Eukleidész (matematikus)

Dimitris Stamatios | április 2, 2023

Összegzés

Eukleidész (görög Εὐκλείδης, Eukleidēs, latin Euclīdēs) görög matematikus és geometrikus (Kr. e. 325 körül – Kr. e. 265 körül). Úgy ismerik, mint „a geometria atyja”. Alexandriában (ókori Egyiptom) tevékenykedett I. Ptolemaiosz Szoter (Kr. e. 323 – Kr. e. 283) idején. Ő volt a város matematikai iskolájának alapítója.

Leghíresebb műve az Elemek, amelyet gyakran a matematika történetének legsikeresebb tankönyvének tartanak. A geometriai objektumok és a természetes számok tulajdonságait egy kis axiómakészletből vezeti le. Ez a mű, az egyik legrégebbi ismert értekezés, amely szisztematikusan, bizonyításokkal együtt mutatja be a geometria és az elméleti aritmetika tételeinek nagy részét, több száz kiadást ért meg minden nyelven, és témái ma is számos országban a középfokú matematikaoktatás alapját képezik. Euklidész neve Euklidész algoritmusából, az euklideszi geometriából (és a nem euklideszi geometriából), valamint az euklideszi osztásból ered. Írt továbbá a perspektíváról, a kúpszelvényekről, a gömbi geometriáról és a számelméletről.

Életéről keveset tudunk, mivel Alexandriában (egy észak-egyiptomi városban) élt I. Ptolemaiosz uralkodása alatt. Egyes arab szerzők azt állítják, hogy Eukleidész Tíruszban született és Damaszkuszban élt. Egyes arab szerzők azt állítják, hogy Euklidész Tíruszban született és Damaszkuszban élt. Euklidész életéről nincs közvetlen forrás: sem levél, sem önéletrajzi beszámoló (még egy mű előszava formájában sem), sem hivatalos dokumentum, de még kortársai egyikének utalása sem. Ahogy Peter Schreiber matematikatörténész összegzi: „Euklidész életéről egyetlen biztos tény sem ismert. Naucrátész fia volt, és három hipotézist állítottak fel:

Euklidész valószínűleg Platón akadémiáján tanult, ahol elsajátította tudásának alapjait.

Proklosz, az utolsó nagy görög filozófus, aki 450 körül élt, fontos kommentárokat írt az Elemek I. könyvéhez. Ezek a kommentárok értékes információforrást jelentenek a görög matematika történetéhez. Így például tudjuk, hogy Eukleidész összegyűjtötte a cnidusi Eudoxusnak az aránytanról szóló, valamint a szabályos poliéderekről szóló, Theaitétosztól származó hozzászólásait.

Az Euklidész életére vonatkozó legrégebbi ismert írás a neoplatonista filozófus Proclusnak, az Elemek első könyvének kommentátorának a geometria történetéről szóló, a Kr. u. 5. században írt összefoglalójában jelenik meg. Maga Proklosz nem ad meg semmilyen forrást a jelzéseihez. Csak annyit mond: „összegyűjti Elemeit, és megdönthetetlen bizonyításokban idézi fel azt, amit elődei lazán tanítottak. Ez az ember viszont az első Ptolemaiosz alatt élt, hiszen Arkhimédész említi Eukleidészt. Eukleidész tehát újabb keletű Platón tanítványainál, de régebbi, mint Arkhimédész és Eratoszthenész”.

Ha elfogadjuk a Proclus által megadott kronológiát, akkor Eukleidész Platón és Arkhimédész között élt, és I. Ptolemaiosz kortársa volt, i. e. 300 körül.

Ezt a néhány mondatot egyetlen dokumentum sem cáfolja, de nem is igazán erősíti meg. Eukleidész közvetlen említése Arkhimédész műveiről egy kétségesnek tartott szövegből származik.

Arkhimédész hivatkozik az Elemek néhány eredményére és egy, az Elephantine szigetén talált, Kr. e. III-ra datált ostrachusra: ez az Elemek XIII. könyvében tanulmányozott alakzatokkal foglalkozik, mint például a tízszög és az ikozaéder, de anélkül, hogy pontosan reprodukálná az euklideszi állításokat; ezek tehát Eukleidész előtti forrásokból származhatnak. Az i. e. 300-as hozzávetőleges dátumot azonban összeegyeztethetőnek tartják az euklideszi mű tartalmának elemzésével, és a matematikatörténészek ezt a dátumot fogadják el.

Másrészt van egy utalás Papo alexandriai matematikustól Kr. u. IV-ben, amely arra utal, hogy Eukleidész tanítványai Alexandriában taníthattak. Egyes szerzők ezen az alapon Eukleidészt az alexandriai Museionnal hozták kapcsolatba, de egyetlen hivatalos dokumentumban sem szerepel. Az antikvitásban Eukleidészhez gyakran társított melléknév egyszerűen Sztoitxeiotes, az Elemek szerzője.

Számos anekdota kering Eukleidészről, de mivel más matematikusok esetében is előfordulnak, nem tekintik őket valósnak: például a híres, Proclus által magyarázott anekdota, amely szerint Eukleidész azt válaszolta volna Ptolemaiosznak – aki az Elemeknél egyszerűbb utat akart -, hogy a geometriában nincsenek valódi utak; ugyanennek az anekdotának egy változatát Menecmusnak és Nagy Sándornak is tulajdonítják. Hasonlóképpen, a késő ókortól kezdve különböző részletekkel egészítették ki az Euklidész életéről szóló beszámolókat, új források nélkül, és gyakran ellentmondásos módon. Egyes szerzők szerint Eukleidész Tíruszban született, mások szerint Gélában; különböző genealógiákat, bizonyos mestereket, különböző születési és halálozási időpontokat tulajdonítanak neki, hogy tiszteletben tartsák a műfaj szabályait, vagy hogy bizonyos értelmezéseknek kedvezzenek. A középkorban és a reneszánsz kezdetén a matematikus Eukleidészt gyakran összekeverik Platón kortárs filozófusával, a megarai Eukleidésszel.

Az Eukleidésznek tulajdonított művek említései több szerzőnél is előfordulnak, különösen Pappus matematikai gyűjteményében (általában a 3. vagy 4. századra keltezve) és Proclus Eukleidész Elemekhez írt kommentárjában. Ezeknek a műveknek csak egy része maradt fenn napjainkig.

Öt műve maradt ránk: Data, A felosztásokról, Katoptrika, Az égbolt megjelenései és Optika. Arab forrásokból több mechanikai értekezést is Euklidésznek tulajdonítanak. A Nehézről és a könnyűről kilenc definícióban és öt tételben tartalmazza a testek mozgásáról szóló arisztotelészi elképzeléseket és a fajsúly fogalmát. Az On Equilibrium szintén axiomatikus módon, egy definícióval, két axiómával és négy tétellel foglalkozik a kar elméletével. Egy harmadik töredék, a mozgatható kar végei által leírt körökről, négy tételt tartalmaz. Ez a három mű oly módon egészíti ki egymást, hogy azt feltételezik, hogy egy Euklidész által írt, mechanikáról szóló egyetlen értekezés maradványai.

Az elemek

Elemek című műve a világ egyik legismertebb tudományos alkotása, amely az akkori akadémiai világban tanított ismeretek gyűjteménye volt. Az Elemek nem az összes geometriai ismeret kompendiuma volt, ahogyan azt néha gondolják, hanem inkább egy bevezető szöveg, amely az összes elemi matematikát, azaz a számtant, a szintetikus geometriát és az algebrát felölelte.

Az Elemek tizenhárom könyvre vagy fejezetre oszlik, amelyek közül az első féltucat az elemi síkgeometriáról, a következő három a számelméletről, a X. könyv az összehasonlíthatatlanokról, az utolsó három pedig főként a szilárd testek geometriájáról szól.

A geometriával foglalkozó könyvekben az egyenesek és síkok, körök és gömbök, háromszögek és kúpok stb., azaz a szabályos alakzatok tulajdonságainak tanulmányozása formális módon, mindössze öt posztulátumból kiindulva történik. Valószínűleg az Elemek egyik eredményét sem Euklidész mutatta be először, de az anyag megszervezése és kifejtése kétségtelenül neki köszönhető. Valójában sok bizonyíték utal arra, hogy Euklidész korábbi tankönyveket használt Az elemek megírásakor, mivel számos olyan definíciót mutat be, amelyeket nem használ, például a hosszúkás, a rombusz és a rombusz definícióját. Euklidész tételei azok, amelyeket általában a modern iskolában tanulnak. Hogy néhányat idézzünk a legismertebbek közül:

Az Elemek VII., VIII. és IX. könyve az oszthatóság elméletét tárgyalja. A tökéletes számok és a Mersenne-prímek közötti kapcsolatot (az Euklidész-Euler-tétel néven ismert), a prímszámok végtelenségét (Euklidész-tétel), Euklidész faktorizációra vonatkozó lemmáját (amely a számtani alaptételhez vezet a prímek faktorizációinak egyediségéről) és Euklidész algoritmusát két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására.

Euklidész geometriája, amellett, hogy a deduktív gondolkodás hatékony eszköze, rendkívül hasznos volt a tudás számos területén, például a fizikában, a csillagászatban, a kémiában és a különböző mérnöki területeken. A matematikában minden bizonnyal nagyon hasznos. Euklidész előadásának harmóniáján felbuzdulva a második században fogalmazódott meg a ptolemaioszi elmélet, amely szerint a Föld a világegyetem középpontja, és a bolygók, a Hold és a Nap tökéletes vonalakban, azaz körökben és körök kombinációiban keringenek körülötte. Euklidész elképzelései azonban jelentős elvonatkoztatást jelentenek a valóságtól. Például feltételezi, hogy egy pontnak nincs mérete; hogy egy vonal pontok halmaza, amelynek se szélessége, se vastagsága, csak hossza van; hogy egy felületnek nincs vastagsága, és így tovább. Mivel egy pontnak Euklidész szerint nincs mérete, a dimenziója nulla. Egy vonalnak csak hossza van, ezért egy dimenzióval egyenlő dimenziót kap. Egy felületnek nincs vastagsága, nincs magassága, ezért két dimenzióval rendelkezik: szélesség és hosszúság. Végül egy szilárd test, például egy kocka, három dimenzióval rendelkezik: hossz, szélesség és magasság. Eukleidész az Elemek című könyvében próbálta összefoglalni az összes matematikai ismeretet. Euklidész geometriája olyan mű volt, amely egészen a 19. századig változatlanul fennmaradt.

A kiinduló axiómák közül csak a párhuzamossági axióma tűnt kevésbé egyértelműnek. Különböző matematikusok sikertelenül próbáltak megszabadulni ettől az axiómától úgy, hogy megpróbálták levezetni a többi axiómából. Megpróbálták tételként bemutatni, de nem jártak sikerrel.

Végül egyes szerzők a párhuzamossági axióma érvénytelenítésén vagy helyettesítésén alapuló új geometriákat alkottak, így jöttek létre a „nem-euklideszi geometriák”. E geometriák fő jellemzője, hogy a párhuzamosok axiómájának megváltoztatásával a háromszögek szögei már nem adódnak össze 180 fokra.

Az Adat (Δεδομένα) Euklidész egyetlen másik olyan műve, amely geometriával foglalkozik, és amelynek görög nyelvű változata fennmaradt (például a Peyrard által felfedezett X. kéziratban). Részletesen ismerteti Papo matematikai gyűjteményének VII. könyve, az „Analízis kincstára” is, amely szorosan kapcsolódik az Elemek első négy könyvéhez. A geometriai problémákban megadott információk típusával és természetével foglalkozik. Az adatokat a síkgeometria keretei közé helyezi, és a történészek az Elemek kiegészítésének tekintik, a problémák elemzéséhez jobban illeszkedő formában. A mű 15 definíciót tartalmaz, és elmagyarázza, hogy mit jelent egy geometriai tárgy, helyzetét, alakját, méretét és 94 tételt. Ezek megmagyarázzák, hogy ha egy alakzat egyes elemei adottak, akkor más viszonyok vagy elemek is meghatározhatók.

A divíziókról

Ez a mű (vannak latin nyelvű darabok (De divisionibus), de mindenekelőtt van egy 19. században felfedezett arab nyelvű kézirat, amely 36 tételt tartalmaz, amelyek közül négy bizonyított.

Geometriai alakzatok két vagy több egyenlő részre vagy adott arányú részekre való felosztásával foglalkozik. Hasonlít Alexandriai Hérón Kr. u. 3. századi művéhez. Ebben a művében olyan egyeneseket próbál konstruálni, amelyek adott alakzatokat adott arányokra és alakzatokra osztanak. Például adott egy háromszög és a háromszög belsejében egy pont, és arra kéri, hogy konstruáljunk egy egyenest, amely áthalad a ponton, és a háromszöget két egyenlő területű alakzatra vágja; vagy adott egy kör, és konstruáljunk két párhuzamos egyenest úgy, hogy a körnek az általuk határolt része a kör területének egyharmadát tegye ki.

A tévhitekről (Pseudaria)

A tévedésekről (Περὶ Ψευδαρίων), az érvelési hibákról szóló szöveg elveszett mű, amelyet csak Proklosz leírásából ismerünk. Szerinte a mű célja az volt, hogy a kezdőket hozzászoktassa a hamis érvelés felismeréséhez, különösen azokéhoz, amelyek a deduktív érvelést imitálják, és így az igazság látszatát keltik. Példákat adott a párhuzamosságokra.

Négy könyv a kúpos metszetekről

Négy könyv a kúpos metszetekről (Κωνικῶν Βιβλία) mára elveszett. Ez a kúpszögmetszetekről szóló mű volt, amelyet a pergai Apollóniosz egy ugyanerről szóló híres könyvben bővített ki. Valószínű, hogy Apollonius művének első négy könyve közvetlenül Eukleidésztől származik. Papo szerint „Apollóniosz, miután befejezte Eukleidész négy könyvét a kúpszelvényekről, és még négyet hozzáfűzött, nyolc kötetet hagyott hátra a kúpszelvényekről”. Apollonius kónikái gyorsan felváltották az eredeti művet, és Papo idejére Eukleidész munkája elveszett.

Három könyv a porizmusokról

A porizmusok három könyve (Πορισμάτων Βιβλία) talán a kúpszelvényekről szóló munkájának kiterjesztése volt, de a cím jelentése nem világos. Ez a mű elveszett. A művet Proclus két helyen is megidézi, és mindenekelőtt a Pappus Gyűjtemény VII. könyvében, az „Analízis kincstárában” hosszasan bemutatja, mint az analitikus szemlélet jelentős és messzemenő példáját. A porisma szónak többféle használata van: Pappus szerint itt a tételek és a problémák közötti köztes típusú kijelentést jelölné. Euklidész műve 171 ilyen állítást és 38 lemma tartalmazott volna. Papos példákat hoz, például: „ha két adott pontból kiindulva egy adott egyenest metsző egyeneseket rajzolunk, és ha ezek közül az egyik egy adott egyenesre vág egy szakaszt, akkor a másik ugyanezt egy másik egyenesre is megteszi, a két vágott szakasz közötti rögzített viszony mellett. Annak értelmezése, hogy pontosan mit is jelent a porizmus, és esetleg Euklidész művének állításainak egészének vagy egy részének visszaállítása a Pappus által hátrahagyott információkból, számos matematikust foglalkoztatott: a legismertebb kísérletek Pierre Fermaté a 17. században, Robert Simsoné a 18. században, és mindenekelőtt Michel Chaslesé a 19. században. Ha Chasles rekonstrukcióját a történészek ma már nem is veszik komolyan mint olyat, a matematikusnak lehetőséget adott az anharmonikus reláció fogalmának kidolgozására.

Két könyv a geometriai helyekről

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ geometriai helyekről szólt felszíneken, vagy geometriai helyekről, amelyek maguk is felületek voltak. Egy későbbi értelmezés szerint feltételezhető, hogy a mű kvadrikus felületekről szólhatott. Ez is egy elveszett, két könyvből álló mű, amelyet Pappus elemzésének kincstárában említenek. A Proklosznál vagy Pappónál Eukleidész e helyzeteiről adott jelzések nem egyértelműek, és a műben feltett pontos kérdés nem ismert. Az ókori görög matematika hagyományában a helyek olyan pontok halmazai, amelyek egy adott tulajdonságot igazolnak. Ezek a halmazok gyakran egyenesek vagy kúpszögmetszetek, de lehetnek például sík felületek is. A legtöbb történész becslése szerint Euklidész helyei lehetnek forgásfelületek, gömbök, kúpok vagy hengerek.

Az égbolt megjelenése

Az égbolt vagy jelenségek (# Φαινόμενα) egy görög nyelven fennmaradt, a helymeghatározó csillagászatról szóló értekezés. A mű meglehetősen hasonlít Autolytosz egyik művéhez (A gömb fogalmáról), és a gömb geometriájának a csillagászatban való alkalmazását tárgyalja, és görögül maradt fenn, több kéziratos változatban, amelyek közül a legrégebbi a 10. századból származik. Ez a szöveg az úgynevezett „kis csillagászatot” magyarázza, szemben a Ptolemaiosz Nagy Összeállításában (az Almagestben) tárgyalt témákkal. 18 tételt tartalmaz, és közel áll a pitanai Autolytosz ugyanezen témában fennmaradt műveihez.

Optika

Az optika (Ὀπτικά) a legrégebbi fennmaradt görög értekezés, több változatban, olyan problémáknak szentelve, amelyeket ma perspektivikusnak mondanánk, és látszólag a csillagászatban való felhasználásra szánták, az Elemek formáját ölti: 58 tétel folytatása, amelyek bizonyítása a szöveg elején közölt definíciókon és posztulátumokon nyugszik. Definícióiban Eukleidész a platóni hagyományt követi, amely szerint a látást a szemből kiinduló sugarak okozzák. Euklidész leírja egy tárgy látszólagos méretét a szemtől való távolságának függvényében, és megvizsgálja a hengerek és kúpok látszólagos alakját különböző szögekből nézve.

Euklidész megmutatja, hogy az egyenlő tárgyak látszólagos mérete nem arányos a szemünktől való távolságukkal (8. tétel). Megmagyarázza például a gömb (és más egyszerű felületek) látását: a szem a gömb közepén kisebb felületet lát, a gömb közeledtével még kisebb arányt, még akkor is, ha a látott felület nagyobbnak tűnik, és a látott körvonalai körnek látszanak. Az értekezés különösen ellentmond annak az egyes iskolákban védett véleménynek, amely szerint a tárgyak (különösen az égitestek) valódi mérete a látszólagos méretük, az, amit látunk.

Papo ezeket az eredményeket fontosnak tartotta a csillagászatban, és Eukleidész Optika című művét a Tüneményekkel együtt felvette a Claudi Ptolemeu Almagestje előtt tanulmányozandó kisebb művek kompendiumába.

Értekezés a zenéről

Proklosz Eukleidésznek tulajdonít egy értekezést a zenéről (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), amely a csillagászathoz hasonlóan a matematikai tudományok közé sorolja az elméleti zenét, például az arányok alkalmazott elmélete formájában. Két kis írás maradt fenn görögül, és bekerült Eukleidész ókori kiadásaiba, de megítélésük bizonytalan, ahogyan az Elemekkel való esetleges kapcsolatuk is. A két írást (a Kánon egy szakasza a zenei intervallumokról és a Harmóniai bevezetés) viszont ellentmondásosnak tekintik, és legalábbis a másodikat ma már a tudósok úgy tartják, hogy az egy másik szerzőtől származik.

Euklidésznek tévesen tulajdonított művek

A katoptrika (Κατοητρικά) a tükrök matematikai elméletével, különösen a homorú sík- és gömbtükrökben kialakuló képekkel foglalkozik. Eukleidésznek való tulajdonítása kétséges; szerzője az alexandriai Theón lehetett. Eukleidész optikáról szóló szövegében és Proklosz kommentárjában szerepel. Ma már elveszettnek tekintik, és különösen a Catoptricust, amelyet sokáig az Optika folytatásaként adtak ki az ókori kiadásokban, már nem tulajdonítják Euklidésznek; későbbi összeállításnak tartják.

Eukleidészt a mechanikával kapcsolatos töredékek szerzőjeként is említik, különösen a karról és a mérlegről szóló szövegekben, néhány latin vagy arab kéziratban. Ez a tulajdonítás ma már kétségesnek tekinthető.

Egyéb referenciák

Cikkforrások

1. Euclides
2. Eukleidész (matematikus)
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.