Eukleidés

Delice Bette | 29 prosince, 2022

Souhrn

Eukleidés (řecky Εὐκλείδης, Eukleidēs, latinsky Euclīdēs) byl řecký matematik a geometr (asi 325 př. n. l. – asi 265 př. n. l.). Je znám jako „otec geometrie“. Působil v Alexandrii (starověký Egypt) v době Ptolemaia I. Sotera (323 – 283 př. n. l.). Byl zakladatelem městské matematické školy.

Jeho nejslavnějším dílem byly Elementy, často považované za nejúspěšnější učebnici v dějinách matematiky. Vlastnosti geometrických objektů a přirozených čísel jsou odvozeny z malého souboru axiomů. Toto dílo, jedno z nejstarších známých pojednání, které systematicky a s důkazy předkládá velký soubor vět z geometrie a teoretické aritmetiky, se dočkalo stovek vydání ve všech jazycích a jeho témata jsou dodnes základem výuky matematiky na středních školách v mnoha zemích. Euklidovo jméno je odvozeno od Euklidova algoritmu, euklidovské geometrie (a neeuklidovské geometrie) a euklidovského dělení. Psal také o perspektivě, kuželosečkách, sférické geometrii a teorii čísel.

Jeho život je málo známý, protože žil v Alexandrii (město v severním Egyptě) za vlády Ptolemaia I. Někteří arabští autoři tvrdí, že se Euklides narodil v Týru a žil v Damašku. Někteří arabští autoři tvrdí, že se Euklides narodil v Týru a žil v Damašku. O Eukleidově životě neexistuje žádný přímý pramen: žádný dopis, žádný autobiografický údaj (ani v podobě předmluvy v díle), žádný oficiální dokument, a dokonce ani žádná narážka některého z jeho současníků. Jak shrnuje historik matematiky Peter Schreiber, „o Eukleidově životě není známa jediná jistá skutečnost. Byl synem Naukrata a byly předloženy tři hypotézy:

Euklides pravděpodobně studoval na Platónově akademii, kde se naučil základy svých znalostí.

Proklos, poslední z velkých řeckých filozofů, který žil kolem roku 450, napsal důležité komentáře k I. knize Elementů. Tyto komentáře představují cenný zdroj informací o historii řecké matematiky. Tak například víme, že Euklides spojil příspěvky Eudoxa z Knidu o teorii proporcí a Theaeteta o pravidelných mnohostěnech.

Nejstarší známý spis o Eukleidově životě se objevuje ve shrnutí dějin geometrie, které v 5. století n. l. napsal neoplatonický filozof Proklos, komentátor první knihy Elementů. Proklos sám neuvádí žádný zdroj svých údajů. Říká pouze: „shromažďuje své prvky a nezvratnými důkazy připomíná to, co jeho předchůdci učili uvolněným způsobem. Ten naopak žil za prvního Ptolemaia, protože Archimédes se zmiňuje o Eukleidovi. Euklides je tedy novější než Platónovi žáci, ale starší než Archimédes a Eratosthenes“.

Pokud přijmeme Proklovu chronologii, žil Euklides mezi Platónem a Archimédem a byl současníkem Ptolemaia I. kolem roku 300 př. n. l.

Žádný dokument těmto několika větám neodporuje, ani je ve skutečnosti nepotvrzuje. Euklidova přímá zmínka o Archimédově díle pochází z pasáže, která je považována za pochybnou.

Archimedes se odvolává na některé výsledky z knihy Živly a ostrachus, nalezené na ostrově Elephantine a datované do roku III př. n. l.: pojednává o útvarech studovaných ve XIII. knize Živlů, jako je desetiúhelník a dvacetistěn, ale bez přesné reprodukce euklidovských tvrzení; mohly tedy pocházet z pramenů předcházejících Euklidovi. Přibližné datum 300 let př. n. l. je však považováno za slučitelné s analýzou obsahu Euklidova díla a je přijímáno historiky matematiky.

Na druhou stranu existuje narážka matematika Papa Alexandrijského, který předpokládá, že Euklidovi žáci mohli vyučovat v Alexandrii. Někteří autoři na základě toho spojují Euklida s alexandrijským Museionem, ale v žádném oficiálním dokumentu se neobjevuje. Přídomek, který je s Euklidem ve starověku často spojován, zní prostě Stoitxeiotes, autor Elementů.

O Eukleidovi koluje několik anekdot, ale protože se objevují i u jiných matematiků, nepovažují se za pravdivé: například ta slavná, kterou vysvětlil Proklos, podle níž měl Eukleidés odpovědět Ptolemaiovi – který chtěl jednodušší cestu než ty z Elementů – že v geometrii neexistují žádné skutečné cesty; varianta téže anekdoty se připisuje také Menekmovi a Alexandru Velikému. Stejně tak byly od pozdní antiky do zpráv o Eukleidově životě přidávány různé podrobnosti, aniž by se objevily nové prameny, a to často v rozporuplné podobě. Někteří autoři uvádějí, že se Euklides narodil v Týru, jiní v Gele; připisují mu různé rodokmeny, konkrétní mistry, různá data narození a úmrtí, aby respektovali pravidla žánru nebo upřednostnili určité interpretace. Ve středověku a na počátku renesance je matematik Euklides často zaměňován se současným Platónovým filozofem Euklidem z Megary.

Zmínky o dílech připisovaných Eukleidovi se objevují u několika autorů, zejména v Pappově matematické sbírce (obvykle datované do 3. nebo 4. století) a v Proklově komentáři k Eukleidovým Elementům. Do dnešních dnů se dochovala pouze část těchto děl.

K nám se dostalo pět děl: Data, O dělení, Katoptrika, Zjevení oblohy a Optika. Z arabských pramenů je Eukleidovi připisováno několik pojednání o mechanice. O těžkém a lehkém obsahuje v devíti definicích a pěti větách aristotelské pojmy pohybu těles a pojem specifické tíže. O rovnováze se zabývá teorií páky také axiomatickým způsobem, s jednou definicí, dvěma axiomy a čtyřmi větami. Třetí fragment o kružnicích opsaných konci pohyblivé páky obsahuje čtyři věty. Tato tři díla se vzájemně doplňují takovým způsobem, že se předpokládá, že jsou pozůstatkem jediného Eukleidova pojednání o mechanice.

Přečtěte si také, bitvy – Galileo Galilei

Prvky

Jeho Živly jsou jedním z nejznámějších vědeckých děl na světě a byly souhrnem poznatků, které se v té době vyučovaly na akademické půdě. Elementy nebyly, jak se někdy soudí, kompendiem všech geometrických poznatků, ale spíše úvodním textem zahrnujícím celou elementární matematiku, tj. aritmetiku, syntetickou geometrii a algebru.

Elementy jsou rozděleny do třinácti knih nebo kapitol, z nichž první půltucet je věnován elementární rovinné geometrii, další tři teorii čísel, kniha X nesouměřitelným tělesům a poslední tři především geometrii těles.

V knihách věnovaných geometrii je studium vlastností přímek a rovin, kružnic a koulí, trojúhelníků a kuželoseček atd., tedy pravidelných útvarů, podáváno formálním způsobem, přičemž se vychází pouze z pěti postulátů. Pravděpodobně žádný z výsledků Prvků nebyl poprvé prokázán Euklidem, ale uspořádání materiálu a jeho výklad jsou nepochybně jeho zásluhou. Ve skutečnosti existuje mnoho důkazů, že Euklides při psaní Elementů vycházel z dřívějších učebnic, protože uvádí velké množství nepoužívaných definic, například definice podélníku, kosočtverce a kosodélníku. Euklidovy věty jsou věty, které se obecně učí v moderní škole. Uveďme některé z nejznámějších:

Knihy VII, VIII a IX Elementů se zabývají teorií dělitelnosti. Zabývá se souvislostí mezi dokonalými čísly a Mersennovými prvočísly (známou jako Euklidova-Eulerova věta), nekonečností prvočísel (Euklidova věta), Euklidovým lemmatem o faktorizaci (které vede k základní větě aritmetiky o jednoznačnosti faktorizací prvočísel) a Euklidovým algoritmem pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

Euklidova geometrie, kromě toho, že je mocným nástrojem deduktivního uvažování, je nesmírně užitečná v mnoha oblastech poznání, například ve fyzice, astronomii, chemii a různých technických oborech. V matematice je to jistě velmi užitečné. Inspirován harmonií Eukleidova podání, formuloval ve druhém století Ptolemaiovu teorii vesmíru, podle níž je Země středem vesmíru a planety, Měsíc a Slunce kolem ní obíhají po dokonalých přímkách, tj. kružnicích a kombinacích kružnic. Euklidovy myšlenky však představují značnou abstrakci od reality. Například předpokládá, že bod nemá žádnou velikost; že přímka je množina bodů, která nemá šířku ani tloušťku, pouze délku; že plocha nemá tloušťku atd. Protože bod podle Euklida nemá žádnou velikost, je mu přiřazen rozměr nula. Úsečka má pouze délku, takže získává rozměr rovný jedné. Plocha nemá tloušťku ani výšku, takže má dva rozměry: šířku a délku. A konečně těleso, jako je krychle, má tři rozměry: délku, šířku a výšku. Euklides se pokusil shrnout všechny matematické poznatky ve své knize Elementy. Euklidova geometrie byla dílem, které se nezměnilo až do 19. století.

Z výchozích axiomů se mi zdál méně zřejmý pouze axiom rovnoběžek. Různí matematici se neúspěšně pokoušeli tento axiom odstranit tím, že se jej snažili odvodit z ostatních axiomů. Snažili se ji prezentovat jako teorém, aniž by se jim to podařilo.

Nakonec někteří autoři vytvořili nové geometrie založené na zrušení nebo nahrazení axiomu rovnoběžek, čímž vznikly „neeuklidovské geometrie“. Hlavní charakteristikou těchto geometrií je, že změnou axiomu rovnoběžek se úhly trojúhelníku již nesčítají do 180 stupňů.

Data (Δεδομένα) jsou jediným dalším Euklidovým dílem, které se zabývá geometrií a jehož řecká verze se dochovala (je například v rukopise X, který objevil Peyrard). Podrobně je také popsána v VII. knize Papovy matematické sbírky, „Pokladnici analýzy“, která úzce souvisí s prvními čtyřmi knihami Elementů. Zabývá se typem informací uvedených v geometrických úlohách a jejich povahou. Data jsou zasazena do rámce rovinné geometrie a historici je považují za doplněk Elementů, ve formě vhodnější pro analýzu problémů. Dílo obsahuje 15 definic a vysvětluje, co znamená geometrický objekt, v poloze, tvaru, velikosti, a 94 tezí. Ty vysvětlují, že pokud jsou dány některé prvky obrázku, lze určit další vztahy nebo prvky.

Přečtěte si také, zivotopisy – Benjamin Péret

O dělení

Toto dílo (existují kusy v latině (De divisionibus), ale především existuje rukopis v arabštině objevený v 19. století, který obsahuje 36 vět, z nichž čtyři jsou dokázány.

Zabývá se rozdělením geometrických útvarů na dvě nebo více stejných částí nebo na části daných poměrů. Je podobný dílu Herona Alexandrijského ze 3. století n. l. V této práci se snaží konstruovat přímky, které rozdělují dané figury do daných proporcí a tvarů. Například je třeba sestrojit přímku procházející tímto bodem a rozřezávající trojúhelník na dva útvary o stejné ploše, je-li dán trojúhelník a bod uvnitř trojúhelníku, nebo sestrojit dvě rovnoběžné přímky tak, aby část kruhu, kterou ohraničují, tvořila třetinu plochy kruhu.

Přečtěte si také, zivotopisy – Walter De Maria

O klamech (Pseudaria)

O omylech (Περὶ Ψευδαρίων), text o chybách v uvažování, je ztracené dílo, známé pouze z popisu, který podal Proklos. Podle něj bylo cílem práce naučit začátečníky odhalovat falešné úvahy, zejména ty, které napodobují deduktivní uvažování a mají tak zdání pravdy. Uvedl příklady paralelogismů.

Přečtěte si také, civilizace – Vizigótská říše

Čtyři knihy o kuželosečkách

Čtyři knihy o kuželosečkách (Κωνικῶν Βιβλία) je nyní ztracena. Byla to práce o kuželosečkách, kterou Apollonius z Pergy rozšířil ve slavné knize na stejné téma. Je pravděpodobné, že první čtyři knihy Apolloniova díla pocházejí přímo od Eukleida. Podle Papa „Apollonius, když dokončil čtyři Eukleidovy knihy o kuželosečkách a přidal další čtyři, zanechal osm svazků kuželoseček“. Apolloniovy kuželosečky rychle nahradily původní dílo a v Papově době se Euklidovo dílo ztratilo.

Přečtěte si také, dejiny – Menševici

Tři knihy porismů

Tři knihy porismů (Πορισμάτων Βιβλία) mohly být rozšířením jeho práce o kuželosečkách, ale význam názvu není jasný. Je to ztracené dílo. Dílo je připomenuto ve dvou Proklových pasážích a především je předmětem dlouhé prezentace v VII. knize Pappovy sbírky „Pokladnice analýzy“ jako významný a dalekosáhlý příklad analytického přístupu. Slovo porisma má několikeré použití: podle Papa by zde označovalo tvrzení přechodného typu mezi tezemi a problémy. Euklidovo dílo by obsahovalo 171 takových výroků a 38 lemmat. Pappos uvádí příklady, jako například: „Jestliže se ze dvou daných bodů nakreslí přímky protínající danou přímku a jestliže jedna z nich vyřízne úsečku na dané přímce, druhá udělá totéž na jiné přímce, přičemž mezi oběma úsečkami je pevný vztah. Výkladem přesného významu toho, co je porismus, a případným obnovením všech nebo části výroků Euklidova díla na základě informací, které nám zanechal Pappus, se zabývalo mnoho matematiků: nejznámější jsou pokusy Pierra Fermata v 17. století, Roberta Simsona v 18. století a především Michela Chaslese v 19. století. Pokud Chaslesovu rekonstrukci dnes historici neberou vážně jako takovou, dala matematikům příležitost rozvinout pojem anharmonického vztahu.

Přečtěte si také, dejiny – Bangladéšská válka za nezávislost

Dvě knihy o geometrických místech

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β“ se týkala geometrických míst na plochách nebo geometrických míst, která jsou sama plochami. V pozdějším výkladu se objevila hypotéza, že by se mohlo jednat o kvadratické plochy. Jedná se také o ztracené dílo o dvou knihách, o němž se zmiňuje Pappův rozbor pokladnice. Údaje uvedené u Prokla nebo Pappa o těchto Eukleidových místech jsou nejednoznačné a přesná otázka položená v díle není známa. V tradici starořecké matematiky jsou místa množinami bodů, které ověřují danou vlastnost. Tyto množiny jsou často přímky nebo kuželosečky, ale mohou to být například i rovinné plochy. Většina historiků odhaduje, že Euklidovým místem mohly být rotační plochy, koule, kužely nebo válce.

Přečtěte si také, zivotopisy – Berthe Morisotová

Vzhled oblohy

Zjevení oblohy neboli Fenomény (# Φαινόμενα) je pojednání o poziční astronomii, které se dochovalo v řečtině. Je dosti podobná Autolytovu dílu (O pojmu koule) a pojednává o aplikaci geometrie koule na astronomii a dochovala se v řečtině v několika rukopisných verzích, z nichž nejstarší pochází z 10. století. Tento text vysvětluje tzv. „malou astronomii“, na rozdíl od témat pojednaných v Ptolemaiově Velké skladbě (Almagestu). Obsahuje 18 vět a je blízký dochovaným dílům na stejné téma od Autolyta z Pitane.

Přečtěte si také, zivotopisy – Marínovci

Optika

Optika (Ὀπτικά) je nejstarší dochované řecké pojednání, v několika verzích věnované problémům, které bychom dnes označili za perspektivní, a zřejmě určené pro použití v astronomii, má podobu Elementů: je pokračováním 58 vět, jejichž důkaz se opírá o definice a postuláty uvedené na začátku textu. Euklides ve svých definicích navazuje na platónskou tradici, podle níž je vidění způsobeno paprsky vycházejícími z oka. Euklides popisuje zdánlivou velikost předmětu v závislosti na jeho vzdálenosti od oka a zkoumá zdánlivé tvary válců a kuželů při pohledu z různých úhlů.

Euklides ukazuje, že zdánlivé velikosti stejných předmětů nejsou úměrné jejich vzdálenosti od našeho oka (věta 8). Vysvětluje tím například naše vidění koule (a jiných jednoduchých ploch): oko vidí uprostřed koule menší plochu, s přibližováním koule ještě menší část, i když se viděná plocha zdá větší a obrys viděné plochy je kruh. Pojednání zejména popírá názor zastávaný v některých myšlenkových směrech, podle něhož je skutečnou velikostí objektů (zejména nebeských těles) jejich zdánlivá velikost, tedy ta, kterou vidíme.

Papo považoval tyto výsledky za důležité pro astronomii a zařadil Euklidovu Optiku spolu s jeho Fenomény do sborníku menších děl, která měla být studována před Almagestem Claudia Ptolemea.

Přečtěte si také, zivotopisy – John Singer Sargent

Pojednání o hudbě

Proklos připisuje Eukleidovi pojednání o hudbě (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), které stejně jako astronomie, teoretická hudba, například v podobě aplikované teorie proporcí, patří mezi matematické vědy. V řečtině se dochovaly dva drobné spisy, které byly zařazeny do starověkých vydání Euklida, ale jejich zařazení je nejisté, stejně jako jejich možná souvislost s Elementy. Oba spisy (oddíl Kánon o hudebních intervalech a Harmonický úvod) jsou naopak považovány za protichůdné a přinejmenším druhý je dnes badateli považován za dílo jiného autora.

Přečtěte si také, dejiny – Podivná válka

Díla falešně připisovaná Euklidovi

Katoptrika (Κατοητρικά) se zabývá matematickou teorií zrcadel, zejména obrazů vytvořených v konkávních rovinných a kulových zrcadlech. Jeho připsání Eukleidovi je sporné; jeho autorem mohl být Theon Alexandrijský. Objevuje se v Euklidově textu o optice a v Proklově komentáři. Dnes je považován za ztracený a zejména Catoptricus, který byl dlouho vydáván jako pokračování Optiky ve starých edicích, již není připisován Eukleidovi; je považován za pozdější kompilaci.

Euklides je také uváděn jako autor fragmentů týkajících se mechaniky, konkrétně textů o páce a rovnováze v některých latinských nebo arabských rukopisech. Připsání je nyní považováno za pochybné.

Přečtěte si také, zivotopisy – Caravaggio

Další odkazy

Zdroje

1. Euclides
2. Eukleidés
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. Affirmation tenue pour exacte jusqu“à ce que l“érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d“optique), affirme le contraire[33].
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
9. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
10. Евклид. Большая российская энциклопедия.