Eulero

Alex Rover | Aprile 26, 2023

Riassunto

Leonhard Euler (15 aprile 1707, Basilea, Svizzera – 7 (18) settembre 1783, San Pietroburgo, Impero russo) è stato un matematico e meccanico svizzero, prussiano e russo che ha dato contributi fondamentali allo sviluppo di queste scienze (oltre che della fisica, dell’astronomia e di diverse scienze applicate). Insieme a Lagrange è stato il più grande matematico del XVIII secolo ed è considerato uno dei più grandi matematici della storia. Eulero scrisse oltre 850 opere (tra cui due dozzine di monografie fondamentali) sull’analisi matematica, la geometria differenziale, la teoria dei numeri, il calcolo approssimato, la meccanica celeste, la fisica matematica, l’ottica, la balistica, la costruzione navale, la teoria musicale e altri argomenti. Studiò medicina, chimica, botanica, aeronautica, teoria musicale e molte lingue europee e antiche. Accademico delle Accademie delle Scienze di San Pietroburgo, Berlino, Torino, Lisbona e Basilea, membro straniero dell’Accademia delle Scienze di Parigi. Primo membro russo dell’Accademia americana delle arti e delle scienze.

Trascorse quasi metà della sua vita in Russia, dove diede un contributo significativo allo sviluppo della scienza russa. Nel 1726 fu invitato a lavorare a San Pietroburgo, dove si trasferì un anno dopo. Dal 1726 al 1741 e dal 1766 fu accademico dell’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo (dal 1741 al 1766 lavorò a Berlino, rimanendo al contempo membro onorario dell’Accademia di San Pietroburgo). Dopo un anno trascorso in Russia aveva una buona conoscenza del russo e alcune delle sue opere (soprattutto libri di testo) furono pubblicate in russo. I primi accademici-matematici russi (S. K. Kotelnikov) e astronomi (S. Ya. Rumovsky) furono allievi di Eulero.

Svizzera (1707-1727)

Leonhard Euler nacque nel 1707 nella famiglia del pastore basilese Paul Euler, amico della famiglia Bernoulli, e di Marguerite Euler, nata Brooker. Poco dopo la sua nascita, la famiglia si trasferì a Richeng, dove il ragazzo trascorse i suoi primi anni di vita. Leonard ricevette l’istruzione primaria a casa sotto la guida del padre (quest’ultimo aveva studiato matematica sotto Jakob Bernoulli). Il pastore preparò il figlio maggiore a una carriera spirituale, ma gli insegnò anche la matematica, sia per divertimento che per sviluppare il suo pensiero logico, e Leonard mostrò un talento precoce per la matematica.

Quando Leonard crebbe, fu portato a casa della nonna a Basilea, dove frequentò il ginnasio (continuando a studiare con passione la matematica). Nel 1720 fu autorizzato a frequentare le lezioni pubbliche dell’Università di Basilea, dove attirò l’attenzione del professor Johann Bernoulli (fratello minore di Jakob Bernoulli). Il famoso scienziato inviò al giovane matematico articoli matematici da studiare e gli permise di venire a casa sua il sabato pomeriggio per chiarire punti difficili.

Il 20 ottobre 1720, il tredicenne Leonhard Euler divenne studente della Facoltà di Lettere dell’Università di Basilea. Ma il suo amore per la matematica portò Leonard su una strada diversa. Visitando la casa del suo maestro, Euler incontrò e fece amicizia con i suoi figli, Daniel e Nicholas, che anch’essi, nella tradizione di famiglia, studiavano a fondo la matematica. Nel 1723 Euler ricevette (come era consuetudine all’Università di Basilea) il suo primo premio (primam lauream). L’8 luglio 1724 il diciassettenne Leonhard Euler tenne un discorso in latino in cui confrontava le opinioni filosofiche di Cartesio e Newton e gli fu conferito il titolo di Master of Arts.

Nei due anni successivi il giovane Eulero scrisse diversi articoli scientifici. Uno di questi, “Dissertazione sulla fisica del suono”, fu presentato a un concorso per occupare il posto inaspettatamente vacante di professore di fisica all’Università di Basilea (1725). Ma nonostante la recensione favorevole, il diciannovenne Euler fu considerato troppo giovane per essere incluso tra i candidati alla cattedra. All’epoca, il numero di posti scientifici vacanti in Svizzera era molto ridotto. I fratelli Daniel e Nikolai Bernoulli si recarono quindi in Russia, dove stava nascendo l’Accademia delle Scienze, e promisero di chiedere un posto per Eulero.

All’inizio dell’inverno 1726-1727 Euler ricevette la notizia da San Pietroburgo: su raccomandazione dei fratelli Bernoulli fu invitato a ricoprire il posto di professore associato nel dipartimento di fisiologia (questo dipartimento era occupato da D. Bernoulli) con uno stipendio annuo di 200 rubli (Euler conservò una lettera al presidente dell’Accademia L.L. Blumentrost del 9 novembre 1726, in cui lo ringraziava per l’accettazione nell’Accademia). Poiché Johann Bernoulli era un famoso medico, in Russia anche Leonhard Euler, in quanto suo migliore allievo, era considerato un medico. Euler, tuttavia, rimandò la sua partenza da Basilea fino alla primavera, dedicando i mesi restanti allo studio serio delle scienze mediche, la cui profonda conoscenza avrebbe in seguito impressionato i suoi contemporanei. Infine, il 5 aprile 1727, Eulero lasciò definitivamente la Svizzera, anche se mantenne la cittadinanza svizzera (di Basilea) per il resto della sua vita.

Russia (1727-1741)

Il 22 gennaio (2 febbraio) 1724 Pietro I approvò il progetto dell’Accademia di Pietroburgo. Il 28 gennaio (8 febbraio) 1724 il Senato emanò un decreto sull’istituzione dell’Accademia. Dei 22 professori e professori associati invitati nei primi anni, 8 erano matematici che si occupavano anche di meccanica, fisica, astronomia, cartografia, teoria della costruzione navale, servizio di misure e pesi.

Eulero (il cui percorso da Basilea passò per Lubecca, Revel e Kronstadt) arrivò a San Pietroburgo il 24 maggio 1727; pochi giorni prima era morta l’imperatrice Caterina I, patrona dell’Accademia, e gli studiosi erano in preda allo sconforto e alla confusione. Eulero fu aiutato ad ambientarsi nella nuova sede dai compagni di Basilea: gli accademici Daniil Bernoulli e Jakob Hermann; quest’ultimo, professore della cattedra di matematica superiore, era lontano parente del giovane scienziato e gli offrì ogni tipo di patrocinio. Euler fu nominato professore associato di matematica superiore (e non di fisiologia, come inizialmente previsto), pur conducendo ricerche nel campo della dinamica dei fluidi a San Pietroburgo, ricevendo uno stipendio di 300 rubli all’anno e un appartamento.

Euler parlò correntemente il russo dopo pochi mesi dal suo arrivo a San Pietroburgo.

Nel 1728 iniziò la pubblicazione della prima rivista scientifica russa, i Commentari dell’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo (in latino). Già il secondo volume conteneva tre articoli di Eulero, e negli anni successivi quasi ogni numero dell’annuario accademico includeva alcuni dei suoi nuovi lavori. In totale, in questa edizione furono pubblicati più di 400 articoli di Eulero.

Nel settembre 1730 scadono i contratti degli accademici J. Herman (cattedra di matematica) e H. B. Bilfinger (cattedra di fisica sperimentale e teorica). Hermann (cattedra di matematica) e G. B. Bilfinger (cattedra di fisica sperimentale e teorica). Per i posti vacanti furono approvati Daniil Bernoulli e Leonard Ayler, quest’ultimo pagato fino a 400 rubli, e il 22 gennaio 1731 fu nominato professore ufficiale. Dopo altri due anni (1733), Daniel Bernoulli tornò in Svizzera ed Euler, lasciando la cattedra di fisica, prese il suo posto, diventando accademico e professore di matematica superiore con uno stipendio di 600 rubli (Daniel Bernoulli, però, ne riceveva il doppio).

Il 27 dicembre 1733, il ventiseienne Leonhard Euler sposò la coetanea Katharina (in tedesco Katharina Gsell), figlia del pittore accademico Georg Gsell (uno svizzero di San Pietroburgo). La coppia acquistò una casa sul lungofiume della Neva, dove si stabilì. La famiglia Euler ebbe 13 figli, ma tre figli e due figlie sopravvissero.

Il giovane professore aveva molto lavoro da svolgere: cartografia, esami di ogni tipo, consulenze per costruttori navali e artiglieri, redazione di manuali di formazione, progettazione di pompe antincendio, ecc. Gli fu persino richiesto di compilare oroscopi, che Eulero, con il dovuto tatto, affidò a un astronomo del personale. Alexander Pushkin cita una storia romantica: si suppone che Eulero abbia composto un oroscopo per un principe neonato, Giovanni Antonovich (1740), ma il risultato lo spaventò a tal punto che non lo mostrò a nessuno, e solo dopo la morte del povero principe ne parlò al conte K.G. Razumovsky. L’autenticità di questo aneddoto storico è molto dubbia.

Durante il suo primo periodo in Russia scrisse più di 90 importanti articoli scientifici. Gran parte delle “Note” accademiche sono piene di scritti di Eulero. Presentò relazioni a seminari scientifici, tenne conferenze pubbliche e partecipò a vari ordini tecnici di agenzie governative. Negli anni Trenta del XVII secolo Euler diresse il lavoro di mappatura dell’Impero russo, che (dopo la partenza di Euler nel 1745) fu completato con la pubblicazione dell’atlante del Paese. Come riferisce N. I. Fuss, nel 1735 l’Accademia ricevette l’incarico di eseguire un calcolo matematico urgente e molto gravoso; un gruppo di accademici chiese tre mesi di tempo, ma Eulero intraprese il lavoro per tre giorni – e riuscì a farlo da solo; tuttavia lo sforzo eccessivo non passò senza lasciare traccia: si ammalò e perse la vista dall’occhio destro. Tuttavia, lo stesso Eulero, in una delle sue lettere, attribuì la perdita dell’occhio al suo lavoro di cartografo nel dipartimento geografico dell’Accademia.

L’opera in due volumi Mechanics, or the science of motion set forth analytically, pubblicata nel 1736, portò a Eulero una fama europea generale. In questa monografia Eulero applicò con successo i metodi dell’analisi matematica alla soluzione generale dei problemi di moto nel vuoto e in un mezzo resistente.

Uno dei compiti più importanti dell’Accademia era la formazione del personale domestico, per la quale furono istituiti un’università e un ginnasio sotto l’Accademia. A causa della grave carenza di libri di testo in russo, l’Accademia chiese ai suoi membri di compilare tali manuali. Euler compilò in tedesco un ottimo “Manuale di aritmetica”, che fu immediatamente tradotto in russo e servì per diversi anni come libro di testo primario. La traduzione della prima parte fu realizzata nel 1740 da Vasilij Adodurov, il primo assistente russo dell’Accademia e allievo di Eulero.

La situazione peggiorò quando l’imperatrice Anna Ioannovna morì nel 1740 e il giovane Giovanni VI fu dichiarato imperatore. “Stava per accadere qualcosa di pericoloso”, scrisse in seguito Eulero nella sua autobiografia. – Dopo la morte della venerabile imperatrice Anna, durante la reggenza che seguì… la situazione cominciò a presentarsi incerta. Infatti, durante la reggenza di Anna Leopoldovna l’Accademia di San Pietroburgo cadde definitivamente in rovina. Euler cominciò a considerare l’opzione di tornare a casa o di trasferirsi in un altro Paese. Alla fine accettò l’offerta del re prussiano Federico, che lo invitò a condizioni molto favorevoli all’Accademia di Berlino, con l’incarico di direttore del dipartimento di matematica. L’Accademia si basava sulla Società Reale Prussiana, fondata da Leibniz, ma che all’epoca versava in condizioni disastrose.

Prussia (1741-1766)

Euler ha presentato le sue dimissioni alla direzione dell’Accademia di San Pietroburgo:

Per questo motivo sono costretto, sia per motivi di salute che per altre circostanze, a cercare un clima più piacevole e ad accettare la chiamata di Sua Maestà Reale Prussiana. Per questo motivo prego l’Accademia Imperiale delle Scienze di congedarmi gentilmente e di fornire a me e alla mia famiglia il passaporto necessario per il viaggio.

Il 29 maggio 1741 fu ottenuto il permesso dell’Accademia. Euler fu “rilasciato” e confermato come membro onorario dell’Accademia con uno stipendio di 200 rubli. Nel giugno 1741 Leonhard Euler, 34 anni, arrivò a Berlino con la moglie, due figli e quattro nipoti. Vi trascorse 25 anni e pubblicò circa 260 opere.

All’inizio Eulero fu accolto con gentilezza a Berlino e invitato persino ai balli di corte. Il marchese Condorcet ricorda che poco dopo il trasferimento a Berlino Eulero fu invitato a un ballo di corte. Alla domanda della regina madre sul perché di tanta reticenza, Eulero rispose: “Vengo da un paese dove chi parla viene impiccato”.

Eulero aveva molto lavoro da svolgere. Oltre alla ricerca matematica, diresse un osservatorio e si occupò di molte questioni pratiche, tra cui la produzione di calendari (la principale fonte di reddito dell’Accademia), il conio di monete prussiane, la posa di un nuovo acquedotto e l’organizzazione di pensioni e lotterie.

Nel 1742 fu pubblicata una raccolta in quattro volumi delle opere di Johann Bernoulli. Inviandola da Basilea a Eulero a Berlino, il vecchio scienziato scrisse al suo allievo: “Mi sono dedicato all’infanzia della matematica superiore. Tu, amico mio, continuerai la sua formazione nella maturità”. Durante il periodo berlinese uscirono una dopo l’altra le opere di Eulero: “Introduzione all’analisi degli infinitesimi” (1748), “Scienza del mare” (1749), “Teoria del moto della luna” (1753), “Esercitazione sul calcolo differenziale” (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Numerosi articoli su temi selezionati furono stampati nelle pubblicazioni delle Accademie di Berlino e di San Pietroburgo. Nel 1744 Eulero scopre il calcolo delle variazioni. I suoi lavori utilizzano una terminologia elaborata e simboli matematici che sono in gran parte sopravvissuti fino ai giorni nostri, e porta la sua esposizione al livello degli algoritmi pratici.

Durante gli anni trascorsi in Germania, Eulero rimase in contatto con la Russia. Partecipò alle pubblicazioni dell’Accademia di San Pietroburgo, acquistò libri e strumenti per essa e curò le sezioni matematiche delle riviste russe. Nel suo appartamento, con una pensione completa, vissero per anni giovani scienziati russi inviati per la formazione. È nota la vivace corrispondenza di Eulero con M. V. Lomonosov; nel 1747 diede un parere favorevole al presidente dell’Accademia delle Scienze, il conte K. G. Razumovsky, sugli articoli di Lomonosov sulla fisica e sulla chimica, affermando che:

Tutte queste tesi non sono solo buone, ma anche molto eccellenti, perché egli scrive della materia fisica e chimica molto necessaria, che fino ad allora non era conosciuta e non poteva essere interpretata dalle persone più argute, cosa che ha fatto con un tale successo che sono pienamente fiducioso nella giustizia delle sue spiegazioni. In questo caso, al signor Lomonosov va riconosciuto il merito di avere un eccellente talento nell’interpretare i fenomeni fisici e chimici. È auspicabile che le altre Accademie siano in grado di produrre simili rivelazioni, come ha dimostrato il signor Lomonosov.

Questa stima elevata non era impedita nemmeno dal fatto che Lomonosov non scriveva opere matematiche e non conosceva la matematica superiore. Tuttavia, nel 1755, a causa della mancanza di tatto di Lomonosov, che pubblicò senza il permesso di Eulero una sua lettera privata a suo sostegno, Eulero chiuse ogni rapporto con lui. Le relazioni furono ripristinate nel 1761 perché Lomonosov facilitò il ritorno di Eulero in Russia.

La madre comunicò a Euler la morte del padre in Svizzera e presto si trasferì da Euler (morì nel 1761). Nel 1753 Euler acquistò una tenuta a Charlottenburg (un sobborgo di Berlino) con un giardino e un terreno per ospitare la sua numerosa famiglia.

Secondo i contemporanei, Eulero rimase modesto, allegro, estremamente comprensivo e sempre pronto ad aiutare gli altri. Tuttavia, il suo rapporto con il re non funzionò: Federico trovò il nuovo matematico intollerabilmente noioso, totalmente asociale e lo trattò con disprezzo. Nel 1759 morì Mauperthuis, presidente dell’Accademia delle Scienze di Berlino e amico di Eulero. Il re Federico II offrì il posto di presidente dell’Accademia a D’Alumbert, che però rifiutò. Federico, che non amava Eulero, gli affidò comunque la guida dell’Accademia, ma senza il titolo di presidente.

Durante la Guerra dei Sette Anni, il feldmaresciallo Saltykov rimborsò immediatamente le perdite subite e in seguito l’imperatrice Elisabetta inviò altri 4.000 rubli.

Nel 1765 fu pubblicata la Teoria del moto dei solidi, seguita un anno dopo da Elementi di calcolo delle variazioni. È qui che compare per la prima volta il nome della nuova sezione della matematica creata da Eulero e Lagrange.

Nel 1762 Caterina II salì al trono russo e perseguì una politica di assolutismo illuminato. Ben consapevole dell’importanza della scienza per il progresso dello Stato e per il proprio prestigio, attuò una serie di importanti cambiamenti nel sistema di istruzione pubblica e di cultura favorevole alla scienza. L’imperatrice offrì a Eulero la direzione di una classe di matematica, il titolo di segretario di conferenza dell’Accademia e uno stipendio di 1800 rubli all’anno. E se non ti piace”, si legge nella lettera al suo rappresentante, “sarà lieta di comunicarti le sue condizioni, purché tu non esiti a venire a San Pietroburgo”.

Euler comunicò le sue condizioni in risposta:

Tutte queste condizioni furono accettate. Il 6 gennaio 1766 Caterina informò il conte Vorontsov:

La lettera del signor Euler a lei indirizzata mi ha fatto molto piacere, perché da essa apprendo il suo desiderio di rientrare al mio servizio. Naturalmente lo ritengo perfettamente degno dell’ambito titolo di Vicepresidente dell’Accademia delle Scienze, ma per questo è necessario prendere alcune misure prima di istituire il titolo – dico istituire, perché finora non esisteva. Allo stato attuale delle cose non ci sono i soldi per lo stipendio di 3000 rubli, ma per un uomo di tale merito come il signor Euler, aggiungerò allo stipendio accademico le entrate statali, che insieme ammontano ai 3000 rubli necessari… Sono sicuro che la mia Accademia risorgerà dalle ceneri di un’acquisizione così importante e mi congratulo in anticipo per aver restituito un grande uomo alla Russia.

In seguito Eulero pose una serie di altre condizioni (una pensione annuale di 1.000 rubli per la moglie dopo la sua morte, un risarcimento per le spese di viaggio, un posto per il figlio medico e un grado per Eulero stesso). Caterina soddisfece anche queste condizioni di Eulero, tranne la richiesta del rango, dicendo scherzosamente: “Gli avrei dato, se avesse voluto, il grado di… (nella stesura francese della lettera il consigliere collegiale è barrato), se non avessi temuto che questo grado lo avrebbe reso uguale a tante persone che non erano degne del signor Eulero. In verità, la sua fama è migliore del grado per dargli il giusto rispetto”.

Eulero chiese al re di essere licenziato dal servizio, ma non ricevette risposta. Si rivolse di nuovo al re, ma Federico non era disposto nemmeno a discutere la questione della sua partenza. Un sostegno decisivo per Eulero fu fornito dalle insistenti petizioni della rappresentanza russa a nome dell’imperatrice. Il 2 maggio 1766, Federico concesse finalmente al grande studioso il permesso di lasciare la Prussia, anche se nella sua corrispondenza non poté esimersi dal fare battute sprezzanti su Eulero (così, il 25 luglio scrisse a D’Alamberto: “Herr Euler, che amava follemente l’Orsa Maggiore e l’Orsa Minore, si è trasferito più a nord per poterle osservare”). È vero, servì come tenente colonnello di artiglieria (in seguito, per intercessione di Caterina II, poté comunque raggiungere il padre e fu promosso a tenente generale dell’esercito russo. Nell’estate del 1766 Eulero tornò in Russia, ormai in modo definitivo.

Di nuovo la Russia (1766-1783)

Il 17 (28) luglio 1766 il sessantenne Eulero, la sua famiglia e il suo nucleo familiare (18 in totale) arrivarono nella capitale russa. Subito dopo il suo arrivo fu ricevuto dall’imperatrice. Caterina II lo accolse come una persona augusta e lo colmò di favori: concesse 8000 rubli per l’acquisto di una casa sull’isola Vasilievsky e per l’acquisto di arredi, mise a disposizione per la prima volta uno dei suoi cuochi e lo incaricò di preparare considerazioni per la riorganizzazione dell’Accademia.

Purtroppo, dopo il suo ritorno a San Pietroburgo, Eulero sviluppò una cataratta all’unico occhio sinistro rimastogli e divenne presto cieco permanente. Probabilmente per questo motivo non ricevette mai la promessa carica di vicepresidente dell’Accademia (il che non impedì a Eulero e ai suoi discendenti di partecipare alla gestione dell’Accademia per quasi cento anni). Tuttavia, la cecità non influì sulla capacità di lavorare dello scienziato, che si limitò a osservare che ora sarebbe stato meno distratto dalla matematica. Prima di dotarsi di un segretario, Eulero dettava il suo lavoro a un ragazzo corpulento, che scriveva tutto in tedesco. Il numero delle sue opere pubblicate aumentò ulteriormente; durante il suo secondo soggiorno in Russia Eulero dettò più di 400 articoli e 10 libri, che rappresentano più della metà del suo patrimonio creativo.

Nel 1768-1770 pubblicò la sua classica monografia in due volumi, Aritmetica universale (pubblicata anche come Elementi di algebra e Corso completo di algebra). L’opera fu pubblicata per la prima volta in russo (1768-1769), mentre l’edizione tedesca uscì due anni dopo. Il libro fu tradotto in molte lingue e fu ristampato circa 30 volte (tre volte in russo). Tutti i successivi libri di testo di algebra furono fortemente influenzati dal libro di Eulero.

Negli stessi anni pubblicò la Dioptrica in tre volumi (1769-1771) sui sistemi di lenti e le fondamentali Institutiones calculi integralis (1768-1770), anch’esse in tre volumi.

Le “Lettere su varie questioni fisiche e filosofiche, scritte a una principessa tedesca” (1768) di Eulero divennero molto popolari nel XVIII secolo, e in parte anche nel XIX. (1768) che ha avuto più di 40 edizioni in 10 lingue (tra cui 4 edizioni in russo). Si trattava di un’enciclopedia scientifica popolare di ampio respiro, scritta in modo vivace e generalmente accessibile.

Nel 1771 si verificarono due gravi eventi nella vita di Eulero. A maggio ci fu un grande incendio a San Pietroburgo che distrusse centinaia di edifici, tra cui la casa e quasi tutti i beni di Eulero. Lo scienziato si salvò a stento. Tutti i manoscritti si salvarono dall’incendio; solo una parte della sua “Nuova teoria del moto lunare” andò bruciata, ma fu rapidamente restaurata con l’aiuto di Eulero, che conservò la sua memoria fenomenale fino alla vecchiaia. Eulero dovette trasferirsi temporaneamente in un’altra casa. Il secondo evento: nel settembre dello stesso anno, su invito speciale dell’imperatrice, il famoso oculista tedesco Barone Wentzel arrivò a San Pietroburgo per curare Eulero. Dopo una visita, accettò di eseguire un’operazione su Eulero e rimosse una cataratta dall’occhio sinistro. Euler poté tornare a vedere. Il medico gli prescrisse di tenere l’occhio lontano dalla luce intensa, di non scrivere e di non leggere, abituandosi gradualmente alla nuova condizione. Ma pochi giorni dopo l’operazione Euler si tolse la benda e presto perse di nuovo la vista. Questa volta per sempre.

1772: “Una nuova teoria del moto della luna”. Eulero completò finalmente il suo lavoro di molti anni risolvendo approssimativamente il problema dei tre corpi.

Nel 1773, su raccomandazione di Daniel Bernoulli, arrivò a San Pietroburgo da Basilea l’allievo di Bernoulli, Nikolaus Fuss. Questo fu un grande colpo di fortuna per Eulero. Fuss, matematico di talento, si occupò del lavoro matematico di Eulero subito dopo il suo arrivo. Fuss sposò presto la nipote di Eulero. Per i dieci anni successivi – fino alla sua morte – Eulero gli dettò prevalentemente il suo lavoro, anche se a volte usava gli “occhi del figlio maggiore” e degli altri studenti. Nello stesso anno 1773 morì la moglie di Eulero, con la quale aveva vissuto per quasi 40 anni. La morte della moglie fu un colpo doloroso per lo scienziato, che era sinceramente legato alla sua famiglia. Euler sposò presto Salome Abigail, sorellastra della defunta moglie.

La “Trigonometria sferica generale” fu pubblicata nel 1779 e fu la prima esposizione completa dell’intero sistema di trigonometria sferica.

Euler lavorò attivamente fino ai suoi ultimi giorni. Nel settembre 1783 lo scienziato 76enne cominciò ad avvertire mal di testa e debolezza. Il 7 (18) settembre, dopo una cena trascorsa con la famiglia, parlando con l’accademico A. I. Lexel del pianeta Urano appena scoperto e della sua orbita, si sentì improvvisamente male. Euler riuscì a dire: “Sto morendo” e svenne. Poche ore dopo, senza riprendere conoscenza, morì per un’emorragia cerebrale.

“Ha smesso di calcolare e ha vissuto”, ha detto Condorcet in una mesta riunione dell’Accademia delle Scienze di Parigi (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

È stato sepolto nel cimitero luterano di Smolensk a San Pietroburgo. L’iscrizione in tedesco sul monumento recita: “Qui riposano i resti del famoso Leonhard Euler, saggio e uomo giusto. Nato il 4 aprile 1707 a Basilea, morì il 7 settembre 1783”. Dopo la morte di Eulero la sua tomba andò perduta e fu ritrovata, in stato di abbandono, solo nel 1830. Nel 1837, l’Accademia delle Scienze sostituì questa lapide con una nuova in granito (tuttora esistente) con l’iscrizione in latino “Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Durante la celebrazione del 250° anniversario di Eulero (1957) le ceneri del grande matematico sono state trasferite nella “Necropoli del XVIII secolo” nel cimitero Lazarevsky della Alexander Nevsky Lavra, dove si trovano vicino alla tomba di M. V. Lomonosov.

Eulero ha lasciato importanti opere in vari rami della matematica, della meccanica, della fisica, dell’astronomia e di alcune scienze applicate. La conoscenza di Eulero era enciclopedica; oltre alla matematica, studiò la botanica, la medicina, la chimica, la teoria della musica e molte lingue europee e antiche.

Eulero partecipava volentieri alle discussioni scientifiche, di cui era il più noto:

In tutti i casi citati, la posizione di Eulero è supportata dalla scienza moderna.

Matematica

In termini di matematica, il XVIII secolo è l’epoca di Eulero. Mentre prima di lui i progressi della matematica erano sparsi e non sempre coerenti, Eulero per la prima volta collegò l’analisi, l’algebra, la geometria, la trigonometria, la teoria dei numeri e altre discipline in un sistema unificato, aggiungendovi molte delle sue scoperte. Da allora, gran parte della matematica è stata insegnata “secondo Eulero” quasi senza modifiche.

Grazie a Eulero la matematica ha incluso la teoria generale delle serie, la fondamentale “formula di Eulero” nella teoria dei numeri complessi, l’operazione di confronto tra moduli, la teoria completa delle frazioni continue, il fondamento analitico della meccanica, numerose tecniche di integrazione e di soluzione delle equazioni differenziali, il numero e, la notazione i per l’unità immaginaria, una serie di funzioni speciali e molto altro.

È stato infatti Eulero a creare diverse nuove discipline matematiche: teoria dei numeri, calcolo delle variazioni, teoria delle funzioni complesse, geometria differenziale delle superfici; ha gettato le basi della teoria delle funzioni speciali. Altre sue aree di lavoro includono l’analisi diofantinica, la fisica matematica, la statistica, ecc.

Lo storico della scienza Clifford Truesdell ha scritto: “Eulero è stato il primo scienziato della civiltà occidentale a scrivere di matematica in un linguaggio chiaro e di facile lettura”. I biografi sottolineano che Eulero era un algoritmista virtuoso. Cercò sempre di portare le sue scoperte al livello di metodi di calcolo specifici e fu un maestro dei calcoli numerici. J. Condorcet racconta che una volta due studenti che stavano eseguendo in modo indipendente complessi calcoli astronomici ottennero risultati leggermente diversi nel segno 50 e si rivolsero a Eulero per chiedere aiuto. Eulero eseguì gli stessi calcoli nella sua mente e indicò il risultato corretto.

П. L. Chebyshev ha scritto: “Eulero è stato l’inizio di tutte le indagini che costituiscono la teoria generale dei numeri”. La maggior parte dei matematici del XVIII secolo era impegnata nello sviluppo dell’analisi, ma Eulero portò avanti per tutta la vita la passione per l’aritmetica antica. Grazie ai suoi scritti, l’interesse per la teoria dei numeri si ravvivò verso la fine del secolo.

Eulero proseguì le ricerche di Fermat, che in precedenza (sotto l’influenza di Diofanto) aveva formulato una serie di ipotesi sparse sui numeri naturali. Eulero dimostrò rigorosamente queste ipotesi, le generalizzò notevolmente e le combinò in una teoria significativa dei numeri. Introdusse nella matematica l’importantissima “funzione di Eulero” e la utilizzò per formulare il “teorema di Eulero”. Confutò l’ipotesi di Fermat secondo cui tutti i numeri della forma F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} sono semplici; si scopre che F 5 {displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} è divisibile per 641. Dimostrato l’affermazione di Fermat sulla rappresentazione di un numero primo dispari come somma di due quadrati. Ha fornito una delle soluzioni del problema dei quattro cubi. Ha dimostrato che il numero di Mersenne 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – è un numero primo; per quasi cento anni (fino al 1867) è rimasto il più grande numero primo conosciuto.

Eulero creò le basi per la teoria dei confronti e delle deduzioni quadratiche, specificando il criterio di risolvibilità di queste ultime. Eulero introdusse la nozione di radice iniziale e ipotizzò che per qualsiasi numero primo p esiste una radice iniziale modulo p; non riuscì a dimostrarlo, ma LeGendre e Gauss dimostrarono successivamente il teorema. L’altra congettura di Eulero, la legge di reciprocità quadratica, anch’essa dimostrata da Gauss, ebbe grande importanza nella teoria. Eulero dimostrò il Grande teorema di Fermat per n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} , ha creato una teoria completa delle frazioni continue, ha studiato varie classi di equazioni diffeomorfe e la teoria della divisione dei numeri in termini.

Nel problema del numero di partizioni di un numero naturale n {displaystyle n} ha ottenuto la formula che esprime la funzione derivata del numero di partizioni p ( n ) {displaystyle p(n)} {displaystyle p(n ) attraverso il prodotto infinito di

Eulero definì la funzione zeta, una generalizzazione della quale fu poi chiamata Riemann:

dove s {displaystyle displaystyle s} è un numero reale (in Riemann è complesso). Eulero ne ha ricavato una decomposizione:

dove il prodotto è preso per tutti i numeri primi p {displaystyle displaystyle p} . In questo modo scoprì che nella teoria dei numeri è possibile applicare i metodi dell’analisi matematica, dando origine alla teoria analitica dei numeri, che si basa sull’identità di Eulero e sul metodo generale delle funzioni derivate.

Uno dei principali contributi di Eulero alla scienza fu la monografia “Introduzione all’analisi degli infinitesimi” (1748). Nel 1755 fu pubblicato il supplemento “Calcolo differenziale” e nel 1768-1770 furono pubblicati tre volumi di “Calcolo integrale”. Nel complesso si tratta di un corso fondamentale e ben illustrato, con una terminologia e un simbolismo elaborati. “Si può dire che una buona metà di ciò che viene insegnato oggi nei corsi di algebra superiore e di analisi superiore si trova negli scritti di Eulero” (N. N. Luzin). Eulero è stato il primo a fornire una teoria sistematica dell’integrazione e delle tecniche utilizzate in essa. In particolare, è l’autore del metodo classico di integrazione delle funzioni razionali mediante scomposizione in frazioni semplici e del metodo di risoluzione delle equazioni differenziali di ordine arbitrario a coefficienti costanti.

Eulero ha sempre prestato particolare attenzione ai metodi di risoluzione delle equazioni differenziali – sia ordinarie che alle derivate parziali, avendo scoperto e descritto importanti classi di equazioni differenziali integrabili. Elaborò il metodo delle linee spezzate di Eulero (1768), il metodo numerico per la risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Insieme ad A. C. Clero derivò le condizioni di integrabilità delle forme differenziali lineari di due o tre variabili (1739). Ottenne importanti risultati nella teoria delle funzioni ellittiche, tra cui i primi teoremi sull’addizione degli integrali ellittici (1761). Fu il primo a studiare i massimi e i minimi di funzioni di molte variabili.

La base dei logaritmi naturali è nota fin dai tempi di Neper e Jacob Bernoulli, ma Eulero compì uno studio così approfondito di questa costante importantissima che da allora porta il suo nome. Un’altra costante da lui studiata è la costante di Eulero-Mascheroni.

A lui si deve anche la definizione moderna delle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche, nonché il loro simbolismo e la loro generalizzazione al caso complesso. Le formule spesso indicate nei libri di testo come “condizioni di Cauchy-Riemann” sarebbero più propriamente chiamate “condizioni di D’Alambert-Euler”.

Condivide con Lagrange l’onore di aver scoperto il calcolo delle variazioni, scrivendo le equazioni di Eulero-Lagrange per il problema della variazione generale. Nel 1744 Eulero pubblicò il suo trattato “Metodo di trovare le curve…” – la prima opera sul calcolo delle variazioni (conteneva, tra l’altro, la prima esposizione sistematica della teoria delle curve elastiche e risultati sulla resistenza dei materiali).

Eulero fece progredire notevolmente la teoria delle serie e la estese al dominio complesso, fornendo la famosa formula di Eulero che dà la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Il mondo matematico rimase molto colpito dalle serie riassunte per la prima volta da Eulero, tra cui la serie quadrata inversa, che nessuno era riuscito a fare prima di lui:

Eulero utilizzò le serie per studiare le funzioni trascendenti, cioè quelle funzioni che non sono espresse da un’equazione algebrica (ad esempio il logaritmo integrale). Scoprì (1729-1730) gli “integrali di Eulero”, funzioni speciali che ora sono entrate nella scienza come funzioni gamma e beta di Eulero. Nel 1764, risolvendo il problema delle oscillazioni di una membrana elastica (che aveva origine nella determinazione dell’altezza del suono dei timpani), Eulero fu il primo a introdurre le funzioni di Bessel per qualsiasi indice naturale (le ricerche di F. W. Bessel, di cui oggi portano il nome, risalgono al 1824).

Da un punto di vista successivo, le azioni di Eulero con le serie infinite non possono essere considerate sempre corrette (la giustificazione dell’analisi fu effettuata solo mezzo secolo più tardi), ma il suo fenomenale intuito matematico lo portava quasi sempre al risultato giusto. Tuttavia, per molti aspetti importanti la sua intuizione era in anticipo sui tempi: ad esempio, la sua proposta di comprensione generalizzata della somma di serie divergenti e delle operazioni su di esse è servita come base per la moderna teoria di queste serie, sviluppata tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo.

Nella geometria elementare Eulero scoprì diversi fatti non rilevati da Euclide:

Il secondo volume dell’Introduzione all’analisi degli infinitesimi (1748) è stato il primo testo al mondo sulla geometria analitica e sui fondamenti della geometria differenziale. Eulero fornì una classificazione delle curve algebriche del 3° e 4° ordine e delle superfici del secondo ordine. Il termine “trasformazioni affini” fu introdotto per la prima volta in questo libro, insieme alla teoria di tali trasformazioni. Nel 1732, Eulero ricavò l’equazione generale delle linee geodetiche su una superficie.

Nel 1760 fu pubblicata la fondamentale Indagine sulla curvatura delle superfici. Eulero scoprì che in ogni punto di una superficie liscia esistono due sezioni normali con raggio di curvatura minimo e massimo e che i loro piani sono reciprocamente perpendicolari. Egli ricavò una formula per la relazione tra la curvatura della sezione della superficie e le curvature principali.

Nel 1771, Eulero pubblicò il suo lavoro “Sui corpi la cui superficie può essere dispiegata su un piano”. Questo lavoro introduce la nozione di superficie dispiegabile, cioè una superficie che può essere sovrapposta a un piano senza pieghe o discontinuità. Eulero, tuttavia, fornisce qui una teoria abbastanza generale della metrica da cui dipende l’intera geometria interna della superficie. In seguito, lo studio della metrica diventerà lo strumento principale della teoria delle superfici.

In relazione ai compiti della cartografia, Eulero studiò a fondo le mappature conformi, applicando per la prima volta gli strumenti dell’analisi complessa.

Eulero prestò molta attenzione alla rappresentazione dei numeri naturali come somme di tipo speciale e formulò una serie di teoremi per il calcolo del numero di partizioni. Nella risoluzione di problemi combinatori studiò a fondo le proprietà delle combinazioni e delle permutazioni e introdusse i numeri di Eulero.

Eulero studiò gli algoritmi per la costruzione di quadrati magici mediante l’attraversamento di cavalli da scacchi. Due dei suoi lavori (1776, 1779) gettarono le basi per la teoria generale dei quadrati latini e greco-latini, il cui grande valore pratico divenne evidente dopo che Ronald Fisher creò metodi per la pianificazione degli esperimenti, nonché nella teoria dei codici a correzione di errore.

L’articolo di Eulero del 1736 “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” segnò l’inizio della teoria dei grafi come disciplina matematica. Il problema dei ponti di Königsberg fu il punto di partenza dello studio: si può attraversare ogni ponte una volta e tornare al punto di partenza? Eulero lo formalizzò riducendolo al problema dell’esistenza in un grafo (i cui vertici corrispondono a parti della città separate da rami del fiume Pregolya e gli spigoli a ponti) di un ciclo o di un percorso che passi per ogni spigolo esattamente una volta (nella terminologia moderna, rispettivamente, di un ciclo euleriano e di un percorso euleriano). Risolvendo quest’ultimo problema, Eulero dimostrò che affinché un ciclo euleriano esista in un grafo, il suo grado (il numero di spigoli che escono dal vertice) deve essere pari per ogni vertice e il percorso euleriano deve essere pari per tutti i vertici tranne due (nel problema dei ponti di Königsberg non è così: i gradi sono 3, 3, 3 e 5).

Eulero ha dato un contributo significativo alla teoria e ai metodi di calcolo approssimato. Fu il primo ad applicare i metodi analitici alla cartografia. Propose un metodo conveniente per rappresentare graficamente le relazioni e le operazioni sugli insiemi, chiamato cerchi di Eulero (o Eulero-Venne).

Meccanica e fisica

Molte opere di Eulero sono dedicate a vari rami della meccanica e della fisica. A proposito del ruolo chiave di Eulero nel trasformare la meccanica in una scienza esatta, C. Truesdell ha scritto: “La meccanica, come viene insegnata oggi a ingegneri e matematici, è in gran parte una sua creazione”.

Nel 1736 fu pubblicato il trattato in due volumi di Eulero “Meccanica, o scienza del moto, in un’esposizione analitica”, che segnò una nuova tappa nello sviluppo di questa antica scienza ed era dedicato alla dinamica del punto materiale. A differenza dei fondatori di questa disciplina dinamica, Galileo e Newton, che utilizzavano metodi geometrici, il ventinovenne Eulero propose un metodo analitico regolare e uniforme per risolvere vari problemi di dinamica: la compilazione delle equazioni differenziali del moto di un oggetto materiale e la loro successiva integrazione in condizioni iniziali date.

Il primo volume del trattato tratta il moto di un punto materiale libero, il secondo quello di un punto proprietario, e viene studiato il moto nel vuoto e in un mezzo resistente. I problemi di balistica e la teoria del pendolo sono considerati separatamente. Qui Eulero scrive per la prima volta l’equazione differenziale del moto rettilineo di un punto, e per il caso generale del moto curvilineo introduce le equazioni naturali del moto – equazioni in proiezione sugli assi del triedro che lo accompagna. In molti problemi concreti completa l’integrazione delle equazioni del moto fino alla fine; nei casi di moto di punti senza resistenza utilizza sistematicamente il primo integrale delle equazioni del moto – l’integrale dell’energia. Nel secondo volume, in relazione al problema del moto di un punto su una superficie arbitrariamente curva, viene presentata la geometria differenziale delle superfici creata da Eulero.

Eulero tornò alla dinamica di un punto materiale più tardi. Nel 1746, studiando il moto di un punto materiale su una superficie in movimento, giunse (contemporaneamente a D. Bernoulli e P. Darcy) al teorema sulla variazione del momento angolare. Nel 1765 Eulero, sfruttando un’idea avanzata nel 1742 da C. McLaren sull’espansione delle velocità e delle forze lungo tre assi coordinati fissi, scrisse per la prima volta le equazioni differenziali del moto di un punto materiale nelle proiezioni sugli assi fissi cartesiani.

Quest’ultimo risultato fu pubblicato da Eulero nel suo secondo trattato fondamentale sulla dinamica analitica, il libro “Teoria del moto dei solidi” (1765). Il suo contenuto principale, tuttavia, è dedicato a un’altra sezione della meccanica – la dinamica dei solidi, di cui Eulero fu il fondatore. Il trattato contiene, in particolare, la derivazione di un sistema di sei equazioni differenziali del moto di un corpo solido libero. Il teorema sulla riduzione del sistema di forze applicate a un corpo solido a due forze, enunciato nel § 620 del trattato, è importante per la statica. Proiettando le condizioni di uguaglianza di queste forze a zero sugli assi delle coordinate, Eulero ottiene per la prima volta le equazioni di equilibrio di un corpo solido sotto l’azione di un sistema di forze spaziale arbitrario.

Nel trattato del 1765 sono riportati anche alcuni risultati fondamentali di Eulero relativi alla cinematica dei solidi (nel XVIII secolo la cinematica non era ancora stata identificata come una branca separata della meccanica). Tra questi, si possono citare le formule di Eulero per la distribuzione delle velocità dei punti di un corpo assolutamente solido (l’equivalente vettoriale di queste formule è la formula di Eulero cinematica) e le equazioni di Eulero cinematiche, che danno le derivate degli angoli di Eulero (usati in meccanica per specificare l’orientamento di un corpo solido) attraverso le proiezioni delle velocità angolari sugli assi coordinati.

Oltre a questo trattato, due opere precedenti di Eulero sono importanti per la dinamica dei solidi: “Studi sulla conoscenza meccanica dei corpi” e “Il moto di rotazione dei solidi intorno a un asse variabile”, che furono presentate all’Accademia delle Scienze di Berlino nel 1758, ma furono pubblicate nelle sue “Note” più tardi (nello stesso 1765 del trattato). In essi: fu sviluppata la teoria dei momenti d’inerzia (stabilendo l’esistenza di almeno tre assi di rotazione libera in qualsiasi corpo rigido con un punto fisso; furono ottenute le equazioni dinamiche di Eulero che descrivono la dinamica di un corpo rigido con un punto fisso; fu data una soluzione analitica di queste equazioni nel caso di momento principale di forza esterna nullo (caso di Eulero) – uno dei tre casi generali di integrabilità nel problema della dinamica di un corpo solido rigido con un punto fisso.

Nell’articolo “Formule generali per lo spostamento arbitrario di un corpo rigido” (1775), Eulero formula e dimostra il teorema fondamentale della rotazione di Eulero, secondo il quale lo spostamento arbitrario di un corpo assolutamente rigido con un punto fisso è una rotazione di un certo angolo attorno a un asse passante per il punto fisso.

A Eulero si deve la formulazione analitica del principio di minima azione (proposto nel 1744 – in forma molto confusa – da P. L. Mauperthuis), la corretta comprensione delle condizioni di applicabilità del principio e la sua prima dimostrazione (effettuata nello stesso anno 1744 per il caso di un punto materiale che si muove sotto l’azione di una forza centrale). L’azione in questo caso (la cosiddetta azione abbreviata e non l’azione hamiltoniana) rispetto al sistema di punti materiali viene intesa come l’integrale

dove A {displaystyle A} и B {postazione B} – due configurazioni del sistema, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – massa, velocità algebrica ed elemento d’arco della traiettoria, rispettivamente i {displaystyle i} -esimo punto, n {displaystyle n} – è il numero di punti.

Di conseguenza, il principio di Mauperthuis-Euler, il primo di una serie di principi variazionali integrali della meccanica, fece il suo ingresso nella scienza; in seguito fu generalizzato da J. L. Lagrange, e oggi viene solitamente trattato come una delle forme (forma di Mauperthuis-Euler, considerata insieme alla forma di Lagrange e alla forma di Jacobi) del principio di Mauperthuis-Lagrange. Nonostante il suo contributo definitorio, nella discussione nata intorno al principio di minima azione Eulero difese con forza la priorità di Mauperthuis e sottolineò l’importanza fondamentale di questo principio in meccanica. Questa idea attirò l’attenzione dei fisici che, nel XIX e XX secolo, scoprirono il ruolo fondamentale dei principi variazionali in natura e applicarono l’approccio variazionale in molte parti della loro scienza.

Numerose opere di Eulero sono dedicate alla meccanica delle macchine. Nella sua memoria “Sulle applicazioni più proficue delle macchine semplici e complesse” (1747) Eulero propose di studiare le macchine non in stato di riposo, ma in stato di moto. Questo nuovo approccio “dinamico” fu giustificato e sviluppato da Eulero nella sua memoria “Sulle macchine in generale” (in cui fu il primo nella storia della scienza a indicare le tre parti costitutive delle macchine, che nel XIX secolo furono definite come motori, ingranaggi e organi di lavoro). Nella sua memoria “Principi della teoria delle macchine” (1763), Eulero dimostrò che nel calcolo delle caratteristiche dinamiche delle macchine in caso di moto accelerato, non si deve tener conto solo delle forze di trascinamento e dell’inerzia del carico utile, ma anche dell’inerzia di tutti i componenti della macchina, e fornì (in relazione ai motori idraulici) un esempio di tale calcolo.

Eulero si occupò anche di teoria applicata delle macchine, come la teoria delle macchine idrauliche e dei mulini a vento, lo studio dell’attrito nelle parti delle macchine e la profilatura degli ingranaggi (qui giustificò e sviluppò la teoria analitica degli ingranaggi involuti). Nel 1765 gettò le basi della teoria dell’attrito dei cavi flessibili e ottenne, in particolare, la formula di Eulero per la determinazione della tensione dei cavi, tuttora utilizzata per la soluzione di numerosi problemi pratici (ad esempio, nel calcolo di meccanismi con maglie flessibili).

Euler è anche associato all’introduzione coerente dell’idea di continuum nella meccanica, secondo la quale un corpo materiale è rappresentato, astraendo dalla sua struttura molecolare o atomica, come un mezzo continuo continuo continuo. Il modello del continuo fu introdotto da Eulero nella sua memoria “Scoperta di un nuovo principio di meccanica” (riferita nel 1750 all’Accademia delle Scienze di Berlino e pubblicata nelle sue “Memorie” due anni dopo).

L’autore della memoria basava la sua analisi sul principio di Eulero delle particelle materiali, una proposizione che viene ancora citata in molti libri di testo di meccanica e fisica (spesso senza menzionare Eulero): un corpo solido può essere modellato con qualsiasi grado di precisione scomponendolo mentalmente in particelle sufficientemente piccole e trattando ciascuna di esse come un punto materiale. Utilizzando questo principio, si possono ricavare varie relazioni dinamiche per un corpo continuo scrivendo i loro analoghi per le singole particelle materiali (nei termini di Eulero, “corpuscoli”) e sommandoli (in questo caso, sostituendo la somma su tutti i punti con l’integrazione sul volume dell’area occupata dal corpo). Questo approccio permise a Eulero di evitare l’uso dei mezzi del moderno calcolo integrale (come l’integrale di Stiltjes), che non erano ancora noti nel XVIII secolo.

Sulla base di questo principio, Eulero ottenne – applicando il teorema sulla variazione del momento angolare a un volume materiale elementare – la prima legge del moto di Eulero (in seguito apparve anche la seconda legge del moto di Eulero, risultato dell’applicazione del teorema sulla variazione del momento angolare). Le leggi del moto di Eulero rappresentavano infatti le leggi fondamentali del moto della meccanica dei continui; l’unica cosa che mancava per passare alle equazioni generali del moto attualmente utilizzate per tali mezzi era l’espressione delle forze superficiali attraverso il tensore delle sollecitazioni (questo fu fatto da O. Cauchy negli anni Venti del XIX secolo). Euler applicò i risultati ottenuti allo studio di modelli specifici di corpi solidi – sia nella dinamica dei corpi solidi (è nelle memorie citate che furono date per la prima volta le equazioni della dinamica di un corpo con un punto fisso, riferito ad assi cartesiani arbitrari), sia nell’idrodinamica e nella teoria dell’elasticità.

Nella teoria dell’elasticità, numerosi studi di Eulero sono dedicati alla teoria della flessione di travi e aste; nei suoi primi lavori (anni 1740) risolse il problema della flessione longitudinale di un’asta elastica, componendo e risolvendo l’equazione differenziale dell’asse piegato dell’asta. Nel 1757, nel suo “On the loading of columns”, Eulero fu il primo nella storia a ricavare una formula per il carico critico in compressione di un’asta elastica, dando origine alla teoria della stabilità dei sistemi elastici. L’applicazione pratica di questa formula avvenne molto più tardi, quasi un secolo dopo, quando molti Paesi (in primis l’Inghilterra) iniziarono a costruire ferrovie, richiedendo il calcolo della resistenza dei ponti ferroviari; fu allora che gli ingegneri adottarono – dopo alcuni affinamenti – il modello di Eulero.

Eulero è – insieme a D. Bernoulli e J. L. Lagrange – uno dei fondatori della fluidodinamica analitica; a lui si deve la creazione della teoria del moto di un fluido ideale (cioè un fluido privo di viscosità) e la soluzione di alcuni problemi specifici della meccanica dei fluidi. In “Principles of motion of fluids” (pubblicato nove anni dopo), applicando le sue equazioni della dinamica di un volume materiale elementare di un mezzo continuo al modello di un fluido perfetto incomprimibile, ottenne per la prima volta per tale fluido le equazioni del moto, nonché (per il caso generale tridimensionale) l’equazione di continuità. Studiando il moto senza vortici di un fluido incomprimibile, Eulero introdusse la funzione S S (in seguito chiamata potenziale di velocità da Helmholtz) e dimostrò che essa soddisfa un’equazione differenziale parziale: così l’equazione, oggi nota come equazione di Laplace, entrò nella scienza.

I risultati di questo lavoro furono sostanzialmente generalizzati da Eulero nel suo trattato “Principi generali del moto dei fluidi” (1755). Qui, per il caso di un fluido ideale comprimibile, presentò (praticamente in termini moderni) l’equazione di continuità e le equazioni del moto (tre equazioni differenziali scalari, alle quali corrisponde in forma vettoriale l’equazione di Eulero, l’equazione fondamentale dell’idrodinamica di un fluido ideale). Euler ha sottolineato che per chiudere questo sistema di quattro equazioni è necessaria una relazione costitutiva che permetta di esprimere la pressione p {displaystyle p} (che Euler chiama “elasticità”) come funzione della densità q {displaystyle q} e “un’altra proprietà r {displaystyle r} {displaystyle r} che influenza l’elasticità” (in realtà si riferiva alla temperatura). Discutendo la possibilità dell’esistenza di moti non potenziali di un fluido incomprimibile, Euler fornì il primo esempio concreto di flusso vorticoso e per i moti potenziali di tale fluido ottenne il primo integrale, un caso speciale dell’ormai noto integrale di Lagrange-Cauchy.

Dello stesso anno è anche la memoria di Eulero “General Principles of the Equilibrium State of Liquids”, che contiene una presentazione sistematica dell’idrostatica di un liquido ideale (compresa la derivazione dell’equazione generale di equilibrio dei liquidi e dei gas) e ricava una formula barometrica per un’atmosfera isoterma.

Nei documenti sopra citati Eulero, scrivendo le equazioni del moto e dell’equilibrio di un fluido, prese come variabili spaziali indipendenti le coordinate cartesiane della posizione corrente di una particella materiale – le variabili di Eulero (D’Alambert fu il primo a usare tali variabili in idrodinamica). Successivamente, in “Sui principi del moto dei fluidi. Sezione seconda” (1770), Eulero introdusse la seconda forma delle equazioni dell’idrodinamica, in cui le coordinate cartesiane della posizione di una particella materiale all’istante iniziale del tempo (oggi note come variabili di Lagrange) erano assunte come variabili spaziali indipendenti.

Euler raccolse le principali conquiste in questo campo in una Dioptrica in tre volumi (latino: Dioptrica, 1769-1771). Tra i principali risultati: regole per calcolare le caratteristiche ottimali di rifrattori, riflettori e microscopi, calcolando la massima luminosità dell’immagine, il massimo campo visivo, la minima lunghezza dello strumento, il massimo ingrandimento, le caratteristiche dell’oculare.

Newton sosteneva che creare una lente acromatica è fondamentalmente impossibile. Euler sosteneva che una combinazione di materiali con caratteristiche ottiche diverse poteva risolvere il problema. Nel 1758, dopo una lunga polemica, Euler riuscì a convincere l’ottico inglese John Dollond, che realizzò la prima lente acromatica collegando tra loro due lenti fatte di vetri di diversa composizione, e nel 1784 l’accademico F. Epinus a San Pietroburgo costruì il primo microscopio acromatico del mondo.

Astronomia

Eulero lavorò a lungo nel campo della meccanica celeste. Uno dei compiti più urgenti dell’epoca era quello di determinare i parametri dell’orbita di un corpo celeste (ad esempio una cometa) a partire da un numero ridotto di osservazioni. Eulero migliorò notevolmente i metodi numerici a questo scopo e li applicò praticamente alla determinazione dell’orbita ellittica della cometa del 1769; su questi lavori si basò Gauss, che diede la soluzione finale al problema.

Eulero gettò le basi della teoria delle perturbazioni, poi completata da Laplace e Poincaré. Introdusse il concetto fondamentale di elementi oscillanti di un’orbita e derivò le equazioni differenziali che ne determinano la variazione nel tempo. Costruì la teoria della precessione e della nutazione dell’asse terrestre e predispose il “movimento libero dei poli” della Terra, scoperto un secolo dopo da Chandler.

Nel 1748-1751 Euler pubblicò una teoria completa dell’aberrazione luminosa e della parallasse. Nel 1756 pubblicò l’equazione differenziale della rifrazione astronomica e studiò la dipendenza della rifrazione dalla pressione e dalla temperatura nel punto di osservazione. Questi risultati ebbero un’enorme influenza sullo sviluppo dell’astronomia negli anni successivi.

Eulero elaborò una teoria molto precisa del moto della Luna, sviluppando a questo scopo uno speciale metodo di variazione degli elementi orbitali. Successivamente, nel XIX secolo, questo metodo fu esteso e applicato ai modelli del moto dei grandi pianeti ed è tuttora in uso. Le tavole di Mayer, calcolate sulla base della teoria di Eulero (1767), si dimostrarono adatte anche a risolvere l’urgente problema della determinazione della longitudine in mare, tanto che l’Ammiragliato inglese conferì a Mayer ed Eulero un premio speciale. Le principali opere di Eulero in questo campo:

Eulero studiò il campo gravitazionale di corpi non solo sferici ma anche ellissoidali, il che rappresentò un significativo passo avanti. Fu anche il primo scienziato ad evidenziare lo spostamento secolare dell’inclinazione del piano dell’eclittica (1756), e su suo suggerimento l’inclinazione all’inizio del 1700 è stata da allora adottata come riferimento. Sviluppò le basi della teoria del moto dei satelliti di Giove e di altri pianeti fortemente compressi.

Nel 1748, molto prima del lavoro di P.N. Lebedev, Eulero ipotizzò che le code delle comete, le aurore e la luce zodiacale hanno in comune l’effetto della radiazione solare sull’atmosfera o sulla sostanza dei corpi celesti.

Teoria musicale

Per tutta la vita Eulero si interessò all’armonia musicale, cercando di darle un chiaro fondamento matematico. L’obiettivo della sua prima opera, Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739), era quello di descrivere matematicamente come la musica piacevole (eufonica) differisce da quella sgradevole (sgradevole). Alla fine del capitolo VII dell'”Esperienza”, Eulero organizzò gli intervalli in “gradi di gradevolezza” (gradus suavitatis), con l’ottava assegnata al II (alcune classi (tra cui la prima, la terza e la sesta) nella tabella di gradevolezza di Eulero furono omesse). Si diceva che quest’opera conteneva troppa musica per i matematici e troppa matematica per i musicisti.

In tarda età, nel 1773, Eulero tenne una relazione all’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo in cui formulò la sua rappresentazione reticolare del sistema sonoro nella sua forma definitiva; questa rappresentazione fu metaforicamente designata dall’autore come “specchio della musica” (lat. speculum musicae). L’anno successivo il lavoro di Eulero fu pubblicato come piccolo trattato De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (“Sui veri fondamenti dell’armonia presentati attraverso lo speculum musicae”). Con il nome di Tonnetz, la griglia euleriana fu ampiamente utilizzata nella teoria musicale tedesca del XIX secolo.

Altre aree di conoscenza

Nel 1749 Eulero pubblicò una monografia in due volumi, “The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation”, in cui applicò metodi analitici ai problemi pratici della costruzione di navi e della navigazione in mare, come la forma delle navi, le questioni di stabilità e di equilibrio, i metodi di controllo del moto delle navi. La teoria generale di Krylov sulla stabilità delle navi si basa sulla “Scienza marina”.

Gli interessi scientifici di Eulero comprendevano anche la fisiologia; in particolare, applicò i metodi dell’idrodinamica allo studio dei principi del flusso sanguigno nei vasi. Nel 1742 inviò all’Accademia di Digione un articolo sul flusso dei fluidi in tubi elastici (considerati come modelli di vasi) e nel dicembre 1775 presentò all’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo una memoria intitolata Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principi di determinazione del movimento del sangue attraverso le arterie). Quest’opera analizzava i principi fisici e fisiologici del movimento del sangue causato dalle contrazioni periodiche del cuore. Trattando il sangue come un fluido incomprimibile, Eulero trovò una soluzione alle equazioni del moto da lui composte per il caso di tubi rigidi, mentre nel caso di tubi elastici si limitò a ricavare equazioni generali del moto finito.

Uno dei compiti principali assegnati a Eulero al suo arrivo in Russia fu la formazione del personale scientifico. Tra gli allievi diretti di Eulero:

Una delle priorità di Eulero fu la creazione di libri di testo. Egli stesso scrisse “Il manuale di aritmetica per l’uso nel ginnasio dell’Accademia Imperiale delle Scienze” (1738-1740), “Aritmetica universale” (1768-1769). Secondo Fuss, Euler ricorse a un metodo originale: dettò il libro di testo a un ragazzo-servo, osservando come questi capiva il testo. Di conseguenza, il ragazzo imparò a risolvere i problemi e a eseguire i calcoli in modo indipendente.

Euler prende il nome da lui:

Le opere complete di Eulero, pubblicate dal 1909 dalla Società svizzera dei naturalisti, sono ancora incomplete; erano previsti 75 volumi, di cui 73 sono stati pubblicati:

Altri otto volumi saranno dedicati alla corrispondenza scientifica di Eulero (oltre 3.000 lettere).

Nel 1907 i russi e molti altri scienziati hanno celebrato il 200° compleanno del grande matematico e nel 1957 le Accademie delle Scienze sovietiche e di Berlino hanno dedicato sessioni solenni al suo 250° compleanno. Alla vigilia del 300° compleanno di Eulero (2007) si è tenuto a San Pietroburgo un forum internazionale per l’anniversario ed è stato realizzato un film sulla vita di Eulero. Nello stesso anno è stato inaugurato un monumento a Eulero all’ingresso dell’Istituto Internazionale Eulero di San Pietroburgo. Le autorità di San Pietroburgo, tuttavia, hanno respinto tutte le proposte di intitolare una piazza o una strada allo scienziato; in Russia non esiste ancora una via Euler.

Qualità personali e voti

Secondo i suoi contemporanei, Eulero era di buon cuore, di carattere gentile e non aveva quasi mai litigato con nessuno. Persino Johann Bernoulli, il cui carattere duro era stato sperimentato da suo fratello Jacob e da suo figlio Daniel, era immancabilmente caloroso con lui. Eulero aveva bisogno di una sola cosa per la pienezza della vita: la possibilità di una regolare creatività matematica. Poteva lavorare intensamente anche “con un bambino in grembo e un gatto sulla schiena”. Allo stesso tempo Eulero era allegro, socievole, amava la musica e le conversazioni filosofiche.

L’accademico P.P. Pekarsky, sulla base delle testimonianze dei contemporanei di Eulero, ha ricostruito l’immagine dello studioso: “Eulero aveva la grande arte di non ostentare la sua erudizione, di nascondere la sua superiorità e di essere al livello di tutti. Un carattere sempre equilibrato, un’allegria gentile e naturale, qualche ghigno con un tocco di bonarietà, una conversazione ingenua e umoristica: tutto questo rendeva la conversazione con lui tanto piacevole quanto attraente.

Come notano i contemporanei, Eulero era molto religioso. Secondo Condorcet, ogni sera Eulero riuniva in preghiera i figli, i servi e gli allievi che vivevano con lui. Leggeva loro un capitolo della Bibbia e talvolta accompagnava la lettura con un sermone. Nel 1747 Eulero pubblicò un trattato in difesa del cristianesimo contro l’ateismo, “Difesa della rivelazione divina contro gli attacchi dei liberi pensatori”. Il fascino di Eulero per il ragionamento teologico causò un atteggiamento negativo nei suoi confronti (come filosofo) da parte dei suoi famosi contemporanei – D’Alembert e Lagrange. Federico II, che si considerava un “libero pensatore” e corrispondeva con Voltaire, disse che Eulero “puzzava di prete”.

Eulero era un padre di famiglia premuroso, desideroso di aiutare i colleghi e i giovani, con i quali condivideva generosamente le sue idee. È noto che Eulero ritardò le sue pubblicazioni sul calcolo delle variazioni affinché l’allora giovane e sconosciuto Lagrange, che era arrivato indipendentemente alle stesse scoperte, potesse pubblicarle per primo. Lagrange ha sempre ammirato Eulero sia come matematico che come uomo; disse: “Se ami veramente la matematica, leggi Eulero”.

“Leggete, leggete Eulero, è il nostro maestro comune”, come amava ripetere Laplace (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous). Le opere di Eulero furono studiate con grande profitto dal “re dei matematici” Karl Friedrich Gauss e praticamente da tutti i più famosi scienziati del XVIII e XIX secolo.

D’Alambert, in una delle sue lettere a Lagrange, chiama Eulero “quel diavolo” (frès se diable d’homme), quasi a voler indicare con questo, secondo i commentatori, che ciò che Eulero aveva fatto era al di là del potere umano.

М. V. Ostrogradsky affermava in una lettera a N. N. Fuss: “Eulero ha creato l’analisi moderna, l’ha arricchita più di tutti i suoi seguaci messi insieme e l’ha resa il più potente strumento della ragione umana”. L’accademico S. I. Vavilov scrisse: “Insieme a Pietro I e Lomonosov, Eulero divenne il genio buono della nostra Accademia, che ne determinò la gloria, la fortezza, la produttività”.

Indirizzi di residenza

Tra il 1743 e il 1766, Euler visse nella casa al numero 21 di Berenstrasse

Dal 1766, Euler visse in un condominio al numero 15 di Nikolayevskaya Embankment (con un’interruzione causata da un grave incendio). In epoca sovietica la strada fu ribattezzata Lieutenant Schmidt Quay. La casa è stata dotata di una targa e oggi ospita una scuola secondaria.

Francobolli, monete, banconote

Nel 2007, la Banca Centrale Russa ha emesso una moneta commemorativa per il 300° anniversario della nascita di L. Euler. Il ritratto di Eulero è stato anche inserito nella banconota svizzera da 10 franchi (Serie 6) e nei francobolli di Svizzera, Russia e Germania.

Olimpiadi di matematica

Molti dei fatti di geometria, algebra e combinatoria dimostrati da Eulero sono utilizzati universalmente nella matematica delle Olimpiadi.

Il 15 aprile 2007, per commemorare il 300° anniversario della nascita di Leonhard Euler, si è tenuta un’olimpiade di matematica su Internet per gli studenti, sostenuta da diverse organizzazioni. Dal 2008 si tengono le Olimpiadi matematiche Leonhard Euler per ragazzi di terza media, destinate in parte a sostituire la perdita delle fasi regionali e finali delle Olimpiadi matematiche All-Russian per ragazzi di terza media.

Gli storici hanno scoperto poco più di mille discendenti diretti di Leonhard Euler. Il figlio maggiore Johann Albrecht divenne un importante matematico e fisico. Il secondogenito Karl fu un famoso medico. Il figlio minore Christopher divenne poi tenente generale dell’esercito russo e comandante della fabbrica di armi di Sestroretsk. Tutti i figli di Eulero accettarono la cittadinanza russa (Eulero stesso rimase un suddito svizzero per tutta la vita).

Alla fine degli anni ’80, gli storici contavano circa 400 discendenti viventi, di cui circa la metà viveva in URSS.

Ecco un breve albero genealogico di alcuni dei discendenti noti di Eulero (il cognome è indicato se non è “Euler”).

Altri discendenti di Eulero sono N. I. Gekker, V. F. Gekker e I. R. Gekker, V. E. Scalon e E. N. Behrendts. I discendenti comprendono molti scienziati, geologi, ingegneri, diplomatici e medici; ci sono anche nove generali e un ammiraglio. Un discendente di Euler è il presidente del Club Criminologico Internazionale di San Pietroburgo, D.A. Shestakov.

Fonti

1. Эйлер, Леонард
2. Eulero
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
7. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
8. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
9. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
10. Dunham 1999, p. xiii