Carl Friedrich Gauss

Mary Stone | avril 13, 2023

Résumé

Johann Carl Friedrich Gauss (* 30 avril 1777 à Brunswick, Principauté de Brunswick-Wolfenbüttel ; † 23 février 1855 à Göttingen, Royaume de Hanovre) est un mathématicien, statisticien, astronome, géodésien, électrotechnicien et physicien allemand. En raison de ses performances scientifiques exceptionnelles, il était déjà considéré de son vivant comme le Princeps mathematicorum (prince des mathématiciens). Son activité s’étendait non seulement aux mathématiques pures, mais aussi à des domaines appliqués. Il a par exemple été chargé de la mensuration du royaume de Hanovre, il a été l’un des premiers avec Wilhelm Eduard Weber à inventer la télégraphie électromagnétique et tous deux ont été les premiers à l’utiliser sur de longues distances, il a développé des magnétomètres et il a initié un réseau mondial de stations pour l’étude du magnétisme terrestre.

À l’âge de 18 ans, Gauss a développé les bases du calcul d’équilibre moderne et des statistiques mathématiques (méthode des moindres carrés), grâce auxquelles il a permis la redécouverte du premier astéroïde, Cérès, en 1801. C’est à Gauss que l’on doit la géométrie non euclidienne, de nombreuses fonctions mathématiques, des théorèmes intégraux, la distribution normale, les premières solutions d’intégrales elliptiques et la courbure gaussienne. En 1807, il fut nommé professeur d’université et directeur d’observatoire à Göttingen, puis chargé de l’arpentage du royaume de Hanovre. Outre la théorie des nombres et la théorie du potentiel, il a notamment étudié le champ magnétique terrestre.

Dès 1856, le roi de Hanovre fit frapper des médailles à l’effigie de Gauss avec l’inscription Mathematicorum Principi (le prince des mathématiciens). Comme Gauss n’a publié qu’une fraction de ses découvertes, la profondeur et la portée de son œuvre n’ont été pleinement révélées à la postérité que lorsque son journal a été découvert en 1898 et que l’héritage a été connu.

De nombreux phénomènes et solutions mathématiques et physiques portent le nom de Gauss, plusieurs tours d’arpentage et d’observation, de nombreuses écoles, ainsi que des centres de recherche et des honneurs scientifiques tels que la médaille Carl Friedrich Gauss de l’Académie de Brunswick et la conférence festive sur Gauss qui a lieu chaque semestre dans une université allemande.

Parents, enfance et adolescence

Carl Friedrich, fils des époux Gauss, est né le 30 avril 1777 à Brunswick. Sa maison natale, située sur le Wendengraben, au 30 de la Wilhelmstraße – au rez-de-chaussée de laquelle fut installé plus tard le musée Gauss – n’a pas survécu à la Seconde Guerre mondiale. C’est là qu’il grandit, seul enfant commun de ses parents ; son père avait également un beau-frère plus âgé issu d’un précédent mariage. Son père Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) exerça différents métiers, il fut entre autres jardinier, boucher, maçon, assistant de commerçant et trésorier d’une petite compagnie d’assurance. Dorothea Bentze (1743-1839), d’un an son aînée, a travaillé comme servante avant son mariage et est devenue sa deuxième épouse. Elle était la fille d’un tailleur de pierre de Velpke, qui mourut en bas âge, et est décrite comme intelligente, d’un esprit serein et d’un caractère ferme. La relation de Gauss avec sa mère est restée étroite toute sa vie ; la dernière fois qu’elle a vécu chez lui à Göttingen, elle avait 96 ans.

Des anecdotes racontent que Carl Friedrich, âgé de trois ans, corrigeait déjà son père lors de l’établissement des fiches de paie. Plus tard, Gauss dira de lui-même en plaisantant qu’il avait appris à calculer avant de parler. Il avait encore à un âge avancé le don d’effectuer mentalement les calculs les plus compliqués. Selon un récit de Wolfgang Sartorius von Waltershausen, le talent mathématique du petit Carl Friedrich a été remarqué lorsqu’il est entré dans la classe de calcul de l’école primaire Catherinen, après deux ans d’enseignement élémentaire :

Là, le professeur Büttner avait l’habitude d’occuper ses élèves avec de longs exercices d’arithmétique, tout en faisant les cent pas, une carabine à la main. L’un des exercices consistait à additionner une série arithmétique ; celui qui avait terminé posait son ardoise sur le pupitre avec les calculs pour la solution. Avec les mots « Ligget se ». en bas-allemand de Brunswick, Gauss, âgé de neuf ans, posa étonnamment rapidement la sienne sur le bureau, qui ne portait qu’un seul chiffre. Une fois le talent exceptionnel de Gauss reconnu, on se procura d’abord un autre livre de calcul à Hambourg, avant que l’assistant Martin Bartels ne se procure des livres de mathématiques utilisables pour les étudier ensemble – et fasse en sorte que Gauss puisse fréquenter le Martino-Katharineum de Brunswick en 1788.

L’élégante méthode utilisée par « le petit Gauss » pour calculer si rapidement la solution de tête est aujourd’hui appelée formule de somme de Gauss. Pour calculer la somme d’une série arithmétique, par exemple des entiers naturels de 1 à 100, on forme des paires de même somme partielle, par exemple 50 paires avec la somme 101 (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51), ce qui permet d’obtenir rapidement le résultat 5050.

Lorsque le « prodige » Gauss eut quatorze ans, il fut présenté au duc Charles-Guillaume-Ferdinand de Brunswick. Celui-ci le soutint financièrement. C’est ainsi que Gauss a pu étudier de 1792 à 1795 au Collegium Carolinum (Brunswick), qui se situe entre l’école supérieure et l’université et qui est le prédécesseur de l’actuelle université technique de Brunswick. C’est là que le professeur Eberhard August Wilhelm von Zimmermann a reconnu son talent mathématique, l’a encouragé et est devenu un ami paternel.

Années d’études

En octobre 1795, Gauss passa à l’université Georg August de Göttingen. Il y suivit les cours de Christian Gottlob Heyne sur la philologie classique, qui l’intéressait alors tout autant que les mathématiques. Ces dernières étaient représentées par Abraham Gotthelf Kästner, qui était également poète. Georg Christoph Lichtenberg lui enseigna la physique expérimentale au semestre d’été 1796 et très probablement l’astronomie au semestre d’hiver suivant. A Göttingen, il se lia d’amitié avec Wolfgang Bolyai.

À l’âge de 18 ans, Gauss fut le premier à démontrer la possibilité de construire le décagone régulier à l’aide du compas et de la règle, sur la base d’un raisonnement purement algébrique – une découverte sensationnelle, car il n’y avait guère eu de progrès dans ce domaine depuis l’Antiquité. Il se concentra ensuite sur l’étude des mathématiques, qu’il termina en 1799 par une thèse de doctorat à l’université de Helmstedt. Les mathématiques étaient représentées par Johann Friedrich Pfaff, qui devint son directeur de thèse. Et le duc de Brunswick tenait à ce que Gauss ne passe pas son doctorat dans une université « étrangère ».

Mariage, famille et enfants

En novembre 1804, il se fiança à Johanna Elisabeth Rosina Osthoff († 11 octobre 1809), fille d’un tanneur blanc de Brunswick, qu’il courtisait depuis longtemps, et l’épousa le 9 octobre 1805. Leur premier enfant, Joseph Gauss († 4 juillet 1873), naquit à Brunswick le 21 août 1806. Son prénom fut donné à son fils en l’honneur de Giuseppe Piazzi, le découvreur de Cérès, une petite planète dont la redécouverte en 1801 avait permis à Gauss de calculer l’orbite.

Peu de temps après le déménagement de la famille à Göttingen, sa fille Wilhelmine, dite Minna, naquit le 29 février 1808 et son fils Louis l’année suivante, le 10 septembre 1809. Un mois plus tard, le 11 octobre 1809, Johanna Gauss mourut en couches, Louis quelques mois plus tard, le 1er mars 1810. La mort de Johanna plongea Gauss dans une dépression pendant un certain temps ; c’est d’octobre 1809 que date une plainte émouvante rédigée par Gauss et retrouvée dans son héritage. Celui qui l’a trouvée, Carl August Gauss (1849-1927), était son seul petit-fils né en Allemagne, fils de Joseph et propriétaire du domaine de Lohne près de Hanovre. Wilhelmine a épousé l’orientaliste Heinrich Ewald, qui a ensuite quitté le royaume de Hanovre pour devenir professeur à l’université de Tübingen, faisant partie des sept de Göttingen.

Le 4 août 1810, le veuf, qui avait deux jeunes enfants à charge, épousa Friederica Wilhelmine Waldeck († 12 septembre 1831), fille du juriste de Göttingen Johann Peter Waldeck, qui avait été la meilleure amie de sa défunte épouse. Il eut trois enfants avec elle. Eugen Gauss se brouilla avec son père alors qu’il était étudiant en droit et émigra en 1830 en Amérique où il vécut comme commerçant et fonda la « First National Bank » de Saint-Charles. Wilhelm Gauss a suivi Eugen aux États-Unis en 1837 et a également connu la prospérité. Sa fille cadette, Therese Staufenau, a tenu le ménage de son père après le décès de sa mère et jusqu’à sa mort. Minna Gauss était décédée de la tuberculose après 13 ans de souffrance.

Les années suivantes

Après avoir obtenu son doctorat, Gauss vécut à Brunswick avec le petit salaire que lui versait le duc et travailla à ses Disquisitiones Arithmeticae.

Gauss refusa un poste à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg par gratitude envers le duc de Brunswick, sans doute dans l’espoir que celui-ci lui construirait un observatoire à Brunswick. Après la mort subite du duc après la bataille d’Iéna et d’Auerstedt, Gauss devint professeur à l’université Georg August de Göttingen et directeur de l’observatoire de Göttingen en novembre 1807. Il dut y donner des cours pour lesquels il développa une aversion. L’astronomie pratique y était représentée par Karl Ludwig Harding, la chaire de mathématiques était occupée par Bernhard Friedrich Thibaut. Plusieurs de ses étudiants devinrent des mathématiciens influents, dont Richard Dedekind et Bernhard Riemann, ainsi que l’historien des mathématiques Moritz Cantor.

À un âge avancé, il s’intéressa de plus en plus à la littérature et fut un lecteur assidu de journaux. Ses écrivains préférés étaient Jean Paul et Walter Scott. Il parlait couramment l’anglais et le français et, outre sa familiarité avec les langues classiques de l’Antiquité datant de sa jeunesse, il lisait plusieurs langues européennes modernes (espagnol, italien, danois, suédois), tout en apprenant le russe à la fin et en s’essayant au sanskrit, qui ne lui convenait pas.

Depuis 1804, il était membre correspondant de l’Académie des sciences et, à partir de 1820, associé étranger de l’Académie. En 1804 également, il devint Fellow de la Royal Society et en 1820 de la Royal Society of Edinburgh. En 1808, il fut élu membre correspondant et, en 1820, membre étranger de l’Académie bavaroise des sciences et, en 1822, de l’American Academy of Arts and Sciences.

En 1838, il reçoit la médaille Copley de la Royal Society. En 1842, il fut admis dans la classe de paix de l’Ordre Pour le Mérite. La même année, il refusa un poste à l’université de Vienne. En 1845, il devint conseiller privé de la cour et, en 1846, doyen de la faculté de philosophie pour la troisième fois. En 1849, il fêta son jubilé de doctorat en or et devint citoyen d’honneur de Brunswick et de Göttingen. Son dernier échange scientifique portait sur une amélioration du pendule de Foucault dans une lettre adressée à Alexander von Humboldt en 1853.

Il collectait des données numériques et statistiques de toutes sortes et tenait par exemple des listes sur l’espérance de vie des hommes célèbres (calculée en jours). Ainsi, le 7 décembre 1853, il écrivait à son ami et chancelier de son ordre Alexander von Humboldt, entre autres : « C’est après-demain le jour où vous, mon très cher ami, passerez dans un domaine dans lequel aucun des coryphées des sciences exactes n’a encore pénétré, le jour où vous atteindrez le même âge auquel Newton a clos sa carrière terrestre mesurée par 30 766 jours. Et les forces de Newton étaient totalement épuisées à ce stade : vous êtes encore là, pour la plus grande joie de tout le monde scientifique, dans la pleine jouissance de votre admirable puissance. Puissiez-vous rester dans cette jouissance encore de nombreuses années ». Gauss s’intéressait à la musique, assistait à des concerts et chantait beaucoup. On ne sait pas s’il jouait d’un instrument. Il s’intéressait à la spéculation sur les actions et laissa à sa mort une fortune considérable de 170 000 thalers (pour un salaire de professeur de 1000 thalers par an), principalement en titres, dont beaucoup de chemins de fer. On trouve à ce sujet l’un des rares passages de sa correspondance dans lequel il s’exprime de manière critique sur la politique et les banques qui coopèrent avec elle ; en effet, les actions de chemins de fer de Hesse-Darmstadt qu’il avait acquises ont perdu une grande partie de leur valeur lorsqu’il a été annoncé que les chemins de fer pouvaient être nationalisés à tout moment.

Il était encore actif sur le plan scientifique à la fin de sa vie et, en 1850, il a donné une conférence sur le thème de l’eau.

Gauss était très conservateur et monarchiste, la révolution allemande de 1848

Dans ses dernières années, Gauss souffrait d’insuffisance cardiaque (diagnostiquée comme une hydropisie) et d’insomnie. En juin 1854, il se rendit avec sa fille Therese Staufenau sur le chantier de construction du chemin de fer de Hanovre à Göttingen. Le chemin de fer qui passait fit fuir les chevaux et renversa la calèche, le cocher fut grièvement blessé, Gauss et sa fille s’en sortirent indemnes. Gauss participa encore à l’inauguration de la ligne de chemin de fer le 31 juillet 1854, après quoi il fut de plus en plus confiné à sa maison par la maladie. Il mourut le 23 février 1855 à 1h05 du matin à Göttingen dans son fauteuil.

Le monument funéraire du cimetière Albani ne fut érigé qu’en 1859 et fut réalisé d’après un projet de l’architecte hanovrien Heinrich Köhler. Il fut bientôt considéré comme une curiosité de Göttingen.

Justification et contributions à la géométrie non-euclidienne

Dès l’âge de douze ans, Gauss se méfiait de la démonstration en géométrie élémentaire et, à seize ans, il pressentait qu’il devait exister une géométrie non euclidienne à côté de la géométrie euclidienne.

Il a approfondi ces travaux dans les années 1820 : Indépendamment de János Bolyai et Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, il remarqua que l’axiome des parallèles d’Euclide n’était pas nécessaire à la pensée. Il ne publia cependant pas ses réflexions sur la géométrie non euclidienne, probablement, selon les rapports de ses confidents, par crainte de l’incompréhension de ses contemporains. Lorsque son ami d’études Wolfgang Bolyai, avec lequel il correspondait, lui a parlé des travaux de son fils János Bolyai, il l’a certes félicité, mais n’a pas pu s’empêcher de mentionner qu’il y avait pensé lui-même bien plus tôt (« me féliciter signifierait me féliciter moi-même »). Il n’avait rien publié à ce sujet, car il « craignait les cris des Béotiens ». Gauss trouva les travaux de Lobatschewski si intéressants qu’il apprit le russe à un âge avancé pour l’étudier.

Distribution des nombres premiers et méthode des moindres carrés

À l’âge de 18 ans, il découvrit certaines propriétés de la distribution des nombres premiers et trouva la méthode des moindres carrés, qui consiste à minimiser la somme des carrés des écarts. Il renonça provisoirement à une publication. Après qu’Adrien-Marie Legendre ait publié sa « Méthode des moindres carrés » dans un traité en 1805 et que Gauss n’ait fait connaître ses résultats qu’en 1809, une querelle de priorité s’ensuivit.

Cette méthode permet de déterminer le résultat le plus probable d’une nouvelle mesure à partir d’un nombre suffisamment important de mesures précédentes. Sur cette base, il a ensuite étudié les théories de calcul de l’aire sous les courbes (intégration numérique), ce qui l’a conduit à la courbe en cloche de Gauss. La fonction correspondante est connue sous le nom de densité de la distribution normale et est utilisée dans de nombreuses tâches de calcul des probabilités, où elle est la fonction de distribution (asymptotique, c’est-à-dire valable pour des quantités de données suffisamment importantes) de la somme des données qui se dispersent de manière aléatoire autour d’une valeur moyenne. Gauss lui-même en a fait usage, entre autres, dans sa gestion réussie de la caisse des veuves et des orphelins de l’université de Göttingen. Il a procédé à une analyse approfondie sur plusieurs années, arrivant à la conclusion que les pensions pouvaient être légèrement augmentées. Ce faisant, Gauss a également posé les bases des mathématiques actuarielles.

Introduction des fonctions elliptiques

En 1796, à l’âge de 19 ans, lors de considérations sur la longueur d’un arc sur une lemniscate en fonction de la distance du point de la courbe à l’origine, il a introduit les premières fonctions elliptiques historiques, appelées aujourd’hui fonctions sinus lemniscatiques. Il n’a toutefois jamais publié ses notes à ce sujet. Ces travaux sont liés à son étude de la moyenne arithmétique et géométrique. Le véritable développement de la théorie des fonctions elliptiques, les fonctions inverses des intégrales elliptiques déjà connues depuis longtemps, a été réalisé par Niels Henrik Abel (1827) et Carl Gustav Jacobi.

Théorème fondamental de l’algèbre, contributions à l’utilisation des nombres complexes

Gauss a saisi très tôt l’utilité des nombres complexes, notamment dans sa thèse de doctorat de 1799, qui contient une preuve du théorème fondamental de l’algèbre. Ce théorème affirme que toute équation algébrique de degré supérieur à zéro possède au moins une solution réelle ou complexe. Gauss critiqua l’ancienne preuve de Jean-Baptiste le Rond d’Alembert comme étant insuffisante, mais même sa propre preuve ne répondait pas encore aux exigences ultérieures de rigueur topologique. Gauss revint encore plusieurs fois sur la preuve du théorème fondamental et donna de nouvelles preuves en 1815 et 1816.

En 1811 au plus tard, Gauss connaissait la représentation géométrique des nombres complexes dans un plan numérique (plan numérique gaussien), que Jean-Robert Argand avait déjà trouvé en 1806 et Caspar Wessel en 1797. Dans la lettre à Bessel dans laquelle il en fait part, il est également clair qu’il connaissait d’autres concepts importants de la théorie des fonctions comme l’intégrale de courbe dans le complexe et le théorème intégral de Cauchy, ainsi que les premières approches des périodes d’intégrales. Il ne publia cependant rien à ce sujet jusqu’en 1831, date à laquelle il introduisit le nom de nombre complexe dans son article sur la théorie des nombres Theoria biquadratorum. Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) l’avait entre-temps précédé dans la publication de la fondation de l’analyse complexe. En 1849, à l’occasion de son jubilé d’or de docteur, il publie une version améliorée de sa thèse sur le théorème fondamental de l’algèbre, dans laquelle il utilise explicitement les nombres complexes, contrairement à la première version.

Contributions à la théorie des nombres

Le 30 mars 1796, un mois avant son dix-neuvième anniversaire, il prouva la constructibilité du décagone régulier, fournissant ainsi le premier complément significatif aux constructions euclidiennes depuis 2000 ans. Mais ce n’était qu’un résultat secondaire de son travail pour son ouvrage Disquisitiones Arithmeticae, qui allait beaucoup plus loin en matière de théorie des nombres.

Une première annonce de cet ouvrage a été faite le 1er juin 1796 dans l’Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung à Iéna. Les Disquisitiones, publiées en 1801, devinrent fondamentales pour le développement ultérieur de la théorie des nombres, à laquelle l’une de ses principales contributions fut la démonstration de la loi de réciprocité quadratique, qui décrit la solvabilité des équations quadratiques « mod p » et pour laquelle il trouva près d’une douzaine de preuves différentes au cours de sa vie. Outre la construction de la théorie élémentaire des nombres sur l’arithmétique modulaire, on trouve une discussion sur les fractions en chaîne et la division du cercle, avec une célèbre allusion à des théorèmes similaires pour la lemniscate et d’autres fonctions elliptiques, qui ont ensuite inspiré Niels Henrik Abel et d’autres. Une grande partie de son œuvre est consacrée à la théorie des formes quadratiques, dont il développe la théorie des genres.

Mais on trouve dans ce livre bien d’autres résultats profonds, souvent brièvement évoqués, qui ont nourri de diverses manières le travail des générations ultérieures de théoriciens des nombres. Le théoricien des nombres Peter Gustav Lejeune Dirichlet a rapporté qu’il avait toujours eu les Disquisitiones à portée de main pendant toute sa vie de travail. Il en va de même pour les deux travaux sur les lois de réciprocité biquadratiques de 1825 et 1831, dans lesquels il introduit les nombres gaussiens (grille d’entiers dans le plan complexe des nombres). Ces travaux font probablement partie d’une suite prévue des Disquisitiones, qui n’a jamais été publiée. Gotthold Eisenstein a ensuite donné des preuves de ces lois en 1844.

Selon André Weil, la lecture de ces travaux (et de certains passages du Journal où il est question, de manière cachée, de la résolution d’équations sur des corps finis) l’a incité à écrire ses travaux sur les conjectures de Weil. Gauss connaissait certes le théorème des nombres premiers, mais ne l’a pas publié.

Gauss encouragea dans ce domaine l’une des premières femmes mathématiciennes des temps modernes, Sophie Germain. Gauss correspondit avec elle à partir de 1804 sur la théorie des nombres, en utilisant d’abord un pseudonyme masculin. Ce n’est qu’en 1806 qu’elle révéla son identité féminine, lorsqu’elle intervint auprès du commandant français de Brunswick pour assurer sa sécurité après l’occupation de la ville. Gauss loua son travail et sa profonde compréhension de la théorie des nombres et lui demanda de lui procurer une pendule précise à Paris en 1810, en échange de l’argent qu’il avait reçu avec le prix Lalande.

Contributions à l’astronomie

Après avoir terminé les Disquisitiones, Gauss s’est tourné vers l’astronomie. L’occasion en fut la découverte de la planète naine Cérès par Giuseppe Piazzi le 1er janvier 1801, dont l’astronome avait perdu la position dans le ciel peu après sa découverte. Gauss, âgé de 24 ans, parvint à calculer l’orbite à l’aide d’une nouvelle méthode indirecte de détermination de l’orbite et de ses calculs de compensation basés sur la méthode des moindres carrés, de sorte que Franz Xaver von Zach put la retrouver le 7 décembre 1801 et – confirmation – le 31 décembre 1801. Heinrich Wilhelm Olbers le confirma indépendamment de Zach en l’observant les 1er et 2 janvier 1802.

Le problème de la récupération de Cérès en tant que telle résidait dans le fait que les observations ne permettent pas de connaître le lieu, une partie de l’orbite, ni la distance, mais seulement les directions d’observation. Cela conduit à la recherche d’une ellipse et non d’un cercle, comme le faisaient les concurrents de Gauss. L’un des foyers de l’ellipse est connu (le Soleil lui-même), et les arcs de l’orbite de Cérès entre les directions de l’observation sont parcourus selon la deuxième loi de Kepler, c’est-à-dire que les temps se comportent comme les surfaces balayées par le rayon directeur. De plus, pour la solution calculée, on sait que les observations elles-mêmes partent d’une conique dans l’espace, l’orbite terrestre elle-même.

En principe, le problème aboutit à une équation du huitième degré dont la solution triviale est l’orbite terrestre elle-même. Grâce à de nombreuses conditions secondaires et à la méthode des moindres carrés développée par Gauss, le jeune homme de 24 ans est parvenu à indiquer l’endroit qu’il avait calculé pour l’orbite de Cérès du 25 novembre au 31 décembre 1801. Zach a ainsi pu retrouver Cérès le dernier jour de la prédiction. L’endroit se trouvait à pas moins de 7° (soit 13,5 latitudes de pleine lune) à l’est de l’endroit où les autres astronomes avaient supposé que Cérès se trouvait, ce que non seulement Zach, mais aussi Olbers, ont dûment apprécié.

Ces travaux, entrepris par Gauss avant même sa nomination au poste de directeur de l’observatoire de Göttingen, le firent connaître d’un coup en Europe, plus encore que sa théorie des nombres, et lui valurent entre autres une invitation à l’Académie de Saint-Pétersbourg, dont il devint membre correspondant en 1802.

La méthode itérative trouvée par Gauss dans ce contexte est encore utilisée aujourd’hui, d’une part parce qu’elle permet d’intégrer toutes les forces connues dans le modèle physico-mathématique sans effort supplémentaire considérable, et d’autre part parce qu’elle est facile à manipuler sur le plan informatique.

Gauss s’est ensuite penché sur la trajectoire de l’astéroïde Pallas, dont le calcul avait été récompensé par l’Académie de Paris, mais il n’a pas pu trouver la solution. Son expérience dans la détermination de la trajectoire des corps célestes a toutefois abouti en 1809 à son ouvrage Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Contributions à la théorie du potentiel

Le théorème intégral gaussien (1835, publié seulement en 1867) est fondamental dans la théorie du potentiel et la physique. Il identifie dans un champ de vecteurs l’intégrale de la divergence (vecteur de dérivation appliqué au champ de vecteurs) sur un volume avec l’intégrale du champ de vecteurs sur la surface de ce volume.

Arpentage et invention de l’héliotrope

C’est entre 1797 et 1801 que Gauss fit ses premières expériences dans le domaine de la géodésie, en tant que conseiller de l’intendant général français Lecoq lors de son arpentage du duché de Westphalie. En 1816, son ancien élève Heinrich Christian Schumacher fut chargé par le roi du Danemark d’effectuer une mesure de latitude et de longitude sur le territoire danois. Par la suite, de 1820 à 1826, Gauss fut chargé de la direction de l’arpentage du royaume de Hanovre (« gaussien »), avec l’aide temporaire de son fils Joseph, officier d’artillerie dans l’armée hanovrienne. Ce relevé a poursuivi le relevé danois vers le sud sur le territoire hanovrien, Gauss utilisant également la base de Braak mesurée par Schumacher. Grâce à la méthode des moindres carrés qu’il a inventée et à la résolution systématique de vastes systèmes d’équations linéaires (méthode d’élimination gaussienne), il a réussi à augmenter considérablement la précision. Il s’est également intéressé à la mise en œuvre pratique : il a inventé comme instrument de mesure l’héliotrope éclairé par des miroirs solaires.

Courbure gaussienne et géodésie

Au cours de ces années, inspiré par la géodésie et la théorie des cartes, il s’est intéressé à la théorie de la géométrie différentielle des surfaces, a introduit entre autres la courbure gaussienne et a démontré son Theorema egregium. Celui-ci affirme que la courbure gaussienne, définie par les courbures principales d’une surface dans l’espace, peut être déterminée uniquement par des mesures de géométrie interne, c’est-à-dire par des mesures à l’intérieur de la surface. Par conséquent, la courbure gaussienne est indépendante de l’intégration de la surface dans l’espace tridimensionnel, elle ne change donc pas lors de représentations fidèles à la longueur de surfaces les unes par rapport aux autres.

Wolfgang Sartorius de Waltershausen rapporte qu’à l’occasion de l’arpentage du Hanovre, Gauss a recherché empiriquement un écart de la somme des angles de triangles particulièrement grands par rapport à la valeur euclidienne de 180° – comme par exemple le triangle plan mesuré par Gauss, formé par le Brocken dans le Harz, l’Inselsberg dans la forêt de Thuringe et le Hoher Hagen près de Dransfeld. Max Jammer a écrit sur cette mesure gaussienne et son résultat :

L’excès d’angle dans ce triangle n’est que de 0,25 minute d’angle en raison de la taille de la Terre. La supposition susmentionnée concernant la motivation fait l’objet de spéculations.

Magnétisme, électricité et télégraphie

En collaboration avec Wilhelm Eduard Weber, il travailla à partir de 1831 dans le domaine du magnétisme. En 1833, Weber inventa avec Gauss un système de télégraphie électromagnétique utilisant un principe similaire à celui d’un relais, qui reliait son observatoire à l’institut de physique sur une distance de 1100 mètres. Ils utilisèrent pour cela des galvanomètres et des magnétomètres adaptés à la télégraphie et développèrent plusieurs versions. Le conducteur était composé de deux fils de cuivre (plus tard des fils de fer) qui reliaient chacun deux bobines : une dans le cabinet de Weber et une dans l’observatoire de Gauss. Les deux bobines étaient enroulées de manière lâche autour d’un barreau magnétique et pouvaient être déplacées le long du barreau. Le principe de l’induction électromagnétique, découvert deux ans plus tôt, déclenchait, lors d’un mouvement de la bobine émettrice enroulée autour d’un barreau aimanté, une décharge électrique qui était transmise par le fil à l’autre bobine, où elle était à nouveau traduite en mouvement. La déviation du barreau aimanté fixé dans un cadre en bois avec la bobine chez le récepteur (qui représentait un principe similaire à un relais ou un magnétomètre ou un galvanomètre à miroir) était alors agrandie et rendue visible par un système de miroirs et de télescopes. Les lettres étaient représentées par un code binaire correspondant au sens du courant (le miroir du récepteur était tourné à chaque fois vers la gauche ou vers la droite). Le premier message était probablement le savoir avant le mien, l’être avant le paraître – ce message se trouvait dans les notes de Gauss en code binaire. Selon d’autres sources, ils annonçaient l’arrivée d’un serviteur qui transmettait habituellement les messages (Michelmann arrive). Deux ans avant Gauss et Weber, Joseph Henry et un an avant Gauss et Weber, Paul Ludwig Schilling de Cannstatt, avaient déjà mis au point un appareil de télégraphie électromagnétique, mais ni l’un ni l’autre ne l’utilisèrent sur de longues distances et il ne suscita pas davantage d’attention. En 1845, l’installation de Gauss et Weber a été détruite par la foudre, qui a également mis le feu au chapeau d’une dame. Une étable devant laquelle passait la ligne a toutefois été épargnée, ce qui aurait sinon pu déclencher un éventuel incendie dans la ville. L’application commerciale a toutefois été réalisée par d’autres, notamment par Samuel Morse aux États-Unis quelques années après l’invention de Gauss et Weber. Gauss voyait cependant les possibilités d’application, par exemple dans le vaste empire russe et pour les chemins de fer, et ils rédigèrent un mémorandum à ce sujet, ce qui ne se réalisa pas en Allemagne à l’époque en raison du coût des lignes. Bien qu’ils aient publié des articles à ce sujet, l’invention du télégraphe de Gauss et Weber est presque tombée dans l’oubli dans les années qui ont suivi, et d’autres ont revendiqué l’invention.

Avec Weber, il a développé le système d’unités CGS, qui a été désigné comme base des unités de mesure électrotechniques lors d’un congrès international à Paris en 1881. Il organisa un réseau mondial de stations d’observation (Magnetischer Verein) afin de mesurer le champ magnétique terrestre.

Lors de ses expériences sur l’électricité en 1833, Gauss a trouvé les règles de Kirchhoff pour les circuits électriques avant Gustav Robert Kirchhoff (1845).

Autres

C’est à lui que l’on doit la formule de Pâques de Gauss pour calculer la date de Pâques, et il a également développé une formule de Pessah.

Gauss travaillait dans de nombreux domaines, mais ne publiait ses résultats que lorsqu’il estimait qu’une théorie était complète. Cela l’amenait parfois à dire à ses collègues qu’il avait déjà prouvé tel ou tel résultat depuis longtemps, mais qu’il ne l’avait pas encore présenté à cause de l’incomplétude de la théorie sous-jacente ou de l’insouciance qui lui manquait pour travailler rapidement.

Il est significatif que Gauss ait possédé un petschaft représentant un arbre couvert de quelques fruits avec la devise Pauca sed Matura (« Peu de choses, mais mûres »). Selon une anecdote, il refusa de remplacer cette devise par Multa nec immatura (« Beaucoup, mais pas immature ») à des connaissances qui connaissaient l’ampleur des travaux de Gauss, car il préférait, selon ses dires, laisser une découverte à un autre plutôt que de la publier sous son nom sans l’avoir entièrement développée. Cela lui permettait de gagner du temps dans des domaines que Gauss considérait plutôt comme marginaux, de sorte qu’il pouvait consacrer ce temps à son travail original.

Le fonds scientifique de Gauss est conservé dans les collections spéciales de la Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek de Göttingen.

Après sa mort, son cerveau a été prélevé. Il a été examiné à plusieurs reprises, la dernière fois en 1998, avec différentes méthodes, mais sans résultat particulier qui expliquerait ses capacités mathématiques. Il est aujourd’hui conservé séparément, dans du formol, au département d’éthique et d’histoire de la médecine de la faculté de médecine de l’université de Göttingen.

En automne 2013, une confusion a été découverte à l’université de Göttingen : les préparations cérébrales du mathématicien Gauss et du médecin de Göttingen Conrad Heinrich Fuchs, vieilles de plus de 150 ans à ce moment-là, ont été échangées – probablement peu de temps après leur prélèvement. Les deux préparations ont été conservées dans des bocaux contenant du formaldéhyde dans la collection anatomique de la clinique universitaire de Göttingen. Le cerveau original de Gauss se trouvait dans le bocal portant l’inscription « C. H. Fuchs », et le cerveau de Fuchs était étiqueté « C. F. Gauss ». Les résultats des recherches menées jusqu’à présent sur le cerveau de Gauss sont donc obsolètes. La scientifique Renate Schweizer s’est penchée à nouveau sur les préparations en raison des images IRM réalisées sur le cerveau supposé de Gauss, qui montraient une rare division en deux du sillon central, et a découvert que cette particularité manquait dans les dessins réalisés peu après la mort de Gauss.

Les méthodes ou idées développées par Gauss et qui portent son nom sont

Méthodes et idées basées en partie sur ses travaux :

Sont nommés en son honneur

Édition complète

Les volumes 10 et 11 contiennent des commentaires détaillés de Paul Bachmann (théorie des nombres), Ludwig Schlesinger (théorie des fonctions), Alexander Ostrowski (algèbre), Paul Stäckel (géométrie), Oskar Bolza (calcul des variations), Philipp Maennchen (Gauss comme calculateur), Harald Geppert (mécanique, théorie du potentiel), Andreas Galle (géodésie), Clemens Schaefer (physique) et Martin Brendel (astronomie). L’éditeur était d’abord Ernst Schering, puis Felix Klein.

Pierres de Gauss

Parmi les nombreuses pierres d’arpentage érigées sur les instructions de Gauss, on peut citer

Portraits

Il existe un nombre relativement important de portraits de Gauss, entre autres :

Sources

1. Carl Friedrich Gauß
2. Carl Friedrich Gauss
3. Sartorius von Waltershausen: Gauß zum Gedächtniss.
4. ^ The Collegium Carolinum was the preceeding institution of the Technische Hochschule Braunschweig, now Braunschweig Institute of Technology, but at Gauss’ time not equal to a university.
5. ^ Gauss was so pleased with this result that he requested that a regular heptadecagon be inscribed on his tombstone. The stonemason declined, stating that the difficult construction would essentially look like a circle.[19]
6. ^ Eberhard Zeidler, Oxford User’s Guide to Mathematics, Oxford, UK, Oxford University Press, 2004, p. 1188, ISBN 0-19-850763-1.
7. ^ Come ricordano Giorgio Bagni e Bruno D’Amore (« A trecento anni dalla nascita di Leonhard Euler », in Scuola ticinese, vol. 36, n. 281, 2007, pp. 10-11), «Gauss sarà detto princeps mathematicorum sulla base di una medaglia d’oro ricevuta nel 1855 dall’Università di Gottinga con tale appellativo; ma più di un secolo prima Eulero era stato chiamato princeps mathematicorum su proposta del suo maestro, Giovanni Bernoulli, in una lettera del 23 settembre 1745».
8. ^ a b c d e G. Waldo Dunnington, The Sesquicentennial of the Birth of Gauss, in Scientific Monthly, XXIV, maggio 1927, pp. 402–414. URL consultato il 10 settembre 2017 (archiviato dall’url originale il 26 febbraio 2008).
9. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 695–711. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
10. Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 12