Leonhard Euler

gigatos | 9 kwietnia, 2023

Streszczenie

Leonhard Euler (15 kwietnia 1707, Bazylea, Szwajcaria – 7 (18) września 1783, Petersburg, Imperium Rosyjskie) był szwajcarskim, pruskim i rosyjskim matematykiem i mechanikiem, który wniósł fundamentalny wkład w rozwój tych nauk (a także fizyki, astronomii i kilku nauk stosowanych). Obok Lagrange’a był największym matematykiem XVIII wieku i jest uważany za jednego z największych matematyków w historii. Euler napisał ponad 850 prac (w tym dwa tuziny fundamentalnych monografii) z zakresu analizy matematycznej, geometrii różniczkowej, teorii liczb, rachunku przybliżonego, mechaniki nieba, fizyki matematycznej, optyki, balistyki, budowy okrętów, teorii muzyki i innych zagadnień. Studiował medycynę, chemię, botanikę, aeronautykę, teorię muzyki oraz wiele języków europejskich i starożytnych. Akademik Akademii Nauk w Petersburgu, Berlinie, Turynie, Lizbonie i Bazylei, członek zagraniczny Paryskiej Akademii Nauk. Pierwszy rosyjski członek Amerykańskiej Akademii Sztuk i Nauk.

Prawie połowę swojego życia spędził w Rosji, gdzie wniósł znaczący wkład w rozwój nauki rosyjskiej. W 1726 r. został zaproszony do pracy w Petersburgu, dokąd przeniósł się rok później. Od 1726 do 1741 i od 1766 roku był akademikiem petersburskiej Akademii Nauk (od 1741 do 1766 roku pracował w Berlinie (jednocześnie pozostając honorowym członkiem Akademii Petersburskiej). Po rocznym pobycie w Rosji znał dobrze język rosyjski i niektóre jego prace (zwłaszcza podręczniki) zostały wydane w języku rosyjskim. Pierwsi rosyjscy akademicy-matematycy (S. K. Kotelnikow) i astronomowie (S. Ya. Rumovsky) byli uczniami Eulera.

Szwajcaria (1707-1727)

Leonhard Euler urodził się w 1707 roku w rodzinie bazylejskiego pastora Paula Eulera, zaprzyjaźnionego z rodziną Bernoulliego, oraz Marguerite Euler, z domu Brooker. Wkrótce po jego narodzinach rodzina przeniosła się do Richeng, gdzie chłopiec spędził swoje wczesne lata. Leonard otrzymał podstawowe wykształcenie w domu pod okiem ojca (ten ostatni studiował matematykę u Jakoba Bernoulliego). Pastor przygotowywał swojego najstarszego syna do kariery duchowej, ale uczył go również matematyki, zarówno dla zabawy, jak i w celu rozwijania logicznego myślenia, a Leonard wcześnie wykazał talent matematyczny.

Kiedy Leonard dorósł, został zabrany do domu swojej babci w Bazylei, gdzie uczęszczał do gimnazjum (jednocześnie nadal z pasją studiując matematykę). W 1720 roku pozwolono mu uczęszczać na publiczne wykłady na Uniwersytecie w Bazylei, gdzie zwrócił uwagę profesora Johanna Bernoulliego (młodszego brata Jakoba Bernoulliego). Słynny uczony przysyłał młodemu matematykowi artykuły matematyczne do przestudiowania i pozwalał mu odwiedzać go w swoim domu w sobotnie popołudnia, aby wyjaśnić trudne kwestie.

20 października 1720 roku 13-letni Leonhard Euler został studentem Wydziału Sztuki Uniwersytetu w Bazylei. Jednak jego miłość do matematyki poprowadziła Leonarda inną drogą. Odwiedzając dom swojego nauczyciela, Euler poznał i zaprzyjaźnił się z jego synami, Danielem i Mikołajem, którzy również, zgodnie z rodzinną tradycją, dogłębnie studiowali matematykę. W 1723 roku Euler otrzymał (jak to było w zwyczaju na Uniwersytecie w Bazylei) swoją pierwszą nagrodę (primam lauream). 8 lipca 1724 r. 17-letni Leonhard Euler wygłosił po łacinie mowę porównującą poglądy filozoficzne Kartezjusza i Newtona i otrzymał tytuł magistra.

W ciągu następnych dwóch lat młody Euler napisał kilka prac naukowych. Jedna z nich, „Dissertation on Physics of Sound”, została zgłoszona do konkursu na niespodziewanie zwolnione stanowisko profesora fizyki na Uniwersytecie w Bazylei (1725). Jednak mimo przychylnej recenzji 19-letni Euler został uznany za zbyt młodego, by uwzględnić go jako kandydata na profesora. W tym czasie liczba wakatów naukowych w Szwajcarii była bardzo mała. Bracia Daniel i Mikołaj Bernoulli udali się więc do Rosji, gdzie powstawała Akademia Nauk, i obiecali ubiegać się o stanowisko dla Eulera.

Wczesną zimą 1726-1727 roku Euler otrzymał wiadomość z Petersburga: z rekomendacji braci Bernoulli został zaproszony na stanowisko profesora nadzwyczajnego w katedrze fizjologii (katedrę tę zajmował D. Bernoulli) z roczną pensją 200 rubli (Euler zachował list do prezydenta Akademii L.L. Blumentrosta z 9 listopada 1726 roku z podziękowaniem za przyjęcie do Akademii). Ponieważ Johann Bernoulli był znanym lekarzem, w Rosji Leonhard Euler, jako jego najlepszy uczeń, był również uważany za lekarza. Euler odłożył jednak wyjazd z Bazylei do wiosny, poświęcając pozostałe miesiące na poważne studiowanie nauk medycznych, których głęboką znajomością miał później zaimponować swoim współczesnym. Wreszcie 5 kwietnia 1727 r. Euler opuścił na zawsze Szwajcarię, choć do końca życia zachował obywatelstwo szwajcarskie (bazylejskie).

Rosja (1727-1741)

22 stycznia (2 lutego) 1724 roku Piotr I zatwierdził projekt Akademii Petersburskiej. 28 stycznia (8 lutego) 1724 roku Senat wydał dekret o utworzeniu Akademii. Z 22 zaproszonych profesorów i docentów w pierwszych latach pojawiło się 8 matematyków, którzy zajmowali się także mechaniką, fizyką, astronomią, kartografią, teorią budowy statków, obsługą miar i wag.

Euler (którego droga z Bazylei wiodła przez Lubekę, Rewel i Kronsztad) przybył do Petersburga 24 maja 1727 roku; kilka dni wcześniej zmarła cesarzowa Katarzyna I, patronka Akademii, a uczeni pogrążyli się w smutku i zamęcie. W oswojeniu się z nowym miejscem pomogli Eulerowi koledzy z Bazylei: akademicy Daniil Bernoulli i Jakob Hermann; ten ostatni, będąc profesorem katedry matematyki wyższej, był dalekim krewnym młodego uczonego i oferował mu wszelką protekcję. Euler został profesorem nadzwyczajnym matematyki wyższej (a nie fizjologii, jak pierwotnie planowano), choć badania w dziedzinie dynamiki płynów prowadził w Petersburgu, otrzymywał pensję w wysokości 300 rubli rocznie i miał zapewnione mieszkanie.

Euler w ciągu kilku miesięcy od przybycia do Petersburga biegle posługiwał się językiem rosyjskim.

W 1728 roku zaczęło się ukazywać pierwsze rosyjskie czasopismo naukowe – Komentarze Petersburskiej Akademii Nauk (w języku łacińskim). Już drugi tom zawierał trzy artykuły Eulera, a w kolejnych latach niemal każdy numer rocznika akademickiego zawierał kilka jego nowych prac. W sumie w tej edycji ukazało się ponad 400 artykułów Eulera.

We wrześniu 1730 r. wygasły umowy zawarte z akademikami J. Hermanem (katedra matematyki) i H. B. Bilfingerem (katedra fizyki doświadczalnej i teoretycznej). Hermann (katedra matematyki) i G. B. Bilfinger (katedra fizyki doświadczalnej i teoretycznej). Na ich wakaty zatwierdzono Daniila Bernoulliego i Leonarda Aylera, temu ostatniemu wypłacono do 400 rubli, a 22 stycznia 1731 r. uczyniono go oficjalnym profesorem. Dwa lata później (1733) Daniel Bernoulli wrócił do Szwajcarii, a Euler, opuszczając katedrę fizyki, zajął jego miejsce, zostając akademikiem i profesorem wyższej matematyki z pensją 600 rubli (Daniel Bernoulli otrzymał jednak dwa razy więcej).

27 grudnia 1733 roku 26-letni Leonhard Euler poślubił swoją rówieśniczkę Katharinę (niem. Katharina Gsell), córkę akademickiego malarza Georga Gsella (Szwajcara z Petersburga). Para kupiła dom na nabrzeżu Newy, gdzie zamieszkała. Rodzina Eulerów miała 13 dzieci, ale przeżyło trzech synów i dwie córki.

Młody profesor miał mnóstwo pracy: kartografia, wszelkiego rodzaju egzaminy, konsultacje dla stoczniowców i artylerzystów, sporządzanie podręczników szkoleniowych, projektowanie pomp przeciwpożarowych itp. Zobowiązano go nawet do sporządzania horoskopów, które Euler z całym taktem odsyłał do sztabowego astronoma. Aleksander Puszkin przytacza romantyczną historię: podobno Euler skomponował horoskop dla nowo narodzonego księcia Jana Antonowicza (1740), ale wynik tak go przeraził, że nikomu go nie pokazał, a dopiero po śmierci biednego księcia opowiedział o nim hrabiemu K.G. Razumowskiemu. Autentyczność tej historycznej anegdoty jest bardzo wątpliwa.

W pierwszym okresie pobytu w Rosji napisał ponad 90 poważnych prac naukowych. Dużą część akademickich „Zapisków” wypełniają pisma Eulera. Wygłaszał referaty na seminariach naukowych, wygłaszał publiczne wykłady, uczestniczył w różnych zamówieniach technicznych agencji rządowych. W latach trzydziestych XVII w. Euler kierował pracami nad mapowaniem Imperium Rosyjskiego, które (po wyjeździe Eulera w 1745 r.) zostały zakończone wydaniem atlasu tego kraju. Jak relacjonował N. I. Fuss, w 1735 r. Akademia otrzymała zadanie wykonania pilnego i bardzo kłopotliwego obliczenia matematycznego, a grupa akademików poprosiła o trzy miesiące, ale Euler podjął się pracy w ciągu 3 dni – i sam zdołał ją wykonać; jednak przeciążenie nie przeszło bez śladu: zachorował i stracił wzrok w prawym oku. Jednak sam Euler w jednym z listów przypisał utratę oka pracy w charakterze mapnika w dziale geograficznym Akademii.

Dwutomowe dzieło Mechanics, or the science of motion set forth analytically, opublikowane w 1736 roku, przyniosło Eulerowi ogólnoeuropejską sławę. W tej monografii Euler z powodzeniem zastosował metody analizy matematycznej do ogólnego rozwiązania problemów ruchu w próżni i w ośrodku stawiającym opór.

Jednym z najważniejszych zadań Akademii było kształcenie personelu domowego, dla którego utworzono przy niej uniwersytet i gimnazjum. Ze względu na dotkliwy brak podręczników w języku rosyjskim, Akademia poprosiła swoich członków o skomponowanie takich podręczników. Euler opracował po niemiecku bardzo dobry „Podręcznik arytmetyki”, który został natychmiast przetłumaczony na język rosyjski i przez kilka lat służył jako podręcznik podstawowy. Tłumaczenia pierwszej części dokonał w 1740 roku Wasilij Adodurow, pierwszy rosyjski adiunkt Akademii i uczeń Eulera.

Sytuacja pogorszyła się, gdy w 1740 roku zmarła cesarzowa Anna Ioannovna, a młody Jan VI został ogłoszony cesarzem. „Miało się stać coś niebezpiecznego – pisał później Euler w swojej autobiografii. – Po śmierci czcigodnej cesarzowej Anny podczas regencji, która nastąpiła (…), sytuacja zaczęła przedstawiać się jako niepewna. Rzeczywiście, za rządów Anny Leopoldówny Akademia Petersburska ostatecznie popadła w ruinę. Euler zaczął rozważać możliwość powrotu do domu lub przeniesienia się do innego kraju. W końcu przyjął ofertę króla pruskiego Fryderyka, który zaprosił go na bardzo korzystnych warunkach do Akademii Berlińskiej, na stanowisko dyrektora jej wydziału matematycznego. Akademia powstała na bazie Pruskiego Towarzystwa Królewskiego, założonego przez Leibniza, ale będącego wówczas w fatalnym stanie.

Prusy (1741-1766)

Euler złożył swoją rezygnację kierownictwu Akademii Petersburskiej:

Z tego powodu jestem zmuszony, zarówno z powodu złego stanu zdrowia, jak i innych okoliczności, szukać przyjemniejszego klimatu i przyjąć wezwanie Jego Królewskiej Pruskiej Mości skierowane do mnie. Z tego powodu błagam Cesarską Akademię Nauk o uprzejme zwolnienie mnie i zaopatrzenie mnie i mojej rodziny w niezbędny do podróży paszport.

29 maja 1741 roku uzyskano zgodę Akademii. Euler został „uwolniony” i potwierdzony jako honorowy członek Akademii z pensją 200 rubli. W czerwcu 1741 roku 34-letni Leonhard Euler z żoną, dwoma synami i czterema siostrzeńcami przybył do Berlina. Spędził tam 25 lat i opublikował około 260 prac.

Początkowo Eulera przyjmowano w Berlinie życzliwie, zapraszano go nawet na dworskie bale. Markiz Condorcet wspominał, że wkrótce po przeprowadzce do Berlina Euler został zaproszony na bal dworski. Zapytany przez królową matkę, dlaczego jest taki milczący, Euler odpowiedział: „Pochodzę z kraju, gdzie kto mówi, zostaje powieszony”.

Euler miał bardzo dużo pracy. Oprócz badań matematycznych kierował obserwatorium i zajmował się wieloma sprawami praktycznymi, m.in. produkcją kalendarzy (główne źródło dochodów Akademii), biciem pruskich monet, układaniem nowego wodociągu, organizacją rent i loterii.

W 1742 roku ukazał się czterotomowy zbiór prac Johanna Bernoulliego. Wysyłając go z Bazylei do Eulera w Berlinie, stary uczony napisał do swojego ucznia: „Poświęciłem się dzieciństwu wyższej matematyki. Ty, mój przyjacielu, będziesz kontynuował jej formowanie w dojrzałości”. W okresie berlińskim wychodziły jedna po drugiej prace Eulera: „Wstęp do analizy nieskończoności” (1748), „Nauka o morzu” (1749), „Teoria ruchu Księżyca” (1753), „Instrukcja rachunku różniczkowego” (łac. Institutiones calculi differentialis, 1755). Liczne artykuły dotyczące wybranych zagadnień drukowane były w wydawnictwach Akademii Berlińskiej i Petersburskiej. W 1744 roku Euler odkrył rachunek wariacyjny. W swoich pracach posługuje się rozbudowaną terminologią i symbolami matematycznymi, które w dużej mierze przetrwały do naszych czasów, a swoje wywody sprowadza do poziomu praktycznych algorytmów.

Przez cały okres pobytu w Niemczech Euler utrzymywał kontakty z Rosją. Euler uczestniczył w publikacjach Akademii Petersburskiej, kupował dla niej książki i instrumenty, redagował działy matematyczne w rosyjskich czasopismach. W jego mieszkaniu, na pełnym wyżywieniu, mieszkali przez lata młodzi rosyjscy uczeni wysyłani na szkolenia. Wiadomo o ożywionej korespondencji Eulera z M. W. Łomonosowem; w 1747 r. wydał przychylną opinię prezesowi Akademii Nauk hr. K. G. Razumowskiemu o artykułach Łomonosowa z zakresu fizyki i chemii, stwierdzając:

Wszystkie te tezy są nie tylko dobre, ale i bardzo doskonałe, ponieważ pisze on o materii fizycznej i chemicznej bardzo potrzebnej, która dotychczas nie była znana i nie mogła być interpretowana przez najdowcipniejszych ludzi, co uczynił z takim powodzeniem, że jestem w pełni przekonany o sprawiedliwości jego wyjaśnień. W tym przypadku trzeba przyznać panu Łomonosowowi, że ma doskonały talent do interpretowania zjawisk fizycznych i chemicznych. Należy mieć nadzieję, że inne Akademie będą w stanie wyprodukować takie rewelacje, jakie pokazał pan Łomonosow.

Tej wysokiej ocenie nie przeszkadzał nawet fakt, że Łomonosow nie pisał prac matematycznych i nie znał wyższej matematyki. Mimo to w 1755 roku, na skutek nietaktowności Łomonosowa, który opublikował bez zgody Eulera jego prywatny list popierający go, Euler zerwał z nim wszelkie stosunki. Stosunki zostały przywrócone w 1761 roku, ponieważ Łomonosow ułatwił Eulerowi powrót do Rosji.

Jego matka powiadomiła Eulera o śmierci ojca w Szwajcarii (wkrótce zamieszkała z Eulerem (zmarła w 1761 roku). W 1753 roku Euler kupił posiadłość w Charlottenburgu (przedmieście Berlina) z ogrodem i działką, aby pomieścić swoją liczną rodzinę.

Według współczesnych Euler pozostał skromny, pogodny, niezwykle sympatyczny i zawsze gotowy do pomocy innym. Jego relacje z królem nie układały się jednak najlepiej: Fryderyk uważał nowego matematyka za nieznośnie nudnego, zupełnie nietowarzyskiego i traktował go pogardliwie. W 1759 roku zmarł Mauperthuis, prezes berlińskiej Akademii Nauk i przyjaciel Eulera. Król Fryderyk II zaproponował stanowisko prezydenta Akademii D’Alumbertowi, ale ten odmówił. Fryderyk, który nie lubił Eulera, powierzył mu jednak kierowanie Akademią, ale bez tytułu prezydenta.

Podczas wojny siedmioletniej feldmarszałek Sałtykow natychmiast spłacił straty, a później cesarzowa Elżbieta przysłała od siebie kolejne 4 tys. rubli.

W 1765 roku ukazała się Teoria ruchu ciał stałych, a rok później Elementy rachunku wariacyjnego. To właśnie tutaj po raz pierwszy pojawiła się nazwa nowego działu matematyki stworzonego przez Eulera i Lagrange’a.

W 1762 r. na tron rosyjski wstąpiła Katarzyna II, która prowadziła politykę oświeconego absolutyzmu. Zdając sobie sprawę ze znaczenia nauki dla postępu państwa i własnego prestiżu, przeprowadziła szereg ważnych zmian w systemie edukacji publicznej i kultury sprzyjającej nauce. Cesarzowa zaoferowała Eulerowi kierownictwo klasy matematycznej, tytuł sekretarza konferencyjnego Akademii i pensję w wysokości 1800 rubli rocznie. A jeśli to się Panu nie spodoba – pisano w liście do jej przedstawiciela – chętnie przekaże swoje warunki, byleby tylko nie wahał się Pan przyjechać do Petersburga”.

W odpowiedzi Euler przekazał swoje warunki:

Wszystkie te warunki zostały przyjęte. 6 stycznia 1766 roku Katarzyna poinformowała hrabiego Woroncowa:

List Pana Eulera do Pana sprawił mi wielką przyjemność, ponieważ dowiaduję się z niego o jego pragnieniu ponownego wstąpienia do mojej służby. Oczywiście uważam go za godnego pożądanego tytułu wiceprezesa Akademii Nauk, ale w tym celu trzeba podjąć pewne kroki, zanim ustanowię ten tytuł – mówię ustanowię, bo dotychczas nie istniał. W obecnym stanie rzeczy nie ma pieniędzy na pensję w wysokości 3000 rubli, ale dla człowieka o takich zasługach jak pan Euler dodam do pensji akademickiej z dochodów państwowych, które razem wynoszą wymagane 3000 rubli… Jestem pewien, że moja Akademia podniesie się z popiołów po tak ważnym nabytku i z góry gratuluję sobie, że zwróciłem Rosji wielkiego człowieka.

Później Euler wysunął szereg innych warunków (roczna renta w wysokości 1000 rubli dla żony po jego śmierci, rekompensata kosztów podróży, miejsce dla syna medyka i ranga dla samego Eulera). Katarzyna również spełniła te warunki Eulera, z wyjątkiem wymogu dotyczącego rangi, żartobliwie mówiąc: „Dałabym mu, gdyby sobie tego życzył, rangę… (we francuskim szkicu listu kolegiata radcy jest przekreślona), gdybym nie obawiała się, że ta ranga zrównałaby go z tyloma ludźmi, którzy nie byli godni pana Eulera. Zaprawdę, jego sława jest lepsza od rangi, aby oddać mu należny szacunek”.

Euler złożył petycję do króla o zwolnienie ze służby, ale nie otrzymał odpowiedzi. Wystąpił ponownie – ale Fryderyk nie był skłonny nawet przedyskutować kwestii jego odejścia. Decydujące wsparcie dla Eulera stanowiły natarczywe petycje rosyjskiego przedstawicielstwa w imieniu cesarzowej. 2 maja 1766 r. Fryderyk ostatecznie zezwolił wielkiemu uczonemu na opuszczenie Prus, choć w swojej korespondencji nie mógł powstrzymać się od pogardliwych żartów na temat Eulera (25 lipca pisał do D’Alamberta: „Herr Euler, który szalenie kochał Wielki i Mały Chochlik, przeniósł się bliżej północy dla wygody ich obserwacji”). Prawda, że służył jako podpułkownik artylerii (później, dzięki wstawiennictwu Katarzyny II, udało mu się jeszcze dołączyć do ojca i awansował na generała porucznika w armii rosyjskiej. Latem 1766 roku Euler wrócił do Rosji – teraz już na stałe.

Rosja ponownie (1766-1783)

17 (28) lipca 1766 r. 60-letni Euler, jego rodzina i domownicy (w sumie 18 osób) przybyli do stolicy Rosji. Natychmiast po przyjeździe został przyjęty przez cesarzową. Katarzyna II powitała go jako dostojnika i obsypała łaskami: przyznała 8000 rubli na zakup domu na Wyspie Wasiliewskiej i na zakup umeblowania, po raz pierwszy udostępniła jednego ze swoich kucharzy i poleciła mu przygotować rozważania na temat reorganizacji Akademii.

Niestety, po powrocie do Petersburga Euler nabawił się zaćmy w jedynym pozostałym lewym oku i wkrótce trwale oślepł. Prawdopodobnie z tego powodu nigdy nie otrzymał obiecanego stanowiska wiceprezesa Akademii (co nie przeszkodziło Eulerowi i jego potomkom uczestniczyć w zarządzaniu Akademią przez prawie sto lat). Ślepota nie wpłynęła jednak na zdolność uczonego do pracy; zauważył on jedynie, że teraz będzie mniej rozproszony przez matematykę. Przed nabyciem sekretarza Euler dyktował swoje prace postawnemu chłopcu, który zapisywał wszystko po niemiecku. Liczba jego opublikowanych prac nawet wzrosła; podczas drugiego pobytu w Rosji Euler podyktował ponad 400 artykułów i 10 książek, co stanowi ponad połowę jego spuścizny twórczej.

W latach 1768-1770 opublikował swoją klasyczną dwutomową monografię, Universal Arithmetic (wydaną również jako Elements of Algebra i The Complete Course of Algebra). Praca ta została wydana najpierw w języku rosyjskim (1768-1769), a dwa lata później ukazało się wydanie niemieckie. Książka została przetłumaczona na wiele języków i była przedrukowywana około 30 razy (trzy razy po rosyjsku). Wszystkie późniejsze podręczniki algebry były pod silnym wpływem książki Eulera.

W tych samych latach opublikował trzytomową Dioptrica (1769-1771) o systemach soczewek oraz fundamentalne Institutiones calculi integralis (1768-1770), również w trzech tomach.

Bardzo popularne w XVIII wieku, a częściowo także w XIX, stały się „Listy o różnych sprawach fizycznych i filozoficznych, pisane do księżniczki niemieckiej” Eulera (1768). (1768), która miała ponad 40 wydań w 10 językach (w tym 4 wydania w języku rosyjskim). Była to encyklopedia popularnonaukowa o szerokim zakresie, napisana w sposób żywy i ogólnie dostępny.

W 1771 roku w życiu Eulera miały miejsce dwa poważne wydarzenia. W maju w Petersburgu wybuchł wielki pożar, który zniszczył setki budynków, w tym dom i prawie cały dobytek Eulera. Sam uczony ledwo się uratował. Z pożaru ocalały wszystkie rękopisy; spłonęła jedynie część jego „Nowej teorii ruchu księżyca”, ale szybko została ona odtworzona z pomocą Eulera, który do późnej starości zachował fenomenalną pamięć. Euler musiał tymczasowo przenieść się do innego domu. Drugie wydarzenie: we wrześniu tego samego roku na specjalne zaproszenie cesarzowej przybył do Petersburga słynny niemiecki okulista baron Wentzel, aby leczyć Eulera. Po badaniu zgodził się na przeprowadzenie operacji na Eulerze i usunął zaćmę z jego lewego oka. Euler mógł znowu widzieć. Lekarz zalecił mu, aby trzymać oko od jasnego światła, nie pisać, nie czytać – po prostu stopniowo przyzwyczajać się do nowego stanu. Ale w ciągu kilku dni po operacji Euler zdjął opatrunek i wkrótce znów stracił wzrok. Tym razem na dobre.

1772: „Nowa teoria ruchu księżyca”. Euler ostatecznie zakończył swoją wieloletnią pracę, rozwiązując w przybliżeniu problem trzech ciał.

W 1773 roku, na polecenie Daniela Bernoulliego, do Petersburga przybył z Bazylei uczeń Bernoulliego, Nikolaus Fuss. Był to wielki łut szczęścia dla Eulera. Fuss, utalentowany matematyk, natychmiast po przyjeździe objął kierownictwo nad matematycznymi pracami Eulera. Fuss wkrótce ożenił się z wnuczką Eulera. Przez następne dziesięć lat – aż do śmierci – Euler w przeważającej mierze dyktował mu swoje prace, choć czasami korzystał z „oczu najstarszego syna” i innych swoich uczniów. W tym samym roku 1773 zmarła żona Eulera, z którą żył od prawie 40 lat. Śmierć żony była bolesnym ciosem dla uczonego, który był szczerze przywiązany do swojej rodziny. Euler wkrótce poślubił Salome Abigail, przyrodnią siostrę swojej zmarłej żony.

Publikacja „General Spherical Trigonometry” ukazała się w 1779 roku i była pierwszą kompletną ekspozycją całego systemu trygonometrii sferycznej.

Euler pracował aktywnie do swoich ostatnich dni. We wrześniu 1783 r. 76-letni uczony zaczął odczuwać bóle głowy i osłabienie. 7 (18) września, po obiedzie spędzonym z rodziną, rozmawiając z akademikiem A. I. Lexelem o nowo odkrytej planecie Uran i jej orbicie, nagle poczuł się źle. Euler zdołał wypowiedzieć: „Umieram” i zemdlał. Kilka godzin później, nie odzyskawszy przytomności, zmarł na wylew krwi do mózgu.

„Przestał kalkulować i żył” – powiedział Condorcet na żałobnym posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Został pochowany na Smoleńskim Cmentarzu Luterańskim w Petersburgu. W napisie na pomniku w języku niemieckim czytamy: „Tu spoczywają szczątki znanego na całym świecie Leonharda Eulera, mędrca i sprawiedliwego. Urodzony 4 kwietnia 1707 roku w Bazylei, zmarł 7 września 1783 roku”. Po śmierci Eulera jego grób zaginął i został odnaleziony, w opustoszałym stanie, dopiero w 1830 roku. W 1837 roku Akademia Nauk zastąpiła ten nagrobek nowym granitowym nagrobkiem (nadal stoi) z napisem po łacinie „Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (łac. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Podczas obchodów 250-lecia Eulera (1957) prochy wielkiego matematyka zostały przeniesione do „Nekropolii XVIII wieku” na cmentarzu Łazarewskim Ławry Aleksandra Newskiego, gdzie znajdują się w pobliżu grobu M. W. Łomonosowa.

Euler pozostawił ważne prace z różnych dziedzin matematyki, mechaniki, fizyki, astronomii i wielu nauk stosowanych. Wiedza Eulera była encyklopedyczna; oprócz matematyki studiował botanikę, medycynę, chemię, teorię muzyki oraz wiele języków europejskich i starożytnych.

Euler chętnie brał udział w dyskusjach naukowych, z których był najbardziej znany:

We wszystkich wymienionych przypadkach stanowisko Eulera znajduje poparcie we współczesnej nauce.

Matematyka

Pod względem matematycznym wiek XVIII jest wiekiem Eulera. Podczas gdy przed nim postępy w matematyce były rozproszone i nie zawsze spójne, Euler po raz pierwszy połączył analizę, algebrę, geometrię, trygonometrię, teorię liczb i inne dyscypliny w jednolity system, dodając przy tym wiele własnych odkryć. Od tego czasu wiele matematyki jest nauczane „według Eulera” w prawie niezmienionej formie.

Dzięki Eulerowi matematyka zawierała ogólną teorię szeregów, fundamentalny „wzór Eulera” w teorii liczb zespolonych, operację porównania modulo, kompletną teorię ułamków ciągłych, analityczne podstawy mechaniki, liczne techniki całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych, liczbę e, zapis i dla jednostki urojonej, szereg funkcji specjalnych i wiele innych.

W rzeczywistości to Euler stworzył kilka nowych dyscyplin matematycznych – teorię liczb, rachunek wariacji, teorię funkcji złożonych, geometrię różniczkową powierzchni; stworzył podstawy teorii funkcji specjalnych. Inne dziedziny jego twórczości to analiza diofantyczna, fizyka matematyczna, statystyka itp.

Historyk nauki Clifford Truesdell napisał: „Euler był pierwszym naukowcem w cywilizacji zachodniej, który pisał o matematyce w jasnym i łatwym do odczytania języku”. Biografowie zwracają uwagę, że Euler był wirtuozem algorytmiki. Niezmiennie starał się sprowadzić swoje odkrycia do poziomu konkretnych metod obliczeniowych, był mistrzem obliczeń numerycznych. J. Condorcet opowiadał, że kiedyś dwaj studenci wykonujący niezależnie skomplikowane obliczenia astronomiczne uzyskali nieco inne wyniki w znaku 50 i zwrócili się do Eulera o pomoc. Euler wykonał te same obliczenia w swoim umyśle i podał prawidłowy wynik.

П. L. Czebyszew napisał: „Euler był początkiem wszystkich badań, które składają się na ogólną teorię liczb”. Większość matematyków XVIII wieku zajmowała się rozwojem analizy, ale Euler przez całe życie nosił w sobie pasję do starożytnej arytmetyki. Dzięki jego pismom pod koniec wieku odżyło zainteresowanie teorią liczb.

Euler kontynuował badania Fermata, który wcześniej postawił (pod wpływem Diophantusa) szereg rozproszonych hipotez dotyczących liczb naturalnych. Euler rygorystycznie udowodnił te hipotezy, znacznie je uogólnił i połączył w sensowną teorię liczb. Wprowadził do matematyki niezwykle ważną „funkcję Eulera” i wykorzystał ją do sformułowania „twierdzenia Eulera”. Obalił hipotezę Fermata, że wszystkie liczby postaci F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} są proste; okazuje się, że. F 5 {displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} jest podzielne przez 641. Udowodnił twierdzenie Fermata o reprezentacji nieparzystej liczby pierwszej jako sumy dwóch kwadratów. Podał jedno z rozwiązań problemu czterech sześcianów. Udowodnił, że liczba Mersenne’a 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – jest liczbą pierwszą; przez prawie sto lat (do 1867 roku) pozostawała największą znaną liczbą pierwszą.

Euler stworzył podstawy teorii porównań i wnioskowań kwadratowych, określając kryterium rozwiązywalności tych ostatnich. Euler wprowadził pojęcie początkowego korzenia i postawił hipotezę, że dla każdej liczby pierwszej p istnieje początkowy korzeń modulo p; nie potrafił tego udowodnić, ale LeGendre i Gauss później udowodnili to twierdzenie. Duże znaczenie w teorii miało inne przypuszczenie Eulera, prawo wzajemności kwadratów, udowodnione również przez Gaussa. Euler udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata dla n = 3 {przykład n = 3} и n = 4 {styl n=4} , stworzył kompletną teorię ułamków ciągłych, badał różne klasy równań dyfeomorficznych oraz teorię podziału liczb na pojęcia.

W problemie liczby partycji liczby naturalnej n {przykładowo n} dostaliśmy wzór wyrażający pochodną funkcji liczby partycji p ( n ) {pochodna p(n)} {wykazać p(n ) poprzez nieskończony iloczyn z.

Euler zdefiniował funkcję zeta, której uogólnienie nazwał później Riemann:

gdzie s {s} jest liczbą rzeczywistą (u Riemanna jest złożoną). Euler wyprowadził dla niej rozkład:

gdzie iloczynem są wszystkie liczby pierwsze p {przyp. tłum. p} . W ten sposób odkrył, że w teorii liczb można stosować metody analizy matematycznej, dając początek analitycznej teorii liczb, która opiera się na tożsamości Eulera i ogólnej metodzie pochodnych funkcji.

Jednym z głównych zasług Eulera dla nauki była jego monografia „Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748). W 1755 roku ukazał się uzupełniony „Rachunek różniczkowy”, a w latach 1768-1770 trzy tomy „Rachunku całkowego”. Razem wzięte to fundamentalny, dobrze zilustrowany kurs, z rozbudowaną terminologią i symboliką. „Można śmiało powiedzieć, że połowa tego, co obecnie wykłada się na kursach wyższej algebry i wyższej analizy, pochodzi z pism Eulera” (N. N. Luzin). Euler był pierwszym, który podał systematyczną teorię całkowania i technik w nim stosowanych. W szczególności jest autorem klasycznej metody całkowania funkcji racjonalnych poprzez rozkładanie ich na ułamki proste oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych dowolnego rzędu o stałych współczynnikach.

Euler zawsze zwracał szczególną uwagę na metody rozwiązywania równań różniczkowych – zarówno zwyczajnych, jak i pochodnych cząstkowych, odkrył i opisał ważne klasy równań różniczkowych całkowych. Opracował metodę linii łamanych Eulera (1768), numeryczną metodę rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Wraz z A. C. Clero wyprowadził warunki całkowalności liniowych form różniczkowych dwóch lub trzech zmiennych (1739). Uzyskał poważne wyniki w teorii funkcji eliptycznych, w tym pierwsze twierdzenia o dodawaniu całek eliptycznych (1761). Jako pierwszy badał maksima i minima funkcji wielu zmiennych.

Podstawy logarytmów naturalnych znane są od czasów Nepera i Jacoba Bernoulliego, ale Euler przeprowadził tak dogłębne badania tej najważniejszej stałej, że od tego czasu nazwano ją jego imieniem. Inna stała, którą badał: stała Eulera-Mascheroniego.

Jego zasługą jest również nowoczesna definicja funkcji wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych, a także ich symbolika i uogólnienie na przypadek złożony. Wzory często określane w podręcznikach jako „warunki Cauchy’ego-Riemanna” powinny być raczej nazywane „warunkami D’Alamberta-Eulera”.

Dzieli z Lagrange’em zaszczyt odkrycia rachunku wariacyjnego, wypisując równania Eulera-Lagrange’a dla ogólnego problemu wariacyjnego. W 1744 Euler opublikował traktat „Metoda znajdowania krzywych…” – pierwszą pracę o rachunku wariacyjnym (zawierała ona m.in. pierwsze systematyczne wyłożenie teorii krzywych sprężystych oraz wyniki dotyczące oporu materiałów).

Euler znacznie rozwinął teorię szeregów i rozszerzył ją na dziedzinę złożoną, podając słynny wzór Eulera, który daje trygonometryczną reprezentację liczby złożonej. Świat matematyczny był pod wielkim wrażeniem serii po raz pierwszy podsumowanych przez Eulera, w tym odwrotnej serii kwadratowej, której nikt przed nim nie był w stanie zrobić:

Euler wykorzystał serie do badania funkcji transcendentalnych, czyli takich, które nie są wyrażone równaniem algebraicznym (np. logarytm całkowity). Odkrył (1729-1730) „całki Eulera” – specjalne funkcje, które teraz weszły do nauki jako funkcje gamma i beta Eulera. W 1764 r., rozwiązując problem drgań membrany sprężystej (mający swe źródło w określeniu wysokości dźwięku kotłów), Euler jako pierwszy wprowadził funkcje Bessela dla dowolnego wskaźnika naturalnego (badania F. W. Bessela, którego imię noszą te funkcje, sięgają 1824 r.).

Z późniejszego punktu widzenia działania Eulera z szeregami nieskończonymi nie zawsze można uznać za poprawne (uzasadnienie analizy przeprowadzono dopiero pół wieku później), ale jego fenomenalna intuicja matematyczna niemal zawsze podpowiadała mu właściwy wynik. Jednak pod wieloma ważnymi względami jego wnikliwość wyprzedzała jego czasy – na przykład zaproponowane przez niego uogólnione rozumienie sumy szeregów rozbieżnych i operacji na nich posłużyło za podstawę nowoczesnej teorii tych szeregów, rozwiniętej na przełomie XIX i XX wieku.

W geometrii elementarnej Euler odkrył kilka faktów nie odnotowanych przez Euklidesa:

Drugi tom Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748) był pierwszym na świecie podręcznikiem geometrii analitycznej i podstaw geometrii różniczkowej. Euler podał klasyfikację krzywych algebraicznych 3 i 4 rzędu oraz powierzchni 2 rzędu. W książce tej po raz pierwszy pojawił się termin „transformacje afiniczne” wraz z teorią takich transformacji. W 1732 roku Euler wyprowadził ogólne równanie linii geodezyjnych na powierzchni.

W 1760 roku ukazały się fundamentalne „Badania nad krzywizną powierzchni”. Euler odkrył, że w każdym punkcie gładkiej powierzchni istnieją dwa odcinki normalne o minimalnym i maksymalnym promieniu krzywizny oraz że ich płaszczyzny są wzajemnie prostopadłe. Wyprowadził wzór na związek pomiędzy krzywizną odcinka powierzchniowego a krzywiznami głównymi.

W 1771 roku Euler opublikował pracę „O ciałach, których powierzchnia może być rozłożona na płaszczyźnie”. Praca ta wprowadza pojęcie powierzchni rozkładalnej, czyli powierzchni, którą można nałożyć na płaszczyznę bez zagięć i nieciągłości. Euler podaje tu jednak dość ogólną teorię metryk, od których zależy cała wewnętrzna geometria powierzchni. W późniejszym okresie czyni on z badania metryk główne narzędzie teorii powierzchni.

W związku z zadaniami kartografii Euler dogłębnie zbadał odwzorowania konforemne, stosując po raz pierwszy narzędzia analizy złożonej.

Euler poświęcił wiele uwagi reprezentacji liczb naturalnych jako sum szczególnego rodzaju i sformułował szereg twierdzeń dotyczących obliczania liczby partycji. Przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych badał dogłębnie własności kombinacji i permutacji oraz wprowadził liczby Eulera.

Euler badał algorytmy konstruowania kwadratów magicznych metodą trawersu szachowego. Dwie jego prace (1776, 1779) dały podwaliny pod ogólną teorię kwadratów łacińskich i grecko-łacińskich, których wielka wartość praktyczna ujawniła się po stworzeniu przez Ronalda Fishera metod planowania eksperymentów, a także w teorii kodów korygujących błędy.

Artykuł Eulera „Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” z 1736 roku zapoczątkował teorię grafów jako dyscyplinę matematyczną. Punktem wyjścia dla badań był problem mostów w Królewcu: czy można przejść przez każdy most raz i wrócić do punktu wyjścia? Euler sformalizował go, sprowadzając do problemu istnienia w grafie (którego wierzchołki odpowiadają częściom miasta oddzielonym odnogami rzeki Pregoły, a krawędzie mostom) cyklu lub ścieżki przechodzącej przez każdą krawędź dokładnie raz (we współczesnej terminologii odpowiednio cyklu eulerowskiego i ścieżki eulerowskiej). Rozwiązując ten drugi problem, Euler pokazał, że aby cykl eulerowski istniał w grafie, jego stopień (liczba krawędzi wychodzących z wierzchołka) musi być parzysty dla każdego wierzchołka, a ścieżka eulerowska musi być parzysta dla wszystkich wierzchołków z wyjątkiem dwóch (w problemie o mostach w Królewcu tak nie jest: stopnie to 3, 3, 3 i 5).

Euler wniósł znaczący wkład do teorii i metod obliczeń przybliżonych. Jako pierwszy zastosował metody analityczne w kartografii. Zaproponował wygodną metodę graficznego przedstawiania relacji i operacji na zbiorach, zwaną kołami Eulera (lub Euler-Vennes).

Mechanika i fizyka

Wiele prac Eulera poświęconych jest różnym gałęziom mechaniki i fizyki. Na temat kluczowej roli Eulera w kształtowaniu mechaniki jako nauki ścisłej, C. Truesdell napisał: „Mechanika, tak jak jest dziś nauczana przez inżynierów i matematyków, jest w dużej mierze jego dziełem”.

W 1736 roku ukazał się dwutomowy traktat Eulera „Mechanika, czyli nauka o ruchu, w twierdzeniu analitycznym”, który wyznaczył nowy etap w rozwoju tej starożytnej nauki i był poświęcony dynamice punktu materialnego. W przeciwieństwie do założycieli tej gałęzi dynamiki, Galileusza i Newtona, którzy stosowali metody geometryczne, 29-letni Euler zaproponował regularną i jednolitą metodę analityczną rozwiązywania różnych problemów dynamiki: zestawianie równań różniczkowych ruchu obiektu materialnego i ich późniejsze całkowanie przy danych warunkach początkowych.

W pierwszym tomie rozpatruje się ruch swobodnego punktu materialnego, w drugim – punktu nieruchomego, a także bada się ruch w pustce i w ośrodku stawiającym opór. Osobno rozważane są problemy balistyki i teorii wahadła. Euler zapisuje tu po raz pierwszy równanie różniczkowe ruchu prostoliniowego punktu, a dla ogólnego przypadku ruchu krzywoliniowego wprowadza naturalne równania ruchu – równania w rzutach na osie towarzyszącego mu trójkąta. W wielu konkretnych problemach uzupełnia całkowanie równań ruchu do końca; w przypadkach ruchu punktu bez oporów systematycznie stosuje pierwszą całkę z równań ruchu – całkę energii. W drugim tomie, w związku z problemem ruchu punktu na dowolnie zakrzywionej powierzchni, przedstawiona jest geometria różniczkowa powierzchni stworzona przez Eulera.

Do dynamiki punktu materialnego Euler powrócił później. W 1746 roku, badając ruch punktu materialnego na ruchomej powierzchni, doszedł (równocześnie z D. Bernoullim i P. Darcym) do twierdzenia o zmianie momentu pędu. W 1765 r. Euler, wykorzystując pomysł C. McLarena z 1742 r. dotyczący rozwinięcia prędkości i sił wzdłuż trzech stałych osi współrzędnych, po raz pierwszy zapisał równania różniczkowe ruchu punktu materialnego w rzutach na kartezjańskie osie stałe.

Ten ostatni wynik Euler opublikował w swoim drugim fundamentalnym traktacie o dynamice analitycznej – książce „Teoria ruchu ciał stałych” (1765). Jej główna treść poświęcona jest jednak innemu działowi mechaniki – dynamice ciał stałych, której Euler był twórcą. Traktat zawiera w szczególności wyprowadzenie układu sześciu równań różniczkowych ruchu swobodnego ciała stałego. Dla statyki ważne jest twierdzenie o redukcji układu sił działających na ciało stałe do dwóch sił, podane w § 620 traktatu. Rzutując warunki równości tych sił do zera na osie współrzędnych, Euler po raz pierwszy otrzymuje równania równowagi ciała stałego pod działaniem dowolnego przestrzennego układu sił.

W traktacie z 1765 roku podano również szereg fundamentalnych wyników Eulera dotyczących kinematyki ciał stałych (w XVIII wieku kinematyka nie była jeszcze wyodrębniona jako osobna dziedzina mechaniki). Wśród nich można wyróżnić wzory Eulera na rozkład prędkości punktów ciała absolutnie stałego (wektorowym odpowiednikiem tych wzorów jest kinematyczny wzór Eulera) oraz kinematyczne równania Eulera, które podają pochodne kątów Eulera (używanych w mechanice do określenia orientacji ciała stałego) poprzez rzuty prędkości kątowych na osie współrzędnych.

Oprócz tego traktatu, dla dynamiki brył istotne są dwie wcześniejsze prace Eulera: „Studies on the mechanical knowledge of bodies” oraz „The rotational motion of solids around a variable axis”, które zostały złożone w berlińskiej Akademii Nauk w 1758 roku, ale opublikowane w jej „Notes” później (w tym samym 1765 roku co traktat). W nich: rozwinięto teorię momentów bezwładności (ustalono istnienie co najmniej trzech osi swobodnego obrotu w dowolnym sztywnym ciele z punktem stałym; otrzymano dynamiczne równania Eulera opisujące dynamikę sztywnego ciała z punktem stałym; podano analityczne rozwiązanie tych równań w przypadku zerowego momentu głównego siły zewnętrznej (przypadek Eulera) – jeden z trzech ogólnych przypadków całkowania w problemie dynamiki sztywnego ciała stałego z punktem stałym.

W artykule „Wzory ogólne na dowolne przemieszczenie ciała sztywnego” (1775) Euler formułuje i dowodzi fundamentalne twierdzenie Eulera o obrocie, zgodnie z którym dowolne przemieszczenie ciała absolutnie sztywnego o stałym punkcie jest obrotem o pewien kąt wokół osi przechodzącej przez punkt stały.

Eulerowi przypisuje się analityczne sformułowanie zasady najmniejszego działania (zaproponowanej w 1744 roku – w bardzo rozmytej formie – przez P. L. Mauperthuisa), właściwe zrozumienie warunków stosowalności tej zasady oraz jej pierwszy dowód (przeprowadzony w tym samym roku 1744 dla przypadku jednego punktu materialnego poruszającego się pod działaniem siły centralnej). Działanie tutaj (tzw. działanie skrócone, a nie hamiltonowskie) w odniesieniu do układu punktów materialnych jest rozumiane jako całka

gdzie A {A} и B {B} – dwie konfiguracje układu, m i , v i {przykład m_{i},v_{i}} и d s i {mathrm {d} s_{i}} – odpowiednio masa, prędkość algebraiczna i element łuku trajektorii i {i.} -tego punktu, n {n} – to liczba punktów.

W rezultacie do nauki weszła zasada Mauperthuisa-Eulera, pierwsza z serii integralnych zasad wariacyjnych mechaniki; później została ona uogólniona przez J. L. Lagrange’a, a obecnie jest zwykle traktowana jako jedna z form (forma Mauperthuisa-Eulera, rozpatrywana obok formy Lagrange’a i formy Jacobiego) zasady Mauperthuisa-Lagrange’a. Mimo swojego wkładu definicyjnego, w dyskusji, która powstała wokół zasady najmniejszego działania Euler zdecydowanie bronił pierwszeństwa Mauperthuisa i wskazywał na fundamentalne znaczenie tej zasady w mechanice. Idea ta przyciągnęła uwagę fizyków, którzy w XIX i XX wieku odkryli fundamentalną rolę zasad wariacyjnych w przyrodzie i zastosowali podejście wariacyjne w wielu częściach swojej nauki.

Szereg prac Eulera poświęconych jest mechanice maszyn. W swoim pamiętniku „O najkorzystniejszym zastosowaniu maszyn prostych i złożonych” (1747) Euler zaproponował badanie maszyn nie w stanie spoczynku, lecz w stanie ruchu. To nowe, „dynamiczne” podejście Euler uzasadnił i rozwinął w swoim pamiętniku „O maszynach w ogóle” (w nim jako pierwszy w historii nauki wskazał na trzy części składowe maszyn, które w XIX wieku zostały zdefiniowane jako silniki, przekładnie i części robocze. W pamiętniku „Zasady teorii maszyn” (1763) Euler wykazał, że przy obliczaniu charakterystyk dynamicznych maszyn w przypadku ich ruchu przyspieszonego należy uwzględniać nie tylko siły oporu i bezwładność ładunku, ale także bezwładność wszystkich elementów maszyny i podał (w odniesieniu do silników hydraulicznych) przykład takiego obliczenia.

Euler zajmował się także stosowaną teorią maszyn, m.in. teorią maszyn hydraulicznych i wiatraków, badaniem tarcia w częściach maszyn, profilowaniem kół zębatych (tu uzasadnił i rozwinął analityczną teorię przekładni ewolwentowych). W 1765 r. stworzył podstawy teorii tarcia elastycznych linek i uzyskał w szczególności wzór Eulera na wyznaczanie naprężenia linek, który do dziś jest wykorzystywany przy rozwiązywaniu wielu problemów praktycznych (np. przy obliczaniu mechanizmów z elastycznymi ogniwami).

Euler kojarzony jest również z konsekwentnym wprowadzeniem do mechaniki idei kontinuum, zgodnie z którą ciało materialne przedstawiane jest, abstrahując od jego struktury molekularnej czy atomowej, jako ośrodek ciągły o ciągłej konsystencji. Model continuum wprowadził Euler w swoim pamiętniku „Discovery of a New Principle of Mechanics” (zgłoszonym w 1750 roku do Berlińskiej Akademii Nauk i opublikowanym w jej „Memoirs” dwa lata później).

Autor wspomnienia oparł swoją analizę na zasadzie cząstek materialnych Eulera, tezie, która wciąż jest przytaczana w wielu podręcznikach mechaniki i fizyki (często bez podania Eulera): ciało stałe można modelować z dowolną dokładnością, rozbijając je mentalnie na odpowiednio małe cząstki i traktując każdą z nich jako punkt materialny. Korzystając z tej zasady, można wyprowadzić różne relacje dynamiczne dla ciała ciągłego, zapisując ich analogie dla poszczególnych cząstek materialnych (w terminologii Eulera – „korpusów”) i dodając je do siebie (w tym przypadku zastępując sumowanie po wszystkich punktach całkowaniem po objętości obszaru zajmowanego przez ciało). Takie podejście pozwoliło Eulerowi uniknąć stosowania takich środków współczesnego rachunku całkowego (jak np. całka Stiltjesa), które w XVIII wieku nie były jeszcze znane.

Na podstawie tej zasady Euler otrzymał – stosując twierdzenie o zmianie pędu do elementarnej objętości materiału – pierwsze prawo ruchu Eulera (później pojawiło się także drugie prawo ruchu Eulera – wynik zastosowania twierdzenia o zmianie pędu). Prawa ruchu Eulera stanowiły w istocie podstawowe prawa ruchu mechaniki continuum; jedyne czego brakowało, aby przejść do obecnie stosowanych ogólnych równań ruchu dla takich ośrodków, to wyrażenie sił powierzchniowych poprzez tensor naprężeń (dokonał tego O. Cauchy w latach dwudziestych XIX wieku). Uzyskane wyniki Euler zastosował do badania konkretnych modeli ciał stałych – zarówno w dynamice ciał stałych (to we wspomnianych pamiętnikach po raz pierwszy podano równania dynamiki ciała o stałym punkcie, odniesionym do dowolnych osi kartezjańskich), jak i w hydrodynamice oraz w teorii sprężystości.

W teorii sprężystości wiele prac Eulera poświęconych jest teorii zginania belek i prętów; we wczesnych pracach (lata 1740) rozwiązał problem zginania wzdłużnego pręta sprężystego, układając i rozwiązując równanie różniczkowe zgiętej osi pręta. W 1757 r. w „O obciążeniu kolumn” Euler jako pierwszy w historii wyprowadził wzór na obciążenie krytyczne przy ściskaniu pręta sprężystego, co dało początek teorii stateczności układów sprężystych. Praktyczne zastosowanie tego wzoru nastąpiło znacznie później, prawie sto lat później, gdy wiele krajów (przede wszystkim Anglia) zaczęło budować koleje, co wymagało obliczania wytrzymałości mostów kolejowych; to właśnie wtedy inżynierowie przyjęli – po pewnym udoskonaleniu – model Eulera.

Euler jest – obok D. Bernoulliego i J. L. Lagrange’a – jednym z twórców analitycznej dynamiki płynów; przypisuje mu się tu stworzenie teorii ruchu płynu idealnego (tj. płynu bez lepkości) i rozwiązanie niektórych szczegółowych problemów mechaniki płynów. W „Zasadach ruchu płynów” (opublikowanych dziewięć lat później), stosując swoje równania dynamiki elementarnej objętości ośrodka ciągłego do modelu nieściśliwego płynu doskonałego, po raz pierwszy uzyskał dla takiego płynu równania ruchu, a także (dla ogólnego przypadku trójwymiarowego) równanie ciągłości. Badając ruch bezwirowy płynu nieściśliwego, Euler wprowadził funkcję S {S} (nazwaną później przez Helmholtza potencjałem prędkości) i pokazał, że spełnia ona równanie różniczkowe cząstkowe – w ten sposób do nauki weszło równanie, znane obecnie jako równanie Laplace’a.

Wyniki tej pracy zostały w znacznym stopniu uogólnione przez Eulera w rozprawie „Ogólne zasady ruchu płynów” (1755). Tutaj, dla przypadku ściśliwego płynu idealnego, przedstawił (praktycznie w nowoczesnym ujęciu) równanie ciągłości i równania ruchu (trzy skalarne równania różniczkowe, którym w postaci wektorowej odpowiada równanie Eulera – podstawowe równanie hydrodynamiki płynu idealnego). Euler zwrócił uwagę, że do zamknięcia tego układu czterech równań potrzebna jest relacja konstytutywna, która pozwala wyrazić ciśnienie p {p} (które Euler nazwał „sprężystością”) jako funkcję gęstości q {q} oraz „innej właściwości r {r} {displaystyle r}, która wpływa na sprężystość” (w rzeczywistości chodziło o temperaturę). Omawiając możliwość istnienia niepotencjalnych ruchów płynu nieściśliwego, Euler podał pierwszy konkretny przykład jego przepływu wirowego, a dla potencjalnych ruchów takiego płynu uzyskał pierwszą całkę – szczególny przypadek znanej obecnie całki Lagrange’a-Cauchy’ego.

Z tego samego roku pochodzi również memoriał Eulera „Ogólne zasady stanu równowagi cieczy”, który zawierał systematyczną prezentację hydrostatyki cieczy idealnej (w tym wyprowadzenie ogólnego równania równowagi cieczy i gazów) oraz wyprowadził wzór barometryczny dla atmosfery izotermicznej.

W powyższych pracach Euler, zapisując równania ruchu i równowagi płynu, przyjął jako niezależne zmienne przestrzenne współrzędne kartezjańskie aktualnego położenia cząstki materialnej – zmienne Eulera (D’Alambert jako pierwszy użył takich zmiennych w hydrodynamice). Później, w „O zasadach ruchu płynów. Section Two” (1770), Euler wprowadził drugą postać równań hydrodynamiki, w której za niezależne zmienne przestrzenne przyjęto współrzędne kartezjańskie położenia cząstki materialnej w początkowej chwili czasu (znane obecnie jako zmienne Lagrange’a).

Główne osiągnięcia w tej dziedzinie Euler zestawił w trzytomowej Dioptryce (łac. Dioptrica, 1769-1771). Wśród głównych wyników: zasady obliczania optymalnych charakterystyk refraktorów, reflektorów i mikroskopów, obliczanie największej jasności obrazu, największego pola widzenia, najkrótszej długości instrumentu, największego powiększenia, charakterystyki okularu.

Newton twierdził, że stworzenie soczewki achromatycznej jest zasadniczo niemożliwe. Euler twierdził, że połączenie materiałów o różnych właściwościach optycznych może rozwiązać ten problem. W 1758 roku, po długiej polemice, Eulerowi udało się przekonać angielskiego optyka Johna Dollonda, który następnie wykonał pierwszą soczewkę achromatyczną łącząc ze sobą dwie soczewki wykonane ze szkieł o różnym składzie, a w 1784 roku akademik F. Epinus w Petersburgu zbudował pierwszy na świecie mikroskop achromatyczny.

Astronomia

Euler pracował intensywnie w dziedzinie mechaniki nieba. Jednym z pilnych zadań było wówczas wyznaczenie parametrów orbity ciała niebieskiego (np. komety) z niewielkiej liczby obserwacji. Euler znacznie udoskonalił w tym celu metody numeryczne i praktycznie zastosował je do wyznaczenia eliptycznej orbity komety z 1769 r.; na pracach tych oparł się Gauss, który podał ostateczne rozwiązanie problemu.

Euler stworzył podstawy teorii perturbacji, uzupełnione później przez Laplace’a i Poincarégo. Wprowadził fundamentalne pojęcie oscylujących elementów orbity i wyprowadził równania różniczkowe określające ich zmianę w czasie. Skonstruował teorię precesji i nutacji osi Ziemi oraz przewidział „swobodny ruch biegunów” Ziemi, odkryty wiek później przez Chandlera.

W latach 1748-1751 Euler opublikował kompletną teorię aberracji światła i paralaksy. W 1756 roku opublikował równanie różniczkowe refrakcji astronomicznej i zbadał zależność refrakcji od ciśnienia i temperatury w miejscu obserwacji. Wyniki te miały ogromny wpływ na rozwój astronomii w następnych latach.

Euler stworzył bardzo precyzyjną teorię ruchu Księżyca, opracowując w tym celu specjalną metodę wariacji elementów orbitalnych. Następnie, w XIX wieku, metoda ta została rozszerzona i zastosowana do modeli ruchu dużych planet i jest stosowana do dziś. Tablice Mayera, obliczone na podstawie teorii Eulera (1767), okazały się również odpowiednie do rozwiązania pilnego problemu wyznaczania długości geograficznej na morzu, a Admiralicja angielska wypłaciła Mayerowi i Eulerowi za to specjalną nagrodę. Główne prace Eulera w tej dziedzinie:

Euler badał pole grawitacyjne nie tylko ciał kulistych, ale i elipsoidalnych, co stanowiło istotny krok naprzód. Był też pierwszym uczonym, który zwrócił uwagę na sekularne przesunięcie pochylenia płaszczyzny ekliptyki (1756), a za jego sugestią jako punkt odniesienia przyjęto odtąd pochylenie z początku 1700 roku. Opracował podstawy teorii ruchu satelitów Jowisza i innych silnie ściśniętych planet.

W 1748 roku, na długo przed pracami P.N. Lebiediewa, Euler postawił hipotezę, że ogony komet, zorze polarne i światło zodiakalne łączy wpływ promieniowania słonecznego na atmosferę lub substancję ciał niebieskich.

Teoria muzyki

Przez całe życie Euler interesował się harmonią muzyczną, starając się nadać jej wyraźne podstawy matematyczne. Celem jego wczesnego dzieła, Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739), było matematyczne opisanie, czym różni się muzyka przyjemna (eufoniczna) od nieprzyjemnej (niemiłej). Na końcu rozdziału VII „Doświadczenia” Euler ułożył interwały w „stopnie ugodowości” (gradus suavitatis), przy czym oktawie przypisano II (niektóre klasy (m.in. pierwsza, trzecia i szósta) w tabeli ugodowości Eulera zostały pominięte. O dziele tym żartowano, że zawiera zbyt dużo muzyki dla matematyków i zbyt dużo matematyki dla muzyków.

U schyłku życia, w 1773 r., Euler wygłosił w petersburskiej Akademii Nauk referat, w którym sformułował swoje kratowe przedstawienie systemu dźwiękowego w jego ostatecznej postaci; przedstawienie to autor określił metaforycznie jako „zwierciadło muzyki” (łac. speculum musicae). W następnym roku praca Eulera została opublikowana jako niewielki traktat De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis („O prawdziwych podstawach harmonii przedstawionych poprzez speculum musicae”). Pod nazwą Tonnetz, siatka Eulera była szeroko stosowana w XIX-wiecznej niemieckiej teorii muzyki.

Inne dziedziny wiedzy

W 1749 roku Euler wydał dwutomową monografię „The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation”, w której zastosował metody analityczne do praktycznych problemów budowy statków i nawigacji na morzu, takich jak kształt statków, zagadnienia stateczności i równowagi, metody sterowania ruchem statków. Ogólna teoria stabilności statków Kryłowa opiera się na „Nauce o morzu”.

Zainteresowania naukowe Eulera obejmowały również fizjologię, w szczególności zastosował metody hydrodynamiki do badania zasad przepływu krwi w naczyniach. W 1742 r. przesłał do Akademii w Dijon artykuł o przepływie płynów w elastycznych rurkach (traktowanych jako modele naczyń), a w grudniu 1775 r. przedstawił petersburskiej Akademii Nauk memoriał Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Zasady określania ruchu krwi przez tętnice). Praca ta analizowała fizyczne i fizjologiczne zasady ruchu krwi wywołanego okresowymi skurczami serca. Traktując krew jako płyn nieściśliwy, Euler znalazł rozwiązanie równań ruchu, które ułożył dla przypadku rur sztywnych, a w przypadku rur sprężystych ograniczył się do wyprowadzenia ogólnych równań ruchu skończonego.

Jednym z głównych zadań powierzonych Eulerowi po przybyciu do Rosji było kształcenie kadr naukowych. Wśród bezpośrednich uczniów Eulera:

Jednym z priorytetów Eulera było tworzenie podręczników. Sam napisał „Podręcznik arytmetyki do użytku w gimnazjum Cesarskiej Akademii Nauk” (1738-1740), „Arytmetykę uniwersalną” (1768-1769). Euler, według Fussa, uciekł się do oryginalnej metody – dyktował podręcznik chłopcu-służącemu, obserwując, jak ten rozumie tekst. W rezultacie chłopiec nauczył się rozwiązywać problemy i wykonywać obliczenia samodzielnie.

Euler jest nazwany jego imieniem:

Kompletne dzieła Eulera, wydawane od 1909 r. przez Szwajcarskie Towarzystwo Przyrodników, są nadal niekompletne; planowano 75 tomów, z których opublikowano 73:

Osiem dodatkowych tomów zostanie poświęconych korespondencji naukowej Eulera (ponad 3000 listów).

W 1907 roku rosyjscy i wielu innych naukowców obchodziło 200. urodziny wielkiego matematyka, a w 1957 roku radziecka i berlińska Akademia Nauk poświęciła uroczyste sesje jego 250. urodzinom. W przeddzień 300. rocznicy urodzin Eulera (2007) w Petersburgu odbyło się międzynarodowe forum jubileuszowe oraz nakręcono film o życiu Eulera. W tym samym roku przy wejściu do Międzynarodowego Instytutu Eulera w Petersburgu odsłonięto pomnik Eulera. Władze Petersburga odrzuciły jednak wszystkie propozycje nazwania placu lub ulicy imieniem uczonego; w Rosji nadal nie ma ulicy Eulera.

Cechy osobiste i oceny

Według współczesnych Euler miał życzliwe serce, łagodny charakter i prawie z nikim się nie kłócił. Nawet Johann Bernoulli, którego twardego charakteru doświadczyli jego brat Jakub i syn Daniel, był dla niego niezawodnie ciepły. Euler do pełni życia potrzebował tylko jednego – możliwości regularnej twórczości matematycznej. Potrafił intensywnie pracować nawet „z dzieckiem na kolanach i kotem na plecach”. Jednocześnie Euler był wesoły, towarzyski, kochał muzykę i rozmowy filozoficzne.

Akademik P.P. Pekarsky, opierając się na świadectwach współczesnych Eulerowi, zrekonstruował obraz uczonego: „Euler miał wielką sztukę nie afiszowania się ze swoją uczonością, ukrywania swojej wyższości i bycia na poziomie każdego. Zawsze równe usposobienie, łagodna i naturalna wesołość, pewne szyderstwo z domieszką dobroduszności, naiwność i humor w rozmowie – wszystko to sprawiało, że rozmowa z nim była równie przyjemna, co atrakcyjna.

Jak zauważają współcześni, Euler był bardzo religijny. Według Condorceta, każdego wieczoru Euler zbierał swoje dzieci, służbę i uczniów, którzy z nim mieszkali, aby się modlić. Czytał im rozdział z Biblii, a czasem towarzyszyło temu czytaniu kazanie. W 1747 roku Euler opublikował traktat w obronie chrześcijaństwa przed ateizmem „Obrona objawienia Bożego przed atakami wolnomyślicieli”. Fascynacja Eulera rozumowaniem teologicznym spowodowała negatywny stosunek do niego (jako filozofa) jego słynnych współczesnych – D’Alemberta i Lagrange’a. Fryderyk II, który uważał się za „wolnomyśliciela” i korespondował z Wolterem, stwierdził, że Euler „cuchnie księdzem”.

Euler był troskliwym człowiekiem rodzinnym, chętnie pomagał kolegom i młodzieży, hojnie dzieląc się z nimi swoimi pomysłami. Wiadomo, że Euler opóźnił swoje publikacje na temat rachunku wariacyjnego, aby młody i nieznany wówczas Lagrange, który niezależnie doszedł do tych samych odkryć, mógł je opublikować jako pierwszy. Lagrange zawsze podziwiał Eulera zarówno jako matematyka, jak i jako człowieka; powiedział: „Jeśli naprawdę kochasz matematykę, czytaj Eulera”.

„Czytaj, czytaj Eulera, jest on naszym wspólnym nauczycielem”, jak lubił powtarzać Laplace (fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous). Prace Eulera studiował z wielkim pożytkiem „król matematyków” Karl Friedrich Gauss i praktycznie wszyscy słynni naukowcy XVIII i XIX wieku.

D’Alambert w jednym ze swoich listów do Lagrange’a nazywa Eulera „tym diabłem” (frès se diable d’homme), jakby chcąc przez to wskazać, według komentatorów, że to, czego dokonał Euler, było ponad ludzkie siły.

М. W. Ostrogradski w liście do N. N. Fussa stwierdził: „Euler stworzył nowoczesną analizę, wzbogacił ją bardziej niż wszyscy jego następcy razem wzięci i uczynił z niej najpotężniejsze narzędzie ludzkiego rozumu”. Akademik S. I. Wawiłow napisał: „Wraz z Piotrem I i Łomonosowem Euler stał się dobrym geniuszem naszej Akademii, który określił jej chwałę, jej twierdzę, jej wydajność”.

Adresy zamieszkania

W latach 1743-1766 Euler mieszkał w domu przy Berenstrasse 21

Od 1766 roku Euler mieszkał w kamienicy przy Wale Nikołajewskim 15 (z przerwą spowodowaną wielkim pożarem). W czasach radzieckich ulica została przemianowana na Nabrzeże porucznika Schmidta. Na domu znajduje się tablica pamiątkowa, a obecnie mieści się w nim szkoła średnia.

Znaczki, monety, banknoty

W 2007 roku Rosyjski Bank Centralny wyemitował monetę okolicznościową upamiętniającą 300. rocznicę urodzin L. Eulera. Portret Eulera został również umieszczony na szwajcarskim banknocie o nominale 10 franków (seria 6) oraz na znaczkach pocztowych Szwajcarii, Rosji i Niemiec.

Olimpiady matematyczne

Bardzo wiele faktów z geometrii, algebry i kombinatoryki udowodnionych przez Eulera jest powszechnie stosowanych w matematyce olimpijskiej.

15 kwietnia 2007 r. odbyła się internetowa olimpiada matematyczna dla uczniów z okazji 300. rocznicy urodzin Leonharda Eulera, wspierana przez szereg organizacji. Od 2008 roku odbywa się Olimpiada Matematyczna im. Leonharda Eulera dla ósmoklasistów, mająca częściowo zastąpić utratę etapów regionalnych i finałowych Ogólnorosyjskiej Olimpiady Matematycznej dla ósmoklasistów.

Historycy odkryli nieco ponad tysiąc bezpośrednich potomków Leonharda Eulera. Najstarszy syn Johann Albrecht został wielkim matematykiem i fizykiem. Drugi syn Karl był słynnym lekarzem. Młodszy syn Krzysztof został później generałem porucznikiem w armii rosyjskiej i dowódcą Fabryki Broni w Sestroretsku. Wszystkie dzieci Eulera przyjęły obywatelstwo rosyjskie (sam Euler przez całe życie pozostał poddanym szwajcarskim).

Według stanu na koniec lat 80. historycy liczyli około 400 żyjących potomków, z których około połowa mieszkała w ZSRR.

Oto krótkie drzewo genealogiczne niektórych znanych potomków Eulera (podano nazwisko, jeśli nie jest to „Euler”).

Inni potomkowie Eulera to N. I. Gekker, V. F. Gekker i I. R. Gekker, V. E. Scalon i E. N. Behrendts. Wśród potomków jest wielu naukowców, geologów, inżynierów, dyplomatów i lekarzy; jest też dziewięciu generałów i jeden admirał. Potomkiem Eulera jest przewodniczący Petersburskiego Międzynarodowego Klubu Kryminologicznego, D.A. Szestakow.

Źródła

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. 300-летие со дня рождения Л. Эйлера  (неопр.). Серия: Выдающиеся личности России. Центральный банк Российской Федерации (2 апреля 2007). Дата обращения: 22 октября 2008. Архивировано 14 января 2012 года.
7. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
8. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
9. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
10. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
11. Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, S. 2.
12. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
13. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
14. ^ The quote appeared in Gugliemo Libri’s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: „… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : 'Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.’ ” [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: 'Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][137]
15. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
16. Dunham 1999, p. xiii
17. Bogolyubov, Mikhailov et Yushkevich 2007, p. 400.
18. (en) Ioan James, Remarkable Mathematicians : From Euler to von Neumann, Cambridge, 2002 (ISBN 0-521-52094-0), p. 2.
19. Calinger 1996, p. 125.