Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

Mary Stone | juni 23, 2023

Resumé

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (persisk: ابوعبدالله محمد بن موسی جوارزمی (Khorasmia ,ca. 780-Baghdad, ca. 850), generelt kendt som al-Khwarismi, og tidligere latiniseret som Algorithmi, var en persisk matematiker, astronom og geograf. Han var astronom og leder af biblioteket i Visdommens Hus i Bagdad omkring 820. Han anses for at være en af de største matematikere i historien.

Hans værk, Compendium of calculus by reintegration and comparison, præsenterede den første systematiske løsning af lineære og kvadratiske ligninger. En af hans vigtigste præstationer inden for algebra var hans demonstration af, hvordan man løser kvadratiske ligninger med metoden til at fuldføre kvadrater og retfærdiggøre det geometrisk. Han arbejdede også inden for trigonometri og producerede tabeller over sinus og cosinus og den første om tangenter.

Hans betydning ligger i, at han var den første, der behandlede algebra som en selvstændig disciplin og introducerede metoderne “reduktion” og “ligevægt”, og han beskrives som algebraens fader og grundlægger. Faktisk har hans latiniserede navn givet navn til flere matematiske udtryk som algoritmo og algoritmia (disciplinen, der udvikler algoritmer) og det portugisiske algarismo, der betyder ciffer, samt guarismo.

Han udmærkede sig også som geograf og astronom og reviderede Ptolemæus’ værk Geografi, og det lykkedes ham at opregne længde- og breddegrader for forskellige byer og lokaliteter. Han skrev også flere værker om astrolabiet, soluret, kalenderen og producerede flere astronomiske tabeller.

Hans arv fortsatte, da latinske oversættelser af hans værk Algoritmi de numero Indorum i det 12. århundrede hjalp med at popularisere arabiske tal i Vesten, sammen med den italienske matematiker Fibonaccis arbejde, hvilket førte til udskiftningen af det romerske talsystem med arabisk, som gav anledning til moderne numerologi. Derudover blev hans hovedværk brugt som den vigtigste afhandling om matematik, oversat af Robert af Chester i 1145, på europæiske universiteter indtil det 16. århundrede.

Man ved ikke meget om hans biografi, så meget, at der er uløste stridigheder om hans fødested. Nogle hævder, at han blev født i Bagdad. Andre, som følger Gerald Toomers artikel (selv baseret på historikeren al-Tabaris skrifter), hævder, at han blev født i den khorasmiske by Khiva (i det nuværende Usbekistan). Rashed mener, at dette er en fejlfortolkning af Toomer, som skyldes en transskriptionsfejl (manglen på forbindelsesordet wa) i en kopi af al-Tabaris manuskript. Dette vil ikke være den sidste uenighed mellem historikere, som vi vil finde i beskrivelserne af al-Khwarismis liv og værker. Han studerede og arbejdede i Bagdad i første halvdel af det 9. århundrede ved kaliffen al-Mamuns hof. For mange var han den største matematiker i sin tid.

Vi skylder hans navn og navnet på hans hovedværk, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, (حساب الجبر و المقابلة) vores ord algebra, guarisme og algoritme. Faktisk anses han for at være algebraens fader og indføreren af vores arabiske talsystem.

Omkring 815 grundlagde al-Mamun, den syvende abbasidiske kalif, søn af Harun al-Rashid, Visdommens Hus (Bayt al-Hikma) i sin hovedstad, Bagdad, en forsknings- og oversættelsesinstitution, som nogle har sammenlignet med biblioteket i Alexandria. Græske og hinduistiske videnskabelige og filosofiske værker blev oversat til arabisk. Det havde også astronomiske observatorier. Det var i dette videnskabelige og multikulturelle miljø, at al-Khwarismi blev uddannet og arbejdede sammen med andre videnskabsfolk som Banu Musa-brødrene, al-Kindi og den berømte oversætter Hunayn ibn Ishaq. To af hans værker, hans afhandlinger om algebra og astronomi, er dedikeret til kaliffen selv.

Algebra

I hans algebraafhandling Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala (حساب الجبر و المقابلة, Compendium of Calculus by Completion and Comparison), et eminent didaktisk værk, er målet at undervise i en algebra, der anvendes til at løse hverdagsproblemer i datidens islamiske imperium. Rosens oversættelse af al-Khwarismis ord, der beskriver formålet med hans bog, viser, at den lærde havde til hensigt at undervise:

… det, der er let og mest nyttigt i aritmetik, sådan som mennesker konstant har brug for i tilfælde af arv, legater, delinger, retssager og handel og i alle deres forhold til hinanden, eller når det drejer sig om opmåling af jord, gravning af kanaler, geometriske beregninger og andre genstande af forskellig art og type.

Oversat til latin af Gerardo de Cremona i Toledo blev den brugt som lærebog på europæiske universiteter indtil det 16. århundrede, og det er den første kendte afhandling, hvor der foretages en udtømmende undersøgelse af ligningers opløsning.

Efter at have introduceret de naturlige tal tager al-Khwarismi fat på det vigtigste emne i bogens første del: løsning af ligninger. Hans ligninger er lineære eller kvadratiske og består af enheder, rødder og kvadrater; for ham var en enhed f.eks. et tal, en rod var x {displaystyle x} og et kvadrat x 2 {displaystyle x^{2}} . Selvom vi i de følgende eksempler vil bruge den algebraiske notation, der var almindelig i vores tid, for at hjælpe læseren med at forstå begreberne, skal det bemærkes, at al-Khwarizmi ikke brugte symboler af nogen art, men kun ord.

Reducer først en ligning til en af seks normalformer:

Reduktionen udføres ved hjælp af operationerne al-ŷabr (“færdiggørelse”, processen med at fjerne negative termer fra ligningen) og al-muqabala (“afbalancering”, processen med at reducere positive termer af samme styrke, når de forekommer på begge sider af ligningen). Derefter viser al-Khwarismi, hvordan man løser de seks typer af ligninger ved hjælp af algebraiske og geometriske løsningsmetoder. For eksempel, for at løse ligningen x 2 … 10 x = 39 {displaystyle x^{2}+10x=39} , skriv:

… et kvadrat og ti rødder er lig med 39 enheder. Så spørgsmålet i denne type ligning lyder nogenlunde sådan her: Hvad er det kvadrat, som kombineret med ti af dets rødder vil give en samlet sum på 39. Måden at løse denne type ligning på er at tage halvdelen af de nævnte rødder. Nu er rødderne i problemet foran os ti. Derfor tager vi 5, som ganget med sig selv giver 25, en mængde, som du vil lægge til 39, hvilket giver 64. Efter at have uddraget kvadratroden af dette, som er 8, trækker vi halvdelen af rødderne, 5, fra, hvilket giver 3.

Derefter følger det geometriske bevis ved at fuldende kvadratet, som vi ikke vil diskutere her. Vi vil dog påpege, at de geometriske beviser, som al-Khwarismi brugte, er genstand for kontroverser blandt de lærde. Spørgsmålet, som stadig er ubesvaret, er, om han var bekendt med Euklids arbejde. Det bør erindres, at al-Hajjaj i al-Khwarismis ungdom og under Harun al-Rashids regeringstid havde oversat Elementerne til arabisk og var en af al-Khwarismis ledsagere i Visdommens Hus. Dette ville støtte Toomers position (op.cit.). Rashed kommenterer, at han sandsynligvis var inspireret af den nylige viden om “Elementerne”. Men Gandz på sin side fastholder, at elementerne var helt ukendte for ham. Selvom det er usikkert, om han rent faktisk kendte det euklidiske værk, er det muligt at hævde, at han var påvirket af andre geometriske værker; se Parshalls behandling af de metodiske ligheder med den hebraiske tekst Mishnat ha Middot fra midten af det andet århundrede.

Hisab al-ŷabr wa’l-muqabala fortsætter med at undersøge, hvordan aritmetikkens love omfatter dens algebraiske objekter. For eksempel viser han, hvordan man multiplicerer udtryk som ( a + b x ) ( c … d x ) {displaystyle (a+bx)(c+dx)} . Rashed (op. cit.) finder hans opløsningsformer ekstremt originale, men Crossley anser dem for mindre betydningsfulde. Gandz mener, at algebraens faderskab i langt højere grad kan tilskrives al-Khwarismi end Diophantus.

Den næste del består af anvendelser og eksempler. Den beskriver regler for at finde arealet af geometriske figurer som cirklen og rumfanget af faste stoffer som kuglen, keglen og pyramiden. Dette afsnit har helt sikkert meget større affinitet med hebraiske og indiske tekster end med noget græsk værk. Den sidste del af bogen handler om de komplekse islamiske arveregler, men kræver ikke meget af den algebra, han diskuterede tidligere, ud over at løse lineære ligninger.

Aritmetik

Af hans aritmetik, muligvis oprindeligt kaldet Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند), Bog om addition og subtraktion, i henhold til den indiske kalkule, Vi har kun bevaret en latinsk version fra det 12. århundrede, Algoritmi de numero Indorum, og en anden med titlen Liber Algoarismi oversat af Juan Hispalense, der tilhørte den toledanske oversættelsesskole, i 1133. Desværre er det kendt, at værket afviger betydeligt fra den originale tekst. Dette værk beskriver i detaljer de indo-arabiske tal, det indiske positionsnummersystem i base 10 og metoder til at foretage beregninger med det. Man ved, at der var en metode til at finde kvadratrødder i den arabiske version, men den optræder ikke i den latinske version. Han var muligvis den første til at bruge nul som en positionsindikator. Han var afgørende for indførelsen af dette talsystem i den arabiske verden, al-Andalus og senere i Europa. André Allard diskuterer nogle latinske afhandlinger fra det 12. århundrede baseret på dette tabte værk.

Som en del af det 12. århundredes bølge af arabisk videnskab, der strømmede ind i Europa gennem oversættelser, viste disse tekster sig at være revolutionerende i Europa. Al-Khwarizmis latiniserede navn, Algorismus, blev navnet på den metode, der blev brugt til beregningerne, og overlever i det moderne udtryk “algoritme”. Den erstattede gradvist de tidligere abacus-baserede metoder, der blev brugt i Europa. …

Fire latinske tekster har overlevet, som giver tilpasninger af Al-Khwarizmis metoder, selvom ingen af dem menes at være en bogstavelig oversættelse.

Dixit Algorizmi (‘Således talte Al-Khwarizmi’) er den indledende sætning i et manuskript i Cambridge University Library, som normalt omtales under titlen Algoritmi de Numero Indorum fra 1857. Den tilskrives Adelard af Bath, som også havde oversat de astronomiske tabeller i 1126. Det er måske det, der kommer tættest på Al-Khwarizmis egne skrifter.

Al-Khwarizmis arbejde med aritmetik var ansvarlig for at introducere arabiske tal, baseret på det hindu-arabiske talsystem, der blev udviklet i indisk matematik, til den vestlige verden. Udtrykket “algoritme” er afledt af algoritme, den teknik til at udføre aritmetik med indo-arabiske tal, der blev udviklet af al-Khwarizmi. Både “algoritme” og “algorisme” er afledt af de latiniserede former af al-Khwārizmīs navn, henholdsvis Algoritmi og Algorismi.

Astronomi

Af hans afhandling om astronomi, Sindhind zij, er de to versioner, han skrev på arabisk, også gået tabt. Dette værk er baseret på indiske astronomiske værker “i modsætning til senere islamiske astronomiske manualer, som brugte de græske planetmodeller i Ptolemæus’ ‘Almagest'”. Den indiske tekst, som afhandlingen er baseret på, er en af dem, der blev givet til hoffet i Bagdad omkring 770 af en diplomatisk mission fra Indien. I det 10. århundrede lavede al-Maŷriti en kritisk revision af den kortere version, som blev oversat til latin af Adelard af Bath; der findes også en latinsk oversættelse af den længere version, og begge oversættelser har overlevet til i dag. Hovedemnerne i værket er kalendere, beregning af solens, månens og planeternes sande positioner, tabeller over sinus og tangens, sfærisk astronomi, astrologiske tabeller, beregninger af parallakser og formørkelser samt månens synlighed. Rozenfel’d diskuterer et beslægtet manuskript om sfærisk trigonometri, der tilskrives al-Khwarismi.

Geografi

Inden for geografi reviderede og korrigerede han Ptolemæus’ tidligere værker om Afrika og Østen i et værk kaldet Kitab Surat al-Ard (arabisk: كتاب صورةلأرض ,Bogen om Jordens udseende eller Jordens billede), skrevet i 833. Den viser bredde- og længdegrader for 2.402 steder og placerer byer, bjerge, have, øer, geografiske regioner og floder som grundlag for et kort over den dengang kendte verden. Det omfatter kort, der generelt er mere nøjagtige end Ptolemaios’. Det er klart, at hvor al-Khwârazm havde større lokal viden til rådighed, såsom regionerne i Islam, Afrika og Fjernøsten, er værket meget mere nøjagtigt end Ptolemæus’, men han ser ud til at have brugt Ptolemæus’ data for Europa. Halvfjerds geografer siges at have arbejdet under ham på disse kort.

Der findes kun en enkelt overlevende kopi af Kitab Surat-al-Ard, som opbevares på universitetsbiblioteket i Strasbourg. En kopi oversat til latin opbevares på Biblioteca Nacional de España i Madrid.

Selvom hverken den arabiske kopi eller den latinske oversættelse indeholder verdenskortet, var Hubert Daunicht i stand til at rekonstruere et verdenskort ved hjælp af sin liste over koordinater. …

Al-Khwarizmi korrigerede Ptolemæus’ overvurdering af Middelhavets overflade (Ptolemæus anslog, at Middelhavet var 63 grader langt, mens han anslog det mere korrekte, at havet var omkring 50 grader langt. Han modsagde også Ptolemæus ved at sige, at Atlanterhavet og Det Indiske Ocean var to åbne vandmasser, ikke have. Al-Khwarizmi etablerede også den gamle verdens Greenwich-meridian på Middelhavets østkyst, 10-13 grader øst for Alexandria (Ptolemæus placerede meridianen 70 grader vest for Bagdad). De fleste muslimske geografer i middelalderen fortsatte med at bruge al-Khwarizmis Greenwich-meridian.

De fleste af de stednavne, som al-Khwarizmi bruger, falder sammen med Ptolemæus’, Martellus’ og Behaims navne. Den generelle form på kysten er den samme mellem Taprobane og Kattigara. Atlanterhavskysten ved Dragens Hale, som ikke findes på Ptolemæus’ kort, er tegnet meget lidt detaljeret på al-Khwarizmis kort, men det er tydeligt og mere præcist end på Martellus’ kort og Behaims version.

Andre værker

Ibn al-Nadims Kitāb al-Fihrist, et indeks over arabiske bøger, nævner al-Khwārizmīs Kitāb al-Taʾrīkh (en kopi var dog nået til Nusaybin i det 11. århundrede, hvor den blev fundet af metropolbiskoppen, Mar Elyas bar Shinaya. Elias’ krønike citerer ham fra “profetens død” til 169 AH, hvor Elias’ tekst findes i en lakune.

Flere arabiske manuskripter i Berlin, Istanbul, Tashkent, Cairo og Paris indeholder yderligere materiale, som med sikkerhed eller en vis sandsynlighed stammer fra al-Khwārizmī. Istanbul-manuskriptet indeholder en artikel om solure; fihristen tilskriver Kitāb ar-Rukhāma (t) (arabisk: كتاب الرخامة) til al-Khwārizmī. Andre værker, såsom et om bestemmelsen af retningen til Mekka, handler om sfærisk astronomi.

To tekster er af særlig interesse vedrørende morgenens bredde ( Ma’rifat sa’at al-mashriq fī kull balad ) og bestemmelse af azimut fra en højde ( Ma’rifat al-samt min qibal al-irtifā ‘ ).

Hans kendte arbejde suppleres af en række mindre værker om emner som astrolabiet, som han skrev to tekster om, om solure og om den jødiske kalender. Han skrev også en politisk historie, der indeholder horoskoper af fremtrædende personer.

I Khiva i Usbekistan, som ofte anses for at være hans sandsynlige fødested, står der en statue til ære for ham. Billedet viser Juarismi siddende på en bænk, i en ræsonnerende position, mens billedet ser mod jorden, som om han beregner eller læser. Et andet billede af vismanden, denne gang stående med udstrakte arme, fandtes i den usbekiske by Urgench.

Den 6. september 1983 udgav den sovjetiske regering en postserie med et mindefrimærke med den persiske vismands ansigt og påskriften “1200 år” med henvisning til de 1200 år, der er gået siden hans sandsynlige fødsel. I 2012 udgav den usbekiske regering også et frimærke til minde om Khuarismi, inspireret af den statue af vismanden, der nu står i Khiva.

Eponymi

Kilder

1. Al-Juarismi
2. Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
3. Toomer, 1990
4. a b Abbas, Youssef Ahmed. Al-jabr: atividades para vivenciar a introdução à álgebra. Universidade de Sao Paulo, Agencia USP de Gestao da Informacao Academica (AGUIA). Consultado el 21 de mayo de 2021.
5. Toomer G. J. Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā (англ.) / C. C. Gillispie — Charles Scribner’s Sons, 1970.
6. ^ Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics, p. 252. Princeton University Press. “Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi…” , “…the Al-jabr comes closer to the elementary algebra of today than the works of either Diophantus or Brahmagupta…”
7. ^ S Gandz, The sources of al-Khwarizmi’s algebra, Osiris, i (1936), 263–277,”Al-Khwarizmi’s algebra is regarded as the foundation and cornerstone of the sciences. In a sense, al-Khwarizmi is more entitled to be called “the father of algebra” than Diophantus because al-Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers.”
8. ^ Victor J. Katz, STAGES IN THE HISTORY OF ALGEBRA WITH IMPLICATIONSFOR TEACHING (PDF), in VICTOR J.KATZ, University of the District of Columbia Washington DC, USA, p. 190. URL consultato il 7 ottobre 2017 (archiviato dall’url originale il 27 marzo 2019). Ospitato su University of the District of Columbia Washington DC, USA.«The first true algebra text which is still extant is the work on al-jabr and al-muqabala by Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi, written in Baghdad around 825.»
9. Gerald J. Toomer: «Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā» (Αγγλικά) Charles Scribner’s Sons. Δεκαετία του 1970.
10. 2,0 2,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας.