Pappos z Alexandrie

Mary Stone | 29 srpna, 2023

Souhrn

Pappus Alexandrijský (asi 290 – asi 350 n. l.) byl jedním z posledních velkých řeckých matematiků starověku, známý díky své Synagóze (Συναγωγή) neboli Sbírce (asi 340) a Pappově hexagonální větě v projektivní geometrii. O jeho životě není známo nic jiného než to, co lze nalézt v jeho vlastních spisech: že měl syna jménem Hermodóros a byl učitelem v Alexandrii.

Sbírka, jeho nejznámější dílo, je osmisvazkové kompendium matematiky, jehož většina se dochovala. Zahrnuje širokou škálu témat, včetně geometrie, rekreační matematiky, zdvojení krychle, mnohoúhelníků a mnohostěnů.

Pappus působil ve 4. století našeho letopočtu. V období všeobecné stagnace matematických studií představuje pozoruhodnou výjimku. „O tom, jak daleko převyšoval své současníky, jak málo si ho vážili a jak málo mu rozuměli, svědčí absence zmínek o něm u jiných řeckých autorů a skutečnost, že jeho dílo nemělo žádný vliv na zastavení úpadku matematické vědy,“ píše Thomas Little Heath. „V tomto ohledu se Pappův osud nápadně podobá osudu Diofanta.“

Ve svých dochovaných spisech Pappus neuvádí dataci autorů, jejichž díla používá, ani dobu (viz níže), kdy sám psal. Pokud by nebyly k dispozici žádné další informace o datu, bylo by možné vědět pouze to, že byl pozdější než Ptolemaios (zemřel kolem roku 168 n. l.), kterého cituje, a dřívější než Proklos (narozen kolem roku 411), který cituje jeho.

Suda z 10. století uvádí, že Pappus byl stejně starý jako Theon Alexandrijský, který působil za vlády císaře Theodosia I. (372-395). Jiné datum uvádí okrajová poznámka k rukopisu z konce 10. století (opis chronologické tabulky téhož Theona), kde se u záznamu o císaři Diokleciánovi (vládl 284-305) uvádí, že „v té době psal Pappus“.

Ověřitelné datum však pochází z datování zatmění Slunce, které zmiňuje sám Pappus, když ve svém komentáři k Almagestu vypočítává „místo a čas konjunkce, která dala vzniknout zatmění v Tybi v roce 1068 po Nabonassarovi“. To vychází na 18. října 320, a Pappus tedy musel psát kolem roku 320.

Velké Pappovo dílo v osmi knihách s názvem Synagoga neboli Sbírka se nedochovalo v kompletní podobě: první kniha je ztracena a ostatní značně utrpěly. Suda vyjmenovává další Pappova díla: Ptolemaiovy Almagesty: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike neboli Popis obydleného světa), komentář ke čtyřem knihám Ptolemaiova Almagestu, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Řeky v Libyi) a Ὀνειροκριτικά (Výklad snů). Sám Pappus zmiňuje další svůj komentář k Ἀνάλημμα (Analemma) Diodora Alexandrijského. Pappus napsal také komentáře k Eukleidovým Elementům (z nichž se dochovaly zlomky v Proklovi a Scholách, zatímco komentář k desáté knize byl nalezen v arabském rukopise) a k Ptolemaiově Ἁρμονικά (Harmonice).

Federico Commandino přeložil Pappovu sbírku do latiny v roce 1588. Německý klasik a historik matematiky Friedrich Hultsch (1833-1908) vydal definitivní třísvazkové vydání Commandinova překladu s řeckou i latinskou verzí (Berlín 1875-1878). Na základě Hultschova díla vydal belgický matematický historik Paul ver Eecke jako první překlad Sbírky do moderního evropského jazyka; jeho dvousvazkový francouzský překlad nese název Pappus d’Alexandrie. La Collection Mathématique. (Paříž a Bruggy, 1933).

Pappusova sbírka se vyznačuje tím, že obsahuje jednak systematicky uspořádaný přehled nejdůležitějších výsledků dosažených jeho předchůdci, jednak poznámky vysvětlující nebo rozšiřující předchozí objevy. Tyto objevy tvoří vlastně text, který Pappus diskurzivně rozšiřuje. Heath považoval systematické úvody k jednotlivým knihám za cenné, neboť jasně stanovují osnovu obsahu a obecný rozsah pojednávaných témat. Z těchto úvodů lze usuzovat na styl Pappusova psaní, který je vynikající a dokonce elegantní v okamžiku, kdy se zbaví okovů matematických vzorců a výrazů. Heath také shledal, že jeho charakteristická exaktnost činí z jeho Sbírky „nanejvýš obdivuhodnou náhradu za texty mnoha cenných pojednání dřívějších matematiků, o něž nás připravil čas“.

Dochované části sbírky lze shrnout následovně.

Můžeme se pouze domnívat, že ztracená I. kniha, stejně jako II. kniha, se zabývala aritmetikou, přičemž III. kniha byla jasně představena jako začátek nového předmětu.

Celá II. kniha (jejíž první část je ztracena, existující zlomek začíná v polovině 14. propozice) pojednává o metodě násobení z nejmenované knihy Apollonia z Pergy. Závěrečné propozice se zabývají násobením číselných hodnot řeckých písmen ve dvou básnických řádcích, čímž vzniknou dvě velmi velká čísla přibližně rovnající se 2×1054 a 2×1038.

Kniha III obsahuje geometrické úlohy, rovinné a tělesové. Lze ji rozdělit do pěti oddílů:

Titul a předmluva IV. knihy se ztratily, takže program je třeba vyčíst z knihy samotné. Na začátku je známé zobecnění Euklida I.47 (Pappusova věta o ploše), pak následují různé věty o kružnici, vedoucí až k problému konstrukce kružnice, která opíše tři dané kružnice, dotýkající se navzájem dvěma a dvěma. Tato a několik dalších vět o dotyku, např. případy kružnic, které se navzájem dotýkají a jsou vepsány do obrazce složeného ze tří půlkruhů a známého jako arbelos (Pappus se pak obrací k úvahám o některých vlastnostech Archimédovy spirály, Nikomédově konchoidě (již v I. knize zmíněné jako poskytující způsob zdvojení krychle) a křivce objevené pravděpodobně Hippiásem z Elis kolem roku 420 př. n. l. a známé pod názvem τετραγωνισμός neboli kvadratrix. Věta 30 popisuje konstrukci křivky dvojí křivosti, kterou Pappus nazval šroubovicí na kouli; je popsána bodem pohybujícím se rovnoměrně po oblouku velké kružnice, která se sama rovnoměrně otáčí kolem svého průměru, přičemž bod opíše kvadrant a velká kružnice úplnou otáčku za stejnou dobu. Je nalezena plocha plochy zahrnuté mezi touto křivkou a její základnou – první známý případ kvadratury zakřivené plochy. Zbytek knihy pojednává o trisekci úhlu a o řešení obecnějších úloh stejného druhu pomocí kvadrátu a spirály. V jednom řešení o

V páté knize, po zajímavé předmluvě o pravidelných mnohoúhelnících, která obsahuje poznámky o šestiúhelníkovém tvaru buněk včelích pláství, se Pappus věnuje srovnání ploch různých rovinných útvarů, které mají všechny stejný obvod (v návaznosti na Zenodorovo pojednání na toto téma), a objemů různých těles, která mají všechna stejnou povrchovou plochu, a nakonec srovnání pěti pravidelných Platónových těles. Mimochodem Pappus popisuje třináct dalších mnohostěnů ohraničených rovnostrannými a rovnoramennými, ale nepodobnými mnohoúhelníky, které objevil Archimédes, a metodou připomínající Archimédovu nachází povrch a objem koule.

Podle předmluvy je VI. kniha určena k řešení obtíží, které se vyskytují v takzvaných „Menších astronomických dílech“ (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), tedy v jiných dílech než Almagest. V souladu s tím komentuje Theodosiovu Sphaericu, Autolykovu Pohyblivou sféru, Theodosiovu knihu O dni a noci, Aristarchův traktát O velikosti a vzdálenostech Slunce a Měsíce a Euklidovu Optiku a fenomény.

Kniha VII

Od doby, kdy Michel Chasles citoval tuto Pappovu knihu ve svých dějinách geometrických metod, se stala předmětem značné pozornosti.

V předmluvě VII. knihy jsou vysvětleny pojmy analýza a syntéza a rozdíl mezi tvrzením a problémem. Pappus pak vyjmenovává díla Eukleida, Apollonia, Aristea a Eratosthena, celkem třiatřicet knih, jejichž podstatu hodlá podat spolu s lemmaty nutnými k jejich objasnění. Se zmínkou o Eukleidových porismech máme k dispozici výklad o vztahu porismu k teorému a problému. Do téže předmluvy je zařazen (a) slavný problém známý pod Pappovým jménem, často vyslovovaný takto: Je dán určitý počet přímek a je třeba najít geometrický bod takový, aby délky kolmic na dané přímky nebo (obecněji) přímky vedené z něj šikmo pod danými sklony k daným přímkám splňovaly podmínku, že součin některých z nich může být v konstantním poměru k součinu zbývajících; (Pappus to nevyjadřuje v této podobě, ale pomocí složení poměrů, když říká, že je-li dán poměr, který je složen z poměrů dvojic jedné z jedné množiny a jedné z druhé takto sestrojených přímek, a z poměru liché z nich, je-li nějaká, k dané přímce, bude bod ležet na křivce dané polohou); b) věty, které znovuobjevil a pojmenoval Paul Guldin, ale zdá se, že je objevil sám Pappus.

Kniha VII obsahuje také

Chaslesovu citaci Pappa zopakoval Wilhelm Blaschke V anglické Cambridgi John J. Milne poskytl čtenářům výhodu své četby Pappa. V roce 1985 napsal Alexander Jones na Brownově univerzitě na toto téma svou disertační práci. Upravená podoba jeho překladu a komentáře vyšla v následujícím roce v nakladatelství Springer-Verlag. Jonesovi se podařilo ukázat, jak Pappus manipuloval s úplným čtyřúhelníkem, používal vztah projektivních harmonických konjugátů a projevil povědomí o křížových poměrech bodů a přímek. Dále odhaluje pojem pólu a pólu jako lemma v VII. knize.

Kniha VIII

Konečně VIII. kniha pojednává především o mechanice, vlastnostech těžiště a některých mechanických silách. Prokládá se několika větami o čisté geometrii. Věta 14 ukazuje, jak nakreslit elipsu přes pět daných bodů, a věta 15 uvádí jednoduchou konstrukci os elipsy, je-li dána dvojice konjugovaných průměrů.

Pappusova sbírka byla Arabům a středověkým Evropanům prakticky neznámá, ale poté, co ji Federico Commandino přeložil do latiny, měla velký vliv na matematiku 17. století. Diofantova Arithmetica a Pappusova Sbírka byly dvěma hlavními zdroji Vichteho Isagoge in artem analyticam (1591). Pappusův problém a jeho zobecnění vedly Descarta k rozvoji analytické geometrie. Také Fermat vytvořil svou verzi analytické geometrie a svou metodu maxim a minim na základě Pappusova shrnutí ztracených Apolloniových děl Plane Loci a O určitém řezu. Dalšími matematiky, které Pappus ovlivnil, byli Pacioli, da Vinci, Kepler, van Roomen, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Gauss, Gergonne, Steiner a Poncelet.

Připsání autorství:

Zdroje

1. Pappus of Alexandria
2. Pappos z Alexandrie
3. ^ a b Bird, John (14 July 2017). Engineering Mathematics. Taylor & Francis. p. 590. ISBN 978-1-317-20260-8.
4. ^ a b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Mathematics And Mathematicians, Vol. 1, p. 149 (trans. Judith V. Field) (Transworld Student Library, 1974)
5. ^ a b c d e f g h i j k l m n Heath 1911, p. 740.
6. a b  Heath, Thomas Little (1910-1911). «Encyclopædia Britannica». En Chisholm, Hugh, ed. Encyclopædia Britannica. A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General information (en inglés) (11.ª edición). Encyclopædia Britannica, Inc.; actualmente en dominio público.
7. 1 2 Pappus Alexandrinus // Catalogue of the Library of the Pontifical University of Saint Thomas Aquinas
8. Identifiants et Référentiels (фр.) — ABES, 2011.
9. En grec ancien Συναγωγή (traduit en français sous le titre de Collection mathématique).