Arkhimédész
gigatos | április 1, 2022
Összegzés
Szirakuszai Arkhimédész (Szirakuszai, i. e. 287 körül – Szirakuszai, i. e. 212) szicíliai matematikus, fizikus és feltaláló.
A történelem egyik legnagyobb tudósaként és matematikusaként tartották számon, aki a geometriától a hidrosztatikán át a hidrosztatikáig, az optikáig és a mechanikáig hozzájárult a tudás fejlődéséhez: Képes volt kiszámítani a gömb felületét és térfogatát, és megfogalmazta a testek felhajtóerejét szabályozó törvényeket; a mérnöki tudományok terén felfedezte és hasznosította a karok működési elvét, és a nevéhez számos gép és eszköz fűződik, mint például az Arkhimédész-csavar, ami bizonyítja találékonyságát; még mindig titokzatosság övezi azokat a hadigépeket, amelyeket állítólag Arkhimédész készített, hogy megvédje Szirakúszákat a római ostromtól.
Életére számos, néha bizonytalan eredetű anekdota emlékezik, amelyek segítettek a tudós alakjának megformálásában a kollektív képzeletben. Például az ő felkiáltása èureka! (εὕρηκα! – Megtaláltam!), amelyet a testek felhajtóereje elvének felfedezése után tulajdonítottak neki, és amely ma is az ő nevét viseli.
Történelmi elemek
Életéről kevés biztos információ áll rendelkezésre. Minden forrás egyetért abban, hogy szürakuszai volt, és hogy Szürakuszák rómaiak általi, i. e. 212-es elfoglalásakor ölték meg. Diodórusz Sziculosz arról is beszámolt, hogy Egyiptomban tartózkodott, és Alexandriában barátkozott össze a szamoszi Conon matematikussal és csillagásszal. Minden valószínűség szerint nem ez volt a helyzet: a tudós szerette volna felvenni a kapcsolatot a korabeli alexandriai iskolához tartozó tudósokkal, akiknek számos írását küldte. E feltételezett tartózkodása alatt Archimédesz állítólag feltalálta a „hidraulikus csavart”.
Annyi bizonyos, hogy valóban kapcsolatban állt Cononnal (ahogyan az egyes műveiben a halála miatt kifejezett sajnálkozásból is kiderül), akivel talán Szicíliában találkozott. Alexandriában levelezett különböző tudósokkal, köztük Eratoszthenésszel, akinek A módszer és Dositheusz című értekezését szentelte. A tudós és az alexandriaiak együttműködésének jó példája a Spirálokról című értekezéshez írt bevezető levél.
Plutarkhosz szerint rokonságban állt II Hieron uralkodóval. A tézis ellentmondásos, de alátámasztja a szoros barátság és megbecsülés, amely más szerzők szerint összekötötte őket. A születési dátum nem biztos. Általában a Kr. e. 287-es dátumot fogadják el, amely Tzetzes János bizánci tudós azon információján alapul, hogy hetvenöt éves korában halt meg. Nem tudni azonban, hogy Tzetzes megbízható, mára elveszett forrásokra támaszkodott-e, vagy csupán azt a különböző szerzők által közölt tényt próbálta számszerűsíteni, hogy Arkhimédész halálakor idős volt. Az a hipotézis, hogy egy Phidias nevű (egyébként ismeretlen) szirakuszai csillagász fia volt, Friedrich Blass filológusnak az Arenariusban szereplő, a kéziratokban elrontva és értelmetlenül fennmaradt Arkhimédész egyik mondatának rekonstrukcióján alapul. Ha ez a feltevés helytálló, akkor feltételezhető, hogy apja egzakt tudományok iránti szeretetét örökölte.
A fennmaradt művekből és a tanúvallomásokból tudjuk, hogy a korabeli tudományok minden ágával (aritmetika, sík- és szilárd geometria, mechanika, optika, hidrosztatika, csillagászat stb.) és különböző technológiai alkalmazásokkal foglalkozott.
Polibiosz arról számol be, hogy a második pun háború idején II. Hierón kérésére (Plutarkhosz szerint kevésbé lelkesen, de mindhárman szerint nagy sikerrel) olyan harci gépek építésének szentelte magát, amelyek segítségével városa megvédhette magát a római támadással szemben. Plutarkhosz szerint Róma légióival és hatalmas flottájával szemben Szürakuszának csak néhány ezer embere és egy öregember zsenialitása volt; Arkhimédész gépei ciklopszi sziklákat és vasvihart dobtak volna Marcus Claudius Marcellus hatvan masszív quinquereme ellen. Kr. e. 212-ben, Szürakuszák kifosztása során ölték meg. A hagyomány szerint a gyilkos egy római katona volt, aki, mivel nem ismerte fel, nem hajtotta végre a parancsot, hogy élve elfogják.
Arkhimédészt nagyra becsülték mind saját hazájában, ahol Hieron király számára hivatkozási pont volt, mind Alexandriában, ahol korának legnevesebb matematikusaival levelezett, mind pedig a rómaiak körében, olyannyira, hogy a legenda szerint parancsba adták, hogy élve fogják el (de megölték). A római parancsnok tiszteletére sírboltot építtetett.
Arkhimédész alakja olyannyira lenyűgözte kortársait, hogy idővel az életrajzi események szorosan összefonódtak a legendákkal, és a mai napig nehéz megkülönböztetni a fiktív elemeket a történelmi valóságtól. A bizonyítékok hiányához járul az a tény, hogy Arkhimédész csak elméleti és spekulatív műveket írt.
Két híres anekdota
A kollektív képzeletben Arkhimédész két anekdotához kapcsolódik elválaszthatatlanul. Vitruvius elmondja, hogy azért kezdett el foglalkozni a hidrosztatikával, mert II. Hieron király megkérte, hogy állapítsa meg, hogy egy korona tiszta aranyból vagy más fémek felhasználásával készült-e (a korona belsejében). A probléma megoldására fürdés közben jött rá, amikor észrevette, hogy a vízben való elmerülés hatására emelkedik a vízszintje. A megfigyelés annyira boldoggá tette volna, hogy meztelenül hagyta volna el a házát, és „εὕρηκα” (èureka!, megtaláltam!) felkiáltással futott volna végig Szirakuszák utcáin. Ha nem ismertük volna a lebegő testekről szóló értekezést, akkor a Vitruvius-féle beszámolóból nem tudtunk volna következtetni az archimédeszi hidrosztatika szintjére.
Vitruvius szerint a problémát úgy oldották volna meg, hogy a korona és egy azonos súlyú arany térfogatát úgy mérték meg, hogy vízzel teli edénybe merítették őket, és megmérték a kiömlő vizet. Ez az eljárás azonban valószínűtlen, egyrészt azért, mert túl nagy hibával jár, másrészt pedig azért, mert semmi köze az Arkhimédész által kidolgozott hidrosztatikához. Egy megbízhatóbb, a késő ókorból származó rekonstrukció szerint Arkhimédész azt javasolta, hogy a koronát és egy ugyanannyi aranyat vízbe merítve mérjék meg. Ha a korona tiszta aranyból lett volna, a mérleg egyensúlyban lett volna. Mivel azonban a mérleg az arany oldalára billent, arra lehetett következtetni, hogy mivel a súlyok egyenlőek voltak, a korona nagyobb hidrosztatikus nyomásnak volt kitéve felfelé, és ezért nagyobb térfogattal kellett rendelkeznie, ami azt jelentette, hogy más fémekből kellett készülnie, mivel ezeknek a fémeknek (például az ezüstnek) kisebb a sűrűsége, mint az aranynak.
Egy másik, ugyancsak híres anekdota szerint Arkhimédész (vagy Hieron) képes volt egy általa feltalált gép segítségével egy hajót mozgatni. A kis erővel nagy súlyokat mozgatni képes gépek megépítésének képességétől elragadtatva állítólag így kiáltott fel ezen vagy más alkalommal: „Adjatok nekem egy talajt, és én felemelem a Földet”. A mondatot kisebb eltérésekkel különböző szerzők, köztük Alexandriai Pappus is idézi.
Halál legendák
A legenda Archimédesz utolsó szavait is átörökítette az utókornak, amelyeket az őt megölni készülő katonához intézett: „noli, obsecro, istum disturbare” (ne rontsd el, kérlek, ezt a rajzot). három különböző verzió Archimédesz haláláról.
Az elsőben állítólag egy római katona felszólította Arkhimédészt, hogy kövesse őt Marcellushoz; amikor az megtagadta, a katona megölte.
A másodikban egy római katona állítólag azért jött, hogy megölje Arkhimédészt, aki hiába könyörgött neki, hogy hagyja befejezni a bemutatót, amelyben részt vett.
A harmadikban állítólag katonák találkoztak Arkhimédésszel, amikor az egy dobozban tudományos eszközöket, napórákat, gömböket és négyzeteket vitt Marcellusnak; a katonák azt hitték, hogy a doboz aranyat tartalmaz, ezért megölték őt, hogy megszerezzék azt.
Titus Livius szerint Marcellus, aki ismerte és értékelte volna Arkhimédész zsenialitásának hatalmas értékét, és talán a köztársaság szolgálatában akarta volna felhasználni, mélyen elszomorodott a halála miatt. Ezek a szerzők azt mondják, hogy a tudósnak méltó temetést rendezett. Erről azonban nem számol be Polybius, akit a leghitelesebb forrásnak tartanak Szürakuszák ostromáról és kifosztásáról.
Cicero azt állítja, hogy Arkhimédész sírját egy hengerbe vésett gömbnek köszönhetően fedezte fel, amelyet állítólag a tudós kívánságai szerint faragtak ki.
Ordnance
Arkhimédész népszerűségét nagyrészt annak köszönheti, hogy a második pun háború idején hozzájárult Szirakuszák védelméhez a rómaiak ostromával szemben. Polybius, Livius és Plutarkhosz leírja az általa feltalált hadigépeket, köztük a manus ferrea-t, egy mechanikus karmot, amely képes volt felborítani az ellenséges hajókat, és az általa tökéletesített sugárfegyvereket.
A 2. században a szamoszatai Lukianosz író arról számolt be, hogy Szürakuszai ostroma (i. e. 214-212 körül) során Arkhimédész tűzzel pusztította el az ellenséges hajókat. Évszázadokkal később Trallesi Antemiosz „tűzzel működő lencséket” említ, mint Arkhimédész által tervezett fegyvereket. Az „Arkhimédész égő tükrének” nevezett eszközt azzal a céllal tervezték, hogy a napfényt a közeledő hajókra koncentrálja, és így azok lángra kapjanak.
Ennek a feltételezett fegyvernek a valóságtartalmáról már a reneszánsz óta viták folynak. René Descartes úgy vélte, hogy ez hamis, míg a modern kutatók megkísérelték újraalkotni a hatást az Archimédesz rendelkezésére álló egyetlen eszközzel. Azt feltételezték, hogy a csiszolt bronz- vagy rézpajzsok nagy csoportját tükörként használták, hogy a napfényt a hajóra fókuszálják. Ez a napkemencéhez hasonlóan a parabolikus reflexió elvét használta volna.
Az Arkhimédész égő tükrök tesztelésére irányuló kísérletet 1973-ban Ioannis Sakkas görög tudós végezte el. A kísérletre az Athén melletti Skaramagas haditengerészeti bázison került sor. Ez alkalommal 70 tükröt használtak, amelyek mindegyike rézbevonatú és körülbelül 1,5 méteres volt. A tükröket egy római hadihajó rétegelt lemezből készült másolatára irányították, körülbelül 50 méteres távolságból. Amikor a tükrök pontosan fókuszálták a napsugarakat, a hajó másodperceken belül lángra kapott. A modellen kátrányos festékréteg volt, ami segíthette az égést. Az ilyen bevonat a korabeli hajókon gyakori lehetett.
Syracuse
Moschion egy művében, amelyből Athenaeus nagy részleteket közöl, leír egy hatalmas hajót, amelyet II. Hieron király rendelt meg, és amelyet a korinthoszi Archias épített A hajót, amely az ókor legimpozánsabb hajója volt, Syracusziának nevezték. A nevét Alexandriára változtatták, amikor a szicíliai város gazdagságának demonstrálására ajándékba küldték III. Ptolemaiosz egyiptomi királynak egy rakomány gabonával együtt. Archimédesz a hajó számára egy olyan eszközt, a cochleát alkalmazta, amely lehetővé tette a víz kiszivattyúzását a raktérből, és így szárazon tartotta azt.
Vízóra
Egy arab kéziratban egy Archimédesz által tervezett zseniális vízóra leírása található. Az órában a víz kiáramlását egy úszószelep bevezetésével tartották állandó értéken.
Az óra két tartályból állt, az egyik a másik fölé magasítva. A magasabbikban volt egy csap, amely állandó vízáramlást biztosított az alsó medencébe.
Az alsó medence fölött egy forgódeszka volt, amelyre egy fonalat tekertek, amelynek a végére egy kis követ és egy úszót kötöttek.
A nap elején az alsó tartályt ki kellett üríteni, és a kötelet lefelé kellett húzni, hogy az úszó megérintse az alját, és a kő felemelkedjen a tetejére.
A vonal hosszát és a víz áramlását úgy kalibrálták, hogy 12 óra legyen, amikor az úszó a kő magasságában volt, és délután 6 óra, amikor a kő a kő alján volt.
Arkhimédész azzal a problémával szembesült, hogy a csapból való állandó áramlás fenntartásával: ahogy a felső medence kiürült, a víznyomás csökkent, és az áramlás is mérséklődött. Ezért egy harmadik, az első kettőnél magasabban lévő tartályt épített be, amely egy úszó segítségével töltötte fel a második tartályt, hogy a szint állandó maradjon, és így a nyomás is, amellyel a víz a csapból kijött.
Arkhimédésznek tulajdonítják azt is, hogy ő volt az első, aki az időt olyan fizikai mennyiségként értelmezte, amely a geometriai mennyiségek esetében használt matematikai eszközökkel elemezhető (például a Spirálokról szóló értekezésében az időintervallumokat szegmensekkel ábrázolja, és Euklidész arányelméletét alkalmazza rájuk).
Mechanikai találmányok
Athenaeus, azt mondják, hogy Arkhimédész olyan gépet tervezett, amellyel egyetlen ember képes volt egy hajót mozgatni legénységgel és rakománnyal együtt. Athenaeusnál az epizód a Szirakuszai hajó vízre bocsátására utal, míg Plutarkhosz egy szemléltető kísérletről beszél, amelyet azért végeztek, hogy az uralkodónak megmutassák a mechanika lehetőségeit. Ezek a beszámolók kétségtelenül tartalmaznak túlzásokat, de az a tény, hogy Arkhimédész kidolgozta azt a mechanikai elméletet, amely lehetővé tette a nagy mechanikai előnnyel rendelkező gépek építését, biztosítja, hogy valós alapjuk volt.
Athenaeus tanúsága szerint ő találta fel a megművelt földek öntözésére használt, Archimédész csavarjaként ismert vízszivattyúzó mechanizmust.
Andre W. Sleeswyk technikatörténész a Vitruvius által leírt kilométerórát is Arkhimédésznek tulajdonította.
A Leonardo da Vinci által leírt Architronito egy gőzágyú volt, amelynek feltalálása a szirakúzai Arkhimédészre vezethető vissza i. e. 200 körül. Úgy gondolják, hogy a gépet használták Szürakuszai ostrománál i. e. 212-ben és i. e. 49-ben, amint azt Julius Caesar is tanúsítja Marseille ostroma során.
A planetárium
Arkhimédész egyik legcsodáltabb vívmánya az ókorban a planetárium volt. A legjobb információt erről a szerkezetről Cicero szolgáltatja, aki azt írja, hogy Kr. e. 212-ben, amikor Szirakúza római csapatok által elfoglaltatott, Marcus Claudius Marcellus konzul Rómába hozott egy Archimédesz által épített szerkezetet, amely egy gömbön reprodukálta az égboltozatot, egy másik pedig a Nap, a Hold és a bolygók látszólagos mozgását jelezte előre, és így megfelelt a modern armilláris gömbnek. Cicero, aki beszámol a rendkívüli objektumot megfigyelő Gaius Sulpicius Gallus benyomásairól, hangsúlyozza, hogy Archimédesz zsenijének hogyan sikerült egyetlen forgásból létrehoznia a bolygók egymástól annyira különböző mozgását. Pappónak köszönhetően tudjuk, hogy Arkhimédész a planetárium építését a Szférák felépítéséről című elveszett művében írta le.
Az Antiküthérai gép felfedezése – egy fogaskerekes szerkezet, amely egyes kutatások szerint a Kr. e. 2. század második feléből származik, és amely azt mutatja, hogy a csillagok mozgásának ábrázolására épített mechanizmusok mennyire bonyolultak voltak – újra felélesztette az érdeklődést Arkhimédész planetáriuma iránt. Állítólag 2006 júliusában Olbiában találtak egy olyan fogaskereket, amelyről megállapítható, hogy Archimédesz planetáriumához tartozik; a leletről szóló tanulmányokat 2008 decemberében mutatták be a nyilvánosságnak. Egy rekonstrukció szerint a planetárium, amely állítólag Szirakúza hódítójának leszármazottaira szállt, Olbiában (az utazás egyik valószínű kikötőjében) veszhetett el a föld alatt, mielőtt a Marcus Claudius Marcellust (Kr. e. 166-ban konzul) Numídiába szállító hajó hajótörést szenvedett.
A pupilla átmérőjének mérése
Az Arenariusban (I. könyv, 13. fejezet), miután megemlít egy módszert a Nap szögének mérésére egy mérővonal segítségével, amelyre egy kis hengert helyezett, Arkhimédész megjegyzi, hogy az így kialakított szög (csúcspont a szemben és érintővonalak a henger és a Nap szélein) nem fejezi ki a helyes mérést, mert a pupilla mérete még nem ismert. Ezért egy második, más színű henger elhelyezésével és a szemnek a vonalzó végétől távolabbra helyezésével ily módon megkapja a pupilla átlagos átmérőjét, és következésképpen a Nap átmérőjének pontosabb becslését. A témáról szóló mégoly rövid értekezés is arra utal, hogy Arkhimédész, ahelyett, hogy Euklidész írásaihoz nyúlt volna, ebben az esetben figyelembe vette a khalkedoni Herophilosz tanulmányait is, aki több írást szentelt a szem felépítésének, amelyek mindegyike teljesen elveszett, és csak Galénosz idézetein keresztül ismert.
Arkhimédész tudományos eredményeit úgy lehet feltárni, hogy először a fennmaradt művek tartalmát, majd az elveszett művek bizonyítékait ismertetjük.
Megőrzött művek
Már a Bibliában felvetették, hogy a félkör és a sugár aránya körülbelül 3, és ezt a közelítést általánosan elfogadták.
A La misura del cerchio (A kör mértéke) című rövid művében Arkhimédész először is bemutatja, hogy a kör egyenértékű egy olyan háromszöggel, amelynek alapja megegyezik a kerület hosszával, magassága pedig a sugarával. Ezt az eredményt úgy kapjuk, hogy a kört belülről és kívülről szabályos sokszögekkel közelítjük, amelyek beírtak és körülírtak. Ugyanezzel az eljárással Arkhimédész kifejt egy módszert, amellyel a lehető legjobban meg lehet közelíteni a kerület hossza és egy adott kör átmérője közötti arányt, amelyet ma π-vel jelölünk. A kapott becslések szerint ez az érték 22
.
A Quadrature de la parabola című művében (amelyet Arkhimédész Dositeonak szentelt) egy parabolaszegmens területét számítja ki, amely egy parabola és egy szekáns által határolt, a parabola tengelyére nem feltétlenül merőleges alakzat, és megállapítja, hogy 4
Megmutatjuk, hogy a maximális beírt háromszöget egy bizonyos eljárással megkaphatjuk. A szekánsnak a két metszéspont közötti szakaszát a parabola szakaszának alapjának nevezzük. A parabola tengelyével párhuzamos és a bázis végpontjain áthaladó egyeneseket tekintjük. Ezután egy harmadik, az első két vonallal párhuzamos és tőlük egyenlő távolságra lévő vonalat húzunk.
Az utóbbi egyenes és a parabola metszéspontja határozza meg a háromszög harmadik csúcsát. Ha a legnagyobb beírt háromszöget kivonjuk a parabolaszegmensből, akkor két új parabolaszegmenst kapunk, amelyekbe két új háromszöget írhatunk be. A parabola szakaszát ezután végtelen számú háromszöggel töltjük ki.
A szükséges területet a háromszögek területének kiszámításával és a kapott végtelen kifejezések összegzésével kapjuk meg. Az utolsó lépés az 1. ok geometriai sorozatának összegzésére redukálódik.
Ez az első ismert példa egy sorozat összegére. A mű elején a ma Arkhimédész axiómájának nevezett tétel kerül bemutatásra.
Adott egy parabola AC szekáns által határolt szakasza, amelybe egy első maximális ABC háromszög van beírva.
A 2 AB és BC parabolaszegmensbe 2 másik háromszög ADB és BEC van beírva.
Ugyanígy folytassuk a négy AD, DB, BE és EC parabolaszegmenssel, hogy megalkossuk az AFD, DGB, BHE és EIC háromszögeket.
A parabola tulajdonságait felhasználva megmutatjuk, hogy az ABC háromszög területe négyszerese az ADB+BEC területének, és hogy:ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}
Minden lépés növeli a háromszög területét 1
Ezen a ponton elegendő megmutatni, hogy az így szerkesztett sokszög hatékonyan közelíti a parabola szakaszát, és hogy a háromszögek területének összege egyenlő 4
A síkok egyensúlyáról, vagy inkább: a síkok súlypontjairól, egy két könyvből álló mű, az első statikai értekezés, amely ránk maradt. Arkhimédész egy sor posztulátumot állít fel, amelyekre új tudományát alapozza, és bemutatja a kar törvényét. A posztulátumok implicit módon meghatározzák a súlypont fogalmát is, amelynek helyzetét különböző síkbeli geometriai alakzatok esetében határozzák meg.
A Spirálokról című művében, amely az egyik fő műve, Arkhimédész kinematikai módszerrel határozza meg azt, amit ma Arkhimédész spiráljának nevezünk, és két nagy jelentőségű eredményt kap. Először is kiszámítja a spirál első fordulójának területét, egy olyan módszerrel, amely megelőzi a Riemann-féle integrálást. Arkhimédész definíciója a spirálról: egy egyenes egyenes, amelynek van egy rögzített vége, egyenletesen forog; egy pont egyenletesen mozog rajta: az e pont által leírt görbe lesz a spirál.
A két könyvből álló Della sfera e del cilindro című mű fő eredményei, hogy a gömb felületének területe négyszerese a maximális kör területének, és hogy a gömb térfogata kétharmada a körülírt henger térfogatának.
Egy Plutarkhosz és Cicero által átadott hagyomány szerint Arkhimédész annyira büszke volt erre az utolsó eredményére, hogy azt akarta, hogy sírfeliratként szerepeljen a sírján.
A konoidokról és szferoidokról szóló művében Arkhimédész definiálja az ellipszoidokat, paraboloidokat és hiperboloidokat a forgás szempontjából, figyelembe veszi az ezen alakzatok síkokkal való metszéséből kapott szakaszokat, és kiszámítja a térfogatukat.
Az úszó testekről Archimédesz egyik fő műve, amellyel a hidrosztatika tudományát megalapozta. A mű két könyve közül az elsőben egy posztulátumot fogalmaz meg, amelyből a ma helytelenül Arkhimédész elvének nevezett tétel levezethető. Az úszók statikus egyensúlyi helyzetének kiszámítása mellett azt is megmutatják, hogy egyensúlyi körülmények között az óceánok vize gömb alakot vesz fel. A görög csillagászok már Parmenidész óta tudták, hogy a Föld gömb alakú, de most először itt vezetik le ezt fizikai alapelvekből.
A második könyv a lebegő paraboloid szegmensek egyensúlyi helyzetének stabilitását vizsgálja. A problémát azért választottuk, mert a tengerészeti technológiában való alkalmazása miatt érdekes, de a megoldás matematikai szempontból is nagy érdeklődésre tart számot. Az Archimedes a stabilitást két paraméter – egy alakparaméter és a sűrűség – változásával vizsgálja, és meghatározza mindkét paraméter küszöbértékeit, amelyek elválasztják a stabil és az instabil konfigurációkat. E.J. Dijksterhuis szerint ezek az eredmények „határozottan túlmutatnak a klasszikus matematika határain”.
Az Arenarius című, II. Gelonhoz címzett művében (az olasz fordítást lásd alul) Arkhimédész azt vizsgálja, hogy hány homokszem tölthetné ki az állócsillagok gömbjét. A probléma a görög számrendszerből adódik, amely nem teszi lehetővé ilyen nagy számok kifejezését. Bár ez a munka Arkhimédész legegyszerűbb matematikai technikája, több szempontból is érdekes. Először is, egy új számrendszert vezet be, amely gyakorlatilag lehetővé teszi a számok generálását, legyenek azok bármilyen nagyok. A legnagyobb említett szám a mostani 108-1016. A csillagászati kontextus ezután két fontos kitérőt indokol. Az első Arisztarkhosz heliocentrikus elméletét ismerteti, és ez a témával kapcsolatos fő forrás; a második a Nap látszólagos nagyságának pontos mérését írja le, ami az ókori kísérleti módszer ritka illusztrációja. Meg kell azonban jegyezni, hogy Arisztarkhosz heliocentrikus téziseinek megkérdőjelezése elsősorban geometriai, nem pedig csillagászati, mert még ha valóban feltételezzük is, hogy a kozmosz egy gömb, amelynek középpontjában a Föld áll, Arkhimédész rámutat, hogy a gömb középpontjának nincs nagysága, és nem lehet semmilyen kapcsolata a felszínnel; I. könyv, 6. fejezet.
Tudományos szempontból Archimédész karokkal kapcsolatos bemutatói meglehetősen innovatívak. A szicíliai tudós valójában egy szigorúan deduktív módszert alkalmaz, amely a szilárd testek egyensúlyának mechanikáján alapul. Ennek érdekében az arányok elméletével és geometriai szempontból mutatta be az egyensúlyról és a barycentrumról szóló téziseit és fogalmait. Ezekből a vizsgálatokból a kar egyensúlyi helyzetének 1. törvényét állapították meg:
Egy szegmensből és egy támaszpontból álló mérleg eszméje alapján, amelyről két test egyensúlyban lóg, megállapítható, hogy a két test súlya egyenesen arányos a testek területével és térfogatával.A legenda szerint Arkhimédész azt mondta: „Adjatok egy kart, és felemelem a világot”, miután felfedezte a karok második törvényét. Előnyös karok alkalmazásával a nehéz terhek a törvénynek megfelelően kis erővel emelhetőek:
P:R=bR:bP{displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}
ahol P{displaystyle P} a teljesítmény és R{displaystyle R} az ellenállás, míg bP{displaystyle b_{P}} és bR{displaystyle b_{R}} a megfelelő hatáskarok.
A legalább a középkor óta elveszett A mechanikai problémák módszere című rövid művet először a Heiberg által 1906-ban megtalált híres palimpszesztben olvashattuk, majd ismét elveszett, valószínűleg egy szerzetes lopta el egy kéziratátadás során, és 1998-ban fedezték fel újra. Betekintést nyújt az Arkhimédész által kutatásai során alkalmazott eljárásokba. Eratoszthenészhez szólva kifejti, hogy két módszert alkalmazott munkája során.
Miután megtalálta az eredményt, a később kimerítés módszerének nevezett módszert alkalmazta annak formális bemutatására, amire számos példát találunk más műveiben. Ez a módszer azonban nem adott kulcsot az eredmények azonosításához. Archimédesz erre a célra egy „mechanikai módszert” alkalmazott, amely statikáján és a számok végtelen számú, végtelenül kicsi részekre való felosztásának gondolatán alapult. Arkhimédész ezt a módszert nem tartotta szigorúnak, de más matematikusok javára példákat adott a terület- és térfogatmeghatározás heurisztikus értékére; például a mechanikus módszert egy parabolaszakasz területének meghatározására használják.
A módszernek filozófiai vonatkozásai is vannak, mivel azt a problémát veti fel, hogy a matematika fizikára való alkalmazását szükséges korlátnak tekinti. Arkhimédész az intuíciót használta fel az azonnali és innovatív mechanikai eredmények eléréséhez, de aztán nekilátott, hogy azokat geometriai szempontból szigorúan bizonyítsa.
Elveszett művek töredékei és tanúságtételei
A gyomorion a tangramhoz hasonló görög rejtvény, amelynek Arkhimédész egy művet szentelt, amelynek két töredéke maradt fenn, az egyik arab fordításban, a másik az Arkhimédész-palimpszesztben. A 2000-es évek elején végzett elemzések új részeket tettek lehetővé, amelyek tisztázzák, hogy Arkhimédész célja az volt, hogy meghatározza, hányféleképpen lehet az alkotóelemeket négyzet alakúra összeilleszteni. Ez egy olyan nehéz probléma, amelyben kombinatorikai szempontok összefonódnak a geometriai szempontokkal.
Az ökrök problémája két epigrammával ellátott kéziratból áll, amelyben Arkhimédész kihívja az alexandriai matematikusokat, hogy számítsák ki az Armenti del Sole ökreinek és teheneinek számát egy nyolc lineáris egyenletből álló, két kvadratikus feltételt tartalmazó rendszer megoldásával. Egyszerűen megfogalmazott diofantikus feladat, de a legkisebb megoldása 206 545 számjegyű számokból áll.
A kérdéssel 1975-ben Keith G. Calkins foglalkozott más szempontból, majd 2004-ben Umberto Bartocci és Maria Cristina Vipera, a Perugiai Egyetem két matematikusa vette fel a kérdést. A hipotézis szerint a probléma szövegének fordításában egy „apró” hiba „lehetetlenné” tett (egyesek szerint ez volt Arkhimédész szándéka) egy olyan kérdést, amelyet kissé másképp megfogalmazva a korabeli matematika módszereivel lehetett volna megoldani.
Calogero Savarino szerint nem fordítási hibáról van szó a szövegben, hanem félreértelmezésről vagy a kettő kombinációjáról.
A Lemma könyve egy elrontott arab szöveggel került le. Egy sor olyan geometriai lemma található benne, amelyek érdekességét csökkenti, hogy ma már nem ismerjük azt a kontextust, amelyben ezeket használták.
Arkhimédész megírta a Catoctrica című értekezést, amelyről közvetett információink vannak, és amely a fény visszaverődéséről szól. Apuleius azt állítja, hogy ez egy terjedelmes mű volt, amely többek között a görbe tükrökkel, égő tükrökkel és a szivárvánnyal elért nagyítással foglalkozott. Ifjabb Olympiodorus szerint a fénytörés jelenségét is tanulmányozták. Az áleuklideszi katotrikusok egyik írója Arkhimédésznek tulajdonítja a reflexiós törvények levezetését az optikai út megfordíthatóságának elvéből; logikusan gondolhatjuk, hogy ez az eredmény is ebben a műben szerepelt.
Egy elveszett művében, amelyről Pappo ad tájékoztatást, Arkhimédész tizenhárom félmerev poliéder felépítését írta le, amelyeket ma is Arkhimédészi poliédereknek neveznek (a modern terminológia szerint tizenöt Arkhimédészi poliéder van, mivel ezek közé tartozik két olyan poliéder is, amelyeket Arkhimédész nem vett figyelembe, a helytelenül Arkhimédészi prizmának és Arkhimédészi antiprizmának nevezettek).
Hero képlete, amely egy háromszög területét fejezi ki az oldalaiból, azért kapta ezt a nevet, mert Alexandriai Hero Metrica című művében szerepel, de al-Biruni tanúsága szerint a valódi szerző Archimédész, aki egy másik elveszett művében határozta volna meg. A Hero által közvetített demonstráció azért különösen érdekes, mert egy négyzetet négyzetre állítanak, ami a görög matematikában furcsa eljárás, mivel a kapott egység nem ábrázolható háromdimenziós térben.
Thābit ibn Qurra Archimedes könyveként mutatja be a J. Tropfke által lefordított arab nyelvű szöveget. A műben szereplő tételek között szerepel a szabályos heptogon megkonstruálása, ami vonalzóval és iránytűvel nem megoldható feladat.
Hipparkhosz egy szakasza, amely Archimédésznek a napfordulókra vonatkozó, Ptolemaiosz által továbbított meghatározásait idézi, arra utal, hogy ő is írt csillagászati műveket. Pappus, Heron és Simplicius különböző mechanikai értekezéseket tulajdonít neki, és több geometriai mű címét arab szerzők adták át. A mechanikus vízóra építéséről szóló könyv, amely csak arab fordításban maradt fenn, és amelyet az ál-Archimédésznek tulajdonítanak, valójában valószínűleg a bizánci Philón műve.
Az Arkhimédész-palimpszeszt egy középkori pergamen-kódex, amely a szirakuszai tudós néhány művét tartalmazza az alapul szolgáló írásmóddal. 1906-ban Johan Ludvig Heiberg dán professzor Konstantinápolyban 177 kecskebőr pergamenlapot vizsgált meg, amelyek 13. századi imákat (palimpszeszt) tartalmaztak, és felfedezte, hogy Archimédesz korábbi írásai is léteztek. A pergamen magas ára miatt akkoriban az volt a bevett gyakorlat, hogy a már megírt lapokat lekaparták, és más szövegeket írtak rájuk, újra felhasználva a hordozót. A pusztítás szerzőjének neve ismert: Johannes Myronas, aki 1229. április 14-én fejezte be az imák átírását. A palimpszeszt több száz évet töltött a konstantinápolyi kolostor könyvtárában, mielőtt 1920-ban ellopták és eladták egy magángyűjtőnek. 1998. október 29-én a Christie’s New York-i árverésén kétmillió dollárért adta el egy névtelen vevőnek.
A kódex Archimédesz hét értekezését tartalmazza, köztük az „A lebegő testekről” című mű egyetlen fennmaradt görög (bizánci) nyelvű példányát, valamint a „Mechanikai tételek módszere” című, a Suidában említett, örökre elveszettnek hitt mű egyetlen példányát. A Stomachiont is azonosították az oldalakon, pontosabb elemzéssel. A palimpszesztet a marylandi Baltimore-ban található Walters Művészeti Múzeumban tanulmányozták, ahol egy sor modern vizsgálatnak vetették alá, többek között ultraibolya és röntgensugarakkal olvasták le a mögöttes szöveget. A munka végén Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska és Nigel Wilson kiadta a The Archimedes Palimpsest (2011) című kétkötetes kiadványt: az első kötet elsősorban kodikológiai jellegű, ismerteti a kéziratokat, azok történetét, a helyreállításukhoz használt technikákat és a szövegek bemutatását; a második kötet egymás melletti oldalakon tartalmazza a kódex lefényképezett szóróoldalát a görög szöveg átiratával és az angol fordítással. A palimpszeszt lapjai fényképes képként elérhetők az interneten, de szinte lehetetlen elolvasni őket.
Arkhimédész értekezései a Palimpszesztben: A síkok egyensúlyáról, A spirálokról, A kör méréséről, A gömbről és a hengerről, A lebegő testekről, A mechanikai tételek és a sztomachion módszere. A palimpszeszt tartalmazza továbbá Hüpiridész két szónoklatát (Dionda ellen és Timander ellen), egy kommentárt Arisztotelész Kategóriáihoz (valószínűleg Porphyrus Ad Gedalium című kommentárjának egy részét), valamint ismeretlen szerzőktől Szent Pantaleon életét, két más szöveget és egy Menaiont, egy keleti egyházi szöveget a húsvéttól független ünnepekre.
A palimpszeszt lenyűgöző története valójában csak egy aspektusa az Arkhimédész művei korpuszának hagyományának, vagyis annak a folyamatnak, amelynek során művei eljutottak hozzánk.
Azzal kell kezdenünk, hogy még az ókorban sem tartották sokra a legfejlettebb szövegeit, olyannyira, hogy Eutocius (Kr. u. 6. század) úgy tűnik, nem ismerte sem a parabola kvadratúráját, sem a spirálokat. Eutocius idején, úgy tűnik, csak a Gömbről és a hengerről, a Kör mérése és a Síkok egyensúlyáról szóló két könyv volt forgalomban. Valójában úgy tűnik, hogy az arabok nem tudtak sokkal többet vagy mást, mint Arkhimédész munkája, olyannyira, hogy a latin középkorban az egyetlen forgalomban lévő arkhimédészi szöveg a Körméret különböző, arabból fordított változatai voltak.
A görög világban más volt a helyzet: a 9. században a matematikus Leó legalább három kódexet állított össze Konstantinápolyban, amelyek Arkhimédész műveit tartalmazzák: az A kódexet, a ฿ kódexet (b „gótikus”) és a C kódexet, amely a 11. században palimpszesztnek lett szánva. A és ฿ a 13. század második felében a viterbói pápai udvar könyvtárában kerültek elő: Moerbeke-i Vilmos 1269-ben Archimédész művének fordításához használta őket. Vilmos fordítását ma a ms. Ottob. Lat. 1850-ben a Vatikáni Könyvtárban, ahol Valentin Rose 1882-ben fedezte fel. A ฿ kódex (amely a C kódexen kívül az egyetlen, amely a Lebegők görög szövegét tartalmazta) 1311 után elveszett. Az A kódex más sorsra jutott: a 15. század folyamán Bessarione bíboros birtokába került, aki másolatot készíttetett róla, amelyet ma a velencei Biblioteca Nazionale Marciana őriz, majd a piacenzai humanista Giorgio Valla birtokába, aki Eutocius kommentárjából néhány rövid részletet közölt De expetendis et fugiendis rebus opus című enciklopédiájában, amely posztumusz jelent meg Velencében 1501-ben. A többször másolt A-kódex végül Rodolfo Pio bíboros birtokába került; halálakor (1564) eladták, azóta nem került elő.
A belőle fennmaradt számos másolat (és különösen a Laurenziano XXVIII,4 ms., amelyet Poliziano Lorenzo de Medici számára másolt az ókori 9. századi mintához teljes hűséggel) azonban lehetővé tette a nagy dán filológusnak, Johan Ludvig Heibergnek, hogy rekonstruálja ezt a fontos elveszett kódexet (Heiberg végleges kiadása a korpuszról 1910-15-ből származik).
Külön említést érdemel Iacopo da San Cassiano XV. század közepén készült fordítása. Heiberg nyomán eddig úgy vélték, hogy Iacopo az A-kódexet használva fordított. A legújabb tanulmányok kimutatták, hogy Iacopo az A-tól független modellt használt. Újabb tanulmányok kimutatták, hogy Iacopo az A-tól független modellt használt. Fordítása így az archimédeszi hagyomány negyedik ágát alkotja, az A, ฿ és a C palimpszeszt mellett.
Arkhimédész munkája az ókori tudomány fejlődésének egyik csúcspontját jelenti. Ebben az új elméletek megalapozásához hasznos posztulátumhalmazok azonosításának képessége a bevezetett matematikai eszközök erejével és eredetiségével, valamint a tudomány és a matematika alapjai iránti nagyobb érdeklődéssel párosul. Plutarkhosz valójában arról számol be, hogy Hierón király rábeszélte Arkhimédészt, hogy az alkalmazott szempontoknak szentelje magát, és gépeket építsen, főként harci jellegűeket, hogy konkrétabban segítse a társadalom fejlődését és biztonságát. Arkhimédész a matematikának, a fizikának és a mérnöki tudományoknak szentelte magát egy olyan korban, amikor e tudományágak közötti határvonalak még nem voltak olyan egyértelműek, mint ma, de amikor a platóni filozófia szerint a matematikának elvontnak kellett lennie, és nem alkalmazhatónak, mint az ő találmányaiban. Arkhimédész munkája tehát először jelentette a geometriai törvények fontos alkalmazását a fizikában, különösen a statikában és a hidrosztatikában.
Az ókorban a klasszikus görög és latin szerzők, például Cicero, Plutarkhosz és Seneca csodálattal és csodálkozással írtak Archimédészről és találmányairól. Ezeknek a beszámolóknak köszönhetően a késő középkorban és a kora újkorban nagy érdeklődés mutatkozott a középkorban kéziratban továbbított és olykor elveszett Arkhimédész műveinek felkutatása és visszaszerzése iránt. A római kultúrára tehát inkább Archimédesz gépei, mint matematikai és geometriai tanulmányai tettek hatást, olyannyira, hogy Carl Benjamin Boyer matematikatörténész odáig ment, hogy több mint markánsan kijelentette, hogy Cicero Archimédesz sírjának felfedezése volt a római világ legnagyobb, talán egyetlen hozzájárulása a matematikához.
Piero della Francesca, Stevino, Galilei, Kepler és mások egészen Newtonig tanulmányozták, folytatták és szisztematikusan kiterjesztették Arkhimédész tudományos tanulmányait, különös tekintettel az infinitezimális számításokra.
A kapott eredmények tanulmányozására és ellenőrzésére szolgáló modern tudományos módszer bevezetését az a módszer inspirálta, amellyel Arkhimédész követte és bizonyította intuícióit. A pisai tudós megtalálta a módját annak is, hogy az Arkhimédészéhez hasonló geometriai módszereket alkalmazzon a zuhanó testek gyorsuló mozgásának leírására, és végül sikerült felülkerekednie a szirakuszai tudós által kidolgozott, egyedül a statikus testek fizikájának leírásán. Maga Galilei írásaiban Archimédészt „mesteremnek” nevezte, annyira tisztelte munkásságát és örökségét.
Arkhimédész műveinek tanulmányozása tehát hosszú időn át foglalkoztatta a kora újkor tudósait, és fontos ösztönzést jelentett a ma ismert tudomány fejlődéséhez. Archimédésznek az elmúlt évszázadokban kifejtett hatását (például a szigorú matematikai analízis fejlődésére) a tudósok ellentmondóan ítélik meg.
Art
Raffaello Sanzio híres freskóján, Az athéni iskolában Arkhimédész geometriai tanulmányokat folytat. A képmása Donato Bramante alkotása.
A német költő, Schiller írta az Arkhimédész és a fiatalember című versét.
Arkhimédész képmása szerepel a Kelet-Németország (1973), Görögország (1983), Olaszország (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) és Spanyolország (1963) által kibocsátott bélyegeken is.
Az olasz progresszív rockzenekar, a Premiata Forneria Marconi a tudósnak szentelte a Stati di immaginazione című, Visioni di Archimede (Archimédesz látomásai) című album legújabb számát, amelyhez egy videót is készítettek, amely a tudós életét és találmányait követi nyomon.
Arkhimédész a főszereplője Francesco Grasso Il matematico che sfidò Roma című regényének (Edizioni 0111, Varese, 2014).
Tudomány
Március 14-e világszerte a pi nap ünnepe, mivel az angolszász országokban március 3-nak felel meg.
A Fields-érem, a matematikusok legmagasabb kitüntetésének hátoldalán Arkhimédész arcképe látható, a neki tulajdonított mondattal: Transire suum pectus mundoque potiri, ami lefordítva így hangzik: „Önmagunk fölé emelkedni és meghódítani a világot”.
Technológia
Az Archimede solar car 1.0, egy napenergiával működő autó, amelyet Szicíliában terveztek és építettek.
Megvalósult az Archimedes-projekt, egy Priolo Gargallo közelében található naperőmű, amely tükrök sorozatát használja az áramtermeléshez.
Múzeumok és műemlékek
Szirakuszában szobrot emeltek a tudós tiszteletére, valamint az Archimédesz Technoparkot, ahol a találmányokat reprodukálták.
Egy másik Archimédesz-szobor a berlini Treptower Parkban található.
A görögországi Archea Olympiában van egy Archimédesznek szentelt múzeum.
Cikkforrások
