Euclide

gigatos | Maggio 1, 2023

Riassunto

Euclide (greco Εὐκλείδης, Eukleidēs, latino Euclīdēs) è stato un matematico e geometra greco (325 a.C. circa – 265 a.C. circa). Attivo ad Alessandria d’Egitto (antico Egitto) al tempo di Tolomeo I Soter (323 – 283 a.C.), fu il fondatore della scuola di matematica della città.

La sua opera più famosa fu gli Elementi, spesso considerati il libro di testo di maggior successo nella storia della matematica. Le proprietà degli oggetti geometrici e dei numeri naturali sono dedotte da un piccolo insieme di assiomi. Quest’opera, uno dei più antichi trattati conosciuti che presenta sistematicamente, con prove, un ampio insieme di teoremi sulla geometria e sull’aritmetica teorica, ha visto centinaia di edizioni in tutte le lingue e i suoi argomenti rimangono alla base dell’insegnamento della matematica a livello secondario in molti Paesi. Il nome di Euclide deriva dall’algoritmo di Euclide, dalla geometria euclidea (e non euclidea) e dalla divisione euclidea. Ha scritto anche sulla prospettiva, sulle sezioni coniche, sulla geometria sferica e sulla teoria dei numeri.

La sua vita è poco conosciuta, perché visse ad Alessandria (città dell’Egitto settentrionale) durante il regno di Tolomeo I. Alcuni autori arabi sostengono che Euclide nacque a Tiro e visse a Damasco. Alcuni autori arabi sostengono che Euclide nacque a Tiro e visse a Damasco. Non esiste alcuna fonte diretta per la vita di Euclide: nessuna lettera, nessuna indicazione autobiografica (nemmeno sotto forma di prefazione in un’opera), nessun documento ufficiale e nemmeno alcuna allusione da parte di un suo contemporaneo. Come riassume lo storico della matematica Peter Schreiber, “non si conosce un solo fatto certo sulla vita di Euclide. Era figlio di Naucrate e sono state avanzate tre ipotesi:

Probabilmente Euclide studiò all’Accademia di Platone, apprendendo le basi della sua conoscenza.

Proclo, l’ultimo dei grandi filosofi greci, vissuto intorno al 450, scrisse importanti commenti al Libro I degli Elementi, che costituiscono una preziosa fonte di informazioni sulla storia della matematica greca. Sappiamo, ad esempio, che Euclide raccolse i contributi di Eudosso di Cnido sulla teoria delle proporzioni e di Teeteto sui poliedri regolari.

Precisamente, il più antico scritto conosciuto sulla vita di Euclide appare in un riassunto sulla storia della geometria scritto nel V secolo d.C. dal filosofo neoplatonico Proclo, commentatore del primo libro degli Elementi. Proclo stesso non fornisce alcuna fonte per le sue indicazioni. Dice solo: “raccogliendo i suoi Elementi, evoca con dimostrazioni inconfutabili ciò che i suoi predecessori avevano insegnato in modo disinvolto”. Quest’uomo visse, d’altra parte, sotto il primo Tolomeo, poiché Archimede cita Euclide. Euclide è quindi più recente dei discepoli di Platone, ma più antico di Archimede ed Eratostene”.

Se si accetta la cronologia fornita da Proclo, Euclide visse tra Platone e Archimede e fu contemporaneo di Tolomeo I, intorno al 300 a.C..

Nessun documento contraddice queste poche frasi, né le conferma realmente. La menzione diretta di Euclide delle opere di Archimede proviene da un passo considerato dubbio.

Archimede fa riferimento ad alcuni risultati degli Elementi e a un ostraco, rinvenuto sull’isola di Elefantina e datato III a.C.: esso tratta di figure studiate nel libro XIII degli Elementi, come il decagono e l’icosaedro, ma senza riprodurre esattamente gli enunciati euclidei; potrebbero, quindi, provenire da fonti precedenti a Euclide. La datazione approssimativa del 300 a.C. è comunque considerata compatibile con l’analisi del contenuto dell’opera euclidea ed è quella adottata dagli storici della matematica.

D’altra parte, c’è un’allusione del matematico Papo di Alessandria nel IV d.C., che suggerisce che gli studenti di Euclide avrebbero insegnato ad Alessandria. Alcuni autori hanno associato Euclide al Museion di Alessandria su questa base, ma non compare in nessun documento ufficiale. L’appellativo spesso associato a Euclide nell’antichità è semplicemente Stoitxeiotes, l’autore degli Elementi.

Su Euclide circolano diversi aneddoti, che però, essendo presenti anche per altri matematici, non sono considerati reali: ad esempio, quello famoso, spiegato da Proclo, secondo il quale Euclide avrebbe risposto a Tolomeo – che voleva una via più facile di quella degli Elementi – che non esistevano vie reali in geometria; una variante dello stesso aneddoto è attribuita anche a Menecmo e ad Alessandro Magno. Allo stesso modo, a partire dalla tarda antichità, ai racconti sulla vita di Euclide sono stati aggiunti diversi dettagli, senza nuove fonti e spesso in modo contraddittorio. Alcuni autori fanno nascere Euclide a Tiro, altri a Gela; gli vengono attribuite varie genealogie, maestri particolari, date di nascita e di morte diverse, per rispettare le regole del genere o per favorire certe interpretazioni. Nel Medioevo e all’inizio del Rinascimento, il matematico Euclide viene spesso confuso con un filosofo contemporaneo di Platone, Euclide di Megara.

Menzioni di opere attribuite a Euclide compaiono in diversi autori, in particolare nella Raccolta matematica di Pappo (solitamente datata al III o IV secolo) e nel Commento agli Elementi di Euclide di Proclo. Solo una parte di queste opere è giunta fino ai giorni nostri.

Cinque opere sono giunte fino a noi: Dati, Divisioni, Catottrica, Aspetti del cielo e Ottica. Da fonti arabe sono stati attribuiti a Euclide diversi trattati di meccanica. Il libro Sul pesante e sul leggero contiene, in nove definizioni e cinque proposizioni, le nozioni aristoteliche sul moto dei corpi e il concetto di gravità specifica. L’Equilibrio tratta la teoria della leva anche in modo assiomatico, con una definizione, due assiomi e quattro proposizioni. Un terzo frammento, sui cerchi descritti dalle estremità di una leva mobile, contiene quattro proposizioni. Queste tre opere si completano a vicenda in modo tale che è stato suggerito che siano resti di un unico trattato di meccanica scritto da Euclide.

Gli elementi

I suoi Elementi sono una delle produzioni scientifiche più conosciute al mondo e costituivano una raccolta delle conoscenze insegnate nel mondo accademico dell’epoca. Gli Elementi non erano, come talvolta si pensa, un compendio di tutte le conoscenze geometriche, ma piuttosto un testo introduttivo che copriva tutta la matematica elementare, cioè l’aritmetica, la geometria sintetica e l’algebra.

Gli Elementi sono divisi in tredici libri o capitoli, di cui la prima mezza dozzina è dedicata alla geometria piana elementare, i tre successivi alla teoria dei numeri, il libro X agli incommensurabili e gli ultimi tre principalmente alla geometria dei solidi.

Nei libri dedicati alla geometria, lo studio delle proprietà delle linee e dei piani, dei cerchi e delle sfere, dei triangoli e dei coni, ecc. Probabilmente nessuno dei risultati degli Elementi è stato dimostrato per la prima volta da Euclide, ma l’organizzazione del materiale e la sua esposizione sono senza dubbio dovuti a lui. In effetti, ci sono molte prove che Euclide abbia usato libri di testo precedenti quando scrisse gli Elementi, dal momento che presenta un gran numero di definizioni che non vengono utilizzate, come quella di oblungo, rombo e romboide. I teoremi di Euclide sono quelli generalmente appresi nella scuola moderna. Per citare alcuni dei più noti:

I libri VII, VIII e IX degli Elementi studiano la teoria della divisibilità. Vengono considerati il legame tra i numeri perfetti e i primi di Mersenne (noto come teorema di Euclide-Eulero), l’infinità dei numeri primi (teorema di Euclide), il lemma di Euclide sulla fattorizzazione (che porta al teorema fondamentale dell’aritmetica sull’unicità delle fattorizzazioni dei primi) e l’algoritmo di Euclide per trovare il massimo comun divisore di due numeri.

La geometria di Euclide, oltre a essere un potente strumento per il ragionamento deduttivo, è stata estremamente utile in molti campi del sapere, per esempio in fisica, astronomia, chimica e in vari campi dell’ingegneria. È certamente molto utile in matematica. Ispirata dall’armonia della presentazione di Euclide, nel secondo secolo fu formulata la teoria tolemaica dell’universo, secondo la quale la Terra è il centro dell’universo e i pianeti, la Luna e il Sole ruotano intorno ad essa secondo linee perfette, cioè cerchi e combinazioni di cerchi. Tuttavia, le idee di Euclide costituiscono una notevole astrazione dalla realtà. Ad esempio, egli ipotizza che un punto non abbia dimensioni; che una linea sia un insieme di punti che non ha né larghezza né spessore, ma solo lunghezza; che una superficie non abbia spessore, e così via. Poiché un punto, secondo Euclide, non ha dimensioni, gli viene assegnata una dimensione pari a zero. Una linea ha solo lunghezza, quindi acquisisce una dimensione pari a uno. Una superficie non ha spessore, né altezza, quindi ha dimensione due: larghezza e lunghezza. Infine, un corpo solido, come un cubo, ha dimensione tre: lunghezza, larghezza e altezza. Euclide cercò di riassumere tutte le conoscenze matematiche nel suo libro Gli elementi. La geometria di Euclide è un’opera che è rimasta invariata fino al XIX secolo.

Degli assiomi di partenza, solo l’assioma delle parallele sembrava meno ovvio. Diversi matematici hanno cercato senza successo di fare a meno di questo assioma cercando di dedurlo dal resto degli assiomi. Hanno cercato di presentarlo come un teorema, senza riuscirci.

Infine, alcuni autori hanno creato nuove geometrie basate sull’invalidazione o la sostituzione dell’assioma delle parallele, dando origine alle “geometrie non euclidee”. La caratteristica principale di queste geometrie è che, cambiando l’assioma delle parallele, gli angoli di un triangolo non sommano più a 180 gradi.

La Datio (Δεδομένα) è l’unica altra opera di Euclide che tratta di geometria e di cui esiste una versione greca (si trova, ad esempio, nel manoscritto X scoperto da Peyrard). È descritta in dettaglio anche nel libro VII della Collezione matematica di Papo, il “Tesoro dell’analisi”, strettamente legato ai primi quattro libri degli Elementi. Si tratta del tipo di informazioni fornite nei problemi geometrici e della loro natura. I dati sono collocati nel quadro della geometria piana e sono considerati dagli storici come un complemento degli Elementi, in una forma più adatta all’analisi dei problemi. L’opera contiene 15 definizioni e spiega cosa significa un oggetto geometrico, in posizione, in forma, in dimensione, e 94 teoremi. Questi spiegano che, se sono dati alcuni elementi di una figura, si possono determinare altre relazioni o elementi.

Sulle divisioni

Di quest’opera esistono brani in latino (De divisionibus), ma soprattutto un manoscritto in arabo, scoperto nel XIX secolo, che contiene 36 proposizioni, di cui quattro dimostrate.

Si occupa della divisione di figure geometriche in due o più parti uguali o in parti di proporzioni date. È simile a un’opera del III secolo d.C. di Erone di Alessandria. In quest’opera egli cerca di costruire linee rette che dividano figure date in proporzioni e forme date. Ad esempio, si chiede, dato un triangolo e un punto all’interno del triangolo, di costruire una retta che passi per il punto e che tagli il triangolo in due figure di area uguale; oppure, dato un cerchio, di costruire due rette parallele, in modo che la porzione di cerchio che esse limitano sia un terzo dell’area del cerchio.

Sulle fallacie (Pseudaria)

Il Libro delle fallacie (Περὶ Ψευδαρίων), un testo sugli errori di ragionamento, è un’opera perduta, conosciuta solo grazie alla descrizione fornita da Proclo. Secondo lui, lo scopo dell’opera era quello di abituare i principianti a individuare i ragionamenti falsi, in particolare quelli che imitano i ragionamenti deduttivi e hanno quindi l’apparenza della verità. Fornisce esempi di parallelismi.

Quattro libri sulle sezioni coniche

Quattro libri sulle sezioni coniche (Κωνικῶν Βιβλία), oggi perduto. Si trattava di un’opera sulle sezioni coniche che fu ampliata da Apollonio di Perga in un famoso libro sullo stesso argomento. È probabile che i primi quattro libri dell’opera di Apollonio siano stati tratti direttamente da Euclide. Secondo Papo, “Apollonio, avendo completato i quattro libri di coniche di Euclide e avendone aggiunti altri quattro, lasciò otto volumi di coniche”. Le coniche di Apollonio sostituirono rapidamente l’opera originale e all’epoca di Papo l’opera di Euclide era andata perduta.

Tre libri di porismi

Tre libri di porismi (Πορισμάτων Βιβλία) potrebbe essere stato un’estensione del suo lavoro sulle sezioni coniche, ma il significato del titolo non è chiaro. È un’opera che è andata perduta. L’opera è evocata in due passi di Proclo e, soprattutto, è oggetto di una lunga presentazione nel libro VII della raccolta di Pappo, il “Tesoro dell’analisi”, come esempio significativo e di ampio respiro dell’approccio analitico. Il termine porisma ha diversi usi: secondo Papo, designerebbe qui un enunciato di tipo intermedio tra teoremi e problemi. L’opera di Euclide avrebbe contenuto 171 affermazioni di questo tipo e 38 lemmi. Pappos fa degli esempi, come “se, partendo da due punti dati, si tracciano delle rette che intersecano una retta data, e se una di queste incide un segmento su una retta data, l’altra farà lo stesso su un’altra retta, con un rapporto fisso tra i due segmenti tagliati”. Interpretare l’esatto significato di cosa sia un porismo, ed eventualmente ripristinare tutti o parte degli enunciati dell’opera di Euclide, a partire dalle informazioni lasciate da Pappus, ha occupato molti matematici: i tentativi più noti sono quelli di Pierre Fermat nel XVII secolo, di Robert Simson nel XVIII secolo e soprattutto di Michel Chasles nel XIX secolo. Se la ricostruzione di Chasles non viene oggi presa sul serio dagli storici, essa ha dato al matematico l’opportunità di sviluppare la nozione di relazione anarmonica.

Due libri sui luoghi geometrici

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ riguardava luoghi geometrici su superfici o luoghi geometrici che erano essi stessi superfici. In un’interpretazione successiva, si ipotizza che l’opera potesse riguardare superfici quadriche. Si tratta anche di un’opera perduta di due libri, menzionata nel Tesoro dell’analisi di Pappo. Le indicazioni fornite da Proclo o da Pappo su questi luoghi di Euclide sono ambigue e non si conosce l’esatta domanda posta nell’opera. Nella tradizione della matematica greca antica, i luoghi sono insiemi di punti che verificano una determinata proprietà. Questi insiemi sono spesso linee rette o sezioni coniche, ma possono anche essere, ad esempio, superfici piane. La maggior parte degli storici ritiene che i luoghi di Euclide potessero essere superfici di rivoluzione, sfere, coni o cilindri.

Aspetti del cielo

Apparizioni del cielo o fenomeni (# Φαινόμενα) è un trattato di astronomia posizionale conservato in greco. È abbastanza simile a un’opera di Autolito (Sulla nozione di sfera) e discute l’applicazione della geometria della sfera all’astronomia ed è sopravvissuto in greco, in diverse versioni manoscritte, la più antica delle quali risale al X secolo. Questo testo spiega la cosiddetta “piccola astronomia”, in contrasto con gli argomenti trattati nella Grande Composizione di Tolomeo (l’Almagesto); contiene 18 proposizioni e si avvicina alle opere superstiti sullo stesso argomento di Autolito di Pitane.

Ottica

L’Ottica (Ὀπτικά) è il più antico trattato greco sopravvissuto, in diverse versioni, dedicato a problemi che oggi diremmo di prospettiva e apparentemente destinato all’uso in astronomia, assume la forma di Elementi: è una continuazione di 58 proposizioni la cui dimostrazione poggia su definizioni e postulati enunciati all’inizio del testo. Nelle sue definizioni, Euclide segue la tradizione platonica, secondo la quale la visione è causata da raggi emanati dall’occhio. Euclide descrive le dimensioni apparenti di un oggetto in relazione alla sua distanza dall’occhio e studia le forme apparenti di cilindri e coni visti da diverse angolazioni.

Euclide dimostra che le dimensioni apparenti di oggetti uguali non sono proporzionali alla loro distanza dal nostro occhio (proposizione 8). Spiega, ad esempio, la nostra visione di una sfera (e di altre superfici semplici): l’occhio vede una superficie inferiore al centro della sfera, una proporzione ancora minore man mano che la sfera si avvicina, anche se la superficie vista appare più grande e il contorno di quella vista è un cerchio. Il trattato, in particolare, contraddice un’opinione sostenuta da alcune scuole di pensiero, secondo cui la dimensione reale degli oggetti (in particolare dei corpi celesti) è la loro dimensione apparente, quella che si vede.

Papo considerò questi risultati importanti per l’astronomia e incluse l’Ottica di Euclide, insieme ai suoi Fenomeni, in un compendio di opere minori da studiare prima dell’Almagesto di Claudi Ptolemeu.

Trattato di musica

Proclo attribuisce a Euclide un trattato sulla musica (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), che, come l’astronomia, la musica teorica, ad esempio sotto forma di teoria applicata delle proporzioni, rientra tra le scienze matematiche. Due piccoli scritti si sono conservati in greco e sono stati inclusi in antiche edizioni di Euclide, ma la loro attribuzione è incerta, così come i loro possibili legami con gli Elementi. I due scritti (una Sezione del Canone sugli intervalli musicali e un’Introduzione armonica) sono invece considerati contraddittori, e almeno il secondo è oggi considerato dagli studiosi di un altro autore.

Opere falsamente attribuite a Euclide

La Catoptica (Κατοητρικά) si occupa della teoria matematica degli specchi, in particolare delle immagini che si formano negli specchi piani e sferici concavi. La sua attribuzione a Euclide è dubbia; il suo autore potrebbe essere Teone di Alessandria. Appare nel testo di Euclide sull’ottica e nel commento di Proclo. Oggi è considerato perduto e, in particolare, il Catoptricus, a lungo pubblicato come continuazione dell’Ottica nelle edizioni antiche, non è più attribuito a Euclide; si ritiene che sia una compilazione successiva.

Euclide è citato anche come autore di frammenti relativi alla meccanica, in particolare in testi sulla leva e sulla bilancia, in alcuni manoscritti latini o arabi. L’attribuzione è oggi considerata dubbia.

Altri riferimenti

Fonti

1. Euclides
2. Euclide
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
9. ^ Lolli, p. 16.
10. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
11. Зубов, 2007, с. 510.