Leonhard Euler

Delice Bette | avril 8, 2023

Résumé

Leonhard Euler (15 avril 1707, Bâle, Suisse – 7 (18) septembre 1783, Saint-Pétersbourg, Empire russe) était un mathématicien et un mécanicien suisse, prussien et russe qui a apporté des contributions fondamentales au développement de ces sciences (ainsi que de la physique, de l’astronomie et de plusieurs sciences appliquées). Avec Lagrange, il a été le plus grand mathématicien du XVIIIe siècle et est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire. Euler a écrit plus de 850 ouvrages (dont deux douzaines de monographies fondamentales) sur l’analyse mathématique, la géométrie différentielle, la théorie des nombres, le calcul approximatif, la mécanique céleste, la physique mathématique, l’optique, la balistique, la construction navale, la théorie de la musique et d’autres sujets. Il a étudié la médecine, la chimie, la botanique, l’aéronautique, la théorie de la musique et de nombreuses langues européennes et anciennes. Académicien des académies des sciences de Saint-Pétersbourg, Berlin, Turin, Lisbonne et Bâle, membre étranger de l’Académie des sciences de Paris. Premier membre russe de l’Académie américaine des arts et des sciences.

Il a passé près de la moitié de sa vie en Russie, où il a contribué de manière significative au développement de la science russe. En 1726, il est invité à travailler à Saint-Pétersbourg, où il s’installe un an plus tard. De 1726 à 1741 et de 1766, il est académicien de l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg (de 1741 à 1766, il travaille à Berlin, tout en restant membre honoraire de l’Académie de Saint-Pétersbourg). Après un an en Russie, il avait une bonne connaissance du russe et certains de ses ouvrages (en particulier des manuels) ont été publiés en russe. Les premiers académiciens-mathématiciens (S. K. Kotelnikov) et astronomes (S. Ya. Rumovsky) russes ont été des élèves d’Euler.

Suisse (1707-1727)

Leonhard Euler est né en 1707 dans la famille du pasteur bâlois Paul Euler, ami de la famille Bernoulli, et de Marguerite Euler, née Brooker. Peu après sa naissance, la famille déménage à Richeng, où l’enfant passe ses premières années. Leonard reçoit son éducation primaire à la maison sous la direction de son père (ce dernier avait étudié les mathématiques avec Jakob Bernoulli). Le pasteur prépare son fils aîné à une carrière spirituelle, mais il lui enseigne aussi les mathématiques, à la fois pour s’amuser et pour développer sa pensée logique, et Leonard se montre très tôt doué pour les mathématiques.

Lorsque Leonard grandit, il est emmené chez sa grand-mère à Bâle, où il fréquente le gymnase (tout en continuant à étudier les mathématiques avec passion). En 1720, il est autorisé à assister à des conférences publiques à l’université de Bâle, où il attire l’attention du professeur Johann Bernoulli (frère cadet de Jakob Bernoulli). Le célèbre scientifique envoie des articles de mathématiques au jeune mathématicien pour qu’il les étudie et lui permet de lui rendre visite chez lui le samedi après-midi pour éclaircir des points difficiles.

Le 20 octobre 1720, Leonhard Euler, âgé de 13 ans, devient étudiant à la faculté des lettres de l’université de Bâle. Mais sa passion pour les mathématiques le conduit sur une autre voie. En visitant la maison de son professeur, Euler rencontre et se lie d’amitié avec ses fils, Daniel et Nicholas, qui, dans la tradition familiale, étudient eux aussi les mathématiques en profondeur. En 1723, Euler reçoit (comme c’était la coutume à l’université de Bâle) son premier prix (primam lauream). Le 8 juillet 1724, Leonhard Euler, alors âgé de 17 ans, prononce un discours en latin dans lequel il compare les points de vue philosophiques de Descartes et de Newton, ce qui lui vaut le titre de maître ès arts.

Au cours des deux années suivantes, le jeune Euler rédige plusieurs articles scientifiques. L’un d’eux, intitulé « Dissertation sur la physique du son », est soumis à un concours visant à pourvoir le poste inopinément vacant de professeur de physique à l’université de Bâle (1725). Malgré un avis favorable, Euler, âgé de 19 ans, est considéré comme trop jeune pour être candidat au poste de professeur. À l’époque, le nombre de postes scientifiques vacants en Suisse était très faible. Les frères Daniel et Nikolai Bernoulli se rendent donc en Russie, où l’Académie des sciences est en cours de création, et promettent de demander un poste pour Euler.

Au début de l’hiver 1726-1727, Euler reçut des nouvelles de Saint-Pétersbourg : sur la recommandation des frères Bernoulli, il était invité à occuper le poste de professeur associé au département de physiologie (ce département était occupé par D. Bernoulli) avec un salaire annuel de 200 roubles (Euler a conservé une lettre au président de l’Académie L.L. Blumentrost datée du 9 novembre 1726, le remerciant d’avoir été accepté à l’Académie). Johann Bernoulli étant un médecin réputé, Leonhard Euler, en tant que son meilleur élève, était également considéré comme un médecin en Russie. Euler reporte cependant son départ de Bâle au printemps, consacrant les mois restants à l’étude sérieuse des sciences médicales, dont la connaissance approfondie impressionnera plus tard ses contemporains. Enfin, le 5 avril 1727, Euler quitte définitivement la Suisse, tout en conservant sa nationalité suisse (bâloise) jusqu’à la fin de sa vie.

Russie (1727-1741)

Le 22 janvier (2 février) 1724, Pierre Ier approuve le projet de l’Académie de Pétersbourg. Le 28 janvier (8 février) 1724, le Sénat publia un décret sur la création de l’Académie. Sur les 22 professeurs et professeurs associés invités les premières années, on compte 8 mathématiciens qui s’occupent également de mécanique, de physique, d’astronomie, de cartographie, de théorie de la construction navale, de service des mesures et des poids.

Euler (dont la route depuis Bâle passe par Lübeck, Revel et Cronstadt) arrive à Saint-Pétersbourg le 24 mai 1727, quelques jours avant la mort de l’impératrice Catherine I, patronne de l’Académie, qui plonge les savants dans le découragement et le désarroi. Les académiciens Daniil Bernoulli et Jakob Hermann l’aident à s’habituer à son nouveau lieu de travail. Ce dernier, professeur à la chaire de mathématiques supérieures, est un parent éloigné du jeune scientifique et lui offre toutes sortes de protections. Euler est nommé professeur associé de mathématiques supérieures (et non de physiologie, comme prévu à l’origine), bien qu’il mène des recherches dans le domaine de la dynamique des fluides à Saint-Pétersbourg, reçoit un salaire de 300 roubles par an et bénéficie d’un appartement.

Quelques mois après son arrivée à Saint-Pétersbourg, Euler parle couramment le russe.

En 1728, la première revue scientifique russe, Commentaires de l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg (en latin), commence à être publiée. Le deuxième volume contenait déjà trois articles d’Euler, et les années suivantes, presque chaque numéro de l’annuaire académique incluait plusieurs de ses nouveaux travaux. Au total, plus de 400 articles d’Euler ont été publiés dans cette édition.

En septembre 1730, les contrats des académiciens J. Herman (chaire de mathématiques) et H. B. Bilfinger (chaire de physique expérimentale et théorique) ont expiré. J. Herman (chaire de mathématiques) et G. B. Bilfinger (chaire de physique expérimentale et théorique). Daniil Bernoulli et Leonard Ayler furent approuvés pour les postes vacants, ce dernier étant payé jusqu’à 400 roubles, et le 22 janvier 1731, il fut nommé professeur officiel. Deux ans plus tard (1733), Daniel Bernoulli retourne en Suisse et Euler, quittant la chaire de physique, prend sa place et devient académicien et professeur de mathématiques supérieures avec un salaire de 600 roubles (cependant, Daniel Bernoulli reçoit deux fois plus).

Le 27 décembre 1733, Leonhard Euler, âgé de 26 ans, épouse sa compagne Katharina (en allemand : Katharina Gsell), fille du peintre académique Georg Gsell (un Suisse de Saint-Pétersbourg). Le couple achète une maison sur les quais de la Neva, où il s’installe. La famille Euler a eu 13 enfants, mais trois fils et deux filles ont survécu.

Le jeune professeur a beaucoup de travail : cartographie, examens de toutes sortes, consultations pour les constructeurs de navires et les artilleurs, rédaction de manuels d’instruction, conception de pompes à incendie, etc. On lui demande même d’établir des horoscopes, qu’Euler confie, avec tout le tact qui s’impose, à un astronome de l’équipe. Alexandre Pouchkine cite une histoire romantique : Euler aurait composé un horoscope pour le prince nouveau-né Jean Antonovitch (1740), mais le résultat l’aurait tellement effrayé qu’il ne l’aurait montré à personne et n’en aurait parlé qu’après la mort du malheureux prince au comte K.G. Razumovsky. L’authenticité de cette anecdote historique est très douteuse.

Au cours de sa première période en Russie, il a écrit plus de 90 articles scientifiques majeurs. Une grande partie des « Notes » académiques est remplie d’écrits d’Euler. Il présente des exposés lors de séminaires scientifiques, donne des conférences publiques et participe à diverses commandes techniques d’agences gouvernementales. Dans les années 1730, Euler dirige le travail de cartographie de l’Empire russe, qui s’achève (après le départ d’Euler en 1745) par la publication de l’atlas du pays. Comme le rapporte N. I. Fuss, en 1735, l’Académie a été chargée d’effectuer un calcul mathématique urgent et très lourd, et un groupe d’académiciens a demandé trois mois, mais Euler a entrepris le travail en trois jours – et a réussi à le faire lui-même ; cependant, le surmenage n’est pas passé sans laisser de traces : il est tombé malade et a perdu la vue de l’œil droit. Cependant, Euler lui-même, dans une de ses lettres, attribue la perte de son œil à son travail de cartographe au département de géographie de l’Académie.

L’ouvrage en deux volumes intitulé Mécanique, ou la science du mouvement exposée analytiquement, publié en 1736, a valu à Euler une renommée européenne générale. Dans cette monographie, Euler applique avec succès les méthodes de l’analyse mathématique à la résolution générale des problèmes de mouvement dans le vide et dans un milieu résistant.

L’une des tâches les plus importantes de l’Académie était la formation du personnel domestique, pour laquelle une université et un gymnase ont été créés sous l’égide de l’Académie. En raison de la pénurie aiguë de manuels en russe, l’Académie a demandé à ses membres d’en rédiger. Euler rédigea en allemand un « Manuel d’arithmétique » de très bonne qualité, qui fut immédiatement traduit en russe et servit pendant plusieurs années de manuel principal. La traduction de la première partie a été réalisée en 1740 par Vasily Adodurov, premier membre russe de l’Académie et élève d’Euler.

La situation s’aggrave lorsque l’impératrice Anna Ioannovna meurt en 1740 et que le jeune Jean VI est déclaré empereur. « Quelque chose de dangereux était sur le point de se produire », écrira plus tard Euler dans son autobiographie. – Après la mort de la vénérable impératrice Anna, pendant la régence qui suivit […] la situation commença à se présenter comme incertaine. En effet, sous la régence d’Anna Léopoldovna, l’Académie de Saint-Pétersbourg tomba définitivement en ruine. Euler commence à envisager de rentrer chez lui ou de s’installer dans un autre pays. Il finit par accepter l’offre du roi de Prusse Friedrich, qui l’invite à des conditions très favorables à l’Académie de Berlin, au poste de directeur de son département de mathématiques. L’Académie était basée sur la Société royale de Prusse, fondée par Leibniz, mais qui était dans un état lamentable à l’époque.

Prusse (1741-1766)

Euler présente sa démission à la direction de l’Académie de Saint-Pétersbourg :

C’est pourquoi je suis contraint, tant pour des raisons de santé que pour d’autres circonstances, de rechercher un climat plus agréable et d’accepter l’appel de Sa Majesté Royale Prussienne. C’est pourquoi je prie l’Académie impériale des sciences de bien vouloir me congédier et de me fournir, ainsi qu’à ma famille, le passeport nécessaire à mon voyage.

Le 29 mai 1741, l’autorisation de l’Académie est obtenue. Euler est « libéré » et confirmé comme membre honoraire de l’Académie avec un salaire de 200 roubles. En juin 1741, Leonhard Euler, âgé de 34 ans, arrive à Berlin avec sa femme, ses deux fils et ses quatre neveux. Il y passe 25 ans et publie quelque 260 ouvrages.

Au début, Euler fut accueilli avec bienveillance à Berlin, et même invité à des bals de la cour. Le marquis Condorcet se souvient que, peu après son installation à Berlin, Euler fut invité à un bal de la cour. À la reine mère qui lui demandait pourquoi il était si réticent, Euler répondit : « Je viens d’un pays où quiconque parle est pendu.

Euler a beaucoup de travail. Outre la recherche mathématique, il dirige un observatoire et s’occupe de nombreuses questions pratiques, comme la production de calendriers (principale source de revenus de l’Académie), la frappe des pièces de monnaie prussiennes, la pose d’une nouvelle canalisation d’eau, l’organisation de pensions et de loteries.

En 1742, un recueil en quatre volumes des œuvres de Johann Bernoulli a été publié. En l’envoyant de Bâle à Euler à Berlin, le vieux savant écrivit à son élève : « Je me suis consacré à l’enfance des mathématiques supérieures. Toi, mon ami, tu en poursuivras la formation à l’âge mûr. » Pendant la période berlinoise, les ouvrages d’Euler paraissent les uns après les autres : « Introduction à l’analyse des infinitésimaux » (1748), « Science de la mer » (1749), « Théorie du mouvement de la lune » (1753), « Instruction sur le calcul différentiel » (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). De nombreux articles sur des sujets précis ont été publiés dans les revues des académies de Berlin et de Saint-Pétersbourg. En 1744, Euler découvre le calcul des variations. Ses travaux utilisent une terminologie élaborée et des symboles mathématiques qui ont largement survécu jusqu’à aujourd’hui, et il amène son exposé au niveau des algorithmes pratiques.

Tout au long de son séjour en Allemagne, Euler reste en contact avec la Russie. Il participe aux publications de l’Académie de Saint-Pétersbourg, lui achète des livres et des instruments, et édite les sections mathématiques des revues russes. Dans son appartement, en pension complète, vivent pendant des années de jeunes scientifiques russes envoyés en formation. On connaît la correspondance animée d’Euler avec M. V. Lomonosov ; en 1747, il donne un avis favorable au président de l’Académie des sciences, le comte K. G. Razumovsky, sur les articles de Lomonosov relatifs à la physique et à la chimie, en déclarant : « L’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg est un centre d’études et de recherches sur la physique et la chimie :

Toutes ces thèses sont non seulement bonnes, mais aussi très excellentes, parce qu’il écrit sur la matière physique et chimique très nécessaire, qui jusqu’alors n’était pas connue et ne pouvait pas être interprétée par les personnes les plus spirituelles, ce qu’il a fait avec un tel succès que je suis pleinement confiant dans la justice de ses explications. Dans ce cas, il faut reconnaître à M. Lomonosov un excellent talent d’interprétation des phénomènes physiques et chimiques. Il faut espérer que les autres Académies pourront produire de telles révélations, comme l’a montré M. Lomonosov.

Cette estimation élevée n’a pas été empêchée par le fait que Lomonosov n’écrivait pas d’ouvrages mathématiques et ne connaissait pas les mathématiques supérieures. Néanmoins, en 1755, en raison du manque de tact de Lomonosov, qui publia sans l’autorisation d’Euler sa lettre privée de soutien à ce dernier, Euler mit fin à toutes ses relations avec lui. Les relations sont rétablies en 1761, Lomonosov ayant facilité le retour d’Euler en Russie.

Sa mère lui annonce la mort de son père en Suisse (elle s’installe bientôt chez Euler, qui meurt en 1761). En 1753, Euler achète un domaine à Charlottenburg (banlieue de Berlin) avec un jardin et un terrain pour y loger sa nombreuse famille.

Selon ses contemporains, Euler est resté modeste, joyeux, extrêmement sympathique et toujours prêt à aider les autres. Cependant, ses relations avec le roi ne sont pas au beau fixe : Frédéric trouve le nouveau mathématicien intolérablement ennuyeux, totalement asocial et le traite avec mépris. En 1759, Mauperthuis, président de l’Académie des sciences de Berlin et ami d’Euler, meurt. Le roi Frédéric II propose le poste de président de l’Académie à D’Alumbert, qui refuse. Frédéric, qui n’aime pas Euler, lui confie néanmoins la direction de l’Académie, mais sans le titre de président.

Pendant la guerre de Sept Ans, le maréchal Saltykov a immédiatement remboursé ses pertes et, plus tard, l’impératrice Elisabeth a envoyé 4 000 roubles supplémentaires de sa propre initiative.

En 1765, la Théorie du mouvement des solides est publiée, suivie un an plus tard par les Éléments du calcul des variations. C’est là qu’apparaît pour la première fois le nom de la nouvelle section des mathématiques créée par Euler et Lagrange.

En 1762, Catherine II monte sur le trône de Russie et mène une politique d’absolutisme éclairé. Consciente de l’importance de la science pour le progrès de l’État et pour son propre prestige, elle procède à un certain nombre de changements importants dans le système d’éducation publique et de culture favorable à la science. L’impératrice offre à Euler la direction d’une classe de mathématiques, le titre de secrétaire de conférence de l’Académie et un salaire de 1800 roubles par an. Et si cela ne vous convient pas », dit la lettre à son représentant, « elle se fera un plaisir de vous communiquer ses conditions, à condition que vous n’hésitiez pas à venir à Saint-Pétersbourg ».

En réponse, Euler a communiqué ses conditions :

Toutes ces conditions sont acceptées. Le 6 janvier 1766, Catherine informe le comte Vorontsov :

La lettre que M. Euler vous a adressée m’a fait grand plaisir, car j’y apprends son désir de revenir à mon service. Bien entendu, je le trouve parfaitement digne du titre souhaitable de vice-président de l’Académie des sciences, mais pour cela il faut prendre certaines mesures avant que je n’établisse le titre – je dis bien l’établisse, car jusqu’à présent il n’existait pas. Dans l’état actuel des choses, il n’y a pas d’argent pour le salaire de 3000 roubles, mais pour un homme aussi méritant que M. Euler, j’ajouterai au salaire académique des revenus de l’État, qui s’élèvent ensemble aux 3000 roubles requis… Je suis sûr que mon Académie renaîtra des cendres d’une acquisition aussi importante et je me félicite à l’avance d’avoir rendu un grand homme à la Russie.

Plus tard, Euler a posé un certain nombre d’autres conditions (une pension annuelle de 1 000 roubles pour sa femme après sa mort, une compensation pour les frais de voyage, une place pour son fils médecin et un rang pour Euler lui-même). Catherine a également satisfait à ces conditions d’Euler, à l’exception de la demande de grade, en disant en plaisantant : « Je lui aurais donné, si je l’avais fait, une place dans l’armée : « Je lui aurais donné, s’il l’avait voulu, le grade de… (dans la version française de la lettre, le conseiller collégial est barré), si je n’avais craint que ce grade ne l’eût rendu égal à tant de gens qui n’étaient pas dignes de M. Euler. En vérité, sa renommée vaut mieux que le grade pour lui rendre les honneurs qui lui sont dus ».

Euler demande au roi d’être démis de ses fonctions, mais ne reçoit aucune réponse. Il renouvelle sa demande, mais Frédéric ne veut même pas aborder la question de son départ. Les demandes insistantes de la représentation russe au nom de l’impératrice apportent un soutien décisif à Euler. Le 2 mai 1766, Frédéric accorde enfin au grand savant la permission de quitter la Prusse, même s’il ne peut s’empêcher de faire des plaisanteries cinglantes sur Euler dans sa correspondance (ainsi, le 25 juillet, il écrit à D’Alamberto : « Herr Euler, qui aimait follement la Grande et la Petite Ourse, s’est rapproché du nord pour la commodité de les observer »). Il est vrai qu’il a servi comme lieutenant-colonel d’artillerie (plus tard, grâce à l’intercession de Catherine II, il a pu rejoindre son père et a été promu lieutenant-général dans l’armée russe. Au cours de l’été 1766, Euler retourne en Russie – définitivement.

La Russie à nouveau (1766-1783)

Le 17 (28) juillet 1766, Euler, âgé de 60 ans, arrive dans la capitale russe avec sa famille et son ménage (18 personnes au total). Dès son arrivée, il est reçu par l’impératrice. Catherine II l’accueille comme un auguste personnage et le comble de faveurs : elle lui accorde 8000 roubles pour l’achat d’une maison sur l’île Vassilievski et pour l’achat de meubles, met à sa disposition pour la première fois l’un de ses cuisiniers et le charge de préparer des considérations sur la réorganisation de l’Académie.

Malheureusement, après son retour à Saint-Pétersbourg, Euler a développé une cataracte dans le seul œil gauche qui lui restait et est devenu définitivement aveugle. C’est probablement pour cette raison qu’il n’obtint jamais le poste promis de vice-président de l’Académie (ce qui n’empêcha pas Euler et ses descendants de participer à la gestion de l’Académie pendant près de cent ans). La cécité n’affecte cependant pas la capacité de travail du scientifique, qui se contente de remarquer qu’il sera désormais moins distrait par les mathématiques. Avant de se doter d’un secrétaire, Euler dicte son travail à un garçon corpulent qui écrit tout en allemand. Le nombre de ses publications augmente encore : lors de son second séjour en Russie, Euler dicte plus de 400 articles et 10 livres, ce qui représente plus de la moitié de son héritage créatif.

En 1768-1770, il publie sa monographie classique en deux volumes, Universal Arithmetic (également publiée sous le titre Elements of Algebra et The Complete Course of Algebra). Cet ouvrage a d’abord été publié en russe (1768-1769), puis en allemand deux ans plus tard. Le livre a été traduit dans de nombreuses langues et a été réimprimé une trentaine de fois (trois fois en russe). Tous les manuels d’algèbre ultérieurs ont été fortement influencés par le livre d’Euler.

Au cours de ces mêmes années, il publie ses Dioptrica (1769-1771) en trois volumes sur les systèmes de lentilles et les Institutiones calculi integralis (1768-1770), un ouvrage fondamental, également en trois volumes.

Les « Lettres sur diverses questions physiques et philosophiques, écrites à une princesse allemande » (1768) d’Euler sont devenues très populaires au 18e siècle, et en partie au 19e également. L’encyclopédie d’Euler (1768) a connu plus de 40 éditions en 10 langues (dont 4 éditions en russe). Il s’agissait d’une encyclopédie scientifique populaire de grande envergure, rédigée de manière vivante et généralement accessible.

En 1771, deux événements graves surviennent dans la vie d’Euler. En mai, un grand incendie se déclare à Saint-Pétersbourg, détruisant des centaines de bâtiments, dont la maison et la quasi-totalité des biens d’Euler. Le savant lui-même est sauvé de justesse. Tous les manuscrits sont épargnés ; seule une partie de sa « Nouvelle théorie du mouvement de la lune » est brûlée, mais elle est rapidement restaurée avec l’aide d’Euler, qui conserve sa mémoire phénoménale jusqu’à un âge avancé. Euler doit s’installer provisoirement dans une autre maison. Deuxième événement : en septembre de la même année, à l’invitation spéciale de l’impératrice, le célèbre ophtalmologiste allemand Baron Wentzel arrive à Saint-Pétersbourg pour soigner Euler. Après un examen, il accepte d’opérer Euler et lui enlève une cataracte de l’œil gauche. Euler retrouve la vue. Le médecin lui prescrit de ne pas éclairer son œil, de ne pas écrire, de ne pas lire, de s’habituer progressivement à son nouvel état. Mais quelques jours après l’opération, Euler enlève le pansement et perd à nouveau la vue. Cette fois, c’est pour de bon.

1772 : « Nouvelle théorie du mouvement de la lune ». Euler achève enfin son travail de plusieurs années en résolvant approximativement le problème des trois corps.

En 1773, sur la recommandation de Daniel Bernoulli, l’élève de ce dernier, Nikolaus Fuss, arrive de Bâle à Saint-Pétersbourg. C’est un coup de chance pour Euler. Fuss, mathématicien de talent, prend en charge les travaux mathématiques d’Euler dès son arrivée. Il épouse bientôt la petite-fille d’Euler. Pendant les dix années qui suivent, jusqu’à sa mort, Euler lui dicte essentiellement ses travaux, même s’il utilise parfois les « yeux de son fils aîné » et de ses autres élèves. La même année, en 1773, meurt la femme d’Euler, avec laquelle il avait vécu pendant près de 40 ans. La mort de sa femme est un coup dur pour le savant, qui était sincèrement attaché à sa famille. Euler épouse bientôt Salomé Abigaïl, demi-sœur de sa défunte épouse.

General Spherical Trigonometry » a été publié en 1779 et a constitué le premier exposé complet de l’ensemble du système de trigonométrie sphérique.

Euler travaille activement jusqu’à ses derniers jours. En septembre 1783, le scientifique, âgé de 76 ans, commence à ressentir des maux de tête et des faiblesses. Le 7 (18) septembre, après un dîner en famille, alors qu’il parlait avec l’académicien A. I. Lexel de la planète Uranus récemment découverte et de son orbite, il se sentit soudain malade. Euler réussit à dire : « Je meurs » : « Je meurs » et s’évanouit. Quelques heures plus tard, sans avoir repris connaissance, il meurt d’une hémorragie cérébrale.

« Il cessa de calculer et de vivre », a déclaré Condorcet lors d’une séance de deuil de l’Académie des sciences de Paris (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Il a été enterré au cimetière luthérien de Smolensk à Saint-Pétersbourg. L’inscription en allemand sur le monument se lit comme suit « Ici repose la dépouille du célèbre Leonhard Euler, sage et homme juste. Né le 4 avril 1707 à Bâle, il est mort le 7 septembre 1783 ». Après la mort d’Euler, sa tombe a été perdue et n’a été retrouvée, à l’état d’abandon, qu’en 1830. En 1837, l’Académie des sciences a remplacé cette pierre tombale par une nouvelle pierre tombale en granit (toujours en place) portant l’inscription en latin « Leonhard Euler – Academia Petropolitana » (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Lors de la célébration du 250e anniversaire d’Euler (1957), les cendres du grand mathématicien ont été transférées dans la « nécropole du XVIIIe siècle » du cimetière Lazarevsky de la Laure Alexandre Nevsky, où elles se trouvent à proximité de la tombe de M. V. Lomonosov.

Euler a laissé d’importants travaux dans diverses branches des mathématiques, de la mécanique, de la physique, de l’astronomie et d’un certain nombre de sciences appliquées. Les connaissances d’Euler étaient encyclopédiques ; outre les mathématiques, il a étudié la botanique, la médecine, la chimie, la théorie de la musique et de nombreuses langues européennes et anciennes.

Euler participe volontiers aux discussions scientifiques, dont il est le plus connu :

Dans tous les cas mentionnés, la position d’Euler est soutenue par la science moderne.

Mathématiques

En matière de mathématiques, le XVIIIe siècle est l’âge d’Euler. Alors qu’avant lui les avancées en mathématiques étaient dispersées et pas toujours cohérentes, Euler a pour la première fois relié l’analyse, l’algèbre, la géométrie, la trigonométrie, la théorie des nombres et d’autres disciplines en un système unifié, tout en y ajoutant un grand nombre de ses propres découvertes. Depuis lors, une grande partie des mathématiques est enseignée « d’après Euler », presque sans changement.

Grâce à Euler, les mathématiques comprennent la théorie générale des séries, la « formule d’Euler » fondamentale dans la théorie des nombres complexes, l’opération de comparaison modulo, la théorie complète des fractions continues, les fondements analytiques de la mécanique, de nombreuses techniques d’intégration et de résolution d’équations différentielles, le nombre e, la notation i pour une unité imaginaire, un certain nombre de fonctions spéciales et bien d’autres choses encore.

En fait, c’est Euler qui a créé plusieurs nouvelles disciplines mathématiques – la théorie des nombres, le calcul des variations, la théorie des fonctions complexes, la géométrie différentielle des surfaces ; il a jeté les bases de la théorie des fonctions spéciales. Ses autres domaines de travail comprennent l’analyse diophantienne, la physique mathématique, les statistiques, etc.

L’historien des sciences Clifford Truesdell a écrit : « Euler a été le premier scientifique de la civilisation occidentale à écrire sur les mathématiques dans un langage clair et facile à lire ». Les biographes soulignent qu’Euler était un algorithmicien virtuose. Il s’efforçait invariablement d’amener ses découvertes au niveau de méthodes de calcul spécifiques et était un maître des calculs numériques. J. Condorcet raconte qu’un jour, deux étudiants effectuant indépendamment des calculs astronomiques complexes ont obtenu des résultats légèrement différents dans le 50e signe et ont demandé l’aide d’Euler. Euler fit les mêmes calculs dans son esprit et donna le bon résultat.

П. L. Chebyshev a écrit : « Euler est à l’origine de toutes les recherches qui constituent la théorie générale des nombres ». La plupart des mathématiciens du XVIIIe siècle se consacraient au développement de l’analyse, mais Euler a conservé toute sa vie la passion de l’arithmétique ancienne. Grâce à ses écrits, l’intérêt pour la théorie des nombres s’est ravivé vers la fin du siècle.

Euler a poursuivi les recherches de Fermat, qui avait auparavant (sous l’influence de Diophante) émis un certain nombre d’hypothèses éparses sur les nombres naturels. Euler a rigoureusement prouvé ces hypothèses, les a considérablement généralisées et les a combinées en une théorie significative des nombres. Il a introduit la très importante « fonction d’Euler » dans les mathématiques et l’a utilisée pour formuler le « théorème d’Euler ». Il a réfuté l’hypothèse de Fermat selon laquelle tous les nombres de la forme F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {affichage} sont simples ; il s’avère que F 5 {displaystyle F_{5}} {est divisible par 641. A prouvé l’affirmation de Fermat sur la représentation d’un nombre premier impair comme une somme de deux carrés. A donné l’une des solutions au problème des quatre cubes. A prouvé que le nombre de Mersenne 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – est un nombre premier ; pendant près de cent ans (jusqu’en 1867), il est resté le plus grand nombre premier connu.

Euler a jeté les bases de la théorie des comparaisons et des déductions quadratiques, en précisant le critère de solubilité pour ces dernières. Euler a introduit la notion de racine initiale et a émis l’hypothèse que pour tout nombre premier p, il existe une racine initiale modulo p. Il n’a pas pu le démontrer, mais LeGendre et Gauss ont plus tard prouvé le théorème. L’autre conjecture d’Euler, la loi de réciprocité quadratique, également prouvée par Gauss, a été d’une grande importance pour la théorie. Euler a prouvé le grand théorème de Fermat pour n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} a créé une théorie complète des fractions continues, étudié diverses classes d’équations difféomorphes et la théorie de la division des nombres en termes.

Dans le problème du nombre de partitions d’un entier naturel n {displaystyle n} a obtenu la formule exprimant la fonction dérivée du nombre de partitions p ( n ) {displaystyle p(n)} {afficher p(n ) par le produit infini de

Euler a défini la fonction zêta, dont une généralisation a été nommée plus tard Riemann :

où s {displaystyle displaystyle s} est un nombre réel (dans Riemann, il est complexe). Euler en a déduit une décomposition :

où le produit est pris sur tous les nombres premiers p {displaystyle displaystyle p} . Il a ainsi découvert qu’il était possible d’appliquer à la théorie des nombres les méthodes de l’analyse mathématique, ce qui a donné naissance à la théorie analytique des nombres, qui repose sur l’identité d’Euler et la méthode générale des fonctions dérivées.

L’une des principales contributions d’Euler à la science est sa monographie « Introduction à l’analyse des infinitésimaux » (1748). En 1755, il publie un supplément intitulé « Calcul différentiel » et, en 1768-1770, trois volumes de « Calcul intégral ». L’ensemble constitue un cours fondamental, bien illustré, avec une terminologie et un symbolisme élaborés. « On peut dire qu’une bonne moitié de ce qui est enseigné aujourd’hui dans les cours d’algèbre supérieure et d’analyse supérieure se trouve dans les écrits d’Euler » (N. N. Luzin). Euler a été le premier à donner une théorie systématique de l’intégration et des techniques utilisées. Il est notamment l’auteur de la méthode classique d’intégration des fonctions rationnelles par décomposition en fractions simples et de la méthode de résolution des équations différentielles d’ordre arbitraire à coefficients constants.

Euler a toujours accordé une attention particulière aux méthodes de résolution des équations différentielles, qu’il s’agisse d’équations ordinaires ou d’équations aux dérivées partielles, ayant découvert et décrit d’importantes classes d’équations différentielles intégrables. Il a élaboré la méthode d’Euler des lignes brisées (1768), la méthode numérique de résolution des systèmes d’équations différentielles ordinaires. Avec A. C. Clero, il a dérivé les conditions d’intégrabilité des formes différentielles linéaires de deux ou trois variables (1739). Il a obtenu des résultats importants dans la théorie des fonctions elliptiques, y compris les premiers théorèmes sur l’addition des intégrales elliptiques (1761). Il a été le premier à étudier les maxima et les minima des fonctions de plusieurs variables.

La base des logarithmes naturels est connue depuis l’époque de Neper et de Jacob Bernoulli, mais Euler a réalisé une étude si approfondie de cette constante la plus importante qu’elle porte son nom depuis lors. Une autre constante qu’il a étudiée est la constante d’Euler-Mascheroni.

La définition moderne des fonctions exponentielle, logarithmique et trigonométrique est également à mettre à son crédit, de même que leur symbolisme et leur généralisation au cas complexe. Les formules souvent appelées « conditions de Cauchy-Riemann » dans les manuels scolaires seraient plutôt appelées « conditions de D’Alambert-Euler ».

Il partage avec Lagrange l’honneur d’avoir découvert le calcul des variations en écrivant les équations d’Euler-Lagrange pour le problème général de la variation. En 1744, Euler publie son traité « Méthode pour trouver les courbes… » – le premier ouvrage sur le calcul des variations (il contient, entre autres, le premier exposé systématique de la théorie des courbes élastiques et des résultats sur la résistance des matériaux).

Euler a considérablement fait progresser la théorie des séries et l’a étendue au domaine complexe, donnant la célèbre formule d’Euler qui donne la représentation trigonométrique d’un nombre complexe. Le monde mathématique a été très impressionné par les séries résumées pour la première fois par Euler, y compris la série des carrés inversés, ce que personne n’avait pu faire avant lui :

Euler a utilisé les séries pour étudier les fonctions transcendantes, c’est-à-dire les fonctions qui ne s’expriment pas par une équation algébrique (par exemple le logarithme intégral). Il a découvert (1729-1730) les « intégrales d’Euler », des fonctions spéciales qui sont entrées dans la science sous le nom de fonctions gamma et bêta d’Euler. En 1764, en résolvant le problème des oscillations d’une membrane élastique (qui avait pour origine la détermination de la hauteur du son des timbales), Euler a été le premier à introduire les fonctions de Bessel pour tout indice naturel (les recherches de F. W. Bessel, dont ces fonctions portent aujourd’hui le nom, remontent à 1824).

D’un point de vue ultérieur, les actions d’Euler avec les séries infinies ne peuvent pas toujours être considérées comme correctes (la justification de l’analyse n’a été effectuée qu’un demi-siècle plus tard), mais son intuition mathématique phénoménale lui a presque toujours indiqué le bon résultat. Par exemple, sa proposition de compréhension généralisée de la somme des séries divergentes et des opérations sur celles-ci a servi de base à la théorie moderne de ces séries, développée à la fin du 19e siècle et au début du 20e siècle.

En géométrie élémentaire, Euler a découvert plusieurs faits qui n’avaient pas été notés par Euclide :

Le deuxième volume de l’Introduction à l’analyse des infinitésimaux (1748) est le premier manuel au monde sur la géométrie analytique et les fondements de la géométrie différentielle. Euler y donne une classification des courbes algébriques d’ordre 3 et 4 ainsi que des surfaces d’ordre 2. Le terme « transformations affines » a été introduit pour la première fois dans ce livre, ainsi que la théorie de ces transformations. En 1732, Euler a dérivé l’équation générale des lignes géodésiques sur une surface.

En 1760, l’ouvrage fondamental Investigations on the Curvature of Surfaces (Recherches sur la courbure des surfaces) est publié. Euler a découvert qu’en tout point d’une surface lisse, il existe deux sections normales avec des rayons de courbure minimum et maximum et que leurs plans sont mutuellement perpendiculaires. Il en a déduit une formule pour la relation entre la courbure de la section de la surface et les courbures principales.

En 1771, Euler publie son ouvrage « Sur les corps dont la surface peut être dépliée sur un plan ». Cet ouvrage introduit la notion de surface dépliable, c’est-à-dire une surface qui peut être superposée à un plan sans plis ni discontinuités. Cependant, Euler donne ici une théorie assez générale de la métrique dont dépend toute la géométrie interne de la surface. Plus tard, il fera de l’étude des métriques l’outil principal de la théorie des surfaces.

En relation avec les tâches de cartographie, Euler a étudié en profondeur les mappings conformes, appliquant pour la première fois les outils de l’analyse complexe.

Euler a accordé beaucoup d’attention à la représentation des nombres naturels comme des sommes d’un type particulier et a formulé un certain nombre de théorèmes pour calculer le nombre de partitions. Lors de la résolution de problèmes combinatoires, il a étudié en profondeur les propriétés des combinaisons et des permutations et a introduit les nombres d’Euler.

Euler a étudié des algorithmes pour la construction de carrés magiques par la traversée de chevaux d’échecs. Deux de ses travaux (1776, 1779) ont jeté les bases de la théorie générale des carrés latins et gréco-latins, dont la grande valeur pratique est devenue évidente après que Ronald Fisher a créé des méthodes de planification des expériences, ainsi que dans la théorie des codes correcteurs d’erreurs.

L’article d’Euler « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis » (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis), publié en 1736, a marqué le début de la théorie des graphes en tant que discipline mathématique. Le problème des ponts de Königsberg a servi de point de départ à l’étude : peut-on traverser chaque pont une fois et revenir au point de départ ? Euler l’a formalisé en le réduisant au problème de l’existence dans un graphe (dont les sommets correspondent aux parties de la ville séparées par des bras de la rivière Pregolya, et les arêtes aux ponts) d’un cycle ou d’un chemin passant par chaque arête exactement une fois (dans la terminologie moderne, respectivement, d’un cycle eulérien et d’un chemin eulérien). En résolvant ce dernier problème, Euler a montré que pour qu’un cycle eulérien existe dans un graphe, son degré (le nombre d’arêtes quittant le sommet) doit être pair pour chaque sommet, et le chemin eulérien doit être pair pour tous les sommets sauf deux (dans le problème des ponts de Königsberg, ce n’est pas le cas : les degrés sont 3, 3, 3 et 5).

Euler a apporté une contribution importante à la théorie et aux méthodes de calcul approximatif. Il a été le premier à appliquer des méthodes analytiques à la cartographie. Il a proposé une méthode pratique de représentation graphique des relations et des opérations sur les ensembles, appelée cercles d’Euler (ou Euler-Vennes).

Mécanique et physique

De nombreux ouvrages d’Euler sont consacrés à diverses branches de la mécanique et de la physique. Au sujet du rôle clé d’Euler dans la transformation de la mécanique en une science exacte, C. Truesdell a écrit : « La mécanique, telle qu’elle est enseignée aujourd’hui aux ingénieurs et aux mathématiciens, est en grande partie sa création ».

En 1736, Euler publie son traité en deux volumes intitulé « Mécanique, ou science du mouvement, dans un exposé analytique », qui marque une nouvelle étape dans le développement de cette science ancienne et qui est consacré à la dynamique du point matériel. Contrairement aux fondateurs de cette branche de la dynamique, Galilée et Newton, qui utilisaient des méthodes géométriques, Euler, alors âgé de 29 ans, a proposé une méthode analytique régulière et uniforme pour résoudre les différents problèmes de la dynamique : la compilation des équations différentielles du mouvement d’un objet matériel et leur intégration ultérieure dans des conditions initiales données.

Le premier volume du traité traite du mouvement d’un point matériel libre, le second – d’un point propriétaire, et le mouvement dans le vide ainsi que dans un milieu résistant est étudié. Les problèmes de balistique et la théorie du pendule sont examinés séparément. Euler écrit pour la première fois l’équation différentielle du mouvement rectiligne d’un point et, pour le cas général du mouvement curviligne, il introduit les équations naturelles du mouvement – équations en projection sur les axes du trièdre qui l’accompagne. Dans de nombreux problèmes concrets, il complète l’intégration des équations du mouvement jusqu’à la fin ; dans les cas de mouvement ponctuel sans résistance, il utilise systématiquement la première intégrale des équations du mouvement – l’intégrale de l’énergie. Dans le deuxième volume, en relation avec le problème du mouvement d’un point sur une surface arbitrairement incurvée, la géométrie différentielle des surfaces créées par Euler est présentée.

Euler revint plus tard à la dynamique d’un point matériel. En 1746, étudiant le mouvement d’un point matériel sur une surface en mouvement, il aboutit (en même temps que D. Bernoulli et P. Darcy) au théorème sur le changement de moment angulaire. En 1765, Euler, utilisant une idée émise en 1742 par C. McLaren concernant l’expansion des vitesses et des forces le long de trois axes de coordonnées fixes, écrit pour la première fois les équations différentielles du mouvement d’un point matériel en projection sur les axes fixes cartésiens.

Ce dernier résultat a été publié par Euler dans son deuxième traité fondamental sur la dynamique analytique, le livre « Théorie du mouvement des solides » (1765). Son contenu principal est toutefois consacré à une autre section de la mécanique, la dynamique des solides, dont Euler est le fondateur. Le traité contient notamment la dérivation d’un système de six équations différentielles du mouvement d’un corps solide libre. Le théorème sur la réduction du système de forces appliquées à un corps solide à deux forces, énoncé au § 620 du traité, est important pour la statique. En projetant les conditions d’égalité de ces forces à zéro sur les axes de coordonnées, Euler obtient pour la première fois les équations d’équilibre d’un corps solide sous l’action d’un système spatial arbitraire de forces.

Un certain nombre de résultats fondamentaux d’Euler relatifs à la cinématique des solides (la cinématique n’avait pas encore été identifiée comme une branche distincte de la mécanique au XVIIIe siècle) sont également énoncés dans le traité de 1765. Parmi eux, on peut citer les formules d’Euler pour la distribution des vitesses des points d’un corps absolument solide (l’équivalent vectoriel de ces formules est la formule cinématique d’Euler) et les équations cinématiques d’Euler, qui donnent les dérivées des angles d’Euler (utilisés en mécanique pour spécifier l’orientation d’un corps solide) par le biais des projections de la vitesse angulaire sur les axes de coordonnées.

Outre ce traité, deux travaux antérieurs d’Euler sont importants pour la dynamique des solides : « Études sur la connaissance mécanique des corps » et « Le mouvement de rotation des solides autour d’un axe variable », qui ont été soumis à l’Académie des sciences de Berlin en 1758, mais ont été publiés dans ses « Notes » plus tard (dans la même année 1765 que le traité). Ils développent la théorie des moments d’inertie (établissant l’existence d’au moins trois axes de rotation libre dans tout corps rigide ayant un point fixe) ; les équations dynamiques d’Euler décrivant la dynamique d’un corps rigide ayant un point fixe sont obtenues ; une solution analytique de ces équations est donnée dans le cas d’une force extérieure nulle (le cas d’Euler) – l’un des trois cas généraux d’intégrabilité dans le problème de la dynamique d’un corps solide rigide ayant un point fixe.

Dans l’article « Formules générales pour le déplacement arbitraire d’un corps rigide » (1775), Euler formule et prouve le théorème fondamental de rotation d’Euler, selon lequel le déplacement arbitraire d’un corps absolument rigide ayant un point fixe est une rotation d’un certain angle autour d’un axe passant par le point fixe.

C’est à Euler que l’on doit la formulation analytique du principe de moindre action (proposé en 1744 – sous une forme très floue – par P. L. Mauperthuis), la compréhension correcte des conditions d’applicabilité du principe et sa première preuve (réalisée la même année, en 1744, pour le cas d’un point matériel se déplaçant sous l’action d’une force centrale). L’action (l’action dite abrégée et non l’action hamiltonienne) par rapport au système de points matériels est ici comprise comme l’intégrale

où A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – deux configurations du système, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – masse, vitesse algébrique et élément d’arc de la trajectoire, respectivement i {displaystyle i} -ième point, n {displaystyle n} – est le nombre de points.

C’est ainsi que le principe de Mauperthuis-Euler, premier d’une série de principes variationnels intégraux de la mécanique, est entré dans la science ; plus tard, il a été généralisé par J. L. Lagrange et est maintenant généralement traité comme l’une des formes (la forme de Mauperthuis-Euler, considérée avec la forme de Lagrange et la forme de Jacobi) du principe de Mauperthuis-Lagrange. Malgré sa contribution déterminante, dans la discussion qui s’est engagée autour du principe de moindre action, Euler a fortement défendu la priorité de Mauperthuis et a souligné l’importance fondamentale de ce principe en mécanique. Cette idée a attiré l’attention des physiciens qui, aux XIXe et XXe siècles, ont découvert le rôle fondamental des principes variationnels dans la nature et ont appliqué l’approche variationnelle dans de nombreux domaines de leur science.

Plusieurs ouvrages d’Euler sont consacrés à la mécanique des machines. Dans son mémoire « Sur l’application la plus profitable des machines simples et complexes » (1747), Euler propose d’étudier les machines non pas en état de repos, mais en état de mouvement. Cette nouvelle approche, dite « dynamique », Euler la justifie et la développe dans son mémoire « Sur les machines en général » (il y est le premier dans l’histoire des sciences à mettre en évidence les trois parties constitutives des machines, définies au XIXe siècle comme étant les moteurs, les engrenages et les organes de travail). Dans son mémoire « Principes de la théorie des machines » (1763), Euler a montré que pour calculer les caractéristiques dynamiques des machines en cas de mouvement accéléré, il faut tenir compte non seulement des forces de traînée et de l’inertie de la charge utile, mais aussi de l’inertie de tous les composants de la machine, et il a donné (à propos des moteurs hydrauliques) un exemple d’un tel calcul.

Euler s’est également intéressé à la théorie des machines appliquées, comme la théorie des machines hydrauliques et des moulins à vent, l’étude du frottement dans les pièces de machines et le profilage des engrenages (il a justifié et développé la théorie analytique des engrenages à développante). En 1765, il jette les bases de la théorie du frottement des câbles souples et obtient notamment la formule d’Euler pour la détermination de la tension des câbles, qui est encore utilisée pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques (par exemple dans le calcul des mécanismes à maillons souples).

Euler est également associé à l’introduction systématique de l’idée du continuum en mécanique, selon laquelle un corps matériel est représenté, abstraction faite de sa structure moléculaire ou atomique, comme un milieu continu. Le modèle du continuum a été introduit par Euler dans son mémoire « Découverte d’un nouveau principe de mécanique » (rapporté en 1750 à l’Académie des sciences de Berlin et publié dans ses « Mémoires » deux ans plus tard).

L’auteur du mémoire a fondé son analyse sur le principe des particules matérielles d’Euler, une proposition qui est encore citée dans de nombreux manuels de mécanique et de physique (souvent sans mentionner Euler) : un corps solide peut être modélisé avec un certain degré de précision en le décomposant mentalement en particules suffisamment petites et en traitant chacune d’entre elles comme un point matériel. En utilisant ce principe, on peut dériver diverses relations dynamiques pour un corps continu en écrivant leurs analogues pour des particules matérielles individuelles (dans les termes d’Euler, des « corpuscules ») et en les additionnant (dans ce cas, en remplaçant la sommation sur tous les points par l’intégration sur le volume de la zone occupée par le corps). Cette approche a permis à Euler d’éviter d’utiliser les moyens du calcul intégral moderne (comme l’intégrale de Stiltjes), qui n’étaient pas encore connus au XVIIIe siècle.

Sur la base de ce principe, Euler a obtenu – en appliquant le théorème sur le changement de moment angulaire à un volume matériel élémentaire – la première loi du mouvement d’Euler (plus tard, la deuxième loi du mouvement d’Euler est également apparue – résultat de l’application du théorème sur le changement de moment angulaire). Les lois du mouvement d’Euler représentaient en fait les lois du mouvement de base de la mécanique des milieux continus ; la seule chose qui manquait pour passer aux équations générales du mouvement actuellement utilisées pour ces milieux était l’expression des forces de surface par le tenseur des contraintes (ce qui a été fait par O. Cauchy dans les années 1820). Euler a appliqué les résultats obtenus à l’étude de modèles spécifiques de corps solides – tant dans la dynamique des corps solides (c’est dans les mémoires mentionnés que les équations de la dynamique d’un corps avec un point fixe, référé à des axes cartésiens arbitraires, ont été données pour la première fois), que dans l’hydrodynamique et dans la théorie de l’élasticité.

Dans la théorie de l’élasticité, un certain nombre d’études d’Euler sont consacrées à la théorie de la flexion des poutres et des barres ; dans ses premiers travaux (années 1740), il a résolu le problème de la flexion longitudinale d’une barre élastique, en composant et en résolvant l’équation différentielle de l’axe de flexion de la barre. En 1757, dans son ouvrage « On the loading of columns », Euler a été le premier à trouver une formule pour la charge critique en compression d’une tige élastique, donnant naissance à la théorie de la stabilité des systèmes élastiques. L’application pratique de cette formule est intervenue bien plus tard, près d’un siècle plus tard, lorsque de nombreux pays (principalement l’Angleterre) ont commencé à construire des chemins de fer, nécessitant le calcul de la résistance des ponts ferroviaires ; c’est à cette époque que les ingénieurs ont adopté – après quelques raffinements – le modèle d’Euler.

Euler est – avec D. Bernoulli et J. L. Lagrange – l’un des fondateurs de la dynamique analytique des fluides ; on lui doit ici la création de la théorie du mouvement d’un fluide idéal (c’est-à-dire un fluide sans viscosité) et la résolution de certains problèmes spécifiques de la mécanique des fluides. Dans « Principles of motion of fluids » (publié neuf ans plus tard), il applique ses équations de dynamique d’un volume matériel élémentaire d’un milieu continu au modèle d’un fluide parfait incompressible et obtient pour la première fois pour un tel fluide les équations du mouvement, ainsi que (pour le cas général tridimensionnel) l’équation de continuité. En étudiant le mouvement sans tourbillon d’un fluide incompressible, Euler a introduit la fonction S {displaystyle S} (appelée plus tard potentiel de vitesse par Helmholtz) et a montré qu’elle satisfaisait une équation aux dérivées partielles – c’est ainsi que l’équation, connue aujourd’hui sous le nom d’équation de Laplace, est entrée dans la science.

Les résultats de ce travail ont été largement généralisés par Euler dans son traité intitulé « Principes généraux du mouvement des fluides » (1755). Il y présente, pour le cas d’un fluide idéal compressible, l’équation de continuité et les équations du mouvement (trois équations différentielles scalaires, auxquelles correspond, sous forme vectorielle, l’équation d’Euler, équation fondamentale de l’hydrodynamique d’un fluide idéal), pratiquement en termes modernes. Euler a fait remarquer que pour fermer ce système de quatre équations, il faut une relation constitutive qui permette d’exprimer la pression p {displaystyle p} (qu’Euler appelle « élasticité ») en fonction de la densité q {displaystyle q} et « une autre propriété r {displaystyle r} {displaystyle r} qui affecte l’élasticité » (en fait, il s’agissait de la température). Discutant de la possibilité d’existence de mouvements non potentiels d’un fluide incompressible, Euler a donné le premier exemple concret d’un écoulement tourbillonnaire, et pour les mouvements potentiels d’un tel fluide, il a obtenu la première intégrale – un cas spécial de l’intégrale de Lagrange-Cauchy aujourd’hui connue.

La même année, Euler publie son mémoire intitulé « Principes généraux de l’état d’équilibre des liquides », qui contient une présentation systématique de l’hydrostatique d’un liquide idéal (y compris la dérivation de l’équation générale de l’équilibre des liquides et des gaz) et une formule barométrique pour une atmosphère isotherme.

Dans les articles ci-dessus, Euler, en écrivant les équations du mouvement et de l’équilibre d’un fluide, a pris comme variables spatiales indépendantes les coordonnées cartésiennes de la position actuelle d’une particule matérielle – les variables d’Euler (D’Alambert a été le premier à utiliser de telles variables en hydrodynamique). Plus tard, dans « Sur les principes du mouvement des fluides. Section Two » (1770), Euler a introduit la deuxième forme des équations de l’hydrodynamique, dans laquelle les coordonnées cartésiennes de la position d’une particule matérielle à l’instant initial (connues aujourd’hui sous le nom de variables de Lagrange) sont considérées comme des variables spatiales indépendantes.

Euler compila les principales réalisations dans ce domaine dans une Dioptrica en trois volumes (latin : Dioptrica, 1769-1771). Parmi les principaux résultats : des règles pour calculer les caractéristiques optimales des réfracteurs, des réflecteurs et des microscopes, pour calculer la plus grande luminosité de l’image, le plus grand champ de vision, la plus petite longueur de l’instrument, le plus grand grossissement, les caractéristiques de l’oculaire.

Newton soutenait que la création d’une lentille achromatique était fondamentalement impossible. Euler soutient qu’une combinaison de matériaux aux caractéristiques optiques différentes peut résoudre le problème. En 1758, après une longue polémique, Euler réussit à convaincre l’opticien anglais John Dollond, qui réalisa alors la première lentille achromatique en reliant deux lentilles faites de verres de composition différente l’une à l’autre. En 1784, l’académicien F. Epinus construisit à Saint-Pétersbourg le premier microscope achromatique au monde.

Astronomie

Euler a beaucoup travaillé dans le domaine de la mécanique céleste. L’une des tâches urgentes de l’époque consistait à déterminer les paramètres de l’orbite d’un corps céleste (par exemple une comète) à partir d’un petit nombre d’observations. Euler a considérablement amélioré les méthodes numériques à cette fin et les a appliquées de manière pratique à la détermination de l’orbite elliptique de la comète de 1769 ; ces travaux ont été utilisés par Gauss, qui a donné la solution finale au problème.

Euler a jeté les bases de la théorie des perturbations, complétée plus tard par Laplace et Poincaré. Il a introduit le concept fondamental des éléments oscillants d’une orbite et a dérivé les équations différentielles qui déterminent leur évolution dans le temps. Il a élaboré la théorie de la précession et de la nutation de l’axe de la Terre et prédit le « mouvement libre des pôles » de la Terre, découvert un siècle plus tard par Chandler.

Entre 1748 et 1751, Euler publie une théorie complète de l’aberration lumineuse et de la parallaxe. En 1756, il publie l’équation différentielle de la réfraction astronomique et étudie la dépendance de la réfraction à la pression et à la température au point d’observation. Ces résultats ont eu une influence considérable sur le développement de l’astronomie dans les années qui ont suivi.

Euler a élaboré une théorie très précise du mouvement de la Lune, en développant à cette fin une méthode spéciale de variation des éléments orbitaux. Par la suite, au XIXe siècle, cette méthode a été étendue et appliquée aux modèles du mouvement des grandes planètes et est encore utilisée aujourd’hui. Les tables de Mayer, calculées sur la base de la théorie d’Euler (1767), se sont également avérées appropriées pour résoudre le problème urgent de la détermination de la longitude en mer, et l’Amirauté anglaise a décerné à Mayer et à Euler un prix spécial pour cela. Les principaux travaux d’Euler dans ce domaine :

Euler a étudié le champ gravitationnel des corps non seulement sphériques mais aussi ellipsoïdaux, ce qui représentait un progrès important. Il a également été le premier scientifique à mettre en évidence le changement séculaire de l’inclinaison du plan de l’écliptique (1756) et, sur sa proposition, l’inclinaison du début de l’année 1700 a depuis été adoptée comme référence. Il a développé les bases de la théorie du mouvement des satellites de Jupiter et d’autres planètes fortement comprimées.

En 1748, bien avant les travaux de P.N. Lebedev, Euler émet l’hypothèse que les queues de comètes, les aurores et la lumière zodiacale ont en commun l’effet du rayonnement solaire sur l’atmosphère ou la substance des corps célestes.

Théorie de la musique

Tout au long de sa vie, Euler s’est intéressé à l’harmonie musicale, s’efforçant de lui donner un fondement mathématique clair. L’objectif de son premier ouvrage, Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739), était de décrire mathématiquement comment la musique agréable (euphonique) diffère de la musique désagréable (déplaisante). À la fin du chapitre VII de l' »Expérience », Euler a classé les intervalles en « degrés d’agréabilité » (gradus suavitatis), l’octave étant assignée à II (certaines classes (dont la première, la troisième et la sixième) de la table d’agréabilité d’Euler ont été omises). Cette œuvre a fait l’objet d’une plaisanterie selon laquelle elle contenait trop de musique pour les mathématiciens et trop de mathématiques pour les musiciens.

Sur le tard, en 1773, Euler présente à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg un exposé dans lequel il formule sous sa forme définitive sa représentation en réseau du système sonore, métaphoriquement désignée par l’auteur comme le « miroir de la musique » (lat. speculum musicae). L’année suivante, l’article d’Euler est publié sous la forme d’un petit traité intitulé De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (« Sur les véritables fondements de l’harmonie présentés à travers le speculum musicae »). Sous le nom de Tonnetz, la grille eulérienne a été largement utilisée dans la théorie musicale allemande du XIXe siècle.

Autres domaines de connaissance

En 1749, Euler publie une monographie en deux volumes, « The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation », dans laquelle il applique des méthodes analytiques aux problèmes pratiques de la construction navale et de la navigation en mer, tels que la forme des navires, les questions de stabilité et d’équilibre, et les méthodes de contrôle des mouvements des navires. La théorie générale de Krylov sur la stabilité des navires est basée sur la « science marine ».

Euler s’intéresse également à la physiologie et applique notamment les méthodes de l’hydrodynamique à l’étude des principes de l’écoulement du sang dans les vaisseaux. En 1742, il envoie à l’Académie de Dijon un article sur l’écoulement des fluides dans des tubes élastiques (considérés comme des modèles de vaisseaux) et, en décembre 1775, il présente à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg un mémoire intitulé Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principes pour déterminer le mouvement du sang dans les artères). Cet ouvrage analyse les principes physiques et physiologiques des mouvements sanguins provoqués par les contractions périodiques du cœur. Traitant le sang comme un fluide incompressible, Euler a trouvé une solution aux équations du mouvement qu’il a composées pour le cas des tubes rigides, et dans le cas des tubes élastiques, il s’est limité à dériver des équations générales du mouvement fini.

L’une des principales tâches confiées à Euler à son arrivée en Russie est la formation du personnel scientifique. Parmi les élèves directs d’Euler :

L’une des priorités d’Euler était la création de manuels. Il a lui-même rédigé le « Manuel d’arithmétique à l’usage du gymnase de l’Académie impériale des sciences » (1738-1740) et l' »Arithmétique universelle » (1768-1769). Selon Fuss, Euler a eu recours à une méthode originale : il a dicté le manuel à un jeune garçon, en observant la façon dont il comprenait le texte. Le garçon a ainsi appris à résoudre des problèmes et à effectuer des calculs de manière autonome

Euler porte son nom :

Les œuvres complètes d’Euler, publiées depuis 1909 par la Société suisse des naturalistes, sont encore incomplètes ; 75 volumes étaient prévus, dont 73 ont été publiés :

Huit volumes supplémentaires seront consacrés à la correspondance scientifique d’Euler (plus de 3 000 lettres).

En 1907, les Russes et de nombreux autres scientifiques ont célébré le 200e anniversaire du grand mathématicien, et en 1957, les académies des sciences soviétique et berlinoise ont consacré des séances solennelles à son 250e anniversaire. À la veille du 300e anniversaire d’Euler (2007), un forum international a été organisé à Saint-Pétersbourg et un film sur la vie d’Euler a été réalisé. La même année, un monument à la mémoire d’Euler a été inauguré à l’entrée de l’Institut international Euler de Saint-Pétersbourg. Les autorités de Saint-Pétersbourg ont toutefois rejeté toutes les propositions visant à donner le nom du scientifique à une place ou à une rue ; il n’y a toujours pas de rue Euler en Russie.

Qualités personnelles et notes

Selon ses contemporains, Euler avait un bon cœur, un caractère doux et n’avait pratiquement aucune querelle avec qui que ce soit. Même Johann Bernoulli, dont son frère Jacob et son fils Daniel ont connu la dureté de caractère, se montrait toujours chaleureux à son égard. Euler n’avait besoin que d’une seule chose pour vivre pleinement : la possibilité d’une créativité mathématique régulière. Il pouvait travailler intensément même « avec un enfant sur les genoux et un chat sur le dos ». En même temps, Euler était joyeux, sociable, aimait la musique et les conversations philosophiques.

L’académicien P.P. Pekarsky, s’appuyant sur les témoignages des contemporains d’Euler, a reconstitué l’image du savant : « Euler avait le grand art de ne pas faire étalage de son érudition, de dissimuler sa supériorité et de se mettre au niveau de tout le monde. Un tempérament toujours égal, une gaieté douce et naturelle, quelques ricanements avec une touche de bonhomie, une conversation naïve et pleine d’humour – tout cela rendait la conversation avec lui aussi agréable qu’attrayante.

Comme le notent les contemporains, Euler était très croyant. Selon Condorcet, Euler réunissait chaque soir ses enfants, ses serviteurs et les élèves qui vivaient avec lui pour prier. Il leur lisait un chapitre de la Bible et accompagnait parfois cette lecture d’un sermon. En 1747, Euler publie un traité de défense du christianisme contre l’athéisme, « Défense de la Révélation divine contre les attaques des libres penseurs ». La fascination d’Euler pour le raisonnement théologique a provoqué une attitude négative à son égard (en tant que philosophe) de la part de ses célèbres contemporains – D’Alembert et Lagrange. Frédéric II, qui se considérait comme un « libre-penseur » et correspondait avec Voltaire, a déclaré qu’Euler « puait le prêtre ».

Euler était un père de famille attentionné, désireux d’aider ses collègues et les jeunes, et il partageait généreusement ses idées avec eux. Il est bien connu qu’Euler a retardé ses publications sur le calcul des variations afin que Lagrange, alors jeune et inconnu, qui était parvenu indépendamment aux mêmes découvertes, puisse les publier en premier. Lagrange a toujours admiré Euler en tant que mathématicien et en tant qu’homme ; il a dit : « Si vous aimez vraiment les mathématiques, lisez Euler ».

« Lisez, lisez Euler, c’est notre maître à tous », aimait à répéter Laplace (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Les travaux d’Euler ont été étudiés avec grand profit par le « roi des mathématiciens » Karl Friedrich Gauss et pratiquement tous les scientifiques célèbres des 18e et 19e siècles.

D’Alambert, dans une de ses lettres à Lagrange, appelle Euler « ce diable » (frès se diable d’homme), comme s’il voulait indiquer par là, selon les commentateurs, que ce qu’Euler avait fait était au-delà de la puissance humaine.

М. V. Ostrogradsky a déclaré dans une lettre à N. N. Fuss : « Euler a créé l’analyse moderne, l’a enrichie plus que tous ses disciples réunis et en a fait l’instrument le plus puissant de la raison humaine ». L’académicien S. I. Vavilov a écrit : « Avec Pierre Ier et Lomonossov, Euler est devenu le bon génie de notre Académie, qui a déterminé sa gloire, sa forteresse, sa productivité.

Adresses de résidence

Entre 1743 et 1766, Euler a vécu dans la maison du 21 Berenstrasse

À partir de 1766, Euler a vécu dans un immeuble au 15 Nikolayevskaya Embankment (avec une interruption causée par un grand incendie). À l’époque soviétique, la rue a été rebaptisée Lieutenant Schmidt Quay. Une plaque commémorative a été apposée sur la maison, qui abrite aujourd’hui une école secondaire.

Timbres, pièces de monnaie, billets de banque

En 2007, la Banque centrale de Russie a émis une pièce commémorative pour le 300e anniversaire de la naissance de L. Euler. Le portrait d’Euler a également été placé sur le billet suisse de 10 francs (série 6) et sur les timbres-poste de Suisse, de Russie et d’Allemagne.

Olympiades de mathématiques

Un grand nombre de faits de géométrie, d’algèbre et de combinatoire prouvés par Euler sont utilisés universellement dans les mathématiques des Olympiades.

Le 15 avril 2007, une olympiade de mathématiques sur internet pour les écoliers a été organisée pour commémorer le 300e anniversaire de la naissance de Leonhard Euler, avec le soutien d’un certain nombre d’organisations. Depuis 2008, l’Olympiade mathématique Leonhard Euler pour les élèves de huitième année est organisée, en partie pour compenser la perte des étapes régionales et finales de l’Olympiade mathématique panrusse pour les élèves de huitième année.

Les historiens ont découvert un peu plus d’un millier de descendants directs de Leonhard Euler. Le fils aîné, Johann Albrecht, est devenu un mathématicien et un physicien de premier plan. Le deuxième fils, Karl, fut un médecin célèbre. Le fils cadet Christopher devint plus tard lieutenant-général dans l’armée russe et commandant de l’usine d’armement de Sestroretsk. Tous les enfants d’Euler ont accepté la citoyenneté russe (Euler lui-même est resté sujet suisse toute sa vie).

À la fin des années 1980, les historiens dénombraient environ 400 descendants vivants, dont la moitié environ vivait en URSS.

Voici un bref arbre généalogique de quelques descendants connus d’Euler (le nom de famille est indiqué s’il ne s’agit pas d' »Euler »).

Les autres descendants d’Euler sont N. I. Gekker, V. F. Gekker et I. R. Gekker, V. E. Scalon et E. N. Behrendts. Parmi les descendants, on compte de nombreux scientifiques, géologues, ingénieurs, diplomates et médecins, ainsi que neuf généraux et un amiral. Un descendant d’Euler est le président du Club international de criminologie de Saint-Pétersbourg, D.A. Shestakov.

Sources

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
7. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
8. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
9. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
10. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
11. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
12. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
13. Dunham 1999, p. xiii