Constantin Carathéodory

gigatos | octubre 21, 2022

Resumen

Constantin Carathéodory (13 de septiembre de 1873 – 2 de febrero de 1950) fue un matemático griego que pasó la mayor parte de su carrera profesional en Alemania. Hizo importantes contribuciones al análisis real y complejo, al cálculo de variaciones y a la teoría de la medida. También creó una formulación axiomática de la termodinámica. Carathéodory está considerado uno de los más grandes matemáticos de su época y el matemático griego más reconocido desde la antigüedad.

Sus colegas le recordaban como un hombre respetable y culto.

Constantin Carathéodory nació en 1873 en Berlín de padres griegos y creció en Bruselas. Su padre, Stephanos, abogado, fue embajador otomano en Bélgica, San Petersburgo y Berlín. Su madre, Despina, de soltera Petrokokkinos, era de la isla de Quíos. La familia Carathéodory, originaria de Bosnochori o Vyssa, estaba bien establecida y era respetada en Constantinopla, y sus miembros ocupaban muchos cargos gubernamentales importantes.

La familia Carathéodory pasó 1874-75 en Constantinopla, donde vivía el abuelo paterno de Constantin, mientras su padre Stéfanos estaba de permiso. Luego, en 1875, fueron a Bruselas cuando Stéfanos fue nombrado allí embajador otomano. En Bruselas nació la hermana menor de Constantin, Julia. El año 1879 fue trágico para la familia, ya que el abuelo paterno de Constantin murió ese año, pero mucho más trágico fue que la madre de Constantin, Despina, falleciera de neumonía en Cannes. La abuela materna de Constantin se hizo cargo de la crianza de Constantin y Julia en la casa de su padre en Bélgica. Contrataron a una criada alemana que enseñó a los niños a hablar alemán. Constantin ya era bilingüe en francés y griego.

Constantin comenzó su educación formal en una escuela privada de Vanderstock en 1881. Lo dejó después de dos años y luego pasó un tiempo con su padre en una visita a Berlín, y también pasó los inviernos de 1883-84 y 1884-85 en la Riviera italiana. De vuelta a Bruselas, en 1885, asistió durante un año a un instituto de enseñanza media, donde empezó a interesarse por las matemáticas. En 1886, ingresa en el instituto Athénée Royal d»Ixelles y estudia allí hasta su graduación en 1891. Durante su estancia en este centro, Constantin ganó dos veces el premio al mejor estudiante de matemáticas de Bélgica.

En esta etapa, Carathéodory comenzó a formarse como ingeniero militar. Asistió a la École Militaire de Belgique de octubre de 1891 a mayo de 1895 y también estudió en la École d»Application de 1893 a 1896. En 1897 estalló una guerra entre el Imperio Otomano y Grecia. Esto puso a Carathéodory en una posición difícil, ya que se puso del lado de los griegos, aunque su padre sirvió al gobierno del Imperio Otomano. Como era ingeniero de formación, le ofrecieron un trabajo en el servicio colonial británico. Este empleo le llevó a Egipto, donde trabajó en la construcción de la presa de Assiut hasta abril de 1900. Durante los periodos en los que los trabajos de construcción tenían que detenerse debido a las inundaciones, estudiaba matemáticas con algunos libros de texto que llevaba consigo, como el Cours d»Analyse de Jordan y el texto de Salmon sobre la geometría analítica de las secciones cónicas. También visitó la pirámide de Keops y realizó mediciones que redactó y publicó en 1901. Ese mismo año publicó un libro sobre Egipto que contenía abundante información sobre la historia y la geografía del país.

Carathéodory estudió ingeniería en Bélgica, en la Real Academia Militar, donde fue considerado un alumno carismático y brillante.

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Estudiantes de doctorado

Carathéodory tuvo una veintena de estudiantes de doctorado, entre ellos Hans Rademacher, conocido por sus trabajos sobre el análisis y la teoría de números, y Paul Finsler, conocido por su creación del espacio de Finsler.

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Contactos académicos en Alemania

Los contactos de Carathéodory en Alemania eran numerosos e incluían nombres tan famosos como: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. Durante el difícil periodo de la Segunda Guerra Mundial, sus colaboradores más cercanos en la Academia de Ciencias de Baviera fueron Perron y Tietze.

Einstein, entonces miembro de la Academia Prusiana de Ciencias de Berlín, estaba trabajando en su teoría general de la relatividad cuando se puso en contacto con Carathéodory para pedirle aclaraciones sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi y las transformaciones canónicas. Quería ver una derivación satisfactoria de la primera y los orígenes de la segunda. Einstein dijo a Carathéodory que su derivación era «hermosa» y recomendó su publicación en los Annalen der Physik. Einstein empleó la primera en un artículo de 1917 titulado Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Sobre el teorema cuántico de Sommerfeld y Epstein). Carathéodory explicó algunos detalles fundamentales de las transformaciones canónicas y remitió a Einstein a la obra Analytical Dynamics de E.T. Whittaker. Einstein intentaba resolver el problema de las «líneas de tiempo cerradas» o las geodésicas correspondientes a la trayectoria cerrada de la luz y las partículas libres en un universo estático, que introdujo en 1917.

Landau y Schwarz estimularon su interés por el estudio del análisis complejo.

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Contactos académicos en Grecia

Durante su estancia en Alemania, Carathéodory mantuvo numerosos vínculos con el mundo académico griego, sobre los que se puede encontrar información detallada en el libro de Georgiadou. Participó directamente en la reorganización de las universidades griegas. Un amigo y colega especialmente cercano en Atenas fue Nicolaos Kritikos, que había asistido a sus clases en Gotinga, y que más tarde se fue con él a Esmirna, para luego convertirse en profesor de la Politécnica de Atenas. Kritikos y Carathéodory ayudaron al topólogo griego Christos Papakyriakopoulos a doctorarse en topología en la Universidad de Atenas en 1943 en circunstancias muy difíciles. Mientras enseñaba en la Universidad de Atenas, Carathéodory tuvo como alumno de licenciatura a Evangelos Stamatis, que posteriormente alcanzó una considerable distinción como estudioso de los clásicos matemáticos griegos antiguos.

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Cálculo de variaciones

En su tesis doctoral, Carathéodory mostró cómo extender las soluciones a los casos discontinuos y estudió los problemas isoperimétricos.

Anteriormente, entre mediados de 1700 y mediados de 1800, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre y Carl Gustav Jacob Jacobi lograron establecer condiciones necesarias pero insuficientes para la existencia de un mínimo relativo fuerte. En 1879, Karl Weierstrass añadió una cuarta que sí garantiza la existencia de dicha cantidad. Carathéodory construyó su método para derivar las condiciones suficientes basándose en el uso de la ecuación de Hamilton-Jacobi para construir un campo de extremos. Las ideas están estrechamente relacionadas con la propagación de la luz en la óptica. El método se conoce como el método de Carathéodory de los problemas variacionales equivalentes o el camino real hacia el cálculo de variaciones. Una de las principales ventajas del trabajo de Carathéodory sobre este tema es que ilumina la relación entre el cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales parciales. Permite derivaciones rápidas y elegantes de las condiciones de suficiencia en el cálculo de variaciones y conduce directamente a la ecuación de Euler-Lagrange y a la condición de Weierstrass. En 1935 publicó su Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales de primer orden).

Más recientemente, los trabajos de Carathéodory sobre el cálculo de variaciones y la ecuación de Hamilton-Jacobi se han llevado a la teoría del control óptimo y la programación dinámica. El método también puede extenderse a las integrales múltiples.

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Geometría convexa

El teorema de Carathéodory en geometría convexa afirma que si un punto x {displaystyle x} de R d {displaystyle mathbb {R} ^{d}} se encuentra en el casco convexo de un conjunto P {displaystyle P} entonces x {displaystyle x} puede escribirse como la combinación convexa de a lo sumo d + 1 {displaystyle d+1} puntos en P {displaystyle P} . Es decir, existe un subconjunto P ′ {displaystyle P»} de P {displaystyle P} que consiste en d + 1 {displaystyle d+1} o menos puntos tales que x {displaystyle x} se encuentra en el casco convexo de P ′ {displaystyle P»} . Equivalentemente, x {displaystyle x} se encuentra en un r {displaystyle r} -con vértices en P {displaystyle P} donde r ≤ d {displaystyle rleq d} . El más pequeño r {displaystyle r} que hace que la última afirmación sea válida para cada x {displaystyle x} en el casco convexo de P se define como el número de Carathéodory de P {displaystyle P} . Dependiendo de las propiedades de P {P, se pueden obtener límites superiores inferiores a los proporcionados por el teorema de Carathéodory.} se pueden obtener límites superiores inferiores a los proporcionados por el teorema de Carathéodory.

Se le atribuye la autoría de la conjetura de Carathéodory, que afirma que una superficie convexa cerrada admite al menos dos puntos umbilicales. En 2021, esta conjetura seguía sin demostrarse a pesar de haber atraído una gran cantidad de investigaciones.

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Análisis real

Demostró un teorema de existencia para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias bajo condiciones de regularidad leves.

Otro teorema suyo sobre la derivada de una función en un punto podría utilizarse para demostrar la regla de la cadena y la fórmula de la derivada de las funciones inversas.

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Análisis complejo

Amplió en gran medida la teoría de la transformación conforme demostrando su teorema sobre la extensión de la cartografía conforme a los límites de los dominios de Jordan. Al estudiar la correspondencia de los límites, originó la teoría de los extremos primos. Presentó una prueba elemental del lema de Schwarz.

Carathéodory también se interesó por la teoría de las funciones de múltiples variables complejas. En sus investigaciones sobre este tema buscó análogos de los resultados clásicos del caso de una sola variable. Demostró que una bola en C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} no es holomórficamente equivalente al bidisco.

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Teoría de la medida

Se le atribuye el teorema de extensión de Carathéodory, fundamental para la teoría moderna de la medida. Posteriormente, Carathéodory extendió la teoría de conjuntos a las álgebras booleanas.

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Termodinámica

La termodinámica era un tema muy querido por Carathéodory desde su época en Bélgica. En 1909 publicó una obra pionera, «Investigaciones sobre los fundamentos de la termodinámica», en la que formulaba la segunda ley de la termodinámica de forma axiomática, es decir, sin utilizar los motores de Carnot ni los frigoríficos y sólo mediante un razonamiento matemático. Se trata de otra versión de la segunda ley, junto a las afirmaciones de Clausius, y de Kelvin y Planck. La versión de Carathéodory atrajo la atención de algunos de los mejores físicos de la época, como Max Planck, Max Born y Arnold Sommerfeld. Según el estudio de Bailyn sobre la termodinámica, el enfoque de Carathéodory se denomina «mecánico» y no «termodinámico». Max Born aclamó este «primer fundamento axiomáticamente rígido de la termodinámica» y expresó su entusiasmo en sus cartas a Einstein. Sin embargo, Max Planck tenía algunas dudas, ya que, aunque estaba impresionado por la destreza matemática de Carathéodory, no aceptaba que se tratara de una formulación fundamental, dada la naturaleza estadística de la segunda ley.

En su teoría simplificó los conceptos básicos, por ejemplo, el calor no es un concepto esencial sino derivado. Formuló el principio axiomático de la irreversibilidad en termodinámica afirmando que la inaccesibilidad de los estados está relacionada con la existencia de entropía, siendo la temperatura la función de integración. La Segunda Ley de la Termodinámica la expresó mediante el siguiente axioma: «En la vecindad de cualquier estado inicial, hay estados a los que no se puede acercar arbitrariamente mediante cambios de estado adiabáticos». En este sentido, acuñó el término accesibilidad adiabática.

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Óptica

El trabajo de Carathéodory en óptica está estrechamente relacionado con su método en el cálculo de variaciones. En 1926 dio una prueba estricta y general de que ningún sistema de lentes y espejos puede evitar la aberración, excepto en el caso trivial de los espejos planos. En su obra posterior dio la teoría del telescopio Schmidt. En su Geometrische Optik (1937), Carathéodory demostró la equivalencia del principio de Huygens y del principio de Fermat a partir del primero utilizando la teoría de las características de Cauchy. Argumentó que una ventaja importante de su enfoque era que cubre las invariantes integrales de Henri Poincaré y Élie Cartan y completa la ley de Malus. Explicó que en sus investigaciones en óptica, Pierre de Fermat concibió un principio mínimo similar al enunciado por Hero de Alejandría para estudiar la reflexión.

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Histórico

Durante la Segunda Guerra Mundial, Carathéodory editó dos volúmenes de las Obras Completas de Euler que tratan del Cálculo de Variaciones y que fueron presentados para su publicación en 1946.

En aquel momento, Atenas era el único centro educativo importante de la zona y tenía una capacidad limitada para satisfacer suficientemente la creciente necesidad educativa de la parte oriental del Mar Egeo y los Balcanes. Constantin Carathéodory, que por aquel entonces era profesor de la Universidad de Berlín, propuso la creación de una nueva universidad; las dificultades para establecer una universidad griega en Constantinopla le llevaron a considerar otras tres ciudades: Salónica, Quíos y Esmirna.

Invitado por el Primer Ministro griego Eleftherios Venizelos, presentó el 20 de octubre de 1919 un plan para la creación de una nueva universidad en Esmirna, en Asia Menor, que se llamaría Universidad Jónica de Esmirna. En 1920, Carathéodory fue nombrado decano de la Universidad y desempeñó un importante papel en la creación de la institución, recorriendo Europa para comprar libros y equipamiento. Sin embargo, la universidad nunca llegó a admitir estudiantes debido a la Guerra de Asia Menor, que terminó con el Gran Incendio de Esmirna. Carathéodory consiguió salvar los libros de la biblioteca y sólo fue rescatado en el último momento por un periodista que lo llevó en un bote de remos hasta el acorazado Naxos, que estaba a la espera. Carathéodory llevó a Atenas parte de la biblioteca universitaria y se quedó en Atenas, dando clases en la universidad y en la escuela técnica hasta 1924.

En 1924 Carathéodory fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Múnich, cargo que ocupó hasta su jubilación en 1938. Posteriormente trabajó desde la Academia de Ciencias de Baviera hasta su muerte en 1950.

La nueva universidad griega en el área más amplia de la región del sureste del Mediterráneo, tal y como la concibió originalmente Carathéodory, se materializó finalmente con la creación de la Universidad Aristóteles de Tesalónica en 1925.

Carathéodory destacó en los idiomas, al igual que muchos miembros de su familia. El griego y el francés fueron sus primeras lenguas, y dominó el alemán con tal perfección, que sus escritos compuestos en lengua alemana son obras maestras de estilo. Carathéodory también hablaba y escribía sin esfuerzo el inglés, el italiano, el turco y las lenguas antiguas. Un arsenal lingüístico tan impresionante le permitió comunicarse e intercambiar ideas directamente con otros matemáticos durante sus numerosos viajes, y amplió enormemente sus campos de conocimiento.

Mucho más que eso, Carathéodory era un compañero de conversación muy apreciado por sus colegas profesores del Departamento de Filosofía de Múnich. El respetado filólogo alemán y profesor de lenguas antiguas, Kurt von Fritz, elogiaba a Carathéodory porque de él se podía aprender un sinfín de cosas sobre la antigua y la nueva Grecia, la lengua griega antigua y las matemáticas helénicas. Von Fritz mantuvo numerosas discusiones filosóficas con Carathéodory.

El matemático envió a su hijo Stéfanos y a su hija Despina a un instituto alemán, pero también recibían diariamente instrucción adicional en lengua y cultura griegas de un sacerdote griego, y en casa les permitía hablar sólo en griego.

Carathéodory era un talentoso orador público, y a menudo era invitado a dar discursos. En 1936, fue él quien entregó las primeras medallas Fields en la reunión del Congreso Internacional de Matemáticos en Oslo (Noruega).

En 2002, en reconocimiento a sus logros, la Universidad de Múnich denominó Sala de Conferencias Constantin-Carathéodory a una de las mayores aulas del instituto matemático.

En la ciudad de Nea Vyssa, hogar ancestral de Caratheodory, se encuentra un museo familiar único. El museo está situado en la plaza central de la ciudad, cerca de su iglesia, e incluye varios objetos personales de Karatheodory, así como cartas que intercambió con Albert Einstein. Se puede encontrar más información en el sitio web original del club, http:

Al mismo tiempo, las autoridades griegas tenían desde hace tiempo la intención de crear un museo en honor a Karatheodoris en Komotini, una importante ciudad de la región del noreste de Grecia, a más de 200 km de su ciudad natal arriba. El 21 de marzo de 2009, el Museo «Karatheodoris» (Καραθεοδωρής) abrió sus puertas al público en Komotini.

El coordinador del Museo, Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης), ha señalado que el museo alberga manuscritos originales del matemático de unas 10.000 páginas, incluida la correspondencia con el matemático alemán Arthur Rosenthal para la algebraización de la medida. En la vitrina, los visitantes también pueden ver los libros «Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4», «Mass und ihre Algebraiserung», «Reelle Functionen Band 1», «Zahlen

Se están realizando esfuerzos para equipar el museo con más exposiciones.

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Artículos de revistas

La lista completa de las publicaciones de Carathéodory en artículos de revistas se encuentra en sus Obras Completas (Ges. Math. Schr.). Las publicaciones más destacadas son:

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Enciclopedias y obras de referencia

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Conferencias

Fuentes

1. Constantin Carathéodory
2. Constantin Carathéodory
3. ^ «The Mathematics Genealogy Project – Constantin Carathéodory». Mathematics Genealogy Project. North Dakota State University Department of Mathematics. Archived from the original on 13 July 2018. Retrieved 27 August 2017.
4. ^ Hallett, Michael; Majer, Ulrich (2004). David Hilbert»s Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902. Springer Science & Business Media. p. 11. ISBN 978-3-540-64373-9.
5. 2,0 2,1 MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 22  Αυγούστου 2017.
6. Holger Krahnke: Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001 (= Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse. Folge 3, Bd. 246 = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 56.
7. Grab von Carathéodory auf dem Münchner Waldfriedhof (Grabfeld 303, Lage48.1052211.49014, Bilder)
8. C. Carathéodory: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis. In: Mathematische Annalen. Band 73, 1913, S. 305–320.
9. C. Carathéodory: Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten. In: Mathematische Annalen. Band 72, 1912, S. 107–144.
10. Ver Carathéodory»s theorem
11. «Constantin Carathéodory-Hörsaal» (PDF). Consultado em 25 de junho de 2009. Arquivado do original (PDF) em 29 de setembro de 2007