Carl Friedrich Gauss

Delice Bette | 11 kwietnia, 2023

Streszczenie

Johann Carl Friedrich Gauss (* 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, Księstwo Brunszwiku-Wolfenbüttel; † 23 lutego 1855 w Getyndze, Królestwo Hanoweru) był niemieckim matematykiem, statystykiem, astronomem, geodetą, inżynierem elektrykiem i fizykiem. Ze względu na swoje wybitne osiągnięcia naukowe już za życia był uznawany za Princeps mathematicorum (Księcia Matematyków). Oprócz czystej matematyki jego działalność obejmowała także dziedziny stosowane, np. zlecono mu pomiary gruntów Królestwa Hanoweru, wraz z Wilhelmem Eduardem Weberem jako jeden z pierwszych wynalazł telegrafię elektromagnetyczną i obaj jako pierwsi zastosowali ją na większe odległości, opracował magnetometry i zainicjował światową sieć stacji do badania geomagnetyzmu.

W wieku 18 lat Gauss opracował podstawy nowoczesnego rachunku równań i statystyki matematycznej (metoda najmniejszych kwadratów), dzięki którym w 1801 r. umożliwił ponowne odkrycie pierwszej planetoidy Ceres. Od Gaussa pochodzi geometria nieeuklidesowa, liczne funkcje matematyczne, twierdzenia o całkach, rozkład normalny, pierwsze rozwiązania całek eliptycznych i krzywizna Gaussa. W 1807 r. został mianowany profesorem uniwersyteckim i dyrektorem obserwatorium w Getyndze, a następnie powierzono mu prowadzenie pomiarów w Królestwie Hanoweru. Oprócz teorii liczb i teorii potencjału badał między innymi pole magnetyczne Ziemi.

Już w 1856 roku król Hanoweru wybił medale z wizerunkiem Gaussa i napisem Mathematicorum Principi (Książę Matematyków). Ponieważ Gauss opublikował tylko część swoich odkryć, głębia i zakres jego pracy stały się w pełni dostępne dla potomnych dopiero po odkryciu jego dziennika w 1898 r. i poznaniu majątku.

Wiele zjawisk i rozwiązań matematyczno-fizycznych nosi imię Gaussa, podobnie jak kilka wież geodezyjnych i obserwacyjnych, liczne szkoły, a także ośrodki badawcze i wyróżnienia naukowe, takie jak Medal Carla Friedricha Gaussa Akademii w Braunschweigu czy uroczysty Wykład Gaussa, który odbywa się co semestr na jednym z niemieckich uniwersytetów.

Rodzice, dzieciństwo i młodzież

Carl Friedrich urodził się w Braunschweigu 30 kwietnia 1777 roku jako syn państwa Gaussów. Jego dom rodzinny w Wendengraben przy Wilhelmstraße 30 – na którego parterze powstało później Muzeum Gaussa – nie przetrwał II wojny światowej. Wychowywał się tam jako jedyne dziecko swoich rodziców; jego ojciec miał starszego przyrodniego brata z wcześniejszego małżeństwa. Jego ojciec Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) miał różne zawody, m.in. ogrodnika, rzeźnika, murarza, pomocnika kupca i skarbnika małego towarzystwa ubezpieczeniowego. Starsza o rok Dorothea Bentze (1743-1839) pracowała przed ślubem jako służąca i została jego drugą żoną. Była córką wcześnie zmarłego kamieniarza z Velpke i opisywana jest jako mądra, o pogodnym umyśle i zdecydowanym charakterze. Związek Gaussa z matką pozostał bliski przez całe życie; 96-letnia ostatnio mieszkała z nim w Getyndze.

Anegdoty mówią, że nawet trzyletni Carl Friedrich poprawiał ojca na liście płac. Później Gauss żartobliwie mówił o sobie, że nauczył się liczyć, zanim nauczył się mówić. Jeszcze w zaawansowanym wieku miał dar wykonywania w głowie nawet najbardziej skomplikowanych obliczeń. Według opowieści Wolfganga Sartoriusa von Waltershausena talent matematyczny małego Carla Friedricha został zauważony, gdy po dwóch latach szkoły podstawowej wstąpił do klasy arytmetycznej w Catherinen Volksschule:

Tam nauczyciel Büttner zajmował uczniów dłuższymi zadaniami arytmetycznymi, podczas gdy sam chodził w górę i w dół z karbatą w ręku. Jedno zadanie polegało na sumowaniu szeregu arytmetycznego; kto skończył, kładł na biurku swoją tablicę z obliczeniami do rozwiązania. Z napisem „Ligget se.” w języku Braunschweig Low German, dziewięcioletni Gauss zadziwiająco szybko położył swoją na stole, na którym widniała tylko jedna liczba. Po tym, jak dostrzeżono wyjątkowy talent Gaussa, najpierw pozyskano z Hamburga kolejną książkę arytmetyczną, a następnie asystent Martin Bartels pozyskał dla nich użyteczne książki matematyczne do wspólnej nauki – i zapewnił, że Gauss mógł uczęszczać do Martino-Katharineum Braunschweig w 1788 roku.

Elegancka procedura, za pomocą której „mały Gauss” tak szybko obliczył w swojej głowie rozwiązanie, nazywana jest dziś wzorem na sumę Gaussa. Aby obliczyć sumę szeregu arytmetycznego, na przykład liczb naturalnych od 1 do 100, tworzy się pary równych sum częściowych, na przykład 50 par o sumie 101 (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51), dzięki czemu jako wynik można szybko otrzymać 5050.

Kiedy „cudowny chłopiec” Gauss miał czternaście lat, został przedstawiony księciu Karlowi Wilhelmowi Ferdynandowi z Brunszwiku. Ten następnie wsparł go finansowo. Dzięki temu Gauss mógł w latach 1792 – 1795 studiować w Collegium Carolinum (Brunszwik), które można uznać za coś pomiędzy szkołą średnią a uniwersytetem i które jest poprzednikiem dzisiejszej Politechniki w Brunszwiku. Tam właśnie profesor Eberhard August Wilhelm von Zimmermann dostrzegł jego talent matematyczny, wspierał go i stał się ojcowskim przyjacielem.

Lata akademickie

W październiku 1795 roku Gauss przeniósł się na Uniwersytet Georga Augusta w Getyndze. Tam słuchał wykładów z filologii klasycznej Christiana Gottloba Heyne, która w tym czasie interesowała go równie mocno jak matematyka. Tę ostatnią reprezentował Abraham Gotthelf Kästner, który był również poetą. U Georga Christopha Lichtenberga usłyszał w semestrze letnim 1796 r. fizykę doświadczalną, a w następnym semestrze zimowym bardzo prawdopodobnie astronomię. W Getyndze zaprzyjaźnił się z Wolfgangiem Bolyai.

W wieku 18 lat Gaussowi jako pierwszemu udało się udowodnić możliwość skonstruowania sześciokąta foremnego za pomocą kompasu i linijki, w oparciu o rozumowanie czysto algebraiczne – było to sensacyjne odkrycie, gdyż od czasów starożytnych postęp w tej dziedzinie był niewielki. Następnie skoncentrował się na studiach matematycznych, które zakończył w 1799 r. pracą doktorską na uniwersytecie w Helmstedt. Matematykę reprezentował Johann Friedrich Pfaff, który został promotorem jego doktoratu. Książę Brunszwiku zadbał o to, aby Gauss nie otrzymał doktoratu na „obcym” uniwersytecie.

Małżeństwa, rodzina i dzieci

W listopadzie 1804 r. zaręczył się z Johanną Elisabeth Rosiną Osthoff († 11 października 1809 r.), córką białego garbarza z Braunschweigu, do której zalecał się od pewnego czasu, i poślubił ją 9 października 1805 r. Ich pierwsze dziecko, Joseph Gauss († 4 lipca 1873 r.), urodziło się w Braunschweigu 21 sierpnia 1806 r. Syn otrzymał pierwsze imię po Giuseppe Piazzim, odkrywcy małej planety, której ponowne odkrycie w 1801 r. umożliwiło obliczenie orbity przez Gaussa. Syn otrzymał imię po Giuseppe Piazzi, odkrywcy Ceres, mniejszej planety, której ponowne odkrycie w 1801 roku umożliwiło Gaussowi obliczenie orbity.

Wkrótce po przeprowadzce rodziny do Getyngi 29 lutego 1808 r. urodziła się ich córka Wilhelmine, zwana Minną, a w następnym roku 10 września 1809 r. syn Louis. Miesiąc później, 11 października 1809 r., Johanna Gauss zmarła przy porodzie, Louis kilka miesięcy później 1 marca 1810 r. Śmierć Johanny spowodowała, że Gauss popadł na pewien czas w depresję; wzruszający lament napisany przez Gaussa pochodzi z października 1809 r. i został znaleziony w jego majątku. Znalazca, Carl August Gauss (1849-1927), był jego jedynym urodzonym w Niemczech wnukiem, synem Josepha i właścicielem majątku Lohne koło Hanoweru. Wilhelmina wyszła za mąż za orientalistę Heinricha Ewalda, który później opuścił Królestwo Hanoweru jako jeden z Siedmiu Getyngów i został profesorem na Uniwersytecie w Tybindze.

4 sierpnia 1810 r. wdowiec, który miał na utrzymaniu dwoje małych dzieci, ożenił się z Friedericą Wilhelmine Waldeck († 12 września 1831), córką getyńskiego prawnika Johanna Petera Waldecka, który był najlepszym przyjacielem jego zmarłej żony. Miał z nią troje dzieci. Jako student prawa Eugen Gauss nie zgodził się z ojcem i w 1830 roku wyemigrował do Ameryki, gdzie żył jako kupiec i założył „First National Bank” w St. Charles. Wilhelm Gauss wyjechał za Eugenem do Stanów Zjednoczonych w 1837 roku i również stał się zamożny. Jego najmłodsza córka Therese Staufenau prowadziła gospodarstwo domowe ojca po śmierci matki aż do jego śmierci. Minna Gauss zmarła na gruźlicę po 13 latach cierpienia.

Późniejsze lata

Po doktoracie Gauss mieszkał w Brunszwiku na niewielkiej pensji wypłacanej mu przez księcia i pracował nad swoimi Disquisitiones Arithmeticae.

Gauss odmówił przyjęcia do petersburskiej Akademii Nauk z wdzięczności dla księcia Brunszwiku, prawdopodobnie również w nadziei, że ten ostatni wybuduje mu obserwatorium w Brunszwiku. Po nagłej śmierci księcia po bitwie pod Jeną i Auerstedt, Gauss został w listopadzie 1807 roku profesorem na Uniwersytecie Georga Augusta w Getyndze i dyrektorem Obserwatorium w Getyndze. Tam musiał prowadzić wykłady, do których nabrał niechęci. Astronomię praktyczną reprezentował tam Karl Ludwig Harding, a katedrę matematyczną Bernhard Friedrich Thibaut. Kilku jego uczniów stało się wpływowymi matematykami, między innymi Richard Dedekind i Bernhard Riemann, a także historyk matematyki Moritz Cantor.

W dojrzałym wieku coraz częściej zajmował się literaturą i był zapalonym czytelnikiem gazet. Jego ulubionymi pisarzami byli Jean Paul i Walter Scott. Biegle władał językiem angielskim i francuskim, a oprócz znajomości klasycznych języków starożytności z czasów młodości, czytał kilka nowożytnych języków europejskich (hiszpański, włoski, duński, szwedzki), ostatnio uczył się rosyjskiego i eksperymentował z sanskrytem, który jednak nie przypadł mu do gustu.

Od 1804 był członkiem korespondentem Académie des sciences, a od 1820 associé étranger tejże Akademii. Również w 1804 r. został fellow Royal Society, a w 1820 r. Royal Society of Edinburgh. W 1808 r. został wybrany na członka korespondenta, a w 1820 r. na członka zagranicznego Bawarskiej Akademii Nauk i Humanistyki, a w 1822 r. na członka Amerykańskiej Akademii Sztuk i Nauk.

W 1838 roku otrzymał Medal Copleya Towarzystwa Królewskiego. W 1842 r. został przyjęty do klasy pokojowej Orderu Pour le Mérite. W tym samym roku odrzucił zaproszenie na Uniwersytet Wiedeński. W 1845 r. został Privy Councillor, a w 1846 r. po raz trzeci dziekanem Wydziału Filozoficznego. W 1849 r. obchodził złoty jubileusz doktorski i został honorowym obywatelem Brunszwiku i Getyngi. Jego ostatnia wymiana naukowa dotyczyła ulepszenia wahadła Foucaulta w liście do Alexandra von Humboldta w 1853 roku.

Zbierał wszelkiego rodzaju dane liczbowe i statystyczne, prowadził np. wykazy długości życia znanych ludzi (liczone w dniach). I tak 7 grudnia 1853 roku pisał m.in. do swojego przyjaciela i kanclerza swojego zakonu Alexandra von Humboldta: „Jest pojutrze dzień, w którym Ty, mój wielce szanowny przyjacielu, przejdziesz w rejon, w który nie przeniknął jeszcze żaden z luminarzy nauk ścisłych, dzień, w którym osiągniesz ten sam wiek, w którym Newton zamknął swoją ziemską karierę mierzoną 30 766 dniami. A moce Newtona były na tym etapie całkowicie wyczerpane: ty nadal stoisz w pełnej radości ze swojej godnej podziwu mocy, ku najwyższej radości całego świata naukowego. Obyś pozostał w tej radości jeszcze przez wiele lat”. Gauss interesował się muzyką, chodził na koncerty i dużo śpiewał. Nie wiadomo, czy grał na jakimś instrumencie. Zajmował się spekulacją akcjami i w chwili śmierci pozostawił znaczny majątek w wysokości 170 000 talarów (przy podstawowej pensji profesora 1000 talarów rocznie), głównie w papierach wartościowych, w tym wiele z kolei. Jest to jeden z nielicznych fragmentów jego korespondencji, w którym krytycznie odnosi się do polityki i współpracujących z nią banków; nabyte przez niego akcje kolejowe w Hesji-Darmstadt drastycznie straciły na wartości, gdy okazało się, że koleje mogą być w każdej chwili znacjonalizowane.

Pod koniec życia był jeszcze aktywny naukowo, a w 1850 roku odbył

Gauss był bardzo konserwatywny i monarchistyczny, niemiecka rewolucja z 1848 r.

W ostatnich latach życia Gauss cierpiał na niewydolność serca (zdiagnozowaną jako puchlina) i bezsenność. W czerwcu 1854 r. jechał z córką Therese Staufenau na budowę linii kolejowej z Hanoweru do Getyngi, gdzie przejeżdżająca linia kolejowa spłoszyła konie i przewróciła powóz, woźnica został ciężko ranny, Gaussowi i jego córce nic się nie stało. Gauss wziął jeszcze udział w inauguracji linii kolejowej 31 lipca 1854 r., po czym choroba coraz bardziej ograniczała go do domu. Zmarł w swoim fotelu w Getyndze 23 lutego 1855 roku o godzinie 1:05 nad ranem.

Grobowiec na cmentarzu Albani został wzniesiony dopiero w 1859 roku i zaprojektowany przez hanowerskiego architekta Heinricha Köhlera. Wkrótce został uznany za zabytek Getyngi.

Uzasadnienie i wkład w geometrię nieeuklidesową

W wieku dwunastu lat Gauss już nie ufał dowodom geometrii elementarnej, a w wieku szesnastu podejrzewał, że oprócz geometrii euklidesowej musi istnieć geometria nieeuklidesowa.

Prace te pogłębił w latach dwudziestych XIX wieku: Niezależnie od Jánosa Bolyaia i Nikołaja Iwanowicza Łobaczewskiego zauważył, że Euklidesowy aksjomat równoległości nie jest konieczny w sensie denotacji. Nie opublikował jednak swoich przemyśleń na temat geometrii nieeuklidesowej, według relacji jego powierników przypuszczalnie z obawy przed niezrozumieniem przez współczesnych. Kiedy jednak jego przyjaciel student Wolfgang Bolyai, z którym korespondował, opowiedział mu o pracy jego syna Jánosa Bolyaia, pochwalił ją, ale nie mógł się powstrzymać od wspomnienia, że sam wpadł na nią znacznie wcześniej („chwalić byłoby chwalić siebie”). Nie opublikował nic na ten temat, ponieważ „wzbraniał się przed okrzykami Boeotczyków”. Gauss uznał pracę Lobachevskiego za tak interesującą, że w zaawansowanym wieku nauczył się języka rosyjskiego, aby ją studiować.

Rozkład liczb pierwszych i metoda najmniejszych kwadratów

W wieku 18 lat odkrył pewne własności rozkładu liczb pierwszych oraz znalazł metodę najmniejszych kwadratów, polegającą na minimalizacji sumy kwadratów odchyleń. Na razie powstrzymał się od publikacji. Po tym, jak Adrien-Marie Legendre opublikował w 1805 roku w traktacie swoją „Méthode des moindres carrés”, a Gauss ogłosił swoje wyniki dopiero w 1809 roku, powstał spór o pierwszeństwo.

Zgodnie z tą metodą, najbardziej prawdopodobny wynik dla nowego pomiaru można wyznaczyć z odpowiednio dużej liczby poprzednich pomiarów. Na tej podstawie badał później teorie obliczania pola pod krzywymi (całkowanie numeryczne), co doprowadziło go do krzywej dzwonowej Gaussa. Związana z nią funkcja znana jest jako gęstość rozkładu normalnego i jest wykorzystywana w wielu zadaniach z zakresu rachunku prawdopodobieństwa, gdzie jest (asymptotyczną, tj. obowiązującą dla dostatecznie dużych zbiorów danych) funkcją rozkładu sumy danych rozproszonych losowo wokół wartości średniej. Sam Gauss wykorzystał ją między innymi w skutecznym zarządzaniu funduszem wdów i sierot na Uniwersytecie w Getyndze. Przez kilka lat dokonywał dokładnej analizy, dochodząc do wniosku, że można by nieco zwiększyć emerytury. W ten sposób Gauss położył również podwaliny pod matematykę aktuarialną.

Wprowadzenie funkcji eliptycznych

W 1796 roku, w wieku 19 lat, rozważając długość łuku na lemniskacie jako funkcję odległości punktu krzywej od początku, wprowadził to, co historycznie jest pierwszymi funkcjami eliptycznymi, znanymi dziś jako lemniskatyczne funkcje sinusoidalne. Nigdy jednak nie opublikował swoich notatek na ich temat. Prace te związane są z jego badaniem średniej arytmetyczno-geometrycznej. Właściwym rozwinięciem teorii funkcji eliptycznych, czyli znanych od pewnego czasu odwrotnych funkcji całek eliptycznych, zajęli się Niels Henrik Abel (1827) i Carl Gustav Jacobi.

Podstawowe twierdzenie algebry, wkład w wykorzystanie liczb zespolonych

Gauss wcześnie dostrzegł przydatność liczb zespolonych, na przykład w swojej pracy doktorskiej z 1799 roku, która zawiera dowód Fundamentalnego Twierdzenia Algebry. Twierdzenie to mówi, że każde równanie algebraiczne stopnia większego niż zero ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste lub złożone. Gauss skrytykował starszy dowód Jeana-Baptiste’a le Rond d’Alemberta jako niewystarczający, ale nawet jego własny dowód nie spełniał późniejszych wymagań dotyczących rygoru topologicznego. Gauss kilkakrotnie wracał do dowodu podstawowego twierdzenia, a w latach 1815 i 1816 podał nowe dowody.

Najpóźniej w 1811 roku Gauss znał geometryczne przedstawienie liczb zespolonych na płaszczyźnie liczbowej (Gaussowska płaszczyzna liczbowa), które Jean-Robert Argand znalazł już w 1806 roku, a Caspar Wessel w 1797 roku. W liście do Bessela, w którym to przekazuje, okazało się również, że znał inne ważne pojęcia teorii funkcji, takie jak całka z krzywej w kompleksie i twierdzenie o całkach Cauchy’ego oraz pierwsze podejścia do okresów całek. Jednak nic na ten temat nie opublikował aż do 1831 roku, kiedy to w eseju o teorii liczb Theoria biquadratorum wprowadził nazwę liczba złożona. W międzyczasie Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) wyprzedził go w opublikowaniu podstaw analizy zespolonej. W 1849 roku, z okazji swojego złotego jubileuszu, opublikował poprawioną wersję swojej rozprawy o Podstawowym Twierdzeniu Algebry, w której, w przeciwieństwie do pierwszej wersji, wyraźnie użył liczb zespolonych.

Wkład w teorię liczb

30 marca 1796 roku, miesiąc przed swoimi dziewiętnastymi urodzinami, udowodnił konstruowalność siedemnastościanu foremnego, dostarczając tym samym pierwszego od 2000 lat godnego uwagi dodatku do konstrukcji euklidesowych. Był to jednak tylko wynik uboczny w pracy nad jego znacznie obszerniejszym dziełem z zakresu teorii liczb, Disquisitiones Arithmeticae.

Pierwszą zapowiedź tej pracy znaleźliśmy w Intelligenzblatt of the Allgemeine Literatur-Zeitung w Jenie 1 czerwca 1796 roku. Opublikowane w 1801 roku Disquisitiones stały się fundamentalne dla dalszego rozwoju teorii liczb, do której jednym z jego głównych wkładów był dowód prawa wzajemności kwadratów, opisującego rozwiązywalność równań kwadratowych „mod p” i dla którego w ciągu życia znalazł prawie tuzin różnych dowodów. Oprócz konstrukcji elementarnej teorii liczb na arytmetyce modularnej, znajduje się tam dyskusja o ułamkach ciągłych i podziale kołowym, ze słynną wskazówką o podobnych twierdzeniach dotyczących funkcji Lemniscata i innych funkcji eliptycznych, które później zainspirowały Nielsa Henrika Abla i innych. Dużą część pracy zajmuje teoria form kwadratowych, której teorię płci rozwija.

W książce tej znajduje się jednak wiele innych, często tylko pobieżnie zasygnalizowanych, głębokich wyników, które na wiele sposobów zapłodniły pracę późniejszych pokoleń teoretyków liczb. Teoretyk liczb Peter Gustav Lejeune Dirichlet donosił, że przez całe życie miał w pracy zawsze pod ręką Disquisitiones. To samo dotyczy dwóch prac o prawach wzajemności bikwadratowej z 1825 i 1831 roku, w których wprowadza liczby Gaussa (kratownica liczb całkowitych na płaszczyźnie liczb zespolonych). Prace te są prawdopodobnie częścią planowanego sequela do Disquisitiones, który nigdy się nie ukazał. Dowody tych praw podał następnie Gotthold Eisenstein w 1844 roku.

Według jego własnej relacji, lektura tych prac przez André Weila (oraz niektórych fragmentów dziennika, traktujących w ukrytej formie o rozwiązywaniu równań nad ciałami skończonymi) zainspirowała jego pracę nad domysłami Weila. Gauss znał twierdzenie o liczbach pierwszych, ale go nie opublikował.

Gauss wypromował w tej dziedzinie jedną z pierwszych kobiet matematyków czasów nowożytnych, Sophie Germain. Gauss korespondował z nią na temat teorii liczb od 1804 roku, choć najpierw używała męskiego pseudonimu. Dopiero w 1806 roku ujawniła swoją kobiecą tożsamość, gdy po zajęciu Brunszwiku błagała o jego bezpieczeństwo u francuskiego dowódcy. Gauss chwalił jej pracę i głębokie zrozumienie teorii liczb i poprosił ją, aby w 1810 roku w Paryżu załatwiła mu dokładny zegar z wahadłem za nagrodę pieniężną, którą otrzymał wraz z nagrodą Lalande’a.

Wkład w astronomię

Po ukończeniu Disquisitiones Gauss zajął się astronomią. Okazją do tego było odkrycie 1 stycznia 1801 r. przez Giuseppe Piazziego planety karłowatej Ceres, której pozycję na niebie astronom stracił ponownie wkrótce po jej odkryciu. 24-letni Gauss zdołał tak obliczyć orbitę za pomocą nowej pośredniej metody wyznaczania orbit i swoich obliczeń bilansujących opartych na metodzie najmniejszych kwadratów, że Franz Xaver von Zach zdołał ją ponownie odnaleźć 7 grudnia 1801 r. i – potwierdził – 31 grudnia 1801 r. Heinrich Wilhelm Olbers potwierdził to niezależnie od Zacha obserwacjami 1 i 2 stycznia 1802 roku.

Problem ponownego znalezienia Ceres jako takiej leżał w tym, że poprzez obserwacje nie jest znane ani położenie, fragment orbity, ani odległość, a jedynie kierunki obserwacji. Prowadzi to do poszukiwania elipsy, a nie koła, jak zakładali konkurenci Gaussa. Jedno z ognisk elipsy jest znane (samo Słońce), a łuki orbity Ceres pomiędzy kierunkami obserwacji są przemierzane zgodnie z drugim prawem Keplera, czyli czasy zachowują się jak obszary omiatane przez promień prowadzący. Ponadto, dla rozwiązania obliczeniowego wiadomo, że same obserwacje zaczynają się od stożkowego odcinka w przestrzeni, czyli samej orbity Ziemi.

W zasadzie problem prowadzi do równania ósmego stopnia, którego trywialnym rozwiązaniem jest sama orbita Ziemi. Dzięki rozbudowanym ograniczeniom i metodzie najmniejszych kwadratów opracowanej przez Gaussa, 24-latkowi udało się podać obliczone przez niego położenie orbity Ceres na okres od 25 listopada do 31 grudnia 1801 roku. Dzięki temu Zach mógł odnaleźć Ceres w ostatnim dniu predykcji. Położenie było nie mniejsze niż 7° (tj. 13,5 szerokości księżycowej w pełni) na wschód od miejsca, w którym inni astronomowie podejrzewali Ceres, co nie tylko Zach, ale i Olbers należycie potwierdzili.

Praca ta, którą Gauss podjął jeszcze przed objęciem stanowiska dyrektora obserwatorium w Getyndze, uczyniła go za jednym zamachem jeszcze bardziej znanym w Europie niż jego teoria liczb i przyniosła mu między innymi zaproszenie do Akademii w Petersburgu, której członkiem korespondentem został w 1802 roku.

Metoda iteracyjna odkryta w tym kontekście przez Gaussa jest stosowana do dziś, ponieważ z jednej strony umożliwia włączenie wszystkich znanych sił do modelu fizyczno-matematycznego bez znacznego dodatkowego wysiłku, a z drugiej strony jest łatwa w obsłudze pod względem techniki komputerowej.

Gauss pracował następnie nad orbitą planetoidy Pallas, za której obliczenie Akademia Paryska oferowała nagrodę pieniężną, ale nie był w stanie znaleźć rozwiązania. Jednak jego doświadczenie w wyznaczaniu orbit ciał niebieskich doprowadziło do powstania w 1809 r. pracy Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Wkład do teorii potencjału

W teorii potencjału i fizyce fundamentalne znaczenie ma twierdzenie o całce Gaussa (1835, opublikowane dopiero w 1867). W polu wektorowym utożsamia ono całkę z dywergencji (pochodnej wektora przyłożonej do pola wektorowego) nad objętością z całką pola wektorowego nad powierzchnią tej objętości.

Geodezja i wynalazek heliotropu

Pierwsze doświadczenia w dziedzinie geodezji Gauss zdobył w latach 1797-1801, kiedy to pełnił funkcję doradcy francuskiego kwatermistrza generała Lecoqa podczas jego narodowych badań Księstwa Westfalii. W 1816 r. jego były student Heinrich Christian Schumacher otrzymał od króla Danii zlecenie na wykonanie pomiarów szerokości i długości geograficznej terytorium Danii. Następnie w latach 1820-1826 Gauss był odpowiedzialny za pomiary krajowe Królestwa Hanoweru („gaußsche Landesaufnahme”), w czym pomagał mu czasami jego syn Joseph, który był oficerem artylerii w armii hanowerskiej. Pomiar ten był kontynuacją duńskiego na terytorium Hanoweru na południu, przy czym Gauss wykorzystał bazę Braakera zmierzoną przez Schumachera. Dzięki wynalezionej przez siebie metodzie najmniejszych kwadratów i systematycznemu rozwiązywaniu rozbudowanych układów równań liniowych (metoda eliminacji Gaussa) uzyskał znaczny wzrost dokładności. Interesowała go również praktyczna realizacja: wynalazł heliotrop oświetlany przez lustra słoneczne jako instrument pomiarowy.

Krzywizna gaussowska i geodezja

W tych latach, zainspirowany geodezją i teorią map, zajmował się teorią geometrii różniczkowej powierzchni, wprowadził m.in. krzywiznę gaussowską i udowodnił swoją Theorema egregium. Stwierdza on, że krzywiznę Gaussa, którą określają główne krzywizny powierzchni w przestrzeni, można wyznaczyć wyłącznie za pomocą miar geometrii wewnętrznej, czyli pomiarów wewnątrz powierzchni. Zatem krzywizna gaussowska jest niezależna od osadzenia powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej, tzn. nie zmienia się w przypadku odwzorowań powierzchni na siebie w sposób wierny co do długości.

Wolfgang Sartorius von Waltershausen podaje, że Gauss, przy okazji hanowerskiej ankiety narodowej, empirycznie poszukiwał odchylenia sumy kątowej szczególnie dużych trójkątów od euklidesowej wartości 180° – takich jak zmierzony przez Gaussa trójkąt płaski, który tworzą Brocken w Górach Harz, Inselsberg w Lesie Turyńskim i Hoher Hagen koło Dransfeld. O tym pomiarze Gaussa i jego wyniku pisał Max Jammer:

Nadmiar kątowy w tym trójkącie wynosi tylko 0,25 minuty kątowej ze względu na wielkość Ziemi. Wspomniane wyżej przypuszczenie co do motywacji jest przedmiotem spekulacji.

Magnetyzm, elektryczność i telegrafia

Wraz z Wilhelmem Eduardem Weberem pracował od 1831 r. w dziedzinie magnetyzmu. W 1833 roku Weber i Gauss wynaleźli elektromagnetyczny system telegraficzny na zasadzie przekaźnika, który połączył jego obserwatorium z Instytutem Fizyki na odległość 1100 metrów. Użyli galwanometrów i magnetometrów przystosowanych do telegrafii i opracowali kilka wersji. Przewodnik składał się z dwóch drutów miedzianych (później żelaznych), z których każdy łączył dwie cewki: jedną w gabinecie Webera i jedną w obserwatorium Gaussa. Obie cewki były luźno owinięte wokół pręta magnetycznego i mogły być przesuwane wzdłuż niego. Odkryta dwa lata wcześniej zasada indukcji elektromagnetycznej powodowała, że w momencie poruszenia cewki nadajnika nawiniętej wokół magnesu sztabkowego następował skok prądu, który był przewodzony przewodem do drugiej cewki i tam przekładał się z powrotem na ruch. Odchylenie magnesu sztabkowego z cewką umocowaną w drewnianej ramie przy odbiorniku (który był przekaźnikiem lub magnetometrem albo zasadą podobną do galwanometru lustrzanego) było w ten sposób powiększane i uwidaczniane przez system luster i teleskopów. Litery były reprezentowane przez kod binarny, który odpowiadał kierunkowi prądu (lustro w odbiorniku było obrócone w lewo lub w prawo). Pierwszą wiadomością była prawdopodobnie wiedza przed moją, byt przed wydawaniem się – tę wiadomość znaleziono w zapisach Gaussa w kodzie binarnym. Według innych źródeł zapowiadały one przybycie sługi, który w inny sposób dostarczał wiadomości (Michelmann forthcoming). Już dwa lata przed Gaussem i Weberem Joseph Henry, a rok przed Gaussem i Weberem Paul Ludwig Schilling z Cannstatt opracowali aparat do telegrafii elektromagnetycznej, ale żaden z nich nie używał go na większe odległości i nie wzbudził on większego zainteresowania. W 1845 roku aparatura Gaussa i Webera została zniszczona przez uderzenie pioruna, który podpalił także kapelusz pewnej pani. Oszczędzono jednak stajnię, przez którą przechodziła linia, co w przeciwnym razie mogłoby spowodować ewentualny pożar miasta. W kilka lat po wynalezieniu przez Gaussa i Webera linia została zastosowana przez innych, w szczególności przez Samuela Morse’a w USA. Gauss widział jednak możliwości zastosowania, na przykład, w wielkim Imperium Rosyjskim i w kolejnictwie, i napisali w tej sprawie memorandum, które jednak nie doszło do skutku w ówczesnych Niemczech z powodu kosztów linii. Mimo że również oni publikowali na ten temat, wynalazek telegrafu autorstwa Gaussa i Webera został w następnych latach prawie zapomniany, a inni przypisywali sobie ten wynalazek.

Wraz z Weberem opracował system jednostek CGS, który na międzynarodowym kongresie w Paryżu w 1881 r. został wyznaczony jako podstawa elektrotechnicznych jednostek miar. Zorganizował światową sieć stacji obserwacyjnych (Magnetischer Verein) do pomiaru ziemskiego pola magnetycznego.

Gauss znalazł zasady Kirchhoffa dotyczące obwodów elektrycznych w 1833 roku przed Gustawem Robertem Kirchhoffem (1845) w jego eksperymentach dotyczących teorii elektryczności.

Inne

Od niego pochodziła gaussowska formuła na obliczanie daty Wielkanocy, opracował też formułę na Paschę.

Gauss pracował w wielu dziedzinach, ale publikował swoje wyniki dopiero wtedy, gdy teoria była, jego zdaniem, kompletna. Prowadziło to do tego, że czasami zwracał uwagę kolegom, że już dawno udowodnił ten czy inny wynik, ale jeszcze go nie przedstawił z powodu niekompletności teorii, na której się opierał, lub dlatego, że brakowało mu lekkomyślności niezbędnej do szybkiej pracy.

Co istotne, Gauss posiadał petschaft przedstawiający drzewo obłożone kilkoma owocami z mottem Pauca sed Matura („Mało, ale dojrzałe”). Według anegdoty odmówił on znajomym, którzy wiedzieli o rozległych pracach Gaussa, zastąpienia tego motta na przykład Multa nec immatura („Dużo, ale nie niedojrzałe”), gdyż stwierdził, że woli zostawić odkrycie komuś innemu, niż nie opublikować go w pełni opracowanego pod swoim nazwiskiem. Dzięki temu oszczędzał czas w dziedzinach, które Gauss uważał za raczej marginalne, dzięki czemu mógł ten czas poświęcić na swoje oryginalne prace.

Majątek naukowy Gaussa przechowywany jest w Zbiorach Specjalnych Biblioteki Państwowej i Uniwersyteckiej w Getyndze.

Po jego śmierci usunięto mózg. Był on kilkakrotnie badany, ostatnio w 1998 roku, przy użyciu różnych metod, ale bez żadnych szczególnych ustaleń, które tłumaczyłyby jego zdolności matematyczne. Obecnie jest on przechowywany oddzielnie, zakonserwowany w formalinie, w Zakładzie Etyki i Historii Medycyny na Wydziale Medycznym Uniwersytetu w Getyndze.

Jesienią 2013 roku na Uniwersytecie w Getyndze odkryto pomieszanie: liczące wówczas ponad 150 lat preparaty mózgowe matematyka Gaussa i lekarza z Getyngi Conrada Heinricha Fuchsa zostały pomieszane – prawdopodobnie wkrótce po ich pobraniu. Oba preparaty były przechowywane w Zbiorach Anatomicznych Szpitala Uniwersyteckiego w Getyndze w słojach zawierających formaldehyd. Oryginalny mózg Gaussa znajdował się w słoiku oznaczonym jako „C. H. Fuchs”, a mózg Fuchsa jako „C. F. Gauss”. Dzięki temu poprzednie wyniki badań nad mózgiem Gaussa stały się nieaktualne. Z powodu obrazów MRI wykonanych z domniemanego mózgu Gaussa, które pokazały rzadkie przecięcie bruzdy centralnej, naukowiec Renate Schweizer ponownie przyjrzała się okazom i odkryła, że tej rzucającej się w oczy cechy brakowało na rysunkach wykonanych krótko po śmierci Gaussa.

Metody lub pomysły opracowane przez Gaussa, które noszą jego imię to:

Metody i pomysły oparte częściowo na jego pracach to:

Nazwane na jego cześć są:

Wydanie kompletne

Tomy 10 i 11 zawierają szczegółowe komentarze Paula Bachmanna (teoria liczb), Ludwiga Schlesingera (teoria funkcji), Aleksandra Ostrowskiego (algebra), Paula Stäckla (geometria), Oskara Bolzy (rachunek wariacji), Philippa Maennchena (Gauss jako kalkulator), Haralda Gepperta (mechanika, teoria potencjału), Andreasa Galle (geodezja), Clemensa Schaefera (fizyka) i Martina Brendela (astronomia). Redaktorem był najpierw Ernst Schering, a następnie Felix Klein.

Kamienie Gaussa

Do licznych kamieni geodezyjnych wzniesionych na polecenie Gaussa należą:

Portrety

Stosunkowo dużo jest portretów Gaussa, m.in:

Źródła

1. Carl Friedrich Gauß
2. Carl Friedrich Gauss
3. Sartorius von Waltershausen: Gauß zum Gedächtniss.
4. Vgl. Walter K. Bühler: Gauss. Springer Berlin/Heidelberg 1987, ISBN 978-3-540-16883-6, S. 6 (Vorschau).
5. Horst Michling: Carl Friedrich Gauß. 2. Aufl. Göttingen, 1982, S. 67–68.
6. Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss. 1856, S. 12; Textarchiv – Internet Archive.
7. ^ The Collegium Carolinum was the preceeding institution of the Technische Hochschule Braunschweig, now Braunschweig Institute of Technology, but at Gauss’ time not equal to a university.
8. ^ Gauss was so pleased with this result that he requested that a regular heptadecagon be inscribed on his tombstone. The stonemason declined, stating that the difficult construction would essentially look like a circle.[19]
9. ^ Dunnington 2004, p. 305 writes „It is not known just what Gauss believed on most doctrinal and confessional questions. He did not believe literally in all Christian dogmas. Officially he was a member of St. Albans Church (Evangelical Lutheran) in Gottingen. All baptisms, burials, and weddings in his family occurred there. It is also not known whether he attended church regularly or contributed financially. A faculty colleague called Gauss a deist, but there is good reason to believe that this label did not fit well. Gauss possessed strong religious tolerance which he carried over to every belief originating in the depths of the human heart. This tolerance is not to be confused with religious indifference. He took a special interest in the religious development of the human race, especially in his own century. With reference to the manifold denominations, which frequently did not agree with his views, he always emphasized that one is not justified in disturbing the faith of others in which they find consolation for earthly sufferings and a safe refuge in days of misfortune”
10. ^ Dunnington 2004, p. 305 quotes: „league, I believe you are more believing in the Bible than I. I am not, and, he added, with the expression of great inner emotion, you are much happier than I. I must say that so often in earlier times when I saw people of the lower classes, simple manual laborers who could believe so rightly with their hearts, I always envied them, and now, he continued, with soft voice and that naive childlike manner peculiar to him, while a tear came to his eye, tell me how does one begin this?…”
11. ^ Bessel never had a university education.
12. ^ Eberhard Zeidler, Oxford User’s Guide to Mathematics, Oxford, UK, Oxford University Press, 2004, p. 1188, ISBN 0-19-850763-1.
13. ^ Come ricordano Giorgio Bagni e Bruno D’Amore („A trecento anni dalla nascita di Leonhard Euler”, in Scuola ticinese, vol. 36, n. 281, 2007, pp. 10-11), «Gauss sarà detto princeps mathematicorum sulla base di una medaglia d’oro ricevuta nel 1855 dall’Università di Gottinga con tale appellativo; ma più di un secolo prima Eulero era stato chiamato princeps mathematicorum su proposta del suo maestro, Giovanni Bernoulli, in una lettera del 23 settembre 1745».
14. ^ a b c d e G. Waldo Dunnington, The Sesquicentennial of the Birth of Gauss, in Scientific Monthly, XXIV, maggio 1927, pp. 402–414. URL consultato il 10 settembre 2017 (archiviato dall’url originale il 26 febbraio 2008).
15. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 695–711. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
16. Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 12
17. a b Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 13
18. a b c d Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians, s. 159
19. Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, s. 15