Euklid

Dimitris Stamatios | Februar 22, 2023

Zusammenfassung

Euklid (griechisch Εὐκλείδης, Eukleidēs, lateinisch Euclīdēs) war ein griechischer Mathematiker und Geometriker (ca. 325 v. Chr. – ca. 265 v. Chr.). Er wird als „Vater der Geometrie“ bezeichnet. Er wirkte in Alexandria (Altägypten) zur Zeit von Ptolemäus I. Soter (323 – 283 v. Chr.). Er war der Begründer der mathematischen Schule der Stadt.

Sein berühmtestes Werk waren die Elemente, die oft als das erfolgreichste Lehrbuch in der Geschichte der Mathematik angesehen werden. Die Eigenschaften geometrischer Objekte und natürlicher Zahlen werden aus einem kleinen Satz von Axiomen abgeleitet. Dieses Werk, eine der ältesten bekannten Abhandlungen, die systematisch und mit Beweisen eine große Anzahl von Theoremen über Geometrie und theoretische Arithmetik enthält, hat Hunderte von Auflagen in allen Sprachen erlebt, und seine Themen bilden nach wie vor die Grundlage des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe in vielen Ländern. Euklids Name leitet sich von Euklids Algorithmus, der euklidischen Geometrie (und der nicht-euklidischen Geometrie) und der euklidischen Division ab. Er schrieb auch über Perspektive, Kegelschnitte, sphärische Geometrie und Zahlentheorie.

Über sein Leben ist wenig bekannt, denn er lebte in Alexandria (einer Stadt im Norden Ägyptens) während der Herrschaft von Ptolemäus I. Einige arabische Autoren behaupten, Euklid sei in Tyrus geboren und habe in Damaskus gelebt. Bestimmte arabische Autoren behaupten, Euklid sei in Tyrus geboren und habe in Damaskus gelebt. Es gibt keine direkte Quelle für Euklids Leben: keinen Brief, keinen autobiografischen Bericht (auch nicht in Form eines Vorworts in einem Werk), kein offizielles Dokument und nicht einmal eine Anspielung eines seiner Zeitgenossen. Der Mathematikhistoriker Peter Schreiber bringt es auf den Punkt: „Über Euklids Leben ist keine einzige sichere Tatsache bekannt. Er war der Sohn von Naukrates, und es wurden drei Hypothesen aufgestellt:

Euklid studierte wahrscheinlich an Platons Akademie und erlernte dort die Grundlagen seines Wissens.

Proklos, der letzte der großen griechischen Philosophen, der um 450 lebte, verfasste wichtige Kommentare zu Buch I der Elemente, die eine wertvolle Informationsquelle zur Geschichte der griechischen Mathematik darstellen. So wissen wir z. B., dass Euklid Beiträge von Eudoxus von Cnidus zur Proportionslehre und von Theaetetus zu regelmäßigen Polyedern zusammenfasste.

Die älteste bekannte Schrift über Euklids Leben findet sich in einer Zusammenfassung der Geschichte der Geometrie, die im 5. Jahrhundert n. Chr. von dem neuplatonischen Philosophen Proklos, einem Kommentator des ersten Buches der Elemente, verfasst wurde. Proclus selbst gibt keine Quelle für seine Angaben an. Er sagt nur: „Er sammelt seine Elemente und beschwört in unwiderlegbaren Beweisen, was seine Vorgänger auf lockere Art und Weise gelehrt hatten. Dieser Mann lebte hingegen unter dem ersten Ptolemäus, denn Archimedes erwähnt Euklid. Euklid ist also jünger als die Schüler Platons, aber älter als Archimedes und Eratosthenes“.

Wenn die von Proclus angegebene Chronologie akzeptiert wird, lebte Euklid zwischen Platon und Archimedes und war ein Zeitgenosse von Ptolemaios I., etwa 300 v. Chr.

Kein Dokument widerspricht diesen wenigen Sätzen, noch bestätigt es sie wirklich. Die direkte Erwähnung der Werke des Archimedes durch Euklid stammt aus einer als zweifelhaft geltenden Passage.

Archimedes verweist auf einige Ergebnisse der Elemente und einen Ostrachus, der auf der Insel Elephantine gefunden wurde und auf das Jahr III v. Chr. datiert ist: Er befasst sich mit Figuren, die im Buch XIII der Elemente untersucht werden, wie dem Zehneck und dem Ikosaeder, ohne jedoch die euklidischen Aussagen genau wiederzugeben; sie könnten daher aus Quellen vor Euklid stammen. Die ungefähre Datierung auf 300 v. Chr. wird jedoch als vereinbar mit der Analyse des Inhalts des euklidischen Werks angesehen und von den Mathematikhistorikern übernommen.

Andererseits gibt es eine Anspielung des Mathematikers Papo von Alexandria, die darauf hindeutet, dass Schüler von Euklid in Alexandria gelehrt haben. Einige Autoren haben Euklid auf dieser Grundlage mit dem Museion von Alexandria in Verbindung gebracht, aber er taucht in keinem offiziellen Dokument auf. Der Beiname, der in der Antike oft mit Euklid in Verbindung gebracht wird, ist einfach Stoitxeiotes, der Autor der Elemente.

Über Euklid kursieren mehrere Anekdoten, die aber, da sie auch bei anderen Mathematikern auftauchen, nicht als wahr angesehen werden: zum Beispiel die berühmte, von Proklus erklärte, wonach Euklid Ptolemäus – der einen einfacheren Weg als den der Elemente suchte – geantwortet hätte, dass es in der Geometrie keine wirklichen Wege gäbe; eine Variante derselben Anekdote wird auch Menemus und Alexander dem Großen zugeschrieben. In ähnlicher Weise wurden seit der Spätantike den Berichten über Euklids Leben verschiedene Details hinzugefügt, ohne neue Quellen und oft in widersprüchlicher Weise. Bei einigen Autoren wird Euklid in Tyrus geboren, bei anderen in Gela; verschiedene Genealogien, bestimmte Meister, unterschiedliche Geburts- und Todesdaten werden ihm zugeschrieben, um die Regeln der Gattung einzuhalten oder um bestimmte Interpretationen zu begünstigen. Im Mittelalter und zu Beginn der Renaissance wird der Mathematiker Euklid oft mit einem zeitgenössischen Philosophen Platons, Euklid von Megara, verwechselt.

Erwähnungen von Werken, die Euklid zugeschrieben werden, finden sich bei mehreren Autoren, insbesondere in der mathematischen Sammlung von Pappus (die gewöhnlich auf das 3. oder 4. Jahrhundert datiert wird) und im Kommentar zu Euklids Elementen von Proklus. Nur ein Teil dieser Werke ist bis heute erhalten geblieben.

Fünf Werke sind überliefert: Daten, Über Teilungen, Katoptrik, Erscheinungen des Himmels und Optik. Aus arabischen Quellen werden Euklid mehrere Abhandlungen über Mechanik zugeschrieben. Über das Schwere und das Leichte enthält in neun Definitionen und fünf Sätzen die aristotelischen Vorstellungen über die Bewegung von Körpern und das Konzept der spezifischen Schwerkraft. Über das Gleichgewicht behandelt die Theorie des Hebels ebenfalls auf axiomatische Weise, mit einer Definition, zwei Axiomen und vier Sätzen. Ein drittes Fragment über die Kreise, die von den Enden eines beweglichen Hebels beschrieben werden, enthält vier Sätze. Diese drei Werke ergänzen sich in einer Weise, die vermuten lässt, dass es sich um die Überreste einer einzigen Abhandlung von Euklid über die Mechanik handelt.

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Die Elemente

Seine Elemente gehören zu den bekanntesten wissenschaftlichen Werken der Welt und waren eine Zusammenstellung des Wissens, das in der akademischen Welt zu jener Zeit gelehrt wurde. Die Elemente waren nicht, wie manchmal angenommen wird, ein Kompendium aller geometrischen Kenntnisse, sondern vielmehr ein Einführungstext, der die gesamte elementare Mathematik abdeckt, d. h. Arithmetik, synthetische Geometrie und Algebra.

Die Elemente sind in dreizehn Bücher oder Kapitel, von denen die erste halbe Dutzend sind auf elementare Geometrie Ebene, die nächsten drei auf Zahlentheorie, Buch X auf incommensurables und die letzten drei vor allem auf die Geometrie der Festkörper.

In den Büchern, die der Geometrie gewidmet sind, wird das Studium der Eigenschaften von Linien und Ebenen, Kreisen und Kugeln, Dreiecken und Kegeln usw., d. h. der regelmäßigen Formen, auf formale Weise dargestellt, ausgehend von nur fünf Postulaten. Wahrscheinlich wurde keines der Ergebnisse der Elemente erstmals von Euklid demonstriert, aber die Organisation des Materials und seine Darstellung sind zweifellos auf ihn zurückzuführen. Vieles deutet darauf hin, dass Euklid bei der Abfassung der Elemente auf frühere Lehrbücher zurückgegriffen hat, da er zahlreiche Definitionen aufführt, die nicht verwendet werden, wie z. B. die eines Rechtecks, eines Rhombus und eines Rhomboids. Euklids Theoreme sind die, die man im Allgemeinen in der modernen Schule lernt. Um einige der bekanntesten zu zitieren:

Die Bücher VII, VIII und IX der „Elemente“ befassen sich mit der Theorie der Teilbarkeit. Sie befassen sich mit der Verbindung zwischen perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen (bekannt als Euklid-Euler-Theorem), der Unendlichkeit von Primzahlen (Euklids Theorem), Euklids Lemma über die Faktorisierung (das zum Fundamentalsatz der Arithmetik über die Eindeutigkeit von Faktorisierungen von Primzahlen führt) und Euklids Algorithmus zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.

Die Geometrie von Euklid ist nicht nur ein leistungsfähiges Werkzeug für deduktives Denken, sondern hat sich auch in vielen Wissensgebieten als äußerst nützlich erwiesen, beispielsweise in der Physik, Astronomie, Chemie und in verschiedenen technischen Bereichen. In der Mathematik ist sie sicherlich sehr nützlich. Inspiriert von der Harmonie von Euklids Darstellung wurde im zweiten Jahrhundert die ptolemäische Theorie des Universums formuliert, nach der die Erde das Zentrum des Universums ist und die Planeten, der Mond und die Sonne sich in perfekten Linien, d. h. Kreisen und Kombinationen von Kreisen, um sie drehen. Die Vorstellungen Euklids sind jedoch sehr weit von der Realität entfernt. Er geht zum Beispiel davon aus, dass ein Punkt keine Größe hat, dass eine Linie eine Menge von Punkten ist, die weder Breite noch Dicke, sondern nur Länge hat, dass eine Fläche keine Dicke hat usw. Da ein Punkt nach Euklid keine Größe hat, wird ihm die Dimension Null zugewiesen. Eine Linie hat nur eine Länge, daher erhält sie die Dimension eins. Eine Fläche hat keine Dicke, keine Höhe, also hat sie zwei Dimensionen: Breite und Länge. Ein fester Körper, wie z. B. ein Würfel, hat schließlich drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Euklid versuchte, das gesamte mathematische Wissen in seinem Buch Die Elemente zusammenzufassen. Euklids Geometrie war ein Werk, das bis ins 19. Jahrhundert unverändert blieb.

Von den Anfangsaxiomen schien nur das Axiom der Parallelen weniger offensichtlich. Verschiedene Mathematiker versuchten erfolglos, auf dieses Axiom zu verzichten, indem sie versuchten, es aus den übrigen Axiomen abzuleiten. Sie versuchten, es als Theorem darzustellen, was ihnen nicht gelang

Schließlich schufen einige Autoren neue Geometrien, indem sie das Parallelenaxiom außer Kraft setzten oder ersetzten, was zu „nicht-euklidischen Geometrien“ führte. Das Hauptmerkmal dieser Geometrien ist, dass durch die Änderung des Parallelenaxioms die Winkel eines Dreiecks nicht mehr die Summe von 180 Grad ergeben.

Die Daten (Δεδομένα) sind das einzige andere Werk Euklids, das sich mit der Geometrie befasst und von dem eine griechische Fassung erhalten ist (es befindet sich z. B. in der von Peyrard entdeckten Handschrift X). Es wird auch in Buch VII der mathematischen Sammlung von Papo, der „Schatzkammer der Analysis“, die eng mit den ersten vier Büchern der Elemente verbunden ist, ausführlich beschrieben. Hier geht es um die Art der Informationen, die in geometrischen Problemen gegeben werden, und um ihre Natur. Die Daten sind im Rahmen der ebenen Geometrie angesiedelt und werden von den Historikern als Ergänzung zu den Elementen betrachtet, in einer Form, die sich besser für die Analyse von Problemen eignet. Das Werk enthält 15 Definitionen und erklärt, was ein geometrisches Objekt in Bezug auf Position, Form und Größe bedeutet, sowie 94 Theoreme. Diese erklären, dass, wenn einige Elemente einer Figur gegeben sind, andere Beziehungen oder Elemente bestimmt werden können.

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Zu den Abteilungen

Dieses Werk (es gibt Stücke in Latein (De divisionibus), aber vor allem gibt es ein Manuskript in Arabisch im 19. Jahrhundert entdeckt, die 36 Sätze, von denen vier bewiesen sind, enthält.

Sie befasst sich mit der Aufteilung geometrischer Figuren in zwei oder mehr gleiche Teile oder in Teile mit bestimmten Proportionen. Es ähnelt einem Werk von Heron von Alexandria aus dem 3. Jahrhundert nach Christus. In diesem Werk versucht er, gerade Linien zu konstruieren, die gegebene Figuren in vorgegebene Proportionen und Formen unterteilen. So wird z. B. gefordert, bei einem Dreieck und einem Punkt im Inneren des Dreiecks eine Linie zu konstruieren, die durch den Punkt verläuft und das Dreieck in zwei Figuren gleicher Fläche zerlegt; oder bei einem Kreis zwei parallele Linien so zu konstruieren, dass der Teil des Kreises, den sie begrenzen, ein Drittel der Fläche des Kreises ausmacht.

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Über Irrtümer (Pseudaria)

Über die Trugschlüsse (Περὶ Ψευδαρίων), ein Text über die Irrtümer des Denkens, ist ein verlorenes Werk, das nur durch die Beschreibung von Proklos bekannt ist. Ihm zufolge bestand das Ziel des Werkes darin, Anfänger daran zu gewöhnen, falsche Schlussfolgerungen zu erkennen, insbesondere solche, die deduktives Denken imitieren und so den Anschein von Wahrheit erwecken. Er gab Beispiele für Parallelogismen.

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Vier Bücher über Kegelschnitte

Four Books on Conic Sections (Κωνικῶν Βιβλία) ist heute verloren. Es war ein Werk über Kegelschnitte, das von Apollonius von Perga in einem berühmten Buch zum selben Thema erweitert wurde. Es ist wahrscheinlich, dass die ersten vier Bücher von Apollonius“ Werk direkt von Euklid stammen. Nach Papo „hat Apollonius, nachdem er Euklids vier Bücher der Konik vollendet und vier weitere hinzugefügt hatte, acht Bände der Konik hinterlassen“. Apollonius“ Kegellehre ersetzte schnell das ursprüngliche Werk, und zu Papos Zeit war Euklids Werk verloren gegangen.

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Drei Bücher über Porismen

Drei Bücher von porisms (Πορισμάτων Βιβλία) kann eine Erweiterung seiner Arbeit über konische Abschnitte gewesen sein, aber die Bedeutung des Titels ist nicht klar. Es handelt sich um ein Werk, das verloren ist. Das Werk wird in zwei Passagen von Proklus erwähnt und ist vor allem Gegenstand einer langen Darstellung in Buch VII der Sammlung von Pappus, der „Schatzkammer der Analyse“, als ein bedeutendes und weitreichendes Beispiel für den analytischen Ansatz. Das Wort Porisma hat mehrere Verwendungen: Nach Papo würde es hier eine Aussage von mittlerem Typ zwischen Theoremen und Problemen bezeichnen. Euklids Werk soll 171 solcher Aussagen und 38 Lemmata enthalten haben. Pappos nennt Beispiele wie: „Wenn von zwei gegebenen Punkten ausgehend Geraden gezeichnet werden, die eine gegebene Gerade schneiden, und wenn eine dieser Geraden ein Segment auf einer gegebenen Geraden schneidet, wird die andere dasselbe auf einer anderen Geraden tun, wobei eine feste Beziehung zwischen den beiden geschnittenen Segmenten besteht. Die Interpretation der genauen Bedeutung des Porismus und die mögliche Wiederherstellung aller oder eines Teils der Aussagen von Euklids Werk anhand der von Pappus hinterlassenen Informationen hat viele Mathematiker beschäftigt: Die bekanntesten Versuche sind die von Pierre Fermat im 17. Jahrhundert, von Robert Simson im 18. und vor allem von Michel Chasles im 19. Auch wenn die Rekonstruktion von Chasles von den heutigen Historikern nicht als solche ernst genommen wird, gab sie dem Mathematiker die Möglichkeit, den Begriff der anharmonischen Beziehung zu entwickeln.

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Zwei Bücher über geometrische Orte

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β“ handelte von geometrischen Orten auf Flächen oder von geometrischen Orten, die selbst Flächen waren. In einer späteren Interpretation wird die Hypothese aufgestellt, dass es sich bei dem Werk um quadratische Flächen gehandelt haben könnte. Es handelt sich auch um ein verschollenes Werk von zwei Büchern, das in der Schatzkammer von Pappus“ Analyse erwähnt wird. Die bei Proclus oder Pappus gemachten Angaben zu diesen Stellen des Euklid sind nicht eindeutig, und die genaue Fragestellung des Werkes ist nicht bekannt. In der Tradition der antiken griechischen Mathematik sind Orte Mengen von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft bestätigen. Bei diesen Mengen handelt es sich oft um gerade Linien oder Kegelschnitte, aber es können auch flache Oberflächen sein, zum Beispiel. Die meisten Historiker gehen davon aus, dass es sich bei Euklids Ortsbestimmung um Rotationsflächen, Kugeln, Kegel oder Zylinder handeln könnte.

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Erscheinungen des Himmels

Erscheinungen des Himmels oder Phänomene (# Φαινόμενα) ist eine Abhandlung über Positionsastronomie, die in griechischer Sprache erhalten ist. Es ähnelt einem Werk von Autolyt (Über den Begriff der Sphäre) und erörtert die Anwendung der Geometrie der Sphäre auf die Astronomie. Es ist auf Griechisch in mehreren handschriftlichen Fassungen erhalten geblieben, von denen die älteste aus dem 10. Dieser Text erklärt die so genannte „kleine Astronomie“, im Gegensatz zu den Themen, die in der großen Komposition von Ptolemäus (dem Almagest) behandelt werden. Er enthält 18 Sätze und steht den überlieferten Werken zum gleichen Thema von Autolyt von Pitane nahe.

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Optik

Die Optik (Ὀπτικά) ist die älteste überlieferte griechische Abhandlung, die sich in mehreren Fassungen Problemen widmet, die wir heute als perspektivisch bezeichnen würden, und offenbar für die Astronomie bestimmt ist. Sie hat die Form der Elemente: Sie ist eine Fortsetzung von 58 Sätzen, deren Beweis auf Definitionen und Postulaten beruht, die zu Beginn des Textes aufgeführt sind. In seinen Definitionen folgt Euklid der platonischen Tradition, die besagt, dass das Sehen durch Strahlen verursacht wird, die vom Auge ausgehen. Euklid beschreibt die scheinbare Größe eines Objekts im Verhältnis zu seiner Entfernung vom Auge und untersucht die scheinbaren Formen von Zylindern und Kegeln bei Betrachtung aus verschiedenen Winkeln.

Euklid zeigt, dass die scheinbaren Größen gleicher Objekte nicht proportional zu ihrer Entfernung von unserem Auge sind (Satz 8). Er erklärt zum Beispiel unser Sehen einer Kugel (und anderer einfacher Flächen): Das Auge sieht eine kleinere Fläche in der Mitte der Kugel, einen noch kleineren Anteil, je näher die Kugel kommt, auch wenn die gesehene Fläche größer erscheint und der Umriss der gesehenen Fläche ein Kreis ist. Die Abhandlung widerspricht insbesondere einer in einigen Denkschulen vertretenen Meinung, wonach die wirkliche Größe von Objekten (insbesondere von Himmelskörpern) ihre scheinbare Größe ist, die, die man sieht.

Papo hielt diese Ergebnisse für wichtig für die Astronomie und nahm Euklids Optik zusammen mit seinen Phänomenen in ein Kompendium kleinerer Werke auf, die vor dem Almagest von Claudi Ptolemeu studiert werden sollten.

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Abhandlung über Musik

Proklos schreibt Euklid eine Abhandlung über die Musik (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική) zu, die wie die Astronomie, die Musiktheorie, beispielsweise in Form einer angewandten Proportionslehre, zu den mathematischen Wissenschaften zählt. Zwei kleine Schriften sind in griechischer Sprache erhalten und wurden in antike Ausgaben von Euklid aufgenommen, aber ihre Zuordnung ist unsicher, ebenso wie ihre mögliche Verbindung zu den Elementen. Die beiden Schriften (ein Abschnitt des Kanons über musikalische Intervalle und eine harmonische Einführung) werden hingegen als widersprüchlich angesehen, und zumindest die zweite wird heute von den Gelehrten als von einem anderen Autor stammend betrachtet.

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Euklid fälschlicherweise zugeschriebene Werke

Die Katoptrik (Κατοητρικά) befasst sich mit der mathematischen Theorie der Spiegel, insbesondere der Bilder, die in konkaven ebenen und sphärischen Spiegeln entstehen. Seine Zuschreibung an Euklid ist zweifelhaft; sein Autor könnte Theon von Alexandria gewesen sein. Sie erscheint in Euklids Text über Optik und im Kommentar von Proklos. Er gilt heute als verloren, und insbesondere der Catoptricus, der lange Zeit als Fortsetzung der Optik in antiken Ausgaben veröffentlicht wurde, wird nicht mehr Euklid zugeschrieben; er wird als eine spätere Zusammenstellung betrachtet.

Euklid wird in einigen lateinischen oder arabischen Handschriften auch als Autor von Fragmenten zur Mechanik genannt, insbesondere in Texten über den Hebel und die Waage. Diese Zuschreibung wird heute als zweifelhaft angesehen.

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Andere Referenzen

Quellen

1. Euclides
2. Euklid
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. Affirmation tenue pour exacte jusqu“à ce que l“érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d“optique), affirme le contraire[33].
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
8. Зубов, 2007, с. 510.