Euclide

Mary Stone | avril 15, 2023

Résumé

Euclide (grec Εὐκλείδης, Eukleidēs, latin Euclīdēs) était un mathématicien et géomètre grec (vers 325 av. J.-C. – vers 265 av. J.-C.). Il est connu sous le nom de « père de la géométrie ». Il était actif à Alexandrie (Égypte ancienne) à l’époque de Ptolémée Ier Soter (323 – 283 av. J.-C.). Il est le fondateur de l’école de mathématiques de la ville.

Son œuvre la plus célèbre est les Éléments, souvent considérée comme le manuel le plus réussi de l’histoire des mathématiques. Les propriétés des objets géométriques et des nombres naturels sont déduites d’un petit ensemble d’axiomes. Cette œuvre, l’un des plus anciens traités connus qui présente systématiquement, avec des preuves, un large ensemble de théorèmes sur la géométrie et l’arithmétique théorique, a connu des centaines d’éditions dans toutes les langues, et ses thèmes restent à la base de l’enseignement des mathématiques au niveau secondaire dans de nombreux pays. Le nom d’Euclide est dérivé de l’algorithme d’Euclide, de la géométrie euclidienne (et de la géométrie non euclidienne) et de la division euclidienne. Il a également écrit sur la perspective, les sections coniques, la géométrie sphérique et la théorie des nombres.

Sa vie est peu connue, car il a vécu à Alexandrie (ville du nord de l’Égypte) sous le règne de Ptolémée Ier. Certains auteurs arabes affirment qu’Euclide est né à Tyr et a vécu à Damas. Certains auteurs arabes affirment qu’Euclide est né à Tyr et a vécu à Damas. Il n’existe aucune source directe de la vie d’Euclide : aucune lettre, aucune indication autobiographique (même sous la forme d’une préface dans un ouvrage), aucun document officiel, ni même aucune allusion de la part d’un de ses contemporains. Comme le résume l’historien des mathématiques Peter Schreiber, « on ne connaît pas un seul fait certain sur la vie d’Euclide. Il était le fils de Naucrates et trois hypothèses ont été avancées :

Euclide a probablement étudié à l’Académie de Platon, où il a appris les bases de son savoir.

Proclus, le dernier des grands philosophes grecs, qui a vécu vers 450, a écrit d’importants commentaires sur le livre I des Éléments. Ces commentaires constituent une source précieuse d’informations sur l’histoire des mathématiques grecques. On sait ainsi, par exemple, qu’Euclide a réuni les contributions d’Eudoxe de Cnide sur la théorie des proportions et de Théétète sur les polyèdres réguliers.

Précisément, le plus ancien écrit connu concernant la vie d’Euclide figure dans un résumé de l’histoire de la géométrie rédigé au Ve siècle après J.-C. par le philosophe néoplatonicien Proclus, commentateur du premier livre des Éléments. Proclus lui-même ne donne aucune source pour ses indications. Il se contente de dire : « il rassemble ses Éléments, et évoque dans des démonstrations irréfutables ce que ses prédécesseurs avaient enseigné de manière décontractée ». Cet homme vivait, d’autre part, sous le premier Ptolémée, puisque Archimède mentionne Euclide. Euclide est donc plus récent que les disciples de Platon, mais plus ancien qu’Archimède et Ératosthène ».

Si l’on accepte la chronologie donnée par Proclus, Euclide a vécu entre Platon et Archimède et a été contemporain de Ptolémée Ier, vers 300 av.

Aucun document ne contredit ces quelques phrases, ni ne les confirme vraiment. La mention directe par Euclide des travaux d’Archimède provient d’un passage considéré comme douteux.

Archimède se réfère à certains résultats des Éléments et à un ostracisme, trouvé sur l’île d’Éléphantine et daté de l’an III avant J.-C. : il traite de figures étudiées dans le livre XIII des Éléments, comme le décagone et l’icosaèdre, mais sans reproduire exactement les énoncés euclidiens ; ils pourraient donc provenir de sources antérieures à Euclide. La date approximative de 300 av. J.-C. est cependant considérée comme compatible avec l’analyse du contenu de l’ouvrage euclidien et est celle retenue par les historiens des mathématiques.

D’autre part, une allusion du mathématicien Papon d’Alexandrie, en l’an IV, suggère que des élèves d’Euclide auraient enseigné à Alexandrie. Certains auteurs ont associé Euclide au Museion d’Alexandrie sur cette base, mais il n’apparaît dans aucun document officiel. L’épithète souvent associée à Euclide dans l’Antiquité est simplement Stoitxeiotes, l’auteur des Éléments.

Plusieurs anecdotes circulent sur Euclide, mais comme elles apparaissent aussi pour d’autres mathématiciens, elles ne sont pas considérées comme réelles : par exemple, la fameuse, expliquée par Proclus, selon laquelle Euclide aurait répondu à Ptolémée – qui voulait une voie plus facile que celles des Éléments – qu’il n’y avait pas de vraies voies en géométrie ; une variante de la même anecdote est aussi attribuée à Ménécme et à Alexandre le Grand. De même, dès l’Antiquité tardive, divers détails ont été ajoutés aux récits de la vie d’Euclide, sans nouvelles sources, et souvent de manière contradictoire. Certains auteurs font naître Euclide à Tyr, d’autres à Gela ; on lui attribue diverses généalogies, des maîtres particuliers, des dates de naissance et de mort différentes, afin de respecter les règles du genre ou de favoriser certaines interprétations. Au Moyen Âge et au début de la Renaissance, le mathématicien Euclide est souvent confondu avec un philosophe contemporain de Platon, Euclide de Mégare.

Des mentions d’ouvrages attribués à Euclide apparaissent chez plusieurs auteurs, notamment dans la Collection mathématique de Pappus (généralement datée du IIIe ou du IVe siècle) et dans le Commentaire des éléments d’Euclide par Proclus. Seule une partie de ces ouvrages a survécu jusqu’à aujourd’hui.

Cinq ouvrages nous sont parvenus : les Données, les Divisions, les Catoptriques, les Aspects du ciel et l’Optique. De source arabe, plusieurs traités de mécanique sont attribués à Euclide. Sur le lourd et le léger contient, en neuf définitions et cinq propositions, les notions aristotéliciennes de mouvement des corps et le concept de gravité spécifique. Sur l’équilibre traite de la théorie du levier également de manière axiomatique, avec une définition, deux axiomes et quatre propositions. Un troisième fragment, sur les cercles décrits par les extrémités d’un levier mobile, contient quatre propositions. Ces trois ouvrages se complètent de telle manière qu’il a été suggéré qu’ils étaient les vestiges d’un seul traité de mécanique écrit par Euclide.

Les éléments

Ses Éléments sont l’une des productions scientifiques les plus connues au monde et constituent une compilation des connaissances enseignées dans le monde académique de l’époque. Les Éléments n’étaient pas, comme on le croit parfois, un recueil de toutes les connaissances géométriques, mais plutôt un texte d’introduction couvrant toutes les mathématiques élémentaires, c’est-à-dire l’arithmétique, la géométrie synthétique et l’algèbre.

Les Éléments sont divisés en treize livres ou chapitres, dont la première demi-douzaine porte sur la géométrie plane élémentaire, les trois suivants sur la théorie des nombres, le livre X sur les incommensurables et les trois derniers principalement sur la géométrie des solides.

Dans les livres consacrés à la géométrie, l’étude des propriétés des lignes et des plans, des cercles et des sphères, des triangles et des cônes, etc., c’est-à-dire des formes régulières, est présentée de manière formelle, à partir de cinq postulats seulement. Il est probable qu’aucun des résultats des Éléments n’ait été démontré pour la première fois par Euclide, mais l’organisation du matériel et sa présentation lui sont sans aucun doute dues. En fait, il y a de nombreuses preuves qu’Euclide a utilisé des manuels antérieurs lorsqu’il a écrit les Éléments, puisqu’il présente un grand nombre de définitions qui ne sont pas utilisées, comme celles d’une oblongue, d’un losange et d’un rhomboïde. Les théorèmes d’Euclide sont ceux que l’on apprend généralement dans l’école moderne. Pour en citer quelques-uns parmi les plus connus :

Les livres VII, VIII et IX des Éléments étudient la théorie de la divisibilité. Ils examinent le lien entre les nombres parfaits et les nombres premiers de Mersenne (connu sous le nom de théorème d’Euclide-Euler), l’infinité des nombres premiers (théorème d’Euclide), le lemme d’Euclide sur la factorisation (qui conduit au théorème fondamental de l’arithmétique sur l’unicité des factorisations des nombres premiers) et l’algorithme d’Euclide pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres.

La géométrie d’Euclide, en plus d’être un outil puissant pour le raisonnement déductif, a été extrêmement utile dans de nombreux domaines de la connaissance, par exemple en physique, en astronomie, en chimie et dans divers domaines de l’ingénierie. Elle est certainement très utile en mathématiques. Inspirée par l’harmonie de la présentation d’Euclide, la théorie ptolémaïque de l’univers, selon laquelle la Terre est le centre de l’univers et les planètes, la Lune et le Soleil tournent autour d’elle en lignes parfaites, c’est-à-dire en cercles et en combinaisons de cercles, a été formulée au deuxième siècle. Cependant, les idées d’Euclide constituent une abstraction considérable de la réalité. Par exemple, il suppose qu’un point n’a pas de dimension, qu’une ligne est un ensemble de points qui n’a ni largeur ni épaisseur, mais seulement une longueur, qu’une surface n’a pas d’épaisseur, etc. Comme un point, selon Euclide, n’a pas de dimension, on lui attribue la dimension zéro. Une ligne n’ayant qu’une longueur, elle acquiert une dimension égale à un. Une surface n’a ni épaisseur, ni hauteur, elle a donc deux dimensions : la largeur et la longueur. Enfin, un corps solide, comme un cube, a une dimension trois : longueur, largeur et hauteur. Euclide a tenté de résumer toutes les connaissances mathématiques dans son livre Les éléments. La géométrie d’Euclide est un ouvrage qui est resté inchangé jusqu’au 19e siècle.

Parmi les axiomes de départ, seul l’axiome des parallèles semblait moins évident. Divers mathématiciens ont tenté sans succès de se passer de cet axiome en essayant de le déduire du reste des axiomes. Ils ont essayé de le présenter comme un théorème, sans y parvenir.

Enfin, certains auteurs ont créé de nouvelles géométries basées sur l’invalidation ou la substitution de l’axiome des parallèles, donnant naissance à des « géométries non euclidiennes ». La caractéristique principale de ces géométries est qu’en changeant l’axiome des parallèles, la somme des angles d’un triangle n’est plus de 180 degrés.

Les Données (Δεδομένα) sont le seul autre ouvrage d’Euclide qui traite de géométrie et dont il existe une version grecque (on la trouve, par exemple, dans le manuscrit X découvert par Peyrard). Elles sont également décrites en détail dans le livre VII de la Collection mathématique de Papon, le « Trésor de l’analyse », étroitement lié aux quatre premiers livres des Éléments. Il traite du type d’informations données dans les problèmes géométriques et de leur nature. Les données sont placées dans le cadre de la géométrie plane et sont considérées par les historiens comme un complément aux Éléments, sous une forme plus adaptée à l’analyse des problèmes. L’ouvrage contient 15 définitions et explique ce que signifie un objet géométrique, en termes de position, de forme et de taille, ainsi que 94 théorèmes. Ces derniers expliquent que, si certains éléments d’une figure sont donnés, d’autres relations ou éléments peuvent être déterminés.

Sur les divisions

Cet ouvrage (il existe des pièces en latin (De divisionibus), mais surtout un manuscrit en arabe découvert au XIXe siècle, qui contient 36 propositions, dont quatre sont prouvées.

Il traite de la division des figures géométriques en deux ou plusieurs parties égales ou en parties de proportions données. Il est similaire à un ouvrage de Héron d’Alexandrie datant du troisième siècle de notre ère. Dans ce travail, il tente de construire des lignes droites qui divisent des figures données en proportions et formes données. Par exemple, il est demandé, étant donné un triangle et un point à l’intérieur du triangle, de construire une ligne passant par le point et coupant le triangle en deux figures de surface égale ; ou, étant donné un cercle, de construire deux lignes parallèles, de sorte que la portion du cercle qu’elles limitent représente un tiers de la surface du cercle.

Sur les sophismes (Pseudaria)

Sur les sophismes (Περὶ Ψευδαρίων), texte sur les erreurs de raisonnement, est un ouvrage perdu, connu seulement par la description qu’en donne Proclus. Selon lui, le but de l’ouvrage était d’habituer les débutants à détecter les faux raisonnements, en particulier ceux qui imitent le raisonnement déductif et ont ainsi l’apparence de la vérité. Il donne des exemples de parallélismes.

Quatre livres sur les sections coniques

Quatre livres sur les sections coniques (Κωνικῶν Βιβλία) est aujourd’hui perdu. Il s’agissait d’un ouvrage sur les sections coniques qui a été développé par Apollonios de Perga dans un livre célèbre sur le même sujet. Il est probable que les quatre premiers livres de l’ouvrage d’Apollonios proviennent directement d’Euclide. Selon Papon, « Apollonios, ayant complété les quatre livres de coniques d’Euclide et en ayant ajouté quatre autres, a laissé huit volumes de coniques ». Les coniques d’Apollonius ont rapidement remplacé l’œuvre originale et, à l’époque de Papon, l’œuvre d’Euclide avait été perdue.

Trois livres de porismes

Trois livres de porismes (Πορισμάτων Βιβλία) pourraient avoir été une extension de son travail sur les sections coniques, mais la signification du titre n’est pas claire. Il s’agit d’une œuvre perdue. L’œuvre est évoquée dans deux passages de Proclus et, surtout, elle fait l’objet d’une longue présentation dans le livre VII du recueil de Pappus, le « Trésor de l’analyse », comme un exemple significatif et de grande portée de la démarche analytique. Le mot porisma a plusieurs usages : selon Papon, il désignerait ici un énoncé de type intermédiaire entre les théorèmes et les problèmes. L’œuvre d’Euclide aurait contenu 171 énoncés de ce type et 38 lemmes. Pappos donne des exemples, tels que « si, partant de deux points donnés, on trace des droites coupant une droite donnée, et si l’une d’elles découpe un segment sur une droite donnée, l’autre fera de même sur une autre droite, avec un rapport fixe entre les deux segments découpés ». Interpréter la signification exacte de ce qu’est un porisme, et éventuellement restituer tout ou partie des énoncés de l’œuvre d’Euclide, à partir des informations laissées par Pappus, a occupé de nombreux mathématiciens : les tentatives les plus connues sont celles de Pierre Fermat au 17ème siècle, de Robert Simson au 18ème siècle, et surtout de Michel Chasles au 19ème siècle. Si la reconstruction de Chasles n’est pas prise au sérieux en tant que telle par les historiens d’aujourd’hui, elle a donné au mathématicien l’occasion de développer la notion de relation anharmonique.

Deux livres sur les lieux géométriques

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ concernait des lieux géométriques sur des surfaces ou des lieux géométriques qui étaient eux-mêmes des surfaces. Dans une interprétation ultérieure, on suppose que l’œuvre aurait pu porter sur des surfaces quadriques. Il s’agit également d’un ouvrage perdu de deux livres, mentionné dans le Trésor de l’analyse de Pappus. Les indications données par Proclus ou Pappus sur ces endroits d’Euclide sont ambiguës et la question exacte posée dans l’ouvrage n’est pas connue. Dans la tradition des mathématiques de la Grèce antique, les lieux sont des ensembles de points qui vérifient une propriété donnée. Ces ensembles sont souvent des lignes droites, ou des sections coniques, mais ils peuvent aussi être des surfaces planes, par exemple. La plupart des historiens estiment que le lieu d’Euclide pouvait être des surfaces de révolution, des sphères, des cônes ou des cylindres.

Apparences du ciel

Apparitions du ciel ou Phénomènes (# Φαινόμενα) est un traité d’astronomie positionnelle, conservé en grec. Il est assez similaire à un ouvrage d’Autolytus (Sur la notion de sphère) et traite de l’application de la géométrie de la sphère à l’astronomie et a survécu en grec, dans plusieurs versions manuscrites, dont la plus ancienne date du Xe siècle. Ce texte explique ce que l’on appelle la « petite astronomie », par opposition aux sujets traités dans la Grande Composition de Ptolémée (l’Almageste). Il contient 18 propositions et est proche des œuvres d’Autolytus de Pitane qui nous sont parvenues sur le même sujet.

Optique

L’optique (Ὀπτικά) est le plus ancien traité grec conservé, en plusieurs versions, consacré à des problèmes que nous dirions aujourd’hui de perspective et apparemment destiné à être utilisé en astronomie, prend la forme des Éléments : il s’agit d’une suite de 58 propositions dont la preuve repose sur des définitions et des postulats énoncés au début du texte. Dans ses définitions, Euclide suit la tradition platonicienne, selon laquelle la vision est causée par des rayons émanant de l’œil. Euclide décrit la taille apparente d’un objet en fonction de sa distance par rapport à l’œil et étudie les formes apparentes des cylindres et des cônes vus sous différents angles.

Euclide montre que les tailles apparentes d’objets égaux ne sont pas proportionnelles à leur distance à l’œil (proposition 8). Il explique, par exemple, notre vision d’une sphère (et d’autres surfaces simples) : l’œil voit une surface inférieure au milieu de la sphère, une proportion d’autant plus petite que la sphère est proche, même si la surface vue paraît plus grande, et que le contour de celle vue est un cercle. Le traité, en particulier, contredit une opinion défendue dans certaines écoles de pensée, selon laquelle la taille réelle des objets (en particulier des corps célestes) est leur taille apparente, celle que l’on voit.

Papon a considéré ces résultats comme importants pour l’astronomie et a inclus l’Optique d’Euclide, ainsi que ses Phénomènes, dans un recueil d’ouvrages mineurs à étudier avant l’Almageste de Claudi Ptolemeu.

Traité de musique

Proclus attribue à Euclide un traité sur la musique (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), qui, comme l’astronomie, la musique théorique, par exemple sous la forme d’une théorie appliquée des proportions, fait partie des sciences mathématiques. Deux petits écrits ont été conservés en grec, et ont été inclus dans d’anciennes éditions d’Euclide, mais leur adjudication est incertaine, de même que leurs liens éventuels avec les Éléments. Les deux écrits (une Section du Canon sur les intervalles musicaux et une Introduction harmonique) sont en revanche considérés comme contradictoires, et le second, au moins, est aujourd’hui considéré par les spécialistes comme étant d’un autre auteur.

Œuvres faussement attribuées à Euclide

La catoptrique (Κατοητρικά) traite de la théorie mathématique des miroirs, en particulier des images formées dans les miroirs plans et sphériques concaves. Son attribution à Euclide est douteuse ; son auteur pourrait être Théon d’Alexandrie. Il figure dans le texte d’Euclide sur l’optique et dans le commentaire de Proclus. Il est aujourd’hui considéré comme perdu et, en particulier, le Catoptricus, longtemps publié comme une suite de l’Optique dans les éditions anciennes, n’est plus attribué à Euclide ; il est considéré comme une compilation postérieure.

Euclide est également mentionné comme l’auteur de fragments relatifs à la mécanique, notamment dans des textes sur le levier et la balance, dans certains manuscrits latins ou arabes. Cette attribution est aujourd’hui considérée comme douteuse.

Autres références

Sources

1. Euclides
2. Euclide
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
9. Зубов, 2007, с. 510.