Arkimedes

Dimitris Stamatios | september 9, 2022

Resumé

Archimedes af Syrakus (Syrakus, ca. 287 f.Kr. – Syrakus, 212 f.Kr.) var en siciliansk matematiker, fysiker og opfinder.

Han betragtes som en af de største videnskabsmænd og matematikere i historien og bidrog til at fremme viden på områder lige fra geometri til hydrostatik, fra optik til mekanik: Han var i stand til at beregne kuglens overfladeareal og volumen og formulerede lovene for legemers opdrift; inden for ingeniørvidenskab opdagede og udnyttede han virkemåden for håndtag, og hans navn er forbundet med talrige maskiner og apparater, såsom den arkimediske skrue, der viser hans opfindsomhed; men de krigsmaskiner, som Arkimedes efter sigende skulle have forberedt for at forsvare Syrakus mod den romerske belejring, er stadig omgivet af en aura af mystik.

Hans liv er blevet husket gennem talrige anekdoter, som nogle gange er af usikker oprindelse, og som har været med til at opbygge videnskabsmandens figur i den kollektive fantasi. For eksempel er udråbet èureka! (εὕρηκα! – Jeg har fundet det!), som blev tilskrevet ham efter opdagelsen af princippet om legemers opdrift, der stadig bærer hans navn, blevet berømt gennem århundreder.

Læs også, kampe – Giorgio de Chirico

Historiske elementer

Der findes kun få sikre oplysninger om hans liv. Alle kilder er enige om, at han var syrakusaner, og at han blev dræbt under den romerske plyndring af Syrakus i 212 f.Kr. Diodorus Siculus har også overleveret en beretning om, at han opholdt sig i Egypten, og at han i Alexandria blev ven med matematikeren og astronomen Conon fra Samos. Dette var sandsynligvis ikke tilfældet: videnskabsmanden ville have ønsket at komme i kontakt med de lærde fra den tid, der tilhørte skolen i Alexandria, som han sendte mange af sine skrifter til. Under dette hypotetiske ophold siges Archimedes at have opfundet den “hydrauliske skrue”.

Det eneste, der er sikkert, er, at han var i kontakt med Conon (hvilket kan udledes af den sorg over hans død, der kommer til udtryk i nogle af hans værker), som han måske har mødt på Sicilien. Han korresponderede med forskellige videnskabsmænd i Alexandria, bl.a. Eratosthenes, som han dedikerede sin afhandling Metoden og Dositheus til. Et godt eksempel på samarbejdet mellem videnskabsmanden og aleksandrinerne er det indledende brev til afhandlingen Om spiraler, som er overleveret til os.

Ifølge Plutarch var han i familie med monarken Hieron II. Tesen er kontroversiel, men understøttes af det tætte venskab og den agtelse, som ifølge andre forfattere også forbandt dem. Fødselsdatoen er ikke sikker. Normalt accepteres 287 f.Kr., baseret på oplysninger fra den byzantinske forsker John Tzetzes om, at han døde i en alder af femoghalvfjerdsindstyve år. Det vides imidlertid ikke, om Tzetzes støttede sig på pålidelige kilder, der nu er forsvundet, eller om han blot havde forsøgt at kvantificere det faktum, som forskellige forfattere har rapporteret, at Archimedes var gammel på tidspunktet for mordet. Hypotesen om, at han var søn af en syrisk astronom ved navn Phidias (ellers ukendt), er baseret på filologen Friedrich Blass” rekonstruktion af en sætning af Archimedes fra Arenarius, som var blevet ødelagt og meningsløs i manuskripterne. Hvis denne hypotese er korrekt, kan det antages, at han arvede sin kærlighed til de eksakte videnskaber fra sin far.

Det vides fra bevarede værker og vidnesbyrd, at han beskæftigede sig med alle grene af sin tids videnskaber (aritmetik, flad og fast geometri, mekanik, optik, hydrostatik, astronomi osv.) og forskellige teknologiske anvendelser.

Polybius beretter, at han under den anden puniske krig, på Hieron II”s anmodning, helligede sig (ifølge Plutarch med mindre entusiasme, men ifølge alle tre med stor succes) til at bygge krigsmaskiner, der skulle hjælpe hans by med at forsvare sig mod Roms angreb. Plutarch fortæller, at Syrakus kun havde et par tusinde mænd og en gammel mands genialitet mod Roms legioner og magtfulde flåde; Archimedes” maskiner ville have slynget cyklopiske klippeblokke og en jernstorm mod Marcus Claudius Marcellus” tres imponerende quinqueremes. Han blev dræbt i 212 f.Kr. under plyndringen af Syrakus. Ifølge traditionen var morderen en romersk soldat, som ikke genkendte ham og derfor ikke udførte ordren om at fange ham levende.

Archimedes var højt respekteret både i sit eget land, hvor han var en reference for kong Hieron, og i Alexandria, hvor han korresponderede med de mest berømte matematikere i sin tid, og blandt romerne, så meget at han ifølge legenden blev beordret til at blive fanget levende (i stedet blev han dræbt). Den romerske hærfører fik bygget en grav til ære for sig selv.

Archimedes” figur fascinerede hans samtidige i en sådan grad, at biografiske begivenheder med tiden er blevet tæt sammenflettet med legender, og det er stadig svært at skelne fiktive elementer fra den historiske virkelighed. Til manglen på beviser kommer det faktum, at Archimedes kun skrev teoretiske og spekulative værker.

Læs også, historie – Rosekrigene

To berømte anekdoter

I den kollektive fantasi er Archimedes uløseligt forbundet med to anekdoter. Vitruvius fortæller, at han efter sigende begyndte at arbejde med hydrostatik, fordi herskeren Hieron II havde bedt ham om at afgøre, om en krone var lavet af rent guld eller om der (inden i kronen) blev brugt andre metaller. Han opdagede, hvordan han kunne løse problemet, mens han tog et bad, da han bemærkede, at vandet steg, når han nedsænkede sig selv i det, og det fik vandstanden til at stige. Observationen ville have gjort ham så glad, at han ville have forladt huset nøgen og være løbet gennem Syrakus” gader og have udbrudt “εὕρηκα” (èureka!, jeg har fundet!). Hvis vi ikke havde kendt til afhandlingen Om flydende legemer, kunne vi ikke have udledt niveauet af arkimedisk hydrostatik fra den vitruvianske beretning.

Vitruvius fortæller, at problemet kunne løses ved at måle mængden af kronen og en lige så stor mængde guld ved at nedsænke dem i et kar fyldt med vand og måle det overløbne vand. Dette er imidlertid en usandsynlig fremgangsmåde, både fordi den indebærer for store fejl, og fordi den ikke har nogen forbindelse til den hydrostatik, som Archimedes udviklede. Ifølge en mere pålidelig rekonstruktion, der er dokumenteret i senantikken, havde Archimedes foreslået at veje kronen og en lige stor mængde guld i vand. Hvis kronen havde været af rent guld, ville balancen have været i ligevægt. Da vægten tippede til guldets side, kunne man i stedet udlede, at da vægtene var lige store, havde kronen været udsat for et større hydrostatisk opadgående tryk, så den måtte have haft et større volumen, hvilket indebar, at den også måtte være fremstillet af andre metaller, da disse metaller (som f.eks. sølv) havde en lavere massefylde end guld.

Ifølge en anden lige så berømt anekdote lykkedes det Archimedes (eller Hieron) at flytte et skib takket være en maskine, som han opfandt. Han var ophøjet over sin evne til at bygge maskiner, der kunne flytte store vægte med små kræfter, og ved denne eller en anden lejlighed skulle han have udbrudt: “Giv mig et fodfæste, og jeg vil løfte jorden”. Sætningen er citeret, med mindre variationer, af forskellige forfattere, herunder Pappus af Alexandria

Læs også, biografier-da – Louis Prima

Legender om døden

Legenden har også overleveret Archimedes” sidste ord til den soldat, der skulle dræbe ham: “noli, obsecro, istum disturbare” (ødelæg ikke denne tegning). tre forskellige versioner af Archimedes” død.

I den første anfører han, at en romersk soldat angiveligt skulle have beordret Archimedes til at følge ham til Marcellus; da han nægtede, dræbte soldaten ham.

I den anden skulle en romersk soldat angiveligt være dukket op for at dræbe Archimedes, og denne bad ham forgæves om at lade ham afslutte den demonstration, som han var i gang med.

I det tredje tilfælde skulle soldater være stødt på Archimedes, mens han bragte Marcellus nogle videnskabelige instrumenter, solure, kugler og firkanter, i en kasse; da soldaterne troede, at kassen indeholdt guld, skulle de have dræbt ham for at få fat i den.

Ifølge Titus Livius var Marcellus, som skulle have kendt og værdsat den enorme værdi af Archimedes” genialitet og måske ønskede at bruge den i republikkens tjeneste, dybt bedrøvet over hans død. Disse forfattere fortæller, at han fik videnskabsmanden begravet på en ærefuld måde. Dette er dog ikke beskrevet af Polybius, som anses for at være en mere autoritativ kilde om belejringen og plyndringen af Syrakus.

Cicero fortæller, at han opdagede Archimedes” grav takket være en kugle, der var indskrevet i en cylinder, som angiveligt var hugget der i overensstemmelse med forskerens ønsker.

Læs også, biografier-da – Karl 9. af Frankrig

Ordnance

Archimedes skylder en stor del af sin popularitet til hans bidrag til forsvaret af Syrakus mod den romerske belejring under den anden puniske krig. Polybius, Livius og Plutarch beskriver krigsmaskiner, som han opfandt, herunder manus ferrea, en mekanisk klo, der kunne få fjendtlige skibe til at kæntre, og jetvåben, som han havde perfektioneret.

I det 2. århundrede rapporterede forfatteren Lucian af Samosata, at Archimedes under belejringen af Syrakus (ca. 214-212 f.Kr.) ødelagde fjendens skibe med ild. Flere århundreder senere nævner Antemius af Tralles “linser med ild” som våben, der er designet af Arkimedes. Instrumentet, der blev kaldt “Archimedes” brændende spejle”, blev designet med det formål at koncentrere sollyset på skibe, der nærmede sig, og få dem til at bryde i brand.

Dette hypotetiske våben er blevet diskuteret siden renæssancen med hensyn til dets sandfærdighed. René Descartes troede, at den var falsk, mens moderne forskere har forsøgt at genskabe effekten ved hjælp af de eneste midler, som Archimedes havde til rådighed. Det er blevet antaget, at en lang række polerede bronze- eller kobberskjolde blev brugt som spejle til at fokusere sollyset på et skib. Dette ville have udnyttet princippet om parabolisk refleksion på samme måde som en solovn.

Et eksperiment til afprøvning af Archimedes” brændende spejle blev udført i 1973 af den græske videnskabsmand Ioannis Sakkas. Forsøget fandt sted på flådebasen Skaramagas uden for Athen. Ved denne lejlighed blev der anvendt 70 spejle, som hver var forsynet med en kobberbelægning og havde en størrelse på ca. 1,5 meter. Spejlene blev rettet mod en krydsfiner kopi af et romersk krigsskib i en afstand på ca. 50 meter. Når spejlene fokuserede solens stråler præcist, brød skibet i brand i løbet af få sekunder. Modellen havde et lag tjæremaling, som kan have hjulpet på forbrændingen. En sådan belægning ville have været almindelig på skibe fra den tid.

Læs også, biografier-da – Andreas af Grækenland

Syracuse

Moschion beskriver i et værk, som Athenæus gengiver store uddrag af, et enormt skib, der blev bestilt af kong Hieron II og bygget af Archias af Korinth Skibet, det mest imponerende i antikken, blev kaldt Siracusia. Navnet blev ændret til Alexandria, da den blev sendt som gave til kong Ptolemæus III af Egypten sammen med en ladning korn for at demonstrere den sicilianske bys rigdom. Til denne båd brugte Archimedes et instrument, cochlea, som gjorde det muligt at pumpe vand ud af lastrummene og holde dem tørre.

Læs også, biografier-da – Vladislav 2. Jagello af Polen

Vandur

Et arabisk manuskript indeholder en beskrivelse af et genialt vandur designet af Archimedes. I uret blev strømmen af udgående vand holdt konstant ved hjælp af en flydeventil.

Uret bestod af to tanke, den ene var hævet over den anden. Det øverste var udstyret med en vandhane, der leverede en konstant strøm af vand til det nederste bassin.

Over det nederste bassin var der et drejeligt plankeværk, hvortil der var viklet en tråd, og i enderne af denne tråd var der bundet en lille sten og en flyder.

I begyndelsen af dagen skulle den nederste tank være tom, og linen blev trukket ned, så flyderen rørte bunden, og stenen steg op til toppen.

Ved at åbne vandhanen begyndte bundtanken at fyldes, hvilket hævede flyderen og sænkede stenen. Længden af linen og vandgennemstrømningen blev kalibreret, så klokken var 12.00, da flyderen var i stenens højde, og klokken var 18.00, da stenen var i bunden.

Archimedes stod over for problemet med at holde vandgennemstrømningen fra vandhanen konstant: efterhånden som det øverste bassin blev tømt, faldt vandtrykket og vandgennemstrømningen faldt. Han tilføjede derfor et tredje bassin højere oppe end de to første, som ved hjælp af en flyder fyldte det andet bassin, så niveauet blev konstant og dermed det tryk, hvormed vandet kom ud af hanen.

En fortjeneste, som Archimedes også er anerkendt for i dag, er, at han var den første til at fortolke tid som en fysisk størrelse, der kan analyseres med de matematiske værktøjer, der anvendes til geometriske størrelser (f.eks. i sin afhandling Om spiraler fremstiller han tidsintervaller med segmenter og anvender Euklids teori om proportioner på dem).

Læs også, biografier-da – Ernest Hemingway

Mekaniske opfindelser

Athenæus fortæller, at Archimedes havde konstrueret en maskine, hvormed en enkelt mand kunne flytte et skib med besætning og last. Hos Athenæus refererer episoden til opsendelsen af Syrakus, mens Plutarch taler om et demonstrationseksperiment, der blev udført for at vise herskeren mekanikkens muligheder. Disse beretninger indeholder utvivlsomt overdrivelser, men det faktum, at Archimedes havde udviklet den mekaniske teori, der gjorde det muligt at konstruere maskiner med en stor mekanisk fordel, sikrer, at de havde et reelt grundlag.

Ifølge Athenæus havde han opfundet den mekanisme til pumpning af vand, der blev brugt til vanding af dyrkede marker, kendt som Archimedes-skruen.

Teknologihistorikeren Andre W. Sleeswyk har også tilskrevet Archimedes den af Vitruvius beskrevne kilometertæller.

Architronito, der blev beskrevet af Leonardo da Vinci, var en dampkanon, hvis opfindelse kan dateres tilbage til Archimedes fra Syrakus omkring 200 f.Kr. Det menes, at maskinen blev brugt under belejringen af Syrakus i 212 f.Kr. og i 49 f.Kr., som Julius Cæsar vidner om under belejringen af Marseille.

Læs også, biografier-da – Giovanni da Verrazzano

Planetariet

En af Archimedes” mest beundrede bedrifter i antikken var planetariet. De bedste oplysninger om denne anordning findes hos Cicero, som skriver, at da Syrakus blev plyndret af romerske tropper i 212 f.Kr., bragte konsul Marcus Claudius Marcellus en anordning bygget af Arkimedes til Rom, som reproducerede himlens hvælving på en kugle og en anden, der forudsagde solens, månens og planeternes tilsyneladende bevægelse, hvilket svarer til en moderne armillarsfære. Cicero, der beretter om Gaius Sulpicius Gallus” indtryk, som havde været i stand til at observere det usædvanlige objekt, understreger, hvordan Archimedes” geni havde formået at skabe planeternes bevægelser, der var så forskellige fra hinanden, ud fra en enkelt rotation. Takket være Pappus ved man, at Archimedes havde beskrevet konstruktionen af planetariet i sit forsvundne værk On the Construction of the Spheres (Om sfærernes konstruktion).

Opdagelsen af Antikythera-maskinen, en tandhjulsmaskine, der ifølge visse undersøgelser stammer fra anden halvdel af det 2. århundrede f.Kr., og som viser, hvor avancerede de mekanismer, der blev bygget til at fremstille stjernernes bevægelse, var, har genoplivet interessen for Archimedes” planetarium. Et redskab, der kan identificeres som tilhørende Archimedes” planetarium, blev angiveligt fundet i juli 2006 i Olbia; undersøgelser af fundet blev præsenteret for offentligheden i december 2008. Ifølge en rekonstruktion kan planetariet, som efter sigende skulle være gået i arv til Syrakus” erobrer, være gået tabt under jorden i Olbia (et sandsynligt stop på rejsen), før skibet med Marcus Claudius Marcellus (konsul 166 f.Kr.) til Numidien forliste.

Læs også, biografier-da – Ludvig 16. af Frankrig

Måling af pupildiameter

I Arenarius (bog I, kap. 13) nævner Archimedes, efter at have nævnt en metode til at måle solens vinkel ved hjælp af en målestok, som han placerede en lille cylinder på, at den således dannede vinkel (toppunktet i øjet og tangentlinjerne til cylinderens og solens kanter) ikke udtrykker et korrekt mål, fordi pupillens størrelse endnu ikke er kendt. Derefter placerede han en anden cylinder af en anden farve og placerede øjet længere tilbage fra linealens ende, hvorved han fik den gennemsnitlige pupildiameter og dermed et mere præcist skøn over Solens diameter. Den ganske vist korte diskussion om emnet tyder på, at Archimedes i dette spørgsmål, i stedet for at henvise til Euklids skrifter, også tog hensyn til Erophilus af Chalcedon, som havde viet adskillige skrifter til øjets sammensætning, som alle er helt tabt og kun kendt gennem Galens citater af dem.

Archimedes” videnskabelige bedrifter kan belyses ved først at beskrive indholdet af de bevarede værker og derefter beviserne for de forsvundne værker.

Læs også, biografier-da – Andrea Mantegna

Bevarede værker

Allerede i Bibelen blev det foreslået, at forholdet mellem halvcirkel og radius var ca. 3, og denne tilnærmelse blev universelt accepteret.

I sit korte værk The Measure of the Circle viser Arkimedes først, at en cirkel svarer til en trekant med en base af længde svarende til omkredsen og en højde af længde svarende til radius. Dette resultat opnås ved at tilnærme cirklen indefra og udefra med indskrevne og omskrevne regulære polygoner. Med den samme fremgangsmåde forklarer Archimedes en metode, hvormed han så vidt muligt kan tilnærme sig forholdet, som i dag betegnes π, mellem længden af en omkreds og diameteren af en given cirkel. De opnåede skøn begrænser denne værdi til mellem 22

.

I værket Quadrature of the Parabola (som Archimedes dedikerede til Dositeo), beregnes arealet af et parabelsegment, en figur afgrænset af en parabel og en sekantlinje, ikke nødvendigvis ortogonal til parablens akse, og man finder, at det er 4

Det vises, at den største indskrevne trekant kan opnås ved en bestemt fremgangsmåde. Sekantens segment mellem de to skæringspunkter kaldes parabelsegmentets basis. Man betragter de linjer parallelt med parabolens akse, der går gennem basisens yderpunkter. Derefter trækkes en tredje linje, der er parallel med de to første og lige langt fra dem.

Skæringspunktet mellem sidstnævnte linje og parablen bestemmer trekantens tredje toppunkt. Ved at trække den største indskrevne trekant fra parabelsegmentet fås to nye parabelsegmenter, hvori der kan indskrives to nye trekanter. Ved at gentage proceduren fyldes parabelsegmentet med et uendeligt antal trekanter.

Det nødvendige areal fås ved at beregne arealerne af trekanterne og summere de uendelige termer, der fremkommer. Det sidste trin reduceres til summen af de geometriske serier af årsag 1

Dette er det første kendte eksempel på summen af en serie. I begyndelsen af værket introduceres det, der i dag kaldes Archimedes” aksiom.

Givet et parabelsegment, der er afgrænset af sekanten AC, er der indskrevet en første maksimal trekant ABC.

To andre trekanter ADB og BEC er indskrevet i de to parabelsegmenter AB og BC.

Vi fortsætter på samme måde for de fire parabelsegmenter AD, DB, BE og EC, så vi danner trekanterne AFD, DGB, BHE og EIC.

Bevis ved hjælp af parablens egenskaber, at arealet af trekant ABC er 4 gange arealet af ADB + BEC, og at: A D B + B E C = 4 ( A F D + D G B + B H E + E I C ) {displaystyle ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}

Hvert trin øger trekantens areal 1

På dette tidspunkt er det tilstrækkeligt at vise, at den polygon, der er konstrueret på denne måde, faktisk nærmer sig parabelsegmentet, og at summen af serierne af trekanternes arealer er lig med 4

Sull”equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, et værk i to bøger, er den første afhandling om statik, der er kommet til os. Archimedes opstiller heri en række postulater, som han baserer den nye videnskab på og demonstrerer loven om løftestangen. Postulaterne definerer også implicit begrebet tyngdepunkt, hvis placering bestemmes for forskellige plane geometriske figurer.

I sit hovedværk Om spiraler definerer Archimedes det, der i dag kaldes den arkimediske spiral, ved hjælp af en kinematisk metode og kommer frem til to resultater af stor betydning. For det første beregner han arealet af spiralens første sving ved hjælp af en metode, der foregriber Riemanns integration. Derefter formår han at beregne tangentens retning i hvert punkt på kurven, hvilket foregriber metoder, der vil blive brugt i differentialgeometri. Archimedes” definition af spiralen: en linje med en fast ende roterer ensartet; et punkt bevæger sig på den med en ensartet bevægelse: den kurve, der beskrives af dette punkt, er en spiral.

De vigtigste resultater af Della sfera e del cilindro, et værk i to bøger, er, at overfladearealet af kuglen er fire gange arealet af dens maksimale cirkel og at volumenet af kuglen er to tredjedele af volumenet af den omskrevne cylinder.

Ifølge en tradition, der er overleveret af Plutarch og Cicero, var Archimedes så stolt af denne sidste bedrift, at han ønskede den gengivet som gravskrift på sit gravmæle.

I sit værk On conoids and spheroids definerer Archimedes ellipsoider, paraboloider og hyperboloider af rotation, overvejer segmenter, der opnås ved at skære disse figurer med planer, og beregner deres volumen.

Om flydende legemer er et af Archimedes” hovedværker, som ligger til grund for videnskaben om hydrostatik. I den første af værkets to bøger opstilles et postulat, hvoraf det, der nu fejlagtigt kaldes Archimedes” princip, udledes som et teorem. Ud over at beregne flydernes statiske ligevægtspositioner vises det, at vandet i havene under ligevægtsforhold antager en kugleform. Siden Parmenides” tid vidste de græske astronomer, at Jorden havde en kugleform, men her er det for første gang blevet udledt af fysiske principper.

I den anden bog undersøges ligevægtsstabiliteten af svævende paraboloide segmenter. Problemet blev valgt på grund af dets anvendelser inden for søfartsteknologi, men løsningen er også af stor matematisk interesse. Archimedes undersøger stabiliteten, når to parametre varierer, en formparameter og densitet, og bestemmer tærskelværdier for begge parametre, der adskiller stabile fra ustabile konfigurationer. For E.J. Dijksterhuis er disse resultater “helt klart uden for den klassiske matematiks grænser”.

I Arenario (se linket nederst for italiensk oversættelse), der er rettet til Gelone II, forsøger Arkimedes at bestemme antallet af sandkorn, der kan fylde en kugle med faste stjerner. Problemet skyldes det græske talsystem, som ikke tillader at udtrykke så store tal. Selv om værket er det enkleste af Archimedes” værker, hvad angår matematiske teknikker, har det flere grunde til at være interessant. For det første indføres der et nyt talsystem, som praktisk talmæssigt gør det muligt at generere tal, der er lige så store som de andre. Det største tal er det, der nu skrives 108-1016. Den astronomiske kontekst berettiger to vigtige uddybninger. Den første omhandler Aristarchos” heliocentriske teori og er den vigtigste kilde om emnet; den anden beskriver en nøjagtig måling af Solens tilsyneladende størrelse, hvilket giver en sjælden illustration af den antikke eksperimentelle metode. Det skal dog bemærkes, at udfordringen til Aristarkos” heliocentriske teser primært er geometrisk, ikke astronomisk, for selv hvis man antager, at kosmos er en kugle med Jorden i centrum, angiver Arkimedes, at kuglens centrum ikke har nogen størrelse og ikke kan have noget forhold til overfladen; Bog I, kap. 6.

Set ud fra et videnskabeligt synspunkt er Archimedes” demonstrationer af håndtag ganske nyskabende. Faktisk anvender den sicilianske videnskabsmand en strengt deduktiv metode baseret på mekanikken for faste legemers ligevægt. Han demonstrerer derfor sine teser og begreber om ligevægt og barycentrum ved hjælp af proportionslæren og i geometriske termer. På baggrund af disse undersøgelser blev den første lov om ligevægt for håndtaget postuleret:

Med udgangspunkt i ideen om en vægt, der består af et segment og et omdrejningspunkt, hvorpå to legemer hænger i ligevægt, kan man sige, at vægten af de to legemer er direkte proportional med legemernes areal og volumen. Legenden fortæller, at Archimedes sagde: “Giv mig en løftestang, og jeg vil løfte verden”, efter at han havde opdaget den anden lov om løftestænger. Ved at bruge fordelagtige håndtag kan tunge byrder løftes med en lille kraft, i henhold til loven:

P : R = b R : b P {displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}

hvor P {P} er effekten og R {displaystyle R} modstanden, mens b P {displaystyle b_{P}} e b R {displaystyle b_{R}} er de respektive aktionsarme.

Det korte værk The Method on Mechanical Problems, der har været forsvundet mindst siden middelalderen, blev første gang læst i den berømte palimpsest, som Heiberg fandt i 1906, derefter forsvandt det igen, sandsynligvis stjålet af en munk under en manuskriptoverførsel, og blev genopdaget i 1998. Den giver et indblik i de procedurer, som Archimedes anvendte i sin forskning. I forbindelse med Eratosthenes forklarer han, at han brugte to metoder i sit arbejde.

Når han havde identificeret resultatet, brugte han for at bevise det formelt det, som senere blev kaldt udtømmelsesmetoden, som der er mange eksempler på i hans andre værker. Denne metode gav imidlertid ikke en nøgle til at identificere resultatet. Til dette formål brugte Archimedes en “mekanisk metode”, der var baseret på hans statik og idéen om at opdele figurer i et uendeligt antal uendeligt mange uendeligt små dele. Archimedes anså denne metode for ikke at være stringent, men til fordel for andre matematikere gav han eksempler på dens heuristiske værdi til at finde arealer og volumener; f.eks. anvendes den mekaniske metode til at finde arealet af et parabelsegment.

Metoden har også filosofiske konnotationer, idet den rejser problemet med at betragte matematikkens anvendelse på fysikken som en nødvendig begrænsning. Archimedes brugte intuitionen til at opnå umiddelbare og innovative mekaniske resultater, men gik derefter i gang med at demonstrere dem stringent ud fra et geometrisk synspunkt.

Læs også, biografier-da – Frédéric Passy

Fragmenter og vidnesbyrd om tabte værker

Stomachion er et græsk puslespil, der ligner tangrammet, som Archimedes dedikerede et værk til, hvoraf der er to fragmenter tilbage, det ene i arabisk oversættelse, det andet i Archimedes” Palimpsest. Analyser foretaget i begyndelsen af 2000”erne har gjort det muligt at læse nye dele, som tydeliggør, at Archimedes forsøgte at finde ud af, på hvor mange måder de enkelte figurer kunne samles til et kvadrat. Det er et vanskeligt problem, hvor kombinatoriske aspekter er sammenflettet med geometriske aspekter.

Okseproblemet består af to manuskripter med et epigram, hvor Arkimedes udfordrer alexandrinske matematikere til at beregne antallet af okser og køer i Armenti del Sole ved at løse et system af otte lineære ligninger med to kvadratiske betingelser. Det er et diophantinsk problem udtrykt i enkle termer, men dets mindste løsning består af tal med 206 545 cifre.

Spørgsmålet blev behandlet fra en anden vinkel i 1975 af Keith G. Calkins og senere i 2004 af Umberto Bartocci og Maria Cristina Vipera, to matematikere fra universitetet i Perugia. Hypotesen er, at en “lille” fejl i oversættelsen af problemets tekst har gjort det “umuligt” (nogle hævder, at det var Archimedes” hensigt) at løse et spørgsmål, som, hvis det var formuleret på en lidt anden måde, ville være blevet løst ved hjælp af datidens matematiske metoder.

Ifølge Calogero Savarino er der ikke tale om en oversættelsesfejl i teksten, men om en fejlfortolkning eller en kombination af de to.

Lemmabogen er kommet til os gennem en forvansket arabisk tekst. Den indeholder en række geometriske lemmaer, hvis interesse er mindsket af nutidens uvidenhed om den sammenhæng, hvori de blev brugt.

Archimedes havde skrevet Catoctrica, en afhandling om lysets refleksion, som vi har indirekte oplysninger om. Apuleius hævder, at det var et omfangsrigt værk, der bl.a. handlede om forstørrelse opnået med buede spejle, brændende spejle og regnbuen. Ifølge Olympiodorus den Yngre blev fænomenet brydning også undersøgt der. Et scolium til den pseudo-euklidiske Catoctrica tilskriver Archimedes udledningen af lovene om refleksion fra princippet om omvendelighed af den optiske vej; det er logisk at tro, at dette arbejde også omfattede dette resultat.

I et tabt værk, som Pappo giver oplysninger om, beskrev Archimedes konstruktionen af tretten halvstive polyedre, som stadig kaldes archimediske polyedre (i moderne terminologi er der femten archimediske polyedre, fordi de også omfatter to polyedre, som Archimedes ikke havde overvejet, nemlig dem, der fejlagtigt kaldes archimedisk prisme og archimedisk antiprisme).

Herons formel, som udtrykker arealet af en trekant ud fra siderne, kaldes sådan, fordi den er indeholdt i Herons Metrica af Alexandria, men ifølge al-Birunis vidnesbyrd er den virkelige ophavsmand Archimedes, som skulle have uddybet den i et andet tabt værk. Heron”s demonstration er særlig interessant, fordi man her sætter et kvadrat i kvadrat, hvilket er en mærkelig fremgangsmåde i græsk matematik, da den opnåede enhed ikke kan repræsenteres i det tredimensionelle rum.

Thābit ibn Qurra præsenterer som Archimedes” bog en arabisk tekst oversat af J. Tropfke. Blandt de teoremer, der er indeholdt i dette værk, er konstruktionen af en regulær heptagon, et problem, der ikke kan løses med lineal og kompas.

En passage fra Hipparchus, hvor Archimedes” bestemmelse af solstikkerne citeres, overleveret af Ptolemæus, tyder på, at han også skrev værker om astronomi. Pappus, Heron og Simplicius tilskriver ham forskellige afhandlinger om mekanik, og flere titler på værker om geometri er overleveret af arabiske forfattere. Bogen om konstruktionen af et mekanisk vandur, der kun er bevaret i arabisk oversættelse og tilskrives pseudo-Archimedes, er i virkeligheden sandsynligvis et værk af Philo af Byzans.

Archimedes Palimpsest er et middelalderligt pergamentkodeks, der indeholder nogle af den syrakusiske videnskabsmands værker i den underliggende skrift. I 1906 undersøgte den danske professor Johan Ludvig Heiberg 177 ark gedeskindspergament i Konstantinopel, som indeholdt bønner fra det 13. århundrede (palimpsest), og opdagede, at der var skrifter af Arkimedes. Ifølge en praksis, der var meget udbredt på den tid, blev allerede skrevne ark på grund af de høje omkostninger ved pergament skrabet op for at skrive andre tekster på dem og dermed genbruge materialet. Man kender navnet på forfatteren af skrabet: Johannes Myronas, som afsluttede omskrivningen af bønnerne den 14. april 1229. Palimpsestet tilbragte hundredvis af år i et klosterbibliotek i Konstantinopel, før det blev stjålet og solgt til en privat samler i 1920. Den 29. oktober 1998 blev den solgt på auktion hos Christie”s i New York til en anonym køber for to millioner dollars.

Kodekset indeholder syv afhandlinger af Archimedes, herunder den eneste bevarede kopi på græsk (byzantinsk) af Om flydende legemer og den eneste af Metoden til mekaniske teoremer, som nævnes i Suida, og som man troede var tabt for altid. Stomachion blev også identificeret på siderne, med en mere præcis analyse. Palimpsestet blev undersøgt på Walters Art Museum i Baltimore, Maryland, hvor det blev underkastet en række moderne tests, herunder brugen af ultraviolette og røntgenstråler til at aflæse den underliggende tekst. Ved afslutningen af arbejdet udgav Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska og Nigel Wilson The Archimedes Palimpsest (2011) i to bind: det første bind er overvejende kodikologisk og beskriver manuskripterne, deres historie, de teknikker, der er anvendt til at genfinde dem og præsentationen af teksterne; det andet bind indeholder på sideordnede sider den fotograferede side af kodeksen med transskriptionen af den græske tekst og den engelske oversættelse. Palimpsestets sider er tilgængelige online som fotografiske billeder, men er næsten umulige at læse.

De afhandlinger af Archimedes, der er indeholdt i Palimpsest, er: Om planernes balance, om spiraler, måling af en cirkel, om kugle og cylinder, om svævende legemer, om mekaniske teoremer og stomachion. Palimpsestet indeholder stadig to orationer af Hyperides (mod Dionda og mod Timander), en kommentar til Aristoteles” Kategorier (sandsynligvis en del af Porfyris kommentar Ad Gedalium) og af ukendte forfattere et liv af Sankt Pantaleon, to andre tekster og en Menaion, en østkirkelig tekst for helligdage uden for påsken.

Faktisk er den overbevisende historie om palimpsestet kun ét aspekt af traditionen om Archimedes” værkkorpus, dvs. den proces, hvorved hans værker er kommet til os.

Vi må begynde med at bemærke, at allerede i antikken var hans mest avancerede tekster ikke højt anset, så Eutocius (6. århundrede e.Kr.) synes ikke at have kendt hverken parabolaens kvadratur eller spiralerne. På Eutocios tid synes kun de to bøger om kuglen og cylinderen, måling af cirklen og de to bøger om planernes ligevægt at have været i omløb. Faktisk synes araberne ikke at have vidst meget mere eller andet end Archimedes” arbejde, så meget, at den eneste arkimediske tekst, der var i omløb i den latinske middelalder, var forskellige versioner af Cirkelens mål oversat fra arabisk.

Situationen i den græske verden var anderledes: i det 9. århundrede blev mindst tre kodekser med værker af Archimedes opstillet i Konstantinopel af matematikeren Leo: codex A, codex ฿ (b “gotisk”) og codex C, som senere skulle blive en palimpsest i det 11. århundrede. A og ฿ blev fundet i anden halvdel af det 13. århundrede i biblioteket ved det pavelige hof i Viterbo: Vilhelm af Moerbeke brugte dem til sin oversættelse af Archimedes” værk i 1269. Vilhelms oversættelse er i dag bevaret i ms. Ottob. Lat. 1850 i Vatikanbiblioteket, hvor det blev opdaget af Valentin Rose i 1882. Codex ฿ (som var den eneste ud over codex C, der indeholdt den græske tekst af Floaterne) gik tabt efter 1311. Codex A fik en anden skæbne: i løbet af det 15. århundrede kom den først i besiddelse af kardinal Bessarione, som fik lavet en kopi, der nu opbevares i Biblioteca Nazionale Marciana i Venedig; derefter af humanisten Giorgio Valla fra Piacenza, som udgav nogle korte uddrag af Eutocius” kommentar i sin encyklopædi De expetendis et fugiendis rebus opus, der blev udgivet posthumt i Venedig i 1501. Kodeks A blev kopieret flere gange og endte i kardinal Rodolfo Pios besiddelse; det blev solgt ved hans død (1564) og er ikke blevet fundet siden.

Men de mange kopier, der er tilbage af den (og især ms. Laurenziano XXVIII,4, som Poliziano havde kopieret for Lorenzo de Medici med absolut troskab mod den antikke model fra det 9. århundrede), har gjort det muligt for den store danske filolog Johan Ludvig Heiberg at rekonstruere denne vigtige tabte kodeks (Heibergs endelige udgave af korpus er fra 1910-15).

Den oversættelse, som Iacopo da San Cassiano foretog i midten af det 15. århundrede, fortjener en særskilt diskussion. I Heibergs kølvand blev det hidtil antaget, at Iacopo oversatte ved hjælp af codex A. Nyere undersøgelser har i stedet vist, at Iacopo brugte en model, der er uafhængig af A. Hans oversættelse udgør således en fjerde gren af den arkimediske tradition sammen med A, ฿ og palimpsest C.

Archimedes” arbejde er et af højdepunkterne i udviklingen af videnskaben i antikken. Her kombineres evnen til at identificere sæt af postulater, der er nyttige til at grundlægge nye teorier, med styrken og originaliteten af de matematiske værktøjer, der introduceres, og med en større interesse for videnskabens og matematikkens grundlag. Plutarch fortæller faktisk, at Archimedes blev overtalt af kong Hieron til at hellige sig de mere anvendte aspekter og til at bygge maskiner, hovedsagelig af krigsmæssig art, for mere konkret at hjælpe med at udvikle og sikre samfundet. Archimedes beskæftigede sig med matematik, fysik og ingeniørvidenskab på et tidspunkt, hvor opdelingen mellem disse discipliner ikke var så klar som i dag, men hvor matematikken ifølge den platoniske filosofi skulle være abstrakt og ikke anvendt, som det var tilfældet med hans opfindelser. Archimedes” arbejde udgjorde således for første gang en vigtig anvendelse af geometriens love på fysik, især på statik og hydrostatik.

I antikken blev Archimedes og hans opfindelser beskrevet med forundring og forbløffelse af klassiske græske og latinske forfattere som Cicero, Plutarch og Seneca. Takket være disse beretninger i slutningen af middelalderen og den tidlige moderne æra, blev der i slutningen af middelalderen og den tidlige moderne æra skabt en stor interesse for forskning og genfinding af Archimedes” værker, som i middelalderen blev overleveret og undertiden gik tabt som håndskrifter. Den romerske kultur var således mest imponeret af Archimedes” maskiner snarere end af hans matematiske og geometriske studier, i en sådan grad at matematikhistorikeren Carl Benjamin Boyer gik så langt som til at sige, at Ciceros opdagelse af Archimedes” grav var det største bidrag, måske det eneste, som den romerske verden ydede til matematikken.

Piero della Francesca, Stevino, Galilei, Kepler og andre frem til Newton studerede, genoptog og udvidede systematisk Archimedes” videnskabelige studier, især med hensyn til infinitesimalregning.

Galileos indførelse af den moderne videnskabelige metode til undersøgelse og verifikation af sine resultater var inspireret af den metode, hvormed Archimedes forfulgte og demonstrerede sin indsigt. Desuden fandt den pisanske videnskabsmand en måde at anvende geometriske metoder, der ligner Archimedes”, til at beskrive kroppes accelererede faldbevægelse, og det lykkedes ham endelig at overvinde den beskrivelse af fysikken for statiske kroppe, som videnskabsmanden fra Syrakus havde udviklet alene. Galilei kaldte selv Archimedes for “min mester” i sine skrifter, så stor var ærbødigheden for hans arbejde og arv.

Studiet af Archimedes” værker beskæftigede derfor de tidligt moderne forskere i lang tid og var en vigtig stimulans for udviklingen af videnskaben, som den forstås i dag. Archimedes” indflydelse i de senere århundreder (f.eks. på udviklingen af streng matematisk analyse) er genstand for modstridende vurderinger fra forskernes side.

Læs også, historie – Maginot-linjen

Kunst

På Raphael Sanzios berømte fresko, Skolen i Athen, er Archimedes tegnet med en hensigt om at studere geometri. Hans portræt er lavet af Donato Bramante.

Den tyske digter Schiller skrev digtet Archimedes og den unge mand.

Archimedes” billede optræder også på frimærker udstedt af Østtyskland (1973), Grækenland (1983), Italien (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), Spanien (1963) og Østtyskland (1973).

Det italienske progressive rockband Premiata Forneria Marconi dedikerede på albummet States of Imagination det sidste nummer til videnskabsmanden med titlen Visions of Archimedes, hvor videoen følger hans liv og opfindelser.

Archimedes er hovedpersonen i romanen Il matematico che sfidò Roma af Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).

Læs også, biografier-da – Francisco Franco

Videnskab

Den 14. marts fejres verden over som Pi-dag, da det i de angelsaksiske lande svarer til 3

På bagsiden af Fields-medaljen, som er den højeste udmærkelse for matematikere, er der et portræt af Archimedes med en sætning, der tilskrives ham: Transire suum pectus mundoque potiri, som i translitteration kan oversættes som følger: “At hæve sig over sig selv og erobre verden”.

Læs også, historie – Atahualpa

Teknologi

Archimede solcellebil 1.0, en solcelledrevet bil, blev designet og bygget på Sicilien.

Archimedes-projektet blev realiseret, et solkraftværk nær Priolo Gargallo, der bruger en række spejle til at producere elektricitet.

Læs også, historie – Gestapo

Museer og monumenter

I Syrakus blev der rejst en statue til ære for videnskabsmanden og Technopark Archimedes, et område, hvor opfindelser blev reproduceret.

En anden statue af Archimedes står i Treptower Park i Berlin.

I Archea Olympia i Grækenland findes der et museum dedikeret til Archimedes.

Læs også, biografier-da – Stefan af Blois

Sekundær litteratur

Kilder

1. Archimede
2. Arkimedes
3. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
4. ^ G. Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede, in «Figure meccaniche, sogni, saggi sulla scienza antica», Storia e letteratura 232, Roma 2006, pp. 111-130
5. ^ P. Greco, La scienza e l”Europa. Dalle origini al XIII secolo, Roma 2014, p. 62: «Se il più grande geometra dell”antichità e di tutti i tempi è Euclide, il più grande matematico e il primo fisico matematico in assoluto è certo Archimede, che vive e lavora a Siracusa, anche se frequenta Alessandria. Nella città africana studia da giovane, probabilmente con gli allievi di prima generazione di Euclide, forse vi ritorna più volte in età adulta e, in ogni caso, resta in contatto, attraverso una fitta corrispondenza, con la comunità della Biblioteca e in particolare con Eratostene, di cui è amico».
6. ^ In the preface to On Spirals addressed to Dositheus of Pelusium, Archimedes says that “many years have elapsed since Conon”s death.” Conon of Samos lived c. 280–220 BC, suggesting that Archimedes may have been an older man when writing some of his works.
7. ^ The treatises by Archimedes known to exist only through references in the works of other authors are: On Sphere-Making and a work on polyhedra mentioned by Pappus of Alexandria; Catoptrica, a work on optics mentioned by Theon of Alexandria; Principles, addressed to Zeuxippus and explaining the number system used in The Sand Reckoner; On Balances and Levers; On Centers of Gravity; On the Calendar.
8. ^ Boyer, Carl Benjamin. 1991. A History of Mathematics. ISBN 978-0-471-54397-8: “Arabic scholars inform us that the familiar area formula for a triangle in terms of its three sides, usually known as Heron”s formula — k = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {displaystyle k={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} , where s {displaystyle s} is the semiperimeter — was known to Archimedes several centuries before Heron lived. Arabic scholars also attribute to Archimedes the ”theorem on the broken chord” … Archimedes is reported by the Arabs to have given several proofs of the theorem.”
9. ^ Casson, Lionel. 1995. Ships and seamanship in the ancient world Archived 17 April 2021 at the Wayback Machine. Baltimore: Johns Hopkins University Press. pp. 211–12. ISBN 978-0-8018-5130-8: “It was usual to smear the seams or even the whole hull with pitch or with pitch and wax”. In Νεκρικοὶ Διάλογοι (Dialogues of the Dead), Lucian refers to coating the seams of a skiff with wax, a reference to pitch (tar) or wax.
10. Год рождения Архимеда вычисляется на основании труда византийского филолога XII столетия Иоанна Цеца «Хилиады». В нём утверждается, что на момент смерти во время штурма римлянами Сиракуз в 212 году до н. э. Архимеду было 75 лет. Соответственно годом рождения был 287 год до н. э. Так как дата непротиворечива, то она и принята современными учёными[2].
11. Единственным свидетельством о Фидии является упоминание в работе Архимеда Псаммит, однако это место испорчено и не все историки согласны, что Архимед[5] в этом месте говорит о своём отце.
12. Классическое образование в Элладе богатых и знатных людей предполагало занятия философией и литературой, в то время как остальные обучали детей только тому, что знали сами. Среди всех дошедших до сегодняшнего дня работ Архимеда, свидетельств о жизни учёного, нет никаких сведений о занятиях гуманитарными науками. На основании этого С. Я. Лурье и делает соответствующие выводы.
13. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que «muchos años han pasado desde la muerte de Conon». Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.
14. Los tratados de Arquímedes que solo se conocen a través de referencias de otros autores son: Sobre hacer esferas y una obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, una obra sobre óptica mencionada por Teón de Alejandría; Principios, dirigido a Zeuxippos, que explicaba el sistema numérico usado en El contador de arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros de gravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arquímedes, Heath, T. L. da la siguiente teoría acerca del orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, La cuadratura de la parábola, Sobre el equilibrio de los planos II, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, Sobre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantess I, II, Sobre la medida de un círculo, El contador de arena.
15. Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 «Estudiosos árabes nos informan que la familiar fórmula del área de un triángulo en cuanto a las medidas de sus tres lados, usualmente conocida como la fórmula de Herón —k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), donde s es el semiperímetro— era conocida por Arquímedes varios siglos antes de que Herón naciera. Los estudiosos árabes también atribuyen a Arquímedes el ”teorema del acorde roto” … Según los árabes, Arquímedes dio varias pruebas de dicho teorema».