Eukleides

Dimitris Stamatios | 19 huhtikuun, 2023

Yhteenveto

Eukleides (kreik. Εὐκλείδης, Eukleidēs, lat. Euclīdēs) oli kreikkalainen matemaatikko ja geometrikko (n. 325 eaa. – n. 265 eaa.). Hänet tunnetaan nimellä ”geometrian isä”. Hän toimi Aleksandriassa (muinaisessa Egyptissä) Ptolemaios I Soterin (323 – 283 eaa.) aikana. Hän oli kaupungin matematiikkakoulun perustaja.

Hänen tunnetuin teoksensa oli Elementit, jota pidetään usein matematiikan historian menestyneimpänä oppikirjana. Geometristen kappaleiden ja luonnollisten lukujen ominaisuudet johdetaan pienestä joukosta aksioomia. Tämä teos, joka on yksi vanhimmista tunnetuista teoksista, jossa esitetään systemaattisesti ja todistuksin suuri joukko geometriaa ja teoreettista aritmetiikkaa koskevia teoreemoja, on kokenut satoja painoksia kaikilla kielillä, ja sen aiheet ovat edelleen matematiikan opetuksen perusta lukion toisen asteen opetuksessa monissa maissa. Eukleideen nimi juontuu Eukleideen algoritmista, euklidisesta geometriasta (ja ei-euklidisesta geometriasta) sekä euklidisesta jakolaskusta. Hän kirjoitti myös perspektiivistä, kartioleikkauksista, pallogeometriasta ja lukuteoriasta.

Hänen elämänsä tunnetaan huonosti, koska hän asui Aleksandriassa (kaupunki Pohjois-Egyptissä) Ptolemaios I:n valtakaudella. Jotkut arabialaiset kirjoittajat väittävät, että Eukleideus oli syntynyt Tyyrossa ja asui Damaskoksessa. Eräät arabialaiset kirjoittajat väittävät, että Eukleides syntyi Tyyrossa ja asui Damaskoksessa. Eukleideen elämästä ei ole olemassa suoraa lähdettä: ei kirjettä, ei omaelämäkerrallisia merkintöjä (edes teoksen esipuheen muodossa), ei virallista asiakirjaa eikä edes jonkun hänen aikalaisensa viittauksia. Matematiikan historioitsija Peter Schreiber tiivistää asian niin, että ”Eukleideen elämästä ei tiedetä yhtään varmaa seikkaa. Hän oli Naucratesin poika, ja on esitetty kolme hypoteesia:

Eukleides opiskeli todennäköisesti Platonin akatemiassa, jossa hän oppi tietojensa perusteet.

Proklos, viimeinen suurista kreikkalaisista filosofeista, joka eli noin vuonna 450, kirjoitti tärkeitä kommentaareja alkuaineiden kirjaan I. Nämä kommentit ovat arvokas tietolähde kreikkalaisen matematiikan historiasta. Näin tiedämme esimerkiksi, että Eukleideus kokosi yhteen Eudoksos Cnidoksen kannanotot suhteellisuusteoriasta ja Theaetetoksen kannanotot säännöllisistä polyedereistä.

Vanhin tunnettu Eukleideen elämää koskeva kirjoitus on 5. vuosisadalla jKr. kirjoitettu geometrian historiaa käsittelevä yhteenveto, jonka on kirjoittanut uusplatonistinen filosofi Proclus, joka on elementtien ensimmäistä kirjaa kommentoinut. Proklos ei itse anna mitään lähdettä maininnoilleen. Hän sanoo vain: ”kerää elementtejään ja tuo esiin kiistattomin mielenosoituksin sen, mitä hänen edeltäjänsä olivat opettaneet rennosti. Tämä mies puolestaan eli ensimmäisen Ptolemaioksen aikana, sillä Arkhimedes mainitsee Eukleideen. Eukleides on siis uudempi kuin Platonin opetuslapset, mutta vanhempi kuin Arkhimedes ja Eratosthenes”.

Jos Proklosin esittämä kronologia hyväksytään, Eukleides eli Platonin ja Arkhimedeen välissä ja oli Ptolemaios I:n aikalainen noin vuonna 300 eaa.

Mikään asiakirja ei ole ristiriidassa näiden muutaman lauseen kanssa, eikä se oikeastaan vahvista niitä. Eukleideen suora maininta Arkhimedeen teoksista on peräisin epäilyttävänä pidetystä kohdasta.

Arkhimedes viittaa joihinkin elementtien tuloksiin ja Elefantin saarelta löydettyyn ja III eKr. päivättyyn ostraakkeliin: siinä käsitellään elementtien kirjassa XIII tutkittuja kuvioita, kuten kymmen- ja ikosaedriä, mutta toistamatta tarkasti eukleideen lauseita; ne voivat siis olla peräisin Eukleideen syntyä edeltävistä lähteistä. Eukleideen teoksen sisällön analyysin kanssa yhteensopivana pidetään kuitenkin likimääräistä vuosilukua 300 eKr., ja matematiikan historioitsijat ovat omaksuneet sen.

Toisaalta Aleksandrialaisen matemaatikon Papon viittaus vuodelta IV jKr. viittaa siihen, että Eukleideen oppilaat olisivat opettaneet Aleksandriassa. Jotkut kirjoittajat ovat yhdistäneet Eukleideen Aleksandrian Museioniin tällä perusteella, mutta hän ei esiinny missään virallisessa asiakirjassa. Eukleideen liitetään antiikissa usein nimitys Stoitxeiotes, elementtien kirjoittaja.

Eukleideesta liikkuu useita anekdootteja, mutta koska niitä esiintyy myös muiden matemaatikkojen kohdalla, niitä ei pidetä todellisina: esimerkiksi Prokloksen selittämä kuuluisa anekdootti, jonka mukaan Eukleideus olisi vastannut Ptolemaiokselle – joka halusi helpomman tavan kuin Elementit – että geometriassa ei ole oikeita tapoja; saman anekdootin muunnelma on liitetty myös Menecmusiin ja Aleksanteri Suureen. Vastaavasti myöhäisantiikista lähtien Eukleideen elämästä kertoviin kertomuksiin lisättiin erilaisia yksityiskohtia ilman uusia lähteitä ja usein ristiriitaisella tavalla. Eräiden kirjoittajien mukaan Eukleideus on syntynyt Tyyrossa, toisten mukaan Gelassa; hänelle on annettu erilaisia sukuluetteloita, tiettyjä mestareita, erilaisia syntymä- ja kuolinpäivämääriä, jotta noudatettaisiin lajityypin sääntöjä tai jotta suosittaisiin tiettyjä tulkintoja. Keskiajalla ja renessanssin alussa matemaatikko Eukleideus sekoitetaan usein Platonin aikalaisfilosofiin, Megaran Eukleideukseen.

Mainintoja Eukleideen teoksista esiintyy useilla kirjoittajilla, erityisesti Pappuksen matemaattisessa kokoelmassa (joka on yleensä ajoitettu 3. tai 4. vuosisadalle) ja Proklosin kommentissa Eukleideen elementteihin. Vain osa näistä teoksista on säilynyt nykypäivään asti.

Meille on säilynyt viisi teosta: Data, On Divisions, Catoptrics, Appearances of the Sky ja Optics. Arabialaisista lähteistä Eukleideen katsotaan kirjoittaneen useita mekaniikkaa käsitteleviä tutkielmia. On the Heavy and the Light sisältää yhdeksässä määritelmässä ja viidessä lauseessa aristoteeliset käsitykset kappaleiden liikkeestä ja ominaispainovoiman käsitteen. On Equilibrium käsittelee viputeoriaa myös aksiomaattisesti, ja siinä on yksi määritelmä, kaksi aksioomaa ja neljä lausetta. Kolmas katkelma, joka käsittelee liikkuvan vivun päiden kuvaamia ympyröitä, sisältää neljä lausetta. Nämä kolme teosta täydentävät toisiaan siten, että on esitetty, että ne ovat jäänteitä yhdestä Eukleideen kirjoittamasta mekaniikkaa käsittelevästä tutkielmasta.

Elementit

Elements on yksi maailman tunnetuimmista tieteellisistä tuotoksista, ja se oli kokoelma akateemisessa maailmassa tuolloin opetettua tietoa. Elementit ei ollut, kuten joskus luullaan, kaiken geometrisen tietämyksen kokoelma, vaan pikemminkin johdantoteksti, joka kattoi kaiken alkeismatematiikan eli aritmetiikan, synteettisen geometrian ja algebran.

Elementit on jaettu kolmeentoista kirjaan tai lukuun, joista puolen tusinaa ensimmäistä käsittelee alkeistasogeometriaa, kolme seuraavaa numeroteoriaa, kirja X inkommensurableja ja kolme viimeistä pääasiassa kappaleiden geometriaa.

Geometriaa käsittelevissä kirjoissa suorien ja tasojen, ympyröiden ja pallojen, kolmioiden ja kartioiden jne. eli säännöllisten muotojen ominaisuuksien tutkiminen esitetään muodollisesti, ja se alkaa vain viidestä postulaatista. Todennäköisesti Eukleideus ei ole osoittanut mitään Elemien tuloksista ensimmäisenä, mutta aineiston järjestäminen ja sen esittäminen on epäilemättä hänen ansiotaan. Itse asiassa on paljon todisteita siitä, että Eukleides käytti aiempia oppikirjoja kirjoittaessaan Elementtejä, sillä hän esittää suuren määrän määritelmiä, joita ei ole käytetty, kuten pitkulaisen, rombin ja romboidein määritelmät. Eukleideen lauseet ovat niitä, jotka nykyaikaisessa koulussa yleensä opitaan. Esimerkkinä joitakin tunnetuimpia:

Elementtien kirjoissa VII, VIII ja IX tarkastellaan jaollisuusteoriaa. Niissä tarkastellaan täydellisten lukujen ja Mersennen alkulukujen välistä yhteyttä (tunnetaan Eukleideen ja Eulerin lauseena), alkulukujen äärettömyyttä (Eukleideen lause), Eukleideen faktorointia koskevaa lemmaa (joka johtaa aritmetiikan perusteoriaan alkulukujen faktorointien yksikäsitteisyydestä) ja Eukleideen algoritmia, jolla löydetään kahden luvun suurin yhteinen jakaja.

Sen lisäksi, että Eukleideen geometria on tehokas deduktiivisen päättelyn väline, se on ollut erittäin hyödyllinen monilla tiedonaloilla, esimerkiksi fysiikassa, tähtitieteessä, kemiassa ja erilaisilla tekniikan aloilla. Se on varmasti erittäin hyödyllinen matematiikassa. Eukleideen esitystavan harmonian innoittamana toisella vuosisadalla muotoiltiin ptolemaiolainen maailmankaikkeuden teoria, jonka mukaan Maa on maailmankaikkeuden keskus ja planeetat, Kuu ja Aurinko kiertävät sitä täydellisillä linjoilla eli ympyröillä ja ympyröiden yhdistelmillä. Eukleideen ajatukset ovat kuitenkin huomattava abstraktio todellisuudesta. Hän esimerkiksi olettaa, että pisteellä ei ole kokoa, että viiva on pistejoukko, jolla ei ole leveyttä eikä paksuutta, vaan ainoastaan pituus, että pinnalla ei ole paksuutta ja niin edelleen. Koska pisteellä ei Eukleideen mukaan ole kokoa, sen ulottuvuus on nolla. Viivalla on vain pituus, joten se saa ulottuvuuden, joka on yksi. Pinnalla ei ole paksuutta eikä korkeutta, joten sillä on kaksi ulottuvuutta: leveys ja pituus. Kiinteällä kappaleella, kuten kuutiolla, on kolme ulottuvuutta: pituus, leveys ja korkeus. Eukleides yritti tiivistää kaiken matemaattisen tiedon kirjassaan ”Elementit”. Eukleideen geometria oli teos, joka säilyi muuttumattomana 1800-luvulle asti.

Alkuaksioomeista vain rinnakkaisaksiooma vaikutti vähemmän ilmeiseltä. Useat matemaatikot yrittivät tuloksetta luopua tästä aksioomasta yrittämällä päätellä sen muista aksioomista. He yrittivät esittää sen teoreemana, onnistumatta kuitenkaan siinä.

Lopuksi jotkut kirjoittajat loivat uusia geometrioita, jotka perustuivat paralleeliaksion kumoamiseen tai korvaamiseen, jolloin syntyi ”ei-euklidisia geometrioita”. Näiden geometrioiden pääpiirre on, että muuttamalla paralleeliaksoemiaa kolmion kulmat eivät enää summaudu 180 asteeseen.

Data (Δεδομένα) on ainoa muu Eukleideen teos, joka käsittelee geometriaa ja josta on säilynyt kreikankielinen versio (se on esimerkiksi Peyrardin löytämässä X-käsikirjoituksessa). Sitä kuvataan yksityiskohtaisesti myös Papon matemaattisen kokoelman kirjassa VII, ”Analyysin aarrekammiossa”, joka liittyy läheisesti Elementtien neljään ensimmäiseen kirjaan. Siinä käsitellään geometrisissa ongelmissa annettavan tiedon tyyppiä ja luonnetta. Tiedot on sijoitettu tasogeometrian puitteisiin, ja historiantutkijat pitävät sitä elementtejä täydentävänä, ongelmien analysointiin paremmin soveltuvassa muodossa. Teoksessa on 15 määritelmää, ja siinä selitetään, mitä geometrinen kohde tarkoittaa sijainniltaan, muodoltaan ja kooltaan, sekä 94 teoreemaa. Niissä selitetään, että jos kuvion jotkin elementit on annettu, voidaan määrittää muut suhteet tai elementit.

Divisioonien osalta

Tästä teoksesta on olemassa latinankielisiä osia (De divisionibus), mutta ennen kaikkea on olemassa 1800-luvulla löydetty arabiankielinen käsikirjoitus, joka sisältää 36 lausetta, joista neljä on todistettu.

Se käsittelee geometristen kuvioiden jakamista kahteen tai useampaan yhtä suureen osaan tai tiettyihin mittasuhteisiin. Se on samankaltainen kuin 3. vuosisadalla jKr. tehty Aleksandrialaisen Heronin teos. Tässä teoksessa hän yrittää rakentaa suoria viivoja, jotka jakavat tietyt kuviot tiettyihin mittasuhteisiin ja muotoihin. Esimerkiksi kolmion ja kolmion sisällä olevan pisteen perusteella pyydetään rakentamaan pisteen kautta kulkeva suora, joka leikkaa kolmion kahteen saman pinta-alan omaavaan kuvioon, tai ympyrän perusteella pyydetään rakentamaan kaksi yhdensuuntaista suoraa siten, että niiden rajaama ympyrän osa muodostaa kolmanneksen ympyrän pinta-alasta.

Harhaluuloista (Pseudaria)

Argumentaatiovirheitä käsittelevä teos Perkὶ Ψευδαρίων (Περὶ Ψευδαρίων) on kadonnut teos, joka tunnetaan vain Proklosin antaman kuvauksen perusteella. Hänen mukaansa teoksen tarkoituksena oli totuttaa aloittelijat havaitsemaan väärät päättelytavat, erityisesti sellaiset, jotka jäljittelevät deduktiivista päättelyä ja vaikuttavat siten totuudelta. Hän antoi esimerkkejä rinnastuksista.

Neljä kirjaa kartioleikkauksista

Neljä kirjaa kartioleikkauksista (Κωνικῶν Βιβλία) on nyt kadonnut. Se oli kartioleikkauksia käsittelevä teos, jota Apollonius Pergalainen laajensi kuuluisassa samaa aihetta käsittelevässä kirjassaan. On todennäköistä, että Apolloniuksen teoksen neljä ensimmäistä kirjaa olivat peräisin suoraan Eukleideukselta. Papon mukaan ”Apollonius, kun hän oli saanut valmiiksi Eukleideen neljä kirjaa kartioleikkauksista ja lisännyt niihin vielä neljä kirjaa, jätti jälkeensä kahdeksan nidettä kartioleikkauksia”. Apolloniuksen kartiot korvasivat nopeasti alkuperäisen teoksen, ja Papon aikaan Eukleideen teos oli kadonnut.

Kolme porismia käsittelevää kirjaa

Kolme kirjaa porismeista (Πορισμάτων Βιβλία) on saattanut olla jatkoa hänen kartioleikkauksia koskevalle työlleen, mutta otsikon merkitys ei ole selvä. Kyseessä on kadonnut teos. Teokseen viitataan kahdessa Proklosin kohdassa, ja ennen kaikkea se on pitkän esittelyn kohteena Pappuksen kokoelman VII kirjassa, ”Analyysin aarrekammiossa”, merkittävänä ja kauaskantoisena esimerkkinä analyyttisestä lähestymistavasta. Sanalla porisma on useita käyttötarkoituksia: Pappuksen mukaan se tarkoittaisi tässä yhteydessä teoreemojen ja ongelmien välissä olevaa välitystyyppistä lausumaa. Eukleideen teos olisi sisältänyt 171 tällaista lausumaa ja 38 lemmaa. Pappos antaa esimerkkejä, kuten ”jos kahdesta annetusta pisteestä alkaen piirretään suorat, jotka leikkaavat tietyn suoran, ja jos toinen näistä leikkaa segmentin tietylle suoralle, toinen tekee saman toiselle suoralle, jolloin näiden kahden leikatun segmentin välillä on kiinteä suhde”. Porismin tarkan merkityksen tulkitseminen ja mahdollisesti Eukleideen teoksen lausumien palauttaminen kokonaan tai osittain Pappuksen jättämien tietojen perusteella on työllistänyt monia matemaatikkoja: tunnetuimpia yrityksiä ovat Pierre Fermat 1600-luvulla, Robert Simson 1700-luvulla ja ennen kaikkea Michel Chasles 1800-luvulla. Vaikka Chaslesin rekonstruktiota ei nykyisin oteta sellaisenaan vakavasti, se antoi matemaatikolle mahdollisuuden kehittää anharmonisen suhteen käsitettä.

Kaksi kirjaa geometrisista paikoista

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ käsitteli geometrisia paikkoja pinnoilla tai geometrisia paikkoja, jotka itse olivat pintoja. Myöhemmässä tulkinnassa on esitetty hypoteesi, jonka mukaan teos olisi voinut koskea kvadrisia pintoja. Kyseessä on myös kadonnut kahden kirjan teos, joka mainitaan Pappuksen analyysin aarrekirjassa. Proklosin tai Pappuksen antamat merkinnät näistä Eukleideen paikoista ovat epäselviä, eikä teoksessa esitettyä tarkkaa kysymystä tunneta. Antiikin kreikkalaisen matematiikan perinteessä paikat ovat pistejoukkoja, jotka todentavat tietyn ominaisuuden. Nämä joukot ovat usein suoria tai kartioleikkauksia, mutta ne voivat olla myös esimerkiksi tasaisia pintoja. Useimmat historioitsijat arvioivat, että Eukleideen paikat saattoivat olla kiertopintoja, palloja, kartioita tai sylintereitä.

Taivaan näkymät

Taivaan ilmestykset tai ilmiöt (# Φαινόμενα) on kreikankielinen sijaintitähtitiedettä käsittelevä tutkielma, joka on säilynyt kreikankielisenä. Se on varsin samankaltainen kuin Autolytoksen teos (On the Notion of the Sphere) ja käsittelee pallogeometrian soveltamista tähtitieteeseen, ja se on säilynyt kreikankielisenä useissa käsikirjoituksissa, joista vanhin on peräisin 10. vuosisadalta. Tässä tekstissä selitetään niin sanottua ”pientä tähtitiedettä”, toisin kuin Ptolemaioksen suuressa teoksessa (Almagest) käsitellyissä aiheissa. Siinä on 18 lausetta, ja se on lähellä Pitaneen Autolytoksen samasta aiheesta säilynyttä teosta.

Optiikka

Optiikka (Ὀπτικά) on vanhin säilynyt kreikkalainen tutkielma, josta on useita versioita, ja se on omistettu ongelmille, joita nykyään sanottaisiin perspektiiviksi, ja se on ilmeisesti tarkoitettu käytettäväksi tähtitieteessä, ja se on muodoltaan elementtien kaltainen: se on jatkoa 58 lauseelle, joiden todistaminen perustuu tekstin alussa esitettyihin määritelmiin ja postulaatteihin. Määritelmissään Eukleides noudattaa platonista perinnettä, jonka mukaan näkeminen johtuu silmästä lähtevistä säteistä. Eukleides kuvaa esineen näennäistä kokoa suhteessa sen etäisyyteen silmästä ja tutkii sylinterien ja kartioiden näennäisiä muotoja eri kulmista katsottuna.

Eukleides osoittaa, että samankokoisten kappaleiden näennäinen koko ei ole verrannollinen niiden etäisyyteen silmästämme (lause 8). Hän selittää esimerkiksi pallon (ja muiden yksinkertaisten pintojen) näkemisen: silmä näkee pallon keskellä pienemmän pinnan, ja vielä pienemmän osan, kun pallo on lähempänä, vaikka nähty pinta näyttäisikin suuremmalta ja nähdyn pinnan ääriviivat ovat ympyrän muotoiset. Tutkielma on erityisesti ristiriidassa eräissä koulukunnissa esitetyn näkemyksen kanssa, jonka mukaan esineiden (erityisesti taivaankappaleiden) todellinen koko on niiden näennäinen koko, se, joka nähdään.

Papo piti näitä tuloksia tärkeinä tähtitieteen kannalta ja sisällytti Eukleideen optiikan yhdessä hänen ilmiöidensä kanssa pienempien teosten kokoelmaan, joka oli tutkittava ennen Claudi Ptolemeuksen Almagestia.

Musiikkia koskeva tutkielma

Proklos omistaa Eukleidekselle musiikkia käsittelevän tutkielman (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), joka tähtitieteen tavoin kuuluu matemaattisiin tieteisiin, kuten myös teoreettinen musiikki, esimerkiksi sovelletun mittasuhteiden teorian muodossa. Kaksi pientä kirjoitusta on säilynyt kreikaksi, ja ne on sisällytetty Eukleideen antiikin painoksiin, mutta niiden tuomitseminen on epävarmaa, samoin kuin niiden mahdolliset yhteydet Elementteihin. Toisaalta näitä kahta kirjoitusta (musiikillisia intervalleja koskeva kaanonin osa ja harmoninen johdanto) pidetään ristiriitaisina, ja ainakin jälkimmäisen kirjoituksen tutkijat pitävät nykyään toisen kirjoittajan kirjoittamana.

Eukleideen virheellisesti Eukleideen syyksi luetut teokset

Katoptria (Κατοητρικά) käsittelee peilien matemaattista teoriaa, erityisesti koverissa taso- ja pallopeileissä muodostuvia kuvia. Eukleideen nimeäminen sen kirjoittajaksi on kyseenalaista; sen kirjoittaja on saattanut olla Aleksandrian Theon. Se esiintyy Eukleideen optiikkaa käsittelevässä tekstissä ja Proklosin kommentaarissa. Sitä pidetään nykyään kadonneena, ja erityisesti Catoptricusta, joka julkaistiin pitkään optiikan jatkona antiikin painoksissa, ei enää liitetä Eukleideen kirjoittamaksi; sitä pidetään myöhempänä koosteena.

Eukleides mainitaan myös mekaniikkaan liittyvien fragmenttien kirjoittajana, erityisesti vipua ja tasapainoa koskevissa teksteissä, jotka löytyvät joistakin latinankielisistä tai arabialaisista käsikirjoituksista. Nykyään pidetään epäilyttävänä, että tämä yhteys on olemassa.

Muut viitteet

lähteet

1. Euclides
2. Eukleides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
7. ^ Ball, pp. 50–62.
8. ^ Boyer, pp. 100–119.
9. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
10. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
11. Зубов, 2007, с. 510.