Arquimedes

gigatos | Janeiro 7, 2022

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Resumo

Arquimedes de Siracusa (Syracuse, c. 287 AC – Syracuse, 212 AC) foi um matemático, físico e inventor siceliano.

Considerado como um dos maiores cientistas e matemáticos da história, contribuiu para o avanço do conhecimento em áreas que vão da geometria à hidrostática, óptica e mecânica: Foi capaz de calcular a superfície e o volume da esfera e formulou as leis que regem a flutuabilidade dos corpos; no campo da engenharia, descobriu e explorou os princípios de funcionamento das alavancas e o seu próprio nome está associado a numerosas máquinas e dispositivos, tais como o parafuso de Arquimedes, demonstrando a sua capacidade inventiva; ainda rodeado por uma aura de mistério estão as máquinas de guerra que Arquimedes teria preparado para defender Siracusa do cerco romano.

A sua vida é recordada através de numerosas anedotas, por vezes de origem incerta, que ajudaram a construir a figura do cientista no imaginário colectivo. Por exemplo, a sua exclamação èureka! (εὕρηκα! – Encontrei-o!) atribuído a ele após a descoberta do princípio da flutuabilidade dos corpos que ainda levam o seu nome.

Elementos históricos

Há pouca informação certa sobre a sua vida. Todas as fontes concordam que ele era siracusano e que foi morto durante o saque romano de Siracusa em 212 AC. Há também o relatório, transmitido por Diodorus Siculus, de que ele permaneceu no Egipto e que foi em Alexandria que ele fez amizade com o matemático e astrónomo Conon de Samos. Muito provavelmente não foi este o caso: o cientista teria querido entrar em contacto com os estudiosos da época pertencentes à escola de Alexandria, a quem enviou muitos dos seus escritos. Durante esta hipotética estadia, diz-se que Arquimedes inventou o ”parafuso hidráulico”.

A única coisa certa é que ele esteve de facto em contacto com Conon (como se pode ver pelos lamentos sobre a sua morte expressos em algumas das suas obras), com quem pode ter-se encontrado na Sicília. Correspondeu com vários cientistas em Alexandria, incluindo Eratóstenes, a quem dedicou o seu tratado O Método e Dositheus. Um bom exemplo da colaboração entre o cientista e os alexandrinos é a carta de apresentação do tratado sobre Espirais.

Segundo Plutarco, ele era parente do monarca Hieron II. A tese é controversa mas é apoiada pela estreita amizade e estima que, de acordo com outros autores, os ligava. A data de nascimento não é certa. A data de 287 a.C. é geralmente aceite, com base em informações do estudioso bizantino John Tzetzes, que morreu aos setenta e cinco anos de idade. Não se sabe, no entanto, se Tzetzes confiava em fontes fiáveis, agora perdidas, ou se apenas tentava quantificar o facto, relatado por vários autores, de que Arquimedes era velho na altura da sua morte. A hipótese de que ele era filho de um astrónomo siracusano chamado Phidias (caso contrário desconhecido) baseia-se na reconstrução de uma frase de Arquimedes pelo filólogo Friedrich Blass, contida no Arenarius, que nos manuscritos tinha chegado corrompida e sem sentido. Se esta hipótese estiver correcta, pode-se assumir que ele herdou o amor do seu pai pelas ciências exactas.

Das obras que foram preservadas e dos testemunhos, sabe-se que ele tratou de todos os ramos da ciência que tinha no seu tempo (aritmética, geometria plana e sólida, mecânica, óptica, hidrostática, astronomia, etc.) e com várias aplicações tecnológicas.

Polybius, relata que durante a Segunda Guerra Púnica, a pedido de Hieron II, dedicou-se (segundo Plutarco com menos entusiasmo mas de acordo com os três com grande sucesso) à construção de máquinas de guerra que ajudariam a sua cidade a defender-se contra o ataque romano. Plutarco diz que contra as legiões e a poderosa frota de Roma, Siracusa tinha apenas alguns milhares de homens e a genialidade de um homem velho; as máquinas de Arquimedes teriam lançado pedras ciclópicas e uma tempestade de ferro contra os sessenta enormes quinquerems de Marcus Claudius Marcellus. Foi morto em 212 AC, durante o saque de Siracusa. Segundo a tradição, o assassino era um soldado romano que, não o tendo reconhecido, não cumpriu a ordem de o capturar vivo.

Arquimedes era muito estimado tanto no seu próprio país, onde era um ponto de referência para o Rei Hieron, em Alexandria, onde correspondia aos matemáticos mais ilustres do seu tempo, como entre os romanos, tanto que, segundo a lenda, recebeu ordens para ser capturado vivo (mas foi morto). O comandante romano mandou construir um túmulo em sua honra.

A figura de Arquimedes fascinou os seus contemporâneos a tal ponto que, ao longo do tempo, os acontecimentos biográficos se entrelaçaram intimamente com lendas e ainda é difícil distinguir elementos ficcionais da realidade histórica. Acrescente-se à falta de provas o facto de Arquimedes ter escrito apenas trabalhos teóricos e especulativos.

Duas anedotas famosas

Na imaginação colectiva, Arquimedes está indissociavelmente ligado a duas anedotas. Vitruvius diz-nos que começou a trabalhar na hidrostática porque o Rei Hieron II lhe pediu para determinar se uma coroa tinha sido feita de ouro puro ou utilizando outros metais (dentro da coroa). Descobriu como resolver o problema enquanto tomava banho, notando que a imersão na água provocou a subida do seu nível. A observação tê-lo-ia feito tão feliz que teria deixado a sua casa nu e corrido pelas ruas de Siracusa, exclamando ”εὕρηκα” (èureka!, encontrei-o!). Se não tivéssemos tido conhecimento do tratado sobre corpos flutuantes, não poderíamos ter deduzido o nível de hidrostática arquimédica da conta Vitruviana.

Vitruvius relata que o problema teria sido resolvido medindo os volumes da coroa e de um peso igual de ouro, mergulhando-os num recipiente cheio de água e medindo a água transbordada. No entanto, este procedimento é implausível, tanto porque envolve um erro demasiado grande como porque não tem qualquer relação com a hidrostática desenvolvida por Arquimedes. De acordo com uma reconstrução mais fiável, atestada na antiguidade tardia, Arquimedes tinha sugerido pesar a coroa e uma quantidade igual de ouro, ambos imersos em água. Se a coroa tivesse sido de ouro puro, o balanço teria sido equilibrado. No entanto, uma vez que a balança se inclinava para o lado do ouro, podia deduzir-se que, uma vez que os pesos eram iguais, a coroa tinha sofrido um maior impulso hidrostático ascendente, devendo, portanto, ter tido um volume maior, o que implicava que devia ter sido feita utilizando outros metais, uma vez que estes metais (como a prata, por exemplo) tinham uma densidade inferior à do ouro.

De acordo com outra anedota igualmente famosa, Arquimedes (ou Hieron) foi capaz de mover um navio utilizando uma máquina que ele tinha inventado. Exaltado pela sua capacidade de construir máquinas que poderiam mover grandes pesos com pequenas forças, diz-se que exclamou nesta ou em qualquer outra ocasião: ”Dá-me uma base e eu levantarei a Terra”. A frase é citada, com ligeiras variações, por vários autores, incluindo Pappus of Alexandria.

Lendas da morte

A lenda também transmitiu à posteridade as últimas palavras de Arquimedes, dirigidas ao soldado que estava prestes a matá-lo: ”noli, obsecro, istum disturbare” (não estrague, por favor, este desenho). três versões diferentes da morte de Arquimedes.

No primeiro, diz-se que um soldado romano ordenou a Arquimedes que o seguisse até Marcelo; quando ele recusou, o soldado matou-o.

No segundo, diz-se que um soldado romano veio para matar Arquimedes e este último implorou-lhe em vão que o deixasse terminar a manifestação em que estava empenhado.

No terceiro, diz-se que os soldados encontraram Arquimedes enquanto ele trazia Marcelo alguns instrumentos científicos, solenes, esferas e quadrados, numa caixa; pensando que a caixa continha ouro, diz-se que os soldados o mataram para o apreenderem.

Segundo Titus Livius Marcellus, que teria conhecido e apreciado o imenso valor do génio de Arquimedes e talvez quisesse usá-lo ao serviço da República, ficou profundamente entristecido com a sua morte. Estes autores dizem que mandou o cientista fazer um enterro honroso. Contudo, isto não é relatado pela Polybius, que é considerada a fonte mais autorizada no cerco e no saque de Siracusa.

Cícero diz ter descoberto o túmulo de Arquimedes graças a uma esfera inscrita num cilindro, que foi supostamente esculpida de acordo com a vontade do cientista.

Portaria

Arquimedes deve muito da sua popularidade à sua contribuição para a defesa de Siracusa contra o cerco romano durante a Segunda Guerra Púnica. Polybius, Livy e Plutarch descrevem máquinas de guerra da sua invenção, incluindo o manus ferrea, uma garra mecânica capaz de virar navios inimigos, e armas a jacto aperfeiçoadas por ele.

No século II, o escritor Lucian de Samosata relatou que durante o cerco de Siracusa (ca. 214-212 a.C.), Arquimedes destruiu navios inimigos com fogo. Séculos mais tarde, Antemius de Tralles menciona ”lentes com fogo” como armas concebidas por Arquimedes. O instrumento, chamado “espelhos ardentes de Arquimedes”, foi concebido com o objectivo de concentrar a luz solar na aproximação de navios, fazendo com que estes se incendiassem.

Esta arma hipotética tem sido objecto de debates sobre a sua veracidade desde a Renascença. René Descartes acreditava que era falso, enquanto que os investigadores modernos tentaram recriar o efeito utilizando os únicos meios disponíveis para Arquimedes. Tem sido sugerido que uma grande variedade de escudos de bronze ou cobre polidos tinha sido utilizada como espelhos para focar a luz solar numa nave. Isto teria utilizado o princípio da reflexão parabólica de uma forma semelhante a um forno solar.

Uma experiência para testar os espelhos ardentes de Arquimedes foi levada a cabo em 1973 pelo cientista grego Ioannis Sakkas. A experiência teve lugar na base naval de Skaramagas, nos arredores de Atenas. Nesta ocasião, foram utilizados 70 espelhos, cada um com um revestimento de cobre e com um tamanho de cerca de 1,5 metros. Os espelhos foram apontados a uma réplica de um navio de guerra romano a uma distância de cerca de 50 metros. Quando os espelhos focaram os raios solares com precisão, o navio incendiou-se em segundos. O modelo tinha um revestimento de tinta de alcatrão que pode ter ajudado a combustão. Um tal revestimento teria sido comum em navios daquela época.

Syracuse

Moschion, numa obra de que Ateneu dá grandes excertos, descreve um imenso navio encomendado pelo rei Hieron II e construído por Arquívias de Corinto O navio, o mais imponente da antiguidade, chamava-se Siracusia. O nome foi alterado para Alexandria quando foi enviado como presente ao Rei Ptolomeu III do Egipto juntamente com uma carga de cereais, para demonstrar a riqueza da cidade siciliana. Para este barco, Arquimedes adoptou um instrumento, a cóclea, que permitiu que a água fosse bombeada para fora dos porões, mantendo-os secos.

Relógio de água

Um manuscrito árabe contém uma descrição de um engenhoso relógio de água concebido por Arquimedes. No relógio, a saída de água foi mantida constante com a introdução de uma válvula flutuante.

O relógio consistia em dois tanques, um elevado por cima do outro. A superior estava equipada com uma torneira que fornecia um fluxo constante de água para a bacia inferior.

Acima da bacia inferior estava uma tábua giratória à qual foi enrolado um fio nas extremidades do qual foi amarrada uma pequena pedra e um flutuador.

No início do dia, o tanque inferior tinha de estar vazio e a linha puxada para baixo de modo a que o flutuador tocasse o fundo e a pedra subisse até ao topo.

O comprimento da linha e o fluxo de água foram calibrados de modo a que fossem 12 horas quando o flutuador estava na altura da pedra e 6 horas à tarde quando a pedra estava no fundo.

Arquimedes enfrentou o problema de manter um fluxo constante da torneira: à medida que a bacia superior se esvaziava, a pressão da água diminuía e o fluxo diminuía. Assim, acrescentou um terceiro tanque mais alto que os dois primeiros, que enchia o segundo tanque por meio de um flutuador para manter o nível constante e, assim, a pressão com que a água saía da torneira.

Arquimedes também é hoje creditado por ser o primeiro a interpretar o tempo como uma quantidade física que pode ser analisada com as ferramentas matemáticas utilizadas para quantidades geométricas (por exemplo, no seu tratado sobre Espirais ele representa intervalos de tempo com segmentos e aplica a teoria das proporções de Euclides a eles).

Invenções mecânicas

Ateneu, dizem que Arquimedes tinha concebido uma máquina com a qual um único homem podia mover um navio com tripulação e carga. Em Ateneu, o episódio refere-se ao lançamento do Syracuse, enquanto Plutarco fala de uma experiência demonstrativa, levada a cabo para mostrar ao soberano as possibilidades da mecânica. Estes relatos contêm sem dúvida exageros, mas o facto de Arquimedes ter desenvolvido a teoria mecânica que permitiu a construção de máquinas com uma elevada vantagem mecânica garante que estas tinham uma base real.

Segundo o testemunho de Ateneu, ele tinha inventado o mecanismo de bombeamento de água, utilizado para irrigar os campos cultivados, conhecido como parafuso de Arquimedes.

O historiador da tecnologia André W. Sleeswyk também atribuiu o odómetro, descrito por Vitruvius, a Arquimedes.

O Architronito, descrito por Leonardo da Vinci, era um canhão a vapor cuja invenção pode ser rastreada até Archimedes de Siracusa por volta de 200 AC. Pensa-se que a máquina foi utilizada no cerco de Siracusa em 212 AC e em 49 AC, como atestado por Júlio César durante o cerco de Marselha.

O planetário

Uma das realizações mais admiradas de Arquimedes na antiguidade foi o planetário. A melhor informação sobre esta engenhoca é fornecida por Cícero, que escreve que em 212 AC, quando Siracusa foi saqueada pelas tropas romanas, o cônsul Marcus Claudius Marcellus trouxe para Roma um dispositivo construído por Arquimedes que reproduzia o cofre do céu numa esfera e outro que previa o movimento aparente do sol, da lua e dos planetas, equivalente assim a uma esfera armilar moderna. Cícero, relatando as impressões de Gaius Sulpicius Gallus que tinha observado o objecto extraordinário, sublinha como a genialidade de Arquimedes tinha conseguido gerar os movimentos dos planetas, tão diferentes uns dos outros, a partir de uma única rotação. É conhecido graças a Pappo que Arquimedes tinha descrito a construção do planetário no seu trabalho perdido sobre a Construção das Esferas.

A descoberta da máquina Antikythera, um dispositivo de engrenagem que, segundo algumas pesquisas, remonta à segunda metade do século II a.C., demonstrando quão elaborados foram os mecanismos construídos para representar o movimento das estrelas, reacendeu o interesse no planetário de Arquimedes. Uma engrenagem que pode ser identificada como pertencente ao planetário de Arquimedes foi alegadamente encontrada em Julho de 2006 em Olbia; estudos sobre a descoberta foram apresentados ao público em Dezembro de 2008. Segundo uma reconstrução, o planetário, que se diz ter passado aos descendentes do conquistador de Siracusa, pode ter-se perdido no subsolo em Olbia (um provável porto de escala para a viagem) antes do naufrágio do navio que transportava Marcus Claudius Marcellus (cônsul 166 a.C.) para Numidia.

Medição do diâmetro da pupila

No Arenarius (livro I, cap. 13), depois de mencionar um método para medir o ângulo do Sol usando uma regra graduada na qual colocou um pequeno cilindro, Arquimedes observa que o ângulo assim formado (vértice no olho e linhas tangentes às bordas do cilindro e do Sol) não exprime uma medida correcta porque o tamanho da pupila ainda não é conhecido. Assim, ao colocar um segundo cilindro de cor diferente e ao colocar o olho numa posição mais atrás do fim da régua, obtém desta forma o diâmetro médio da pupila e, consequentemente, uma estimativa mais precisa do diâmetro do Sol. A discussão mesmo breve sobre o assunto sugere que Arquimedes, em vez de se referir aos escritos de Euclides, neste caso também teve em conta os estudos de Herófilo de Calcedónia, que tinha dedicado vários escritos à composição do olho, todos eles totalmente perdidos e conhecidos apenas através das citações de Galeno.

As realizações científicas de Arquimedes podem ser expostas descrevendo primeiro o conteúdo das obras preservadas e depois as provas das obras perdidas.

Obras conservadas

Já na Bíblia foi sugerido que a relação do semicírculo para o raio era cerca de 3 e esta aproximação era universalmente aceite.

No breve trabalho La misura del cerchio (A medida do círculo), Arquimedes demonstra, antes de mais nada, que um círculo é equivalente a um triângulo com base igual em comprimento à circunferência e altura igual ao raio. Este resultado é obtido aproximando o círculo, por dentro e por fora, com polígonos regulares que estão inscritos e circunscritos. Com o mesmo procedimento, Arquimedes expõe um método pelo qual pode aproximar o mais possível a relação, que hoje é indicada por π, entre o comprimento de uma circunferência e o diâmetro de um determinado círculo. As estimativas obtidas limitam este valor entre 227 (cerca de 3,1429) e 22371 (cerca de 3,1408).

Na obra Quadrature de la parabola (que Arquimedes dedicou a Dositeo), calcula-se a área de um segmento de parábola, uma figura delimitada por uma parábola e uma linha secante, não necessariamente ortogonal ao eixo da parábola, descobrindo que vale 43 da área do triângulo máximo nela inscrita.

É demonstrado que o triângulo máximo inscrito pode ser obtido através de um determinado procedimento. O segmento do secante entre os dois pontos de intersecção é chamado a base do segmento da parábola. São consideradas as linhas paralelas ao eixo da parábola e que atravessam as extremidades da base. Uma terceira linha paralela às duas primeiras linhas e equidistante delas é então traçada.

A intersecção desta última linha com a parábola determina o terceiro vértice do triângulo. Se subtrairmos o triângulo máximo inscrito do segmento da parábola, obtemos dois novos segmentos de parábola nos quais dois novos triângulos podem ser inscritos. O segmento da parábola é então preenchido com um número infinito de triângulos.

A área requerida é obtida calculando as áreas dos triângulos e somando os termos infinitos obtidos. A etapa final reduz-se à soma da série geométrica da razão 14:

Este é o primeiro exemplo conhecido da soma de uma série. No início dos trabalhos, é introduzido o que agora se chama Axioma de Arquimedes.

Dado um segmento de parábola limitado pelo AC secante, inscreve-se um primeiro triângulo máximo ABC.

Nos 2 segmentos da parábola AB e BC, estão inscritos 2 outros triângulos ADB e BEC.

Continuar da mesma forma para os quatro segmentos da parábola AD, DB, BE e EC para formar os triângulos AFD, DGB, BHE e EIC.

Usando as propriedades da parábola, mostramos que a área do triângulo ABC é igual a 4 vezes a área de ADB + BEC e que:ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}

Cada passo adiciona 14 da área do triângulo anterior à área do triângulo.

Basta agora mostrar que o polígono construído desta forma aproxima-se realmente do segmento da parábola e que a soma da série de áreas dos triângulos é igual a 43 do primeiro triângulo.

Sobre o equilíbrio dos aviões, ou melhor: sobre os centros de gravidade dos aviões, uma obra em dois livros, é o primeiro tratado sobre a estática que nos chegou até nós. Arquimedes expõe uma série de postulados nos quais baseia a sua nova ciência e demonstra a lei da alavanca. Os postulados também definem implicitamente o conceito de centro de gravidade, cuja posição é determinada no caso de várias figuras geométricas planas.

Em On Spirals, que é uma das suas principais obras, Arquimedes define com um método cinemático o que hoje se chama a espiral de Arquimedes e obtém dois resultados de grande importância. Primeiro, calcula a área da primeira curva da espiral, utilizando um método que antecipa a integração de Riemann. Definição de Arquimedes da espiral: uma linha recta com uma extremidade fixa roda uniformemente; um ponto move-se uniformemente sobre ela: a curva descrita por este ponto será a espiral.

Os principais resultados de Della sfera e del cilindro, uma obra em dois livros, são que a área da superfície da esfera é quatro vezes a área do seu círculo máximo e que o volume da esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito.

Segundo uma tradição transmitida por Plutarco e Cícero, Arquimedes estava tão orgulhoso deste último feito que queria que fosse reproduzido como um epitáfio no seu túmulo.

No trabalho Sobre conóides e esferóides Arquimedes define elipsóides, parabolóides e hiperbolóides de rotação, considera segmentos obtidos através da secção destas figuras com planos e calcula os seus volumes.

Sobre Corpos Flutuantes é uma das principais obras de Arquimedes, com a qual foi fundada a ciência da hidrostática. No primeiro dos dois livros da obra, é enunciado um postulado do qual se deduz como teorema o que hoje se chama impropriamente “princípio de Arquimedes”. Para além de calcular as posições de equilíbrio estático dos flutuadores, mostra-se que, em condições de equilíbrio, a água nos oceanos assume uma forma esférica. Desde a época de Parménides, os astrónomos gregos sabem que a Terra tem uma forma esférica, mas aqui, pela primeira vez, ela é deduzida a partir de princípios físicos.

O segundo livro estuda a estabilidade do equilíbrio dos segmentos parabolóides flutuantes. O problema foi escolhido devido ao interesse das suas aplicações à tecnologia naval, mas a solução é também de grande interesse matemático. Archimedes estuda a estabilidade como dois parâmetros variam, um parâmetro de forma e outro de densidade, e determina valores limiares para ambos os parâmetros que separam as configurações estáveis das instáveis. Para E.J. Dijksterhuis, estes resultados estão “definitivamente para além dos limites da matemática clássica”.

Em Arenarius (ver link no fundo para a tradução italiana), dirigido a Gelon II, Arquimedes propõe-se determinar o número de grãos de areia que poderiam encher a esfera de estrelas fixas. O problema surge do sistema grego de numeração, que não permite que números tão grandes sejam expressos. Embora este trabalho seja a mais simples das técnicas matemáticas de Arquimedes, é interessante em vários aspectos. Em primeiro lugar, introduz um novo sistema numérico, que virtualmente permite a geração de números que são, por muito grandes que sejam. O maior número mencionado é o agora escrito 108-1016. O contexto astronómico justifica então duas importantes digressões. A primeira relaciona-se com a teoria heliocêntrica de Aristarco e é a principal fonte sobre o assunto; a segunda descreve uma medição precisa da aparente magnitude do Sol, fornecendo uma rara ilustração do antigo método experimental. Note-se, contudo, que o desafio às teses heliocêntricas de Aristarco é principalmente geométrico, não astronómico, porque mesmo assumindo de facto que o cosmos é uma esfera com a Terra no seu centro, Arquimedes assinala que o centro da esfera não tem magnitude e não pode ter qualquer relação com a superfície; Livro I, Cap. 6.

De um ponto de vista científico, as demonstrações de alavancas de Arquimedes são bastante inovadoras. Na realidade, o cientista siceliano adopta um método rigorosamente dedutivo baseado na mecânica do equilíbrio dos corpos sólidos. Para o fazer, demonstrou as suas teses e conceitos de equilíbrio e baricentro através da teoria das proporções e em termos geométricos. A partir destes estudos, foi postulada a 1ª lei de equilíbrio da alavanca:

Com base na ideia de um equilíbrio, constituído por um segmento e um fulcro, do qual dois corpos pendem em equilíbrio, pode-se afirmar que o peso dos dois corpos é directamente proporcional à área e ao volume dos corpos.Segundo a lenda, Arquimedes disse: “Dá-me uma alavanca e eu levantarei o mundo” após descobrir a segunda lei das alavancas. Utilizando alavancas vantajosas, cargas pesadas podem ser levantadas com uma pequena força, de acordo com a lei:

P:R=bR:bP{displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}}

onde P{displaystyle P} é o poder e R{displaystyle R} é a resistência, enquanto bP{displaystyle b_{P} e bR{displaystyle b_{R}} são os respectivos braços de acção.

O pequeno trabalho O Método dos Problemas Mecânicos, perdido pelo menos desde a Idade Média, foi lido pela primeira vez no famoso palimpsesto encontrado por Heiberg em 1906, depois perdido novamente, provavelmente roubado por um monge durante uma transferência de manuscritos, e redescoberto em 1998. Fornece uma visão dos procedimentos utilizados por Arquimedes na sua investigação. Referindo-se a Eratóstenes, ele explica que utilizou dois métodos no seu trabalho.

Uma vez encontrado o resultado, utilizou o que mais tarde foi chamado o método de exaustão para o demonstrar formalmente, do qual há muitos exemplos nas suas outras obras. No entanto, este método não forneceu uma chave para identificar os resultados. Para este efeito, Arquimedes utilizou um “método mecânico”, baseado na sua estática e na ideia de dividir figuras num número infinito de partes infinitesimais. Arquimedes considerou este método como não rigoroso mas, em benefício de outros matemáticos, deu exemplos do seu valor heurístico em encontrar áreas e volumes; por exemplo, o método mecânico é utilizado para encontrar a área de um segmento de parábola.

O método também tem conotações filosóficas na medida em que coloca o problema de considerar a aplicação da matemática à física como um constrangimento necessário. Arquimedes utilizou a intuição para obter resultados mecânicos imediatos e inovadores, mas depois começou a demonstrá-los rigorosamente de um ponto de vista geométrico.

Fragmentos e testemunhos de obras perdidas

O estômago é um puzzle grego semelhante ao tangram, ao qual Arquimedes dedicou uma obra da qual restam dois fragmentos, um em tradução árabe, o outro contido no Palimpsesto de Arquimedes. As análises efectuadas no início dos anos 2000 permitiram a leitura de novas porções, o que esclarece que o objectivo de Arquimedes era determinar de quantas formas as figuras componentes poderiam ser montadas na forma de um quadrado. É um problema difícil em que os aspectos combinatórios estão entrelaçados com aspectos geométricos.

O problema dos bois consiste em dois manuscritos com um epigrama em que Arquimedes desafia os matemáticos alexandrinos a calcular o número de bois e vacas do Armenti del Sole, resolvendo um sistema de oito equações lineares com duas condições quadráticas. É um problema diofantino expresso em termos simples, mas a sua solução mais pequena consiste em números com 206 545 dígitos.

A questão foi abordada de um ponto de vista diferente em 1975 por Keith G. Calkins, mais tarde retomada em 2004 por Umberto Bartocci e Maria Cristina Vipera, dois matemáticos da Universidade de Perugia. A hipótese é que um “pequeno” erro na tradução do texto do problema tornou “impossível” (alguns afirmam que esta era a intenção de Arquimedes) uma questão que, formulada de uma forma ligeiramente diferente, teria sido abordada com os métodos matemáticos da época.

Segundo Calogero Savarino, não se trata de um erro de tradução no texto mas sim de uma má interpretação ou de uma combinação dos dois.

O Livro de lemas desceu através de um texto árabe corrompido. Contém uma série de lemas geométricos cujo interesse é diminuído pela ignorância actual do contexto em que foram utilizados.

Arquimedes tinha escrito Catoctrica, um tratado, do qual temos informações indirectas, sobre o reflexo da luz. Apuleius afirma que foi uma obra volumosa que tratou, entre outras coisas, com ampliação obtida com espelhos curvos, espelhos ardentes e o arco-íris. De acordo com Olympiodorus the Younger, o fenómeno da refracção foi também estudado. Um escriba para o pseudo-Euclidean Catotrics atribui a Arquimedes a dedução das leis de reflexão do princípio de reversibilidade do caminho óptico; é lógico pensar que este resultado também foi incluído neste trabalho.

Num trabalho perdido, do qual Pappo fornece informações, Arquimedes descreveu a construção de treze poliedros semi-rígidos, que ainda são chamados poliedros arquimedeses (na terminologia moderna, existem quinze poliedros arquimedeses, uma vez que também incluem dois poliedros que Arquimedes não tinha considerado, os chamados indevidamente prisma arquimedeses e o antiprisma arquimedeses).

A fórmula do Herói, que expressa a área de um triângulo dos seus lados, é assim chamada porque está contida no Metrica de Herói de Alexandria, mas segundo o testemunho de al-Biruni, o verdadeiro autor é Arquimedes, que a teria exposto noutra obra perdida. A demonstração transmitida por Hero é particularmente interessante porque um quadrado é quadrado, um procedimento estranho na matemática grega, uma vez que a entidade obtida não é representativa no espaço tridimensional.

Thābit ibn Qurra apresenta como o Livro de Arquimedes um texto em árabe traduzido por J. Tropfke. Entre os teoremas contidos nesta obra aparece a construção de um heptagon regular, um problema que não pode ser resolvido com uma régua e bússolas.

Uma passagem de Hiparco citando as determinações de Arquimedes sobre os solstícios, transmitidas por Ptolomeu, sugere que ele também escreveu obras sobre astronomia. Pappus, Heron e Simplicius atribuem-lhe vários tratados sobre mecânica e vários títulos de obras sobre geometria são transmitidos por autores árabes. O livro sobre a construção de um relógio mecânico de água, conservado apenas em tradução árabe e atribuído ao pseudo-Archimedes, é de facto provavelmente a obra de Filo de Bizâncio.

O Arquimedes Palimpsesto é um códice de pergaminho medieval, contendo algumas das obras do cientista siracusano no guião subjacente. Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg examinou 177 folhas de pergaminho de pele de cabra em Constantinopla, contendo orações do século XIII (o palimpsesto), e descobriu que existiam escritos anteriores de Arquimedes. Devido ao elevado custo do pergaminho, uma prática comum na altura era raspar as folhas já escritas e reescrever outros textos nelas, reutilizando o meio. O nome do autor da destruição é conhecido: Johannes Myronas, que terminou de reescrever as orações em 14 de Abril de 1229. O palimpsesto passou centenas de anos numa biblioteca do mosteiro de Constantinopla antes de ser roubado e vendido a um coleccionador privado em 1920. A 29 de Outubro de 1998 foi vendido em leilão pela Christie”s em Nova Iorque a um comprador anónimo por dois milhões de dólares.

O códice contém sete tratados de Arquimedes, incluindo o único exemplar sobrevivente em grego (bizantino) de On Floating Bodies e o único do Método dos Teoremas Mecânicos, mencionado no Suida, que se pensava ter sido perdido para sempre. O Stomachion também foi identificado nas páginas, com uma análise mais precisa. O palimpsesto foi estudado no Museu de Arte Walters em Baltimore, Maryland, onde foi submetido a uma série de testes modernos, incluindo a utilização de raios ultravioleta e raios X para ler o texto subjacente. No final da obra, Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska e Nigel Wilson publicaram The Archimedes Palimpsest (2011) em dois volumes: o primeiro volume é principalmente codicológico, descrevendo os manuscritos, a sua história, as técnicas utilizadas na sua recuperação, e a apresentação dos textos; o segundo volume contém, em páginas lado a lado, a página de difusão fotográfica do códice com a transcrição do texto grego e a tradução inglesa. As páginas do palimpsesto estão disponíveis online como imagens fotográficas, mas são quase impossíveis de ler.

Os tratados de Arquimedes no Palimpsesto são: Sobre o Equilíbrio de Planos, Sobre Espirais, Medição de um Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre Corpos Flutuantes, Método de Teoremas Mecânicos e Estomachion. O Palimpsesto contém também duas orações de Hyperides (Contra Dionda e Contra Timander), um comentário sobre as Categorias de Aristóteles (provavelmente uma parte do comentário de Porphyry Ad Gedalium) e, por autores desconhecidos, uma Vida de São Pantaleão, dois outros textos e um Menaion, um texto da Igreja Oriental para férias não dependentes da Páscoa.

De facto, a fascinante história do palimpsesto é apenas um aspecto da tradição do corpus de obras de Arquimedes, ou seja, o processo pelo qual as suas obras se resumiram a nós.

Devemos começar por notar que mesmo na Antiguidade, os seus textos mais avançados não eram altamente considerados, ao ponto de Eutocius (século VI d.C.) parecer não ter conhecido nem a Quadratura da Parabola nem as Espirais. Na época de Eutocius, de facto, apenas os dois livros de Sobre a Esfera e o Cilindro, a Medida do Círculo e os dois livros do Equilíbrio dos Planos parecem ter estado em circulação. De facto, os árabes não parecem ter conhecido muito mais ou diferente do trabalho de Arquimedes, tanto assim que na Idade Média Latina, o único texto Arquimedes em circulação eram várias versões da Medida do Círculo traduzidas do árabe.

A situação no mundo grego era diferente: no século IX, pelo menos três códices contendo obras de Arquimedes foram criados em Constantinopla por Leo, o matemático: códice A, códice ฿ (b ”gótico”) e códice C, aquele destinado a tornar-se um palimpsesto no século XI. A e ฿ foram encontrados na segunda metade do século XIII na biblioteca do tribunal papal em Viterbo: Guilherme de Moerbeke utilizou-os para a sua tradução da obra de Arquimedes em 1269. A tradução de William é hoje preservada na ms. Ottob. Lat. 1850 na Biblioteca do Vaticano, onde foi descoberta por Valentin Rose em 1882. O códice ฿ (que foi o único, além do códice C, a conter o texto grego dos Floats) perdeu-se depois de 1311. O códice A teve um destino diferente: no decurso do século XV chegou à posse do Cardeal Bessarione, que mandou fazer uma cópia, que agora se conserva na Biblioteca Nazionale Marciana em Veneza, e depois do humanista Giorgio Valla de Piacenza, que publicou alguns pequenos excertos do comentário de Eutocius na sua enciclopédia De expetendis et fugiendis rebus opus, publicada postumamente em Veneza em 1501. Copiado várias outras vezes, o Codex A acabou na posse do Cardeal Rodolfo Pio; vendido aquando da sua morte (1564), não foi rastreado desde então.

No entanto, os numerosos exemplares que dele restam (e em particular o ms. Laurenziano XXVIII,4, que Poliziano tinha copiado para Lorenzo de Medici com absoluta fidelidade ao antigo modelo do século IX) permitiram ao grande filólogo dinamarquês Johan Ludvig Heiberg reconstruir este importante códice perdido (a edição definitiva do corpus de Heiberg data de 1910-15).

A tradução de meados do século XV por Iacopo da San Cassiano merece uma menção especial. Na esteira de Heiberg, acreditava-se até agora que a Iacopo tinha traduzido usando o códice A. Estudos recentes mostraram que a Iacopo usava um modelo independente de A. A sua tradução constitui assim um modelo independente de A. Estudos mais recentes demonstraram que a Iacopo utilizou um modelo independente de A. A sua tradução constitui assim um quarto ramo da tradição arquimedeana, juntamente com A, ฿, e o palimpsesto C.

O trabalho de Arquimedes representa um dos pontos altos do desenvolvimento da ciência na antiguidade. Nele, a capacidade de identificar conjuntos de postulados úteis para fundar novas teorias é combinada com o poder e originalidade dos instrumentos matemáticos introduzidos, com um maior interesse nos fundamentos da ciência e da matemática. Plutarco de facto diz-nos que Arquimedes foi persuadido pelo Rei Hieron a dedicar-se aos aspectos mais aplicados e a construir máquinas, principalmente de natureza bélica, a fim de ajudar mais concretamente o desenvolvimento e a segurança da sociedade. Arquimedes dedicou-se à matemática, física e engenharia, numa época em que as divisões entre estas disciplinas não eram tão claras como são hoje, mas quando, segundo a filosofia platónica, a matemática tinha de ser abstracta e não aplicada como nas suas invenções. O trabalho de Arquimedes constituiu assim pela primeira vez uma importante aplicação das leis da geometria à física, em particular à estática e à hidrostática.

Na antiguidade, Arquimedes e as suas invenções eram descritas com espanto e admiração por autores gregos e latinos clássicos como Cícero, Plutarco e Séneca. Graças a estes relatos no final da Idade Média e no início da era moderna, despertou-se grande interesse na busca e recuperação das obras de Arquimedes, que foram transmitidas e por vezes perdidas na Idade Média por manuscrito. A cultura romana ficou assim mais impressionada com as máquinas de Arquimedes do que com os seus estudos matemáticos e geométricos, ao ponto de o historiador da matemática Carl Benjamin Boyer ter chegado ao ponto de afirmar mais do que estridentemente que a descoberta do túmulo de Arquimedes por Cícero foi a maior contribuição, talvez a única, que o mundo romano deu à matemática.

Piero della Francesca, Stevino, Galileo, Kepler, e outros até Newton, estudaram, retomaram e alargaram sistematicamente os estudos científicos de Arquimedes, particularmente no que diz respeito ao cálculo infinitesimal.

A introdução do método científico moderno de estudo e verificação dos resultados obtidos foi inspirada pelo método pelo qual Arquimedes prosseguiu e demonstrou as suas intuições. Além disso, o cientista de Pisan encontrou uma forma de aplicar métodos geométricos semelhantes aos de Arquimedes para descrever o movimento acelerado dos corpos em queda, conseguindo finalmente superar a descrição da física dos corpos estáticos desenvolvida apenas pelo cientista de Siracusan. O próprio Galileu descreveu Arquimedes nos seus escritos como “meu mestre”, tal foi a veneração pela sua obra e pelo seu legado.

O estudo das obras de Arquimedes envolveu, portanto, durante muito tempo os estudiosos dos primórdios da era moderna e constituiu um estímulo importante para o desenvolvimento da ciência tal como é entendida actualmente. A influência de Arquimedes nos últimos séculos (por exemplo, no desenvolvimento de análises matemáticas rigorosas) é objecto de avaliações contraditórias por parte dos estudiosos.

Arte

No famoso fresco de Raphael Sanzio, A Escola de Atenas, Arquimedes é retratado estudando geometria. A sua semelhança é de Donato Bramante.

O poeta alemão Schiller escreveu o poema Archimedes and the Young Man.

A efígie de Arquimedes aparece também em selos emitidos pela Alemanha Oriental (1973), Grécia (1983), Itália (1983), Nicarágua (1971), San Marino (1982), e Espanha (1963).

A banda italiana de rock progressivo Premiata Forneria Marconi dedicou a sua última faixa do álbum Stati di immaginazione ao cientista, intitulada Visioni di Archimede (Visions of Archimedes), com um vídeo que traça a sua vida e invenções.

Archimedes é o protagonista do romance Il matematico che sfidò Roma de Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).

Ciência

O Dia Pi é celebrado mundialmente a 14 de Março, pois corresponde a 314 nos países anglo-saxónicos. Neste dia, são organizados concursos matemáticos e as contribuições de Arquimedes, que deu a primeira estimativa precisa de pi. Tanto a cratera lunar Arquimedes como o asteroide 3600 Arquimedes foram nomeados em honra de Arquimedes.

A Medalha Fields, a maior honra para os matemáticos, ostenta um retrato de Arquimedes no verso da medalha com uma frase atribuída a ele: Transire suum pectus mundoque potiri, cuja transliteração poderia ser a seguinte: ”Elevar-se acima de si mesmo e conquistar o mundo”.

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Tecnologia

O carro solar Archimede 1.0, um carro movido a energia solar, foi concebido e construído na Sicília.

O Projecto Arquimedes, uma central solar perto de Priolo Gargallo que utiliza uma série de espelhos para produzir electricidade, foi realizado.

Museus e monumentos

Em Siracusa, foi erguida uma estátua em honra do cientista e do Archimedes Technopark, uma área em que as invenções foram reproduzidas.

Outra estátua de Arquimedes encontra-se no Parque Treptower, em Berlim.

No Archea Olympia na Grécia existe um museu dedicado a Arquimedes.

Fontes