Leonhard Euler

gigatos | maart 6, 2023

Samenvatting

Leonhard Euler (15 april 1707, Bazel, Zwitserland – 7 (18) september 1783, Sint-Petersburg, Russisch Rijk) was een Zwitsers, Pruisisch en Russisch wiskundige en werktuigkundige die fundamentele bijdragen heeft geleverd aan de ontwikkeling van deze wetenschappen (evenals aan de natuurkunde, de astronomie en verschillende toegepaste wetenschappen). Samen met Lagrange was hij de grootste wiskundige van de 18e eeuw en wordt hij beschouwd als een van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis. Euler schreef meer dan 850 werken (waaronder twee dozijn fundamentele monografieën) over wiskundige analyse, differentiaalmeetkunde, getaltheorie, benaderende calculus, hemelmechanica, mathematische fysica, optica, ballistiek, scheepsbouw, muziektheorie en andere onderwerpen. Hij studeerde geneeskunde, scheikunde, plantkunde, luchtvaartkunde, muziektheorie en vele Europese en oude talen. Petersburg, Berlijn, Turijn, Lissabon en Bazel, buitenlands lid van de Parijse Academie van Wetenschappen. Eerste Russische lid van de American Academy of Arts and Sciences.

Bijna de helft van zijn leven bracht hij door in Rusland, waar hij een belangrijke bijdrage leverde aan de ontwikkeling van de Russische wetenschap. In 1726 werd hij uitgenodigd om in Sint-Petersburg te komen werken, waar hij een jaar later naartoe verhuisde. Van 1726 tot 1741 en vanaf 1766 was hij academicus van de Academie van Wetenschappen van Sint-Petersburg (van 1741 tot 1766 werkte hij in Berlijn, terwijl hij tegelijkertijd erelid bleef van de Academie van Sint-Petersburg). Na een jaar in Rusland had hij een goede kennis van het Russisch en sommige van zijn werken (vooral leerboeken) werden in het Russisch gepubliceerd. De eerste Russische academici-mathematici (S. K. Kotelnikov) en astronomen (S. Ya. Rumovsky) waren leerlingen van Euler.

Lees ook: biografieen – Alexis de Tocqueville

Zwitserland (1707-1727)

Leonhard Euler werd in 1707 geboren in het gezin van de predikant Paul Euler uit Bazel, een vriend van de familie Bernoulli, en Marguerite Euler, geboren Brooker. Kort na zijn geboorte verhuisde het gezin naar Richeng, waar de jongen zijn eerste jaren doorbracht. Leonard kreeg zijn basisonderwijs thuis onder leiding van zijn vader (deze had wiskunde gestudeerd bij Jakob Bernoulli). De pastoor bereidde zijn oudste zoon voor op een geestelijke carrière, maar hij leerde hem ook wiskunde, zowel voor het plezier als om zijn logisch denken te ontwikkelen, en Leonard toonde al vroeg talent voor wiskunde.

Toen Leonard opgroeide, werd hij naar het huis van zijn grootmoeder in Bazel gebracht, waar hij naar het gymnasium ging (terwijl hij met passie wiskunde bleef studeren). In 1720 mocht hij openbare colleges bijwonen aan de universiteit van Bazel, waar hij de aandacht trok van professor Johann Bernoulli (jongere broer van Jakob Bernoulli). De beroemde wetenschapper stuurde wiskundige artikelen naar de jonge wiskundige ter bestudering en stond hem toe op zaterdagmiddag bij hem thuis te komen om moeilijke punten te verduidelijken.

Op 20 oktober 1720 werd de 13-jarige Leonhard Euler student aan de Faculteit der Kunsten van de Universiteit van Bazel. Maar zijn liefde voor wiskunde leidde Leonard op een ander pad. Bij een bezoek aan het huis van zijn leraar ontmoette Euler diens zonen, Daniel en Nicholas, die eveneens, in de familietraditie, de wiskunde grondig bestudeerden, en met hen bevriend raakten. In 1723 ontving Euler (zoals gebruikelijk aan de universiteit van Bazel) zijn eerste onderscheiding (primam lauream). Op 8 juli 1724 hield de 17-jarige Leonhard Euler een toespraak in het Latijn waarin hij de filosofische opvattingen van Descartes en Newton vergeleek en kreeg hij een Master of Arts graad.

In de volgende twee jaar schreef de jonge Euler verschillende wetenschappelijke artikelen. Een daarvan, “Dissertation on Physics of Sound”, werd ingediend bij een vergelijkend onderzoek om de plotseling vacante post van hoogleraar in de natuurkunde aan de universiteit van Bazel te vervullen (1725). Maar ondanks de gunstige beoordeling werd de 19-jarige Euler te jong geacht om als kandidaat voor het professoraat te worden opgenomen. In die tijd was het aantal wetenschappelijke vacatures in Zwitserland erg klein. Dus gingen de broers Daniel en Nikolai Bernoulli naar Rusland, waar de Academie van Wetenschappen werd opgericht, en beloofden een post voor Euler aan te vragen.

In de vroege winter van 1726-1727 ontving Euler het nieuws uit Sint-Petersburg: op aanbeveling van de gebroeders Bernoulli werd hij uitgenodigd voor de post van universitair hoofddocent op de afdeling fysiologie (deze afdeling werd bezet door D. Bernoulli) met een jaarsalaris van 200 roebel (Euler bewaarde een brief aan de president van de Academie van 9 november 1726 met de dankbaarheid voor de aanvaarding in de Academie). Aangezien Johann Bernoulli een beroemd arts was, werd in Rusland Leonhard Euler, als zijn beste leerling, ook als arts beschouwd. Euler stelde zijn vertrek uit Bazel echter uit tot het voorjaar en wijdde de resterende maanden aan de serieuze studie van de medische wetenschappen, waarvan hij later indruk zou maken op zijn tijdgenoten. Uiteindelijk verliet Euler op 5 april 1727 voorgoed Zwitserland, hoewel hij voor de rest van zijn leven de Zwitserse (Bazelse) nationaliteit behield.

Lees ook: beschavingen – Kanaat Sibir

Rusland (1727-1741)

Op 22 januari (2 februari) 1724 keurde Peter I het project van de Petersburgse Academie goed. Op 28 januari (8 februari) 1724 vaardigde de Senaat een decreet uit over de oprichting van de Academie. Van de 22 professoren en geassocieerde professoren die in de eerste jaren werden uitgenodigd, verschenen er 8 wiskundigen die zich ook bezighielden met mechanica, natuurkunde, astronomie, cartografie, theorie van de scheepsbouw, dienst van maten en gewichten.

Euler (wiens route van Bazel via Lübeck, Revel en Kronstadt liep) kwam op 24 mei 1727 aan in Sint-Petersburg; enkele dagen daarvoor overleed keizerin Catharina I, de beschermvrouwe van de Academie, en verkeerden de geleerden in wanhoop en verwarring. Euler werd geholpen aan zijn nieuwe plaats te wennen door mede-Bazelianen: de academici Daniil Bernoulli en Jakob Hermann; de laatste was als hoogleraar op de leerstoel hogere wiskunde verre familie van de jonge wetenschapper en bood hem allerlei beschermingen aan. Euler werd geassocieerd professor in de hogere wiskunde (en niet in de fysiologie zoals oorspronkelijk gepland), hoewel hij in Sint-Petersburg onderzoek deed op het gebied van de vloeistofdynamica, een salaris van 300 roebel per jaar ontving en een flat kreeg.

Euler leerde binnen enkele maanden na aankomst in Sint-Petersburg vloeiend Russisch.

In 1728 begon het eerste Russische wetenschappelijke tijdschrift, Commentaren van de Academie der Wetenschappen van Sint-Petersburg (in het Latijn), te verschijnen. Reeds het tweede deel bevatte drie artikelen van Euler, en in de daaropvolgende jaren bevatte bijna elk nummer van het wetenschappelijk jaarboek meerdere van zijn nieuwe werken. In totaal werden in deze uitgave meer dan 400 artikelen van Euler gepubliceerd.

In september 1730 liepen de contracten af van de academici J. Herman (leerstoel wiskunde) en H. B. Bilfinger (leerstoel experimentele en theoretische natuurkunde). Hermann (leerstoel wiskunde) en G. B. Bilfinger (leerstoel experimentele en theoretische natuurkunde). Daniil Bernoulli en Leonard Ayler werden goedgekeurd voor hun vacatures; de laatste kreeg tot 400 roebel betaald en kreeg op 22 januari 1731 de officiële post van hoogleraar. Twee jaar later (1733) keerde Daniel Bernoulli terug naar Zwitserland, en Euler, die de leerstoel natuurkunde verliet, nam zijn plaats in en werd academicus en hoogleraar in de hogere wiskunde met een salaris van 600 roebel (Daniel Bernoulli kreeg echter twee keer zoveel).

Op 27 december 1733 trouwde de 26-jarige Leonhard Euler met zijn leeftijdsgenote Katharina (Duits: Katharina Gsell), dochter van de academische schilder Georg Gsell (een Zwitser uit Sint-Petersburg). Het echtpaar kocht een huis aan de Neva-oever, waar ze zich vestigden. Het gezin Euler had 13 kinderen, maar drie zonen en twee dochters overleefden.

De jonge professor had veel werk te doen: cartografie, allerlei examens, consulten voor scheepsbouwers en artilleristen, opstellen van opleidingshandboeken, ontwerpen van brandpompen, enz. Hij moest zelfs horoscopen opstellen, die Euler met alle tact doorverwees naar een stafastronoom. Alexander Poesjkin haalt een romantisch verhaal aan: naar verluidt stelde Euler een horoscoop samen voor een pasgeboren prins Jan Antonovitsj (1740), maar hij schrok zo van het resultaat dat hij het aan niemand liet zien, en pas na de dood van de ongelukkige prins erover vertelde aan graaf K.G. Razumovsky. De authenticiteit van deze historische anekdote is hoogst twijfelachtig.

Tijdens zijn eerste periode in Rusland schreef hij meer dan 90 belangrijke wetenschappelijke artikelen. Een groot deel van de academische “Notes” is gevuld met Eulers geschriften. Hij gaf papers op wetenschappelijke seminars, gaf openbare lezingen en nam deel aan diverse technische opdrachten van overheidsinstellingen. In de jaren 1730 leidde Euler het werk aan het in kaart brengen van het Russische Rijk, dat (na het vertrek van Euler in 1745) werd voltooid met de publicatie van de atlas van het land. Zoals N. I. Fuss berichtte, kreeg de Academie in 1735 de opdracht om een dringende en zeer lastige wiskundige berekening uit te voeren, en een groep academici vroeg om drie maanden, maar Euler ondernam het werk gedurende 3 dagen – en slaagde erin het zelf te doen; de overspanning ging echter niet ongemerkt voorbij: hij werd ziek en verloor het zicht in zijn rechteroog. Euler zelf schreef echter in een van zijn brieven het verlies van zijn oog toe aan zijn werk in de geografische afdeling van de Academie.

Het tweedelige werk Mechanics, or the science of motion set forth analytically, gepubliceerd in 1736, bracht Euler algemene Europese bekendheid. In deze monografie paste Euler met succes methoden van wiskundige analyse toe op de algemene oplossing van problemen van beweging in een leegte en in een weerstand biedend medium.

Een van de belangrijkste taken van de Academie was de opleiding van huishoudelijk personeel, waarvoor onder de Academie een universiteit en een gymnasium werden opgericht. Vanwege het nijpende tekort aan leerboeken in het Russisch vroeg de Academie haar leden dergelijke handboeken samen te stellen. Euler stelde in het Duits een zeer goed “Handboek voor Rekenkunde” samen, dat onmiddellijk in het Russisch werd vertaald en enkele jaren dienst deed als primair leerboek. De vertaling van het eerste deel werd in 1740 gemaakt door Vasily Adodurov, de eerste Russische adjunct van de Academie en een leerling van Euler.

De situatie verslechterde toen keizerin Anna Ioannovna in 1740 overleed en de jonge Johannes VI tot keizer werd uitgeroepen. “Er stond iets gevaarlijks te gebeuren”, schreef Euler later in zijn autobiografie. – Na de dood van de eerbiedwaardige keizerin Anna tijdens het daaropvolgende regentschap … begon de situatie zich onzeker voor te doen. Tijdens het regentschap van Anna Leopoldovna raakte de Academie van Sint-Petersburg immers definitief in verval. Euler begon de optie te overwegen om naar huis terug te keren of naar een ander land te verhuizen. Uiteindelijk accepteerde hij een aanbod van de Pruisische koning Friedrich, die hem onder zeer gunstige voorwaarden uitnodigde voor de Berlijnse Academie, als directeur van de wiskundige afdeling. De Academie was gebaseerd op de Pruisische Royal Society, opgericht door Leibniz, maar die toen in een deplorabele staat verkeerde.

Lees ook: geschiedenis – Confederatie van Targowica

Pruisen (1741-1766)

Euler heeft zijn ontslag ingediend bij de directie van de St Petersburg Academie:

Om deze reden ben ik genoodzaakt, zowel om redenen van slechte gezondheid als andere omstandigheden, een aangenamer klimaat op te zoeken en de oproep van zijne Koninklijke Pruisische Majesteit voor mij te aanvaarden. Om deze reden verzoek ik de Keizerlijke Academie van Wetenschappen mij vriendelijk te ontslaan en mij en mijn gezin het noodzakelijke paspoort voor mijn reis te verschaffen.

Op 29 mei 1741 werd de toestemming van de Academie verkregen. Euler werd “vrijgelaten” en goedgekeurd als erelid van de Academie met een salaris van 200 roebel. In juni 1741 arriveerde de 34-jarige Leonhard Euler met zijn vrouw, twee zonen en vier neven in Berlijn. Hij bracht er 25 jaar door en publiceerde zo”n 260 werken.

Aanvankelijk werd Euler in Berlijn vriendelijk ontvangen en zelfs uitgenodigd voor een hofbal. De markies Condorcet herinnerde zich dat Euler kort na zijn verhuizing naar Berlijn werd uitgenodigd voor een hofbal. Op de vraag van de koningin-moeder waarom hij zo zwijgzaam was, antwoordde Euler: “Ik kom uit een land waar iedereen die spreekt wordt opgehangen”.

Euler had veel werk te doen. Naast wiskundig onderzoek leidde hij een observatorium en was hij betrokken bij vele praktische zaken, waaronder de productie van kalenders (de belangrijkste bron van inkomsten van de Academie), het slaan van Pruisische munten, de aanleg van een nieuwe waterleiding en de organisatie van pensioenen en loterijen.

In 1742 verscheen een vierdelige verzameling van de werken van Johann Bernoulli. Toen hij deze vanuit Bazel naar Euler in Berlijn stuurde, schreef de oude wetenschapper aan zijn leerling: “Ik heb me gewijd aan de kindertijd van de hogere wiskunde. Jij, mijn vriend, zult de volwassen vorming ervan voortzetten.” In de Berlijnse periode kwam het ene na het andere werk van Euler uit: “Inleiding tot de analyse van oneindig klein” (1748), “Wetenschap van de zee” (1749), “Theorie van de beweging van de maan” (1753), “Leerprogramma over differentiaalrekening” (Lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Talrijke artikelen over geselecteerde onderwerpen werden afgedrukt in publicaties van de academies van Berlijn en Sint-Petersburg. In 1744 ontdekte Euler de variatierekening. Zijn geschriften gebruiken een uitgebreide terminologie en wiskundige symbolen die tot op heden grotendeels bewaard zijn gebleven, en hij brengt zijn uiteenzetting op het niveau van praktische algoritmen.

Gedurende zijn jaren in Duitsland hield Euler contact met Rusland. Euler nam deel aan de publicaties van de Academie van Sint-Petersburg, kocht er boeken en instrumenten voor en redigeerde de wiskundige afdelingen van Russische tijdschriften. In zijn flat, met een volledig pension, woonden jarenlang jonge Russische wetenschappers die voor opleiding werden gestuurd. Bekend is de levendige correspondentie van Euler met M. V. Lomonosov; in 1747 gaf hij een gunstig advies aan de president van de Academie van Wetenschappen, graaf K. G. Razumovsky over Lomonosovs artikelen over natuur- en scheikunde, waarbij hij stelde:

Al deze stellingen zijn niet alleen goed, maar ook zeer uitstekend, want hij schrijft over de materie van de fysische en chemische zeer noodzakelijk, die tot nu toe niet bekend was en niet kon worden geïnterpreteerd door de slimste mensen, wat hij deed met zo”n succes dat ik volledig vertrouw op de rechtvaardigheid van zijn verklaringen. In dit geval moet men de heer Lomonosov nageven dat hij een uitstekend talent heeft om fysische en chemische verschijnselen te interpreteren. Het is te hopen dat de andere academies in staat zullen zijn dergelijke openbaringen te produceren, zoals de heer Lomonosov heeft laten zien.

Deze hoge inschatting werd zelfs niet verhinderd door het feit dat Lomonosov geen wiskundige werken schreef en geen hogere wiskunde kende. Niettemin verbrak Euler in 1755 als gevolg van Lomonosovs tactloosheid, die zonder toestemming van Euler zijn privé-brief ter ondersteuning van hem publiceerde, alle betrekkingen met hem. De betrekkingen werden in 1761 hersteld omdat Lomonosov de terugkeer van Euler naar Rusland mogelijk maakte.

Zijn moeder bracht Euler op de hoogte van de dood van zijn vader in Zwitserland (zij trok al snel bij Euler in (zij overleed in 1761). In 1753 kocht Euler een landgoed in Charlottenburg (een voorstad van Berlijn) met een tuin en een perceel om zijn grote gezin te huisvesten.

Volgens tijdgenoten bleef Euler bescheiden, opgewekt, uiterst sympathiek en altijd bereid anderen te helpen. Zijn relatie met de koning verliep echter niet goed: Frederik vond de nieuwe wiskundige onverdraaglijk saai, totaal onmaatschappelijk en behandelde hem minachtend. In 1759 stierf Mauperthuis, voorzitter van de Berlijnse Academie van Wetenschappen en een vriend van Euler. Koning Frederik II bood D”Alumbert de post van president van de Academie aan, maar deze weigerde. Friedrich, die een hekel had aan Euler, vertrouwde hem niettemin de leiding van de Academie toe, maar zonder de titel van president.

Tijdens de Zevenjarige Oorlog betaalde veldmaarschalk Saltykov de verliezen onmiddellijk terug, en later stuurde keizerin Elisabeth nog eens 4000 roebel van haarzelf.

In 1765 werd The Theory of Motion of Solids gepubliceerd, een jaar later gevolgd door Elements of Calculus of Variation. Hier verscheen voor het eerst de naam van de nieuwe sectie van de wiskunde die door Euler en Lagrange was gecreëerd.

In 1762 besteeg Catharina II de Russische troon en voerde een beleid van verlicht absolutisme. Goed bewust van het belang van de wetenschap voor de vooruitgang van de staat en voor haar eigen prestige, voerde zij een aantal belangrijke veranderingen door in het systeem van openbaar onderwijs en cultuur ten gunste van de wetenschap. De keizerin bood Euler het beheer van een wiskundige klas aan, de titel van congressecretaris van de Academie en een salaris van 1800 roebel per jaar. En als het u niet bevalt”, aldus de brief aan haar vertegenwoordiger, “zal zij met genoegen haar voorwaarden meedelen, als u maar niet aarzelt om naar Sint-Petersburg te komen”.

Euler deelde zijn voorwaarden mee als antwoord:

Al deze voorwaarden werden aanvaard. Op 6 januari 1766 informeerde Catharina graaf Vorontsov:

De brief van de heer Euler aan u heeft mij veel genoegen gedaan, omdat ik daaruit zijn wens verneem om weer in mijn dienst te treden. Natuurlijk vind ik dat hij de wenselijke titel van vice-president van de Academie van Wetenschappen volkomen waardig is, maar daarvoor moeten enkele maatregelen worden genomen voordat ik de titel instel – ik zeg instel, omdat hij tot nu toe niet bestond. Bij de huidige stand van zaken is er geen geld voor het salaris van 3000 roebel, maar voor een man met zoveel verdiensten als de heer Euler zal ik het academisch salaris aanvullen uit de staatsinkomsten, die samen de vereiste 3000 roebel bedragen… Ik ben er zeker van dat mijn Academie zal herrijzen uit de as van zo”n belangrijke aanwinst en ik feliciteer mijzelf bij voorbaat met de terugkeer van een groot man naar Rusland.

Later stelde Euler nog een aantal andere voorwaarden (een jaarlijks pensioen van 1000 roebel voor zijn vrouw na zijn dood, vergoeding van reiskosten, een plaats voor zijn medische zoon en een rang voor Euler zelf). Catherine voldeed ook aan deze voorwaarden van Euler, behalve aan de eis voor een rang, en zei gekscherend: “Ik zou hem, als hij had gewild, de rang van… (in het Franse ontwerp van de brief is de collegiale adviseur doorgestreept) hebben gegeven, ware het niet dat ik vreesde dat deze rang hem gelijk zou maken aan zoveel mensen die de heer Euler niet waardig zijn. Waarlijk, zijn roem is beter dan de rang om hem de nodige eerbied te bewijzen”.

Euler verzocht de koning om ontslag uit de dienst, maar kreeg geen antwoord. Hij diende opnieuw een verzoek in – maar Frederik was zelfs niet bereid de kwestie van zijn vertrek te bespreken. Doorslaggevende steun voor Euler werd verleend door de aanhoudende verzoekschriften van de Russische vertegenwoordiging namens de keizerin. Op 2 mei 1766 gaf Friedrich de grote geleerde eindelijk toestemming om Pruisen te verlaten, hoewel hij het niet kon nalaten in zijn correspondentie vernietigende grappen over Euler te maken (zo schreef hij op 25 juli aan D”Alamberto: “Herr Euler, die gek was op de Grote en de Kleine Beer, is dichter bij het noorden gaan wonen om ze te kunnen waarnemen”). Weliswaar diende hij als luitenant-kolonel van de artillerie (later kon hij zich op voorspraak van Catharina II alsnog bij zijn vader voegen en werd hij bevorderd tot luitenant-generaal in het Russische leger. In de zomer van 1766 keerde Euler terug naar Rusland – nu voorgoed.

Lees ook: gevechten – Slag bij Ramillies

Rusland opnieuw (1766-1783)

Op 17 (28) juli 1766 arriveerde de 60-jarige Euler met zijn gezin en huishouden (18 in totaal) in de Russische hoofdstad. Direct na aankomst werd hij ontvangen door de keizerin. Catharina II verwelkomde hem als een verheven persoon en overlaadde hem met gunsten: zij verleende 8000 roebel voor de aankoop van een huis op het eiland Vasilievsky en voor de aanschaf van meubilair, stelde voor het eerst een van haar koks ter beschikking en droeg hem op overwegingen voor de reorganisatie van de Academie voor te bereiden.

Helaas kreeg Euler na zijn terugkeer in Sint-Petersburg staar in zijn enige overgebleven linkeroog en werd hij spoedig blijvend blind. Waarschijnlijk om deze reden kreeg hij nooit de beloofde post van vice-president van de Academie (wat Euler en zijn nakomelingen er niet van weerhield om bijna honderd jaar lang deel te nemen aan het bestuur van de Academie). De blindheid had echter geen invloed op het werkvermogen van de wetenschapper; hij merkte alleen op dat hij nu minder afgeleid zou worden door de wiskunde. Voordat hij een secretaresse kreeg, dicteerde Euler zijn werk aan een stevige jongen, die alles in het Duits opschreef. Het aantal van zijn gepubliceerde werken nam zelfs toe; tijdens zijn tweede verblijf in Rusland dicteerde Euler meer dan 400 artikelen en 10 boeken, dat is meer dan de helft van zijn creatieve nalatenschap.

In 1768-1770 publiceerde hij zijn klassieke tweedelige monografie, Universal Arithmetic (ook gepubliceerd als Elements of Algebra en The Complete Course of Algebra). Dit werk werd voor het eerst gepubliceerd in het Russisch (1768-1769), en twee jaar later verscheen een Duitse editie. Het boek werd in vele talen vertaald en ongeveer 30 keer herdrukt (drie keer in het Russisch). Alle latere algebraboeken werden sterk beïnvloed door Eulers boek.

In dezelfde jaren publiceerde hij zijn driedelige Dioptrica (1769-1771) over lenzenstelsels en de fundamentele Institutiones calculi integralis (1768-1770), eveneens in drie delen.

Eulers “Brieven over verschillende natuurkundige en filosofische zaken geschreven aan een Duitse prinses” (1768) werden zeer populair in de 18e eeuw, en deels ook in de 19e. (1768) dat meer dan 40 edities had in 10 talen (waaronder 4 edities in het Russisch). Het was een populair-wetenschappelijke encyclopedie van grote omvang, geschreven op een levendige en algemeen toegankelijke manier.

In 1771 deden zich twee ernstige gebeurtenissen voor in het leven van Euler. In mei was er een grote brand in Sint-Petersburg die honderden gebouwen verwoestte, waaronder het huis en bijna alle bezittingen van Euler. De wetenschapper zelf werd ternauwernood gered. Alle manuscripten werden van het vuur gered; alleen een deel van zijn “Nieuwe Theorie van de Maanbeweging” verbrandde, maar dat werd snel hersteld met de hulp van Euler, die tot op hoge leeftijd zijn fenomenale geheugen behield. Euler moest tijdelijk naar een ander huis verhuizen. De tweede gebeurtenis: in september van hetzelfde jaar arriveerde de beroemde Duitse oogarts Baron Wentzel op speciale uitnodiging van de keizerin in Sint-Petersburg om Euler te behandelen. Na een onderzoek stemde hij ermee in Euler te opereren en een staar uit zijn linkeroog te verwijderen. Euler kon weer zien. De dokter schreef voor zijn oog uit fel licht te houden, niet te schrijven, niet te lezen – gewoon geleidelijk wennen aan de nieuwe toestand. Maar binnen een paar dagen na de operatie haalde Euler het verband eraf en verloor al snel weer zijn zicht. Deze keer voorgoed.

1772: “Een nieuwe theorie van de beweging van de maan”. Euler voltooide eindelijk zijn jarenlange werk door het drielichamenprobleem bij benadering op te lossen.

In 1773 kwam op aanbeveling van Daniel Bernoulli de leerling van Bernoulli, Nikolaus Fuss, vanuit Bazel naar Sint-Petersburg. Dit was een groot geluk voor Euler. Fuss, een begaafd wiskundige, nam onmiddellijk na zijn aankomst de leiding over Eulers wiskundige werk. Fuss trouwde al snel met Eulers kleindochter. De volgende tien jaar – tot aan zijn dood – dicteerde Euler zijn werk voornamelijk aan hem, hoewel hij soms de “ogen van zijn oudste zoon” en zijn andere studenten gebruikte. In hetzelfde jaar 1773 overleed Eulers vrouw, met wie hij bijna 40 jaar had samengewoond. De dood van zijn vrouw was een pijnlijke klap voor de wetenschapper, die oprecht gehecht was aan zijn gezin. Euler trouwde spoedig met Salome Abigail, de halfzus van zijn overleden vrouw.

General Spherical Trigonometry” werd gepubliceerd in 1779 en was de eerste volledige uiteenzetting van het hele systeem van sferische goniometrie.

Euler werkte actief door tot zijn laatste dagen. In september 1783 begon de 76-jarige wetenschapper hoofdpijn en zwakte te voelen. Op 7 (18) september, na een diner met zijn familie, pratend met de academicus A. I. Lexel over de pas ontdekte planeet Uranus en zijn baan, voelde hij zich plotseling ziek. Euler wist uit te brengen: “Ik ga dood,” en viel flauw. Enkele uren later stierf hij, zonder weer bij bewustzijn te komen, aan een hersenbloeding.

“Hij stopte met rekenen en leefde,” zei Condorcet op een treurige bijeenkomst van de Parijse Academie van Wetenschappen (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Hij werd begraven op de Smolensk Lutherse begraafplaats in Sint Petersburg. De inscriptie op het monument in het Duits luidt: “Hier liggen de overblijfselen van de wereldberoemde Leonhard Euler, wijsgeer en rechtvaardig man. Geboren op 4 april 1707 in Bazel, gestorven op 7 september 1783”. Na de dood van Euler ging zijn graf verloren en werd pas in 1830 in vervallen staat teruggevonden. In 1837 verving de Academie van Wetenschappen deze grafsteen door een nieuwe granieten zerk (die er nog steeds staat) met het opschrift in het Latijn “Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Tijdens de viering van de 250e verjaardag van Euler (1957) werd de as van de grote wiskundige overgebracht naar de “Necropolis van de 18e eeuw” op de Lazarevsky begraafplaats van de Alexander Nevsky Lavra, waar hij zich dicht bij het graf van M. V. Lomonosov bevindt.

Euler heeft belangrijke werken nagelaten in verschillende takken van de wiskunde, mechanica, natuurkunde, astronomie en een aantal toegepaste wetenschappen. Eulers kennis was encyclopedisch; naast wiskunde bestudeerde hij plantkunde, geneeskunde, scheikunde, muziektheorie en vele Europese en oude talen.

Euler nam graag deel aan wetenschappelijke discussies, waarvan hij het meest bekend was:

In alle genoemde gevallen wordt het standpunt van Euler ondersteund door de moderne wetenschap.

Lees ook: biografieen – Edmund II van Engeland

Wiskunde

In termen van wiskunde is de 18e eeuw het tijdperk van Euler. Terwijl vóór hem de vorderingen in de wiskunde versnipperd en niet altijd coherent waren, verbond Euler voor het eerst analyse, algebra, meetkunde, goniometrie, getaltheorie en andere disciplines tot een uniform systeem, terwijl hij er veel van zijn eigen ontdekkingen aan toevoegde. Veel van de wiskunde wordt sindsdien vrijwel ongewijzigd “volgens Euler” onderwezen.

Dankzij Euler omvatte de wiskunde de algemene theorie van reeksen, de fundamentele “Euler-formule” in de theorie van complexe getallen, de modulo-vergelijkingsoperatie, de volledige theorie van continue breuken, de analytische grondslag van de mechanica, talrijke technieken van integratie en oplossing van differentiaalvergelijkingen, het getal e, de notatie i voor een imaginaire eenheid, een aantal speciale functies en nog veel meer.

In feite was het Euler die verschillende nieuwe wiskundige disciplines creëerde – getaltheorie, calculus van variaties, theorie van complexe functies, differentiaalmeetkunde van oppervlakken; hij legde de basis voor de theorie van speciale functies. Zijn andere werkterreinen omvatten diophantijnse analyse, wiskundige fysica, statistiek, enz.

De wetenschapshistoricus Clifford Truesdell schreef: “Euler was de eerste wetenschapper in de westerse beschaving die in duidelijke en gemakkelijk leesbare taal over wiskunde schreef”. Biografen wijzen erop dat Euler een virtuoos algoritmicus was. Hij probeerde steevast zijn ontdekkingen op het niveau van specifieke rekenmethoden te brengen en was een meester in numerieke berekeningen. J. Condorcet vertelde dat ooit twee studenten die onafhankelijk van elkaar complexe astronomische berekeningen uitvoerden, iets verschillende resultaten kregen in het 50e teken en Euler om hulp vroegen. Euler deed dezelfde berekeningen in zijn hoofd en gaf het juiste resultaat.

П. L. Chebyshev schreef: “Euler legde de basis voor alle onderzoeken die de algemene getaltheorie vormen”. De meeste wiskundigen van de 18e eeuw hielden zich bezig met de ontwikkeling van de analyse, maar Euler droeg de passie voor de oude rekenkunde zijn leven lang met zich mee. Dankzij zijn geschriften leefde de belangstelling voor de getaltheorie tegen het einde van de eeuw weer op.

Euler zette het onderzoek van Fermat voort, die eerder (onder invloed van Diophantus) een aantal verspreide hypothesen over natuurlijke getallen had opgesteld. Euler bewees deze hypothesen rigoureus, veralgemeende ze aanzienlijk en combineerde ze tot een zinvolle getaltheorie. Hij introduceerde de uiterst belangrijke “Euler-functie” in de wiskunde en gebruikte deze om de “Euler stelling” te formuleren. Hij ontkrachtte de hypothese van Fermat dat alle getallen van de vorm F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} zijn eenvoudig; het blijkt dat F 5 {displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} deelbaar is door 641. Fermat”s uitspraak over de representatie van een oneven priemgetal als een som van twee kwadraten bewezen. Gaf een van de oplossingen voor het vier-kubus probleem. Bewijsde dat het Mersenne-getal 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – is een priemgetal; bijna honderd jaar lang (tot 1867) bleef het het grootste bekende priemgetal.

Euler legde de basis voor de theorie van vergelijkingen en kwadratische aftrekkingen en specificeerde het oplosbaarheidscriterium voor deze laatste. Euler introduceerde het begrip oorspronkelijke wortel en stelde dat er voor elk priemgetal p een oorspronkelijke wortel modulo p bestaat; hij slaagde er niet in dit te bewijzen, maar LeGendre en Gauss bewezen later de stelling. Eulers andere stelling, de kwadratische reciprociteitswet, ook door Gauss bewezen, was van groot belang in de theorie. Euler bewees de Grote Stelling van Fermat voor n = 3 {n = 3} и n = 4 {en n = 4.} creëerde een volledige theorie van continue breuken, onderzocht verschillende klassen van diffeomorfe vergelijkingen, en de theorie van de deling van getallen in termen.

In het probleem van het aantal partities van een natuurlijk getal n {kreeg} kreeg de formule voor de afgeleide functie van het aantal partities p ( n ) {displaystyle p(n)} {displaystyle p(n ) door het oneindige product van

Euler definieerde de zetafunctie, waarvan een generalisatie later de naam Riemann kreeg:

waarbij s {een reëel getal is.} een reëel getal is (in Riemann is het complex). Euler heeft er een decompositie voor afgeleid:

waarbij het product wordt genomen over alle priemgetallen p . . Zo ontdekte hij dat in de getaltheorie methoden van wiskundige analyse kunnen worden toegepast, waardoor de analytische getaltheorie ontstond, die gebaseerd is op de identiteit van Euler en de algemene methode van afgeleide functies.

Een van Eulers belangrijkste bijdragen aan de wetenschap was zijn monografie “Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748). In 1755 verscheen het aangevulde “Differentiaalrekening”, en in 1768-1770 werden drie delen van “Integrale berekening” gepubliceerd. Alles bij elkaar is dit een fundamentele, goed geïllustreerde cursus, met uitgebreide terminologie en symboliek. “Men kan gerust stellen dat de helft van wat nu in cursussen hogere algebra en hogere analyse wordt onderwezen, in de geschriften van Euler staat” (N. N. Luzin). Euler was de eerste die een systematische theorie gaf over integratie en de daarbij gebruikte technieken. Hij is met name de auteur van de klassieke methode van integratie van rationale functies door ze te ontbinden in eenvoudige fracties en de methode voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen van willekeurige orde met constante coëfficiënten.

Euler heeft altijd bijzondere aandacht besteed aan methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen, zowel gewone als partiële afgeleiden, en heeft belangrijke klassen van integreerbare differentiaalvergelijkingen ontdekt en beschreven. Hij werkte de Euler”s methode van gebroken lijnen uit (1768), de numerieke methode voor het oplossen van stelsels van gewone differentiaalvergelijkingen. Samen met A. C. Clero leidde hij voorwaarden af voor de integreerbaarheid van lineaire differentiaalvormen van twee of drie variabelen (1739). Hij verkreeg belangrijke resultaten in de theorie van elliptische functies, waaronder de eerste stellingen over optelling van elliptische integralen (1761). Hij was de eerste die onderzoek deed naar maxima en minima van functies van vele variabelen.

De basis van de natuurlijke logaritmen is al bekend sinds de tijd van Neper en Jacob Bernoulli, maar Euler heeft deze belangrijkste constante zo grondig bestudeerd dat deze sindsdien naar hem is vernoemd. Een andere constante die hij bestudeerde: de Euler-Mascheroni constante.

De moderne definitie van de exponentiële, logaritmische en goniometrische functies is ook zijn verdienste, evenals hun symboliek en generalisatie naar het complexe geval. De formules die in leerboeken vaak “voorwaarden van Cauchy-Riemann” worden genoemd, zouden beter “voorwaarden van D”Alambert-Euler” kunnen worden genoemd.

Hij deelt met Lagrange de eer om de calculus der variaties te ontdekken door de Euler-Lagrange vergelijkingen uit te schrijven voor het algemene variatieprobleem. In 1744 publiceerde Euler zijn verhandeling “Methode voor het vinden van krommen…” – het eerste werk over de calculus der variaties (het bevatte onder andere de eerste systematische uiteenzetting van de theorie van elastische krommen en resultaten over de weerstand van materialen).

Euler bracht de theorie van de reeksen aanzienlijk vooruit en breidde deze uit tot het complexe domein, waarbij hij de beroemde Euler-formule gaf, die de goniometrische voorstelling van een complex getal geeft. De wiskundige wereld was zeer onder de indruk van de reeksen die Euler voor het eerst optelde, met inbegrip van de inverse kwadratische reeks die niemand vóór hem had kunnen maken:

Euler gebruikte reeksen om transcendentale functies te bestuderen, d.w.z. die functies die niet worden uitgedrukt door een algebraïsche vergelijking (bijvoorbeeld de integraal logaritme). Hij ontdekte (1729-1730) de “Euler-integralen” – speciale functies die nu hun intrede deden in de wetenschap als de gamma- en bèta-Euler-functies. In 1764, bij het oplossen van het probleem van de trillingen van een elastisch membraan (dat zijn oorsprong vindt in de bepaling van de geluidshoogte van pauken), was Euler de eerste die de Bessel-functies introduceerde voor een natuurlijke index (het onderzoek van F. W. Bessel, wiens naam deze functies nu dragen, dateert van 1824).

Vanuit later oogpunt kunnen Eulers handelingen met oneindige reeksen niet altijd als correct worden beschouwd (de rechtvaardiging van de analyse werd pas een halve eeuw later uitgevoerd), maar zijn fenomenale wiskundige intuïtie gaf hem bijna altijd het juiste resultaat. In veel belangrijke opzichten was zijn inzicht zijn tijd echter ver vooruit – zo dienden zijn voorgestelde veralgemeende begrip van de som van divergente reeksen en bewerkingen daarop als basis voor de moderne theorie van deze reeksen, ontwikkeld aan het eind van de 19e en het begin van de 20e eeuw.

In de elementaire meetkunde ontdekte Euler verschillende feiten die Euclides niet had opgemerkt:

Het tweede deel van Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748) was ”s werelds eerste leerboek over analytische meetkunde en de grondslagen van differentiaalmeetkunde. Euler gaf een classificatie van algebraïsche krommen van de derde en vierde orde en van oppervlakken van de tweede orde. De term “affiene transformaties” werd voor het eerst geïntroduceerd in dit boek, samen met de theorie van dergelijke transformaties. In 1732 leidde Euler de algemene vergelijking af van geodetische lijnen op een oppervlak.

In 1760 werd het fundamentele Onderzoek naar de kromming van oppervlakken gepubliceerd. Euler ontdekte dat er op elk punt van een glad oppervlak twee normaalsecties zijn met minimale en maximale kromtestralen en dat hun vlakken onderling loodrecht zijn. Hij leidde een formule af voor het verband tussen de kromming van de oppervlaktedoorsnede en de hoofdkrommingen.

In 1771 publiceerde Euler zijn werk “On bodies whose surface can be unfolded on a plane”. Dit werk introduceert het begrip ontvouwbaar oppervlak, d.w.z. een oppervlak dat zonder plooien of discontinuïteiten op een vlak kan worden gelegd. Euler geeft hier echter een vrij algemene theorie van de metriek waarvan de hele interne meetkunde van het oppervlak afhangt. Later maakt hij de studie van de metriek tot het belangrijkste instrument van de oppervlaktetheorie.

In verband met de taken van de cartografie onderzocht Euler conforme mappings grondig, waarbij hij voor het eerst de instrumenten van de complexe analyse toepaste.

Euler besteedde veel aandacht aan de representatie van natuurlijke getallen als sommen van een speciale soort en formuleerde een aantal stellingen voor het berekenen van het aantal partities. Bij het oplossen van combinatorische problemen verdiepte hij zich in de eigenschappen van combinaties en permutaties en introduceerde hij Eulergetallen.

Euler onderzocht algoritmen voor de constructie van magische vierkanten door middel van schaakpaardverplaatsing. Twee van zijn werken (1776, 1779) legden de basis voor de algemene theorie van Latijnse en Grieks-Latijnse vierkanten, waarvan de grote praktische waarde duidelijk werd nadat Ronald Fisher methoden had ontwikkeld voor het plannen van experimenten, alsmede in de theorie van foutcorrigerende codes.

Eulers artikel “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” uit 1736 betekende het begin van de grafentheorie als wiskundige discipline. Als uitgangspunt voor de studie diende het probleem van de bruggen in Königsberg: kan men over elke brug één keer lopen en terugkeren naar het beginpunt? Euler formaliseerde dit door het te herleiden tot het probleem van het bestaan in een grafiek (waarvan de hoekpunten overeenkomen met delen van de stad die worden gescheiden door takken van de rivier Pregolya, en de randen met bruggen) van een cyclus of een pad dat elke rand precies één keer passeert (in moderne terminologie respectievelijk een Euleriaanse cyclus en een Euleriaans pad). Bij het oplossen van dit laatste probleem toonde Euler aan dat, wil een Euleriaanse cyclus in een grafiek bestaan, de graad ervan (het aantal randen dat het hoekpunt verlaat) voor elk hoekpunt gelijk moet zijn, en het Euleriaanse pad voor alle hoekpunten behalve twee gelijk moet zijn (in het probleem over de bruggen van Königsberg is dit niet zo: de graden zijn 3, 3, 3 en 5).

Euler leverde een belangrijke bijdrage aan de theorie en methoden van benaderende berekeningen. Hij was de eerste die analytische methoden toepaste op de cartografie. Hij stelde een handige methode voor om relaties en bewerkingen op verzamelingen grafisch weer te geven, de zogenaamde Euler-cirkels (of Euler-Vennes).

Lees ook: biografieen – Leonardo da Vinci

Mechanica en fysica

Veel van Eulers werken zijn gewijd aan verschillende takken van de mechanica en de natuurkunde. C. Truesdell schreef over Eulers sleutelrol in de vorming van de mechanica tot een exacte wetenschap: “De mechanica, zoals die tegenwoordig aan ingenieurs en wiskundigen wordt onderwezen, is grotendeels zijn schepping”.

In 1736 werd Eulers tweedelige verhandeling “Mechanica, of de wetenschap van de beweging, in een analytische verklaring” gepubliceerd, die een nieuwe fase in de ontwikkeling van deze oude wetenschap inluidde en gewijd was aan de dynamica van het materiële punt. In tegenstelling tot de grondleggers van deze tak van de dynamica, Galileo en Newton, die geometrische methoden gebruikten, stelde de 29-jarige Euler een regelmatige en uniforme analytische methode voor om verschillende problemen van de dynamica op te lossen: het opstellen van differentiaalvergelijkingen van de beweging van een materieel voorwerp en de daaropvolgende integratie ervan onder gegeven beginvoorwaarden.

Het eerste deel van de verhandeling behandelt de beweging van een vrij materieel punt, het tweede – van een gebonden punt, en de beweging in een leegte en in een weerstand biedend medium wordt onderzocht. De problemen van de ballistiek en de theorie van de slinger worden apart behandeld. Euler schrijft hier voor het eerst de differentiaalvergelijking van de rechtlijnige beweging van een punt op, en introduceert voor het algemene geval van kromlijnige beweging de natuurlijke bewegingsvergelijkingen – vergelijkingen in projecties op de assen van de bijbehorende driehoek. In veel concrete problemen voltooit hij de integratie van bewegingsvergelijkingen tot het einde; in de gevallen van puntbeweging zonder weerstand gebruikt hij systematisch de eerste integraal van de bewegingsvergelijkingen – de integraal van energie. In het tweede deel wordt, in verband met het probleem van de beweging van een punt op een willekeurig gekromd oppervlak, de differentiaalmeetkunde van oppervlakken van Euler gepresenteerd.

Euler kwam later terug op de dynamica van het materiële punt. In 1746, toen hij de beweging van een materieel punt op een bewegend oppervlak onderzocht, kwam hij (tegelijk met D. Bernoulli en P. Darcy) tot de stelling over de verandering van impulsmoment. In 1765 schreef Euler, gebruikmakend van het in 1742 door C. McLaren geopperde idee om snelheden en krachten langs drie vaste coördinaatassen te ontbinden, voor het eerst de differentiaalvergelijkingen van de beweging van een stoffelijk punt in projecties op de Cartesische vaste assen op.

Dit laatste resultaat publiceerde Euler in zijn tweede fundamentele verhandeling over analytische dynamica – het boek “Theorie van de beweging van vaste stoffen” (1765). De belangrijkste inhoud ervan is echter gewijd aan een ander onderdeel van de mechanica – de dynamica van vaste stoffen, waarvan Euler de grondlegger was. De verhandeling bevat met name de afleiding van een stelsel van zes differentiaalvergelijkingen van de beweging van een vrij vast lichaam. De stelling over de reductie van het systeem van krachten uitgeoefend op een vast lichaam tot twee krachten, vermeld in § 620 van het traktaat, is belangrijk voor de statica. Door de voorwaarden van gelijkheid van deze krachten op nul te projecteren op de coördinaatassen, verkrijgt Euler voor het eerst de evenwichtsvergelijkingen van een vast lichaam onder de werking van een willekeurig ruimtelijk krachtenstelsel.

Een aantal van Eulers fundamentele resultaten met betrekking tot de kinematica van vaste stoffen (de kinematica was in de 18e eeuw nog niet geïdentificeerd als een aparte tak van de mechanica) staan ook in de verhandeling van 1765. Hiertoe behoren Eulers formules voor de verdeling van snelheden van punten van een absoluut vast lichaam (het vectorequivalent van deze formules is de Euler kinematische formule) en de kinematische Euler vergelijkingen, die de afgeleiden geven van Euler hoeken (in de mechanica gebruikt om de oriëntatie van een vast lichaam te specificeren) door de projecties van hoeksnelheid op coördinaatassen.

Naast dit traktaat zijn twee eerdere werken van Euler van belang voor de dynamica van vaste stoffen: “Studies over de mechanische kennis van lichamen” en “De draaibeweging van vaste stoffen rond een variabele as”, die in 1758 aan de Berlijnse Academie van Wetenschappen werden voorgelegd, maar later (in hetzelfde 1765 als het traktaat) in haar “Aantekeningen” werden gepubliceerd. Hierin werd de theorie van de traagheidsmomenten ontwikkeld (vaststelling van het bestaan van ten minste drie vrije rotatieassen in elk star lichaam met een vast punt; de dynamische Euler-vergelijkingen die de dynamica van een star lichaam met een vast punt beschrijven werden verkregen; een analytische oplossing van deze vergelijkingen werd gegeven in het geval van nul externe kracht hoofdmoment (het Euler geval) – een van de drie algemene gevallen van integrabiliteit in het probleem van de dynamica van een star lichaam met een vast punt.

In het artikel “General formulae for arbitrary displacement of a rigid body” (1775) formuleert en bewijst Euler de fundamentele rotatietheorie van Euler, volgens welke een willekeurige verplaatsing van een absoluut stijf lichaam met een vast punt een rotatie is met een bepaalde hoek om een as die door het vaste punt gaat.

Euler krijgt de analytische formulering van het principe van de minste actie (voorgesteld in 1744 – in een zeer vage vorm – door P. L. Mauperthuis), het juiste begrip van de toepassingsvoorwaarden van het principe en het eerste bewijs ervan (uitgevoerd in hetzelfde jaar 1744 voor het geval van één materieel punt dat beweegt onder de werking van een centrale kracht). De actie hier (de zogenaamde verkorte actie en niet de Hamiltoniaanse actie) met betrekking tot het systeem van materiële punten wordt opgevat als de integraal

waarbij A {A} и B {twee configuraties van het systeem.} – twee configuraties van het systeem, m i , v i {m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – massa, algebraïsche snelheid en boogelement van de baan, respectievelijk i i -e punt, n {n} – is het aantal punten.

Hierdoor deed het Mauperthuis-Euler principe, het eerste van een reeks integrale variationale principes van de mechanica, zijn intrede in de wetenschap; later werd het veralgemeend door J. L. Lagrange, en wordt het nu meestal behandeld als een van de vormen (Mauperthuis-Euler vorm, beschouwd samen met de Lagrange vorm en de Jacobi vorm) van het Mauperthuis-Lagrange principe. Ondanks zijn bepalende bijdrage pleitte Euler in de discussie die ontstond rond het principe van de minste actie sterk voor de prioriteit van Mauperthuis en wees hij op het fundamentele belang van dit principe in de mechanica. Dit idee trok de aandacht van natuurkundigen die in de negentiende en twintigste eeuw de fundamentele rol van variationale principes in de natuur ontdekten en de variationale benadering in vele delen van hun wetenschap toepasten.

Een aantal werken van Euler is gewijd aan de mechanica van machines. In zijn nota “Over de nuttigste toepassing van eenvoudige en complexe machines” (1747) stelde Euler voor machines niet in rusttoestand, maar in beweging te bestuderen. Deze nieuwe, “dynamische” benadering rechtvaardigde en ontwikkelde Euler in zijn memorie “Over machines in het algemeen” (daarin wees hij als eerste in de geschiedenis van de wetenschap op de drie samenstellende delen van machines, die in de 19e eeuw werden gedefinieerd als motoren, tandwielen en werkende delen. In zijn memoires “Principles of the Theory of Machines” (1763) toonde Euler aan dat bij de berekening van de dynamische eigenschappen van machines in geval van hun versnelde beweging niet alleen rekening moet worden gehouden met de weerstandskrachten en de traagheid van de lading, maar ook met de traagheid van alle onderdelen van de machine, en gaf hij (met betrekking tot hydraulische motoren) een voorbeeld van een dergelijke berekening.

Euler hield zich ook bezig met toegepaste machinetheorie, zoals de theorie van hydraulische machines en windmolens, de studie van wrijving in machineonderdelen, en de profilering van tandwielen (hier rechtvaardigde en ontwikkelde hij de analytische theorie van involute tandwielen). In 1765 legde hij de grondslag voor de wrijvingstheorie van soepele kabels en verkreeg hij met name de Euler-formule voor de bepaling van de kabelspanning, die nog steeds wordt gebruikt bij de oplossing van een aantal praktische problemen (bijvoorbeeld bij de berekening van mechanismen met soepele schakels).

Euler wordt ook geassocieerd met de consequente invoering van het idee van het continuüm in de mechanica, waarbij een materieel lichaam, geabstraheerd van zijn moleculaire of atomaire structuur, wordt voorgesteld als een ononderbroken continu medium. Het continuüm-model werd door Euler geïntroduceerd in zijn memoires “Discovery of a New Principle of Mechanics” (in 1750 gerapporteerd aan de Berlijnse Academie van Wetenschappen en twee jaar later gepubliceerd in haar “Memoires”).

De auteur van de memoires baseerde zijn analyse op Eulers principe van materiële deeltjes, een uitspraak die nog steeds in veel handboeken over mechanica en natuurkunde wordt aangehaald (vaak zonder Euler te noemen): een vast lichaam kan met elke mate van nauwkeurigheid worden gemodelleerd door het mentaal op te splitsen in deeltjes die klein genoeg zijn en elk daarvan te behandelen als een materieel punt. Met dit principe kan men verschillende dynamische relaties voor een continu lichaam afleiden door hun analogieën voor afzonderlijke materiële deeltjes (in Eulers termen “corpuscles”) op te schrijven en ze bij elkaar op te tellen (in dit geval door de sommatie over alle punten te vervangen door integratie over het volume van het door het lichaam ingenomen gebied). Dankzij deze aanpak hoefde Euler geen gebruik te maken van dergelijke middelen van de moderne integraalrekening (zoals de Stiltjes-integraal), die in de 18e eeuw nog niet bekend waren.

Op basis van dit principe verkreeg Euler – door toepassing van de stelling over de verandering van impulsmoment op een elementair materieel volume – de eerste bewegingswet van Euler (later verscheen ook de tweede bewegingswet van Euler – het resultaat van de toepassing van de stelling over de verandering van impulsmoment). De bewegingswetten van Euler vertegenwoordigden in feite de fundamentele bewegingswetten van de continuümmechanica; het enige wat ontbrak om over te gaan op de thans gebruikte algemene bewegingsvergelijkingen voor dergelijke media was de uitdrukking van de oppervlaktekrachten via de spanningstrekker (dit werd gedaan door O. Cauchy in de jaren 1820). Euler paste de verkregen resultaten toe op de studie van specifieke modellen van vaste lichamen – zowel in de dynamica van vaste lichamen (het was in de genoemde memorie dat de vergelijkingen van de dynamica van een lichaam met een vast punt, verwezen naar willekeurige Cartesische assen, voor het eerst werden gegeven), als in de vloeistofdynamica, en in de theorie van de elasticiteit.

In de theorie van de elasticiteit is een aantal studies van Euler gewijd aan de theorie van het buigen van balken en staven; in zijn vroege werken (jaren 1740) loste hij het probleem op van het buigen in de lengterichting van een elastische staaf, door de differentiaalvergelijking van de gebogen as van de staaf samen te stellen en op te lossen. In 1757 leidde Euler in zijn “Over de belasting van kolommen” als eerste in de geschiedenis een formule af voor de kritische belasting bij samendrukking van een elastische staaf, waaruit de theorie van de stabiliteit van elastische systemen ontstond. De praktische toepassing van deze formule kwam veel later, bijna een eeuw later, toen veel landen (vooral Engeland) begonnen met de aanleg van spoorwegen, waardoor de sterkte van spoorbruggen moest worden berekend; het was in die tijd dat ingenieurs – na enige verfijning – het model van Euler overnamen.

Euler is – samen met D. Bernoulli en J. L. Lagrange – een van de grondleggers van de analytische vloeistofdynamica; aan hem wordt de theorie van de beweging van een ideale vloeistof (d.w.z. een vloeistof zonder viscositeit) toegeschreven en de oplossing van enkele specifieke problemen van de vloeistofmechanica. In “Principles of motion of fluids” (negen jaar later gepubliceerd) verkreeg hij, door zijn vergelijkingen van de dynamica van een elementair materieel volume van een continu medium toe te passen op het model van een onsamendrukbare perfecte vloeistof, voor het eerst voor een dergelijke vloeistof de bewegingsvergelijkingen, alsmede (voor het algemene driedimensionale geval) de continuïteitsvergelijking. Bij het bestuderen van de wervelloze beweging van een onsamendrukbare vloeistof introduceerde Euler de functie S {S} (later door Helmholtz de snelheidspotentiaal genoemd) en toonde hij aan dat deze voldoet aan een partiële differentiaalvergelijking – zo deed de vergelijking, die nu bekend staat als de Laplace-vergelijking, haar intrede in de wetenschap.

De resultaten van dit werk werden door Euler aanzienlijk veralgemeend in zijn verhandeling “General Principles of Motion of Fluids” (1755). Hierin presenteerde hij (praktisch in moderne termen) voor het geval van een samendrukbare ideale vloeistof de continuïteitsvergelijking en de bewegingsvergelijkingen (drie scalaire differentiaalvergelijkingen, waarmee de Euler-vergelijking – de basisvergelijking van de hydrodynamica van een ideale vloeistof – in vectorvorm overeenkomt). Euler wees erop dat om dit stelsel van vier vergelijkingen te sluiten, een constitutieve relatie nodig is waarmee men de druk kan uitdrukken p {p} (die Euler “elasticiteit” noemde) als functie van de dichtheid q {artikel q} en “een andere eigenschap r {die de elasticiteit beïnvloedt.} {die de elasticiteit beïnvloedt” (in feite verwijzend naar de temperatuur). Bij de bespreking van de mogelijkheid van het bestaan van niet-potentiële bewegingen van een onsamendrukbare vloeistof, gaf Euler het eerste concrete voorbeeld van de vortex-stroming, en voor potentiële bewegingen van zo”n vloeistof verkreeg hij de eerste integraal – een speciaal geval van de nu bekende Lagrange-Cauchy-integraal.

Uit datzelfde jaar dateert ook Eulers memoires “General Principles of the Equilibrium State of Liquids”, dat een systematische presentatie bevat van de hydrostatica van een ideale vloeistof (inclusief de afleiding van de algemene evenwichtsvergelijking van vloeistoffen en gassen) en een barometrische formule voor een isothermische atmosfeer.

In bovenstaande artikelen nam Euler, bij het opstellen van vergelijkingen van beweging en evenwicht van een vloeistof, als onafhankelijke ruimtelijke variabelen de cartesische coördinaten van de huidige positie van een materieel deeltje – Euler-variabelen (D”Alambert gebruikte dergelijke variabelen voor het eerst in de hydrodynamica). Later, in “On the principles of motion of fluids. Section Two” (1770) introduceerde Euler de tweede vorm van de vergelijkingen van de hydrodynamica, waarin de cartesische coördinaten van de positie van een materieel deeltje op het initiële tijdstip (nu bekend als Lagrange-variabelen) als onafhankelijke ruimtelijke variabelen werden genomen.

Euler bundelde de belangrijkste resultaten op dit gebied in een driedelige Dioptrica (Latijn: Dioptrica, 1769-1771). Onder de belangrijkste resultaten: regels voor het berekenen van de optimale eigenschappen van refractoren, reflectoren en microscopen, het berekenen van de grootste beeldhelderheid, het grootste gezichtsveld, de kortste instrumentlengte, de grootste vergroting, de eigenschappen van het oculair.

Newton stelde dat het fundamenteel onmogelijk is om een achromatische lens te maken. Euler stelde dat een combinatie van materialen met verschillende optische eigenschappen het probleem kon oplossen. Na een lange polemiek wist Euler in 1758 de Engelse opticien John Dollond te overtuigen, die vervolgens de eerste achromatische lens maakte door twee lenzen van glazen van verschillende samenstelling met elkaar te verbinden, en in 1784 bouwde de academicus F. Epinus in Sint-Petersburg de eerste achromatische microscoop ter wereld.

Lees ook: biografieen – Jan van Bedford

Astronomie

Euler werkte uitgebreid op het gebied van de hemelmechanica. Een van de dringende taken in die tijd was het bepalen van de parameters van de baan van een hemellichaam (bijvoorbeeld een komeet) uit een klein aantal waarnemingen. Euler verbeterde de numerieke methoden voor dit doel aanzienlijk en paste ze praktisch toe bij de bepaling van de elliptische baan van de komeet van 1769; Gauss, die de uiteindelijke oplossing van het probleem gaf, baseerde zich op deze werken.

Euler legde de basis van de perturbatietheorie, later aangevuld door Laplace en Poincaré. Hij introduceerde het fundamentele concept van de oscillerende elementen van een baan en leidde de differentiaalvergelijkingen af die hun verandering met de tijd bepalen. Hij construeerde de theorie van precessie en nutatie van de aardas en voorspelde de “vrije beweging van de polen” van de aarde, die een eeuw later door Chandler werd ontdekt.

In 1748-1751 publiceerde Euler een volledige theorie van lichtaberratie en parallax. In 1756 publiceerde hij de differentiaalvergelijking van de astronomische breking en onderzocht hij de afhankelijkheid van de breking van de druk en de temperatuur op het waarneempunt. Deze resultaten hadden een enorme invloed op de ontwikkeling van de astronomie in de volgende jaren.

Euler stelde een zeer nauwkeurige theorie op van de beweging van de Maan en ontwikkelde daarvoor een speciale variatiemethode van de baanelementen. Later, in de 19e eeuw, werd deze methode uitgebreid en toegepast op modellen van de beweging van de grote planeten, en ze wordt nog steeds gebruikt. De tabellen van Mayer, berekend op basis van de theorie van Euler (1767), bleken ook geschikt voor het oplossen van het dringende probleem van de bepaling van de lengtegraad op zee, en de Engelse Admiraliteit betaalde Mayer en Euler daarvoor een speciale prijs. Eulers belangrijkste werken op dit gebied:

Euler onderzocht het gravitatieveld van niet alleen sferische maar ook ellipsoïdale lichamen, wat een belangrijke stap voorwaarts betekende. Hij was ook de eerste wetenschapper die wees op de seculaire verschuiving van de helling van het eclipticavlak (1756), en op zijn voorstel is sindsdien de helling van begin 1700 als referentie genomen. Hij ontwikkelde de basis voor de theorie van de beweging van de satellieten van Jupiter en andere sterk samengedrukte planeten.

In 1748, lang voor het werk van P.N. Lebedev, veronderstelde Euler dat komeetstaarten, poollicht en zodiakaal licht het effect van zonnestraling op de atmosfeer of substantie van hemellichamen gemeen hebben.

Lees ook: geschiedenis – Pools-Litouws-Teutoonse Oorlog

Muziektheorie

Zijn leven lang was Euler geïnteresseerd in muzikale harmonie en streefde hij ernaar deze een duidelijke wiskundige basis te geven. Het doel van zijn vroege werk, Tentamen novae theoriae musicae (1739), was wiskundig te beschrijven hoe aangename (welluidende) muziek verschilt van onaangename (onaangename) muziek. Aan het eind van hoofdstuk VII van “Ervaring” rangschikte Euler de intervallen in “graden van aangenaamheid” (gradus suavitatis), waarbij het octaaf werd toegewezen aan II (sommige klassen (waaronder de eerste, derde en zesde) in Eulers tabel van aangenaamheid werden weggelaten. Er was een grap over dit werk dat het te veel muziek bevatte voor wiskundigen en te veel wiskunde voor musici.

In zijn late jaren, in 1773, gaf Euler een paper voor de Academie van Wetenschappen van Sint-Petersburg waarin hij zijn raspende voorstelling van het geluidssysteem in zijn definitieve vorm formuleerde; deze voorstelling werd door de auteur metaforisch aangeduid als de “spiegel van de muziek” (lat. speculum musicae). Het jaar daarop werd Eulers paper gepubliceerd als een kleine verhandeling De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (“Over de ware grondslagen van de harmonie voorgesteld door speculum musicae”). Onder de naam Tonnetz werd het Euleriaanse raster veel gebruikt in de 19e-eeuwse Duitse muziektheorie.

Lees ook: biografieen – Constantius I Chlorus

Andere kennisgebieden

In 1749 publiceerde Euler een tweedelige monografie, “The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation”, waarin hij analytische methoden toepaste op praktische problemen van scheepsbouw en navigatie op zee, zoals de vorm van schepen, vraagstukken van stabiliteit en evenwicht, methoden om de beweging van schepen te controleren. Krylovs algemene theorie over de stabiliteit van schepen is gebaseerd op “Marine Science”.

Eulers wetenschappelijke belangstelling gold ook de fysiologie; met name paste hij de methoden van de hydrodynamica toe op de studie van de beginselen van de bloedstroom in vaten. In 1742 zond hij de Academie van Dijon een artikel over de stroming van vloeistoffen in elastische buizen (beschouwd als modellen van vaten), en in december 1775 presenteerde hij aan de Academie van Wetenschappen van Sint-Petersburg een nota getiteld Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Principes van het bepalen van de beweging van bloed door slagaders). Dit werk analyseerde de fysische en fysiologische principes van bloedbeweging veroorzaakt door periodieke samentrekkingen van het hart. Door bloed te behandelen als een onsamendrukbare vloeistof vond Euler een oplossing voor de door hem opgestelde bewegingsvergelijkingen voor het geval van stijve buizen, en in het geval van elastische buizen beperkte hij zich tot het afleiden van algemene vergelijkingen van eindige beweging.

Een van de belangrijkste taken die Euler bij zijn aankomst in Rusland kreeg, was het opleiden van wetenschappelijk personeel. Onder Euler”s directe leerlingen:

Een van Eulers prioriteiten was het samenstellen van leerboeken. Hij schreef zelf “Het Handboek voor Rekenkunde voor gebruik in het gymnasium van de Keizerlijke Academie voor Wetenschappen” (1738-1740), “Universele Rekenkunde” (1768-1769). Volgens Fuss paste Euler een originele methode toe: hij dicteerde het leerboek aan een knecht en keek hoe deze de tekst begreep. Daardoor leerde de jongen zelfstandig problemen op te lossen en berekeningen uit te voeren.

Euler is naar hem genoemd:

De volledige werken van Euler, sinds 1909 uitgegeven door de Zwitserse Natuurvereniging, zijn nog onvolledig; er waren 75 delen gepland, waarvan er 73 zijn gepubliceerd:

Acht extra delen zullen worden gewijd aan Eulers wetenschappelijke correspondentie (meer dan 3000 brieven).

In 1907 vierden Russische en vele andere wetenschappers de 200e verjaardag van de grote wiskundige, en in 1957 wijdden de Sovjet- en Berlijnse Academies van Wetenschappen plechtige zittingen aan zijn 250e verjaardag. Aan de vooravond van Eulers 300e verjaardag (2007) werd in Sint-Petersburg een internationaal verjaardagsforum gehouden en werd een film over Eulers leven gemaakt. In hetzelfde jaar werd een monument voor Euler onthuld bij de ingang van het Internationale Euler Instituut in Sint-Petersburg. De autoriteiten van St. Petersburg verwierpen echter alle voorstellen om een plein of een straat naar de wetenschapper te vernoemen; er zijn nog steeds geen Euler-straten in Rusland.

Lees ook: biografieen – Roger Scruton

Persoonlijke kwaliteiten en cijfers

Volgens zijn tijdgenoten was Euler goedhartig, zachtaardig van karakter en had hij bijna met niemand ruzie. Zelfs Johann Bernoulli, die zijn broer Jacob en zijn zoon Daniel een hard karakter bezorgde, was hem altijd hartelijk gezind. Euler had maar één ding nodig voor de volheid van het leven – de mogelijkheid tot regelmatige wiskundige creativiteit. Hij kon zelfs intensief werken “met een kind op schoot en een kat op zijn rug”. Tegelijkertijd was Euler vrolijk, gezellig, hield hij van muziek en filosofische gesprekken.

Academicus P.P. Pekarsky reconstrueerde aan de hand van getuigenissen van tijdgenoten van Euler het beeld van de geleerde: “Euler had de grote kunst om niet te pronken met zijn geleerdheid, zijn superioriteit te verbergen en op ieders niveau te staan. Altijd een gelijkmatig humeur, zachte en natuurlijke opgewektheid, enige spot met een mengeling van goedmoedigheid, naïeve en humoristische conversatie – dit alles maakte het gesprek met hem even aangenaam als aantrekkelijk.

Volgens tijdgenoten was Euler zeer religieus. Volgens Condorcet verzamelde Euler elke avond zijn kinderen, bedienden en leerlingen die bij hem inwoonden om te bidden. Hij las hen een hoofdstuk uit de Bijbel voor en liet dat soms vergezeld gaan van een preek. In 1747 publiceerde Euler een verhandeling ter verdediging van het christendom tegen het atheïsme, ”Verdediging van de goddelijke openbaring tegen de aanvallen van vrije denkers”. Eulers fascinatie voor theologische redeneringen veroorzaakte een negatieve houding ten opzichte van hem (als filosoof) van zijn beroemde tijdgenoten – D”Alembert en Lagrange. Frederik II, die zichzelf als een “vrijdenker” beschouwde en correspondeerde met Voltaire, zei dat Euler “stonk naar een priester”.

Euler was een zorgzame familieman, die graag collega”s en jonge mensen hielp, en ruimhartig zijn ideeën met hen deelde. Het is bekend dat Euler zijn publicaties over de calculus van variaties uitstelde zodat de toen nog jonge en onbekende Lagrange, die onafhankelijk tot dezelfde ontdekkingen was gekomen, ze eerst kon publiceren. Lagrange heeft Euler altijd bewonderd als wiskundige en als mens; hij zei: “Als je echt van wiskunde houdt, lees dan Euler”.

“Lees, lees Euler, hij is onze gemeenschappelijke leermeester”, zoals Laplace graag herhaalde (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c”est notre maître à tous.). De werken van Euler werden met groot nut bestudeerd door de “koning der wiskundigen” Karl Friedrich Gauss en vrijwel alle beroemde wetenschappers van de 18e en 19e eeuw.

D”Alambert noemt Euler in een van zijn brieven aan Lagrange “die duivel” (frès se diable d”homme), alsof hij daarmee volgens de commentatoren wil aangeven dat wat Euler had gedaan de menselijke macht te boven ging.

М. V. Ostrogradsky verklaarde in een brief aan N. N. Fuss: “Euler schiep de moderne analyse, verrijkte haar alleen meer dan al zijn volgelingen samen, en maakte haar tot het machtigste instrument van de menselijke rede”. Academicus S. I. Vavilov schreef: “Samen met Peter I en Lomonosov werd Euler het goede genie van onze Academie, die haar glorie, haar vesting, haar productiviteit bepaalde”.

Lees ook: biografieen – Karel IX van Frankrijk

Woonadressen

Tussen 1743 en 1766 woonde Euler in het huis aan de Berenstrasse 21…

Vanaf 1766 woonde Euler in een flatgebouw aan de Nikolajevskaja-oever 15 (met een onderbreking door een grote brand). In de Sovjettijd werd de straat omgedoopt tot Luitenant Schmidtkade. Er is een plaquette op het huis aangebracht en er is nu een middelbare school in gevestigd.

Lees ook: gevechten – Beleg van Odawara (1590)

Postzegels, munten, bankbiljetten

In 2007 heeft de Russische Centrale Bank een herdenkingsmunt uitgegeven ter gelegenheid van de 300e geboortedag van L. Euler. Het portret van Euler werd ook geplaatst op het Zwitserse biljet van 10 frank (Serie 6) en op postzegels van Zwitserland, Rusland en Duitsland.

Lees ook: geschiedenis – Italiaanse Oorlog (1551-1559)

Wiskunde Olympiades

Een groot aantal van de door Euler bewezen feiten in de meetkunde, algebra en combinatoriek worden universeel gebruikt in de wiskunde van de Olympiade.

Op 15 april 2007 werd ter herdenking van de 300e geboortedag van Leonhard Euler met steun van een aantal organisaties een internetwiskundeolympiade voor scholieren gehouden. Sinds 2008 wordt de Leonhard Euler Wiskundeolympiade voor achtstejaars gehouden, deels ter vervanging van het wegvallen van de regionale en eindfase van de All-Russian Mathematical Olympiad voor achtstejaars.

Historici hebben iets meer dan duizend directe afstammelingen van Leonhard Euler ontdekt. De oudste zoon Johann Albrecht werd een belangrijk wis- en natuurkundige. Tweede zoon Karl was een beroemd arts. Jongere zoon Christoffel werd later luitenant-generaal in het Russische leger en commandant van de Sestroretsk wapenfabriek. Alle kinderen van Euler aanvaardden het Russische staatsburgerschap (Euler zelf bleef zijn hele leven Zwitsers onderdaan).

Eind jaren tachtig telden historici ongeveer 400 levende afstammelingen, waarvan ongeveer de helft in de USSR woonde.

Hier is een korte stamboom van enkele van Eulers bekende afstammelingen (de achternaam is gegeven als het niet “Euler” is).

Andere afstammelingen van Euler zijn N. I. Gekker, V. F. Gekker en I. R. Gekker, V. E. Scalon en E. N. Behrendts. Tot de nazaten behoren vele wetenschappers, geologen, ingenieurs, diplomaten en artsen; ook zijn er negen generaals en één admiraal. Een afstammeling van Euler is de voorzitter van de Internationale Criminologieclub van Sint-Petersburg, D.A. Shestakov.

Bronnen

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
7. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
8. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
9. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
10. ^ The quote appeared in Gugliemo Libri”s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: “… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : ”Lisez Euler, lisez Euler, c”est notre maître à tous.” ” [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: ”Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][137]
11. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.