Leonhard Euler

Mary Stone | március 13, 2023

Összegzés

Leonhard Euler (1707. április 15., Bázel, Svájc – 1783. szeptember 7. (18.), Szentpétervár, Orosz Birodalom) svájci, porosz és orosz matematikus és mechanikus, aki alapvetően hozzájárult e tudományok (valamint a fizika, a csillagászat és számos alkalmazott tudomány) fejlődéséhez. Lagrange mellett ő volt a 18. század legnagyobb matematikusa, és a történelem egyik legnagyobb matematikusának tartják. Euler több mint 850 művet (köztük két tucat alapvető monográfiát) írt a matematikai analízisről, a differenciálgeometriáról, a számelméletről, a közelítő számtanról, az égi mechanikáról, a matematikai fizikáról, az optikáról, a ballisztikáról, a hajóépítésről, a zeneelméletről és más témákról. Tanult orvostudományt, kémiát, botanikát, repüléstant, zeneelméletet és számos európai és ókori nyelvet. A Szentpétervári, a Berlini, a Torinói, a Lisszaboni és a Bázeli Tudományos Akadémia akadémikusa, a Párizsi Tudományos Akadémia külföldi tagja. Az Amerikai Művészeti és Tudományos Akadémia első orosz tagja.

Életének csaknem felét Oroszországban töltötte, ahol jelentősen hozzájárult az orosz tudomány fejlődéséhez. 1726-ban meghívást kapott Szentpétervárra, ahová egy évvel később költözött. 1726-tól 1741-ig és 1766-tól a Szentpétervári Tudományos Akadémia akadémikusa volt (1741-től 1766-ig Berlinben dolgozott (ugyanakkor a Szentpétervári Akadémia tiszteletbeli tagja maradt). Egy év oroszországi tartózkodás után már jól tudott oroszul, és néhány műve (különösen tankönyvei) oroszul is megjelentek. Az első orosz akadémikus-matematikusok (Sz. K. Kotelnyikov) és csillagászok (Sz. Ja. Rumovszkij) Euler tanítványai voltak.

Svájc (1707-1727)

Leonhard Euler 1707-ben született Paul Euler bázeli lelkész, a Bernoulli család barátja, Paul Euler és Marguerite Euler, született Brooker családjában. Születése után nem sokkal a család Richengbe költözött, ahol a fiú a korai éveit töltötte. Leonard otthon, apja irányításával (utóbbi Jakob Bernoulli mellett tanult matematikát) kapta meg az alapfokú oktatását. A lelkész lelki pályára készítette fel legidősebb fiát, de matematikára is tanította, mind szórakozásból, mind pedig a logikus gondolkodásának fejlesztése érdekében, és Leonard korán tehetséget mutatott a matematika iránt.

Amikor Leonard felnőtt, nagyanyjához került Bázelbe, ahol gimnáziumba járt (miközben továbbra is szenvedélyesen tanulta a matematikát). 1720-ban engedélyezték számára, hogy nyilvános előadásokat látogasson a bázeli egyetemen, ahol felkeltette Johann Bernoulli professzor (Jakob Bernoulli öccse) figyelmét. A híres tudós matematikai cikkeket küldött a fiatal matematikusnak tanulmányozásra, és megengedte neki, hogy szombat délutánonként házához jöjjön, hogy tisztázza a nehéz kérdéseket.

1720. október 20-án a 13 éves Leonhard Euler a Bázeli Egyetem bölcsészkarának hallgatója lett. A matematika iránti szeretete azonban más útra terelte Leonardot. Tanára otthonába látogatva Euler megismerkedett és összebarátkozott fiaival, Dániellel és Miklóssal, akik a családi hagyományoknak megfelelően szintén elmélyülten tanulmányozták a matematikát. 1723-ban Euler (a bázeli egyetemen szokás szerint) megkapta első díját (primam lauream). 1724. július 8-án a 17 éves Leonhard Euler latinul tartott egy beszédet, amelyben összehasonlította Descartes és Newton filozófiai nézeteit, és megkapta a bölcsészdoktori címet.

A következő két évben a fiatal Euler számos tudományos munkát írt. Egyiküket, „Dissertáció a hangok fizikájáról” címmel benyújtotta a bázeli egyetem váratlanul megüresedett fizikaprofesszori állásának betöltésére kiírt pályázatra (1725). A kedvező bírálat ellenére azonban a 19 éves Eulert túl fiatalnak tartották ahhoz, hogy a professzori címre jelöltként szerepeljen. Abban az időben Svájcban nagyon kevés tudományos állás volt betöltetlen. Ezért a testvérek, Daniel és Nikolai Bernoulli Oroszországba mentek, ahol éppen akkor alakult meg a Tudományos Akadémia, és megígérték, hogy pályázni fognak Euler számára.

1726-1727 kora telén Euler Szentpétervárról kapta a hírt: a Bernoulli testvérek ajánlására meghívták az élettani tanszék docensi állására (ezt a tanszéket D. Bernoulli foglalta el), évi 200 rubeles fizetéssel (Euler 1726. november 9-ről megőrizte az Akadémia elnökének írt levelét, amelyben megköszönte az Akadémiára való felvételét). Mivel Johann Bernoulli híres orvos volt, Oroszországban Leonhard Eulert, mint legjobb tanítványát, szintén orvosnak tekintették. Euler azonban tavaszra halasztotta távozását Bázelből, a hátralévő hónapokat az orvostudományok komoly tanulmányozásának szentelte, amelyeknek alapos ismereteivel később lenyűgözte kortársait. Végül 1727. április 5-én Euler végleg elhagyta Svájcot, bár svájci (bázeli) állampolgárságát élete végéig megtartotta.

Oroszország (1727-1741)

1724. január 22-én (február 2-án) I. Péter jóváhagyta a Pétervári Akadémia tervét. 1724. január 28-án (február 8-án) a szenátus rendeletet adott ki az Akadémia létrehozásáról. Az első években meghívott 22 professzor és docens közül 8 matematikus jelent meg, akik mechanikával, fizikával, csillagászattal, térképészettel, hajóépítés elméletével, mérték- és súlyszolgálattal is foglalkoztak.

Euler (akinek útja Bázelből Lübeck, Revel és Kronstadt érintésével vezetett) 1727. május 24-én érkezett Szentpétervárra; néhány nappal azelőtt, hogy I. Katalin cárnő, az Akadémia védnöke meghalt, és a tudósok csüggedtek és zűrzavarban voltak. Eulernek segítettek megszokni új helyét bázeli társai: Daniil Bernoulli és Jakob Hermann akadémikusok; utóbbi a felsőbb matematika tanszék professzoraként távoli rokona volt a fiatal tudósnak, és mindenféle pártfogást ajánlott neki. Euler a magasabb matematika (és nem a fiziológia, mint eredetileg tervezték) docensévé vált, bár Szentpéterváron a folyadékdinamika területén végzett kutatásokat, évi 300 rubel fizetést kapott, és lakást is biztosítottak számára.

Euler Szentpétervárra érkezése után néhány hónapon belül folyékonyan beszélt oroszul.

1728-ban kezdett megjelenni az első orosz tudományos folyóirat, a Szentpétervári Tudományos Akadémia latin nyelvű kommentárja. Már a második kötet három cikket tartalmazott Eulertől, és a következő években az akadémiai évkönyv szinte minden számában szerepelt néhány új műve. Összesen több mint 400 Euler-cikk jelent meg ebben a kiadásban.

1730 szeptemberében lejártak a J. Herman akadémikusokkal (matematika tanszék) és H. B. Bilfingerrel (kísérleti és elméleti fizika tanszék) kötött szerződések. Hermann (a matematika tanszéke) és G. B. Bilfinger (a kísérleti és elméleti fizika tanszéke). A megüresedett helyekre Daniil Bernoulli és Leonard Ayler kapott jóváhagyást, utóbbi 400 rubelig terjedő fizetést, és 1731. január 22-én megkapta a hivatalos professzori állást. Két évvel később (1733) Dániel Bernoulli visszatért Svájcba, helyét pedig a fizika tanszékről távozó Euler vette át, akadémikus és a magasabb matematika professzora lett 600 rubeles fizetéssel (Dániel Bernoulli azonban kétszer többet kapott).

1733. december 27-én a 26 éves Leonhard Euler feleségül vette egyenrangú társát, Katharinát (németül: Katharina Gsell), Georg Gsell akadémikus festő (egy szentpétervári svájci) lányát. A házaspár a Neva-parton vásárolt egy házat, ahol letelepedtek. Az Euler családnak 13 gyermeke született, de három fiú és két lány maradt életben.

A fiatal professzornak rengeteg munkája volt: kartográfia, mindenféle vizsgák, konzultációk hajóépítőknek és tüzéreknek, képzési kézikönyvek készítése, tűzoltó szivattyúk tervezése stb. Még horoszkópokat is össze kellett állítania, amit Euler minden tapintatossággal a személyzet egyik csillagászához utalt. Alekszandr Puskin egy romantikus történetet idéz: állítólag Euler egy újszülött herceg, János Antonovics számára állított össze horoszkópot (1740), de az eredmény annyira megrémítette, hogy senkinek sem mutatta meg, és csak a boldogtalan herceg halála után mesélt róla K. G. Razumovszkij grófnak. Ennek a történelmi anekdotának a megbízhatósága erősen kétséges.

Első oroszországi tartózkodása alatt több mint 90 jelentős tudományos munkát írt. Az akadémiai „Jegyzetek” nagy részét Euler írásai töltik ki. Előadásokat tartott tudományos szemináriumokon, nyilvános előadásokat tartott, és részt vett a kormányhivatalok különböző műszaki megrendeléseiben. Az 1730-as években Euler vezette az Orosz Birodalom feltérképezésével kapcsolatos munkát, amely (Euler 1745-ös távozása után) az ország atlaszának kiadásával fejeződött be. Mint N. I. Fuss beszámolt róla, 1735-ben az Akadémia egy sürgős és igen nehézkes matematikai számítás elvégzésére kapott feladatot, és az akadémikusok egy csoportja három hónapot kért, de Euler 3 napra vállalta a munkát – és sikerült is neki, azonban a túlterhelés nem múlt el nyomtalanul: megbetegedett, és jobb szemére elvesztette a látását. Maga Euler azonban egyik levelében az Akadémia földrajzi osztályán végzett térképészi munkájának tulajdonította szeme elvesztését.

Az 1736-ban megjelent kétkötetes Mechanika, avagy a mozgás tudománya analitikusan kifejtve című műve hozta meg Euler általános európai hírnevét. Ebben a monográfiában Euler sikeresen alkalmazta a matematikai analízis módszereit az üres térben és az ellenálló közegben történő mozgással kapcsolatos problémák általános megoldására.

Az Akadémia egyik legfontosabb feladata a hazai személyzet képzése volt, amelyhez az Akadémia keretében egyetemet és gimnáziumot hoztak létre. Az orosz nyelvű tankönyvek akut hiánya miatt az Akadémia felkérte tagjait, hogy állítsanak össze ilyen kézikönyveket. Euler németül összeállított egy nagyon jó minőségű „Aritmetikai kézikönyvet”, amelyet azonnal lefordítottak oroszra, és néhány évig elsődleges tankönyvként szolgált. Az első rész fordítását 1740-ben Vaszilij Adodurov, az Akadémia első orosz adjunktusa és Euler tanítványa készítette el.

A helyzet tovább romlott, amikor Anna Ioannovna cárnő 1740-ben meghalt, és a fiatal VI. János császárrá nyilvánították. „Valami veszélyes dolog készülődött” – írta később Euler önéletrajzában. – A tiszteletreméltó Anna császárné halála után, az ezt követő régensség alatt … a helyzet kezdett bizonytalannak mutatkozni. Valóban, Anna Leopoldovna regnálása alatt a Szentpétervári Akadémia végleg tönkrement. Euler fontolgatni kezdte a hazatérés vagy egy másik országba való költözés lehetőségét. Végül elfogadta Friedrich porosz király ajánlatát, aki igen kedvező feltételekkel hívta meg a berlini akadémiára, annak matematikai osztályának igazgatói posztjára. Az Akadémia a Leibniz által alapított, de akkoriban siralmas állapotban lévő Porosz Királyi Társaságra épült.

Poroszország (1741-1766)

Euler benyújtotta lemondását a Szentpétervári Akadémia vezetőségének:

Ezért vagyok kénytelen, mind egészségi, mind egyéb okokból, kellemesebb éghajlatot keresni, és elfogadni Ő Királyi Porosz Felségének hívását. Ezért kérem a Császári Tudományos Akadémiát, hogy szíveskedjék engem elbocsátani és nekem és családomnak az utazásomhoz szükséges útlevelet biztosítani.

1741. május 29-én megkapta az Akadémia engedélyét. Eulert „felmentették” és az Akadémia tiszteletbeli tagjává fogadták el 200 rubel fizetéssel. 1741 júniusában a 34 éves Leonhard Euler feleségével, két fiával és négy unokaöccsével Berlinbe érkezett. Ott 25 évet töltött, és mintegy 260 művet publikált.

Eulert eleinte kedvesen fogadták Berlinben, még udvari bálokra is meghívták. Condorcet márki visszaemlékezett arra, hogy nem sokkal Berlinbe költözése után Eulert meghívták egy udvari bálba. Az anyakirálynő kérdésére, hogy miért olyan hallgatag, Euler így válaszolt: „Olyan országból jöttem, ahol aki beszél, azt felakasztják”.

Eulernek sok tennivalója volt. A matematikai kutatások mellett egy csillagvizsgálót is vezetett, és számos gyakorlati ügyben vett részt, többek között naptárak készítésében (az Akadémia fő bevételi forrása), porosz érmék verésében, egy új vízvezeték lefektetésében, valamint a nyugdíjak és a lottójátékok szervezésében.

1742-ben megjelent Johann Bernoulli műveinek négykötetes gyűjteménye. Amikor azt Bázelből Berlinbe küldte Eulernek, az idős tudós ezt írta tanítványának: „A magasabb matematika gyermekkorának szenteltem magam. Te, barátom, folytasd annak kialakulását az érettségben”. A berlini időszakban egymás után jelentek meg Euler művei: „Bevezetés a végtelen számok analízisébe” (1748), „A tenger tudománya” (1749), „A Hold mozgásának elmélete” (1753), „Oktatás a differenciálszámításról” (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). A berlini és a szentpétervári akadémia kiadványaiban számos cikk jelent meg válogatott témákról. Euler 1744-ben felfedezte a variációszámítást. Műveiben bonyolult terminológiát és matematikai szimbólumokat használ, amelyek nagyrészt napjainkig fennmaradtak, és a gyakorlati algoritmusok szintjére emeli a kifejtését.

Németországban töltött évei alatt Euler folyamatosan tartotta a kapcsolatot Oroszországgal. Euler részt vett a Szentpétervári Akadémia kiadványaiban, könyveket és műszereket vásárolt számára, és orosz folyóiratok matematikai rovatait szerkesztette. Lakásában, teljes ellátás mellett, évekig éltek a képzésre küldött fiatal orosz tudósok. Ismert Euler élénk levelezése M. V. Lomonoszovval. 1747-ben kedvező véleményt mondott a Tudományos Akadémia elnökének, K. G. Razumovszkij grófnak Lomonoszov fizikáról és kémiáról szóló cikkeiről, kijelentve, hogy:

Mindezek a tézisek nemcsak jók, hanem nagyon is kiválóak, mert a fizikai és kémiai anyagról nagyon is szükséges dolgokat ír, amelyeket eddig nem ismertek és a legokosabb emberek sem tudtak értelmezni, amit azonban olyan sikerrel tett, hogy teljesen bízom magyarázatainak igazságában. Ebben az esetben Lomonoszov úrnak elismerést kell adni, hogy kiváló tehetsége van a fizikai és kémiai jelenségek értelmezéséhez. Remélhető, hogy a többi akadémia is képes lesz olyan megnyilatkozásokra, mint amilyeneket Lomonoszov úr mutatott.

Ezt a magas becslést még az sem akadályozta meg, hogy Lomonoszov nem írt matematikai műveket, és nem ismerte a magasabb matematikát. Ennek ellenére 1755-ben Lomonoszov tapintatlansága miatt, aki Euler engedélye nélkül tette közzé az őt támogató magánlevelét, Euler minden kapcsolatot megszakított vele. A kapcsolatok 1761-ben helyreálltak, mivel Lomonoszov megkönnyítette Euler visszatérését Oroszországba.

Édesanyja értesítette Eulert apja haláláról Svájcban (hamarosan Eulerhez költözött (1761-ben meghalt). 1753-ban Euler Charlottenburgban (Berlin külvárosában) vásárolt egy birtokot kerttel és telekkel, ahol nagy családjának helyet tudott biztosítani.

Kortársai szerint Euler szerény, vidám, rendkívül szimpatikus és mindig kész volt segíteni másokon. A királlyal való kapcsolata azonban nem alakult jól: Friderikusz elviselhetetlenül unalmasnak és teljesen barátságtalannak találta az új matematikust, és megvetően bánt vele. 1759-ben meghalt Mauperthuis, a Berlini Tudományos Akadémia elnöke és Euler barátja. II. Frigyes király felajánlotta az Akadémia elnöki posztját D’Alumbertnek, de ő visszautasította. Friedrich, aki nem kedvelte Eulert, ennek ellenére megbízta az Akadémia vezetésével, de az elnöki cím nélkül.

A hétéves háború alatt Szaltykov tábornagy azonnal visszafizette a veszteségeket, később pedig Erzsébet császárné további 4000 rubelt küldött magától.

1765-ben jelent meg A szilárd testek mozgásának elmélete, majd egy évvel később A variációszámítás elemei. Itt jelent meg először az Euler és Lagrange által létrehozott új matematikai részleg neve.

1762-ben II. Katalin lépett az orosz trónra, és a felvilágosult abszolutizmus politikáját folytatta. Jól tudta, hogy a tudomány mennyire fontos az állam fejlődése és saját presztízse szempontjából, ezért számos fontos, a tudománynak kedvező változtatást hajtott végre a közoktatás és a kultúra rendszerében. A császárné felajánlotta Eulernek egy matematikai osztály vezetését, az Akadémia konferenciatitkári címét és évi 1800 rubel fizetést. És ha ez nem tetszik önnek – állt a képviselőjének írt levélben -, akkor szívesen közli a feltételeit, ha csak nem habozik Szentpétervárra jönni”.

Euler válaszul közölte a feltételeit:

Mindezeket a feltételeket elfogadták. 1766. január 6-án Katalin tájékoztatta Voroncov grófot:

Euler úr önnek írt levele nagy örömömre szolgált, mert megtudtam belőle, hogy újra szolgálatba kíván állni nálam. Természetesen tökéletesen méltónak tartom őt a kívánatos Tudományos Akadémia alelnöki címre, de ehhez még néhány intézkedést meg kell tennem, mielőtt a címet létrehozom – azt mondom, létrehozom, mert eddig nem létezett. A dolgok jelenlegi állása szerint nincs pénz a 3000 rubeles fizetésre, de egy olyan érdemekkel rendelkező embernek, mint Euler úr, az akadémiai fizetést kiegészítem az állami bevételekből, amelyek együttesen elérik a szükséges 3000 rubelt… Biztos vagyok benne, hogy Akadémiám egy ilyen fontos szerzemény hamvaiból fog feltámadni, és előre gratulálok magamnak, hogy egy nagyszerű embert adtam vissza Oroszországnak.

Később Euler számos egyéb feltételt is támasztott (évi 1000 rubeles nyugdíj a feleségének halála után, utazási költségtérítés, egy hely az orvos fiának és egy rang magának Eulernek). Katalin ezeket a feltételeket Euler is teljesítette, kivéve a rangra vonatkozó követelményt, tréfásan azt mondta: „Megadtam volna neki, ha kívánta volna, a… (a levél francia nyelvű tervezetében a kollégiumi tanácsadó áthúzva) rangot, ha nem féltem volna, hogy ez a rang egyenlővé tette volna őt annyi emberrel, akik nem méltóak Euler úrhoz. Valóban, hírneve jobb, mint a rang, hogy megadjuk neki a kellő tiszteletet”.

Euler kérvényezte a királytól a szolgálatból való elbocsátását, de nem kapott választ. Ismét folyamodott – de Friderikusz még tárgyalni sem volt hajlandó távozásának kérdéséről. Döntő támogatást nyújtottak Eulernek az orosz képviseletnek a császárné nevében benyújtott kitartó kérvényei. 1766. május 2-án Friedrich végül engedélyt adott a nagy tudósnak Poroszország elhagyására, bár levelezésében nem tudott tartózkodni az Eulerre vonatkozó fanyalgó viccektől (így július 25-én D’Alambertónak írta: „Herr Euler, aki őrülten szerette a Nagy- és Kis-Bipert, északabbra költözött, hogy könnyebben megfigyelhesse őket”). Igaz, tüzér alezredesként szolgált (később, II. Katalin közbenjárására mégis csatlakozhatott apjához, és altábornaggyá léptették elő az orosz hadseregben. 1766 nyarán Euler visszatért Oroszországba – immár végleg.

Újra Oroszország (1766-1783)

1766. július 17-én (28-án) a 60 éves Euler, családja és háztartása (összesen 18 fő) megérkezett az orosz fővárosba. Megérkezése után azonnal fogadta őt a császárné. II. Katalin magasztos személyként üdvözölte, és kegyekkel halmozta el: 8000 rubelt adott a Vasziljevszkij-szigeten lévő ház megvásárlására és a berendezési tárgyak beszerzésére, első ízben biztosította egyik szakácsát, és megbízta, hogy készítsen megfontolásokat az Akadémia átszervezésére.

Sajnos, miután visszatért Szentpétervárra, Euler egyetlen megmaradt bal szemén szürkehályog alakult ki, és hamarosan végleg megvakult. Valószínűleg emiatt nem kapta meg az Akadémia megígért alelnöki posztját (ami nem akadályozta meg Eulert és leszármazottait abban, hogy közel száz éven át részt vegyenek az Akadémia vezetésében). A vakság azonban nem befolyásolta a tudós munkabírását; csak annyit jegyzett meg, hogy mostantól kevésbé vonja el a figyelmét a matematika. Mielőtt titkárra tett volna szert, Euler egy köpcös fiúnak diktálta a munkáját, aki mindent németül írt le. Publikált műveinek száma még nőtt is; második oroszországi tartózkodása alatt Euler több mint 400 cikket és 10 könyvet diktált, ami alkotói hagyatékának több mint a fele.

1768-1770-ben adta ki klasszikus, kétkötetes monográfiáját, az Universal Arithmetic-et (amelyet Elements of Algebra és The Complete Course of Algebra címmel is kiadtak). Ez a mű először oroszul jelent meg (1768-1769), majd két évvel később német kiadásban is megjelent. A könyvet számos nyelvre lefordították, és mintegy 30 alkalommal (oroszul háromszor) újranyomták. Minden későbbi algebra tankönyvre nagy hatással volt Euler könyve.

Ugyanezekben az években jelent meg háromkötetes Dioptrica (1769-1771) című műve a lencserendszerekről, valamint az Institutiones calculi integralis (1768-1770) című, szintén háromkötetes alapműve.

Euler „Levelek különböző fizikai és filozófiai kérdésekről egy német hercegnőhöz” (1768) című műve a 18. században, és részben a 19. században is nagy népszerűségnek örvendett. (1768), amely több mint 40 kiadást ért meg 10 nyelven (köztük 4 kiadást oroszul). Ez egy széles körű, népszerű tudományos enciklopédia volt, amely szemléletesen és általánosan hozzáférhető módon íródott.

1771-ben két súlyos esemény történt Euler életében. Májusban nagy tűzvész pusztított Szentpéterváron, amely épületek százait pusztította el, köztük Euler házát és szinte minden vagyonát. Magát a tudóst is alig sikerült megmenteni. Az összes kézirat megmenekült a tűz elől; csak „A holdmozgás új elméletének” egy része égett el, de azt gyorsan helyreállították Euler segítségével, aki öregkoráig megőrizte fenomenális emlékezetét. Eulernek ideiglenesen egy másik házba kellett költöznie. A második esemény: ugyanezen év szeptemberében a császárné külön meghívására a híres német szemészorvos, Wentzel báró Szentpétervárra érkezett, hogy Eulert kezelje. Egy vizsgálat után beleegyezett, hogy műtétet végezzen Euleren, és eltávolította a bal szeméről a szürkehályogot. Euler újra látott. Az orvos azt írta elő, hogy tartsa távol a szemét az erős fénytől, ne írjon, ne olvasson – csak fokozatosan szokja meg az új állapotot. De a műtét után néhány nappal Euler már levette a kötést, és hamarosan újra elvesztette a látását. Ezúttal végleg.

1772: „A Hold mozgásának új elmélete”. Euler végre befejezte sokéves munkáját a háromtest-probléma közelítő megoldásával.

1773-ban Daniel Bernoulli ajánlására Bernoulli tanítványa, Nikolaus Fuss Bázelből Szentpétervárra érkezett. Ez nagy szerencse volt Euler számára. Fuss, a tehetséges matematikus, megérkezése után azonnal átvette Euler matematikai munkáját. Fuss hamarosan feleségül vette Euler unokáját. A következő tíz évben – haláláig – Euler túlnyomórészt neki diktálta munkáit, bár néha használta „legidősebb fia szemeit” és más tanítványait is. Ugyanebben az 1773-as évben meghalt Euler felesége, akivel közel 40 évig élt együtt. Felesége halála fájdalmas csapás volt a tudós számára, aki őszintén ragaszkodott családjához. Euler hamarosan feleségül vette Salome Abigailt, elhunyt felesége féltestvérét.

Az „Általános gömbi trigonometria” 1779-ben jelent meg, és a gömbi trigonometria teljes rendszerének első teljes kifejtése volt.

Euler utolsó napjaiig aktívan dolgozott. A 76 éves tudós 1783 szeptemberében fejfájást és gyengeséget kezdett érezni. Szeptember 7-én (18-án) egy családjával elköltött vacsora után, amikor A. I. Lexel akadémikusnak az újonnan felfedezett Uránusz bolygóról és annak pályájáról beszélt, hirtelen rosszul lett. Eulernek sikerült kimondania: „Haldoklom”, és elájult. Néhány órával később, anélkül, hogy magához tért volna, agyvérzésben meghalt.

„Abbahagyta a számítást és élt” – mondta Condorcet a Párizsi Tudományos Akadémia gyászos ülésén (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

A szentpétervári szmolenszki evangélikus temetőben temették el. Az emlékművön német nyelvű felirat olvasható: „Itt nyugszanak a világhírű Leonhard Euler, bölcs és igaz ember földi maradványai. Született 1707. április 4-én Bázelben, meghalt 1783. szeptember 7-én”. Euler halála után sírja elveszett, és csak 1830-ban találták meg, elhagyatott állapotban. A Tudományos Akadémia 1837-ben ezt a sírkövet egy új gránit sírkővel cserélte ki (ma is áll), amelyen latinul a következő felirat olvasható: „Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Euler 250. évfordulójának megünneplése során (1957) a nagy matematikus hamvait a „18. század nekropoliszába”, az Alekszandr Nyevszkij Lavra Lazarevszkij temetőjébe helyezték át, ahol M. V. Lomonoszov sírjának közelében található.

Euler fontos műveket hagyott hátra a matematika, a mechanika, a fizika, a csillagászat és számos alkalmazott tudomány különböző ágaiban. Euler ismeretei enciklopédikusak voltak; a matematika mellett tanulmányozta a botanikát, az orvostudományt, a kémiát, a zeneelméletet, valamint számos európai és ókori nyelvet.

Euler szívesen vett részt tudományos vitákban, amelyek közül ő volt a legismertebb:

Euler álláspontját a modern tudomány minden említett esetben alátámasztja.

Matematika

A matematika szempontjából a 18. század Euler kora. Míg előtte a matematika fejlődése szétszórt és nem mindig koherens volt, Euler először kapcsolta össze az analízist, az algebrát, a geometriát, a trigonometriát, a számelméletet és más tudományágakat egységes rendszerré, miközben számos saját felfedezését is hozzáadta. A matematika nagy részét azóta is szinte változatlanul „Euler szerint” tanítják.

Eulernek köszönheti a matematika a sorozatok általános elméletét, a komplex számok elméletének alapvető „Euler-képletét”, a modulo összehasonlító műveletet, a folytonos törtek teljes elméletét, a mechanika analitikus alapjait, az integrálás és a differenciálegyenletek megoldásának számos technikáját, az e számot, az i jelölést a képzeletbeli egységre, számos speciális függvényt és még sok mást.

Valójában Euler volt az, aki számos új matematikai tudományágat – számelmélet, variációszámítás, komplex függvények elmélete, felületek differenciálgeometriája – létrehozott; ő fektette le a speciális függvények elméletének alapjait. Egyéb munkaterületei közé tartozik a diofantikus analízis, a matematikai fizika, a statisztika stb.

Clifford Truesdell tudománytörténész írta: „Euler volt az első tudós a nyugati civilizációban, aki a matematikáról világos és könnyen érthető nyelven írt”. Az életrajzírók megjegyzik, hogy Euler virtuóz algoritmikus volt. Felfedezéseit mindig igyekezett a konkrét számítási módszerek szintjére emelni, és a numerikus számítások mestere volt. J. Condorcet elmondta, hogy egyszer két, egymástól függetlenül bonyolult csillagászati számításokat végző diák kissé eltérő eredményt kapott az 50. jegyben, és Eulertől kértek segítséget. Euler gondolatban elvégezte ugyanazokat a számításokat, és megállapította a helyes eredményt.

П. L. Chebyshev írta: „Euler megalapozta mindazokat a vizsgálatokat, amelyek a számok általános elméletét alkotják”. A 18. század matematikusainak többsége az analízis fejlesztésével foglalkozott, de Euler egész életén keresztül hordozta az ősi aritmetika iránti szenvedélyét. Írásainak köszönhetően a század vége felé újraéledt az érdeklődés a számelmélet iránt.

Euler folytatta Fermat kutatásait, aki korábban (Diophantus hatására) számos elszórt hipotézist állított fel a természetes számokról. Euler szigorúan bebizonyította ezeket a hipotéziseket, jelentősen általánosította őket, és értelmes számelméletté ötvözte őket. Bevezette a matematikába a rendkívül fontos „Euler-függvényt”, és ennek segítségével megfogalmazta az „Euler-tételt”. Megcáfolta Fermat hipotézisét, miszerint az összes olyan számot, amely az Euler alakú F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} egyszerű; kiderül, hogy F 5 {displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} osztható 641-gyel. Bizonyítottuk Fermat állítását a páratlan prímszámok két négyzet összegeként való ábrázolásáról. Megadta a négykockás feladat egyik megoldását. Bizonyította, hogy a Mersenne-szám 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – prímszám; közel száz évig (1867-ig) ez maradt a legnagyobb ismert prímszám.

Euler megteremtette az összehasonlítások és a kvadratikus levezetések elméletének alapjait, meghatározva az utóbbiak megoldhatósági kritériumát. Euler bevezette az eredeti gyök fogalmát, és feltételezte, hogy minden p prímszámhoz van egy eredeti gyök modulo p; ezt nem sikerült bizonyítania, de LeGendre és Gauss később bebizonyította a tételt. Euler másik feltevése, a kvadratikus reciprocitási törvény, amelyet szintén Gauss bizonyított, nagy jelentőségű volt az elméletben. Euler bebizonyította Fermat nagy tételét a következőkre vonatkozóan n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} , megalkotta a folytonos törtek teljes elméletét, megvizsgálta a diffeomorf egyenletek különböző osztályait, valamint a számok tagokra való osztásának elméletét.

A természetes számok felosztásainak számával kapcsolatos feladatban n {displaystyle n} megkaptuk a felosztások számának derivált függvényét kifejező képletet p ( n ) {displaystyle p(n)} {display p(n ) a p(n ) végtelen szorzatán keresztül a

Euler definiálta a zéta-függvényt, amelynek általánosítását később Riemann-nak nevezték el:

ahol s {displaystyle displaystyle s} egy valós szám (Riemannban komplex). Euler levezetett rá egy dekompozíciót:

ahol a szorzatot az összes prímszámra vesszük p {displaystyle displaystyle p} . Így fedezte fel, hogy a számelméletben a matematikai analízis módszereit lehet alkalmazni, így született meg az analitikus számelmélet, amely az Euler-azonosságon és a derivált függvények általános módszerén alapul.

Euler egyik legfontosabb tudományos hozzájárulása a „Bevezetés a végtelen számok analízisébe” című monográfiája (1748) volt. 1755-ben jelent meg a kiegészített „Differenciálszámítás”, 1768-1770-ben pedig az „Integrálszámítás” három kötete. Összességében ez egy alapvető, jól illusztrált tanfolyam, kidolgozott terminológiával és szimbolikával. „Nyugodtan mondhatjuk, hogy mindannak, amit ma a magasabb algebra és a magasabb analízis kurzusain tanítanak, jó fele Euler írásaiból származik” (N. N. Luzin). Euler volt az első, aki szisztematikus elméletet adott az integrálásról és a benne alkalmazott technikákról. Különösen ő a szerzője a racionális függvények integrálásának klasszikus módszerének az egyszerű törtekre való felbontással, valamint a tetszőleges rendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal való megoldásának módszerének.

Euler mindig is különös figyelmet fordított a differenciálegyenletek megoldására szolgáló módszerekre, mind a közönséges, mind a parciális deriváltakra, mivel felfedezte és leírta az integrálható differenciálegyenletek fontos osztályait. Kidolgozta az Euler-féle törött vonalak módszerét (1768), a közönséges differenciálegyenletek rendszereinek megoldására szolgáló numerikus módszert. A. C. Cleróval együtt levezette a két vagy három változós lineáris differenciálegyenletek integrálhatósági feltételeit (1739). Komoly eredményeket ért el az elliptikus függvények elméletében, többek között az elliptikus integrálok összeadására vonatkozó első tételeket (1761). Ő volt az első, aki több változóból álló függvények maximumát és minimumát vizsgálta.

A természetes logaritmusok alapjait már Neper és Jacob Bernoulli óta ismerik, de Euler olyan alapos tanulmányt végzett erről a legfontosabb konstansról, hogy azóta róla nevezték el. Egy másik konstans, amelyet tanulmányozott: az Euler-Mascheroni-állandó.

Az exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények modern definíciója szintén az ő érdeme, csakúgy, mint a szimbolizmusuk és a komplex esetre való általánosításuk. A tankönyvekben gyakran „Cauchy-Riemann-feltételként” emlegetett képleteket helyesebben „D’Alambert-Euler-feltételeknek” neveznénk.

Lagrange-ral osztozik azon a megtiszteltetésen, hogy felfedezte a variációszámítást, amikor megírta az Euler-Lagrange-egyenleteket az általános variációs problémára. 1744-ben Euler kiadta „A görbék megtalálásának módszere…” című értekezését. – a variációszámítás első művét (ez tartalmazta többek között a rugalmas görbék elméletének első szisztematikus kifejtését és az anyagok ellenállására vonatkozó eredményeket).

Euler jelentősen továbbfejlesztette a sorozatok elméletét, és kiterjesztette azt a komplex tartományra, megadva a híres Euler-formulát, amely megadja egy komplex szám trigonometrikus ábrázolását. A matematikai világot nagy hatással voltak az Euler által először összefoglalt sorozatok, köztük a fordított négyzetes sorozat, amelyre előtte senki sem volt képes:

Euler a sorozatokat a transzcendens függvények, azaz az algebrai egyenletekkel nem kifejezhető függvények (pl. az integrál logaritmus) tanulmányozására használta. Felfedezte (1729-1730) az „Euler-integrálokat” – speciális függvényeket, amelyek ma gamma- és béta-Euler-függvények néven kerültek be a tudományba. 1764-ben, amikor egy rugalmas membrán rezgéseire vonatkozó problémát oldott meg (amely a dobok hangmagasságának meghatározásából eredt), Euler volt az első, aki bevezette a Bessel-függvényeket bármely természetes indexre (F. W. Bessel kutatásai, akinek a nevét ezek a függvények ma már viselik, 1824-re nyúlnak vissza).

Későbbi szemszögből nézve Euler végtelen sorozatokkal végzett műveletei nem mindig tekinthetők helyesnek (az elemzés igazolása csak fél évszázaddal később történt meg), de fenomenális matematikai intuíciója szinte mindig helyes eredményt mondott neki. Meglátásai azonban sok fontos tekintetben megelőzték korát – például az általa javasolt általános megértés az eltérő sorozatok összegéről és a velük végzett műveletekről szolgált alapjául e sorozatok modern elméletének, amelyet a 19. század végén és a 20. század elején dolgozott ki.

Euler az elemi geometriában számos olyan tényt fedezett fel, amelyet Euklidész nem jegyzett fel:

A Bevezetés a végtelen számok analízisébe (1748) második kötete volt a világ első tankönyve az analitikus geometriáról és a differenciálgeometria alapjairól. Euler megadta a harmad- és negyedrendű algebrai görbék, valamint a másodrendű felületek osztályozását. Az „affin transzformációk” kifejezést ebben a könyvben vezették be először, az ilyen transzformációk elméletével együtt. 1732-ben Euler levezette a felületen lévő geodéziai egyenesek általános egyenletét.

1760-ban jelent meg az alapvető Investigations on the Curvature of Surfaces (Vizsgálatok a felületek görbületéről) című munkája. Euler felfedezte, hogy egy sima felület minden pontján két olyan normálmetszet van, amelynek görbületi sugara minimális és maximális, és hogy síkjaik egymásra merőlegesek. Levezetett egy képletet a felületi szakasz görbülete és a fő görbületek közötti kapcsolatra.

Euler 1771-ben publikálta „Azokról a testekről, amelyek felszíne síkba hajtható” című művét. Ez a mű bevezeti a kibontható felület fogalmát, azaz egy olyan felületet, amely redők és megszakítások nélkül ráhelyezhető egy síkra. Euler azonban itt egy egészen általános metrikaelméletet ad, amelytől a felület teljes belső geometriája függ. Később a metrikák vizsgálatát a felületelmélet fő eszközévé teszi.

A térképészeti feladatokkal kapcsolatban Euler mélyrehatóan vizsgálta a konform leképezéseket, először alkalmazva a komplex analízis eszközeit.

Euler nagy figyelmet fordított a természetes számok speciális összegekként való ábrázolására, és számos tételt fogalmazott meg a részszámok számának kiszámítására. Kombinatorikai problémák megoldása során behatóan tanulmányozta a kombinációk és a permutációk tulajdonságait, és bevezette az Euler-számokat.

Euler a sakklovaglással történő bűvös négyzetek megkonstruálására szolgáló algoritmusokat vizsgálta. Két munkája (1776, 1779) megalapozta a latin és görög-latin négyzetek általános elméletét, amelynek nagy gyakorlati értéke azután vált nyilvánvalóvá, hogy Ronald Fisher megalkotta a kísérletek tervezésének módszereit, valamint a hibajavító kódok elméletében.

Euler 1736-os „Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” (A gráfelmélet mint matematikai tudományág kezdetét Euler 1736-os cikke jelentette. A tanulmány kiindulópontjaként a königsbergi hidak problémája merült fel: át lehet-e sétálni minden hídon egyszer, és vissza lehet-e térni a kiindulópontra? Euler formalizálta ezt a kérdést, és arra a problémára redukálta, hogy egy gráfban (amelynek csúcsai a Pregolya folyó ágai által elválasztott városrészeknek, az élek pedig a hidaknak felelnek meg) létezik-e olyan ciklus vagy út, amely minden élen pontosan egyszer halad át (modern terminológiával: Euler-ciklus, illetve Euler-út). Ez utóbbi problémát megoldva Euler megmutatta, hogy ahhoz, hogy egy gráfban létezzen Euler-ciklus, annak fokszámának (a csúcsot elhagyó élek számának) minden csúcs esetében párosnak kell lennie, és az Euler-útvonalnak kettő kivételével minden csúcs esetében párosnak kell lennie (a königsbergi hidakra vonatkozó problémában ez nem így van: a fokszámok 3, 3, 3, 3 és 5).

Euler jelentősen hozzájárult a közelítő számítás elméletéhez és módszereihez. Ő volt az első, aki analitikus módszereket alkalmazott a térképészetben. Javaslatot tett a halmazokon végzett relációk és műveletek grafikus ábrázolásának kényelmes módszerére, az úgynevezett Euler-körökre (vagy Euler-vennékre).

Mechanika és fizika

Euler számos műve a mechanika és a fizika különböző ágainak szól. Euler kulcsszerepéről a mechanika egzakt tudománnyá alakításában C. Truesdell a következőket írta: „A mechanika, ahogyan ma a mérnököknek és matematikusoknak tanítják, nagyrészt az ő alkotása”.

1736-ban jelent meg Euler kétkötetes „Mechanika, vagy a mozgás tudománya analitikus kifejtésben” című értekezése, amely új szakaszt jelentett az ősi tudomány fejlődésében, és az anyagi pont dinamikájának szentelte. A dinamika ezen ágának alapítóitól, Galileitől és Newtontól eltérően, akik geometriai módszereket alkalmaztak, a 29 éves Euler szabályos és egységes analitikus módszert javasolt a dinamika különböző problémáinak megoldására: egy anyagi tárgy mozgásának differenciálegyenleteinek összeállítását és az azt követő integrálását adott kezdeti feltételek mellett.

Az értekezés első kötete egy szabad anyagi pont, a második egy tulajdonosi pont mozgásával foglalkozik, és vizsgálja a mozgást üres térben, valamint ellenálló közegben. Külön tárgyalja a ballisztika és az inga elméletének problémáit. Euler itt írja le először egy pont egyenes vonalú mozgásának differenciálegyenletét, és a görbületes mozgás általános esetére bevezeti a természetes mozgásegyenleteket – a kísérő háromszög tengelyeire vetített egyenleteket. Számos konkrét problémában a mozgásegyenletek integrálását a végletekig kiegészíti; az ellenállás nélküli pontmozgás eseteiben szisztematikusan a mozgásegyenletek első integrálját – az energia integrálját – használja. A második kötetben egy tetszőlegesen görbült felületen lévő pont mozgásának problémájával kapcsolatban az Euler által létrehozott felületek differenciálgeometriáját mutatja be.

Euler később visszatért az anyagi pont dinamikájához. 1746-ban egy mozgó felületen lévő anyagi pont mozgását vizsgálva jutott el (D. Bernoullival és P. Darcyval egy időben) a szögnyomaték változására vonatkozó tételhez. 1765-ben Euler, miután felhasználta a C. McLaren által 1742-ben felvetett ötletet a sebességek és erők három rögzített koordináta tengely mentén történő felbontásáról, először írta le egy anyagi pont mozgásának differenciálegyenleteit a karteziánus rögzített tengelyekre vetítve.

Ez utóbbi eredményt Euler az analitikus dinamikáról szóló második alapvető értekezésében, a „Theory of motion of solids” (1765) című könyvében tette közzé. Fő tartalma azonban a mechanika egy másik részterületének – a szilárd testek dinamikájának – szól, amelynek Euler volt az alapítója. Az értekezés különösen egy szabad szilárd test mozgására vonatkozó hat differenciálegyenletből álló rendszer levezetését tartalmazza. A szilárd testre ható erők rendszerének két erőre való redukciójáról szóló tétel, amelyet az értekezés 620. §-ában állapítanak meg, a statika szempontjából fontos. Ezen erők egyenlőségi feltételeinek a koordinátatengelyekre való nullára vetítésével Euler először kapja meg egy szilárd test egyensúlyi egyenleteit egy tetszőleges térbeli erőrendszer hatására.

Euler számos, a szilárd testek kinematikájával kapcsolatos alapvető eredményét (a kinematikát a 18. században még nem azonosították a mechanika különálló ágaként) szintén az 1765-ös értekezésben közli. Ezek közül kiemelhetjük Euler képleteit egy abszolút szilárd test pontjainak sebességeloszlására (e képletek vektoros megfelelője az Euler-féle kinematikai képlet) és a kinematikai Euler-egyenleteket, amelyek a szögsebesség koordinátatengelyekre való vetítésén keresztül adják meg az Euler-szögek (a mechanikában a szilárd test orientációjának meghatározására használt) deriváltjait.

E traktátus mellett Eulernek két korábbi munkája is fontos a szilárd testek dinamikája szempontjából: „Tanulmányok a testek mechanikai ismeretéről” és „A szilárd testek forgómozgása változó tengely körül”, amelyeket 1758-ban nyújtott be a Berlini Tudományos Akadémiának, de később (1765-ben, az értekezéssel egy időben) a „Jegyzetekben” jelent meg. Ezekben: kidolgozták a tehetetlenségi nyomatékok elméletét (megállapították, hogy minden merev, fix ponttal rendelkező merev testben legalább három szabad forgástengely létezik; megkapták a merev, fix ponttal rendelkező test dinamikáját leíró dinamikus Euler-egyenleteket; megadták ezen egyenletek analitikus megoldását nulla külső erő főnyomaték esetén (az Euler-ügy) – a merev, fix ponttal rendelkező szilárd test dinamikájának problémájában az integrálhatóság három általános esetének egyike.

Az „Általános képletek egy merev test tetszőleges elmozdítására” című cikkében (1775) Euler megfogalmazza és bizonyítja Euler alapvető forgatási tételét, amely szerint egy rögzített ponttal rendelkező abszolút merev test tetszőleges elmozdulása egy, a rögzített ponton áthaladó tengely körüli szöggel történő elforgatás.

Euler nevéhez fűződik a legkisebb hatás elvének analitikus megfogalmazása (amelyet 1744-ben – igen homályos formában – P. L. Mauperthuis javasolt), az elv alkalmazhatósági feltételeinek helyes megértése és első bizonyítása (amelyet ugyanabban az 1744-es évben végeztek el egy központi erő hatására mozgó egyetlen anyagi pont esetére). Az anyagi pontok rendszerére vonatkozó hatás (az ún. rövidített hatás és nem a Hamilton-féle hatás) itt az alábbiak szerint értendő: az integrál

ahol A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – a rendszer két konfigurációja, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm{d} s_{i}} – a tömeg, az algebrai sebesség és a pálya íves eleme, illetve i {displaystyle i} -ik pont, n {displaystyle n} – a pontok száma.

Ennek eredményeként a Mauperthuis-Euler-elv, a mechanika integrálvariációs elveinek sorában az első, amely később J. L. Lagrange általánosította, és amelyet ma általában a Mauperthuis-Lagrange-elv egyik formájaként (a Lagrange-formával és a Jacobi-formával együtt tekintett Mauperthuis-Euler-formaként) kezelnek. Meghatározó hozzájárulása ellenére a legkisebb hatás elve körül kialakult vitában Euler határozottan Mauperthuis elsőbbsége mellett érvelt, és rámutatott ennek az elvnek a mechanikában betöltött alapvető jelentőségére. Ez a gondolat felkeltette a fizikusok figyelmét, akik a XIX. és XX. században felfedezték a variációs elvek alapvető szerepét a természetben, és tudományuk számos területén alkalmazták a variációs megközelítést.

Euler számos munkája a gépek mechanikájával foglalkozik. „Az egyszerű és bonyolult gépek leghasznosabb alkalmazásáról” című emlékiratában (1747) Euler azt javasolta, hogy a gépeket ne nyugalmi, hanem mozgási állapotban vizsgáljuk. Ezt az új, „dinamikus” megközelítést Euler igazolta és fejlesztette tovább „A gépekről általában” című emlékiratában (ebben a tudomány történetében elsőként mutatott rá a gépek három alkotóelemére, amelyeket a 19. században motornak, fogaskeréknek és munkadaraboknak neveztek. Euler „Principles of the Theory of Machines” (1763) című emlékiratában kimutatta, hogy a gépek dinamikai jellemzőinek kiszámításakor gyorsított mozgásuk esetén nemcsak a húzóerőket és a hasznos tehetetlenséget kell figyelembe venni, hanem a gép összes alkatrészének tehetetlenségét is, és (a hidraulikus motorokkal kapcsolatban) példát is adott egy ilyen számításra.

Euler alkalmazott gépelmélettel is foglalkozott, például a hidraulikus gépek és szélmalmok elméletével, a gépalkatrészek súrlódásának vizsgálatával és a fogaskerekek profilozásával (itt megalapozta és továbbfejlesztette az involút fogaskerekek analitikus elméletét). 1765-ben lefektette a hajlékony kábelek súrlódásának elméletét, és különösen a kábelfeszültség meghatározására kapott Euler-formulát, amelyet a mai napig számos gyakorlati probléma megoldásánál használnak (pl. a hajlékony láncszemekkel ellátott mechanizmusok számításánál).

Euler nevéhez fűződik a kontinuum gondolatának következetes bevezetése a mechanikába, amely szerint az anyagi testet – molekuláris vagy atomi szerkezetétől elvonatkoztatva – folytonos, folytonos, folytonos közegként ábrázoljuk. A kontinuum-modellt Euler „A mechanika új elvének felfedezése” című emlékiratában vezette be (1750-ben jelentette a Berlini Tudományos Akadémiának, és két évvel később megjelent az Akadémia „Emlékirataiban”).

A memoár szerzője Euler anyagi részecskékre vonatkozó elvére alapozta elemzését, amely megállapítást ma is számos mechanikai és fizikai tankönyv idézi (gyakran Euler említése nélkül): egy szilárd test bármilyen pontossággal modellezhető, ha mentálisan elég kicsi részecskékre bontjuk, és mindegyiket anyagi pontként kezeljük. Ezt az elvet felhasználva egy folytonos testre különféle dinamikai összefüggéseket lehet levezetni úgy, hogy az egyes anyagi részecskékre (Euler kifejezésével „korpuszkulák”) vonatkozó analógjaikat leírjuk, és ezeket összeadjuk (ebben az esetben az összes ponton való összegzést a test által elfoglalt terület térfogatára való integrálással helyettesítjük). Ez a megközelítés lehetővé tette Euler számára, hogy elkerülje a modern integrálszámítás olyan eszközeinek (például a Stiltjes-integrálnak) a használatát, amelyeket a 18. században még nem ismertek.

Ezen elv alapján Euler – a szögnyomaték változására vonatkozó tételnek egy elemi anyagtérfogatra való alkalmazásával – megkapta Euler első mozgástörvényét (később megjelent Euler második mozgástörvénye is – a szögnyomaték változására vonatkozó tétel alkalmazásának eredménye). Euler mozgástörvényei valójában a kontinuummechanika alapvető mozgástörvényeit jelentették; az egyetlen dolog, ami hiányzott ahhoz, hogy az ilyen közegek jelenleg használt általános mozgásegyenleteihez eljussunk, az a felületi erők kifejezése a feszültségtenzoron keresztül (ezt O. Cauchy végezte el az 1820-as években). Euler a kapott eredményeket a szilárd testek sajátos modelljeinek vizsgálatára alkalmazta – mind a szilárd testek dinamikájában (az említett emlékiratban adták meg először egy tetszőleges kartéziánus tengelyekre vonatkoztatott, fix ponttal rendelkező test dinamikai egyenleteit), mind a folyadékdinamikában, mind a rugalmasság elméletében.

A rugalmasság elméletében Euler számos tanulmánya a gerendák és rudak hajlításának elméletével foglalkozik; korai munkáiban (1740-es évek) egy rugalmas rúd hosszirányú hajlításának problémáját oldotta meg, megalkotva és megoldva a rúd hajlított tengelyének differenciálegyenletét. 1757-ben „Az oszlopok terheléséről” című művében Euler a történelemben elsőként vezette le egy rugalmas rúd összenyomásakor fellépő kritikus terhelés képletét, ezzel megalapozta a rugalmas rendszerek stabilitásának elméletét. Ennek a képletnek a gyakorlati alkalmazására csak jóval később, majdnem egy évszázaddal később került sor, amikor számos országban (elsősorban Angliában) elkezdték a vasútépítést, ami szükségessé tette a vasúti hidak szilárdságának kiszámítását; ekkor a mérnökök – némi finomítás után – átvették Euler modelljét.

Euler – D. Bernoullival és J. L. Lagrange-ral együtt – az analitikus áramlástan egyik alapítója; itt az ideális (azaz viszkozitás nélküli) folyadék mozgáselméletének megalkotása és a folyadékmechanika néhány speciális problémájának megoldása az ő érdeme. A „Principles of motion of fluids” című (kilenc évvel később publikált) munkájában egy folytonos közeg elemi anyagi térfogatának dinamikai egyenleteit egy összenyomhatatlan tökéletes folyadék modelljére alkalmazva először kapta meg egy ilyen folyadékra a mozgásegyenleteket, valamint (az általános háromdimenziós esetre) a folytonossági egyenletet. Az összenyomhatatlan folyadék örvénytelen mozgásának vizsgálatával Euler bevezette a következő függvényt S {displaystyle S} (Helmholtz később sebességpotenciálnak nevezte el), és megmutatta, hogy az kielégít egy parciális differenciálegyenletet – így került be a tudományba a ma Laplace-egyenletként ismert egyenlet.

E munka eredményeit Euler lényegében általánosította „A folyadékok mozgásának általános elvei” című értekezésében (1755). Ebben egy összenyomható ideális folyadék esetére (gyakorlatilag modern fogalmakkal) bemutatta a folytonossági egyenletet és a mozgásegyenleteket (három skalár differenciálegyenlet, amelyeknek vektoros formában megfelel az Euler-egyenlet – az ideális folyadék hidrodinamikájának alapegyenlete -.) Euler rámutatott, hogy e négy egyenletből álló rendszer lezárásához szükség van egy olyan konstitutív összefüggésre, amely lehetővé teszi a nyomás kifejezésére p {displaystyle p} (amit Euler „rugalmasságnak” nevezett) a sűrűség függvényében. q {displaystyle q} és „egy másik tulajdonság r {displaystyle r} {displaystyle r}, amely befolyásolja a rugalmasságot” (valójában a hőmérsékletre utal). Az inkompresszibilis folyadék nem potenciális mozgásának lehetőségét tárgyalva Euler megadta az első konkrét példát az örvényáramlásra, és egy ilyen folyadék potenciális mozgására megkapta az első integrált – a ma ismert Lagrange-Cauchy-integrál speciális esetét.

Ugyanebből az évből származik Euler „A folyadékok egyensúlyi állapotának általános elvei” című emlékirata, amely az ideális folyadék hidrosztatikájának szisztematikus bemutatását tartalmazta (beleértve a folyadékok és gázok általános egyensúlyi egyenletének levezetését), és levezette az izoterm légkörre vonatkozó barometrikus képletet.

A fenti dolgozatokban Euler a folyadék mozgásának és egyensúlyának egyenleteit leírva független térbeli változóként az anyagi részecske aktuális helyzetének kartéziánus koordinátáit – Euler-változókat – vette (D’Alambert használta először ezeket a változókat a hidrodinamikában). Később a „A folyadékok mozgásának elveiről. Második szakasz” (1770) Euler bevezette a hidrodinamika egyenleteinek második formáját, amelyben az anyagi részecske kezdeti időpontban elfoglalt helyzetének kartéziánus koordinátáit (ma Lagrange-változóként ismertek) független térbeli változóknak tekintette.

Euler e téren elért főbb eredményeit egy háromkötetes Dioptrica (latinul: Dioptrica, 1769-1771) című művében foglalta össze. A főbb eredmények között: szabályok a refraktorok, reflektorok és mikroszkópok optimális jellemzőinek kiszámítására, a legnagyobb képfényesség, a legnagyobb látómező, a legrövidebb műszerhossz, a legnagyobb nagyítás, az okulár jellemzőinek kiszámítására.

Newton azt állította, hogy az akromatikus lencse létrehozása alapvetően lehetetlen. Euler azzal érvelt, hogy különböző optikai tulajdonságokkal rendelkező anyagok kombinációjával megoldható a probléma. Hosszas polémia után 1758-ban Eulernek sikerült meggyőznie John Dollond angol optikust, aki ezután két különböző összetételű üvegből készült lencsét egymáshoz kapcsolva elkészítette az első akromatikus lencsét. 1784-ben pedig F. Epinus szentpétervári akadémikus megépítette a világ első akromatikus mikroszkópját.

Csillagászat

Euler sokat dolgozott az égi mechanika területén. Az egyik sürgető feladat akkoriban az volt, hogy egy égitest (pl. egy üstökös) pályájának paramétereit kis számú megfigyelésből meghatározzák. Euler jelentősen továbbfejlesztette az erre a célra szolgáló numerikus módszereket, és gyakorlatilag alkalmazta azokat az 1769-es üstökös elliptikus pályájának meghatározásakor; ezekre a munkákra támaszkodott Gauss, aki megadta a probléma végleges megoldását.

Euler lefektette a perturbációelmélet alapjait, amelyet később Laplace és Poincaré fejezett be. Bevezette a pálya oszcilláló elemeinek alapvető fogalmát, és levezette az időbeli változásukat meghatározó differenciálegyenleteket. Megalkotta a Föld tengelye precessziójának és nutációjának elméletét, és megjósolta a Föld „pólusainak szabad mozgását”, amelyet egy évszázaddal később Chandler fedezett fel.

1748-1751 között Euler közzétette a fény aberrációjának és a parallaxisnak a teljes elméletét. 1756-ban közzétette a csillagászati fénytörés differenciálegyenletét, és megvizsgálta a fénytörés függését a megfigyelési ponton uralkodó nyomástól és hőmérséklettől. Ezek az eredmények óriási hatással voltak a csillagászat fejlődésére a következő években.

Euler nagyon pontos elméletet alkotott a Hold mozgásáról, és ehhez kifejlesztett egy speciális módszert a pályaelemek variálására. Ezt a módszert később, a 19. században kiterjesztették és alkalmazták a nagy bolygók mozgásának modelljeire, és ma is használják. Mayer Euler elmélete alapján kiszámított táblázatai (1767) alkalmasnak bizonyultak a tengeri hosszúság meghatározásának sürgető problémájának megoldására is, és az angol admiralitás különdíjat fizetett érte Mayernek és Eulernek. Euler fő művei ezen a területen:

Euler nemcsak a gömb alakú, hanem az ellipszis alakú testek gravitációs terét is vizsgálta, ami jelentős előrelépést jelentett. Ő volt az első tudós is, aki rámutatott az ekliptika síkjának szekuláris eltolódására (1756), és az ő javaslatára az 1700-as évek eleji dőlést azóta is referenciának tekintik. Ő dolgozta ki a Jupiter és más erősen összenyomott bolygók műholdjainak mozgására vonatkozó elmélet alapjait.

1748-ban, jóval P. N. Lebegyev munkája előtt, Euler azt feltételezte, hogy az üstökösök csóvája, a sarki fény és az állatövi fény közös jellemzője a napsugárzásnak az égitestek légkörére vagy anyagára gyakorolt hatása.

Zeneelmélet

Euler egész életében a zenei harmónia iránt érdeklődött, és arra törekedett, hogy annak világos matematikai alapot adjon. Korai művének, a Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) célja az volt, hogy matematikailag leírja, miben különbözik a kellemes (eufonikus) zene a kellemetlen (kellemetlen) zenétől. A „Tapasztalat” VII. fejezetének végén Euler az intervallumokat „a kellemes hangzás fokai” (gradus suavitatis) szerint rendezte el, az oktávot a II. osztályba sorolva (néhány osztály (köztük az első, a harmadik és a hatodik) Euler kellemes hangzású táblázatából kimaradt. Erről a műről az a vicc keringett, hogy túl sok zenét tartalmazott a matematikusoknak, és túl sok matematikát a zenészeknek.

Kései éveiben, 1773-ban Euler a Szentpétervári Tudományos Akadémián tartott egy előadást, amelyben végleges formájában megfogalmazta a hangrendszer rácsos ábrázolását, amelyet a szerző metaforikusan „a zene tükrének” (lat. speculum musicae) nevezett. A következő évben Euler dolgozatát De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis („A speculum musicae által bemutatott harmónia valódi alapjairól”) című kis értekezésként adták ki. Tonnetz néven az euleri rácsot széles körben használták a 19. századi német zeneelméletben.

Egyéb ismeretkörök

1749-ben Euler kétkötetes monográfiát jelentetett meg „A tenger tudománya, avagy értekezés a hajóépítésről és a hajózásról” címmel, amelyben analitikus módszereket alkalmazott a hajóépítés és a tengeri hajózás gyakorlati problémáira, például a hajók alakjára, a stabilitás és az egyensúly kérdéseire, a hajó mozgásának irányítási módszereire. Krylov általános hajóstabilitás-elmélete a „Tengeri tudományok” című művén alapul.

Euler tudományos érdeklődése kiterjedt az élettanra is; különösen a hidrodinamika módszereit alkalmazta az érben folyó vér áramlásának alapelveinek tanulmányozására. 1742-ben a dijoni akadémiának küldött egy cikket a folyadékok rugalmas csövekben (amelyeket az erek modelljének tekintettek) történő áramlásáról, 1775 decemberében pedig a pétervári tudományos akadémiának bemutatta Principia pro motu sanguines per arteria determinando (A vér artériákon keresztül történő mozgásának meghatározási elvei) című feljegyzését. Ez a mű a szív periodikus összehúzódásai által okozott vérmozgás fizikai és élettani elveit elemezte. A vért összenyomhatatlan folyadékként kezelve Euler megoldást talált az általa összeállított mozgásegyenletekre a merev csövek esetére, a rugalmas csövek esetében pedig a véges mozgás általános egyenleteinek levezetésére szorítkozott.

Oroszországba érkezésekor Euler egyik fő feladata a tudományos személyzet képzése volt. Euler közvetlen tanítványai közé tartozott:

Euler egyik prioritása a tankönyvek létrehozása volt. Ő maga írta a „Számtani kézikönyvet a császári Tudományos Akadémia gimnáziumában való használatra” (1738-1740), az „Egyetemes számtant” (1768-1769). Fuss szerint Euler eredeti módszerhez folyamodott – a tankönyvet egy fiú-szolgának diktálta, és figyelte, hogyan érti meg a szöveget. Ennek eredményeképpen a fiú megtanult feladatokat megoldani és önállóan számításokat végezni.

Euler nevét róla kapta:

Euler teljes művei, amelyeket 1909 óta a Svájci Természettudósok Társasága ad ki, még mindig nem teljesek; 75 kötetet terveztek, amelyből 73 jelent meg:

További nyolc kötetet szentelnek Euler tudományos levelezésének (több mint 3000 levél).

1907-ben orosz és számos más tudós ünnepelte a nagy matematikus 200. születésnapját, 1957-ben pedig a szovjet és a berlini tudományos akadémia ünnepélyes üléseket szentelt a 250. születésnapjának. Euler 300. születésnapjának előestéjén (2007) Szentpéterváron nemzetközi jubileumi fórumot tartottak, és filmet forgattak Euler életéről. Ugyanebben az évben a szentpétervári Nemzetközi Euler Intézet bejáratánál Euler-emlékművet avattak. A szentpétervári hatóságok azonban elutasítottak minden olyan javaslatot, hogy teret vagy utcát nevezzenek el a tudósról; Oroszországban még mindig nincsenek Euler-utcák.

Személyes tulajdonságok és osztályzatok

Kortársai szerint Euler jószívű, szelíd természetű volt, és szinte senkivel sem veszekedett. Még Johann Bernoulli is, akinek kemény jellemét testvére, Jákob és fia, Dániel is megtapasztalta, rendületlenül melegszívű volt vele. Eulernek csak egy dologra volt szüksége az élet teljességéhez – a rendszeres matematikai alkotás lehetőségére. Intenzíven tudott dolgozni akár „egy gyermekkel az ölében és egy macskával a hátán” is. Euler ugyanakkor vidám, társaságkedvelő volt, szerette a zenét és a filozófiai beszélgetéseket.

P. P. Pekarsky akadémikus Euler kortársainak tanúságtételei alapján rekonstruálta a tudósról alkotott képet: „Euler nagy művészete volt, hogy nem hivalkodott tudományosságával, elrejtette felsőbbrendűségét, és mindenki szintjén volt. Mindig kiegyenlített temperamentum, szelíd és természetes vidámság, némi jóindulatú gúny, naiv és humoros társalgás – mindez a vele való beszélgetést éppoly kellemes, mint amilyen vonzóvá tette.

Ahogy a kortársak megjegyzik, Euler nagyon vallásos volt. Condorcet szerint Euler minden este összegyűjtötte a vele élő gyermekeit, szolgáit és tanítványait, hogy imádkozzanak. Felolvasott nekik egy-egy fejezetet a Bibliából, és néha prédikációval kísérte az olvasást. 1747-ben Euler a kereszténység ateizmussal szembeni védelmében értekezést adott ki „Az isteni kinyilatkoztatás védelme a szabadgondolkodók támadásaival szemben” címmel. Eulernek a teológiai érvelés iránti vonzódása okozta híres kortársai – D’Alembert és Lagrange – negatív hozzáállását (mint filozófushoz). A magát „szabadgondolkodónak” tartó és Voltaire-rel levelező II. Frigyes azt mondta, hogy Euler „bűzlik a paptól”.

Euler gondoskodó családapa volt, aki szívesen segített kollégáinak és a fiataloknak, és nagylelkűen megosztotta velük ötleteit. Köztudott, hogy Euler késleltette a variációszámításról szóló publikációit, hogy az akkor még fiatal és ismeretlen Lagrange, aki egymástól függetlenül jutott el ugyanezekre a felfedezésekre, előbb publikálhassa azokat. Lagrange mindig is csodálta Eulert mind matematikusként, mind emberként; azt mondta: „Ha igazán szereted a matematikát, olvasd Eulert”.

„Olvassátok, olvassátok Eulert, ő a mi közös tanítónk”, ahogy Laplace szerette ismételgetni (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Euler műveit nagy haszonnal tanulmányozta a „matematikusok királya” Karl Friedrich Gauss és gyakorlatilag a 18. és 19. század minden híres tudósa.

D’Alambert Lagrange-hoz írt egyik levelében Eulert „annak az ördögnek” (frès se diable d’homme) nevezi, mintha ezzel a kommentátorok szerint azt akarná jelezni, hogy amit Euler tett, az meghaladja az emberi erőt.

М. V. Ostrogradszkij N. N. Fussnak írt levelében így fogalmazott: „Euler teremtette meg a modern analízist, egyedül gazdagította azt jobban, mint követői együttvéve, és az emberi ész leghatalmasabb eszközévé tette”. Sz. I. Vavilov akadémikus írta: „I. Péterrel és Lomonoszovval együtt Euler lett Akadémiánk jó géniusza, aki meghatározta dicsőségét, erődjét, termelékenységét.

Lakcímek

1743 és 1766 között Euler a Berenstrasse 21. szám alatti házban lakott.

1766-tól Euler a Nyikolajevszkaja rakpart 15. szám alatti bérházban lakott (egy nagy tűzvész okozta megszakítással). A szovjet időkben az utcát átkeresztelték Schmidt hadnagy rakpartra. A házon emléktábla van, és ma középiskola működik benne.

Bélyegek, érmék, bankjegyek

2007-ben az orosz központi bank emlékérmét bocsátott ki L. Euler születésének 300. évfordulója alkalmából. Euler arcképe a svájci 10 frankos bankjegyen (6. sorozat), valamint svájci, orosz és német bélyegeken is szerepel.

Matematikai olimpiák

Az Euler által bizonyított geometriai, algebrai és kombinatorikai tények nagy része általánosan használatos az olimpiai matematikában.

2007. április 15-én Leonhard Euler születésének 300. évfordulója alkalmából több szervezet támogatásával internetes matematikai olimpiát rendeztek iskolások számára. 2008 óta rendezik meg a Leonhard Euler Matematikai Olimpiát nyolcadikosok számára, amely részben a nyolcadikosok számára rendezett összoroszországi matematikai olimpia regionális és döntő szakaszának kiesését hivatott pótolni.

A történészek valamivel több mint ezer közvetlen leszármazottját fedezték fel Leonhard Eulernek. Legidősebb fia, Johann Albrecht jelentős matematikus és fizikus lett. A második fiú, Karl híres orvos volt. A fiatalabbik fiú, Kristóf később az orosz hadsereg altábornagya és a szesztrojetkai fegyvergyár parancsnoka lett. Euler valamennyi gyermeke elfogadta az orosz állampolgárságot (Euler maga egész életében svájci alattvaló maradt).

Az 1980-as évek végén a történészek mintegy 400 élő leszármazottat tartottak számon, akiknek körülbelül a fele a Szovjetunióban élt.

Íme egy rövid genealógiai fa Euler néhány ismert leszármazottjáról (a vezetéknév meg van adva, ha az nem „Euler”).

Euler további leszármazottai: N. I. Gekker, V. F. Gekker és I. R. Gekker, V. E. Scalon és E. N. Behrendts. A leszármazottak között számos tudós, geológus, mérnök, diplomata és orvos található; kilenc tábornok és egy admirális is van köztük. Euler leszármazottja a Szentpétervári Nemzetközi Kriminológiai Klub elnöke, D. A. Sesztakov.

Cikkforrások

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
7. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
8. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
9. Dunham 1999, p. xiii