Euclides van Alexandrië

gigatos | maart 15, 2023

Samenvatting

Euclides (Grieks Εὐκλείδης, Eukleidēs, Latijn Euclīdēs) was een Grieks wiskundige en meetkundige (ca. 325 v.Chr. – ca. 265 v.Chr.). Hij staat bekend als “de vader van de geometrie”. Hij was actief in Alexandrië (oud Egypte) in de tijd van Ptolemaeus I Soter (323 – 283 v. Chr.). Hij was de stichter van de wiskundeschool van de stad.

Zijn beroemdste werk was de Elementen, vaak beschouwd als het meest succesvolle leerboek in de geschiedenis van de wiskunde. De eigenschappen van meetkundige objecten en natuurlijke getallen worden afgeleid uit een kleine reeks axioma”s. Dit werk, een van de oudst bekende verhandelingen waarin systematisch, met bewijzen, een groot aantal stellingen over meetkunde en theoretische rekenkunde wordt gepresenteerd, heeft honderden edities in alle talen gekend, en de onderwerpen ervan blijven in veel landen aan de basis liggen van het wiskundeonderwijs op middelbaar niveau. Euclides” naam is afgeleid van Euclides” algoritme, Euclidische meetkunde (en niet-Euclidische meetkunde), en Euclidische deling. Hij schreef ook over perspectief, kegelsneden, sferische meetkunde en getaltheorie.

Zijn leven is weinig bekend, omdat hij in Alexandrië (een stad in het noorden van Egypte) woonde tijdens het bewind van Ptolemaeus I. Bepaalde Arabische auteurs beweren dat Euclides in Tyrus is geboren en in Damascus heeft gewoond. Sommige Arabische auteurs beweren dat Euclides in Tyrus is geboren en in Damascus heeft gewoond. Er bestaat geen directe bron voor Euclides” leven: geen brief, geen autobiografische aanwijzing (zelfs niet in de vorm van een voorwoord in een werk), geen officieel document, en zelfs geen toespeling door een van zijn tijdgenoten. Zoals de wiskundig historicus Peter Schreiber het samenvat, “is er geen enkel zeker feit bekend over het leven van Euclides. Hij was de zoon van Naucrates en er zijn drie hypothesen naar voren gebracht:

Euclides studeerde waarschijnlijk aan Plato”s Academie, waar hij de basis van zijn kennis leerde.

Proclus, de laatste van de grote Griekse filosofen, die rond 450 leefde, schreef belangrijke commentaren op Boek I van de Elementen. Deze commentaren vormen een waardevolle bron van informatie over de geschiedenis van de Griekse wiskunde. Zo weten we bijvoorbeeld dat Euclides bijdragen samenbracht van Eudoxus van Cnidus over de theorie van de verhoudingen, en van Theaetetus over regelmatige veelvlakken.

Het oudst bekende geschrift over het leven van Euclides komt voor in een samenvatting van de geschiedenis van de meetkunde uit de 5e eeuw na Christus van de neoplatonistische filosoof Proclus, een commentator op het eerste boek van de Elementen. Proclus zelf geeft geen enkele bron voor zijn aanwijzingen. Hij zegt alleen: “verzamelt zijn Elementen, en roept in onweerlegbare demonstraties op wat zijn voorgangers op een ontspannen manier hadden geleerd”. Deze man leefde daarentegen onder de eerste Ptolemaeus, want Archimedes noemt Euclides. Euclides is dus recenter dan de discipelen van Plato, maar ouder dan Archimedes en Eratosthenes”.

Als de chronologie van Proclus wordt aanvaard, leefde Euclides tussen Plato en Archimedes en was hij een tijdgenoot van Ptolemaeus I, rond 300 v. Chr.

Geen enkel document spreekt deze paar zinnen tegen en bevestigt ze ook niet echt. Euclides” rechtstreekse vermelding van Archimedes” werken komt uit een passage die als twijfelachtig wordt beschouwd.

Archimedes verwijst naar enkele resultaten van de Elementen en een ostrachus, gevonden op het eiland Elephantine en gedateerd III v.C.: het behandelt figuren die in boek XIII van de Elementen worden bestudeerd, zoals de decagon en de icosaëder, maar zonder de Euclidische stellingen exact weer te geven; ze zouden dus afkomstig kunnen zijn van bronnen vóór Euclides. De geschatte datum van 300 v. Chr. wordt echter verenigbaar geacht met de analyse van de inhoud van het Euclidische werk en wordt door de historici van de wiskunde aangehouden.

Anderzijds is er een toespeling van de wiskundige Papo van Alexandrië, die suggereert dat leerlingen van Euclides in Alexandrië les zouden hebben gegeven. Sommige auteurs hebben Euclides op grond hiervan in verband gebracht met het Museion van Alexandrië, maar hij komt in geen enkel officieel document voor. De epitheton die in de oudheid vaak met Euclides wordt geassocieerd is eenvoudigweg Stoitxeiotes, de auteur van de Elementen.

Over Euclides doen verschillende anekdotes de ronde, maar omdat ze ook bij andere wiskundigen voorkomen, worden ze niet als echt beschouwd: bijvoorbeeld de beroemde, door Proclus toegelichte, volgens welke Euclides aan Ptolemaeus – die een eenvoudiger weg wilde dan die van de Elementen – zou hebben geantwoord dat er geen echte wegen in de meetkunde waren; een variant van dezelfde anekdote wordt ook toegeschreven aan Menecmus en Alexander de Grote. Evenzo werden vanaf de late oudheid verschillende details toegevoegd aan de verslagen van Euclides” leven, zonder nieuwe bronnen, en vaak op een tegenstrijdige manier. Sommige auteurs laten Euclides geboren worden in Tyrus, andere in Gela; verschillende genealogieën, bepaalde meesters, verschillende geboorte- en sterfdata worden hem toegeschreven, om de regels van het genre te respecteren, of om bepaalde interpretaties te bevoordelen. In de Middeleeuwen en aan het begin van de Renaissance wordt de wiskundige Euclides vaak verward met een tijdgenoot van Plato, Euclides van Megara.

Vermeldingen van werken die aan Euclides worden toegeschreven verschijnen bij verschillende auteurs, met name in Pappus” Wiskundige Verzameling (gewoonlijk gedateerd in de 3e of 4e eeuw) en in het Commentaar op Euclides” Elementen door Proclus. Slechts een deel van deze werken is tot op heden bewaard gebleven.

Vijf werken zijn ons overgeleverd: Data, On Divisions, Catoptrics, Appearances of the Sky en Optics. Uit Arabische bronnen worden verschillende verhandelingen over mechanica toegeschreven aan Euclides. Over het zware en het lichte bevat in negen definities en vijf stellingen de Aristotelische begrippen over de beweging van lichamen en het begrip specifieke zwaartekracht. In Over het evenwicht wordt de hefboomtheorie eveneens axiomatisch behandeld, met één definitie, twee axioma”s en vier stellingen. Een derde fragment, over de cirkels beschreven door de uiteinden van een beweegbare hefboom, bevat vier stellingen. Deze drie werken vullen elkaar zodanig aan dat gesuggereerd is dat zij overblijfselen zijn van één enkele verhandeling van Euclides over mechanica.

Lees ook: biografieen – Artemisia Gentileschi

De Elementen

Zijn Elementen is een van ”s werelds bekendste wetenschappelijke producties en was een compilatie van de kennis die destijds in de academische wereld werd onderwezen. De Elementen was niet, zoals soms wordt gedacht, een compendium van alle geometrische kennis, maar eerder een inleidende tekst die alle elementaire wiskunde omvatte, d.w.z. rekenen, synthetische meetkunde en algebra.

De Elementen zijn verdeeld in dertien boeken of hoofdstukken, waarvan het eerste half dozijn over elementaire vlakke meetkunde gaat, de volgende drie over getaltheorie, boek X over incommensurables en de laatste drie voornamelijk over de meetkunde van vaste stoffen.

In de boeken gewijd aan de meetkunde wordt de studie van de eigenschappen van lijnen en vlakken, cirkels en bollen, driehoeken en kegels, etc., d.w.z. regelmatige vormen, op een formele manier gepresenteerd, uitgaande van slechts vijf postulaten. Waarschijnlijk zijn geen van de resultaten van De Elementen voor het eerst door Euclides aangetoond, maar de organisatie van het materiaal en de uiteenzetting ervan zijn ongetwijfeld aan hem te danken. In feite zijn er veel aanwijzingen dat Euclides eerdere leerboeken heeft gebruikt bij het schrijven van De Elementen, aangezien hij een groot aantal definities geeft die niet worden gebruikt, zoals die van een rechthoek, een ruit en een ruit. De stellingen van Euclides zijn de stellingen die algemeen worden geleerd op de moderne school. Om enkele van de bekendste te noemen:

De boeken VII, VIII en IX van De Elementen bestuderen de theorie van de deelbaarheid. Het behandelt het verband tussen perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen (bekend als de stelling van Euclides-Euler), de oneindigheid van priemgetallen (stelling van Euclides), het lemma van Euclides over factorisatie (dat leidt tot de fundamentele stelling van de rekenkunde over de uniciteit van factorisaties van priemgetallen) en het algoritme van Euclides voor het vinden van de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen.

De meetkunde van Euclides is niet alleen een krachtig instrument voor deductief redeneren, maar is ook uiterst nuttig geweest op vele kennisgebieden, bijvoorbeeld in de natuurkunde, de astronomie, de scheikunde en diverse technische gebieden. Zij is zeker zeer nuttig in de wiskunde. Geïnspireerd door de harmonie van Euclides” voorstelling, werd in de tweede eeuw de Ptolemeïsche theorie van het heelal geformuleerd, volgens welke de aarde het centrum van het heelal is, en de planeten, de maan en de zon eromheen draaien in perfecte lijnen, d.w.z. cirkels en combinaties van cirkels. De ideeën van Euclides vormen echter een aanzienlijke abstractie van de werkelijkheid. Hij gaat er bijvoorbeeld van uit dat een punt geen grootte heeft; dat een lijn een verzameling punten is die noch breedte noch dikte heeft, maar alleen lengte; dat een oppervlak geen dikte heeft, enzovoort. Omdat een punt volgens Euclides geen grootte heeft, krijgt het een dimensie nul. Een lijn heeft alleen lengte, en krijgt dus een dimensie gelijk aan één. Een oppervlak heeft geen dikte, geen hoogte, dus krijgt het dimensie twee: breedte en lengte. Een vast lichaam ten slotte, zoals een kubus, heeft dimensie drie: lengte, breedte en hoogte. Euclides probeerde alle wiskundige kennis samen te vatten in zijn boek De Elementen. Euclides” meetkunde was een werk dat tot in de 19e eeuw onveranderd bleef.

Van de beginaxioma”s leek alleen het axioma van de parallellen minder voor de hand liggend. Verschillende wiskundigen hebben tevergeefs geprobeerd dit axioma uit de rest van de axioma”s af te leiden. Zij probeerden het te presenteren als een stelling, zonder te slagen in

Ten slotte hebben sommige auteurs nieuwe meetkundes gecreëerd door het axioma van de parallellen te ontkrachten of te vervangen, waardoor “niet-Euclidische meetkundes” zijn ontstaan. Het belangrijkste kenmerk van deze geometrieën is dat door het axioma van de parallellen te veranderen, de hoeken van een driehoek niet langer optellen tot 180 graden.

De Gegevens (Δεδομένα) is het enige andere werk van Euclides dat over meetkunde gaat en waarvan een Griekse versie bestaat (het staat bijvoorbeeld in het door Peyrard ontdekte X-manuscript). Het wordt ook uitvoerig beschreven in boek VII van Papo”s Wiskundige Verzameling, de “Schatkamer van de Analyse”, dat nauw verband houdt met de eerste vier boeken van de Elementen. Het behandelt het soort informatie dat in meetkundige problemen wordt gegeven, en de aard ervan. De gegevens worden geplaatst in het kader van de vlakke meetkunde en worden door historici beschouwd als een aanvulling op de Elementen, in een vorm die meer geschikt is voor de analyse van problemen. Het werk bevat 15 definities, en legt uit wat een meetkundig object betekent, in positie, in vorm, in grootte, en 94 stellingen. Deze leggen uit dat, als sommige elementen van een figuur gegeven zijn, andere relaties of elementen bepaald kunnen worden.

Lees ook: biografieen – François Darlan

Op divisies

Dit werk (er zijn stukken in het Latijn (De divisionibus), maar er is vooral een in de 19e eeuw ontdekt manuscript in het Arabisch, dat 36 stellingen bevat, waarvan er vier bewezen zijn.

Het behandelt de verdeling van geometrische figuren in twee of meer gelijke delen of in delen van gegeven verhoudingen. Het lijkt op een werk van Heron van Alexandrië uit de 3e eeuw na Christus. In dit werk probeert hij rechte lijnen te construeren die gegeven figuren in gegeven verhoudingen en vormen verdelen. Hij vraagt bijvoorbeeld, gegeven een driehoek en een punt in de driehoek, een lijn te construeren die door het punt gaat en de driehoek in twee figuren van gelijke oppervlakte snijdt; of, gegeven een cirkel, twee parallelle lijnen te construeren, zodat het deel van de cirkel dat zij begrenzen een derde van de oppervlakte van de cirkel vormt.

Lees ook: biografieen – Maria I van Engeland

Over drogredenen (Pseudaria)

On fallacies (Περὶ Ψευδαρίων), een tekst over redeneerfouten, is een verloren gegaan werk, alleen bekend uit de beschrijving door Proclus. Volgens hem was het werk bedoeld om beginners te leren valse redeneringen op te sporen, in het bijzonder die welke deductieve redeneringen nabootsen en zo de schijn van waarheid hebben. Hij gaf voorbeelden van parallelogismen.

Lees ook: biografieen – Sextus Empiricus

Vier boeken over kegelsneden

Vier boeken over kegelsneden (Κωνικῶν Βιβλία) is nu verloren gegaan. Het was een werk over kegelsneden dat door Apollonius van Perga werd uitgebreid in een beroemd boek over hetzelfde onderwerp. Waarschijnlijk zijn de eerste vier boeken van Apollonius” werk rechtstreeks van Euclides afkomstig. Volgens Papo “liet Apollonius, nadat hij de vier boeken van Euclides over de kegelsnede had voltooid en er nog vier aan had toegevoegd, acht delen van de kegelsnede over”. De kegelsneden van Apollonius vervingen snel het oorspronkelijke werk, en in de tijd van Papo was het werk van Euclides verloren gegaan.

Lees ook: biografieen – Mahmud van Ghazni

Drie boeken met porismen

Drie boeken van porismen (Πορισμάτων Βιβλία) waren mogelijk een uitbreiding van zijn werk over kegelsneden, maar de betekenis van de titel is niet duidelijk. Het is een werk dat verloren is gegaan. Het werk wordt opgeroepen in twee passages van Proclus en is vooral het onderwerp van een lange presentatie in Boek VII van Pappus” Verzameling, de “Schatkamer van de Analyse”, als een belangrijk en verstrekkend voorbeeld van de analytische benadering. Het woord porisma heeft verschillende toepassingen: volgens Papo zou het hier een uitspraak aanduiden van een tussenvorm tussen stellingen en problemen. Het werk van Euclides zou 171 van dergelijke stellingen en 38 lemma”s hebben bevat. Pappos geeft voorbeelden, zoals “als, uitgaande van twee gegeven punten, rechte lijnen worden getrokken die een gegeven rechte lijn snijden, en als een van deze een segment snijdt op een gegeven rechte lijn, zal de andere hetzelfde doen op een andere rechte lijn, met een vaste relatie tussen de twee gesneden segmenten”. Het interpreteren van de precieze betekenis van wat een porisme is, en het eventueel herstellen van alle of een deel van de uitspraken van Euclides, op basis van de informatie die Pappus heeft nagelaten, heeft veel wiskundigen beziggehouden: de bekendste pogingen zijn die van Pierre Fermat in de 17e eeuw, van Robert Simson in de 18e eeuw, en vooral van Michel Chasles in de 19e eeuw. Hoewel de reconstructie van Chasles als zodanig door historici tegenwoordig niet serieus wordt genomen, heeft zij de wiskundige de gelegenheid gegeven het begrip anharmonische relatie te ontwikkelen.

Lees ook: biografieen – Carl Friedrich Gauss

Twee boeken over geometrische plaatsen

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β” ging over meetkundige plaatsen op oppervlakken of meetkundige plaatsen die zelf oppervlakken waren. In een latere interpretatie wordt verondersteld dat het werk zou kunnen gaan over kwadratische oppervlakken. Het is ook een verloren werk van twee boeken, genoemd in de Schatkist van Pappus” analyse. De aanwijzingen van Proclus of Pappus over deze plaatsen van Euclides zijn dubbelzinnig en de precieze vraag die in het werk wordt gesteld is niet bekend. In de traditie van de oude Griekse wiskunde zijn plaatsen sets van punten die een bepaalde eigenschap verifiëren. Deze verzamelingen zijn vaak rechte lijnen, of kegelsneden, maar het kunnen bijvoorbeeld ook platte vlakken zijn. De meeste historici schatten dat de plaats van Euclides revolutievlakken, bollen, kegels of cilinders konden zijn.

Lees ook: biografieen – Jacques de Molay

Verschijningen van de hemel

Appearances of the Sky of Phenomena (# Φαινόμενα) is een verhandeling over positie-astronomie, die in het Grieks bewaard is gebleven. Het lijkt sterk op een werk van Autolytus (Over de notie van de bol) en bespreekt de toepassing van de geometrie van de bol op de astronomie en is in het Grieks bewaard gebleven in verschillende manuscriptversies, waarvan de oudste dateert uit de 10e eeuw. In deze tekst wordt de zogenaamde “kleine astronomie” uitgelegd, in tegenstelling tot de onderwerpen die worden behandeld in de Grote Samenstelling van Ptolemaeus (de Almagest). Hij bevat 18 stellingen en staat dicht bij de overgeleverde werken over hetzelfde onderwerp van Autolytus van Pitane.

Lees ook: biografieen – Paul Klee

Optiek

Optica (Ὀπτικά) is de oudste overgeleverde Griekse verhandeling, in verschillende versies, gewijd aan problemen die wij nu van perspectief zouden zeggen en kennelijk bedoeld voor gebruik in de astronomie, heeft de vorm van Elementen: het is een voortzetting van 58 stellingen waarvan het bewijs berust op definities en postulaten die aan het begin van de tekst zijn vermeld. In zijn definities volgt Euclides de Platonische traditie, die stelt dat het zicht wordt veroorzaakt door stralen die van het oog uitgaan. Euclides beschrijft de schijnbare grootte van een voorwerp in relatie tot de afstand tot het oog, en onderzoekt de schijnbare vormen van cilinders en kegels bij verschillende gezichtshoeken.

Euclides toont aan dat de schijnbare grootte van gelijke voorwerpen niet evenredig is met hun afstand tot ons oog (stelling 8). Hij verklaart bijvoorbeeld ons zicht op een bol (en andere eenvoudige oppervlakken): het oog ziet een kleiner oppervlak in het midden van de bol, een nog kleiner deel naarmate de bol dichterbij komt, ook al lijkt het geziene oppervlak groter en is de omtrek van het geziene een cirkel. De verhandeling is met name in tegenspraak met een opvatting die in sommige stromingen wordt verdedigd, volgens welke de werkelijke grootte van voorwerpen (met name van hemellichamen) hun schijnbare grootte is, die welke wordt gezien.

Papo beschouwde deze resultaten als belangrijk in de astronomie en nam Euclides” Optica samen met zijn Phenomena op in een compendium van kleine werken die vóór Claudi Ptolemeu”s Almagest moesten worden bestudeerd.

Lees ook: belangrijke_gebeurtenissen – Conferentie van Jalta

Verhandeling over muziek

Proclus schrijft aan Euclides een verhandeling toe over muziek (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), die evenals de astronomie, theoretische muziek, bijvoorbeeld in de vorm van een toegepaste theorie van de verhoudingen, tot de wiskundige wetenschappen behoort. Twee kleine geschriften zijn in het Grieks bewaard gebleven, en zijn opgenomen in oude uitgaven van Euclides, maar hun beoordeling is onzeker, evenals hun mogelijke banden met de Elementen. De twee geschriften (een deel van de Canon over muzikale intervallen en een harmonische inleiding) worden daarentegen als tegenstrijdig beschouwd, en het tweede wordt nu in ieder geval door geleerden als van een andere auteur beschouwd.

Lees ook: biografieen – Luís de Camões

Werken ten onrechte toegeschreven aan Euclides

Catoptrie (Κατοητρικά) behandelt de wiskundige theorie van spiegels, in het bijzonder beelden gevormd in concave vlakke en sferische spiegels. De toeschrijving aan Euclides is twijfelachtig; de auteur kan Theon van Alexandrië zijn geweest. Het komt voor in Euclides” tekst over optica en in het commentaar van Proclus. Het wordt nu als verloren beschouwd, en met name Catoptricus, lang gepubliceerd als een voortzetting van Optica in oude edities, wordt niet langer toegeschreven aan Euclides; het wordt beschouwd als een latere compilatie.

Euclides wordt ook genoemd als de auteur van fragmenten over mechanica, met name in teksten over de hefboom en de balans, in sommige Latijnse of Arabische handschriften. De toeschrijving wordt nu als twijfelachtig beschouwd.

Lees ook: biografieen – Slag bij Kadesh

Andere referenties

Bronnen

1. Euclides
2. Euclides van Alexandrië
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. Affirmation tenue pour exacte jusqu”à ce que l”érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d”optique), affirme le contraire[33].
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
9. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.