Euclides

Alex Rover | abril 22, 2023

Resumen

Euclides (griego antiguo: Εὐκλείδης), a veces conocido como Euclides de Alejandría, fue un matemático de la antigua Grecia que escribió un tratado de matemáticas, uno de los textos fundacionales de esta disciplina en Occidente. No se dispone de información fiable sobre la vida o la muerte de Euclides; es posible que viviera en torno al año 300 a.C.

Su obra más famosa, los Elementos, es uno de los tratados más antiguos que se conocen y presenta de forma sistemática, a partir de axiomas y postulados, un amplio conjunto de teoremas acompañados de sus demostraciones. Trata de geometría, tanto plana como sólida, y de aritmética teórica. El libro se ha publicado en cientos de ediciones en todos los idiomas y sus temas siguen siendo la base de la enseñanza secundaria de las matemáticas en muchos países.

Del nombre de Euclides derivan, en particular, el algoritmo de Euclides, la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana y la división euclidiana.

No existen fuentes directas sobre la vida de Euclides: no tenemos cartas, ni indicaciones autobiográficas (ni siquiera en forma de prefacio a una obra), ni documentos oficiales, ni siquiera una alusión de uno de sus contemporáneos. Como resume el historiador de las matemáticas Peter Schreiber, «no se conoce ni un solo dato fiable sobre la vida de Euclides».

El primer escrito conocido sobre la vida de Euclides aparece en un resumen de la historia de la geometría escrito en el siglo V d.C. por el filósofo neoplatónico Proclus, comentarista del primer libro de los Elementos. El propio Proclus no da ninguna fuente para sus indicaciones. Sólo dice que «al componer sus Elementos, evocó en demostraciones irrefutables las que sus predecesores habían mostrado de manera laxa». Este hombre, además, vivió bajo el primer Ptolomeo, pues Arquímedes menciona a Euclides. Euclides es, pues, más reciente que los discípulos de Platón, pero más antiguo que Arquímedes y Eratóstenes. Si aceptamos la cronología dada por Proclus, Euclides, viviendo entre Platón y Arquímedes y contemporáneo de Ptolomeo I, vivió por tanto hacia el 300 a.C.

Ningún documento contradice estas pocas frases, ni las confirma realmente. La mención directa de Euclides en las obras de Arquímedes procede de un pasaje considerado dudoso. Arquímedes sí hace referencia a algunos resultados de los Elementos, y un ostrakon hallado en la isla Elefantina y datado en el siglo III a.C. habla de figuras estudiadas en el Libro XIII de los Elementos, como el decágono y el icosaedro, pero sin reproducir exactamente los enunciados euclidianos, por lo que podrían proceder de fuentes anteriores a Euclides. No obstante, la fecha aproximada de 300 a.C. se considera compatible con el análisis del contenido de la obra euclidiana y es la adoptada por los historiadores de las matemáticas.

Además, una alusión del matemático del siglo IV Pappus de Alejandría sugiere que los alumnos de Euclides enseñaban en Alejandría. Algunos autores, basándose en esto, han asociado a Euclides con el Mouseîon de Alejandría, pero de nuevo no se le menciona en ningún documento oficial correspondiente. El adjetivo asociado a menudo con Euclides en la Antigüedad es simplemente stoicheiôtês (griego antiguo: στοιχειωτής), es decir, «autor de los Elementos».

Circulan varias anécdotas sobre Euclides, pero como también aparecen de otros matemáticos, no se consideran realistas: por ejemplo, la famosa relatada por Proclus, según la cual Euclides respondió a Ptolomeo -que deseaba un camino más fácil que el de los Elementos- que no había camino real en geometría; una variante de la misma anécdota se atribuye, en efecto, a Menechma y Alejandro Magno. Del mismo modo, desde la Antigüedad tardía se han añadido diversos detalles a los relatos sobre la vida de Euclides, sin nuevas fuentes y a menudo de forma contradictoria. Algunos autores dan como lugar de nacimiento de Euclides Tiro, otros Gela, y se le atribuyen diversas genealogías, maestros particulares y fechas de nacimiento y muerte, ya sea para respetar las reglas del género o para favorecer determinadas interpretaciones. En la Edad Media y a principios del Renacimiento, el matemático Euclides se confundió a menudo con un filósofo contemporáneo de Platón, Euclides de Megara.

Ante estas contradicciones y la falta de fuentes fiables, el historiador de las matemáticas Jean Itard llegó a sugerir en 1961 que Euclides como individuo podría no haber existido y que el nombre podría designar «el título colectivo de una escuela matemática», ya fuera el de un verdadero maestro rodeado de alumnos, o incluso un nombre puramente ficticio. Pero esta hipótesis no parece ser aceptada.

La mención de obras atribuidas a Euclides aparece en varios autores, en particular en la Colección Matemática de Pappus (datada generalmente en los siglos III o IV) y en el Comentario a los Elementos de Euclides de Proclus. Sólo una parte de estas obras euclidianas ha llegado hasta nosotros.

Los elementos

Los Elementos de Matemáticas, en trece libros, es la obra más famosa de Euclides y un best-seller de la edición científica. Existen numerosas versiones manuscritas del texto, tanto completas como incompletas, en bibliotecas de todo el mundo. Hasta principios del siglo XIX, todas las versiones conocidas se basaban en el autor del siglo IV Teón de Alejandría (el manuscrito completo más antiguo, el llamado Codex Bodleianus, data del siglo IX). En 1808, François Peyrard identificó un manuscrito griego del siglo X (descubierto en la Biblioteca Vaticana durante las campañas de Napoleón en Italia) que hacía referencia a una versión anterior a la de Teón. El primer texto impreso de los Elementos, en latín, procede de Campanus de Novara, basado en versiones árabes del texto, y fue publicado en Venecia en 1482 por el impresor Erhard Ratdolt. La edición crítica moderna, que sigue siendo hoy la referencia e integra los conocimientos de varios manuscritos griegos (entre ellos el identificado por Peyrard) se debe a Johan Ludvig Heiberg. Ya sea en versión parcial (sólo los seis primeros libros, por ejemplo) o completa, las adaptaciones, ediciones comentadas y traducciones de los Elementos han sido numerosas hasta nuestros días.

Uno de los aspectos más famosos del libro es su forma deductiva y su organización sistemática y progresiva. El autor enuncia primero definiciones, como la de línea («una longitud sin anchura») en el Libro I, o la de número primo (nociones comunes (postulados, como la posibilidad de construir una línea recta que pase por dos puntos dados. A continuación, demuestra nuevas propiedades o realiza nuevas construcciones, basándose en lo que ya se conoce (las definiciones, o proposiciones ya establecidas). De este modo, todas las construcciones se basan en las de rectas o círculos, una restricción que más tarde se conocería como construcciones con regla y compás.

Los seis primeros libros están dedicados a la geometría plana. El primero trata en particular de los triángulos y de las rectas paralelas, e incluye una demostración del teorema de Pitágoras; el segundo trata de la construcción de figuras planas de una forma dada, como los cuadrados, y de un área igual a la de una figura rectilínea dada; el tercero trata de las propiedades del círculo; el cuarto trata de la inscripción de figuras en un círculo, o de círculos en figuras rectilíneas, por ejemplo la construcción de pentágonos regulares inscritos en un círculo dado o circunscritos por él; el quinto trata de la teoría de las relaciones y proporciones entre cantidades, teoría que se aplica a la geometría en el sexto libro.

Los tres libros siguientes, también llamados «Libros de Aritmética», tratan de los números primos, la construcción del máximo común divisor entero de dos o más números enteros, los números en progresión geométrica, y dan un criterio para construir números perfectos (es decir, enteros iguales a la suma de sus divisores propios). Contiene un procedimiento de restas sucesivas repetidas, que constituye actualmente la base de la división euclidiana y del algoritmo de Euclides.

El libro X define y clasifica las cantidades irracionales; los tres últimos libros tratan de la geometría en el espacio, culminando con la construcción, en una esfera, de los cinco sólidos regulares, pirámide, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Los dos libros adicionales sobre poliedros regulares, a menudo denominados «libros XIV y XV» de los Elementos en las primeras ediciones, fueron escritos por otros autores, varios siglos después.

La geometría definida por Euclides en este texto fue considerada durante siglos como geometría y como representación adecuada del mundo físico. Entre los postulados del Libro I se encuentra el conocido como postulado de Euclides o postulado de las paralelas, que hoy se expresa de la forma: «por un punto tomado fuera de una recta pasa una y sólo una paralela a esta recta». El estudio de este postulado condujo en el siglo XIX al desarrollo de geometrías no euclidianas, es decir, alternativas a la geometría de Euclides que no admiten este postulado, y más en general a la renovación de la noción misma de geometría y de sus vínculos con la representación del mundo real.

Los datos

El Dato es la única otra obra de Euclides que trata de geometría de la que se dispone de una versión griega (figura, por ejemplo, en el manuscrito del siglo X descubierto por Peyrard). También se describe detalladamente en el libro VII de la Colección Matemática de Pappus, el «Tesoro del análisis».

Los Datos se sitúan en el marco de la geometría plana y son considerados por los historiadores como un complemento de los Elementos, puestos en una forma más adecuada para el análisis de problemas. El libro contiene doce definiciones, que explican lo que significa que un objeto geométrico esté dado, en posición, forma, tamaño, y 94 teoremas. Éstos explican cómo si se dan ciertos elementos de una figura, se pueden determinar a su vez otras relaciones o elementos. Por ejemplo (dato 29), «si una recta está dada en posición, y si, a partir de un punto dado de ella, se traza una recta formando un ángulo dado con la primera, esta recta trazada está dada», o (dato 39) «si todos los lados de un triángulo están dados en tamaño, el triángulo está dado en forma».

Sobre la división de cifras

Esta obra se describe en el Comentario de Proclus, pero se ha perdido en griego; se conoce por fragmentos en latín (De divisionibus), pero sobre todo por un manuscrito árabe descubierto en el siglo XIX, que contiene 36 proposiciones, cuatro de las cuales están demostradas.

El objetivo de este libro es construir rectas que dividan figuras dadas en proporciones y formas dadas. Por ejemplo, dado un triángulo y un punto dentro del triángulo, construye una recta que pase por el punto y divida el triángulo en dos figuras de igual área; o dado un círculo, construye dos rectas paralelas tales que la porción del círculo que limitan sea un tercio del área del círculo.

Pseudaria

Los argumentos falaces (Pseudaria) es una obra perdida, conocida únicamente por la descripción que de ella hace Proclus. Según Proclus, el objetivo de la obra era enseñar a los principiantes a detectar los razonamientos falsos, especialmente los que imitan el razonamiento deductivo y, por tanto, tienen apariencia de verdad. Dio ejemplos de paralogismos.

Las cónicas

Las Cónicas, Conikai Stoicheia, es una obra perdida descrita por Pappus y citada por otros autores. Según Pappus, constaba de cuatro libros y fue una obra estándar sobre el tema hasta que Apolonio la completó y amplió.

Los Porismos

Los Porismos, en tres libros, se han perdido. La obra se menciona en dos pasajes de Proclus y, sobre todo, es objeto de una larga presentación en el libro VII de la Colección de Pappus, el «Tesoro del análisis», como ejemplo significativo y de gran alcance del enfoque analítico. La palabra «porismo» tiene varios usos: según Pappus, designaría aquí un enunciado de tipo intermedio entre los teoremas y los problemas. La obra de Euclides habría contenido 171 enunciados de este tipo y 38 lemas. Pappus da ejemplos, como «si, a partir de dos puntos dados, trazamos rectas que se cortan en una recta dada, y si una de ellas corta un segmento en una recta dada, la otra hará lo mismo en otra recta, con una relación fija entre los dos segmentos cortados».

Interpretar el significado exacto de un porismo, y eventualmente reconstruir total o parcialmente los enunciados de la obra de Euclides, a partir de la información dejada por Pappus, ha ocupado a muchos matemáticos: los intentos más conocidos son los de Pierre Fermat en el siglo XVII, Robert Simson en el siglo XVIII y, sobre todo, Michel Chasles en el siglo XIX. Aunque la reconstrucción de Chasles no es tomada en serio como tal por los historiadores actuales, dio al matemático la oportunidad de desarrollar la noción de razón anarmónica.

Lugares sacados a la superficie

También es una obra perdida, en dos libros, mencionada en el Tesoro de análisis de Pappus. Las indicaciones dadas en Proclus o Pappus sobre estos loci euclidianos son ambiguas y no se sabe exactamente de qué se habla en la obra. En la tradición de la matemática griega antigua, los loci son conjuntos de puntos que verifican una propiedad determinada. Estos conjuntos suelen ser líneas rectas o secciones cónicas, pero también pueden ser, por ejemplo, superficies regladas. La mayoría de los historiadores creen que los loci de Euclides podían referirse a superficies de revolución, esferas, conos o cilindros.

Los fenómenos

Esta obra sobre la aplicación de la geometría de la esfera a la astronomía ha sobrevivido en griego en varias versiones manuscritas, la más antigua de las cuales data del siglo X. El texto es la llamada «pequeña astronomía», en contraste con los temas tratados en la Gran Composición de Ptolomeo (Almagesto). El texto es una «pequeña astronomía», a diferencia de los temas tratados en la Gran Composición de Ptolomeo (el Almagesto). Contiene 18 proposiciones y se aproxima a las obras conservadas sobre el mismo tema de Autolycos de Pitania.

Óptica

Esta obra se conserva en griego, en varias versiones. Dedicada a lo que hoy llamaríamos problemas de perspectiva y aparentemente destinada a la astronomía, adopta la forma de los Elementos: es una secuencia de cincuenta y ocho proposiciones cuya demostración se basa en definiciones y postulados expuestos al principio del texto. Estas definiciones responden a la idea de Platón de que la visión procede de rayos (en línea recta) que van de nuestro ojo al objeto visto. Euclides demuestra que los tamaños aparentes de objetos iguales no son proporcionales a su distancia de nuestro ojo (proposición 8). También explica, por ejemplo, cómo vemos una esfera (y otras superficies simples): el ojo ve un área menor que la mitad de la esfera, proporción que es menor cuanto más cerca está la esfera, aunque el área vista parezca mayor, y el contorno de lo visto es un círculo. También detalla, en función de las posiciones del ojo y del objeto, qué forma nos parece un círculo. El tratado, en particular, contradice la opinión mantenida en algunas escuelas de pensamiento de que el tamaño real de los objetos (especialmente los cuerpos celestes) es su tamaño aparente, el que se ve. Por sus estudios sobre la perspectiva, el libro de Euclides se considera una de las obras más importantes sobre óptica hasta Newton. Artistas renacentistas como Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti y Alberto Durero se inspiraron en él para elaborar sus propios tratados sobre la perspectiva.

Música

Proclus atribuye Elementos de música a Euclides (al igual que la astronomía, la música teórica, por ejemplo en forma de teoría aplicada de las proporciones, se cuenta entre las ciencias matemáticas). Se han conservado dos pequeños escritos en griego, incluidos en las primeras ediciones de Euclides, pero su atribución es incierta, al igual que su posible conexión con sus Elementos. Además, se considera que ambos escritos (una Sección del Canon sobre los intervalos musicales y una Introductio Harmonica) son contradictorios, y los estudiosos consideran que al menos el segundo procede de otro autor.

Obras falsamente atribuidas a Euclides

Enlaces externos

Fuentes

1. Euclide
2. Euclides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
7. ^ Ball, pp. 50–62.
8. ^ Boyer, pp. 100–119.
9. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
10. Зубов, 2007, с. 510.
11. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.