun muun tehtäväksi kuin jättävänsä sen kokonaan työstettynä julkaisematta omalla nimellään. Näin hän säästi aikaa aloilla, joita Gauss piti melko marginaalisina, jotta hän saattoi käyttää tämän ajan omaperäiseen työhönsä.

Gaussin tieteellistä jäämistöä säilytetään Göttingenin valtion- ja yliopistokirjaston erityiskokoelmissa.

Hänen kuolemansa jälkeen aivot poistettiin. Niitä tutkittiin useita kertoja, viimeksi vuonna 1998, eri menetelmin, mutta mitään erityistä löydöstä, joka selittäisi hänen matemaattiset kykynsä, ei löytynyt. Aivoja säilytetään nyt erillään, formaliinissa säilöttynä, Göttingenin yliopiston lääketieteellisen tiedekunnan lääketieteen etiikan ja lääketieteen historian laitoksella.

Syksyllä 2013 Göttingenin yliopistossa paljastui sekaannus: matemaatikko Gaussin ja göttingalaisen lääkärin Conrad Heinrich Fuchsin aivopreparaatit, jotka olivat tuolloin yli 150 vuotta vanhoja, sekoitettiin keskenään – luultavasti pian niiden ottamisen jälkeen. Molempia preparaatteja säilytettiin Göttingenin yliopistollisen sairaalan anatomisessa kokoelmassa formaldehydiä sisältävissä purkeissa. Alkuperäiset Gaussin aivot olivat purkissa, jossa oli merkintä ”C. H. Fuchs”, ja Fuchsin aivot olivat merkinnällä ”C. F. Gauss”. Tämä tekee aiemmat tutkimustulokset Gaussin aivoista vanhentuneiksi. Gaussin oletetuista aivoista tehtyjen magneettikuvausten vuoksi, joissa näkyi harvinainen keskiharjun puolittuminen, tutkija Renate Schweizer tutki näytteitä uudelleen ja havaitsi, että tämä silmiinpistävä piirre puuttui pian Gaussin kuoleman jälkeen tehdyistä piirroksista.

Gaussin kehittämiä menetelmiä tai ideoita, jotka kantavat hänen nimeään, ovat:

Osittain hänen työhönsä perustuvat menetelmät ja ideat ovat:

Hänen kunniakseen on nimetty:

Täydellinen painos

Niteet 10 ja 11 sisältävät yksityiskohtaisia kommentteja, jotka ovat kirjoittaneet Paul Bachmann (lukuteoria), Ludwig Schlesinger (funktioteoria), Alexander Ostrowski (algebra), Paul Stäckel (geometria), Oskar Bolza (variaatiolaskenta), Philipp Maennchen (Gauss laskijana), Harald Geppert (mekaniikka, potentiaaliteoria), Andreas Galle (geodesia), Clemens Schaefer (fysiikka) ja Martin Brendel (tähtitiede). Toimittajana toimi ensin Ernst Schering ja sitten Felix Klein.

Gaussin kivet

Gaussin ohjeiden mukaan on pystytetty lukuisia tutkimuskiviä:

Muotokuvat

Muun muassa Gaussista on suhteellisen paljon muotokuvia:

lähteet

1. Carl Friedrich Gauß
2. Carl Friedrich Gauss
3. Sartorius von Waltershausen: Gauß zum Gedächtniss.
4. ^ The Collegium Carolinum was the preceeding institution of the Technische Hochschule Braunschweig, now Braunschweig Institute of Technology, but at Gauss’ time not equal to a university.
5. ^ Gauss was so pleased with this result that he requested that a regular heptadecagon be inscribed on his tombstone. The stonemason declined, stating that the difficult construction would essentially look like a circle.[19]
6. ^ Dunnington 2004, p. 305 writes ”It is not known just what Gauss believed on most doctrinal and confessional questions. He did not believe literally in all Christian dogmas. Officially he was a member of St. Albans Church (Evangelical Lutheran) in Gottingen. All baptisms, burials, and weddings in his family occurred there. It is also not known whether he attended church regularly or contributed financially. A faculty colleague called Gauss a deist, but there is good reason to believe that this label did not fit well. Gauss possessed strong religious tolerance which he carried over to every belief originating in the depths of the human heart. This tolerance is not to be confused with religious indifference. He took a special interest in the religious development of the human race, especially in his own century. With reference to the manifold denominations, which frequently did not agree with his views, he always emphasized that one is not justified in disturbing the faith of others in which they find consolation for earthly sufferings and a safe refuge in days of misfortune”
7. ^ Eberhard Zeidler, Oxford User’s Guide to Mathematics, Oxford, UK, Oxford University Press, 2004, p. 1188, ISBN 0-19-850763-1.
8. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 695–711. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
9. Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 12
10. a b Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 13
11. a b c d Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians, s. 159
12. Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 15