Leonhard Euler

Mary Stone | abril 16, 2023

Resumen

Leonhard Euler (15 de abril de 1707, Basilea, Suiza – 7 (18) de septiembre de 1783, San Petersburgo, Imperio Ruso) fue un matemático y mecánico suizo, prusiano y ruso que realizó aportaciones fundamentales al desarrollo de estas ciencias (así como de la física, la astronomía y varias ciencias aplicadas). Junto con Lagrange, fue el mayor matemático del siglo XVIII y está considerado uno de los más grandes de la historia. Euler escribió más de 850 obras (entre ellas dos docenas de monografías fundamentales) sobre análisis matemático, geometría diferencial, teoría de números, cálculo aproximado, mecánica celeste, física matemática, óptica, balística, construcción naval, teoría musical y otros temas. Estudió medicina, química, botánica, aeronáutica, teoría de la música y muchas lenguas europeas y antiguas. Académico de las Academias de Ciencias de San Petersburgo, Berlín, Turín, Lisboa y Basilea, miembro extranjero de la Academia de Ciencias de París. Primer miembro ruso de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias.

Pasó casi la mitad de su vida en Rusia, donde contribuyó notablemente al desarrollo de la ciencia rusa. En 1726 fue invitado a trabajar en San Petersburgo, adonde se trasladó un año después. De 1726 a 1741 y a partir de 1766 fue académico de la Academia de Ciencias de San Petersburgo (de 1741 a 1766 trabajó en Berlín, permaneciendo al mismo tiempo como miembro honorario de la Academia de San Petersburgo). Tras un año en Rusia, tenía un buen conocimiento del ruso y algunas de sus obras (sobre todo libros de texto) se publicaron en ruso. Los primeros académicos-matemáticos rusos (S. K. Kotelnikov) y astrónomos (S. Ya. Rumovsky) fueron alumnos de Euler.

Suiza (1707-1727)

Leonhard Euler nació en 1707 en el seno de la familia del pastor de Basilea Paul Euler, amigo de la familia Bernoulli, y de Marguerite Euler, de soltera Brooker. Poco después de su nacimiento, la familia se trasladó a Richeng, donde el niño pasó sus primeros años. Leonard recibió su educación primaria en casa bajo la dirección de su padre (éste había estudiado matemáticas con Jakob Bernoulli). El pastor preparó a su hijo mayor para una carrera espiritual, pero también le enseñó matemáticas, tanto por diversión como para desarrollar su pensamiento lógico, y Leonard mostró un talento precoz para las matemáticas.

Cuando Leonard creció, fue llevado a casa de su abuela en Basilea, donde asistió al gimnasio (mientras seguía estudiando matemáticas con pasión). En 1720 se le permitió asistir a conferencias públicas en la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención del profesor Johann Bernoulli (hermano menor de Jakob Bernoulli). El famoso científico envió artículos matemáticos al joven matemático para que los estudiara y le permitió visitarle en su casa los sábados por la tarde para aclarar puntos difíciles.

El 20 de octubre de 1720, Leonhard Euler, de 13 años, ingresó en la Facultad de Letras de la Universidad de Basilea. Pero su amor por las matemáticas llevó a Leonhard por otro camino. De visita en casa de su profesor, Euler conoció y entabló amistad con sus hijos, Daniel y Nicholas, que también, siguiendo la tradición familiar, estudiaban matemáticas en profundidad. En 1723, Euler recibió (como era costumbre en la Universidad de Basilea) su primer premio (primam lauream). El 8 de julio de 1724, Leonhard Euler, de 17 años, pronunció un discurso en latín en el que comparó los puntos de vista filosóficos de Descartes y Newton.

En los dos años siguientes, el joven Euler escribió varios trabajos científicos. Uno de ellos, «Disertación sobre la física del sonido», fue presentado a un concurso para cubrir el puesto inesperadamente vacante de catedrático de Física en la Universidad de Basilea (1725). Pero a pesar de la crítica favorable, Euler, de 19 años, fue considerado demasiado joven para ser incluido como candidato a la cátedra. En aquella época, el número de vacantes científicas en Suiza era muy reducido. Así que los hermanos Daniel y Nikolai Bernoulli viajaron a Rusia, donde se estaba creando la Academia de Ciencias, y prometieron solicitar un puesto para Euler.

A principios del invierno de 1726-1727 Euler recibió la noticia de San Petersburgo: por recomendación de los hermanos Bernoulli fue invitado al puesto de profesor asociado en el departamento de fisiología (este departamento estaba ocupado por D. Bernoulli) con un sueldo anual de 200 rublos (Euler conservaba una carta al presidente de la Academia L.L. Blumentrost fechada el 9 de noviembre de 1726 con agradecimiento por la aceptación en la Academia). Dado que Johann Bernoulli era un médico famoso, en Rusia Leonhard Euler, como su mejor alumno, también era considerado médico. Sin embargo, Euler pospuso su marcha de Basilea hasta la primavera, dedicando los meses restantes al estudio serio de las ciencias médicas, cuyo profundo conocimiento impresionaría más tarde a sus contemporáneos. Finalmente, el 5 de abril de 1727, Euler abandonó Suiza para siempre, aunque conservó su nacionalidad suiza (Basilea) durante el resto de su vida.

Rusia (1727-1741)

El 22 de enero (2 de febrero) de 1724 Pedro I aprobó el proyecto de la Academia de Petersburgo. El 28 de enero (8 de febrero) de 1724 el Senado promulgó un decreto sobre la creación de la Academia. De los 22 profesores y profesores asociados invitados en los primeros años aparecieron 8 matemáticos que también se dedicaban a la mecánica, la física, la astronomía, la cartografía, la teoría de la construcción naval, el servicio de medidas y pesos.

Euler (cuya ruta desde Basilea pasaba por Lübeck, Revel y Kronstadt) llegó a San Petersburgo el 24 de mayo de 1727; pocos días antes había muerto la emperatriz Catalina I, patrona de la Academia, y los académicos estaban sumidos en el abatimiento y la confusión. A Euler le ayudaron a acostumbrarse a su nuevo lugar sus compatriotas de Basilea: los académicos Daniil Bernoulli y Jakob Hermann; este último, profesor de la cátedra de matemáticas superiores, era pariente lejano del joven científico y le ofreció todo tipo de patrocinios. Euler fue nombrado profesor asociado de matemáticas superiores (no de fisiología, como estaba previsto en un principio), aunque realizó investigaciones en el campo de la dinámica de fluidos en San Petersburgo, recibió un sueldo de 300 rublos al año y se le proporcionó un piso.

Euler llegó a dominar el ruso a los pocos meses de llegar a San Petersburgo.

En 1728 comenzó a publicarse la primera revista científica rusa, Comentarios de la Academia de Ciencias de San Petersburgo (en latín). Ya el segundo volumen contenía tres artículos de Euler, y en los años siguientes casi todos los números del anuario académico incluían varios de sus nuevos trabajos. En total se publicaron en esta edición más de 400 artículos de Euler.

En septiembre de 1730 expiraron los contratos celebrados con los académicos J. Herman (cátedra de matemáticas) y H. B. Bilfinger (cátedra de física experimental y teórica). Hermann (cátedra de matemáticas) y G. B. Bilfinger (cátedra de física experimental y teórica). Para sus vacantes fueron aprobados Daniil Bernoulli y Leonard Ayler, a este último se le pagó hasta 400 rublos, y el 22 de enero de 1731 fue nombrado profesor oficial. Dos años más tarde (1733), Daniel Bernoulli regresó a Suiza, y Euler, dejando la cátedra de física, ocupó su lugar, convirtiéndose en académico y profesor de matemáticas superiores con un sueldo de 600 rublos (sin embargo, Daniel Bernoulli recibió dos veces más).

El 27 de diciembre de 1733, Leonhard Euler, de 26 años, se casó con su par Katharina (en alemán: Katharina Gsell), hija del pintor académico Georg Gsell (un suizo de San Petersburgo). La pareja compró una casa en el terraplén del Neva, donde se establecieron. La familia Euler tuvo 13 hijos, pero sobrevivieron tres hijos y dos hijas.

El joven profesor tenía mucho trabajo: cartografía, exámenes de todo tipo, consultas para constructores navales y artilleros, elaboración de manuales de formación, diseño de bombas contra incendios, etc. Incluso se le pedía que elaborara horóscopos, que Euler, con el debido tacto, remitía a un astrónomo de plantilla. Alexander Pushkin cita una historia romántica: supuestamente Euler compuso un horóscopo para un príncipe recién nacido, Juan Antonovich (1740), pero el resultado le asustó tanto que no se lo enseñó a nadie, y sólo después de la muerte del pobre príncipe se lo contó al conde K.G. Razumovsky. La autenticidad de esta anécdota histórica es muy dudosa.

Durante su primer periodo en Rusia escribió más de 90 importantes artículos científicos. Gran parte de las «Notas» académicas están repletas de escritos de Euler. Presentó ponencias en seminarios científicos, dio conferencias públicas y participó en diversos encargos técnicos de organismos gubernamentales. Durante la década de 1730, Euler dirigió los trabajos de cartografía del Imperio Ruso, que (tras la marcha de Euler en 1745) se completaron con la publicación del atlas del país. Como relató N. I. Fuss, en 1735 la Academia recibió el encargo de realizar un cálculo matemático urgente y muy engorroso, y un grupo de académicos le pidió tres meses, pero Euler emprendió el trabajo durante 3 días -y consiguió hacerlo él mismo-; sin embargo, el sobreesfuerzo no pasó sin dejar huella: cayó enfermo y perdió la vista en el ojo derecho. Sin embargo, el propio Euler, en una de sus cartas, atribuyó la pérdida del ojo a su trabajo como cartógrafo en el departamento geográfico de la Academia.

La obra en dos volúmenes Mecánica, o la ciencia del movimiento expuesta analíticamente, publicada en 1736, dio a Euler fama general en Europa. En esta monografía, Euler aplicó con éxito los métodos del análisis matemático a la solución general de los problemas del movimiento en el vacío y en un medio resistente.

Una de las tareas más importantes de la Academia era la formación del personal doméstico, para lo cual se crearon una universidad y un gimnasio dependientes de la Academia. Debido a la gran escasez de libros de texto en ruso, la Academia pidió a sus miembros que recopilaran dichos manuales. Euler compiló en alemán un «Manual de aritmética» muy bueno, que se tradujo inmediatamente al ruso y sirvió durante varios años como libro de texto principal. La traducción de la primera parte fue realizada en 1740 por Vasili Adodurov, primer adjunto ruso de la Academia y alumno de Euler.

La situación empeoró cuando la emperatriz Anna Ioannovna murió en 1740 y el joven Juan VI fue declarado emperador. «Algo peligroso estaba a punto de suceder», escribió Euler más tarde en su autobiografía. – Tras la muerte de la venerable emperatriz Ana, durante la regencia que siguió… la situación empezó a presentarse incierta. De hecho, durante la regencia de Anna Leopoldovna la Academia de San Petersburgo cayó definitivamente en el abandono. Euler empezó a considerar la opción de volver a casa o trasladarse a otro país. Al final aceptó una oferta del rey prusiano Friedrich, que le invitó en condiciones muy favorables a la Academia de Berlín, al puesto de director de su departamento matemático. La Academia se basaba en la Real Sociedad Prusiana, fundada por Leibniz, pero que en aquella época se encontraba en un estado lamentable.

Prusia (1741-1766)

Euler presenta su dimisión a la dirección de la Academia de San Petersburgo:

Por esta razón me veo obligado, tanto por razones de salud como por otras circunstancias, a buscar un clima más agradable y a aceptar la llamada de su Real Majestad Prusiana. Por esta razón ruego a la Academia Imperial de Ciencias que tenga a bien despedirme y proporcionarme a mí y a mi familia el pasaporte necesario para mi viaje.

El 29 de mayo de 1741 se obtuvo el permiso de la Academia. Euler fue «liberado» y confirmado como miembro honorario de la Academia con un sueldo de 200 rublos. En junio de 1741 llegó a Berlín Leonhard Euler, de 34 años, con su mujer, dos hijos y cuatro sobrinos. Allí pasó 25 años y publicó unas 260 obras.

Al principio, Euler fue recibido amablemente en Berlín, incluso fue invitado a bailes cortesanos. El marqués de Condorcet recuerda que, poco después de instalarse en Berlín, Euler fue invitado a un baile de la corte. A la pregunta de la Reina Madre de por qué se mostraba tan reticente, Euler respondió: «Vengo de un país donde ahorcan a quien habla.

Euler tenía mucho trabajo. Además de la investigación matemática, dirigió un observatorio y se ocupó de muchos asuntos prácticos, como la producción de calendarios (principal fuente de ingresos de la Academia), la acuñación de monedas prusianas, el tendido de una nueva tubería de agua y la organización de pensiones y loterías.

En 1742 se publicó una colección en cuatro volúmenes de las obras de Johann Bernoulli. Al enviarla desde Basilea a Euler en Berlín, el viejo científico escribió a su alumno: «Me he dedicado a la infancia de las matemáticas superiores. Tú, amigo mío, continuarás su formación en la madurez». Durante el periodo berlinés, fueron apareciendo una tras otra las obras de Euler: «Introducción al análisis de los infinitesimales» (1748), «Ciencia del mar» (1749), «Teoría del movimiento de la Luna» (1753), «Instrucción en cálculo diferencial» (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). En las publicaciones de las Academias de Berlín y San Petersburgo se imprimieron numerosos artículos sobre temas seleccionados. En 1744, Euler descubrió el cálculo de variaciones. Sus obras utilizan una terminología elaborada y símbolos matemáticos que han sobrevivido en gran medida hasta nuestros días, y lleva su exposición al nivel de los algoritmos prácticos.

Durante sus años en Alemania, Euler mantuvo el contacto con Rusia. Euler participó en las publicaciones de la Academia de San Petersburgo, compró libros e instrumentos para ella y editó las secciones matemáticas de las revistas rusas. En su piso, con pensión completa, vivieron durante años jóvenes científicos rusos enviados para su formación. Se sabe de la animada correspondencia de Euler con M. V. Lomonosov; en 1747 dio una opinión favorable al presidente de la Academia de Ciencias, el conde K. G. Razumovsky sobre los artículos de Lomonosov sobre física y química, afirmando:

Todas estas tesis no sólo son buenas, sino también muy excelentes, porque escribe sobre la materia de la física y la química muy necesaria, que hasta entonces no se conocía ni podía ser interpretada por los más ingeniosos, lo que hizo con tal acierto que confío plenamente en la justicia de sus explicaciones. En este caso, hay que reconocerle al Sr. Lomonosov un excelente talento para interpretar los fenómenos físicos y químicos. Es de esperar que las demás Academias sean capaces de producir tales revelaciones, como ha demostrado el Sr. Lomonosov.

Esta elevada estimación no se vio impedida ni siquiera por el hecho de que Lomonosov no escribiera obras matemáticas y no conociera las matemáticas superiores. Sin embargo, en 1755, como consecuencia de la falta de tacto de Lomonosov, que publicó sin permiso de Euler su carta privada de apoyo a éste, Euler puso fin a toda relación con él. Las relaciones se restablecieron en 1761 porque Lomonosov facilitó el regreso de Euler a Rusia.

Su madre notificó a Euler la muerte de su padre en Suiza y pronto se trasladó a vivir con él (murió en 1761). En 1753, Euler compró una finca en Charlottenburg (un suburbio de Berlín) con un jardín y un terreno para albergar a su numerosa familia.

Según sus contemporáneos, Euler seguía siendo modesto, alegre, extremadamente simpático y siempre dispuesto a ayudar a los demás. Sin embargo, su relación con el rey no funcionó: Federico encontraba al nuevo matemático intolerablemente aburrido, totalmente antisocial y le trataba despectivamente. En 1759 murió Mauperthuis, presidente de la Academia de Ciencias de Berlín y amigo de Euler. El rey Federico II ofreció el puesto de presidente de la Academia a D’Alumbert, pero éste lo rechazó. Federico, a quien Euler le caía mal, le confió no obstante la dirección de la Academia, pero sin el título de presidente.

Durante la Guerra de los Siete Años, el mariscal de campo Saltykov reembolsó inmediatamente sus pérdidas, y más tarde la emperatriz Isabel envió otros 4.000 rublos de su bolsillo.

En 1765 se publicó La teoría del movimiento de los sólidos, seguida un año más tarde por Elementos de cálculo de variaciones. Fue aquí donde apareció por primera vez el nombre de la nueva sección de las matemáticas creada por Euler y Lagrange.

En 1762, Catalina II subió al trono ruso y aplicó una política de absolutismo ilustrado. Consciente de la importancia de la ciencia para el progreso del Estado y para su propio prestigio, llevó a cabo una serie de importantes cambios en el sistema de educación y cultura públicas favorables a la ciencia. La emperatriz ofreció a Euler la dirección de una clase de matemáticas, el título de secretario de conferencias de la Academia y un sueldo de 1.800 rublos anuales. Y si no le gusta», decía la carta a su representante, «ella estará encantada de comunicarle sus condiciones, siempre que usted no dude en venir a San Petersburgo».

Euler comunicó sus condiciones como respuesta:

Todas estas condiciones fueron aceptadas. El 6 de enero de 1766 Catalina informó al conde Vorontsov:

La carta que le ha dirigido el Sr. Euler me ha complacido mucho, porque me entero por ella de su deseo de reincorporarse a mi servicio. Por supuesto, le encuentro perfectamente merecedor del deseable título de Vicepresidente de la Academia de Ciencias, pero para ello deben tomarse algunas medidas antes de establecer el título -digo establecerlo, pues hasta ahora no existía-. En el estado actual de las cosas no hay dinero para el sueldo de 3000 rublos, pero para un hombre de tanto mérito como el señor Euler, añadiré al sueldo académico los ingresos del Estado, que en conjunto ascienden a los 3000 rublos necesarios… Estoy seguro de que mi Academia resurgirá de las cenizas de tan importante adquisición y me felicito de antemano por haber devuelto a Rusia a un gran hombre.

Más tarde, Euler puso otras condiciones (una pensión anual de 1.000 rublos para su esposa tras su muerte, compensación por los gastos de viaje, una plaza para su hijo médico y un rango para el propio Euler). Catalina también satisfizo estas condiciones de Euler, excepto la exigencia del rango, diciendo en broma: «Le habría dado, si lo hubiera deseado, el rango de… (en el borrador francés de la carta el consejero colegiado está tachado), si no hubiera temido que este rango le hubiera igualado a tantas personas que no eran dignas del Sr. Euler. Verdaderamente, su fama es mejor que el rango para darle el debido respeto».

Euler presentó al rey una petición de despido del servicio, pero no recibió respuesta. Volvió a presentarla, pero Federico ni siquiera estaba dispuesto a discutir la cuestión de su marcha. Las insistentes peticiones de la representación rusa en nombre de la emperatriz supusieron un apoyo decisivo para Euler. El 2 de mayo de 1766, Federico concedió finalmente al gran erudito permiso para abandonar Prusia, aunque no pudo abstenerse de hacer bromas mordaces sobre Euler en su correspondencia (así, el 25 de julio escribió a D’Alamberto: «Herr Euler, que amaba con locura la Osa Mayor y la Osa Menor, se trasladó más cerca del norte para facilitar su observación»). Es cierto que sirvió como teniente coronel de artillería (más tarde, por intercesión de Catalina II, aún pudo unirse a su padre y fue ascendido a teniente general del ejército ruso. En el verano de 1766, Euler regresó a Rusia, ahora de forma permanente.

Rusia de nuevo (1766-1783)

El 17 (28) de julio de 1766, Euler, de 60 años, su familia y su casa (18 en total) llegaron a la capital rusa. Nada más llegar fue recibido por la emperatriz. Catalina II le dio la bienvenida como a un augusto personaje y le colmó de favores: le concedió 8.000 rublos para la compra de una casa en la isla Vasilievsky y para la adquisición de mobiliario, le proporcionó por primera vez uno de sus cocineros y le encargó que preparara consideraciones para la reorganización de la Academia.

Desgraciadamente, tras su regreso a San Petersburgo, Euler desarrolló cataratas en el único ojo izquierdo que le quedaba y pronto se quedó permanentemente ciego. Probablemente por este motivo nunca recibió el puesto prometido de vicepresidente de la Academia (lo que no impidió que Euler y sus descendientes participaran en la dirección de la Academia durante casi cien años). Sin embargo, la ceguera no afectó a la capacidad de trabajo del científico; sólo comentó que ahora se distraería menos con las matemáticas. Antes de adquirir una secretaria, Euler dictaba su trabajo a un muchacho corpulento, que lo escribía todo en alemán. El número de sus obras publicadas aumentó incluso; durante su segunda estancia en Rusia, Euler dictó más de 400 artículos y 10 libros, lo que supone más de la mitad de su legado creativo.

En 1768-1770 publicó su clásica monografía en dos volúmenes, Aritmética universal (también publicada como Elementos de álgebra y Curso completo de álgebra). Esta obra se publicó por primera vez en ruso (1768-1769), y dos años más tarde apareció una edición en alemán. El libro se tradujo a muchos idiomas y se reimprimió unas 30 veces (tres de ellas en ruso). Todos los manuales de álgebra posteriores estuvieron muy influidos por el libro de Euler.

En los mismos años publicó su Dioptrica (1769-1771), en tres volúmenes, sobre los sistemas de lentes, y las fundamentales Institutiones calculi integralis (1768-1770), también en tres volúmenes.

Las «Cartas sobre diversas cuestiones físicas y filosóficas, escritas a una princesa alemana» (1768) de Euler se hicieron muy populares en el siglo XVIII, y en parte también en el XIX. (1768), que tuvo más de 40 ediciones en 10 idiomas (incluidas 4 ediciones en ruso). Se trataba de una enciclopedia de divulgación científica de amplio alcance, escrita de forma vívida y generalmente accesible.

En 1771 se produjeron dos graves acontecimientos en la vida de Euler. En mayo se produjo un gran incendio en San Petersburgo que destruyó cientos de edificios, incluida la casa y casi todas las posesiones de Euler. El científico apenas se salvó. Todos los manuscritos se salvaron del incendio; sólo se quemó una parte de su «Nueva teoría del movimiento lunar», pero fue rápidamente restaurada con la ayuda de Euler, que conservó su fenomenal memoria hasta su vejez. Euler tuvo que trasladarse temporalmente a otra casa. El segundo acontecimiento: en septiembre del mismo año, por invitación especial de la emperatriz, el famoso oftalmólogo alemán barón Wentzel llegó a San Petersburgo para tratar a Euler. Tras examinarle, accedió a operarle y le extirpó una catarata del ojo izquierdo. Euler pudo volver a ver. El médico le recetó que mantuviera el ojo alejado de la luz brillante, que no escribiera ni leyera, que se acostumbrara poco a poco a la nueva condición. Pero pocos días después de la operación, Euler se quitó el vendaje y pronto volvió a perder la vista. Esta vez para siempre.

1772: «Una nueva teoría del movimiento de la Luna». Euler completa por fin su trabajo de muchos años resolviendo de forma aproximada el problema de los tres cuerpos.

En 1773, por recomendación de Daniel Bernoulli, el alumno de éste, Nikolaus Fuss, llegó a San Petersburgo procedente de Basilea. Fue un gran golpe de suerte para Euler. Fuss, un matemático dotado, se hizo cargo del trabajo matemático de Euler inmediatamente después de su llegada. Fuss no tardó en casarse con la nieta de Euler. Durante los diez años siguientes -hasta su muerte-, Euler le dictó predominantemente sus trabajos, aunque a veces recurría a los «ojos de su hijo mayor» y de sus otros alumnos. Ese mismo año de 1773 murió la esposa de Euler, con la que había vivido casi 40 años. La muerte de su esposa fue un doloroso golpe para el científico, que estaba sinceramente unido a su familia. Euler no tardó en casarse con Salomé Abigail, hermanastra de su difunta esposa.

Trigonometría esférica general» se publicó en 1779 y fue la primera exposición completa de todo el sistema de trigonometría esférica.

Euler trabajó activamente hasta sus últimos días. En septiembre de 1783, el científico de 76 años empezó a sentir dolores de cabeza y debilidad. El 7 (18) de septiembre, tras una cena con su familia, hablando con el académico A. I. Lexel sobre el recién descubierto planeta Urano y su órbita, se sintió repentinamente enfermo. Euler alcanzó a pronunciar: «Me muero», y se desmayó. Pocas horas después, sin recobrar el conocimiento, murió de una hemorragia cerebral.

«Dejó de calcular y de vivir», dijo Condorcet en una lúgubre reunión de la Academia de Ciencias de París (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Fue enterrado en el cementerio luterano de Smolensk, en San Petersburgo. La inscripción del monumento en alemán reza: «Aquí yacen los restos del mundialmente famoso Leonhard Euler, sabio y hombre justo. Nacido el 4 de abril de 1707 en Basilea, murió el 7 de septiembre de 1783». Tras la muerte de Euler, su tumba se perdió y sólo se encontró, en estado ruinoso, en 1830. En 1837, la Academia de Ciencias sustituyó esta lápida por una nueva de granito (aún en pie) con la inscripción en latín «Leonhard Euler – Academia Petropolitana» (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Durante la celebración del 250 aniversario de Euler (1957), las cenizas del gran matemático fueron trasladadas a la «Necrópolis del siglo XVIII» del cementerio Lazarevsky de la Alexander Nevsky Lavra, donde se encuentran cerca de la tumba de M. V. Lomonosov.

Euler dejó importantes obras en diversas ramas de las matemáticas, la mecánica, la física, la astronomía y una serie de ciencias aplicadas. Los conocimientos de Euler eran enciclopédicos; además de matemáticas, estudió botánica, medicina, química, teoría de la música y muchas lenguas europeas y antiguas.

Euler participaba de buen grado en las discusiones científicas, de las que era más conocido:

En todos los casos mencionados, la posición de Euler está respaldada por la ciencia moderna.

Matemáticas

En el ámbito de las matemáticas, el siglo XVIII es la época de Euler. Mientras que antes de él los avances matemáticos estaban dispersos y no siempre eran coherentes, Euler unió por primera vez el análisis, el álgebra, la geometría, la trigonometría, la teoría de números y otras disciplinas en un sistema unificado, al tiempo que añadía muchos de sus propios descubrimientos. Desde entonces, gran parte de las matemáticas se enseñan «según Euler» casi sin cambios.

Gracias a Euler, las matemáticas incluyeron la teoría general de las series, la «fórmula de Euler» fundamental en la teoría de los números complejos, la operación de comparación del módulo, la teoría completa de las fracciones continuas, el fundamento analítico de la mecánica, numerosas técnicas de integración y solución de ecuaciones diferenciales, el número e, la notación i para una unidad imaginaria, una serie de funciones especiales y mucho más.

De hecho, fue Euler quien creó varias disciplinas matemáticas nuevas: teoría de números, cálculo de variaciones, teoría de funciones complejas, geometría diferencial de superficies; sentó las bases de la teoría de funciones especiales. Sus otros campos de trabajo incluyen el análisis diofantino, la física matemática, la estadística, etc.

El historiador de la ciencia Clifford Truesdell escribió: «Euler fue el primer científico de la civilización occidental que escribió sobre matemáticas en un lenguaje claro y fácil de leer». Los biógrafos señalan que Euler era un virtuoso de los algoritmos. Siempre intentaba llevar sus descubrimientos al nivel de métodos computacionales específicos y era un maestro del cálculo numérico. J. Condorcet contaba que una vez dos estudiantes que realizaban independientemente complejos cálculos astronómicos obtuvieron resultados ligeramente diferentes en el signo 50 y acudieron a Euler en busca de ayuda. Euler hizo los mismos cálculos en su mente e indicó el resultado correcto.

П. L. Chebyshev escribió: «Euler fue el principio de todas las investigaciones que constituyen la teoría general de los números». La mayoría de los matemáticos del siglo XVIII se dedicaron al desarrollo del análisis, pero Euler mantuvo durante toda su vida la pasión por la aritmética antigua. Gracias a sus escritos, el interés por la teoría de los números se reavivó hacia finales de siglo.

Euler continuó las investigaciones de Fermat, que había formulado previamente (bajo la influencia de Diofanto) una serie de hipótesis dispersas sobre los números naturales. Euler demostró rigurosamente estas hipótesis, las generalizó considerablemente y las combinó en una teoría significativa de los números. Introdujo en las matemáticas la importantísima «función de Euler» y la utilizó para formular el «teorema de Euler». Refutó la hipótesis de Fermat de que todos los números de la forma F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} son simples; resulta que F 5 {displaystyle F_{5}} {es divisible por 641. Demostrado la declaración de Fermat sobre la representación de un número primo impar como una suma de dos cuadrados. Ha dado una de las soluciones al problema de los cuatro cubos. Demostrado que el número de Mersenne 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – es un número primo; durante casi cien años (hasta 1867) siguió siendo el mayor número primo conocido.

Euler creó las bases de la teoría de comparaciones y deducciones cuadráticas, especificando el criterio de solvencia de estas últimas. Euler introdujo la noción de raíz inicial e hipotetizó que para cualquier número primo p existe una raíz inicial módulo p; no pudo demostrarlo, pero LeGendre y Gauss demostraron posteriormente el teorema. La otra conjetura de Euler, la ley de reciprocidad cuadrática, también demostrada por Gauss, fue de gran importancia en la teoría. Euler demostró el gran teorema de Fermat para n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} creó una teoría completa de las fracciones continuas, investigó varias clases de ecuaciones difeomórficas y la teoría de la división de números en términos.

En el problema del número de particiones de un número natural n {displaystyle n} se obtuvo la fórmula que expresa la función derivada del número de particiones p ( n ) {displaystyle p(n)} {visualizar p(n ) a través del producto infinito de

Euler definió la función zeta, cuya generalización recibió posteriormente el nombre de Riemann:

donde s {displaystyle displaystyle s} es un número real (en Riemann es complejo). Euler derivó una descomposición para ello:

donde el producto se toma sobre todos los números primos p {displaystyle displaystyle p} . De este modo descubrió que en la teoría de números es posible aplicar métodos del análisis matemático, dando lugar a la teoría analítica de números, que se basa en la identidad de Euler y en el método general de las funciones derivadas.

Una de las principales contribuciones de Euler a la ciencia fue su monografía «Introducción al análisis de infinitesimales» (1748). En 1755 se publicó el «Cálculo diferencial» complementado, y en 1768-1770 se publicaron tres volúmenes de «Cálculo integral». En conjunto, se trata de un curso fundamental y bien ilustrado, con una terminología y simbología elaboradas. «Se puede afirmar que la mitad de lo que hoy se enseña en los cursos de álgebra superior y análisis superior está en los escritos de Euler» (N. N. Luzin). Euler fue el primero en dar una teoría sistemática de la integración y de las técnicas utilizadas en ella. En particular, es el autor del método clásico de integración de funciones racionales descomponiéndolas en fracciones simples y del método de resolución de ecuaciones diferenciales de orden arbitrario con coeficientes constantes.

Euler siempre prestó especial atención a los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, habiendo descubierto y descrito importantes clases de ecuaciones diferenciales integrables. Elaboró el método de líneas quebradas de Euler (1768), el método numérico para resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Junto con A. C. Clero dedujo condiciones de integrabilidad de formas diferenciales lineales de dos o tres variables (1739). Obtuvo importantes resultados en la teoría de las funciones elípticas, incluyendo los primeros teoremas sobre la adición de integrales elípticas (1761). Fue el primero en investigar los máximos y mínimos de funciones de muchas variables.

La base de los logaritmos naturales se conoce desde los tiempos de Neper y Jacob Bernoulli, pero Euler realizó un estudio tan profundo de esta importantísima constante que desde entonces lleva su nombre. Otra constante que estudió: la constante de Euler-Mascheroni.

A él se debe también la definición moderna de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, así como su simbolismo y generalización al caso complejo. Las fórmulas que en los libros de texto suelen denominarse «condiciones de Cauchy-Riemann» deberían llamarse más bien «condiciones de D’Alambert-Euler».

Comparte con Lagrange el honor de descubrir el cálculo de variaciones al escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema variacional general. En 1744, Euler publicó su tratado «Método de hallar curvas…» – la primera obra sobre cálculo de variaciones (contenía, entre otras cosas, la primera exposición sistemática de la teoría de las curvas elásticas y resultados sobre la resistencia de los materiales).

Euler hizo avanzar considerablemente la teoría de las series y la extendió al dominio complejo, dando la famosa fórmula de Euler que da la representación trigonométrica de un número complejo. El mundo de las matemáticas quedó muy impresionado por las series resumidas por primera vez por Euler, incluida la serie cuadrada inversa, que nadie había sido capaz de hacer antes que él:

Euler utilizó las series para estudiar las funciones trascendentales, es decir, aquellas funciones que no se expresan mediante una ecuación algebraica (por ejemplo, el logaritmo integral). Descubrió (1729-1730) las «integrales de Euler», funciones especiales que ahora entran en la ciencia como funciones gamma y beta de Euler. En 1764, al resolver el problema de las oscilaciones de una membrana elástica (cuyo origen estaba en la determinación de la altura del sonido de los timbales), Euler fue el primero en introducir las funciones de Bessel para cualquier índice natural (las investigaciones de F. W. Bessel, cuyo nombre llevan ahora estas funciones, datan de 1824).

Desde un punto de vista posterior, las operaciones de Euler con series infinitas no siempre pueden considerarse correctas (la justificación del análisis no se llevó a cabo hasta medio siglo después), pero su fenomenal intuición matemática casi siempre le indicaba el resultado correcto. Sin embargo, en muchos aspectos importantes su perspicacia se adelantó a su tiempo – por ejemplo, su propuesta de comprensión generalizada de la suma de series divergentes y las operaciones sobre ellas sirvió de base para la teoría moderna de estas series, desarrollada a finales del siglo XIX y principios del XX.

En geometría elemental, Euler descubrió varios hechos no señalados por Euclides:

El segundo volumen de Introducción al análisis de infinitesimales (1748) fue el primer libro de texto del mundo sobre geometría analítica y los fundamentos de la geometría diferencial. Euler ofrece una clasificación de las curvas algebraicas de tercer y cuarto orden, así como de las superficies de segundo orden. El término «transformaciones afines» se introdujo por primera vez en este libro, junto con la teoría de dichas transformaciones. En 1732, Euler dedujo la ecuación general de las líneas geodésicas sobre una superficie.

En 1760 se publicó la obra fundamental Investigaciones sobre la curvatura de las superficies. Euler descubrió que en cada punto de una superficie lisa hay dos secciones normales con radios de curvatura mínimo y máximo y que sus planos son mutuamente perpendiculares. Derivó una fórmula para la relación entre la curvatura de la sección de la superficie y las curvaturas principales.

En 1771, Euler publicó su obra «Sobre los cuerpos cuya superficie puede desplegarse sobre un plano». Este trabajo introduce la noción de superficie desplegable, es decir, una superficie que puede superponerse a un plano sin pliegues ni discontinuidades. Sin embargo, Euler da aquí una teoría bastante general de la métrica de la que depende toda la geometría interna de la superficie. Más adelante convierte el estudio de la métrica en la principal herramienta de la teoría de superficies.

En relación con las tareas de cartografía, Euler investigó en profundidad los mapeados conformes, aplicando por primera vez las herramientas del análisis complejo.

Euler prestó mucha atención a la representación de los números naturales como sumas de un tipo especial y formuló una serie de teoremas para calcular el número de particiones. A la hora de resolver problemas combinatorios, estudió en profundidad las propiedades de las combinaciones y permutaciones e introdujo los números de Euler.

Euler investigó algoritmos para la construcción de cuadrados mágicos mediante el recorrido del caballo de ajedrez. Dos de sus obras (1776, 1779) sentaron las bases de la teoría general de los cuadrados latinos y greco-latinos, cuyo gran valor práctico quedó patente después de que Ronald Fisher creara métodos para planificar experimentos, así como en la teoría de los códigos de corrección de errores.

El artículo de Euler de 1736 «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» marcó el inicio de la teoría de grafos como disciplina matemática. Como punto de partida del estudio surgió el problema de los puentes de Königsberg: ¿se puede cruzar cada puente una vez y volver al punto de partida? Euler lo formalizó reduciéndolo al problema de la existencia en un grafo (cuyos vértices corresponden a partes de la ciudad separadas por ramales del río Pregolya, y las aristas a puentes) de un ciclo o un camino que pasa por cada arista exactamente una vez (en terminología moderna, respectivamente, de un ciclo euleriano y un camino euleriano). Al resolver este último problema, Euler demostró que para que exista un ciclo euleriano en un grafo, su grado (el número de aristas que salen del vértice) debe ser par para cada vértice, y el camino euleriano debe ser par para todos menos para dos (en el problema sobre los puentes de Königsberg no es así: los grados son 3, 3, 3 y 5).

Euler realizó una importante contribución a la teoría y los métodos del cálculo aproximado. Fue el primero en aplicar métodos analíticos a la cartografía. Propuso un método práctico de representación gráfica de relaciones y operaciones sobre conjuntos, denominado círculos de Euler (o Euler-Vennes).

Mecánica y física

Muchas de las obras de Euler están dedicadas a diversas ramas de la mecánica y la física. Sobre el papel clave de Euler en la transformación de la mecánica en una ciencia exacta, C. Truesdell escribió: «La mecánica, tal y como se enseña hoy a ingenieros y matemáticos, es en gran medida creación suya».

En 1736 se publicó el tratado en dos volúmenes de Euler «Mecánica, o la ciencia del movimiento, en un enunciado analítico», que marcó una nueva etapa en el desarrollo de esta antigua ciencia y se dedicó a la dinámica del punto material. A diferencia de los fundadores de esta rama de la dinámica, Galileo y Newton, que utilizaban métodos geométricos, Euler, de 29 años, propuso un método analítico regular y uniforme para resolver diversos problemas de dinámica: la compilación de ecuaciones diferenciales del movimiento de un objeto material y su posterior integración en unas condiciones iniciales dadas.

El primer volumen del tratado trata del movimiento de un punto material libre, el segundo – de uno propietario, y se investiga el movimiento en un vacío así como en un medio resistente. Los problemas de balística y la teoría del péndulo se consideran por separado. Aquí Euler escribe por primera vez la ecuación diferencial del movimiento rectilíneo de un punto, y para el caso general del movimiento curvilíneo introduce las ecuaciones naturales del movimiento – ecuaciones en proyecciones sobre los ejes del triedro acompañante. En muchos problemas concretos completa la integración de las ecuaciones del movimiento hasta el final; en los casos de movimiento puntual sin resistencia utiliza sistemáticamente la primera integral de las ecuaciones del movimiento – la integral de energía. En el segundo volumen, en relación con el problema del movimiento de un punto sobre una superficie arbitrariamente curva, se presenta la geometría diferencial de superficies creada por Euler.

Euler volvió más tarde a la dinámica de un punto material. En 1746, investigando el movimiento de un punto material sobre una superficie en movimiento, llegó (simultáneamente con D. Bernoulli y P. Darcy) al teorema del cambio de momento angular. En 1765, Euler, haciendo uso de una idea propuesta en 1742 por C. McLaren sobre la expansión de velocidades y fuerzas a lo largo de tres ejes de coordenadas fijos, escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales del movimiento de un punto material en proyecciones sobre los ejes cartesianos fijos.

Este último resultado fue publicado por Euler en su segundo tratado fundamental sobre dinámica analítica: el libro «Teoría del movimiento de los sólidos» (1765). Su contenido principal, sin embargo, está dedicado a otra sección de la mecánica: la dinámica de los sólidos, de la que Euler fue fundador. El tratado contiene, en particular, la derivación de un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de un cuerpo sólido libre. El teorema sobre la reducción del sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo sólido a dos fuerzas, enunciado en el § 620 del tratado, es importante para la estática. Proyectando las condiciones de igualdad de estas fuerzas a cero sobre los ejes de coordenadas, Euler obtiene por primera vez las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sólido bajo la acción de un sistema espacial arbitrario de fuerzas.

Algunos de los resultados fundamentales de Euler relativos a la cinemática de los sólidos (la cinemática aún no se había identificado como una rama separada de la mecánica en el siglo XVIII) también se exponen en el tratado de 1765. Entre ellos, cabe destacar las fórmulas de Euler para la distribución de las velocidades de los puntos de un cuerpo absolutamente sólido (el equivalente vectorial de estas fórmulas es la fórmula cinemática de Euler) y las ecuaciones cinemáticas de Euler, que dan las derivadas de los ángulos de Euler (utilizados en mecánica para especificar la orientación de un cuerpo sólido) mediante proyecciones de la velocidad angular sobre ejes de coordenadas.

Además de este tratado, dos trabajos anteriores de Euler son de importancia para la dinámica de los sólidos: «Estudios sobre el conocimiento mecánico de los cuerpos» y «El movimiento de rotación de los sólidos alrededor de un eje variable», que fueron presentados a la Academia de Ciencias de Berlín en 1758, pero se publicaron en sus «Notas» más tarde (en el mismo 1765 que el tratado). En ellos: se desarrolló la teoría de los momentos de inercia (se estableció la existencia de al menos tres ejes de rotación libre en cualquier cuerpo rígido con un punto fijo; se obtuvieron las ecuaciones dinámicas de Euler que describen la dinámica de un cuerpo rígido con un punto fijo; se dio una solución analítica de estas ecuaciones en el caso de un momento principal de fuerza externa nulo (el caso de Euler) – uno de los tres casos generales de integrabilidad en el problema de la dinámica de un cuerpo sólido rígido con un punto fijo.

En el artículo «Fórmulas generales para el desplazamiento arbitrario de un cuerpo rígido» (1775), Euler formula y demuestra el teorema fundamental de la rotación de Euler, según el cual el desplazamiento arbitrario de un cuerpo absolutamente rígido con un punto fijo es una rotación por algún ángulo alrededor de un eje que pasa por el punto fijo.

A Euler se le atribuye la formulación analítica del principio de mínima acción (propuesto en 1744 -de forma muy difusa- por P. L. Mauperthuis), la correcta comprensión de las condiciones de aplicabilidad del principio y su primera demostración (realizada en el mismo año de 1744 para el caso de un punto material que se mueve bajo la acción de una fuerza central). La acción aquí (la llamada acción abreviada y no la acción hamiltoniana) con respecto al sistema de puntos materiales se entiende como la integral

donde A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – dos configuraciones del sistema, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – masa, velocidad algebraica y elemento de arco de la trayectoria, respectivamente i {displaystyle i} -ésimo punto, n {displaystyle n} – es el número de puntos.

Como resultado de ello, entró en la ciencia el principio de Mauperthuis-Euler, el primero de una serie de principios variacionales integrales de la mecánica; posteriormente fue generalizado por J. L. Lagrange, y en la actualidad se suele tratar como una de las formas (forma de Mauperthuis-Euler, considerada junto con la forma de Lagrange y la forma de Jacobi) del principio de Mauperthuis-Lagrange. A pesar de su contribución definitoria, en la discusión que surgió en torno al principio de mínima acción Euler defendió con firmeza la prioridad de Mauperthuis y señaló la importancia fundamental de este principio en mecánica. Esta idea atrajo la atención de los físicos que, en los siglos XIX y XX, descubrieron el papel fundamental de los principios variacionales en la naturaleza y aplicaron el enfoque variacional en muchas partes de su ciencia.

Varias obras de Euler están dedicadas a la mecánica de las máquinas. En su memoria «Sobre la aplicación más provechosa de las máquinas simples y complejas» (1747), Euler propuso estudiar las máquinas no en estado de reposo, sino en estado de movimiento. Euler justificó y desarrolló este nuevo enfoque «dinámico» en su memoria «Sobre las máquinas en general» (en ella fue el primero en la historia de la ciencia en señalar las tres partes constituyentes de las máquinas, que en el siglo XIX se definieron como motores, engranajes y órganos de trabajo). En su memoria «Principios de la teoría de las máquinas» (1763), Euler demostró que, al calcular las características dinámicas de las máquinas en caso de su movimiento acelerado, no sólo deben tenerse en cuenta las fuerzas de arrastre y la inercia de la carga útil, sino también la inercia de todos los componentes de la máquina, y dio (en relación con los motores hidráulicos) un ejemplo de dicho cálculo.

Euler también se dedicó a la teoría aplicada de las máquinas, como la teoría de las máquinas hidráulicas y los molinos de viento, el estudio de la fricción en piezas de máquinas y el perfilado de engranajes (aquí justificó y desarrolló la teoría analítica de los engranajes evolventes). En 1765 sentó las bases de la teoría del rozamiento de los cables flexibles y obtuvo, en particular, la fórmula de Euler para determinar la tensión de los cables, que aún se utiliza para resolver numerosos problemas prácticos (por ejemplo, en el cálculo de mecanismos con eslabones flexibles).

A Euler también se le asocia con la introducción consecuente de la idea del continuo en la mecánica, según la cual un cuerpo material se representa, abstraído de su estructura molecular o atómica, como un medio continuo continuo. El modelo del continuo fue introducido por Euler en su memoria «Descubrimiento de un nuevo principio de la mecánica» (comunicada en 1750 a la Academia de Ciencias de Berlín y publicada en sus «Memorias» dos años después).

El autor de la memoria basó su análisis en el principio de Euler de las partículas materiales, una proposición que aún se cita en muchos libros de texto de mecánica y física (a menudo sin mencionar a Euler): un cuerpo sólido puede modelizarse con cualquier grado de precisión descomponiéndolo mentalmente en partículas suficientemente pequeñas y tratando cada una de ellas como un punto material. Según este principio, se pueden obtener diversas relaciones dinámicas para un cuerpo continuo escribiendo sus análogos para partículas materiales individuales (en términos de Euler, «corpúsculos») y sumándolas (en este caso, sustituyendo la suma sobre todos los puntos por la integración sobre el volumen del área ocupada por el cuerpo). Este planteamiento permitió a Euler evitar el uso de medios del cálculo integral moderno (como la integral de Stiltjes), que aún no se conocían en el siglo XVIII.

Basándose en este principio, Euler obtuvo -aplicando el teorema del cambio del momento angular a un volumen material elemental- la primera ley del movimiento de Euler (más tarde apareció también la segunda ley del movimiento de Euler, resultado de aplicar el teorema del cambio del momento angular). Las leyes del movimiento de Euler representaban, de hecho, las leyes básicas del movimiento de la mecánica del continuo; lo único que faltaba para pasar a las ecuaciones generales del movimiento utilizadas actualmente para tales medios era la expresión de las fuerzas superficiales a través del tensor de tensiones (esto lo hizo O. Cauchy en la década de 1820). Euler aplicó los resultados obtenidos al estudio de modelos específicos de cuerpos sólidos -tanto en la dinámica de cuerpos sólidos (fue en las memorias mencionadas donde se dieron por primera vez las ecuaciones de la dinámica de un cuerpo con un punto fijo, referido a ejes cartesianos arbitrarios), como en la hidrodinámica y en la teoría de la elasticidad.

En la teoría de la elasticidad, varios de los estudios de Euler están dedicados a la teoría de la flexión de vigas y barras; en sus primeros trabajos (década de 1740) resolvió el problema de la flexión longitudinal de una barra elástica, componiendo y resolviendo la ecuación diferencial del eje doblado de la barra. En 1757, en su obra «Sobre la carga de columnas», Euler fue el primero en la historia en deducir una fórmula para la carga crítica en compresión de una barra elástica, dando lugar a la teoría de la estabilidad de los sistemas elásticos. La aplicación práctica de esta fórmula llegó mucho más tarde, casi un siglo después, cuando muchos países (sobre todo Inglaterra) empezaron a construir ferrocarriles, lo que exigía el cálculo de la resistencia de los puentes ferroviarios; fue entonces cuando los ingenieros adoptaron -tras algunos perfeccionamientos- el modelo de Euler.

Euler es -junto con D. Bernoulli y J. L. Lagrange- uno de los fundadores de la dinámica analítica de fluidos; aquí se le atribuye la creación de la teoría del movimiento de un fluido ideal (es decir, un fluido sin viscosidad) y la resolución de algunos problemas específicos de la mecánica de fluidos. En «Principios del movimiento de los fluidos» (publicado nueve años más tarde), aplicando sus ecuaciones de la dinámica de un volumen material elemental de un medio continuo al modelo de un fluido perfecto incompresible, obtuvo por primera vez para dicho fluido las ecuaciones del movimiento, así como (para el caso general tridimensional) la ecuación de continuidad. Al estudiar el movimiento sin vórtices de un fluido incompresible, Euler introdujo la función S S (más tarde denominada potencial de velocidad por Helmholtz) y demostró que satisfacía una ecuación diferencial parcial, con lo que la ecuación, ahora conocida como ecuación de Laplace, entró en la ciencia.

Los resultados de este trabajo fueron sustancialmente generalizados por Euler en su tratado «Principios generales del movimiento de los fluidos» (1755). Aquí, para el caso de un fluido ideal compresible, presentó (prácticamente en términos modernos) la ecuación de continuidad y las ecuaciones de movimiento (tres ecuaciones diferenciales escalares, a las que corresponde en forma vectorial la ecuación de Euler, ecuación básica de la hidrodinámica de un fluido ideal). Euler señaló que, para cerrar este sistema de cuatro ecuaciones, se necesita una relación constitutiva que permita expresar la presión p {displaystyle p} (que Euler denominó «elasticidad») en función de la densidad q {displaystyle q} y «otra propiedad r {displaystyle r} {displaystyle r} que afecta a la elasticidad» (en realidad, se refería a la temperatura). Discutiendo la posibilidad de existencia de movimientos no potenciales de un fluido incompresible, Euler dio el primer ejemplo concreto de su flujo en vórtice, y para los movimientos potenciales de tal fluido obtuvo la primera integral -un caso especial de la ahora conocida integral de Lagrange-Cauchy.

De ese mismo año data también la memoria de Euler «Principios generales del estado de equilibrio de los líquidos», que contenía una presentación sistemática de la hidrostática de un líquido ideal (incluida la derivación de la ecuación general del equilibrio de líquidos y gases) y derivaba una fórmula barométrica para una atmósfera isotérmica.

En los trabajos citados, Euler, al escribir las ecuaciones del movimiento y el equilibrio de un fluido, tomó como variables espaciales independientes las coordenadas cartesianas de la posición actual de una partícula material: las variables de Euler (D’Alambert fue el primero en utilizar tales variables en hidrodinámica). Más tarde, en «Sobre los principios del movimiento de los fluidos. Sección Segunda» (1770), Euler introdujo la segunda forma de las ecuaciones de la hidrodinámica, en la que las coordenadas cartesianas de la posición de una partícula material en el momento inicial del tiempo (conocidas ahora como variables de Lagrange) se tomaban como variables espaciales independientes.

Euler recopiló los principales logros en este campo en una Dioptrica de tres volúmenes (latín: Dioptrica, 1769-1771). Entre los principales resultados: reglas para calcular las características óptimas de refractores, reflectores y microscopios, calcular la mayor luminosidad de la imagen, el mayor campo de visión, la menor longitud del instrumento, el mayor aumento, las características del ocular.

Newton sostenía que crear una lente acromática es fundamentalmente imposible. Euler sostenía que una combinación de materiales con características ópticas diferentes podía resolver el problema. En 1758, tras una larga polémica, Euler logró convencer al óptico inglés John Dollond, que fabricó entonces la primera lente acromática conectando entre sí dos lentes de vidrios de distinta composición, y en 1784 el académico F. Epinus construyó en San Petersburgo el primer microscopio acromático del mundo.

Astronomía

Euler trabajó intensamente en el campo de la mecánica celeste. Una de las tareas urgentes de la época era determinar los parámetros de la órbita de un cuerpo celeste (por ejemplo, un cometa) a partir de un número reducido de observaciones. Euler mejoró notablemente los métodos numéricos para este fin y los aplicó prácticamente a la determinación de la órbita elíptica del cometa de 1769; en estos trabajos se basó Gauss, que dio la solución definitiva al problema.

Euler sentó las bases de la teoría de las perturbaciones, completada posteriormente por Laplace y Poincaré. Introdujo el concepto fundamental de los elementos oscilantes de una órbita y dedujo las ecuaciones diferenciales que determinan su cambio con el tiempo. Construyó la teoría de la precesión y la nutación del eje terrestre, y predijo el «movimiento libre de los polos» de la Tierra, descubierto un siglo después por Chandler.

Entre 1748 y 1751, Euler publicó una teoría completa de la aberración y el paralaje de la luz. En 1756 publicó la ecuación diferencial de la refracción astronómica e investigó la dependencia de la refracción de la presión y la temperatura en el punto de observación. Estos resultados tuvieron una enorme influencia en el desarrollo de la astronomía en los años siguientes.

Euler estableció una teoría muy precisa del movimiento de la Luna, desarrollando para ello un método especial de variación de los elementos orbitales. Posteriormente, en el siglo XIX, este método se amplió y se aplicó a los modelos del movimiento de los grandes planetas y sigue utilizándose en la actualidad. Las tablas de Mayer, calculadas a partir de la teoría de Euler (1767), también resultaron adecuadas para resolver el urgente problema de la determinación de la longitud en el mar, y el Almirantazgo inglés pagó por ello a Mayer y Euler un premio especial. Principales obras de Euler en este campo:

Euler investigó el campo gravitatorio no sólo de los cuerpos esféricos, sino también de los elipsoidales, lo que supuso un importante paso adelante. También fue el primer científico en señalar el desplazamiento secular de la inclinación del plano de la eclíptica (1756), y a sugerencia suya se ha adoptado desde entonces como referencia la inclinación de principios de 1700. Desarrolló las bases de la teoría del movimiento de los satélites de Júpiter y otros planetas fuertemente comprimidos.

En 1748, mucho antes de los trabajos de P.N. Lebedev, Euler formuló la hipótesis de que las colas de cometa, las auroras y la luz zodiacal tienen en común el efecto de la radiación solar sobre la atmósfera o la sustancia de los cuerpos celestes.

Teoría musical

A lo largo de su vida, Euler se interesó por la armonía musical y se esforzó por darle un fundamento matemático claro. El objetivo de su primera obra, Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739), era describir matemáticamente en qué se diferencia la música agradable (eufónica) de la música desagradable (desagradable). Al final del capítulo VII de «Experiencia», Euler organizó los intervalos en «grados de agradabilidad» (gradus suavitatis), asignando a la octava el grado II (se omitieron algunas clases (incluidas la primera, la tercera y la sexta) en la tabla de agradabilidad de Euler). Se decía en broma que esta obra contenía demasiada música para los matemáticos y demasiadas matemáticas para los músicos.

En sus últimos años, en 1773, Euler pronunció un discurso en la Academia de Ciencias de San Petersburgo en el que formuló su representación reticular del sistema sonoro en su forma definitiva; esta representación fue designada metafóricamente por el autor como el «espejo de la música» (lat. speculum musicae). Al año siguiente, el trabajo de Euler se publicó como un pequeño tratado De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis («Sobre los verdaderos fundamentos de la armonía presentados a través del speculum musicae»). Bajo el nombre de Tonnetz, la rejilla euleriana se utilizó ampliamente en la teoría musical alemana del siglo XIX.

Otras áreas de conocimiento

En 1749, Euler publicó una monografía en dos volúmenes, «La ciencia del mar, o un tratado sobre la construcción naval y la navegación de barcos», en la que aplicaba métodos analíticos a los problemas prácticos de la construcción naval y la navegación en el mar, como la forma de los barcos, cuestiones de estabilidad y equilibrio, métodos de control del movimiento de los barcos. La teoría general de Krylov sobre la estabilidad de los buques se basa en la «Ciencia marina».

Los intereses científicos de Euler también incluían la fisiología; en particular, aplicó los métodos de la hidrodinámica al estudio de los principios del flujo sanguíneo en los vasos. En 1742 envió a la Academia de Dijon un artículo sobre el flujo de fluidos en tubos elásticos (considerados modelos de vasos), y en diciembre de 1775 presentó a la Academia de Ciencias de San Petersburgo una memoria titulada Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principios para determinar el movimiento de la sangre por las arterias). Esta obra analizaba los principios físicos y fisiológicos del movimiento de la sangre provocado por las contracciones periódicas del corazón. Tratando la sangre como un fluido incompresible, Euler encontró solución a las ecuaciones de movimiento que compuso para el caso de tubos rígidos, y en el caso de tubos elásticos se limitó a derivar ecuaciones generales de movimiento finito.

Una de las principales tareas asignadas a Euler a su llegada a Rusia fue la formación de personal científico. Entre los alumnos directos de Euler:

Una de las prioridades de Euler fue la creación de libros de texto. Él mismo escribió «El manual de aritmética para uso en el gimnasio de la Academia Imperial de Ciencias» (1738-1740), «Aritmética universal» (1768-1769). Euler, según Fuss, recurrió a un método original: dictaba el libro de texto a un niño sirviente, observando cómo entendía el texto. El resultado fue que el niño aprendió a resolver problemas y realizar cálculos de forma autónoma.

Euler lleva su nombre:

Las obras completas de Euler, publicadas desde 1909 por la Sociedad Suiza de Naturalistas, están aún incompletas; se habían previsto 75 volúmenes, de los que se publicaron 73:

Otros ocho volúmenes se dedicarán a la correspondencia científica de Euler (más de 3.000 cartas).

En 1907, científicos rusos y de muchos otros países celebraron el 200 aniversario del nacimiento del gran matemático, y en 1957 las Academias de Ciencias soviética y berlinesa dedicaron sesiones solemnes a su 250 aniversario. En vísperas del 300º aniversario de Euler (2007) se celebró en San Petersburgo un foro internacional del aniversario y se rodó una película sobre la vida de Euler. Ese mismo año se inauguró un monumento a Euler a la entrada del Instituto Internacional Euler de San Petersburgo. Sin embargo, las autoridades de San Petersburgo rechazaron todas las propuestas de dar el nombre del científico a una plaza o una calle; todavía no hay ninguna calle Euler en Rusia.

Cualidades personales y notas

Según sus contemporáneos, Euler tenía un corazón bondadoso, un carácter amable y casi no se peleaba con nadie. Incluso Johann Bernoulli, cuyo carácter duro experimentaron su hermano Jacob y su hijo Daniel, era indefectiblemente afectuoso con él. Euler sólo necesitaba una cosa para la plenitud de la vida: la posibilidad de una creatividad matemática regular. Podía trabajar intensamente incluso «con un niño en el regazo y un gato en la espalda». Al mismo tiempo, Euler era alegre, sociable, amaba la música y las conversaciones filosóficas.

El académico P.P. Pekarsky, basándose en los testimonios de los contemporáneos de Euler, reconstruyó la imagen del erudito: «Euler tenía el gran arte de no alardear de su erudición, de ocultar su superioridad y de estar al nivel de todos. Siempre un temperamento ecuánime, una alegría suave y natural, alguna sorna con un toque de bondad, una conversación ingenua y humorística: todo esto hacía que la conversación con él fuera tan agradable como atractiva.

Como señalan sus contemporáneos, Euler era muy religioso. Según Condorcet, todas las noches reunía a sus hijos, criados y alumnos que vivían con él para rezar. Les leía un capítulo de la Biblia y a veces acompañaba la lectura con un sermón. En 1747, Euler publicó un tratado en defensa del cristianismo contra el ateísmo, «Defensa de la revelación divina contra los ataques de los librepensadores». La fascinación de Euler por el razonamiento teológico provocó una actitud negativa hacia él (como filósofo) de sus famosos contemporáneos: D’Alembert y Lagrange. Federico II, que se consideraba un «librepensador» y mantenía correspondencia con Voltaire, dijo que Euler «apestaba a cura».

Euler era un afectuoso padre de familia, deseoso de ayudar a colegas y jóvenes, y compartía generosamente sus ideas con ellos. Es bien sabido que Euler retrasó sus publicaciones sobre el cálculo de variaciones para que el entonces joven y desconocido Lagrange, que había llegado independientemente a los mismos descubrimientos, pudiera publicarlas primero. Lagrange siempre admiró a Euler como matemático y como hombre; decía: «Si realmente amas las matemáticas, lee a Euler».

«Leed, leed a Euler, es nuestro maestro común», como le gustaba repetir a Laplace (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Los trabajos de Euler fueron estudiados con gran provecho por el «rey de los matemáticos» Karl Friedrich Gauss y prácticamente todos los científicos famosos de los siglos XVIII y XIX.

D’Alambert, en una de sus cartas a Lagrange, llama a Euler «ese diablo» (frès se diable d’homme), como queriendo indicar con ello, según los comentaristas, que lo que Euler había hecho estaba más allá del poder humano.

М. V. Ostrogradsky declaró en una carta a N. N. Fuss: «Euler creó el análisis moderno, lo enriqueció por sí solo más que todos sus seguidores juntos, y lo convirtió en el instrumento más poderoso de la razón humana». El académico S. I. Vavilov escribió: «Junto con Pedro I y Lomonósov, Euler se convirtió en el genio bueno de nuestra Academia, que determinó su gloria, su fortaleza, su productividad».

Direcciones de residencia

Entre 1743 y 1766, Euler vivió en la casa del número 21 de la Berenstrasse

A partir de 1766, Euler vivió en un edificio de apartamentos en el 15 de Nikolayevskaya Embankment (con una interrupción causada por un gran incendio). Durante la época soviética, la calle pasó a llamarse Muelle del Teniente Schmidt. Hay una placa en la casa y ahora alberga una escuela secundaria.

Sellos, monedas, billetes

En 2007, el Banco Central de Rusia emitió una moneda conmemorativa del tricentenario del nacimiento de L. Euler. El retrato de Euler también se colocó en el billete suizo de 10 francos (Serie 6) y en sellos postales de Suiza, Rusia y Alemania.

Olimpiadas de Matemáticas

Muchos de los hechos de geometría, álgebra y combinatoria demostrados por Euler se utilizan universalmente en las matemáticas de las Olimpiadas.

El 15 de abril de 2007 se celebró en Internet una olimpiada matemática para escolares con motivo del tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler, que contó con el apoyo de varias organizaciones. Desde 2008, se celebra la Olimpiada Matemática Leonhard Euler para alumnos de octavo curso, destinada en parte a suplir la pérdida de las fases regional y final de la Olimpiada Matemática Panrusa para alumnos de octavo curso.

Los historiadores han descubierto algo más de mil descendientes directos de Leonhard Euler. El hijo mayor, Johann Albrecht, se convirtió en un importante matemático y físico. El segundo, Karl, fue un famoso médico. El hijo menor, Christopher, llegó a ser teniente general del ejército ruso y comandante de la Fábrica de Armas de Sestroretsk. Todos los hijos de Euler aceptaron la ciudadanía rusa (el propio Euler siguió siendo súbdito suizo toda su vida).

A finales de la década de 1980, los historiadores contaban unos 400 descendientes vivos, aproximadamente la mitad de los cuales vivían en la URSS.

He aquí un breve árbol genealógico de algunos de los descendientes conocidos de Euler (se indica el apellido si no es «Euler»).

Otros descendientes de Euler son N. I. Gekker, V. F. Gekker e I. R. Gekker, V. E. Scalon y E. N. Behrendts. Entre sus descendientes figuran numerosos científicos, geólogos, ingenieros, diplomáticos y médicos; también hay nueve generales y un almirante. Un descendiente de Euler es el presidente del Club Internacional de Criminología de San Petersburgo, D.A. Shestakov.

Fuentes

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. 300-летие со дня рождения Л. Эйлера  (неопр.). Серия: Выдающиеся личности России. Центральный банк Российской Федерации (2 апреля 2007). Дата обращения: 22 октября 2008. Архивировано 14 января 2012 года.
7. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
8. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
9. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
10. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
11. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
12. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
13. ^ The quote appeared in Gugliemo Libri’s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: «… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : ‘Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.’ » [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: ‘Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][138]
14. ^ This quote appeared in a letter from Carl Friedrich Gauss to Paul Fuss dated September 11, 1849:[9] «Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, […] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird.» [The special publication of the smaller Euler treatises is certainly something highly deserving, […] and the study of all Euler’s works will always remain the best school for the various mathematical fields, which cannot be replaced by anything else.]
15. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
16. Dunham 1999, p. xiii