Леонард Ойлер

Delice Bette | март 11, 2023

Резюме

Леонхард Ойлер (15 април 1707 г., Базел, Швейцария – 7 (18) септември 1783 г., Санкт Петербург, Руска империя) е швейцарски, пруски и руски математик и механик, който има фундаментален принос за развитието на тези науки (както и на физиката, астрономията и някои приложни науки). Заедно с Лагранж той е най-великият математик на XVIII век и е смятан за един от най-великите математици в историята. Ойлер е автор на над 850 труда (включително две дузини фундаментални монографии) по математически анализ, диференциална геометрия, теория на числата, приблизително смятане, небесна механика, математическа физика, оптика, балистика, корабостроене, теория на музиката и други теми. Изучава медицина, химия, ботаника, аеронавтика, теория на музиката и много европейски и древни езици. Академик на Санктпетербургската, Берлинската, Торинската, Лисабонската и Базелската академия на науките, чуждестранен член на Парижката академия на науките. Първият руски член на Американската академия на науките и изкуствата.

Почти половината от живота си прекарва в Русия, където има значителен принос за развитието на руската наука. През 1726 г. той е поканен да работи в Санкт Петербург, където се премества година по-късно. От 1726 г. до 1741 г. и от 1766 г. е академик на Петербургската академия на науките (от 1741 г. до 1766 г. работи в Берлин (като същевременно остава почетен член на Петербургската академия). След едногодишен престой в Русия той владее добре руски език и някои от трудовете му (особено учебниците) са публикувани на руски език. Първите руски академици-математици (С. К. Котелников) и астрономи (С. Я. Румовски) са били ученици на Ойлер.

Швейцария (1707-1727 г.)

Леонхард Ойлер е роден през 1707 г. в семейството на базелския пастор Паул Ойлер, приятел на семейство Бернули, и Маргарита Ойлер, родена Брукер. Скоро след раждането му семейството се премества в Рихенг, където момчето прекарва ранните си години. Леонард получава началното си образование у дома под ръководството на баща си (последният е учил математика при Якоб Бернули). Пасторът подготвял най-големия си син за духовна кариера, но също така го обучавал на математика, както за забавление, така и за да развие логическото му мислене, и Леонард отрано проявил математически талант.

Когато Леонард пораства, е отведен в дома на баба си в Базел, където посещава гимназия (като същевременно продължава да изучава страстно математика). През 1720 г. му е разрешено да посещава публични лекции в Базелския университет, където привлича вниманието на професор Йохан Бернули (по-малък брат на Якоб Бернули). Известният учен изпраща математически статии на младия математик за изучаване и му позволява да идва в дома му в събота следобед, за да изясни трудни въпроси.

На 20 октомври 1720 г. 13-годишният Леонхард Ойлер става студент във Факултета по изкуствата в Базелския университет. Но любовта му към математиката води Леонард по друг път. Посещавайки дома на своя учител, Ойлер се запознава и сприятелява със синовете му Даниел и Николас, които също, в съответствие със семейната традиция, изучават задълбочено математиката. През 1723 г. Ойлер получава (както е било обичайно в Базелския университет) първата си награда (primam lauream). На 8 юли 1724 г. 17-годишният Леонхард Ойлер произнася реч на латински език, в която сравнява философските възгледи на Декарт и Нютон, и получава степента магистър.

През следващите две години младият Ойлер написва няколко научни статии. Една от тях, „Дисертация по физика на звука“, е представена на конкурс за заемане на внезапно освободилия се пост на професор по физика в Базелския университет (1725 г.). Но въпреки положителната рецензия 19-годишният Ойлер е сметнат за твърде млад, за да бъде включен като кандидат за професор. По онова време броят на свободните научни длъжности в Швейцария е много малък. Затова братята Даниел и Николай Бернули отиват в Русия, където се създава Академията на науките, и обещават да кандидатстват за поста на Ойлер.

В началото на зимата на 1726-1727 г. Ойлер получава известие от Санкт Петербург: по препоръка на братята Бернули той е поканен за доцент в катедрата по физиология (тази катедра е заета от Д. Бернули) с годишна заплата от 200 рубли (Ойлер пази писмо до председателя на Академията от 9 ноември 1726 г. с благодарност за приемането в Академията). Тъй като Йохан Бернули бил известен лекар, в Русия Леонхард Ойлер, като негов най-добър ученик, също бил смятан за лекар. Ойлер обаче отлага заминаването си от Базел за пролетта, като посвещава оставащите месеци на сериозно изучаване на медицинските науки, чиито задълбочени познания по-късно ще впечатлят съвременниците му. Накрая, на 5 април 1727 г., Ойлер напуска Швейцария завинаги, въпреки че запазва швейцарското си (базелско) гражданство до края на живота си.

Русия (1727-1741 г.)

На 22 януари (2 февруари) 1724 г. Петър I одобрява проекта за Петербургската академия. На 28 януари (8 февруари 1724 г.) Сенатът издава указ за създаването на Академията. От поканените 22 професори и доценти през първите години се появяват 8 математици, които се занимават също с механика, физика, астрономия, картография, теория на корабостроенето, служба на мерките и теглилките.

Ойлер (чийто път от Базел минава през Любек, Ревел и Кронщад) пристига в Санкт Петербург на 24 май 1727 г.; няколко дни преди това императрица Екатерина I, покровителка на Академията, умира и учените изпадат в униние и объркване. На Ойлер помагат да свикне с новото си място колегите му от Базел: академиците Даниил Бернули и Якоб Херман; последният, като професор в катедрата по висша математика, е далечен роднина на младия учен и му предлага всякакви покровителства. Ойлер е назначен за доцент по висша математика (а не по физиология, както е било планирано първоначално), въпреки че провежда изследвания в областта на динамиката на флуидите в Санкт Петербург, получава заплата от 300 рубли годишно и му е осигурена квартира.

В рамките на няколко месеца след пристигането си в Санкт Петербург Ойлер започва да говори свободно руски език.

През 1728 г. започва да излиза първото руско научно списание „Коментари на Петербургската академия на науките“ (на латински език). Още във втория том се съдържат три статии на Ойлер, а през следващите години почти всеки брой на академичния годишник включва по няколко негови нови труда. Общо в това издание са публикувани повече от 400 статии на Ойлер.

През септември 1730 г. изтичат договорите на академиците Й. Херман (катедра по математика) и Х. Б. Билфингер (катедра по експериментална и теоретична физика). Херман (катедра по математика) и Г. Б. Билфингер (катедра по експериментална и теоретична физика). На овакантените от тях места са одобрени Даниил Бернули и Леонард Айлер, като на последния е изплатено възнаграждение до 400 рубли, а на 22 януари 1731 г. получава официално длъжността професор. Две години по-късно (1733 г.) Даниел Бернули се завръща в Швейцария, а Ойлер, напускайки катедрата по физика, заема неговото място, като става академик и професор по висша математика със заплата от 600 рубли (Даниел Бернули обаче получава два пъти повече).

На 27 декември 1733 г. 26-годишният Леонхард Ойлер се жени за своята връстница Катарина (на немски: Katharina Gsell), дъщеря на академичния художник Георг Гсел (швейцарец от Санкт Петербург). Двойката купува къща на набрежието на Нева, където се установява. Семейство Елер има 13 деца, но оцеляват трима сина и две дъщери.

Младият професор имал много работа: картография, всевъзможни изпити, консултации за корабостроители и артилеристи, изготвяне на наръчници за обучение, проектиране на противопожарни помпи и др. От него се изисквало дори да съставя хороскопи, които Ойлер с необходимия такт препращал към щатния астроном. Александър Пушкин привежда романтична история: уж Ойлер съставил хороскоп за новородения княз Йоан Антонович (1740 г.), но резултатът така го уплашил, че не го показал на никого, а едва след смъртта на нещастния княз разказал за него на граф К. Г. Разумовски. Автентичността на този исторически анекдот е силно съмнителна.

По време на първия си период в Русия той написва повече от 90 важни научни статии. Голяма част от академичните „Записки“ е запълнена със съчинения на Ойлер. Той изнася доклади на научни семинари, изнася публични лекции и участва в различни технически поръчки на държавни институции. През 30-те години на XIX в. Ойлер ръководи работата по картографирането на Руската империя, която (след заминаването на Ойлер през 1745 г.) завършва с публикуването на атласа на страната. Както съобщава Н. И. Фюс, през 1735 г. на Академията била поставена задача да се извърши спешно и много тромаво математическо изчисление и група академици поискали три месеца, но Ойлер се заел с работата за 3 дни – и успял да я свърши сам; пренапрежението обаче не минало безследно: той се разболял и загубил зрението на дясното си око. Самият Ойлер обаче в едно от писмата си обяснява загубата на окото си с работата си като картограф в географския отдел на Академията.

Двутомният труд „Механика, или аналитично изложена наука за движението“, публикуван през 1736 г., донася на Ойлер всеобща европейска слава. В тази монография Ойлер успешно прилага методите на математическия анализ за общото решаване на задачите за движение в празно пространство и в съпротивителна среда.

Една от най-важните задачи на Академията е обучението на домашен персонал, за което към нея са създадени университет и гимназия. Поради острия недостиг на учебници по руски език Академията помолила своите членове да съставят такива ръководства. Ойлер съставил на немски език много доброкачествено „Ръководство по аритметика“, което веднага било преведено на руски език и в продължение на няколко години служило като основен учебник. Преводът на първата част е направен през 1740 г. от Василий Адодуров, първият руски придружител на Академията и ученик на Ойлер.

Ситуацията се влошава, когато императрица Анна Йоановна умира през 1740 г. и младият Йоан VI е обявен за император. „Предстоеше да се случи нещо опасно“, пише по-късно Ойлер в автобиографията си. – След смъртта на достопочтената императрица Анна по време на последвалото регентство … ситуацията започна да се представя като несигурна. И наистина, по време на регентството на Анна Леополдовна Петербургската академия окончателно изпаднала в немилост. Ойлер започва да обмисля варианта да се върне у дома или да се премести в друга държава. В крайна сметка той приема предложението на пруския крал Фридрих, който го кани при много благоприятни условия в Берлинската академия на поста директор на нейния математически отдел. Академията се основава на Пруското кралско дружество, основано от Лайбниц, но което по това време е в окаяно състояние.

Прусия (1741-1766)

Ойлер подава оставката си пред ръководството на Академията в Санкт Петербург:

Поради тази причина съм принуден, както поради влошено здраве, така и поради други обстоятелства, да потърся по-приятен климат и да приема поканата на Негово Кралско Пруско Величество. По тази причина моля Императорската академия на науките любезно да ме уволни и да предостави на мен и на семейството ми необходимия паспорт за пътуването ми.

На 29 май 1741 г. е получено разрешението на Академията. Ойлер е „освободен“ и утвърден за почетен член на Академията със заплата от 200 рубли. През юни 1741 г. 34-годишният Леонхард Ойлер със съпругата си, двамата си сина и четирима племенници пристига в Берлин. Той прекарва там 25 години и публикува около 260 труда.

Първоначално Ойлер е приет любезно в Берлин, дори е поканен на придворни балове. Маркиз Кондорсе си спомня, че скоро след преместването си в Берлин Ойлер е бил поканен на един бал. Попитан от кралицата майка защо е толкова мълчалив, Ойлер отговаря: „Дойдох от страна, в която всеки, който говори, бива обесен“.

Ойлер имал много работа за вършене. Освен с математически изследвания, той ръководи обсерватория и се занимава с много практически въпроси, сред които производството на календари (основен източник на приходи за Академията), сеченето на пруски монети, полагането на нов водопровод и организирането на пенсии и лотарии.

През 1742 г. е публикувана четиритомна колекция от съчиненията на Йохан Бернули. Когато го изпраща от Базел на Ойлер в Берлин, старият учен пише на своя ученик: „Посветих се на детството на висшата математика. Ти, приятелю мой, ще продължиш нейното формиране в зряла възраст.“ По време на берлинския период един след друг излизат трудовете на Ойлер: „Въведение в анализа на безкрайно малките величини“ (1748), „Наука за морето“ (1749), „Теория на движението на Луната“ (1753), „Учебник по диференциално смятане“ (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Многобройни статии по избрани въпроси са отпечатани в изданията на Берлинската и Петербургската академия. През 1744 г. Ойлер открива вариационното смятане. В трудовете си той използва сложна терминология и математически символи, които до голяма степен са се запазили и до днес, и довежда изложението си до нивото на практическите алгоритми.

През годините, прекарани в Германия, Ойлер поддържа връзка с Русия. Той участва в изданията на Петербургската академия, купува книги и инструменти за нея и редактира математическите раздели на руските списания. В апартамента му, на пълен пансион, години наред живеят млади руски учени, изпратени на обучение. Известна е оживената кореспонденция на Ойлер с М. В. Ломоносов; през 1747 г. той дава положително мнение на председателя на Академията на науките граф К. Г. Разумовски за статиите на Ломоносов по физика и химия, като заявява

Всички тези тезиси са не само добри, но и много отлични, защото той пише за материята на физиката и химията много необходимо, което досега не беше известно и не можеше да се тълкува от най-остроумните хора, което той направи с такъв успех, че аз съм напълно уверен в справедливостта на неговите обяснения. В този случай трябва да се отдаде дължимото на г-н Ломоносов за това, че притежава отличен талант за тълкуване на физични и химични явления. Трябва да се надяваме, че и другите академии ще успеят да направят такива разкрития, каквито показа г-н Ломоносов.

На тази висока оценка не пречи дори фактът, че Ломоносов не е писал математически трудове и не е познавал висшата математика. Въпреки това през 1755 г. в резултат на нетактичността на Ломоносов, който публикува без разрешението на Ойлер свое частно писмо в негова подкрепа, Ойлер прекратява всички отношения с него. Отношенията са възстановени през 1761 г., тъй като Ломоносов улеснява завръщането на Ойлер в Русия.

Майка му съобщава на Ойлер за смъртта на баща му в Швейцария (скоро тя се премества при Ойлер (умира през 1761 г.). През 1753 г. Ойлер купува имение в Шарлотенбург (предградие на Берлин) с градина и парцел, където да настани голямото си семейство.

Според съвременниците му Ойлер остава скромен, весел, изключително симпатичен и винаги готов да помогне на другите. Отношенията му с краля обаче не се развиват добре: Фридрих намира новия математик за непоносимо скучен, напълно необщителен и се отнася към него презрително. През 1759 г. Маупертуис, председател на Берлинската академия на науките и приятел на Ойлер, умира. Крал Фридрих II предлага поста президент на Академията на Д’Алумбер, но той отказва. Фридрих, който не харесва Ойлер, все пак му поверява ръководството на Академията, но без титлата президент.

По време на Седемгодишната война фелдмаршал Салтиков веднага изплаща загубите, а по-късно императрица Елисавета изпраща още 4000 рубли от себе си.

През 1765 г. е публикувана „Теория на движението на твърдите тела“, а година по-късно – „Елементи на вариационното смятане“. Именно тук за първи път се появява името на новия раздел от математиката, създаден от Ойлер и Лагранж.

През 1762 г. Екатерина II се възкачва на руския престол и провежда политика на просветен абсолютизъм. Добре осъзнавайки значението на науката за напредъка на държавата и за собствения си престиж, тя извършва редица важни промени в системата на общественото образование и култура, благоприятни за науката. Императрицата предлага на Ойлер ръководството на математически клас, титлата секретар на конференцията на Академията и заплата от 1800 рубли годишно. А ако това не ви хареса – се казва в писмото до нейния представител, – тя с удоволствие ще ви съобщи условията си, стига да не се колебаете да дойдете в Санкт Петербург“.

В отговор Ойлер съобщава своите условия:

Всички тези условия бяха приети. На 6 януари 1766 г. Екатерина информира граф Воронцов:

Писмото на господин Ойлер до Вас ми достави голямо удоволствие, защото от него научих желанието му да се върне на служба при мен. Разбира се, смятам, че той е напълно достоен за желаната титла заместник-председател на Академията на науките, но за това трябва да се вземат някои мерки, преди да утвърдя тази титла – казвам утвърдя, тъй като досега тя не съществуваше. При сегашното положение на нещата няма пари за заплата от 3000 рубли, но за човек с такива заслуги като господин Ойлер ще добавя към академичната заплата от държавните приходи, които заедно възлизат на необходимите 3000 рубли… Сигурен съм, че моята Академия ще се издигне от пепелта на такава важна придобивка и предварително се поздравявам, че съм върнал на Русия един велик човек.

По-късно Ойлер поставя редица други условия (годишна пенсия от 1000 рубли за съпругата му след смъртта му, компенсация на пътните разходи, място за лечение на сина му и звание за самия Ойлер). Екатерина удовлетворява и тези условия на Ойлер, с изключение на искането за ранг, като на шега казва: „(във френския вариант на писмото колегиалният съветник е зачеркнат), ако не се страхувах, че този ранг щеше да го направи равен на толкова много хора, които не са достойни за г-н Ойлер. Наистина, неговата слава е по-добра от званието, за да му отдадем дължимото уважение“.

Ойлер подава молба до краля за освобождаване от служба, но не получава отговор. Той подава молба отново, но Фридрих дори не желае да обсъжда въпроса за напускането му. Решаваща подкрепа за Ойлер оказват настойчивите молби на руското представителство от името на императрицата. На 2 май 1766 г. Фридрих най-накрая дава разрешение на великия учен да напусне Прусия, макар че не може да се въздържи от язвителни шеги по адрес на Ойлер в кореспонденцията си (така на 25 юли той пише на Д’Аламберто: „Господин Ойлер, който безумно обичаше Голямата и Малката купа, се премести по-близо до север за удобство при наблюдението им“). Вярно е, че той служи като подполковник от артилерията (по-късно, благодарение на застъпничеството на Екатерина II, все пак успява да се присъедини към баща си и е повишен в генерал-лейтенант в руската армия. През лятото на 1766 г. Ойлер се завръща в Русия – вече за постоянно.

Отново Русия (1766-1783 г.)

На 17 (28) юли 1766 г. 60-годишният Ойлер, семейството му и домакинството (общо 18 души) пристигат в руската столица. Веднага след пристигането си той е приет от императрицата. Екатерина II го посреща като августейша особа и го обсипва с благодеяния: отпуска 8000 рубли за закупуване на къща на остров Василиевски и за закупуване на обзавеждане, предоставя за първи път един от готвачите си и му възлага да подготви съображения за реорганизация на Академията.

За съжаление след завръщането си в Санкт Петербург Ойлер получава катаракта на единственото си останало ляво око и скоро ослепява окончателно. Вероятно поради тази причина той така и не получава обещания пост на заместник-председател на Академията (което не попречва на Ойлер и неговите потомци да участват в управлението на Академията в продължение на почти сто години). Въпреки това слепотата не повлияла на работоспособността на учения; той само отбелязал, че сега по-малко ще се разсейва с математиката. Преди да се сдобие със секретарка, Ойлер диктувал работата си на едно дребно момче, което записвало всичко на немски език. Броят на публикуваните му трудове дори се увеличава; по време на втория си престой в Русия Ойлер диктува повече от 400 статии и 10 книги, което е повече от половината от творческото му наследство.

През 1768-1770 г. той публикува класическата си двутомна монография „Универсална аритметика“ (публикувана също като „Елементи на алгебрата“ и „Пълен курс по алгебра“). Този труд е публикуван за първи път на руски език (1768-1769 г.), а две години по-късно излиза и немско издание. Книгата е преведена на много езици и е преиздавана около 30 пъти (три пъти на руски език). Всички последващи учебници по алгебра са силно повлияни от книгата на Ойлер.

През същите години той публикува тритомния си труд Dioptrica (1769-1771), посветен на системите от лещи, и фундаменталния труд Institutiones calculi integralis (1768-1770), също в три тома.

„Писма по различни физични и философски въпроси, написани до една германска принцеса“ (1768 г.) на Ойлер стават много популярни през XVIII в., а отчасти и през XIX в. (1768 г.), която има повече от 40 издания на 10 езика (включително 4 издания на руски език). Това е научно-популярна енциклопедия с широк обхват, написана нагледно и общодостъпно.

През 1771 г. в живота на Ойлер се случват две сериозни събития. През май в Санкт Петербург избухва голям пожар, който унищожава стотици сгради, включително къщата и почти цялото имущество на Ойлер. Самият учен едва се спасява. Всички ръкописи били спасени от пожара; изгоряла само част от неговата „Нова теория за движението на Луната“, но тя бързо била възстановена с помощта на Ойлер, който до дълбока старост запазил феноменалната си памет. Ойлер трябвало временно да се премести в друга къща. Второто събитие: през септември същата година по специална покана на императрицата в Санкт Петербург пристига известният немски офталмолог барон Венцел, за да лекува Ойлер. След прегледа той се съгласява да извърши операция на Ойлер и отстранява катаракта от лявото му око. Ойлер отново може да вижда. Лекарят предписал да пази окото си от ярка светлина, да не пише, да не чете – просто постепенно да свикне с новото състояние. Но в рамките на няколко дни след операцията Ойлер свалил превръзката и скоро отново загубил зрението си. Този път завинаги.

1772 г.: „Нова теория за движението на Луната“. Ойлер най-накрая завършва дългогодишната си работа, като решава приблизително задачата за трите тела.

През 1773 г., по препоръка на Даниел Бернули, в Санкт Петербург от Базел пристига ученикът на Бернули – Николаус Фус. Това е голям късмет за Ойлер. Фус, надарен математик, поема математическата работа на Ойлер веднага след пристигането си. Скоро Фус се жени за внучката на Ойлер. През следващите десет години – до смъртта си – Ойлер предимно му диктува работите си, въпреки че понякога използва „очите на най-големия си син“ и на други свои ученици. През същата 1773 г. умира съпругата на Ойлер, с която той живее почти 40 години. Смъртта на съпругата му е болезнен удар за учения, който е бил искрено привързан към семейството си. Скоро Ойлер се жени за Саломе Абигейл, полусестра на покойната му съпруга.

„Обща сферична тригонометрия“ е публикувана през 1779 г. и е първото пълно изложение на цялата система на сферичната тригонометрия.

Ойлер работи активно до последните си дни. През септември 1783 г. 76-годишният учен започва да изпитва главоболие и слабост. На 7 (18) септември, след вечеря, прекарана със семейството му, в разговор с академик А. И. Лексел за новооткритата планета Уран и нейната орбита, той внезапно се почувствал зле. Ойлер успява да изрече: „Умирам“ и губи съзнание. Няколко часа по-късно, без да дойде в съзнание, той умира от мозъчен кръвоизлив.

„Той спря да смята и заживя“, казва Кондорсе на едно траурно заседание на Парижката академия на науките (фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Погребан е в Смоленското лютеранско гробище в Санкт Петербург. Надписът върху паметника на немски език гласи: „Тук лежат тленните останки на световноизвестния Леонхард Ойлер, мъдрец и праведник. Роден на 4 април 1707 г. в Базел, той умира на 7 септември 1783 г.“. След смъртта на Ойлер гробницата му е изгубена и е намерена в изоставено състояние едва през 1830 г. През 1837 г. Академията на науките заменя тази надгробна плоча с нова гранитна надгробна плоча (която все още стои) с надпис на латински език „Leonhard Euler – Academia Petropolitana“ (лат. Леонхард Ойлер – Academia Petropolitana).

По време на честването на 250-годишнината от рождението на Ойлер (1957 г.) прахът на великия математик е пренесен в „Некропола на XVIII век“ в Лазаревското гробище на Александро-Невската лавра, където се намира в близост до гроба на М. В. Ломоносов.

Ойлер оставя важни трудове в различни области на математиката, механиката, физиката, астрономията и редица приложни науки. Знанията на Ойлер са енциклопедични; освен математиката той изучава ботаника, медицина, химия, теория на музиката и много европейски и древни езици.

Ойлер с готовност участва в научни дискусии, от които е най-известен:

Във всички споменати случаи позицията на Ойлер е подкрепена от съвременната наука.

Математика

В областта на математиката 18-и век е епохата на Ойлер. Докато преди него постиженията в математиката са били разпръснати и невинаги последователни, Ойлер за първи път свързва анализа, алгебрата, геометрията, тригонометрията, теорията на числата и други дисциплини в единна система, като добавя и много свои собствени открития. Оттогава голяма част от математиката се преподава „по Ойлер“ почти без промяна.

Благодарение на Ойлер математиката включва общата теория на редиците, фундаменталната „формула на Ойлер“ в теорията на комплексните числа, операцията за сравнение modulo, пълната теория на непрекъснатите дроби, аналитичната основа на механиката, множество техники за интегриране и решаване на диференциални уравнения, числото e, означението i за имагинерна единица, редица специални функции и много други.

Всъщност именно Ойлер създава няколко нови математически дисциплини – теория на числата, вариационно смятане, теория на комплексните функции, диференциална геометрия на повърхностите; той полага основите на теорията на специалните функции. Другите му области на дейност включват диофантов анализ, математическа физика, статистика и др.

Историкът на науката Клифърд Трюсдел пише: „Ойлер е първият учен в западната цивилизация, който пише за математиката на ясен и лесен за четене език“. Биографите отбелязват, че Ойлер е бил виртуозен алгоритмист. Той неизменно се опитва да доведе откритията си до нивото на конкретни изчислителни методи и е майстор на числените изчисления. Ж. Кондорсе разказва, че веднъж двама студенти, които независимо един от друг извършвали сложни астрономически изчисления, получили малко по-различни резултати в 50-ия знак и помолили Ойлер за помощ. Ойлер направил същите изчисления на ум и посочил верния резултат.

П. Л. Чебишев пише: „Ойлер положи основите на всички изследвания, които съставляват общата теория на числата“. Повечето от математиците на XVIII в. се занимават с развитието на анализа, но Ойлер пренася страстта към древната аритметика през целия си живот. Благодарение на неговите трудове интересът към теорията на числата се възражда към края на века.

Ойлер продължил изследванията на Ферма, който по-рано (под влиянието на Диофант) изказал редица разпръснати хипотези за естествените числа. Ойлер доказва стриктно тези хипотези, обобщава ги значително и ги обединява в една смислена теория на числата. Той въвежда изключително важната „функция на Ойлер“ в математиката и я използва за формулиране на „теоремата на Ойлер“. Той опровергава хипотезата на Ферма, че всички числа от вида F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} са прости; оказва се, че F 5 {displayystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} се дели на 641. Доказано е твърдението на Ферма за представянето на нечетно просто число като сума от два квадрата. Дал едно от решенията на задачата за четири куба. Доказал, че числото на Мерсен 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – е просто число; в продължение на почти сто години (до 1867 г.) то остава най-голямото известно просто число.

Ойлер създава основата на теорията на сравненията и квадратичните дедукции, като определя критерия за решимост на последната. Ойлер въвежда понятието „първоначален корен“ и изказва хипотезата, че за всяко просто число p има първоначален корен модуло p; той не успява да го докаже, но по-късно Лежандр и Гаус доказват теоремата. Другото предположение на Ойлер – законът за квадратичната реципрочност, също доказан от Гаус, е от голямо значение за теорията. Ойлер доказва голямата теорема на Ферма за n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} , създава пълна теория на непрекъснатите дроби, изследва различни класове дифеоморфни уравнения и теорията на делението на числата на членове.

В задачата за броя на дяловете на едно естествено число n {displaystyle n} получихме формулата, изразяваща производната функция на броя на дяловете p ( n ) {displaystyle p(n)} {display p(n ) чрез безкрайното произведение на

Ойлер дефинира функцията дзета, чието обобщение по-късно е наречено Риман:

където s {displaystyle displaystyle s} е реално число (при Риман то е комплексно). Ойлер извежда разлагане за него:

където произведението е взето от всички прости числа p {displaystyle displaystyle p} . По този начин той открива, че в теорията на числата е възможно да се прилагат методите на математическия анализ, което дава началото на аналитичната теория на числата, която се основава на тъждеството на Ойлер и общия метод на производните на функциите.

Един от основните приноси на Ойлер към науката е монографията му „Въведение в анализа на безкрайните величини“ (1748 г.). През 1755 г. е публикувано допълненото „Диференциално изчисление“, а през 1768-1770 г. са издадени три тома на „Интегрално изчисление“. В своята съвкупност това е фундаментален, добре илюстриран курс със сложна терминология и символика. „Можем спокойно да кажем, че голяма част от това, което сега се преподава в курсовете по висша алгебра и висш анализ, е в трудовете на Ойлер“ (Н. Н. Лузин). Ойлер е първият, който дава систематична теория на интегрирането и използваните в него техники. По-специално той е автор на класическия метод за интегриране на рационални функции чрез разлагането им на прости дроби и на метода за решаване на диференциални уравнения от произволен ред с постоянни коефициенти.

Ойлер винаги е обръщал особено внимание на методите за решаване на диференциални уравнения, както обикновени, така и частични производни, като е открил и описал важни класове интегрируеми диференциални уравнения. Той разработва метода на Ойлер на начупените линии (1768 г.), числов метод за решаване на системи обикновени диференциални уравнения. Заедно с А. К. Клеро извежда условията за интегрируемост на линейни диференциални форми на две или три променливи (1739 г.). Получава сериозни резултати в теорията на елиптичните функции, включително първите теореми за събиране на елиптични интеграли (1761). Той е първият, който изследва максимумите и минимумите на функции на много променливи.

Основата на естествените логаритми е известна още от времето на Непер и Якоб Бернули, но Ойлер извършва толкова задълбочено изследване на тази най-важна константа, че тя е наречена на негово име. Друга константа, която той изследва: константата на Ойлер-Машерони.

Негова заслуга е и съвременното определение на експоненциалната, логаритмичната и тригонометричната функция, както и тяхната символика и обобщаването им за сложния случай. Формулите, които често се споменават в учебниците като „условия на Коши-Риман“, би било по-правилно да се наричат „условия на Д’Аламбер-Ойлер“.

Той споделя с Лагранж честта да открие вариационното смятане, като записва уравненията на Ойлер-Лагранж за общата вариационна задача. През 1744 г. Ойлер публикува своя трактат „Метод за намиране на криви…“. – първият труд по вариационно смятане (той съдържа, наред с други неща, първото систематично изложение на теорията на еластичните криви и резултати за съпротивлението на материалите).

Ойлер значително усъвършенства теорията на редиците и я разширява до комплексната област, като дава известната формула на Ойлер, която дава тригонометричното представяне на едно комплексно число. Математическият свят е силно впечатлен от редиците, обобщени за първи път от Ойлер, включително и от обратната квадратна редица, която никой преди него не е успял да направи:

Ойлер използва редици за изучаване на трансцендентни функции, т.е. функции, които не се изразяват с алгебрично уравнение (например интегралния логаритъм). Той открива (1729-1730 г.) „интегралите на Ойлер“ – специални функции, които сега навлизат в науката като гама и бета функциите на Ойлер. През 1764 г., когато решава задачата за трептенията на еластична мембрана (възникнала при определянето на височината на звука на чайните), Ойлер пръв въвежда функциите на Бесел за всеки естествен показател (изследванията на Ф. В. Бесел, чието име сега носят тези функции, датират от 1824 г.).

От по-късна гледна точка действията на Ойлер с безкрайните редове невинаги могат да се смятат за правилни (обосновката на анализа е извършена едва половин век по-късно), но феноменалната му математическа интуиция почти винаги му подсказва правилния резултат. В много важни отношения обаче прозрението му изпреварва времето си – например предложеното от него обобщено разбиране за сумата на разнопосочните редове и операциите върху тях служи за основа на съвременната теория на тези редове, разработена в края на XIX и началото на XX век.

В елементарната геометрия Ойлер открива няколко факта, които не са отбелязани от Евклид:

Вторият том на „Въведение в анализа на безкрайните числа“ (1748 г.) е първият в света учебник по аналитична геометрия и основи на диференциалната геометрия. Ойлер дава класификация на алгебричните криви от 3-ти и 4-ти ред, както и на повърхнините от втори ред. В тази книга за първи път е въведен терминът „афинни трансформации“, както и теорията на тези трансформации. През 1732 г. Ойлер извежда общото уравнение на геодезическите линии върху повърхнина.

През 1760 г. е публикуван фундаменталният труд „Изследвания върху кривината на повърхностите“. Ойлер открива, че във всяка точка на гладка повърхнина има две нормални сечения с минимален и максимален радиус на кривина и че техните равнини са взаимно перпендикулярни. Той извежда формула за връзката между кривината на сечението на повърхността и главните кривини.

През 1771 г. Ойлер публикува труда си „За телата, чиято повърхност може да се разгъне върху равнина“. В този труд се въвежда понятието „разгъваема повърхност“, т.е. повърхност, която може да бъде наложена върху равнина без гънки или прекъсвания. Ойлер обаче дава тук една доста обща теория на метриките, от която зависи цялата вътрешна геометрия на повърхността. По-късно той превръща изучаването на метриките в основен инструмент на теорията на повърхнините.

Във връзка със задачите на картографията Ойлер задълбочено изследва конформните изображения, прилагайки за първи път инструментите на комплексния анализ.

Ойлер обръща голямо внимание на представянето на естествените числа като суми от специален вид и формулира редица теореми за изчисляване на броя на дяловете. При решаването на комбинаторни задачи той задълбочено изучава свойствата на комбинациите и пермутациите и въвежда числата на Ойлер.

Ойлер изследва алгоритми за построяване на магически квадрати чрез обхождане на шахматни коне. Два от трудовете му (1776, 1779 г.) полагат основите на общата теория на латинските и гръцко-латинските квадрати, чиято голяма практическа стойност става ясна след създаването на методите за планиране на експерименти от Роналд Фишер, както и в теорията на кодовете за коригиране на грешки.

Статията на Ойлер от 1736 г. „Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis“ (Решаване на проблеми с геометрията) поставя началото на теорията на графите като математическа дисциплина. Като отправна точка за изследването възниква проблемът за мостовете в Кьонигсберг: може ли човек да премине по всеки мост веднъж и да се върне в началната точка? Ойлер го формализира, като го свежда до проблема за съществуването в граф (чиито върхове съответстват на части от града, разделени от разклонения на река Преголя, а ребрата – на мостове) на цикъл или път, преминаващ през всяко ребро точно веднъж (в съвременната терминология съответно на Ойлеров цикъл и Ойлеров път). Решавайки последната задача, Ойлер показал, че за да съществува в граф един Ойлеров цикъл, неговата степен (броят на ребрата, напускащи върха) трябва да е четна за всеки връх, а Ойлеровият път трябва да е четен за всички върхове, освен за два (в задачата за мостовете на Кьонигсберг това не е така: степените са 3, 3, 3 и 5).

Ойлер има значителен принос към теорията и методите на приблизителното изчисление. Той е първият, който прилага аналитични методи в картографията. Той предлага удобен метод за графично изобразяване на връзки и операции върху множества, наречен „кръгове на Ойлер“ (или „Ойлер-Вене“).

Механика и физика

Много от трудовете на Ойлер са посветени на различни клонове на механиката и физиката. По повод ключовата роля на Ойлер за превръщането на механиката в точна наука К. Трюсдел пише: „Механиката, както се преподава днес на инженерите и математиците, е до голяма степен негово творение“.

През 1736 г. е публикуван двутомният трактат на Ойлер „Механика, или наука за движението, в аналитичен вид“, който бележи нов етап в развитието на тази древна наука и е посветен на динамиката на материалната точка. За разлика от основоположниците на този клон на динамиката Галилей и Нютон, които използвали геометрични методи, 29-годишният Ойлер предложил редовен и единен аналитичен метод за решаване на различни задачи на динамиката: съставяне на диференциални уравнения на движението на материален обект и последващото им интегриране при дадени начални условия.

Първият том на трактата разглежда движението на свободна материална точка, вторият – на собствена точка, като е изследвано и движението в празно пространство, както и в съпротивителна среда. Отделно са разгледани проблемите на балистиката и теорията на махалото. Тук Ойлер за първи път записва диференциалното уравнение на праволинейното движение на точка, а за общия случай на криволинейното движение въвежда естествените уравнения на движението – уравнения в проекции върху осите на придружаващия триедър. В много конкретни задачи той завършва интегрирането на уравненията на движението докрай; в случаите на движение на точка без съпротивление той систематично използва първия интеграл от уравненията на движението – интеграла на енергията. Във втория том, във връзка със задачата за движение на точка върху произволно извита повърхнина, е представена диференциалната геометрия на повърхнините, създадени от Ойлер.

По-късно Ойлер се връща към динамиката на материалната точка. През 1746 г., изследвайки движението на материална точка върху движеща се повърхност, той стига (едновременно с Д. Бернули и П. Дарси) до теоремата за изменението на ъгловия момент. През 1765 г. Ойлер, използвайки идеята, изказана през 1742 г. от К. Макларън, за разлагане на скоростите и силите по три фиксирани координатни оси, за първи път записва диференциалните уравнения на движението на материална точка в проекции върху декартовите фиксирани оси.

Последният резултат е публикуван от Ойлер във втория му фундаментален трактат по аналитична динамика – книгата „Теория на движението на твърдите тела“ (1765 г.). Основното ѝ съдържание обаче е посветено на друг раздел от механиката – динамиката на твърдите тела, чийто основоположник е Ойлер. Трактатът съдържа по-специално извеждането на система от шест диференциални уравнения на движението на свободно твърдо тяло. Теоремата за свеждането на системата от сили, приложени към твърдо тяло, до две сили, изложена в § 620 от трактата, е важна за статиката. Като проектира условията за равенство на тези сили към нула върху координатните оси, Ойлер за първи път получава уравненията на равновесие на твърдо тяло под действието на произволна пространствена система от сили.

В трактата от 1765 г. са изложени и редица фундаментални резултати на Ойлер, свързани с кинематиката на твърдите тела (през XVIII в. кинематиката все още не е обособена като отделен клон на механиката). Сред тях можем да откроим формулите на Ойлер за разпределението на скоростите на точките на абсолютно твърдо тяло (векторният еквивалент на тези формули е кинематичната формула на Ойлер) и кинематичните уравнения на Ойлер, които дават производните на ъглите на Ойлер (използвани в механиката за определяне на ориентацията на твърдо тяло) чрез проекциите на ъгловата скорост върху координатни оси.

В допълнение към този трактат, две по-ранни работи на Ойлер са от значение за динамиката на твърдите тела: „Изследвания върху механичното познание на телата“ и „Въртеливото движение на твърдите тела около променлива ос“, които са представени на Берлинската академия на науките през 1758 г., но са публикувани в нейните „Записки“ по-късно (през същата 1765 г. като трактата). В тях: е разработена теорията на инерционните моменти (установено е съществуването на поне три оси на свободно въртене във всяко твърдо тяло с неподвижна точка; получени са динамичните уравнения на Ойлер, описващи динамиката на твърдо тяло с неподвижна точка; дадено е аналитично решение на тези уравнения в случай на нулев главен момент на външната сила (случай на Ойлер) – един от трите общи случая на интегралност в проблема за динамиката на твърдо тяло с неподвижна точка.

В статията „Общи формули за произволно преместване на твърдо тяло“ (1775 г.) Ойлер формулира и доказва основната теорема на Ойлер за въртенето, според която произволното преместване на абсолютно твърдо тяло с неподвижна точка е завъртане с определен ъгъл около ос, минаваща през неподвижната точка.

На Ойлер се приписва аналитичната формулировка на принципа на най-малкото действие (предложен през 1744 г. – в много размита форма – от П. Л. Мопертюис), правилното разбиране на условията за приложимост на принципа и първото му доказателство (проведено през същата 1744 г. за случая на една материална точка, движеща се под действието на централна сила). Действието тук (т.нар. съкратено действие, а не Хамилтоново действие) по отношение на системата от материални точки се разбира като интеграл

където A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – две конфигурации на системата, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – съответно маса, алгебрична скорост и елемент на дъгата на траекторията i {displaystyle i} -та точка, n {displaystyle n} – е броят на точките.

В резултат на това в науката навлиза принципът на Мьопертюи-Ойлер, първият от поредицата интегрални вариационни принципи на механиката; по-късно той е обобщен от Ж. Л. Лагранж и сега обикновено се разглежда като една от формите (формата на Мьопертюи-Ойлер, разглеждана заедно с формата на Лагранж и формата на Якоби) на принципа на Мьопертюи-Лагранж. Въпреки определящия си принос, в дискусията, възникнала около принципа на най-малкото действие, Ойлер категорично се застъпва за приоритета на Мопертюи и изтъква фундаменталното значение на този принцип в механиката. Тази идея привлича вниманието на физиците, които през XIX и XX в. откриват фундаменталната роля на вариационните принципи в природата и прилагат вариационния подход в много части на своята наука.

Редица трудове на Ойлер са посветени на механиката на машините. В мемоара си „За най-изгодното приложение на простите и сложните машини“ (1747 г.) Ойлер предлага да се изследват машините не в състояние на покой, а в състояние на движение. Този нов, „динамичен“ подход Ойлер обосновава и развива в мемоара си „За машините изобщо“ (в него той пръв в историята на науката посочва трите съставни части на машините, които през XIX в. се определят като двигатели, зъбни колела и работни части. В мемоара си „Принципи на теорията на машините“ (1763 г.) Ойлер показва, че при изчисляване на динамичните характеристики на машините в случай на ускореното им движение трябва да се отчитат не само силите на съпротивление и инерцията на полезния товар, но и инерцията на всички компоненти на машината, и дава (във връзка с хидравличните двигатели) пример за такова изчисление.

Ойлер се занимава и с приложна теория на машините, като теорията на хидравличните машини и вятърните мелници, изследването на триенето на машинните части и профилирането на зъбните колела (тук той обосновава и развива аналитичната теория на еволвентните зъбни колела). През 1765 г. той полага основите на теорията на триенето на гъвкави кабели и получава по-специално формулата на Ойлер за определяне на напрежението на кабела, която все още се използва при решаването на редица практически проблеми (например при изчисляването на механизми с гъвкави връзки).

С Ойлер се свързва и последователното въвеждане на идеята за континуума в механиката, според която материалното тяло се представя, абстрахирайки се от неговата молекулярна или атомна структура, като непрекъсната непрекъсната среда. Моделът на континуума е въведен от Ойлер в неговия мемоар „Откриване на нов принцип на механиката“ (докладван през 1750 г. пред Берлинската академия на науките и публикуван в нейните „Мемоари“ две години по-късно).

Авторът на мемоара основава анализа си на принципа на Ойлер за материалните частици – твърдение, което все още се цитира в много учебници по механика и физика (често без да се споменава Ойлер): твърдо тяло може да се моделира с всякаква степен на точност, като се разбие мислено на достатъчно малки частици и всяка от тях се разглежда като материална точка. Използвайки този принцип, може да се изведат различни динамични зависимости за твърдо тяло, като се запишат техните аналози за отделните материални частици (по термините на Ойлер – „телца“) и се сумират (в този случай сумирането над всички точки се заменя с интегриране над обема на площта, заета от тялото). Този подход позволява на Ойлер да избегне използването на такива средства на съвременното интегрално смятане (като интеграла на Стилтиес), които все още не са били известни през XVIII век.

Въз основа на този принцип, прилагайки теоремата за изменението на ъгловия момент към елементарен материален обем, Ойлер получава първия закон за движение на Ойлер (по-късно се появява и вторият закон за движение на Ойлер – резултат от прилагането на теоремата за изменението на ъгловия момент). Законите за движение на Ойлер всъщност представляват основните закони за движение на механиката на непрекъснатите среди; единственото, което липсваше, за да се премине към използваните понастоящем общи уравнения за движение на такива среди, беше изразяването на повърхностните сили чрез тензора на напреженията (това беше направено от О. Коши през 20-те години на XIX век). Ойлер прилага получените резултати за изследване на конкретни модели на твърди тела – както в динамиката на твърдите тела (именно в споменатия мемоар за първи път са дадени уравненията на динамиката на тяло с неподвижна точка, отнесена към произволни декартови оси), така и в динамиката на флуидите и в теорията на еластичността.

В теорията на еластичността редица изследвания на Ойлер са посветени на теорията на огъването на греди и пръти; в ранните си трудове (40-те години на XIX в.) той решава задачата за надлъжното огъване на еластичен прът, като съставя и решава диференциалното уравнение на огънатата ос на пръта. През 1757 г. в своята „За натоварването на колони“ Ойлер пръв в историята извежда формула за критичното натоварване при натиск на еластичен прът, което дава началото на теорията за устойчивостта на еластичните системи. Практическото приложение на тази формула се появява много по-късно, почти един век по-късно, когато много страни (най-вече Англия) започват да строят железопътни линии, което налага изчисляването на якостта на железопътните мостове; именно тогава инженерите възприемат – след известно усъвършенстване – модела на Ойлер.

Заедно с Д. Бернули и Ж. Л. Лагранж Ойлер е един от основателите на аналитичната динамика на флуидите; тук той има заслуга за създаването на теорията за движението на идеален флуид (т.е. флуид без вискозитет) и за решаването на някои специфични проблеми на механиката на флуидите. В „Принципи на движението на флуидите“ (публикувана девет години по-късно) той, прилагайки своите уравнения на динамиката на елементарен материален обем на непрекъсната среда към модела на несвиваем идеален флуид, за първи път получава за такъв флуид уравненията на движението, както и (за общия триизмерен случай) уравнението на непрекъснатостта. Изследвайки движението без вихри на несвиваем флуид, Ойлер въвежда функцията S {displaystyle S} (по-късно наречена от Хелмхолц потенциал на скоростта) и показал, че тя удовлетворява частно диференциално уравнение – така уравнението, сега известно като уравнение на Лаплас, навлиза в науката.

Резултатите от тази работа са значително обобщени от Ойлер в неговия трактат „Общи принципи на движението на течностите“ (1755 г.). В него за случая на сгъстим идеален флуид той представя (на практика в съвременен вид) уравнението на непрекъснатостта и уравненията на движението (три скаларни диференциални уравнения, на които във векторна форма съответства уравнението на Ойлер – основното уравнение на хидродинамиката на идеален флуид). Ойлер изтъква, че за да се затвори тази система от четири уравнения, е необходима конститутивна връзка, която позволява да се изрази налягането p {displaystyle p} (което Ойлер нарича „еластичност“) като функция на плътността q {displaystyle q} и „друго свойство r {displaystyle r} {displaystyle r}, което влияе на еластичността“ (всъщност се отнася за температурата). Обсъждайки възможността за съществуване на непотенциални движения на несвиваем флуид, Ойлер дава първия конкретен пример за неговото вихрово течение, а за потенциалните движения на такъв флуид получава първия интеграл – специален случай на известния сега интеграл на Лагранж-Коши.

От същата година датира и мемоарът на Ойлер „Общи принципи на равновесното състояние на течностите“, който съдържа систематично представяне на хидростатиката на идеална течност (включително извеждането на общото уравнение на равновесието на течностите и газовете) и извежда барометрична формула за изотермична атмосфера.

В горепосочените статии Ойлер, записвайки уравненията за движение и равновесие на флуид, приема като независими пространствени променливи декартовите координати на текущото положение на материална частица – променливи на Ойлер (Д’Аламбер пръв използва такива променливи в хидродинамиката). По-късно, в „За принципите на движение на флуидите. Раздел втори“ (1770 г.), Ойлер въвежда втората форма на уравненията на хидродинамиката, в която за независими пространствени променливи се приемат декартовите координати на положението на материалната частица в началния момент от време (известни сега като променливи на Лагранж).

Основните си постижения в тази област Ойлер събира в тритомна книга Dioptrica (на латински: Dioptrica, 1769-1771). Сред основните резултати са: правила за изчисляване на оптималните характеристики на рефрактори, рефлектори и микроскопи, изчисляване на най-голямата яркост на изображението, най-голямото зрително поле, най-късата дължина на инструмента, най-голямото увеличение, характеристиките на окуляра.

Нютон твърди, че създаването на ахроматична леща е фундаментално невъзможно. Ойлер твърди, че комбинацията от материали с различни оптични характеристики може да реши проблема. През 1758 г., след дълга полемика, Ойлер успява да убеди английския оптик Джон Долонд, който след това прави първата ахроматична леща, като свързва една с друга две лещи, направени от стъкла с различен състав, а през 1784 г. академик Ф. Епинус в Санкт Петербург построява първия в света ахроматичен микроскоп.

Астрономия

Ойлер работи усилено в областта на небесната механика. Една от неотложните задачи по онова време е била да се определят параметрите на орбитата на небесно тяло (например комета) от малък брой наблюдения. Ойлер значително усъвършенства числените методи за тази цел и практически ги прилага при определянето на елиптичната орбита на кометата от 1769 г.; на тези работи се опира Гаус, който дава окончателното решение на проблема.

Ойлер полага основите на теорията на смущенията, която по-късно е доразвита от Лаплас и Поанкаре. Той въвежда фундаменталното понятие за осцилиращите елементи на една орбита и извежда диференциалните уравнения, определящи изменението им с времето. Той създава теорията за прецесията и нутацията на земната ос и предсказва „свободното движение на полюсите“ на Земята, открито век по-късно от Чандлър.

През 1748-1751 г. Ойлер публикува пълна теория за аберацията на светлината и паралакса. През 1756 г. той публикува диференциалното уравнение на астрономическото пречупване и изследва зависимостта на пречупването от налягането и температурата в точката на наблюдение. Тези резултати оказват огромно влияние върху развитието на астрономията през следващите години.

Ойлер създава много точна теория за движението на Луната, като за целта разработва специален метод за вариране на орбиталните елементи. Впоследствие, през XIX век, този метод е разширен и приложен към моделите на движението на големите планети и се използва и до днес. Таблиците на Майер, изчислени въз основа на теорията на Ойлер (1767 г.), се оказват подходящи и за решаване на неотложния проблем за определяне на географската дължина в морето и английското Адмиралтейство изплаща на Майер и Ойлер за това специална награда. Основни трудове на Ойлер в тази област:

Ойлер изследва гравитационното поле не само на сферични, но и на елипсовидни тела, което представлява значителна стъпка напред. Той е и първият учен, който посочва светската промяна в наклона на равнината на еклиптиката (1756 г.), като по негово предложение оттогава за еталон е приет наклонът в началото на 1700 г. Той разработва основата на теорията за движението на спътниците на Юпитер и други силно свити планети.

През 1748 г., много преди работата на П. Н. Лебедев, Ойлер изказва хипотезата, че опашките на кометите, полярните сияния и зодиакалната светлина са свързани с влиянието на слънчевата радиация върху атмосферата или веществото на небесните тела.

Теория на музиката

През целия си живот Ойлер се интересува от музикалната хармония, като се стреми да ѝ придаде ясна математическа основа. Целта на ранния му труд Tentamen novae theoriae musicae (1739 г.) е да опише математически по какъв начин приятната (благозвучна) музика се различава от неприятната (неблагозвучна). В края на глава VII от „Опит“ Ойлер подрежда интервалите в „степени на приятност“ (gradus suavitatis), като октавата е отнесена към II (някои класове (включително първи, трети и шести) в таблицата на Ойлер за приятност са пропуснати. Имаше шега за този труд, че той съдържа твърде много музика за математиците и твърде много математика за музикантите.

В късните си години, през 1773 г., Ойлер изнася доклад в Петербургската академия на науките, в който формулира своето решетъчно представяне на звуковата система в окончателния ѝ вид; това представяне е метафорично обозначено от автора като „огледало на музиката“ (лат. speculum musicae). През следващата година докладът на Ойлер е публикуван като малък трактат De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis („За истинските основи на хармонията, представени чрез speculum musicae“). Под името Tonnetz мрежата на Ойлер е широко използвана в немската теория на музиката през XIX век.

Други области на познание

През 1749 г. Ойлер публикува двутомна монография „Науката за морето, или трактат за корабостроенето и корабоплаването“, в която прилага аналитични методи към практически проблеми на корабостроенето и корабоплаването в морето, като например формата на корабите, въпросите за устойчивостта и равновесието, методите за управление на движението на кораба. Общата теория на Крилов за устойчивостта на кораба се основава на „Морската наука“.

Научните интереси на Ойлер включват и физиология; по-специално той прилага методите на хидродинамиката за изучаване на принципите на кръвотока в съдовете. През 1742 г. той изпраща на Дижонската академия статия за движението на течности в еластични тръби (разглеждани като модели на съдове), а през декември 1775 г. представя на Петербургската академия на науките мемоар, озаглавен Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Принципи за определяне на движението на кръвта през артериите). В този труд се анализират физичните и физиологичните принципи на движението на кръвта, причинено от периодичните съкращения на сърцето. Разглеждайки кръвта като несвиваем флуид, Ойлер намира решение на уравненията за движение, които съставя за случая на твърди тръби, а в случая на еластични тръби се ограничава до извеждането на общи уравнения за крайно движение.

Една от основните задачи, възложени на Ойлер при пристигането му в Русия, е да обучава научни кадри. Сред преките ученици на Ойлер са:

Един от приоритетите на Ойлер е създаването на учебници. Самият той написва „Ръководство по аритметика за употреба в гимназията на Императорската академия на науките“ (1738-1740), „Универсална аритметика“ (1768-1769). Според Фюс Ойлер прибягва до оригинален метод – диктува учебника на момче-слуга, като наблюдава как то разбира текста. В резултат на това момчето се научило да решава задачи и да извършва изчисления самостоятелно.

Ойлер е кръстен на него:

Пълните съчинения на Ойлер, публикувани от 1909 г. насам от Швейцарското дружество на естествоизпитателите, са все още непълни; планирани са 75 тома, от които са публикувани 73:

Осем допълнителни тома ще бъдат посветени на научната кореспонденция на Ойлер (над 3000 писма).

През 1907 г. руски и много други учени отбелязват 200-годишнината на великия математик, а през 1957 г. съветската и берлинската академия на науките посвещават тържествени заседания на 250-годишнината му. В навечерието на 300-годишнината от рождението на Ойлер (2007 г.) в Санкт Петербург се провежда международен юбилеен форум и е заснет филм за живота на Ойлер. През същата година на входа на Международния институт „Ойлер“ в Санкт Петербург е открит паметник на Ойлер. Властите на Санкт Петербург обаче отхвърлят всички предложения за наименуване на площад или улица на името на учения; в Русия все още няма улици на Ойлер.

Лични качества и оценки

Според съвременниците му Ойлер е бил добродушен, кротък по характер и почти не е имал кавги с никого. Дори Йохан Бернули, с чийто твърд характер се сблъскват брат му Якоб и синът му Даниел, е бил неизменно топъл към него. За пълнотата на живота си Ойлер се е нуждаел само от едно нещо – възможността за редовно математическо творчество. Той можел да работи интензивно дори „с дете в скута си и с котка на гърба си“. В същото време Ойлер бил весел, общителен, обичал музиката и философските разговори.

Академик П. П. Пекарски, въз основа на свидетелствата на съвременниците на Ойлер, реконструира образа на учения: „Ойлер е притежавал великото изкуство да не изтъква своята ученост, да прикрива превъзходството си и да бъде на нивото на всички. Винаги уравновесен нрав, кротка и естествена веселост, известна насмешка с нотка добродушие, наивен и хумористичен разговор – всичко това правеше разговора с него колкото приятен, толкова и привлекателен.

Както отбелязват съвременниците му, Ойлер е бил много религиозен. Според Кондорсе всяка вечер Ойлер събирал децата си, слугите и учениците, които живеели с него, за да се молят. Той им четял по една глава от Библията, а понякога придружавал четенето с проповед. През 1747 г. Ойлер публикува трактат в защита на християнството срещу атеизма, озаглавен „Защита на божественото откровение срещу атаките на свободомислещите“. Увлечението на Ойлер по теологичните разсъждения предизвиква негативното отношение към него (като философ) на известните му съвременници – Д’Алембер и Лагранж. Фридрих II, който се смятал за „свободомислещ“ и кореспондирал с Волтер, казал, че Ойлер „мирише на свещеник“.

Ойлер е бил грижовен семеен човек, готов да помага на колегите си и на младите хора и щедро е споделял идеите си с тях. Добре известно е, че Ойлер забавя публикациите си за вариационното смятане, за да може младият и неизвестен тогава Лагранж, който независимо от него е стигнал до същите открития, да ги публикува пръв. Лагранж винаги се е възхищавал на Ойлер и като математик, и като човек; той казва: „Ако наистина обичаш математиката, чети Ойлер“.

„Четете, четете Ойлер, той е нашият общ учител“, както обичаше да повтаря Лаплас (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Трудовете на Ойлер са изучавани с голяма полза от „краля на математиците“ Карл Фридрих Гаус и практически от всички известни учени от XVIII и XIX век.

В едно от писмата си до Лагранж Д’Аламбер нарича Ойлер „този дявол“ (frès se diable d’homme), сякаш иска да посочи с това, според коментаторите, че това, което Ойлер е направил, не е по силите на човека.

М. В. Остроградски заявява в писмо до Н. Н. Фюс: „Ойлер създаде съвременния анализ, обогати го повече от всички свои последователи, взети заедно, и го превърна в най-мощния инструмент на човешкия разум“. Академик С. И. Вавилов пише: „Заедно с Петър I и Ломоносов, Ойлер стана добрият гений на нашата Академия, който определи нейната слава, нейната крепост, нейната продуктивност.

Адреси на пребиваване

Между 1743 и 1766 г. Ойлер живее в къщата на Беренщрасе 21

От 1766 г. Елер живее в жилищна сграда на Николаевската набережна 15 (с прекъсване, причинено от голям пожар). По време на съветското управление улицата е преименувана на Набережна на лейтенант Шмидт. На къщата има паметна плоча, а сега в нея се помещава средно училище.

Марки, монети, банкноти

През 2007 г. Руската централна банка емитира възпоменателна монета, посветена на 300-годишнината от рождението на Л. Ойлер. Портретът на Л. Ойлер е поставен и върху швейцарската банкнота от 10 франка (серия 6) и върху пощенски марки на Швейцария, Русия и Германия.

Математически олимпиади

Голяма част от фактите в геометрията, алгебрата и комбинаториката, доказани от Ойлер, се използват повсеместно в математическите олимпиади.

На 15 април 2007 г. в чест на 300-годишнината от рождението на Леонхард Ойлер се проведе интернет олимпиада по математика за ученици, подкрепена от редица организации. От 2008 г. насам се провежда математическата олимпиада „Леонхард Ойлер“ за ученици от осми клас, чиято цел е отчасти да замени загубата на регионалните и финалните етапи на Всерусийската математическа олимпиада за ученици от осми клас.

Историците са открили малко над хиляда преки потомци на Леонхард Ойлер. Най-големият син – Йохан Албрехт, става известен математик и физик. Вторият син Карл е известен лекар. По-малкият син Кристофър по-късно става генерал-лейтенант в руската армия и командир на оръжейния завод в Сестрорецк. Всички деца на Ойлер приемат руско гражданство (самият Ойлер остава швейцарски поданик през целия си живот).

В края на 80-те години историците наброяват около 400 живи потомци, половината от които живеят в СССР.

Ето кратко генеалогично дърво на някои от известните потомци на Ойлер (фамилното име е посочено, ако не е „Ойлер“).

Други потомци на Ейлер са Н. И. Геккер, В. Ф. Геккер и И. Р. Геккер, В. Е. Скалон и Е. Н. Берендс. Сред потомците има много учени, геолози, инженери, дипломати и лекари; има и девет генерали и един адмирал. Потомък на Ойлер е президентът на Международния криминологичен клуб в Санкт Петербург Д. А. Шестаков.

Източници

1. Эйлер, Леонард
2. Леонард Ойлер
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
6. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
7. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
8. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
9. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
10. ^ The quote appeared in Gugliemo Libri’s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: „… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : ‘Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.’ “ [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: ‘Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][137]
11. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
12. Dunham 1999, p. xiii