Archimedes

gigatos | August 14, 2022

Zusammenfassung

Archimedes von Syrakus (Syrakus, ca. 287 v. Chr. – Syrakus, 212 v. Chr.) war ein sizelischer Mathematiker, Physiker und Erfinder.

Er gilt als einer der größten Wissenschaftler und Mathematiker der Geschichte und trug dazu bei, das Wissen in Bereichen von der Geometrie bis zur Hydrostatik, von der Optik bis zur Mechanik zu erweitern: Er konnte die Oberfläche und das Volumen der Kugel berechnen und formulierte die Gesetze für den Auftrieb von Körpern; im Bereich der Technik entdeckte und nutzte er die Funktionsprinzipien von Hebeln, und sein Name ist mit zahlreichen Maschinen und Geräten verbunden, wie z. B. der archimedischen Schraube, die seine Erfindungsgabe beweist; noch immer von einer Aura des Geheimnisses umgeben sind jedoch die Kriegsmaschinen, die Archimedes zur Verteidigung von Syrakus gegen die römische Belagerung vorbereitet haben soll.

An sein Leben erinnern zahlreiche Anekdoten, deren Ursprung manchmal ungewiss ist und die dazu beigetragen haben, die Figur des Wissenschaftlers in der kollektiven Vorstellung aufzubauen. So ist beispielsweise der Ausruf èureka! (εὕρηκα! – Ich habe es gefunden!), der ihm nach der Entdeckung des Prinzips des Auftriebs von Körpern zugeschrieben wird, das immer noch seinen Namen trägt, über die Jahrhunderte hinweg berühmt geblieben.

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Historische Elemente

Es gibt nur wenige gesicherte Informationen über sein Leben. Alle Quellen stimmen darin überein, dass er ein Syrakusaner war und während der römischen Eroberung von Syrakus im Jahr 212 v. Chr. getötet wurde. Es gibt auch den von Diodorus Siculus überlieferten Bericht, dass er sich in Ägypten aufhielt und in Alexandria mit dem Mathematiker und Astronomen Conon von Samos befreundet war. Wahrscheinlich war dies nicht der Fall: Der Wissenschaftler wollte mit den Gelehrten der Schule von Alexandria in Kontakt treten, an die er viele seiner Schriften schickte. Während dieses hypothetischen Aufenthalts soll Archimedes die „hydraulische Schraube“ erfunden haben.

Sicher ist nur, dass er tatsächlich in Kontakt mit Conon stand (was sich aus dem in einigen seiner Werke zum Ausdruck gebrachten Bedauern über dessen Tod ableiten lässt), den er möglicherweise in Sizilien getroffen hat. Er unterhielt eine Korrespondenz mit verschiedenen Wissenschaftlern in Alexandria, darunter Eratosthenes, dem er seine Abhandlung Die Methode und Dositheus widmete. Ein gutes Beispiel für die Zusammenarbeit zwischen dem Wissenschaftler und den Alexandrinern ist das Einführungsschreiben zu der Abhandlung Über die Spiralen.

Laut Plutarch war er mit dem Monarchen Hieron II. verwandt. Die These ist umstritten, wird aber durch die enge Freundschaft und Wertschätzung gestützt, die sie auch nach Meinung anderer Autoren verband. Das Geburtsdatum ist nicht sicher. Gewöhnlich wird das Jahr 287 v. Chr. angenommen, basierend auf Informationen des byzantinischen Gelehrten John Tzetzes, dass er im Alter von fünfundsiebzig Jahren starb. Es ist jedoch nicht bekannt, ob sich Tzetzes auf verlässliche Quellen stützte, die heute verloren sind, oder ob er lediglich versucht hatte, die von verschiedenen Autoren berichtete Tatsache zu quantifizieren, dass Archimedes zum Zeitpunkt seiner Ermordung alt war. Die Hypothese, dass er der Sohn eines (ansonsten unbekannten) syrakusanischen Astronomen namens Phidias war, basiert auf der Rekonstruktion eines Satzes von Archimedes aus dem Arenarius durch den Philologen Friedrich Blass, der in den Handschriften beschädigt und bedeutungslos geworden war. Wenn diese Hypothese zutrifft, kann man davon ausgehen, dass er von seinem Vater die Liebe zu den exakten Wissenschaften geerbt hat.

Aus erhaltenen Werken und Zeugnissen ist bekannt, dass er sich mit allen Zweigen der Wissenschaften seiner Zeit (Arithmetik, ebene und feste Geometrie, Mechanik, Optik, Hydrostatik, Astronomie usw.) und verschiedenen technischen Anwendungen befasste.

Polybius berichtet, dass er sich während des Zweiten Punischen Krieges auf Bitten von Hieron II. (laut Plutarch mit weniger Enthusiasmus, aber laut allen drei mit großem Erfolg) dem Bau von Kriegsmaschinen widmete, die seiner Stadt helfen sollten, sich gegen den Angriff Roms zu verteidigen. Plutarch berichtet, dass Syrakus gegen die römischen Legionen und die mächtige Flotte nur ein paar tausend Mann und das Genie eines alten Mannes hatte; Archimedes“ Maschinen hätten zyklopische Felsbrocken und einen eisernen Sturm gegen die sechzig imposanten Quinqueremes von Marcus Claudius Marcellus geschleudert. Er wurde 212 v. Chr. bei der Plünderung von Syrakus getötet. Der Überlieferung nach war der Mörder ein römischer Soldat, der ihn nicht erkannte und den Befehl, ihn lebendig zu fangen, nicht ausführte.

Archimedes genoss sowohl in seinem Heimatland – er war eine Referenz für König Hieron – als auch in Alexandria, wo er mit den berühmtesten Mathematikern seiner Zeit korrespondierte, sowie bei den Römern ein so hohes Ansehen, dass er der Legende nach lebendig gefangen genommen werden sollte (stattdessen wurde er getötet). Der römische Feldherr ließ sich ein Grabmal zu seinen Ehren errichten.

Die Figur des Archimedes faszinierte seine Zeitgenossen so sehr, dass sich im Laufe der Zeit biografische Ereignisse eng mit Legenden verwoben haben und es immer noch schwierig ist, fiktionale Elemente von der historischen Realität zu unterscheiden. Zu dem Mangel an Beweisen kommt hinzu, dass Archimedes nur theoretische und spekulative Werke schrieb.

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Zwei berühmte Anekdoten

In der kollektiven Vorstellung ist Archimedes untrennbar mit zwei Anekdoten verbunden. Vitruv erzählt, dass er seine Arbeit an der Hydrostatik begonnen haben soll, weil der Herrscher Hieron II. ihn gebeten hatte, zu bestimmen, ob eine Krone aus reinem Gold oder (innerhalb der Krone) aus anderen Metallen besteht. Er entdeckte die Lösung des Problems, als er ein Bad nahm und feststellte, dass das Eintauchen in das Wasser den Wasserstand ansteigen ließ. Die Beobachtung hätte ihn so glücklich gemacht, dass er nackt aus dem Haus gegangen und mit dem Ausruf „εὕρηκα“ (èureka!, ich habe gefunden!) durch die Straßen von Syrakus gelaufen wäre. Hätten wir die Abhandlung Über schwimmende Körper nicht gekannt, hätten wir aus der vitruvianischen Darstellung nicht das Niveau der archimedischen Hydrostatik ableiten können.

Vitruv berichtet, dass das Problem gelöst würde, indem man das Volumen der Krone und eines gleich schweren Goldstücks misst, indem man sie in ein mit Wasser gefülltes Gefäß taucht und das übergelaufene Wasser misst. Dies ist jedoch ein unplausibles Verfahren, da es einen zu großen Fehler beinhaltet und in keinem Zusammenhang mit der von Archimedes entwickelten Hydrostatik steht. Nach einer zuverlässigeren, in der Spätantike bezeugten Rekonstruktion hatte Archimedes vorgeschlagen, die Krone und eine gleiche Menge Gold zu wiegen, die beide in Wasser getaucht wurden. Wäre die Krone aus reinem Gold gewesen, wäre die Waage im Gleichgewicht gewesen. Da die Waage auf die Seite des Goldes kippte, konnte man stattdessen ableiten, dass die Krone bei gleichem Gewicht einen größeren hydrostatischen Auftrieb erfahren hatte, also ein größeres Volumen haben musste, was bedeutete, dass sie auch aus anderen Metallen hergestellt worden sein musste, da diese Metalle (wie z. B. Silber) eine geringere Dichte hatten als Gold.

Einer anderen, ebenso berühmten Anekdote zufolge gelang es Archimedes (oder Hieron) dank einer von ihm erfundenen Maschine, ein Schiff zu bewegen. Begeistert von seiner Fähigkeit, Maschinen zu bauen, die große Gewichte mit kleinen Kräften bewegen können, soll er bei dieser oder einer anderen Gelegenheit ausgerufen haben: „Gebt mir einen Fuß, und ich werde die Erde heben“. Der Satz wird, mit geringfügigen Abweichungen, von verschiedenen Autoren zitiert, darunter Pappus von Alexandria

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Todeslegenden

Die Legende hat der Nachwelt auch die letzten Worte des Archimedes überliefert, die er an den Soldaten richtete, der ihn töten wollte: „noli, obsecro, istum disturbare“ (verderben Sie bitte nicht diese Zeichnung). drei verschiedene Versionen des Todes von Archimedes.

In der ersten erzählt er, dass ein römischer Soldat Archimedes angeblich befahl, ihm zu Marcellus zu folgen; als er sich weigerte, tötete ihn der Soldat.

In der zweiten soll ein römischer Soldat aufgetaucht sein, um Archimedes zu töten, und dieser flehte ihn vergeblich an, ihn die Demonstration, mit der er beschäftigt war, zu Ende führen zu lassen.

In der dritten sollen Soldaten Archimedes getroffen haben, als er Marcellus einige wissenschaftliche Instrumente, Sonnenuhren, Sphären und Quadrate, in einer Kiste brachte; in dem Glauben, dass die Kiste Gold enthielt, sollen die Soldaten ihn getötet haben, um sie zu erbeuten.

Laut Titus Livius war Marcellus, der den unermesslichen Wert von Archimedes“ Genie kannte und schätzte und es vielleicht im Dienste der Republik nutzen wollte, über seinen Tod sehr betrübt. Diese Autoren berichten, dass er dem Wissenschaftler ein ehrenvolles Begräbnis gab. Dies wird jedoch nicht von Polybius berichtet, der als die maßgebliche Quelle für die Belagerung und Plünderung von Syrakus gilt.

Cicero erzählt, dass er das Grab des Archimedes dank einer in einen Zylinder eingeschriebenen Kugel entdeckte, die angeblich auf Wunsch des Wissenschaftlers dort eingemeißelt wurde.

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Ordnungsamt

Archimedes verdankt einen Großteil seiner Popularität seinem Beitrag zur Verteidigung von Syrakus gegen die römische Belagerung während des Zweiten Punischen Krieges. Polybius, Livius und Plutarch beschreiben von ihm erfundene Kriegsmaschinen, darunter die manus ferrea, eine mechanische Klaue, die feindliche Schiffe zum Kentern bringen kann, und von ihm perfektionierte Strahlwaffen.

Im 2. Jahrhundert berichtete der Schriftsteller Lukian von Samosata, dass Archimedes während der Belagerung von Syrakus (ca. 214-212 v. Chr.) feindliche Schiffe mit Feuer vernichtete. Jahrhunderte später erwähnt Antemius von Tralles „Linsen mit Feuer“ als von Archimedes entworfene Waffen. Das als „Archimedische Brennspiegel“ bezeichnete Instrument sollte das Sonnenlicht auf sich nähernde Schiffe konzentrieren und diese so in Brand setzen.

Seit der Renaissance wird über den Wahrheitsgehalt dieser hypothetischen Waffe diskutiert. René Descartes hielt sie für falsch, während moderne Forscher versucht haben, den Effekt mit den einzigen Mitteln nachzustellen, die Archimedes zur Verfügung standen. Es wurde vermutet, dass eine Vielzahl von polierten Bronze- oder Kupferschilden als Spiegel verwendet wurden, um das Sonnenlicht auf das Schiff zu bündeln. Dieser hätte das Prinzip der parabolischen Reflexion in ähnlicher Weise wie ein Sonnenofen genutzt.

1973 führte der griechische Wissenschaftler Ioannis Sakkas ein Experiment durch, um die brennenden Spiegel des Archimedes zu testen. Das Experiment fand auf dem Marinestützpunkt Skaramagas außerhalb von Athen statt. Bei dieser Gelegenheit wurden 70 Spiegel mit einer Kupferbeschichtung und einer Größe von etwa 1,5 Metern verwendet. Die Spiegel waren auf eine Sperrholznachbildung eines römischen Kriegsschiffs in etwa 50 Metern Entfernung gerichtet. Als die Spiegel die Sonnenstrahlen genau bündelten, fing das Schiff innerhalb von Sekunden Feuer. Das Modell war mit einer Teerschicht überzogen, die die Verbrennung begünstigt haben könnte. Eine solche Beschichtung war auf Schiffen der damaligen Zeit üblich.

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Syrakus

Moschion beschreibt in einem Werk, aus dem Athenäus große Auszüge berichtet, ein riesiges Schiff, das von König Hieron II. in Auftrag gegeben und von Archias von Korinth gebaut wurde. Das Schiff, das imposanteste der Antike, wurde Siracusia genannt. Der Name wurde in Alexandria geändert, als sie zusammen mit einer Ladung Getreide als Geschenk an König Ptolemäus III. von Ägypten geschickt wurde, um den Reichtum der sizilianischen Stadt zu demonstrieren. Für dieses Schiff entwickelte Archimedes ein Instrument, die Cochlea, mit dem das Wasser aus den Laderäumen gepumpt werden konnte, um sie trocken zu halten.

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Wasseruhr

Ein arabisches Manuskript enthält eine Beschreibung einer genialen, von Archimedes entworfenen Wasseruhr. In der Uhr wurde der Durchfluss des abfließenden Wassers durch die Einführung eines schwimmenden Ventils konstant gehalten.

Die Uhr bestand aus zwei Tanks, von denen einer über dem anderen stand. Das obere Becken war mit einem Hahn ausgestattet, der einen konstanten Wasserfluss in das untere Becken lieferte.

Über dem unteren Becken befand sich eine drehbare Planke, an der ein Faden aufgerollt war, an dessen Enden ein kleiner Stein und ein Schwimmer befestigt waren.

Zu Beginn des Tages musste der untere Tank leer sein, und die Leine wurde nach unten gezogen, so dass der Schwimmer den Boden berührte und der Stein nach oben stieg.

Durch Öffnen des Wasserhahns begann sich der untere Behälter zu füllen, wodurch der Schwimmer angehoben und der Stein abgesenkt wurde. Die Länge der Schnur und der Wasserdurchfluss wurden so kalibriert, dass es 12 Uhr mittags war, als sich der Schwimmer auf der Höhe des Steins befand, und 18 Uhr, als der Stein am Boden lag.

Archimedes sah sich mit dem Problem konfrontiert, den Durchfluss aus dem Wasserhahn konstant zu halten: Mit der Entleerung des oberen Beckens nahm der Wasserdruck ab und der Durchfluss verringerte sich. Er fügte also ein drittes Becken hinzu, das höher lag als die ersten beiden, und füllte mit Hilfe eines Schwimmers das zweite Becken, um dessen Niveau und damit den Druck, mit dem das Wasser aus dem Hahn kam, konstant zu halten.

Ein Verdienst, das Archimedes auch heute noch zuerkannt wird, besteht darin, dass er als Erster die Zeit als physikalische Größe interpretierte, die mit den mathematischen Werkzeugen analysiert werden kann, die für geometrische Größen verwendet werden (z. B. stellt er in seiner Abhandlung Über Spiralen Zeitintervalle mit Segmenten dar und wendet die Proportionslehre des Euklid auf sie an).

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Mechanische Erfindungen

Athenäus berichtet, dass Archimedes eine Maschine konstruiert hat, mit der ein einzelner Mann ein Schiff mit Besatzung und Ladung bewegen kann. Bei Athenäus bezieht sich die Episode auf den Stapellauf der Syrakus, während Plutarch von einem Demonstrationsexperiment spricht, das durchgeführt wurde, um dem Herrscher die Möglichkeiten der Mechanik zu zeigen. Diese Berichte enthalten zweifellos Übertreibungen, aber die Tatsache, dass Archimedes die mechanische Theorie entwickelt hatte, die den Bau von Maschinen mit einem hohen mechanischen Vorteil ermöglichte, gewährleistet, dass sie eine reale Grundlage hatten.

Laut Athenäus hatte er den Mechanismus zum Pumpen von Wasser für die Bewässerung von Feldern erfunden, der als Archimedische Schraube bekannt ist.

Der Technikhistoriker Andre W. Sleeswyk schreibt auch den von Vitruv beschriebenen Kilometerzähler Archimedes zu.

Der Architronito, der von Leonardo da Vinci beschrieben wurde, war eine Dampfkanone, deren Erfindung auf Archimedes von Syrakus um 200 v. Chr. zurückgeht. Es wird angenommen, dass die Maschine bei der Belagerung von Syrakus 212 v. Chr. und 49 v. Chr. bei der Belagerung von Marseille durch Julius Cäsar eingesetzt wurde.

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Das Planetarium

Eine der am meisten bewunderten Errungenschaften des Archimedes in der Antike war das Planetarium. Die besten Informationen über diesen Apparat stammen von Cicero, der schreibt, dass der Konsul Marcus Claudius Marcellus 212 v. Chr., als Syrakus von römischen Truppen geplündert wurde, ein von Archimedes gebautes Gerät nach Rom brachte, das das Himmelsgewölbe auf einer Kugel abbildete, und ein weiteres, das die scheinbare Bewegung von Sonne, Mond und Planeten vorhersagte und somit einer modernen Armillarsphäre entsprach. Cicero, der die Eindrücke von Gaius Sulpicius Gallus wiedergibt, der das außergewöhnliche Objekt beobachten konnte, hebt hervor, wie es dem Genie des Archimedes gelungen war, die so unterschiedlichen Bewegungen der Planeten durch eine einzige Drehung zu erzeugen. Dank Pappus ist bekannt, dass Archimedes den Bau des Planetariums in seinem verlorenen Werk Über den Bau der Sphären beschrieben hat.

Die Entdeckung der Maschine von Antikythera, eines Getriebes, das einigen Forschungen zufolge auf die zweite Hälfte des 2. Jahrhunderts v. Chr. zurückgeht und zeigt, wie ausgeklügelt die Mechanismen waren, die zur Darstellung der Bewegung der Sterne gebaut wurden, hat das Interesse am Planetarium des Archimedes neu entfacht. Im Juli 2006 wurde in Olbia ein Zahnrad gefunden, das dem Planetarium des Archimedes zugeordnet werden kann; im Dezember 2008 wurden der Öffentlichkeit Studien zu diesem Fund vorgestellt. Einer Rekonstruktion zufolge könnte das Planetarium, das an die Nachkommen des Eroberers von Syrakus übergegangen sein soll, vor dem Untergang des Schiffes, das Marcus Claudius Marcellus (Konsul 166 v. Chr.) nach Numidien brachte, in Olbia (einem wahrscheinlichen Zwischenstopp auf der Reise) verloren gegangen sein.

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Messung des Pupillendurchmessers

Im Arenarius (Buch I, Kap. 13) erwähnt Archimedes eine Methode zur Messung des Sonnenwinkels mit Hilfe eines Lineals, auf das er einen kleinen Zylinder legt, und stellt fest, dass der so gebildete Winkel (Scheitelpunkt im Auge und Tangenten an die Ränder des Zylinders und der Sonne) kein korrektes Maß darstellt, weil die Größe der Pupille noch nicht bekannt ist. Dann setzte er einen zweiten Zylinder einer anderen Farbe ein und positionierte das Auge weiter hinten am Ende des Lineals, um den durchschnittlichen Durchmesser der Pupille und damit eine genauere Schätzung des Durchmessers der Sonne zu erhalten. Die – wenn auch kurze – Diskussion zu diesem Thema lässt vermuten, dass Archimedes in dieser Frage nicht nur die Schriften von Euklid, sondern auch die Studien von Erophilus von Chalcedon berücksichtigt hat, der der Beschaffenheit des Auges mehrere Schriften gewidmet hatte, die alle vollständig verloren sind und nur durch die Zitate von Galen bekannt sind.

Die wissenschaftlichen Errungenschaften des Archimedes können aufgezeigt werden, indem zunächst der Inhalt der erhaltenen Werke und dann die Beweise für die verlorenen Werke beschrieben werden.

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Bewahrte Werke

Schon in der Bibel wurde vorgeschlagen, dass das Verhältnis des Halbkreises zum Radius etwa 3 beträgt, und dieser Näherungswert wurde allgemein akzeptiert.

In seinem kurzen Werk Das Maß des Kreises zeigt Archimedes zunächst, dass ein Kreis einem Dreieck entspricht, dessen Basis gleich lang ist wie der Umfang und dessen Höhe gleich lang ist wie der Radius. Dieses Ergebnis wird durch die Annäherung des Kreises von innen und außen mit eingeschriebenen und umschriebenen regelmäßigen Polygonen erzielt. Mit demselben Verfahren stellt Archimedes eine Methode vor, mit der er das Verhältnis zwischen der Länge eines Kreisumfangs und dem Durchmesser eines gegebenen Kreises, das heute mit π bezeichnet wird, so weit wie möglich annähern kann. Die erhaltenen Schätzungen begrenzen diesen Wert auf zwischen 22

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In dem Werk Quadratur der Parabel (das Archimedes Dositeo gewidmet hat) wird die Fläche eines Parabelsegments berechnet, einer Figur, die von einer Parabel und einer Sekante begrenzt wird, die nicht unbedingt orthogonal zur Parabelachse verläuft, und es wird festgestellt, dass sie einen Wert von 4

Es wird gezeigt, dass das maximal einbeschriebene Dreieck durch ein bestimmtes Verfahren ermittelt werden kann. Das Segment der Sekante zwischen den beiden Schnittpunkten wird als Basis des Parabelsegments bezeichnet. Es werden die zur Achse der Parabel parallelen Linien betrachtet, die durch die Extrempunkte der Basis verlaufen. Dann wird eine dritte Linie gezogen, die parallel zu den ersten beiden und in gleichem Abstand von ihnen verläuft.

Der Schnittpunkt der letztgenannten Linie mit der Parabel bestimmt den dritten Scheitelpunkt des Dreiecks. Subtrahiert man das maximal eingeschriebene Dreieck von dem Parabelsegment, erhält man zwei neue Parabelsegmente, in die zwei neue Dreiecke eingeschrieben werden können. Durch Wiederholung des Verfahrens wird das Parabelsegment mit einer unendlichen Anzahl von Dreiecken gefüllt.

Die benötigte Fläche erhält man, indem man die Flächen der Dreiecke berechnet und die erhaltenen unendlichen Terme addiert. Der letzte Schritt reduziert sich auf die Summe der geometrischen Reihen von Grund 1

Dies ist das erste bekannte Beispiel für die Summe einer Reihe. Zu Beginn des Werkes wird das so genannte Axiom des Archimedes vorgestellt.

Bei einem Parabelsegment, das durch die Sekante AC begrenzt wird, ist ein erstes maximales Dreieck ABC eingeschrieben.

Zwei weitere Dreiecke ADB und BEC sind in die beiden Parabelsegmente AB und BC eingeschrieben.

In gleicher Weise wird mit den vier Parabelsegmenten AD, DB, BE und EC verfahren, die die Dreiecke AFD, DGB, BHE und EIC bilden.

Beweisen Sie anhand der Eigenschaften der Parabel, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC das Vierfache des Flächeninhalts von ADB + BEC ist und dass: A D B + B E C = 4 ( A F D + D G B + B H E + E I C ) {Displaystyle ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}

Jeder Schritt vergrößert die Fläche des Dreiecks 1

An dieser Stelle genügt es zu zeigen, dass das auf diese Weise konstruierte Polygon tatsächlich eine Annäherung an das Parabelsegment darstellt und dass die Summe der Reihen der Flächeninhalte der Dreiecke gleich 4 ist

Sull“equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, ein Werk in zwei Büchern, ist die erste Abhandlung über Statik, die uns überliefert wurde. Darin formuliert Archimedes eine Reihe von Postulaten, auf denen er die neue Wissenschaft aufbaut und das Gesetz des Hebels demonstriert. Die Postulate definieren auch implizit den Begriff des Schwerpunkts, dessen Lage bei verschiedenen ebenen geometrischen Figuren bestimmt wird.

In seinem Hauptwerk „Über Spiralen“ definiert Archimedes mit Hilfe einer kinematischen Methode das, was heute als archimedische Spirale bezeichnet wird, und kommt zu zwei Ergebnissen von großer Bedeutung. Zunächst berechnet er die Fläche der ersten Windung der Spirale mit einer Methode, die die Riemannsche Integration vorwegnimmt. Dann gelingt es ihm, die Richtung der Tangente an jedem Punkt der Kurve zu berechnen, wobei er Methoden vorwegnimmt, die in der Differentialgeometrie zum Einsatz kommen werden. Archimedes“ Definition der Spirale: eine Linie mit einem festen Ende dreht sich gleichmäßig; ein Punkt bewegt sich auf ihr mit gleichmäßiger Bewegung: die von diesem Punkt beschriebene Kurve wird die Spirale sein.

Die wichtigsten Ergebnisse von Della sfera e del cilindro, ein Werk in zwei Büchern, sind, dass die Oberfläche der Kugel ist viermal die Fläche der maximalen Kreis und dass das Volumen der Kugel ist zwei Drittel des Volumens der umschriebenen Zylinder.

Einer von Plutarch und Cicero überlieferten Tradition zufolge war Archimedes so stolz auf diese letzte Errungenschaft, dass er sie als Epitaph auf seinem Grab abbilden ließ.

In seinem Werk Über Konoide und Sphäroide definiert Archimedes Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide der Rotation, betrachtet die Segmente, die man erhält, wenn man diese Figuren mit Ebenen zerschneidet, und berechnet deren Volumen.

Über schwimmende Körper ist eines der Hauptwerke von Archimedes, mit dem die Wissenschaft der Hydrostatik begründet wird. Im ersten der beiden Bücher des Werkes wird ein Postulat aufgestellt, aus dem das, was heute fälschlicherweise als Archimedes-Prinzip bezeichnet wird, als Theorem abgeleitet wird. Neben der Berechnung der statischen Gleichgewichtspositionen der Schwimmer wird gezeigt, dass das Wasser in den Ozeanen unter Gleichgewichtsbedingungen eine sphärische Form annimmt. Seit der Zeit von Parmenides wussten die griechischen Astronomen, dass die Erde eine Kugelform hat, aber hier wird dies zum ersten Mal aus physikalischen Prinzipien abgeleitet.

Das zweite Buch untersucht die Gleichgewichtsstabilität von schwimmenden Paraboloidsegmenten. Das Problem wurde wegen seiner interessanten Anwendungen in der Schifffahrtstechnik ausgewählt, aber auch die Lösung ist von großem mathematischen Interesse. Archimedes untersucht die Stabilität in Abhängigkeit von zwei Parametern, einem Formparameter und der Dichte, und bestimmt Schwellenwerte für beide Parameter, die stabile von instabilen Konfigurationen unterscheiden. Für E.J. Dijksterhuis sind diese Ergebnisse „definitiv jenseits der Grenzen der klassischen Mathematik“.

Im Arenarius (siehe Link unten für die italienische Übersetzung), der an Gelon II. gerichtet ist, versucht Archimedes, die Anzahl der Sandkörner zu bestimmen, die die Kugel der Fixsterne ausfüllen können. Das Problem ergibt sich aus dem griechischen Zahlensystem, das es nicht erlaubt, so große Zahlen auszudrücken. Obwohl die Arbeit ist die einfachste in Bezug auf die mathematischen Techniken unter Archimedes“ Werke, hat es mehrere Gründe von Interesse. Erstens führt sie ein neues Zahlensystem ein, das es praktisch ermöglicht, beliebig große Zahlen zu erzeugen. Die größte Zahl, die genannt wurde, wird heute als 108-1016 geschrieben. Der astronomische Kontext rechtfertigt dann zwei wichtige Abschweifungen. Der erste beschreibt die heliozentrische Theorie des Aristarchos und ist die wichtigste Quelle zu diesem Thema; der zweite beschreibt eine genaue Messung der scheinbaren Helligkeit der Sonne und bietet eine seltene Illustration der antiken experimentellen Methode. Es ist jedoch anzumerken, dass die Anfechtung der heliozentrischen Thesen des Aristarchos in erster Linie geometrischer und nicht astronomischer Natur ist, denn selbst wenn man davon ausgeht, dass der Kosmos eine Kugel mit der Erde im Mittelpunkt ist, weist Archimedes darauf hin, dass der Mittelpunkt der Kugel keine Größe hat und keine Beziehung zur Oberfläche haben kann; Buch I, Kap. 6.

Aus wissenschaftlicher Sicht sind Archimedes“ Demonstrationen von Hebeln recht innovativ. Der sizilianische Wissenschaftler wendet nämlich eine streng deduktive Methode an, die auf der Mechanik des Gleichgewichts fester Körper beruht. Dazu demonstriert er seine Thesen und Konzepte des Gleichgewichts und des Baryzentrums mit Hilfe der Proportionslehre und in geometrischen Begriffen. Aus diesen Studien wurde das 1. Gesetz des Gleichgewichts des Hebels postuliert:

Ausgehend von der Vorstellung einer Waage, die aus einem Segment und einem Drehpunkt besteht und an der zwei Körper im Gleichgewicht aufgehängt sind, lässt sich feststellen, dass das Gewicht der beiden Körper direkt proportional zur Fläche und zum Volumen der Körper ist. Der Legende nach sagte Archimedes: „Gib mir einen Hebel, und ich werde die Welt heben“, nachdem er das zweite Gesetz der Hebel entdeckt hatte. Durch die Verwendung von vorteilhaften Hebeln können schwere Lasten mit einer geringen Kraft angehoben werden, wie es das Gesetz vorsieht:

P : R = b R : b P {displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}

wobei P {P} ist die Leistung und R (Displaystyle R) den Widerstand, während b P {displaystyle b_{P} e b R {displaystyle b_{R}} sind die jeweiligen Aktionsarme.

Das kurze Werk Die Methode über mechanische Probleme, das mindestens seit dem Mittelalter verschollen war, wurde zum ersten Mal in dem berühmten Palimpsest gelesen, das Heiberg 1906 fand, dann wieder verloren ging, wahrscheinlich von einem Mönch während einer Manuskriptübertragung gestohlen, und 1998 wiederentdeckt wurde. Sie gibt einen Einblick in die Verfahren, die Archimedes bei seinen Forschungen anwandte. In Bezug auf Eratosthenes erklärt er, dass dieser bei seiner Arbeit zwei Methoden verwendete.

Sobald er identifiziert hatte das Ergebnis, um formal zu beweisen, er verwendet, was später als die Methode der Erschöpfung, von denen gibt es viele Beispiele in seinen anderen Werken. Diese Methode lieferte jedoch keinen Schlüssel zur Identifizierung des Ergebnisses. Zu diesem Zweck verwendete Archimedes eine „mechanische Methode“, die auf seiner Statik und der Idee beruhte, Figuren in eine unendliche Anzahl von infinitesimalen Teilen zu zerlegen. Archimedes betrachtete diese Methode als nicht rigoros, gab aber zum Vorteil anderer Mathematiker Beispiele für ihren heuristischen Wert bei der Bestimmung von Flächen und Volumina; zum Beispiel wird die mechanische Methode verwendet, um die Fläche eines Parabelsegments zu bestimmen.

Die Methode hat auch philosophische Bezüge, da sie das Problem aufwirft, die Anwendung der Mathematik auf die Physik als eine notwendige Einschränkung zu betrachten. Archimedes nutzte seine Intuition, um unmittelbare und innovative mechanische Ergebnisse zu erzielen, und machte sich dann daran, diese aus geometrischer Sicht rigoros zu beweisen.

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Fragmente und Zeugenaussagen zu verlorenen Werken

Das stomachion ist ein griechisches Rätsel, das dem Tangram ähnelt und dem Archimedes ein Werk widmete, von dem zwei Fragmente erhalten sind, eines in arabischer Übersetzung, das andere im Palimpsest des Archimedes. Analysen, die Anfang der 2000er Jahre durchgeführt wurden, haben es ermöglicht, neue Teile zu lesen, die verdeutlichen, dass Archimedes bestimmen wollte, auf wie viele Arten die einzelnen Figuren zu einem Quadrat zusammengesetzt werden können. Es handelt sich um ein schwieriges Problem, bei dem kombinatorische und geometrische Aspekte miteinander verwoben sind.

Das Ochsenproblem besteht aus zwei Manuskripten, die ein Epigramm darstellen, in dem Archimedes die alexandrinischen Mathematiker auffordert, die Anzahl der Ochsen und Kühe der Armenti del Sole zu berechnen, indem sie ein System von acht linearen Gleichungen mit zwei quadratischen Bedingungen lösen. Es handelt sich um ein einfach formuliertes diophantisches Problem, dessen kleinste Lösung jedoch aus Zahlen mit 206 545 Stellen besteht.

Die Frage wurde 1975 von Keith G. Calkins aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und 2004 von Umberto Bartocci und Maria Cristina Vipera, zwei Mathematikern von der Universität Perugia, aufgegriffen. Es wird die Hypothese aufgestellt, dass ein „kleiner“ Fehler in der Übersetzung des Textes des Problems eine Frage „unmöglich“ gemacht hat (einige behaupten, dass dies Archimedes“ Absicht war), die, etwas anders formuliert, stattdessen mit den Methoden der Mathematik der damaligen Zeit gelöst worden wäre.

Nach Ansicht von Calogero Savarino handelt es sich nicht um einen Übersetzungsfehler im Text, sondern um eine Fehlinterpretation oder eine Kombination aus beidem.

Das Buch der Lemmata ist uns durch einen verfälschten arabischen Text überliefert worden. Es enthält eine Reihe geometrischer Lemmata, deren Interesse dadurch geschmälert wird, dass man heute nicht mehr weiß, in welchem Zusammenhang sie verwendet wurden.

Archimedes hatte Catoctrica geschrieben, eine Abhandlung über die Reflexion des Lichts, über die wir indirekt informiert sind. Apuleius behauptet, es handele sich um ein umfangreiches Werk, das unter anderem die Vergrößerung durch gekrümmte Spiegel, Brennspiegel und den Regenbogen behandelt. Laut Olympiodorus dem Jüngeren wurde dort auch das Phänomen der Lichtbrechung untersucht. Ein Skolium zur pseudoeuklidischen Catoctrica schreibt Archimedes die Ableitung der Reflexionsgesetze aus dem Prinzip der Umkehrbarkeit des optischen Weges zu; es ist logisch anzunehmen, dass dieses Werk auch dieses Ergebnis enthielt.

In einem verlorenen Werk, über das Pappo Auskunft gibt, beschrieb Archimedes die Konstruktion von dreizehn halbstarren Polyedern, die heute noch als archimedische Polyeder bezeichnet werden (in der modernen Terminologie sind es fünfzehn archimedische Polyeder, da sie auch zwei Polyeder umfassen, die Archimedes nicht in Betracht gezogen hatte, die fälschlicherweise als archimedisches Prisma und archimedisches Antiprisma bezeichnet werden).

Die Heron-Formel, die den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den Seiten ausdrückt, heißt so, weil sie in den Metrica des Heron von Alexandria enthalten ist, aber nach dem Zeugnis von al-Biruni ist der eigentliche Autor Archimedes, der sie in einem anderen verlorenen Werk erläutert haben soll. Die von Heron übermittelte Demonstration ist besonders interessant, weil dort ein Quadrat quadriert wird, ein in der griechischen Mathematik ungewöhnliches Verfahren, da das erhaltene Gebilde im dreidimensionalen Raum nicht darstellbar ist.

Thābit ibn Qurra präsentiert als das Buch des Archimedes einen arabischen Text, der von J. Tropfke übersetzt wurde. Zu den in diesem Werk enthaltenen Theoremen gehört die Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks, ein Problem, das nicht mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann.

Eine von Ptolemäus überlieferte Passage bei Hipparchus, in der Archimedes“ Bestimmung der Sonnenwenden zitiert wird, lässt vermuten, dass er auch Werke über Astronomie verfasste. Pappus, Heron und Simplicius schreiben ihm verschiedene Abhandlungen über Mechanik zu, und mehrere Titel von Werken über Geometrie werden von arabischen Autoren überliefert. Das Buch über die Konstruktion einer mechanischen Wasseruhr, das nur in arabischer Übersetzung erhalten ist und dem Pseudo-Archimedes zugeschrieben wird, ist in Wirklichkeit wahrscheinlich das Werk von Philo von Byzanz.

Das Archimedes-Palimpsest ist ein mittelalterlicher Pergamentcodex, der einige Werke des syrakusanischen Wissenschaftlers in der zugrunde liegenden Schrift enthält. Im Jahr 1906 untersuchte der dänische Professor Johan Ludvig Heiberg in Konstantinopel 177 Blätter Ziegenleder-Pergament, die Gebete aus dem 13. Nach einer damals weit verbreiteten Praxis wurden aufgrund der hohen Kosten für Pergament bereits beschriebene Blätter ausgeschabt, um andere Texte darauf zu schreiben und das Medium wiederzuverwenden. Der Name des Verfassers der Schabung ist bekannt: Johannes Myronas, der am 14. April 1229 die Umschreibung der Gebete beendete. Das Palimpsest verbrachte Hunderte von Jahren in einer Klosterbibliothek in Konstantinopel, bevor es 1920 gestohlen und an einen privaten Sammler verkauft wurde. Am 29. Oktober 1998 wurde es von Christie“s in New York für zwei Millionen Dollar an einen anonymen Käufer versteigert.

Der Codex enthält sieben Abhandlungen von Archimedes, darunter das einzige erhaltene Exemplar in griechischer (byzantinischer) Sprache von Über schwimmende Körper und das einzige Exemplar der in der Suida erwähnten Methode der mechanischen Theoreme, die als für immer verloren galt. Das Stomachion wurde ebenfalls auf den Seiten identifiziert, wobei eine genauere Analyse vorgenommen wurde. Das Palimpsest wurde im Walters Art Museum in Baltimore, Maryland, untersucht, wo es einer Reihe von modernen Tests unterzogen wurde, einschließlich der Verwendung von Ultraviolett- und Röntgenstrahlen, um den darunter liegenden Text zu lesen. Nach Abschluss der Arbeiten veröffentlichten Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska und Nigel Wilson The Archimedes Palimpsest (2011) in zwei Bänden: Der erste Band ist vorwiegend kodikologisch ausgerichtet und beschreibt die Handschriften, ihre Geschichte, die bei ihrer Wiederherstellung angewandten Techniken und die Präsentation der Texte; der zweite Band enthält nebeneinander die fotografierte Doppelseite des Codex mit der Transkription des griechischen Textes und der englischen Übersetzung. Die Seiten des Palimpsests sind als fotografische Abbildungen online verfügbar, aber fast unmöglich zu lesen.

Die im Palimpsest enthaltenen Abhandlungen von Archimedes sind: Über das Gleichgewicht der Ebenen, über Spiralen, Messung eines Kreises, über die Kugel und den Zylinder, über schwimmende Körper, Methode der mechanischen Theoreme und Stomachion. Das Palimpsest enthält noch zwei Reden von Hyperides (Gegen Dionda und Gegen Timander), einen Kommentar zu den Kategorien des Aristoteles (wahrscheinlich ein Teil von Porphyrs Kommentar Ad Gedalium) und, von unbekannten Autoren, ein Leben des Heiligen Pantaleon, zwei andere Texte und ein Menaion, ein Text der Ostkirche für nicht-österliche Feiertage.

In der Tat ist die fesselnde Geschichte des Palimpsests nur ein Aspekt der Überlieferung des Werkes von Archimedes, d. h. des Prozesses, durch den seine Werke auf uns überkommen sind.

Zunächst ist festzustellen, dass bereits in der Antike seine fortschrittlichsten Texte nicht sehr geschätzt wurden, so dass Eutocius (6. Jh. n. Chr.) weder die Quadratur der Parabel noch die Spiralen gekannt zu haben scheint. Zur Zeit von Eutocio scheinen nur die beiden Bücher über die Kugel und den Zylinder, die Messung des Kreises und die beiden Bücher über das Gleichgewicht der Ebenen im Umlauf gewesen zu sein. In der Tat scheinen die Araber nicht viel mehr oder anderes als Archimedes“ Werk gekannt zu haben, so dass im lateinischen Mittelalter der einzige archimedische Text, der im Umlauf war, verschiedene Versionen des aus dem Arabischen übersetzten Maßes des Kreises waren.

Die Situation in der griechischen Welt war anders: Im 9. Jahrhundert wurden in Konstantinopel von Leo dem Mathematiker mindestens drei Kodizes mit Werken von Archimedes angelegt: Kodex A, Kodex ฿ (b „gotisch“) und Kodex C, der später im 11. Jahrhundert zu einem Palimpsest wurde. A und ฿ wurden in der zweiten Hälfte des 13. Jahrhunderts in der Bibliothek des päpstlichen Hofes in Viterbo gefunden: Wilhelm von Moerbeke verwendete sie für seine Übersetzung des Werkes von Archimedes im Jahr 1269. Wilhelms Übersetzung ist heute in dem Ms. Ottob. Lat. 1850 in der Vatikanischen Bibliothek, wo es 1882 von Valentin Rose entdeckt wurde. Der Codex ฿ (der neben Codex C als einziger den griechischen Text der Floaten enthielt) ging nach 1311 verloren. Der Codex A hatte ein anderes Schicksal: Im Laufe des 15. Jahrhunderts gelangte er zunächst in den Besitz von Kardinal Bessarione, der eine Abschrift anfertigen ließ, die heute in der Biblioteca Nazionale Marciana in Venedig aufbewahrt wird, und dann in den Besitz des Humanisten Giorgio Valla aus Piacenza, der einige kurze Auszüge aus dem Kommentar des Eutocius in seiner Enzyklopädie De expetendis et fugiendis rebus opus veröffentlichte, die 1501 posthum in Venedig erschien. Der Codex A wurde mehrmals kopiert und gelangte schließlich in den Besitz von Kardinal Rodolfo Pio, der ihn nach seinem Tod (1564) verkaufte und seitdem nicht mehr auffindbar ist.

Die zahlreichen erhaltenen Abschriften (und insbesondere das Ms. Laurenziano XXVIII,4, das Poliziano für Lorenzo de Medici mit absoluter Treue zur alten Vorlage aus dem 9. Jahrhundert kopiert hatte) haben es dem großen dänischen Philologen Johan Ludvig Heiberg ermöglicht, diesen wichtigen verlorenen Codex zu rekonstruieren (Heibergs endgültige Ausgabe des Corpus stammt aus den Jahren 1910-15).

Die in der Mitte des 15. Jahrhunderts von Iacopo da San Cassiano angefertigte Übersetzung verdient eine gesonderte Betrachtung. Im Gefolge von Heiberg glaubte man bisher, dass Iacopo mit dem Codex A übersetzt hat. Neuere Studien haben stattdessen gezeigt, dass Iacopo ein von A unabhängiges Modell verwendet hat. Seine Übersetzung bildet somit zusammen mit A, ฿ und dem Palimpsest C einen vierten Zweig der archimedischen Tradition.

Das Werk des Archimedes stellt einen der Höhepunkte in der Entwicklung der Wissenschaft in der Antike dar. Dabei wird die Fähigkeit, Postulate zu identifizieren, die für die Aufstellung neuer Theorien nützlich sind, mit der Kraft und Originalität der vorgestellten mathematischen Werkzeuge und einem größeren Interesse an den Grundlagen von Wissenschaft und Mathematik kombiniert. Plutarch berichtet nämlich, dass Archimedes von König Hieron dazu überredet wurde, sich mehr den angewandten Aspekten zu widmen und Maschinen zu bauen, die vor allem kriegerischer Natur waren, um die Entwicklung und Sicherheit der Gesellschaft konkreter zu unterstützen. Archimedes widmete sich der Mathematik, der Physik und dem Ingenieurwesen zu einer Zeit, in der die Grenzen zwischen diesen Disziplinen noch nicht so klar waren wie heute, in der aber die Mathematik nach der platonischen Philosophie abstrakt und nicht angewandt sein musste, wie bei seinen Erfindungen. Die Arbeit von Archimedes stellte somit zum ersten Mal eine wichtige Anwendung der Gesetze der Geometrie auf die Physik dar, insbesondere auf die Statik und die Hydrostatik.

In der Antike wurden Archimedes und seine Erfindungen von klassischen griechischen und lateinischen Autoren wie Cicero, Plutarch und Seneca mit Staunen und Bewunderung beschrieben. Dank dieser Berichte im späten Mittelalter und in der frühen Neuzeit regte sich ein großes Interesse an der Erforschung und Wiederherstellung der Werke des Archimedes, die im Mittelalter handschriftlich überliefert wurden und teilweise verloren gingen. Die römische Kultur war also vor allem von den Maschinen des Archimedes beeindruckt und weniger von seinen mathematischen und geometrischen Studien, so dass der Mathematikhistoriker Carl Benjamin Boyer mehr als bissig feststellte, dass die Entdeckung des Grabes des Archimedes durch Cicero der größte, vielleicht sogar der einzige Beitrag der römischen Welt zur Mathematik war.

Piero della Francesca, Stevino, Galilei, Kepler und andere bis hin zu Newton studierten, nahmen die wissenschaftlichen Studien von Archimedes wieder auf und erweiterten sie systematisch, insbesondere im Hinblick auf die Infinitesimalrechnung.

Galileis Einführung der modernen wissenschaftlichen Methode zur Untersuchung und Überprüfung seiner Ergebnisse wurde durch die Methode inspiriert, mit der Archimedes seine Erkenntnisse verfolgte und demonstrierte. Darüber hinaus fand der Pisaner Wissenschaftler einen Weg, geometrische Methoden ähnlich denen des Archimedes anzuwenden, um die beschleunigte Fallbewegung von Körpern zu beschreiben, und es gelang ihm schließlich, die vom Wissenschaftler aus Syrakus entwickelte Beschreibung der Physik statischer Körper allein zu überwinden. Galilei selbst nannte Archimedes in seinen Schriften „meinen Meister“, so groß war die Verehrung für sein Werk und sein Vermächtnis.

Das Studium der Werke des Archimedes beschäftigte daher die Gelehrten der frühen Neuzeit lange Zeit und war ein wichtiger Impuls für die Entwicklung der Wissenschaft, wie wir sie heute verstehen. Der Einfluss von Archimedes in späteren Jahrhunderten (z. B. auf die Entwicklung der strengen mathematischen Analyse) wird von den Wissenschaftlern unterschiedlich beurteilt.

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Art

Auf dem berühmten Fresko Die Schule von Athen von Raphael Sanzio ist Archimedes beim Studium der Geometrie zu sehen. Sein Bildnis stammt von Donato Bramante.

Der deutsche Dichter Schiller schrieb das Gedicht Archimedes und der junge Mann.

Das Bildnis des Archimedes erscheint auch auf Briefmarken der DDR (1973), Griechenlands (1983), Italiens (1983), Nicaraguas (1971), San Marinos (1982) und Spaniens (1963).

Die italienische Progressive-Rock-Band Premiata Forneria Marconi widmete dem Wissenschaftler im Rahmen ihres Albums States of Imagination den letzten Track mit dem Titel Visions of Archimedes, in dem das Video sein Leben und seine Erfindungen nachzeichnet.

Archimedes ist der Protagonist des Romans Il matematico che sfidò Roma von Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).

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Wissenschaft

Der 14. März wird weltweit als Pi-Tag gefeiert, da er in den angelsächsischen Ländern der Zahl 3 entspricht.

Auf der Fields-Medaille, der höchsten Auszeichnung für Mathematiker, ist auf der Rückseite ein Porträt von Archimedes abgebildet und ein ihm zugeschriebener Satz eingraviert: Transire suum pectus mundoque potiri, was in der Übersetzung bedeuten könnte: „Über sich selbst hinauswachsen und die Welt erobern“.

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Technologie

Das Solarauto Archimede 1.0, ein solarbetriebenes Auto, wurde in Sizilien entworfen und gebaut.

Das Archimedes-Projekt wurde realisiert, ein Solarkraftwerk in der Nähe von Priolo Gargallo, das eine Reihe von Spiegeln zur Stromerzeugung nutzt.

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Museen und Denkmäler

In Syrakus wurden zu Ehren des Wissenschaftlers eine Statue und der Technopark Archimedes errichtet, ein Bereich, in dem Erfindungen nachgebildet wurden.

Eine weitere Statue des Archimedes befindet sich im Berliner Treptower Park.

In Archea Olympia in Griechenland gibt es ein Museum, das Archimedes gewidmet ist.

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Sekundärliteratur

Quellen

1. Archimede
2. Archimedes
3. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
4. ^ G. Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede, in «Figure meccaniche, sogni, saggi sulla scienza antica», Storia e letteratura 232, Roma 2006, pp. 111-130
5. ^ P. Greco, La scienza e l“Europa. Dalle origini al XIII secolo, Roma 2014, p. 62: «Se il più grande geometra dell“antichità e di tutti i tempi è Euclide, il più grande matematico e il primo fisico matematico in assoluto è certo Archimede, che vive e lavora a Siracusa, anche se frequenta Alessandria. Nella città africana studia da giovane, probabilmente con gli allievi di prima generazione di Euclide, forse vi ritorna più volte in età adulta e, in ogni caso, resta in contatto, attraverso una fitta corrispondenza, con la comunità della Biblioteca e in particolare con Eratostene, di cui è amico».
6. ^ In the preface to On Spirals addressed to Dositheus of Pelusium, Archimedes says that „many years have elapsed since Conon“s death.“ Conon of Samos lived c. 280–220 BC, suggesting that Archimedes may have been an older man when writing some of his works.
7. ^ The treatises by Archimedes known to exist only through references in the works of other authors are: On Sphere-Making and a work on polyhedra mentioned by Pappus of Alexandria; Catoptrica, a work on optics mentioned by Theon of Alexandria; Principles, addressed to Zeuxippus and explaining the number system used in The Sand Reckoner; On Balances and Levers; On Centers of Gravity; On the Calendar.
8. Год рождения Архимеда вычисляется на основании труда византийского филолога XII столетия Иоанна Цеца «Хилиады». В нём утверждается, что на момент смерти во время штурма римлянами Сиракуз в 212 году до н. э. Архимеду было 75 лет. Соответственно годом рождения был 287 год до н. э. Так как дата непротиворечива, то она и принята современными учёными[2].
9. Единственным свидетельством о Фидии является упоминание в работе Архимеда Псаммит, однако это место испорчено и не все историки согласны, что Архимед[5] в этом месте говорит о своём отце.
10. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que «muchos años han pasado desde la muerte de Conon». Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.
11. Los tratados de Arquímedes que solo se conocen a través de referencias de otros autores son: Sobre hacer esferas y una obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, una obra sobre óptica mencionada por Teón de Alejandría; Principios, dirigido a Zeuxippos, que explicaba el sistema numérico usado en El contador de arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros de gravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arquímedes, Heath, T. L. da la siguiente teoría acerca del orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, La cuadratura de la parábola, Sobre el equilibrio de los planos II, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, Sobre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantess I, II, Sobre la medida de un círculo, El contador de arena.
12. Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 «Estudiosos árabes nos informan que la familiar fórmula del área de un triángulo en cuanto a las medidas de sus tres lados, usualmente conocida como la fórmula de Herón —k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), donde s es el semiperímetro— era conocida por Arquímedes varios siglos antes de que Herón naciera. Los estudiosos árabes también atribuyen a Arquímedes el “teorema del acorde roto“ … Según los árabes, Arquímedes dio varias pruebas de dicho teorema».