Al-Chwarizmi

gigatos | april 22, 2023

Samenvatting

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Perzisch: ابوعبدالله محمد بن موسی جوارزمی (Khorasmia, ca. 780-Baghdad, ca. 850), algemeen bekend als al-Khwarismi, en vroeger gelatiniseerd als Algorithmi. 850), algemeen bekend als al-Khwarismi, en vroeger gelatiniseerd als Algorithmi, was een Perzisch wiskundige, astronoom en geograaf. Hij was astronoom en hoofd van de Bibliotheek van het Huis der Wijsheid in Bagdad, rond 820. Hij wordt beschouwd als een van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis.

Zijn werk Compendium of calculus by reintegration and comparison presenteerde de eerste systematische oplossing van lineaire en kwadratische vergelijkingen. Een van zijn belangrijkste verwezenlijkingen op het gebied van de algebra was zijn demonstratie van het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de methode van de voltooiing van kwadraten, die hij meetkundig motiveerde. Hij werkte ook op het gebied van de goniometrie, produceerde tabellen van sinus en cosinus, en de eerste over raaklijnen.

Zijn belang ligt in het feit dat hij de eerste was die de algebra als een onafhankelijke discipline behandelde en de methoden van “reductie” en “evenwicht” introduceerde, waardoor hij wordt beschreven als de vader en grondlegger van de algebra. In feite heeft zijn gelatiniseerde naam zijn naam gegeven aan verschillende wiskundige termen zoals algoritmo en algoritmia (de discipline die algoritmen ontwikkelt) en het Portugese algarismo dat cijfer betekent, evenals guarismo.

Hij blonk ook uit als geograaf en astronoom. Hij herzag het werk van Ptolemaeus, Geografie, en slaagde erin de lengte- en breedtegraden van verschillende steden en plaatsen op te sommen. Hij schreef ook verschillende werken over de astrolabium, de zonnewijzer en de kalender, en produceerde verschillende astronomische tabellen.

Zijn nalatenschap werd voortgezet toen in de 12e eeuw Latijnse vertalingen van zijn werk Algoritmi de numero Indorum hielpen bij het populariseren van Arabische cijfers in het Westen, samen met het werk van de Italiaanse wiskundige Fibonacci, wat leidde tot de vervanging van het Romeinse getallensysteem door het Arabische, dat aanleiding gaf tot de moderne nummering. Bovendien werd zijn magnum opus gebruikt als de belangrijkste verhandeling over wiskunde, vertaald door Robert van Chester in 1145, in Europese universiteiten tot in de 16e eeuw.

Er is weinig bekend over zijn biografie, zozeer zelfs dat er onopgeloste geschillen zijn over zijn geboorteplaats. Sommigen beweren dat hij in Bagdad is geboren. Anderen, die het artikel van Gerald Toomer volgen (zelf gebaseerd op de geschriften van de historicus al-Tabari) beweren dat hij geboren is in de Khorasmische stad Khiva (in het huidige Oezbekistan). Rashed stelt vast dat dit een verkeerde interpretatie is van Toomer, als gevolg van een transcriptiefout (het ontbreken van het verbindingselement wa) in een kopie van al-Tabari’s manuscript. Dit zal niet het laatste meningsverschil tussen historici zijn dat we zullen aantreffen in de beschrijvingen van al-Khwarismi’s leven en werken. Hij studeerde en werkte in Bagdad in de eerste helft van de 9e eeuw aan het hof van de kalief al-Mamun. Voor velen was hij de grootste wiskundige van zijn tijd.

Aan zijn naam en die van zijn hoofdwerk, Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, (حساب الجبر و المقابلة) danken wij onze woorden algebra, guarisme en algoritme. In feite wordt hij beschouwd als de vader van de algebra en de introducent van ons Arabisch getallenstelsel.

Rond 815 stichtte al-Mamun, de zevende Abbasidische kalief, zoon van Harun al-Rashid, in zijn hoofdstad Bagdad het Huis der Wijsheid (Bayt al-Hikma), een onderzoeks- en vertaalinstituut dat door sommigen werd vergeleken met de Bibliotheek van Alexandrië. Griekse en Hindoeïstische wetenschappelijke en filosofische werken werden in het Arabisch vertaald. Het had ook astronomische observatoria. Het was in deze wetenschappelijke en multiculturele omgeving dat al-Khwarismi werd opgeleid en samenwerkte met andere wetenschappers zoals de gebroeders Banu Musa, al-Kindi en de beroemde vertaler Hunayn ibn Ishaq. Twee van zijn werken, zijn verhandelingen over algebra en astronomie, zijn opgedragen aan de kalief zelf.

Algebra

In zijn algebraverhandeling Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala (حساب الجبر و المقابلة, Compendium van de calculus door voltooiing en vergelijking), een bij uitstek didactisch werk, is het doel een algebra te onderwijzen die wordt toegepast op de oplossing van alledaagse problemen van het toenmalige islamitische rijk. Rosens vertaling van al-Khwarismi’s woorden die de doelstellingen van zijn boek beschrijven, laten zien dat de geleerde van plan was les te geven:

… dat wat gemakkelijk en nuttig is in de rekenkunde, zoals de mensen voortdurend nodig hebben bij erfenissen, legaten, verdelingen, processen en handel, en in al hun omgang met elkaar, of als het gaat om het meten van land, het graven van kanalen, geometrische berekeningen en andere voorwerpen van verschillende aard en soort.

In het Latijn vertaald door Gerardo de Cremona in Toledo, werd het tot in de 16e eeuw aan de Europese universiteiten gebruikt als leerboek. Het is de eerste bekende verhandeling waarin een uitputtende studie wordt gemaakt van de oplossing van vergelijkingen.

Na de introductie van de natuurlijke getallen behandelt al-Khwarismi het belangrijkste onderwerp van het eerste deel van het boek: de oplossing van vergelijkingen. Zijn vergelijkingen zijn lineair of kwadratisch en bestaan uit eenheden, wortels en kwadraten; voor hem was een eenheid bijvoorbeeld een getal, een wortel was x {displaystyle x} en een vierkant x 2 {displaystyle x^{2}} . Hoewel we in de volgende voorbeelden de in onze tijd gebruikelijke algebraïsche notatie zullen gebruiken om de lezer te helpen de begrippen te begrijpen, moet worden opgemerkt dat al-Khwarizmi geen enkele vorm van symbolen gebruikte, maar alleen woorden.

Herleid eerst een vergelijking tot één van de zes normale vormen:

De reductie wordt uitgevoerd met behulp van de operaties al-ŷabr (“voltooiing”, het proces van het elimineren van negatieve termen uit de vergelijking) en al-muqabala (“balanceren”, het proces van het reduceren van positieve termen van dezelfde macht wanneer deze aan beide zijden van de vergelijking voorkomen). Vervolgens laat al-Khwarismi zien hoe de zes soorten vergelijkingen kunnen worden opgelost, met behulp van algebraïsche en geometrische oplossingsmethoden. Bijvoorbeeld, om de vergelijking x 2 + 10 x = 39 {an5} x^{2}+10x=39} schrijf:

…een vierkant en tien wortels zijn gelijk aan 39 eenheden. De vraag in dit type vergelijking is dus ongeveer als volgt: wat is het vierkant dat, gecombineerd met tien van zijn wortels, een som geeft van 39. De manier om dit type vergelijking op te lossen is de helft van de genoemde wortels te nemen. Nu, de wortels in het probleem voor ons zijn tien. Daarom nemen we 5, wat vermenigvuldigd met zichzelf 25 oplevert, een hoeveelheid die je optelt bij 39, wat 64 oplevert. Nu we hiervan de vierkantswortel hebben genomen, die 8 is, trekken we daarvan de helft van de wortels, 5, af, wat 3 oplevert.

Dan volgt het geometrische bewijs door voltooiing van het vierkant, dat wij hier niet zullen bespreken. Wij wijzen er echter op dat de geometrische bewijzen die al-Khwarismi gebruikt, onder geleerden omstreden zijn. De vraag blijft onbeantwoord of hij bekend was met het werk van Euclides. Er zij aan herinnerd dat in al-Khwarismi’s jeugd en tijdens de regering van Harun al-Rashid, al-Hajjaj de Elementen in het Arabisch had vertaald, en een van al-Khwarismi’s metgezellen was in het Huis der Wijsheid. Dit zou Toomer’s standpunt ondersteunen (op.cit.). Rashed merkt op dat hij waarschijnlijk geïnspireerd werd door de recente kennis van “de Elementen”. Maar Gandz van zijn kant houdt vol dat de Elementen hem geheel onbekend waren. Hoewel het onzeker is of hij het Euclidische werk werkelijk kende, kan men stellen dat hij werd beïnvloed door andere geometrische werken; zie Parshalls behandeling van de methodologische overeenkomsten met de Hebreeuwse tekst Mishnat ha Middot uit het midden van de tweede eeuw.

Hisab al-ŷabr wa’l-muqabala gaat verder door te onderzoeken hoe de wetten van de rekenkunde zich uitstrekken tot de algebraïsche objecten ervan. Hij laat bijvoorbeeld zien hoe uitdrukkingen als ( a + b x ) ( c + d x ) {{displaystyle (a+bx)(c+dx)} . Rashed (op. cit.) vindt zijn oplossingsvormen uiterst origineel, maar Crossley vindt ze minder belangrijk. Gandz is van mening dat het vaderschap van de algebra veel meer toe te schrijven is aan al-Khwarismi dan aan Diophantus.

Het volgende deel bestaat uit toepassingen en voorbeelden. Het beschrijft regels voor het vinden van de oppervlakte van meetkundige figuren zoals de cirkel, en het volume van vaste lichamen zoals de bol, de kegel en de piramide. Dit deel heeft zeker veel meer verwantschap met Hebreeuwse en Indiase teksten dan met enig Grieks werk. Het laatste deel van het boek behandelt de complexe islamitische regels voor erfopvolging, maar vereist weinig van de algebra die hij eerder besprak, behalve het oplossen van lineaire vergelijkingen.

Rekenkundig

Van zijn rekenkunde, mogelijk oorspronkelijk genaamd Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, (كتابجامع و التفريق بحساب الهند), Boek van optellen en aftrekken, volgens de Indiase calculus, is alleen een Latijnse versie bewaard gebleven uit de 12e eeuw, Algoritmi de numero Indorum en een andere getiteld Liber Algoarismi vertaald door Juan Hispalense, behorend tot de Toledische School van Vertaling, in 1133. Helaas is bekend dat het werk aanzienlijk afwijkt van de oorspronkelijke tekst. Dit werk beschrijft in detail de Indo-Arabische cijfers, het Indische positiegetallensysteem in basis 10 en methoden om er berekeningen mee te maken. Het is bekend dat er in de Arabische versie een methode was om vierkantswortels te vinden, maar deze komt niet voor in de Latijnse versie. Hij was mogelijk de eerste die de nul gebruikte als positie-indicator. Hij was essentieel voor de invoering van dit getallenstelsel in de Arabische wereld, al-Andalus en later in Europa. André Allard bespreekt enkele 12e-eeuwse Latijnse verhandelingen die gebaseerd zijn op dit verloren gegane werk.

Als onderdeel van de 12e-eeuwse golf van Arabische wetenschap die via vertalingen naar Europa stroomde, bleken deze teksten revolutionair in Europa. Al-Khwarizmi’s gelatiniseerde naam, Algorismus, werd de naam van de methode die voor de berekeningen werd gebruikt en overleeft in de moderne term “algoritme”. Het verving geleidelijk de vroegere, op telramen gebaseerde methoden die in Europa werden gebruikt. …

Er zijn vier Latijnse teksten bewaard gebleven met bewerkingen van Al-Khwarizmi’s methoden, hoewel geen van hen een letterlijke vertaling zou zijn.

Dixit Algorizmi (“Aldus sprak Al-Khwarizmi”) is de openingszin van een manuscript in de universiteitsbibliotheek van Cambridge, meestal aangeduid met de titel Algoritmi de Numero Indorum uit 1857. Het wordt toegeschreven aan Adelard van Bath, die in 1126 ook de astronomische tabellen had vertaald. Het staat misschien het dichtst bij Al-Khwarizmi’s eigen geschriften.

Al-Khwarizmi’s werk over rekenkunde was verantwoordelijk voor de introductie in de westerse wereld van Arabische cijfers, gebaseerd op het Hindoe-Arabische getallenstelsel dat in de Indiase wiskunde is ontwikkeld. De term “algoritme” is afgeleid van algoritme, de door al-Khwarizmi ontwikkelde techniek van rekenen met Indo-Arabische cijfers. Zowel “algoritme” als “algorisme” zijn afgeleid van de gelatiniseerde vormen van de naam van al-Khwārizmī, respectievelijk Algoritmi en Algorismi.

Astronomie

Van zijn verhandeling over astronomie, Sindhind zij, zijn ook de twee versies die hij in het Arabisch schreef verloren gegaan. Dit werk is gebaseerd op Indiase astronomische werken “in tegenstelling tot latere Islamitische astronomische handboeken, die de Griekse planetaire modellen van Ptolemaeus’ ‘Almagest’ gebruikten”. De Indiase tekst waarop het traktaat is gebaseerd, is een van de teksten die rond 770 door een diplomatieke missie uit India aan het hof in Bagdad werden geschonken. In de 10e eeuw maakte al-Maŷriti een kritische herziening van de kortere versie, die door Adelard van Bath in het Latijn werd vertaald; er bestaat ook een Latijnse vertaling van de langere versie, en beide vertalingen zijn tot op heden bewaard gebleven. De belangrijkste onderwerpen in het werk zijn kalenders; de berekening van de ware posities van zon, maan en planeten; tabellen van sinussen en raaklijnen; sferische astronomie; astrologische tabellen; berekeningen van parallaxen en eclipsen; en de zichtbaarheid van de maan. Rozenfel’d bespreekt een verwant manuscript over sferische trigonometrie, toegeschreven aan al-Khwarismi.

Aardrijkskunde

Op het gebied van de geografie heeft hij in een werk genaamd Kitab Surat al-Ard (Arabisch: كتاب صورةلأرض , Boek van de Verschijning van de Aarde of het Beeld van de Aarde), geschreven in 833, de eerdere werken van Ptolemaeus betreffende Afrika en het Oosten herzien en gecorrigeerd. Het somt de breedte- en lengtegraden van 2.402 plaatsen op en plaatst steden, bergen, zeeën, eilanden, geografische gebieden en rivieren als basis voor een kaart van de toen bekende wereld. Het bevat kaarten die over het geheel genomen nauwkeuriger zijn dan die van Ptolemaeus. Het is duidelijk dat waar al-Khwârazm over meer lokale kennis beschikte, zoals de gebieden van de Islam, Afrika en het Verre Oosten, het werk veel nauwkeuriger is dan dat van Ptolemaeus, maar voor Europa lijkt hij de gegevens van Ptolemaeus te hebben gebruikt. Zeventig geografen zouden onder hem aan deze kaarten hebben gewerkt.

Van de Kitab Surat-al-Ard is slechts één exemplaar bewaard gebleven, dat wordt bewaard in de universiteitsbibliotheek van Straatsburg. Een in het Latijn vertaald exemplaar wordt bewaard in de Biblioteca Nacional de España in Madrid.

Hoewel noch de Arabische kopie noch de Latijnse vertaling de wereldkaart bevat, kon Hubert Daunicht een wereldkaart reconstrueren aan de hand van zijn lijst van coördinaten. …

Al-Khwarizmi corrigeerde Ptolemaeus’ overschatting van de oppervlakte van de Middellandse Zee (Ptolemaeus schatte dat de Middellandse Zee 63 graden lang was, terwijl hij de meer correcte schatting maakte dat de zee ongeveer 50 graden lang was. Hij sprak ook Ptolemaeus tegen door te zeggen dat de Atlantische Oceaan en de Indische Oceaan twee open wateren waren, geen zeeën. Al-Khwarizmi stelde ook de oude wereldmeridiaan van Greenwich vast op de oostkust van de Middellandse Zee, 10-13 graden ten oosten van Alexandrië (Ptolemaeus plaatste de meridiaan 70 graden ten westen van Bagdad). De meeste middeleeuwse moslimgeografen bleven de Greenwich-meridiaan van al-Khwarizmi gebruiken.

De meeste door al-Khwarizmi gebruikte plaatsnamen komen overeen met die van Ptolemaeus, Martellus en Behaim. De algemene vorm van de kust is hetzelfde tussen Taprobane en Kattigara. De Atlantische kust van de Staart van de Draak, die op de kaart van Ptolemaeus niet voorkomt, is op de kaart van al-Khwarizmi zeer gedetailleerd weergegeven, maar is duidelijker en preciezer dan die van de kaart van Martellus en de versie van Behaim.

Andere werken

Ibn al-Nadim’s Kitāb al-Fihrist, een index van Arabische boeken, vermeldt al-Khwārizmī’s Kitāb al-Taʾrīkh (een kopie had echter Nusaybin bereikt in de 11e eeuw, waar het werd gevonden door de metropolitaanse bisschop ervan, Mar Elyas bar Shinaya. De kroniek van Elia citeert hem vanaf “de dood van de Profeet” tot 169 AH, op welk punt de tekst van Elia in een lacune verkeert.

Verschillende Arabische manuscripten in Berlijn, Istanbul, Tasjkent, Caïro en Parijs bevatten verder materiaal dat zeker of met enige waarschijnlijkheid van al-Khwārizmī afkomstig is. Het manuscript van Istanbul bevat een artikel over zonnewijzers; de fihrist schrijft de Kitāb ar-Rukhāma (t) ( Arabisch : كتاب الرخامة ) toe aan al-Khwārizmī. Andere werken, zoals een over de bepaling van de richting van Mekka, gaan over sferische astronomie.

Twee teksten zijn van bijzonder belang betreffende de breedte van de ochtend ( Ma’rifat sa’at al-mashriq fī kull balad ) en de bepaling van azimut vanaf een hoogte ( Ma’rifat al-samt min qibal al-irtifā ‘ ).

Zijn bekende werk wordt aangevuld met een aantal kleinere werken over onderwerpen als de astrolabium, waarover hij twee teksten schreef, over zonnewijzers en over de Joodse kalender. Hij schreef ook een politieke geschiedenis met horoscopen van prominenten.

In Khiva, Oezbekistan, vaak aangenomen als zijn waarschijnlijke geboorteplaats, staat een standbeeld ter ere van hem. Het beeld toont Juarismi zittend op een bankje, in een houding van redeneren, terwijl het beeld naar de grond kijkt, alsof hij aan het rekenen of lezen is. Een ander beeld van de wijze, ditmaal staand met uitgestrekte armen, bevindt zich in de Oezbeekse stad Urgench.

Op 6 september 1983 bracht de Sovjetregering een postzegelserie uit met het gezicht van de Perzische wijsgeer, met het opschrift “1200 jaar” als verwijzing naar de 1200 jaar sinds zijn vermoedelijke geboorte. In 2012 bracht de Oezbeekse regering ook een herdenkingspostzegel uit ter ere van Khuarismi, geïnspireerd op het standbeeld van de wijze dat nu in Khiva staat.

Eponymie

Bronnen

1. Al-Juarismi
2. Al-Chwarizmi
3. Toomer, 1990
4. a b Abbas, Youssef Ahmed. Al-jabr: atividades para vivenciar a introdução à álgebra. Universidade de Sao Paulo, Agencia USP de Gestao da Informacao Academica (AGUIA). Consultado el 21 de mayo de 2021.
5. Conocimiento, Ventana al (4 de marzo de 2019). «Al-Juarismi, puente matemático entre civilizaciones». OpenMind. Consultado el 21 de mayo de 2021.
6. Peña, Ricardo (27 de marzo de 2021). «Al Juarismi, el sabio que dio nombre al algoritmo». EL PAÍS. Consultado el 21 de mayo de 2021.
7. «Algorísmia | Facultat d’Informàtica de Barcelona». www.fib.upc.edu. Consultado el 21 de mayo de 2021.
8. Toomer G. J. Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā (англ.) / C. C. Gillispie — Charles Scribner’s Sons, 1970.
9. ^ Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics, p. 252. Princeton University Press. “Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi…” , “…the Al-jabr comes closer to the elementary algebra of today than the works of either Diophantus or Brahmagupta…”
10. ^ S Gandz, The sources of al-Khwarizmi’s algebra, Osiris, i (1936), 263–277,”Al-Khwarizmi’s algebra is regarded as the foundation and cornerstone of the sciences. In a sense, al-Khwarizmi is more entitled to be called “the father of algebra” than Diophantus because al-Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers.”
11. ^ Victor J. Katz, STAGES IN THE HISTORY OF ALGEBRA WITH IMPLICATIONSFOR TEACHING (PDF), in VICTOR J.KATZ, University of the District of Columbia Washington DC, USA, p. 190. URL consultato il 7 ottobre 2017 (archiviato dall’url originale il 27 marzo 2019). Ospitato su University of the District of Columbia Washington DC, USA.«The first true algebra text which is still extant is the work on al-jabr and al-muqabala by Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi, written in Baghdad around 825.»
12. Gerald J. Toomer: «Al-Khwārizmī, Abū Ja’far Muhammad Ibn Mūsā» (Αγγλικά) Charles Scribner’s Sons. Δεκαετία του 1970.
13. 2,0 2,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας.
14. Sonja Brentjes: «Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī» (Αγγλικά) Springer Science+Business Media. 2007.
15. John O’Connor, Edmund Robertson: «Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi»
16. Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας, Κρατική Βιβλιοθήκη του Βερολίνου, Βαυαρική Κρατική Βιβλιοθήκη, Εθνική Βιβλιοθήκη της Αυστρίας: (Γερμανικά, Αγγλικά) Gemeinsame Normdatei. 118676180. Ανακτήθηκε στις 15  Οκτωβρίου 2015.