Euklides

Delice Bette | 16 kwietnia, 2023

Streszczenie

Euklides (greckie Εὐκλείδης, Eukleidēs, łacińskie Euclīdēs) był greckim matematykiem i geometrą (ok. 325 p.n.e. – ok. 265 p.n.e.). Znany jest jako „ojciec geometrii”. Działał w Aleksandrii (starożytny Egipt) w czasach Ptolemeusza I Sotera (323 – 283 p.n.e.) Był założycielem miejskiej szkoły matematycznej.

Jego najsłynniejszym dziełem były Elementy, często uważane za najbardziej udany podręcznik w historii matematyki. Własności obiektów geometrycznych i liczb naturalnych są w nich wydedukowane z niewielkiego zestawu aksjomatów. Dzieło to, jeden z najstarszych znanych traktatów, który systematycznie przedstawia, wraz z dowodami, duży zbiór twierdzeń z zakresu geometrii i arytmetyki teoretycznej, doczekało się setek wydań we wszystkich językach, a jego tematyka pozostaje podstawą nauczania matematyki na poziomie średnim w wielu krajach. Od nazwiska Euklidesa pochodzi algorytm Euklidesa, geometria euklidesowa (i nieeuklidesowa) oraz podział euklidesowy. Pisał także o perspektywie, przekrojach stożkowych, geometrii sferycznej i teorii liczb.

Jego życie jest mało znane, ponieważ mieszkał w Aleksandrii (miasto w północnym Egipcie) za panowania Ptolemeusza I. Niektórzy autorzy arabscy twierdzą, że Euklides urodził się w Tyrze, a mieszkał w Damaszku. Niektórzy autorzy arabscy twierdzą, że Euklides urodził się w Tyrze i mieszkał w Damaszku. Nie istnieje żadne bezpośrednie źródło dotyczące życia Euklidesa: żaden list, żadna relacja autobiograficzna (nawet w formie przedmowy w jakimś dziele), żaden oficjalny dokument, ani nawet żadna aluzja ze strony któregoś ze współczesnych. Jak podsumowuje to historyk matematyki Peter Schreiber, „o życiu Euklidesa nie wiadomo ani jednego pewnego faktu. Był on synem Naukratesa i wysunięto trzy hipotezy:

Euklides prawdopodobnie uczył się w Akademii Platońskiej, poznając podstawy swojej wiedzy.

Proklos, ostatni z wielkich filozofów greckich, który żył około 450 roku, napisał ważne komentarze do I księgi Elementów. Komentarze te stanowią cenne źródło informacji o historii greckiej matematyki. Wiemy więc na przykład, że Euklides zebrał wkład Eudoksusa z Cnidus w teorię proporcji i Theaetetusa w teorię wielościanów foremnych.

Dokładnie, najstarsze znane pismo dotyczące życia Euklidesa pojawia się w podsumowaniu historii geometrii napisanym w V wieku n.e. przez neoplatońskiego filozofa Proclusa, komentatora pierwszej księgi Elementów. Sam Proclus nie podaje żadnego źródła dla swoich wskazań. Mówi tylko: „gromadzi swoje Elementy i przywołuje w niezbitych demonstracjach to, czego w sposób luźny uczyli jego poprzednicy”. Człowiek ten żył natomiast za czasów pierwszego Ptolemeusza, skoro Archimedes wspomina o Euklidesie. Euklides jest więc nowszy od uczniów Platona, ale starszy od Archimedesa i Eratostenesa”.

Jeśli przyjąć chronologię podaną przez Proclusa, Euklides żył pomiędzy Platonem a Archimedesem i był współczesny Ptolemeuszowi I, około 300 roku p.n.e.

Żaden dokument nie zaprzecza tym kilku zdaniom, ani ich właściwie nie potwierdza. Bezpośrednia wzmianka Euklidesa o pracach Archimedesa pochodzi z fragmentu uznanego za wątpliwy.

Archimedes powołuje się na niektóre wyniki Elementów oraz na ostrach, znaleziony na wyspie Elephantine i datowany na III p.n.e.: dotyczy on figur badanych w księdze XIII Elementów, takich jak dziesięciokąt i dwudziestościan, ale bez dokładnego odtworzenia twierdzeń euklidesowych; mogły one zatem pochodzić ze źródeł wcześniejszych niż Euklides. Przybliżona data 300 p.n.e. jest jednak uznawana za zgodną z analizą treści dzieła Euklidesa i jest tą przyjętą przez historyków matematyki.

Z drugiej strony, istnieje aluzja autorstwa matematyka Papo z Aleksandrii w IV n.e., która sugeruje, że uczniowie Euklidesa mieliby nauczać w Aleksandrii. Niektórzy autorzy na tej podstawie wiązali Euklidesa z Museionem Aleksandryjskim, ale nie pojawia się on w żadnym oficjalnym dokumencie. Epitetem często kojarzonym z Euklidesem w starożytności jest po prostu Stoitxeiotes, autor Elementów.

O Euklidesie krąży kilka anegdot, ale ponieważ pojawiają się one także w odniesieniu do innych matematyków, nie uważa się ich za prawdziwe: na przykład słynna, wyjaśniona przez Proklosa, według której Euklides miałby odpowiedzieć Ptolemeuszowi – który chciał łatwiejszej drogi niż te z Elementów – że w geometrii nie ma prawdziwych dróg; wariant tej samej anegdoty przypisuje się także Menecmusowi i Aleksandrowi Wielkiemu. Podobnie od późnej starożytności do relacji o życiu Euklidesa dodawano różne szczegóły, bez nowych źródeł, a często w sposób sprzeczny. U jednych autorów Euklides urodził się w Tyrze, u innych w Geli; przypisuje mu się różne genealogie, poszczególnych mistrzów, różne daty urodzenia i śmierci, aby respektować reguły gatunku lub sprzyjać pewnym interpretacjom. W średniowieczu i na początku renesansu matematyk Euklides jest często mylony ze współczesnym filozofowi Platona Euklidesem z Megary.

Wzmianki o pracach przypisywanych Euklidesowi pojawiają się u kilku autorów, w szczególności w Zbiorze matematycznym Pappusa (datowanym zwykle na III lub IV wiek) oraz w Komentarzu do Elementów Euklidesa autorstwa Proclusa. Do czasów współczesnych zachowała się tylko część tych prac.

Do naszych czasów dotarło pięć dzieł: Dane, O podziałach, Katoptryki, Wygląd nieba i Optyka. Ze źródeł arabskich przypisuje się Euklidesowi kilka traktatów o mechanice. O tym, co ciężkie i lekkie, zawiera w dziewięciu definicjach i pięciu propozycjach arystotelesowskie pojęcia ruchu ciał i pojęcie ciężaru właściwego. O równowadze zajmuje się teorią dźwigni również w sposób aksjomatyczny, z jedną definicją, dwoma aksjomatami i czterema propozycjami. Trzeci fragment, o okręgach opisywanych przez końce ruchomej dźwigni, zawiera cztery twierdzenia. Te trzy dzieła uzupełniają się wzajemnie w taki sposób, że sugeruje się, iż są one pozostałościami jednego traktatu o mechanice napisanego przez Euklidesa.

Elementy

Jego Elementy są jednym z najbardziej znanych na świecie wytworów naukowych i były kompilacją wiedzy nauczanej w ówczesnym świecie akademickim. Elementy nie były, jak się czasem uważa, kompendium całej wiedzy geometrycznej, ale raczej tekstem wprowadzającym, obejmującym całą matematykę elementarną, czyli arytmetykę, geometrię syntetyczną i algebrę.

Elementy podzielone są na trzynaście ksiąg lub rozdziałów, z których pierwsze pół tuzina dotyczy elementarnej geometrii płaskiej, trzy następne teorii liczb, księga X niewspółmierności, a trzy ostatnie głównie geometrii brył.

W księgach poświęconych geometrii badanie własności linii i płaszczyzn, kół i sfer, trójkątów i stożków itp. czyli kształtów regularnych, przedstawione jest w sposób formalny, wychodząc od zaledwie pięciu postulatów. Prawdopodobnie żaden z wyników Elementów nie został po raz pierwszy wykazany przez Euklidesa, ale organizacja materiału i jego ekspozycja są niewątpliwie jego zasługą. W rzeczywistości wiele wskazuje na to, że Euklides pisząc Elementy korzystał z wcześniejszych podręczników, gdyż przedstawia dużą liczbę definicji, które nie są używane, jak np. definicja podłużnicy, rombu i romboidu. Twierdzenia Euklidesa są tymi, których powszechnie uczy się we współczesnej szkole. Przytoczyć kilka najbardziej znanych:

Księgi VII, VIII i IX Elementów badają teorię podzielności. Rozważa się tu związek między liczbami doskonałymi i prymami Mersenne’a (znany jako twierdzenie Euklidesa-Eulera), nieskończoność liczb pierwszych (Twierdzenie Euklidesa), lemat Euklidesa o faktoryzacji (który prowadzi do fundamentalnego twierdzenia arytmetyki o niepowtarzalności faktoryzacji prymów) oraz algorytm Euklidesa na znalezienie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb.

Geometria Euklidesa, oprócz tego, że jest potężnym narzędziem rozumowania dedukcyjnego, była niezwykle przydatna w wielu dziedzinach wiedzy, na przykład w fizyce, astronomii, chemii i różnych dziedzinach inżynierii. Z pewnością jest bardzo przydatna w matematyce. Zainspirowany harmonią prezentacji Euklidesa, w II wieku sformułowano ptolemejską teorię wszechświata, zgodnie z którą Ziemia jest centrum wszechświata, a planety, Księżyc i Słońce krążą wokół niej po idealnych liniach, czyli okręgach i kombinacjach okręgów. Idee Euklidesa stanowią jednak znaczną abstrakcję od rzeczywistości. Zakłada on na przykład, że punkt nie ma rozmiarów; że linia to zbiór punktów, który nie ma ani szerokości, ani grubości, tylko długość; że powierzchnia nie ma grubości itd. Ponieważ punkt, według Euklidesa, nie ma rozmiarów, przypisuje mu się wymiar zerowy. Prosta ma tylko długość, więc otrzymuje wymiar równy jeden. Powierzchnia nie ma grubości, nie ma wysokości, więc ma wymiar dwa: szerokość i długość. Wreszcie ciało stałe, takie jak sześcian, ma wymiar trzeci: długość, szerokość i wysokość. Euklides próbował podsumować całą wiedzę matematyczną w swojej książce „Elementy”. Geometria Euklidesa była dziełem, które pozostało niezmienione aż do XIX wieku.

Z aksjomatów wyjściowych jedynie aksjomat równoległości wydawał się mniej oczywisty. Różni matematycy bezskutecznie próbowali pozbyć się tego aksjomatu, próbując wydedukować go z pozostałych aksjomatów. Próbowali przedstawić go jako twierdzenie, bez powodzenia

Wreszcie, niektórzy autorzy stworzyli nowe geometrie oparte na unieważnieniu lub zastąpieniu aksjomatu równoległości, dając początek „geometrii nieeuklidesowych”. Główną cechą tych geometrii jest to, że poprzez zmianę aksjomatu równoległości, kąty trójkąta nie sumują się już do 180 stopni.

Dane (Δεδομένα) to jedyne inne dzieło Euklidesa, które dotyczy geometrii i którego grecka wersja zachowała się (jest np. w rękopisie X odkrytym przez Peyrarda). Jest też szczegółowo opisane w księdze VII zbioru matematycznego Papo, „Skarbiec analizy”, ściśle związanej z pierwszymi czterema księgami Elementów. Dotyczy ona rodzaju informacji podawanych w problemach geometrycznych oraz ich natury. Dane są umieszczone w ramach geometrii płaskiej i są uważane przez historyków za uzupełnienie Elementów, w formie bardziej dostosowanej do analizy problemów. Dzieło zawiera 15 definicji i wyjaśnia, co oznacza obiekt geometryczny, w położeniu, w kształcie, w wielkości, oraz 94 twierdzenia. Wyjaśniają one, że jeśli dane są pewne elementy figury, to można określić inne relacje lub elementy.

O podziałach

Dzieło to (istnieją utwory w języku łacińskim (De divisionibus), ale przede wszystkim istnieje odkryty w XIX wieku rękopis w języku arabskim, który zawiera 36 propozycji, z których cztery są udowodnione.

Zajmuje się podziałem figur geometrycznych na dwie lub więcej równych części lub na części o danych proporcjach. Jest ona podobna do pracy Herona z Aleksandrii z III wieku naszej ery. W pracy tej próbuje on skonstruować linie proste dzielące dane figury na dane proporcje i kształty. Na przykład, mając do dyspozycji trójkąt i punkt wewnątrz trójkąta, prosi się o skonstruowanie prostej przechodzącej przez ten punkt i rozcinającej trójkąt na dwie figury o równym polu, albo mając do dyspozycji okrąg, o skonstruowanie dwóch prostych równoległych tak, aby część okręgu, którą ograniczają, stanowiła jedną trzecią jego pola.

O fałszerstwach (Pseudaria)

O fałszach (Περὶ Ψευδαρίων), tekst o błędach w rozumowaniu, jest dziełem zaginionym, znanym jedynie z opisu podanego przez Proklosa. Według niego celem dzieła było przyzwyczajenie początkujących do wykrywania fałszywych rozumowań, w szczególności tych, które imitują rozumowanie dedukcyjne i przez to mają pozory prawdy. Podał przykłady paralelizmów.

Cztery książki o przekrojach stożkowych

Cztery księgi o przekrojach stożkowych (Κωνικῶν Βιβλία) zaginęły. Było to dzieło o odcinkach stożkowych, które zostało rozszerzone przez Apolloniusza z Pergi w słynnej księdze na ten sam temat. Jest prawdopodobne, że pierwsze cztery księgi dzieła Apolloniusza pochodziły bezpośrednio od Euklidesa. Według Papo „Apolloniusz, ukończywszy cztery księgi Euklidesa o stożkach i dodawszy cztery dalsze, pozostawił osiem tomów o stożkach”. Szyszki Apolloniusza szybko zastąpiły oryginalne dzieło, a do czasów Papo dzieło Euklidesa zaginęło.

Trzy księgi porizmów

Trzy księgi porizmów (Πορισμάτων Βιβλία) mogły być rozwinięciem jego pracy o odcinkach stożkowych, ale znaczenie tytułu nie jest jasne. Jest to praca, która zaginęła. Dzieło to przywołane jest w dwóch fragmentach Proclusa, a przede wszystkim jest przedmiotem długiej prezentacji w księdze VII zbioru Pappusa, „Skarbiec analizy”, jako znaczący i daleko idący przykład podejścia analitycznego. Słowo porisma ma kilka zastosowań: według Papusa oznaczałoby tu twierdzenie typu pośredniego między twierdzeniami a problemami. Dzieło Euklidesa miałoby zawierać 171 takich twierdzeń i 38 lematów. Pappos podaje przykłady, np. „jeśli wychodząc z dwóch danych punktów, narysuje się proste przecinające daną prostą, a jeśli jedna z nich wyrzeźbi odcinek na danej prostej, to druga zrobi to samo na innej prostej, przy ustalonej relacji między dwoma wyciętymi odcinkami”. Zinterpretowanie dokładnego znaczenia tego, czym jest porizm, i ewentualne odtworzenie całości lub części twierdzeń dzieła Euklidesa, z informacji pozostawionych przez Pappusa, zajmowało wielu matematyków: najbardziej znane próby to te Pierre’a Fermata w XVII wieku, Roberta Simsona w XVIII wieku, a przede wszystkim Michela Chaslesa w XIX wieku. Jeśli rekonstrukcja Chaslesa jako taka nie jest dziś traktowana poważnie przez historyków, to dała matematykowi możliwość rozwinięcia pojęcia relacji anharmonicznej.

Dwie książki o miejscach geometrycznych

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β’ dotyczyło miejsc geometrycznych na powierzchniach lub miejsc geometrycznych, które same były powierzchniami. W późniejszej interpretacji stawia się hipotezę, że dzieło mogło dotyczyć powierzchni kwadratowych. Jest to również zaginione dzieło składające się z dwóch ksiąg, wspomniane w Skarbcu analizy Pappusa. Wskazówki podane u Proclusa lub Pappusa co do tych miejsc Euklidesa są niejednoznaczne, a dokładne pytanie zadane w dziele nie jest znane. W tradycji matematyki starożytnej Grecji miejsca to zbiory punktów, które weryfikują daną własność. Zbiory te są często liniami prostymi, lub odcinkami stożkowymi, ale mogą to być również np. powierzchnie płaskie. Większość historyków ocenia, że locus Euklidesa mogły być powierzchnie rewolucji, sfery, stożki lub cylindry.

Pojawienie się nieba

Appearances of the Sky or Phenomena (# Φαινόμενα) to traktat o astronomii pozycyjnej, który zachował się w języku greckim. Jest dość podobny do dzieła Autolytusa (On the Notion of the Sphere) i omawia zastosowanie geometrii sfery do astronomii i zachował się w języku greckim, w kilku wersjach rękopiśmiennych, z których najstarsza pochodzi z X wieku. Tekst ten wyjaśnia to, co nazywa się „małą astronomią”, w odróżnieniu od tematów traktowanych w Wielkiej Kompozycji Ptolemeusza (Almagest). Zawiera 18 propozycji i jest bliski zachowanym dziełom na ten sam temat autorstwa Autolytusa z Pitane.

Optyka

Optyka (Ὀπτικά) to najstarszy zachowany traktat grecki, w kilku wersjach, poświęcony problemom, które dziś powiedzielibyśmy o perspektywie i najwyraźniej przeznaczony do wykorzystania w astronomii, ma formę Elementów: jest kontynuacją 58 tez, których dowód opiera się na definicjach i postulatach podanych na początku tekstu. W swoich definicjach Euklides nawiązuje do tradycji platońskiej, według której widzenie jest powodowane przez promienie wychodzące z oka. Euklides opisuje pozorną wielkość przedmiotu w zależności od jego odległości od oka oraz bada pozorne kształty walców i stożków oglądanych pod różnymi kątami.

Euklides wykazuje, że pozorne rozmiary jednakowych przedmiotów nie są proporcjonalne do ich odległości od naszego oka (teza 8). Wyjaśnia na przykład nasze widzenie kuli (i innych prostych powierzchni): oko widzi mniejszą powierzchnię w środku kuli, jeszcze mniejszą w miarę zbliżania się do niej, nawet jeśli widziana powierzchnia wydaje się większa, a kontur tej widzianej jest okręgiem. Traktat w szczególności przeczy opinii bronionej w niektórych szkołach myślenia, zgodnie z którą rzeczywistą wielkością przedmiotów (w szczególności ciał niebieskich) jest ich wielkość pozorna, ta, która jest widziana.

Papo uznał te wyniki za ważne dla astronomii i włączył Optykę Euklidesa, wraz z jego Fenomenami, do kompendium pomniejszych dzieł, które należało przestudiować przed Almagestem Claudi Ptolemeusza.

Traktat o muzyce

Proclus przypisuje Euklidesowi traktat o muzyce (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), który podobnie jak astronomia, muzyka teoretyczna, np. w postaci stosowanej teorii proporcji, należy do nauk matematycznych. W języku greckim zachowały się dwa niewielkie pisma, które zostały włączone do starożytnych wydań Euklidesa, ale ich orzekanie jest niepewne, podobnie jak ich ewentualne związki z Elementami. Oba pisma (Sekcja kanonu o interwałach muzycznych i Wprowadzenie harmoniczne) są z drugiej strony uważane za sprzeczne, a przynajmniej drugie z nich jest obecnie uważane przez uczonych za dzieło innego autora.

Dzieła fałszywie przypisywane Euklidesowi

Katoptryka (Κατοητρικά) zajmuje się matematyczną teorią luster, w szczególności obrazów powstających w zwierciadłach płaskich i sferycznych wklęsłych. Jej przypisanie Euklidesowi jest wątpliwe; jej autorem mógł być Teon z Aleksandrii. Pojawia się w tekście Euklidesa o optyce i w komentarzu Proklusa. Obecnie uważa się ją za zaginioną, a w szczególności Catoptricus, długo publikowany jako kontynuacja Optics w starożytnych wydaniach, nie jest już przypisywany Euklidesowi; uważa się go za późniejszą kompilację.

Euklides wymieniany jest również jako autor fragmentów dotyczących mechaniki, a konkretnie tekstów o dźwigni i wadze, w niektórych manuskryptach łacińskich lub arabskich. Atrybucja ta jest obecnie uważana za wątpliwą.

Inne odniesienia

Źródła

1. Euclides
2. Euklides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
7. ^ Ball, pp. 50–62.
8. ^ Boyer, pp. 100–119.
9. ^ Macardle, et al. (2008). Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York: Metro Books. g. 12.
10. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
11. Зубов, 2007, с. 510.
12. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.