Constantin Carathéodory
gigatos | január 19, 2022
Összegzés
Constantin Carathéodory (1873. szeptember 13. – 1950. február 2.) görög matematikus, aki szakmai pályafutása nagy részét Németországban töltötte. Jelentős eredményeket ért el a valós és komplex analízis, a variációszámítás és a mértékelmélet területén. Megalkotta a termodinamika axiomatikus megfogalmazását is. Karathéodoryt korának egyik legnagyobb matematikusának és az ókor óta leghíresebb görög matematikusnak tartják.
Kollégái tiszteletreméltó és művelt emberként emlékeztek rá.
Constantin Carathéodory 1873-ban született Berlinben görög szülők gyermekeként, és Brüsszelben nőtt fel. Apja, Stephanos, aki ügyvéd volt, oszmán nagykövetként szolgált Belgiumban, Szentpéterváron és Berlinben. Édesanyja, Despina, született Petrokokkinos, Híosz szigetéről származott. Az eredetileg Bosnochoriból vagy Vyssából származó Carathéodory család jól beágyazott és elismert volt Konstantinápolyban, és tagjai számos fontos kormányzati tisztséget töltöttek be.
A Carathéodory család 1874-75-ben Konstantinápolyban tartózkodott, ahol Constantin apai nagyapja élt, míg apja, Stephanos szabadságon volt. Majd 1875-ben Brüsszelbe mentek, amikor Stephanost oszmán nagykövetnek nevezték ki. Brüsszelben született Constantin kisebbik húga, Júlia. Az 1879-es év tragikusan alakult a család számára, mivel Constantin apai nagyapja ebben az évben meghalt, de ami még ennél is tragikusabb, Constantin édesanyja, Despina Cannes-ban tüdőgyulladásban meghalt. Constantin anyai nagymamája vállalta magára Constantin és Julia nevelését apja belgiumi otthonában. Egy német szobalányt alkalmaztak, aki megtanította a gyerekeket németül beszélni. Constantin ekkor már két nyelven, franciául és görögül beszélt.
Constantin 1881-ben kezdte meg hivatalos iskolai tanulmányait egy vanderstocki magániskolában. Két év után otthagyta, majd apjával együtt Berlinbe látogatott, és az 1883-84-es és 1884-85-ös telet is az olasz Riviérán töltötte. 1885-ben visszatért Brüsszelbe, ahol egy évig gimnáziumba járt, ahol először kezdett el érdeklődni a matematika iránt. 1886-ban belépett az Athénée Royal d’Ixelles gimnáziumba, ahol 1891-es érettségiig tanult. Az iskolában töltött idő alatt Constantin kétszer is elnyerte a Belgium legjobb matematika tanulójának járó díjat.
Ebben a szakaszban Carathéodory megkezdte a katonai mérnöki képzést. 1891 októberétől 1895 májusáig a belga katonai főiskolán tanult, 1893-tól 1896-ig pedig az École d’Applicationben. 1897-ben háború tört ki az Oszmán Birodalom és Görögország között. Ez nehéz helyzetbe hozta Carathéodoryt, mivel a görögök oldalára állt, apja azonban az Oszmán Birodalom kormányát szolgálta. Mivel képzett mérnök volt, a brit gyarmati szolgálatban ajánlottak neki állást. Ez az állás Egyiptomba vitte, ahol 1900 áprilisáig az assziuti gát építésén dolgozott. Azokban az időszakokban, amikor az áradások miatt az építkezésnek le kellett állnia, matematikát tanult néhány nála lévő tankönyvből, például Jordan Cours d’Analyse című művéből és Salmon kúpszögmetszetek analitikus geometriájáról szóló szövegéből. Meglátogatta a Kheopsz-piramist is, és méréseket végzett, amelyeket 1901-ben leírt és közzétett. Ugyanebben az évben Egyiptomról szóló könyvet is kiadott, amely az ország történelméről és földrajzáról tartalmazott rengeteg információt.
Carathéodory mérnöki tanulmányokat folytatott Belgiumban a Királyi Katonai Akadémián, ahol karizmatikus és briliáns diáknak tartották.
Doktorandusz hallgatók
Carathéodorynak mintegy 20 doktorandusza volt, köztük Hans Rademacher, aki az analízis és a számelmélet területén végzett munkájáról ismert, valamint Paul Finsler, aki a Finsler-tér megalkotásáról ismert.
Akadémiai kapcsolatok Németországban
Carathéodory németországi kapcsolatai sokrétűek voltak, és olyan híres nevek tartoztak hozzájuk, mint: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Fejér Lipót. A második világháború nehéz időszakában a Bajor Tudományos Akadémián Perron és Tietze voltak a közeli munkatársai.
Einstein, aki akkoriban a berlini Porosz Tudományos Akadémia tagja volt, az általános relativitáselméletén dolgozott, amikor kapcsolatba lépett Carathéodoryval, és a Hamilton-Jacobi egyenlet és a kanonikus transzformációk tisztázását kérte. Az előbbi kielégítő levezetését és az utóbbi eredetét szerette volna látni. Einstein azt mondta Carathéodory-nak, hogy a levezetése „gyönyörű”, és javasolta annak közzétételét az Annalen der Physik című folyóiratban. Einstein 1917-ben Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Sommerfeld és Epstein kvantumtételéről) című tanulmányában alkalmazta az előbbit. Carathéodory kifejtette a kanonikus transzformációk néhány alapvető részletét, és Einsteint E. T. Whittaker Analytical Dynamics című művére utalt. Einstein a „zárt idővonalak” vagy a fény és a szabad részecskék zárt pályájának megfelelő geodéziák problémáját próbálta megoldani egy statikus univerzumban, amelyet 1917-ben mutatott be.
Landau és Schwarz ösztönözte érdeklődését a komplex analízis tanulmányozása iránt.
Akadémiai kapcsolatok Görögországban
Németországban tartózkodása alatt Carathéodory számos kapcsolatot tartott fenn a görög tudományos világgal, amelyekről részletes információkat Georgiadou könyvében olvashatunk. Közvetlenül részt vett a görög egyetemek átszervezésében. Athénban különösen közeli barátja és kollégája volt Nikolaosz Kritikosz, aki Göttingenben részt vett előadásain, később vele együtt ment Szmirnába, majd az athéni politechnikum professzora lett. Kritikos és Carathéodory segítettek a görög topológusnak, Christos Papakyriakopoulosnak abban, hogy 1943-ban, igen nehéz körülmények között doktorálhasson topológiából az athéni egyetemen. Az athéni egyetemen tanítva Carathéodory egyetemi hallgatója volt Evangelos Stamatis, aki később az ókori görög matematikai klasszikusok tudósaként jelentős érdemeket szerzett.
Variációszámítás
Doktori disszertációjában Carathéodory megmutatta, hogyan lehet a megoldásokat kiterjeszteni a nem folytonos esetekre, és izoperimetrikus problémákat vizsgált.
Korábban, az 1700-as évek közepe és az 1800-as évek közepe között Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre és Carl Gustav Jacob Jacobi képesek voltak szükséges, de elégtelen feltételeket megállapítani az erős relatív minimum létezésére. Karl Weierstrass 1879-ben egy negyediket is hozzátett, amely valóban garantálja egy ilyen mennyiség létezését. Carathéodory az elégséges feltételek levezetésére szolgáló módszerét a Hamilton-Jacobi egyenlet használatára alapozva konstruálta meg a szélsőértékek mezőjét. Az elképzelések szorosan kapcsolódnak a fényterjedéshez az optikában. A módszer a Carathéodory-féle egyenértékű variációs problémák módszere vagy a variációszámításhoz vezető királyi út néven vált ismertté. Carathéodory e témában végzett munkájának egyik legfontosabb előnye, hogy megvilágítja a variációszámítás és a parciális differenciálegyenletek közötti kapcsolatot. Lehetővé teszi a variációszámítás szufficienciafeltételeinek gyors és elegáns levezetését, és közvetlenül elvezet az Euler-Lagrange-egyenlethez és a Weierstrass-feltételhez. A Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Variációszámítás és elsőrendű parciális differenciálegyenletek) című művét 1935-ben adta ki.
A közelmúltban Carathéodory variációszámítással és a Hamilton-Jacobi egyenletekkel kapcsolatos munkája bekerült az optimális szabályozás és a dinamikus programozás elméletébe. A módszer többszörös integrálokra is kiterjeszthető.
Konvex geometria
Carathéodory tétele a konvex geometriában azt állítja, hogy ha az Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}}} egy x{displaystyle x} pontja a P{displaystyle P} halmaz konvex burkában fekszik, akkor x{displaystyle x} felírható a P{displaystyle P} legfeljebb d+1 {displaystyle d+1} pontjának konvex kombinációjaként. Van ugyanis a P{displaystyle P}-nek egy P′{displaystyle P’} részhalmaza, amely d+1{displaystyle d+1} vagy kevesebb pontból áll, úgy, hogy x{displaystyle x} a P′{displaystyle P’} konvex burkában fekszik. Ennek megfelelően x{displaystyle x} egy r{displaystyle r}-simplexben fekszik, amelynek csúcsai P{displaystyle P}-ben vannak, ahol r≤d{displaystyle rleq d}. Az a legkisebb r{displaystyle r}, amely az utolsó állítást a P konvex burkában lévő minden x{displaystyle x}-re érvényesnek teszi, a P{displaystyle P} Carathéodory-számaként definiálható. A P{displaystyle P} tulajdonságaitól függően a Carathéodory-tétel által megadottnál alacsonyabb felső korlátokat is kaphatunk.
Neki tulajdonítják a Carathéodory-féle feltételezés szerzőségét, amely szerint egy zárt konvex felület legalább két köldökpontot ismer el. Ez a feltételezés 2021-ig nem nyert bizonyítást, annak ellenére, hogy nagyszámú kutatást vonzott.
Valós elemzés
Bizonyított egy létezési tételt a közönséges differenciálegyenletek megoldására enyhe szabályossági feltételek mellett.
Egy másik tétele a függvény deriváltjáról egy pontban felhasználható a láncszabály és az inverz függvények deriváltjára vonatkozó képlet bizonyítására.
Komplex analízis
Nagymértékben kiterjesztette a konformális transzformáció elméletét, bizonyítva tételét a konformális leképezés kiterjesztéséről a Jordan-tartományok határára. A határfelületi megfeleltetések tanulmányozása során ő alkotta meg a prímvégek elméletét. Kiállította a Schwarz-lemma elemi bizonyítását.
Carathéodory a többszörös komplex változók függvényeinek elmélete iránt is érdeklődött. E témában végzett vizsgálatai során az egyváltozós eset klasszikus eredményeinek analógiáit kereste. Bebizonyította, hogy egy C2 gömb displaystyle mathbb {C} ^{2}} nem holomorfikusan ekvivalens a bidiszkkal.
A mértékegységek elmélete
Neki tulajdonítják a Carathéodory-féle kiterjesztési tételt, amely alapvető fontosságú a modern mértékelméletben. Később Carathéodory kiterjesztette az elméletet a halmazokról a Boole-algebrákra.
Termodinamika
A termodinamika már belgiumi tartózkodása óta kedves téma volt Carathéodory számára. 1909-ben publikálta „Vizsgálatok a termodinamika alapjairól” című úttörő művét, amelyben axiomatikusan, azaz Carnot-motorok és hűtőgépek használata nélkül, kizárólag matematikai érveléssel fogalmazta meg a termodinamika második törvényét. Ez a második törvény egy újabb változata Clausius, valamint Kelvin és Planck megállapításai mellett. Carathéodory változata felkeltette a kor néhány vezető fizikusának, köztük Max Plancknak, Max Bornnak és Arnold Sommerfeldnek a figyelmét. Bailyn termodinamikáról szóló áttekintése szerint Carathéodory megközelítését inkább „mechanikusnak”, mint „termodinamikusnak” nevezik. Max Born elismerően nyilatkozott erről a „termodinamika első axiomatikusan merev alapjáról”, és Einsteinhez írt leveleiben lelkesedésének adott hangot. Max Plancknak azonban voltak aggályai, mivel bár lenyűgözte Carathéodory matematikai jártassága, nem fogadta el, hogy ez egy alapvető megfogalmazás, tekintettel a második törvény statisztikai természetére.
Elméletében leegyszerűsítette az alapfogalmakat, például a hő nem esszenciális, hanem származtatott fogalom. Megfogalmazta a termodinamikában az irreverzibilitás axiomatikus elvét, amely szerint az állapotok elérhetetlensége az entrópia létezésével függ össze, ahol a hőmérséklet az integrációs függvény. A termodinamika második törvényét a következő axiómán keresztül fogalmazta meg: „Bármely kiindulási állapot szomszédságában vannak olyan állapotok, amelyeket adiabatikus állapotváltozások révén nem lehet tetszőlegesen közelíteni”. Ezzel kapcsolatban alkotta meg az adiabatikus elérhetőség fogalmát.
Optika
Carathéodory optikai munkássága szorosan kapcsolódik a variációszámításban alkalmazott módszeréhez. 1926-ban szigorú és általános bizonyítást adott arra, hogy lencsék és tükrök egyetlen rendszere sem tudja elkerülni az aberrációt, kivéve a sík tükrök triviális esetét. 1926-ban adta meg a Schmidt-teleszkóp elméletét, későbbi munkájában pedig a Schmidt-teleszkóp elméletét. Carathéodory Geometrische Optik (1937) című művében Cauchy karakterisztikaelméletének segítségével bizonyította a Huygens-elv és a Fermat-elv egyenértékűségét az előbbiből kiindulva. Úgy érvelt, hogy megközelítésének fontos előnye, hogy lefedi Henri Poincaré és Élie Cartan integrálinvariánsait, és kiegészíti a Malus-törvényt. Kifejtette, hogy Pierre de Fermat optikai vizsgálatai során az alexandriai Hero által megfogalmazott elvhez hasonló minimumelvet fogalmazott meg a reflexió tanulmányozására.
Történelmi
A második világháború alatt Carathéodory szerkesztette Euler Összes műveinek két kötetét, amelyek a variációszámítással foglalkoztak, és amelyeket 1946-ban adtak ki.
Abban az időben Athén volt az egyetlen jelentős oktatási központ a tágabb térségben, és korlátozott kapacitással rendelkezett ahhoz, hogy kielégítse az Égei-tenger keleti részének és a Balkánnak a növekvő oktatási igényeit. Constantin Carathéodory, aki akkoriban a berlini egyetem professzora volt, egy új egyetem létrehozását javasolta – a konstantinápolyi görög egyetem létrehozásával kapcsolatos nehézségek miatt három másik várost vett fontolóra: Szaloniki, Khiosz és Szmirna.
Eleftherios Venizelos görög miniszterelnök felkérésére 1919. október 20-án tervet nyújtott be egy új egyetem létrehozására a kis-ázsiai Szmirnában, amely a szmirnai Jón Egyetem nevet kapta volna. 1920-ban Carathéodory-t kinevezték az egyetem dékánjává, és jelentős szerepet vállalt az intézmény létrehozásában, bejárta Európát, hogy könyveket és felszerelést vásároljon. Az egyetem azonban a szmirnai nagy tűzvészben végződő kis-ázsiai háború miatt valójában soha nem vett fel diákokat. Carathéodorynak sikerült megmentenie a könyvtárból a könyveket, és csak az utolsó pillanatban mentette meg egy újságíró, aki csónakkal vitte át a készenlétben álló Naxos csatahajóra. Carathéodory Athénba hozta az egyetemi könyvtár egy részét, és Athénban maradt, ahol 1924-ig tanított az egyetemen és a műszaki iskolában.
1924-ben Carathéodory a müncheni egyetem matematika professzorává nevezték ki, és ezt a pozíciót 1938-as nyugdíjazásáig töltötte be. Később a Bajor Tudományos Akadémián dolgozott 1950-ben bekövetkezett haláláig.
A Karathéodory által eredetileg elképzelt új görög egyetem a délkelet-mediterrán térség tágabb területén végül a szaloniki Arisztotelész Egyetem 1925-ös megalapításával valósult meg.
Carathéodory kitűnt a nyelvek terén, akárcsak családjának számos tagja. A görög és a francia volt az első nyelve, a németet pedig olyan tökéletesen sajátította el, hogy német nyelven írt írásai stilisztikai remekművek. Karathéodory minden erőfeszítés nélkül beszélt és írt angolul, olaszul, törökül és az ókori nyelveket is. Ez a lenyűgöző nyelvi arzenál lehetővé tette számára, hogy számos utazása során közvetlenül kommunikáljon és eszmét cseréljen más matematikusokkal, és nagymértékben bővítette ismeretkörét.
Ennél sokkal több, Carathéodory a müncheni filozófiai tanszék professzortársai számára értékes beszélgetőpartner volt. A nagy tekintélyű, német filológus, az ókori nyelvek professzora, Kurt von Fritz méltatta Carathéodoryt, mondván, hogy tőle végtelenül sokat lehetett tanulni a régi és az új Görögországról, a régi görög nyelvről és a hellén matematikáról. Fritz számos filozófiai vitát folytatott Carathéodoryval.
A görög nyelvet kizárólag Carathéodory házában beszélték – fia, Stephanos és lánya, Despina német gimnáziumba jártak, de naponta kaptak kiegészítő oktatást a görög nyelv és kultúra terén egy görög paptól. Otthon nem beszélhettek más nyelven.
Carathéodory tehetséges szónok volt, és gyakran hívták meg beszédeket tartani. 1936-ban ő volt az, aki a matematikusok nemzetközi kongresszusának ülésén Oslóban (Norvégia) átadta az első Fields-érmeket.
Érdemei elismeréseként 2002-ben a Müncheni Egyetem a matematikai intézet egyik legnagyobb előadótermét Constantin-Carathéodory előadóteremnek nevezte el.
Nea Vyssa városában, ahonnan a Caratheodory család származik, található az egyedülálló Caratheodory családi múzeum. A múzeum a város központi terén, a templom közelében található, és Constantin számos személyes tárgya, valamint az A. Einsteinnel váltott levelei is megtekinthetők, további információkért látogasson el a klub eredeti honlapjára http:
A múzeum koordinátora, Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης) megjegyezte, hogy a múzeum otthont adott a matematikus mintegy 10 000 oldalnyi eredeti kéziratának, köztük Carathéodory levelezésének Arthur Rosenthal német matematikussal a mérték algebraizálásáról. A látogatók a vitrinekben megtekinthetik a ” Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4 „, ” Mass und ihre Algebraiserung „, ” Reelle Functionen Band 1 „, ” Zahlen
A múzeum további kiállítási tárgyakkal való felszerelésére irányuló erőfeszítések folyamatban vannak.
Folyóiratcikkek
Carathéodory folyóiratcikk-közleményeinek teljes listája megtalálható a Collected Works(Ges. Math. Schr.) című gyűjteményes kötetben. Figyelemre méltó publikációi a következők:
Konferenciák
Cikkforrások
