Leonhard Euler

Dimitris Stamatios | Abril 16, 2023

Resumo

Leonhard Euler (15 de Abril de 1707, Basileia, Suíça – 7 (18) Setembro de 1783, São Petersburgo, Império Russo) foi um matemático e mecânico suíço, prussiano e russo que deu contribuições fundamentais para o desenvolvimento destas ciências (assim como da física, astronomia e várias ciências aplicadas). Juntamente com Lagrange, foi o maior matemático do século XVIII e é considerado um dos maiores matemáticos da história. Euler escreveu mais de 850 obras (incluindo duas dezenas de monografias fundamentais) sobre análise matemática, geometria diferencial, teoria dos números, cálculo aproximado, mecânica celeste, física matemática, óptica, balística, construção naval, teoria musical e outros temas. Estudou medicina, química, botânica, aeronáutica, teoria musical e muitas línguas europeias e antigas. Académico das Academias de São Petersburgo, Berlim, Turim, Lisboa e Basileia das Ciências, membro estrangeiro da Academia das Ciências de Paris. Primeiro membro russo da Academia Americana de Artes e Ciências.

Passou quase metade da sua vida na Rússia, onde deu um contributo significativo para o desenvolvimento da ciência russa. Em 1726 foi convidado a trabalhar em São Petersburgo, para onde se mudou um ano mais tarde. De 1726 a 1741 e de 1766 foi académico da Academia das Ciências de São Petersburgo (de 1741 a 1766 trabalhou em Berlim (ao mesmo tempo permanecendo membro honorário da Academia de São Petersburgo). Após um ano na Rússia teve um bom conhecimento da língua russa e algumas das suas obras (especialmente livros escolares) foram publicadas em russo. Os primeiros académicos e matemáticos russos (S. K. Kotelnikov) e astrónomos (S. Ya. Rumovsky) eram alunos de Euler.

Suíça (1707-1727)

Leonhard Euler nasceu em 1707 na família do pastor de Basileia Paul Euler, um amigo da família Bernoulli, e Marguerite Euler, solteira Brooker. Pouco depois do seu nascimento, a família mudou-se para Richeng, onde o rapaz passou os seus primeiros anos. Leonard recebeu a sua educação primária em casa sob a orientação do seu pai (este último tinha estudado matemática sob a orientação de Jakob Bernoulli). O pastor preparou o seu filho mais velho para uma carreira espiritual, mas também lhe ensinou matemática, tanto por diversão como para desenvolver o seu pensamento lógico, e Leonard mostrou um talento precoce para a matemática.

Quando Leonard cresceu, foi levado para a casa da sua avó em Basileia, onde frequentou o ginásio (enquanto continuava a estudar matemática com uma paixão). Em 1720 foi autorizado a assistir a palestras públicas na Universidade de Basileia, onde atraiu a atenção do Professor Johann Bernoulli (irmão mais novo de Jakob Bernoulli). O famoso cientista enviou artigos matemáticos ao jovem matemático para estudo e permitiu-lhe que o visitasse em sua casa aos sábados à tarde para esclarecer pontos difíceis.

A 20 de Outubro de 1720, Leonhard Euler, de 13 anos, tornou-se estudante na Faculdade de Artes da Universidade de Basileia. Mas o seu amor pela matemática levou Leonard por um caminho diferente. Ao visitar a casa do seu professor, Euler conheceu e fez amizade com os seus filhos, Daniel e Nicholas, que também, na tradição familiar, estudaram matemática em profundidade. Em 1723 Euler recebeu (como era costume na Universidade de Basileia) o seu primeiro prémio (primam lauream). A 8 de Julho de 1724, Leonhard Euler, de 17 anos, fez um discurso em latim comparando as visões filosóficas de Descartes e Newton e foi-lhe atribuído o grau de Mestre em Artes.

Nos dois anos seguintes, o jovem Euler escreveu vários artigos científicos. Um deles, “Dissertação sobre Física do Som”, foi submetido a um concurso para preencher o lugar inesperadamente vago de Professor de Física na Universidade de Basileia (1725). Mas apesar da revisão favorável, o Euler de 19 anos foi considerado demasiado novo para ser incluído como candidato à cátedra de professor. Na altura, o número de vagas científicas na Suíça era muito pequeno. Assim, os irmãos Daniel e Nikolai Bernoulli foram para a Rússia, onde a Academia de Ciências estava a ser criada, e prometeram candidatar-se a um lugar para Euler.

No início do Inverno de 1726-1727 Euler recebeu a notícia de São Petersburgo: por recomendação dos irmãos Bernoulli foi convidado para o cargo de professor associado no departamento de fisiologia (este departamento foi ocupado por D. Bernoulli) com um salário anual de 200 rublos (Euler manteve uma carta ao presidente da Academia L.L. Blumentrost datada de 9 de Novembro de 1726, agradecendo-lhe a sua aceitação na Academia). Como Johann Bernoulli era um médico famoso, na Rússia Leonhard Euler, como seu melhor aluno, foi também considerado um médico. Euler, contudo, adiou a sua partida de Basileia até à Primavera, dedicando os meses restantes ao estudo sério das ciências médicas, cujo profundo conhecimento mais tarde impressionaria os seus contemporâneos. Finalmente, a 5 de Abril de 1727, Euler deixou definitivamente a Suíça, embora tenha mantido a sua nacionalidade suíça (Basileia) para o resto da sua vida.

Rússia (1727-1741)

A 22 de Janeiro (2 de Fevereiro), 1724 Peter I aprovou o projecto da Academia de Petersburgo. A 28 de Janeiro (8 de Fevereiro), 1724 o Senado emitiu um decreto sobre a criação da Academia. De 22 professores e professores associados convidados nos primeiros anos apareceram 8 matemáticos que também se dedicavam à mecânica, física, astronomia, cartografia, teoria da construção naval, serviço de medidas e pesos.

Euler (cujo percurso desde Basileia passava por Lübeck, Revel e Kronstadt) chegou a São Petersburgo a 24 de Maio de 1727; alguns dias antes da morte da imperatriz Catarina I, padroeira da Academia, e os estudiosos estavam em desânimo e confusão. Euler foi ajudado a habituar-se ao seu novo lugar pelos colegas baselianos: os académicos Daniil Bernoulli e Jakob Hermann; este último, sendo professor na cadeira de Matemática Superior, estava distante em relação ao jovem cientista e ofereceu-lhe todo o tipo de patrocínio. Euler foi nomeado professor associado de matemática superior (não de fisiologia, como inicialmente previsto), embora tenha realizado investigação no campo da dinâmica dos fluidos em São Petersburgo, recebeu um salário de 300 rublos por ano e foi-lhe concedido um apartamento.

Euler tornou-se fluente em russo poucos meses após a sua chegada a São Petersburgo.

Em 1728, a primeira revista científica russa, Commentaries of the St Petersburg Academy of Sciences (em latim), começou a ser publicada. Já o segundo volume continha três artigos de Euler, e nos anos seguintes quase todos os números do anuário académico incluíam várias das suas novas obras. No total, mais de 400 artigos de Euler foram publicados nesta edição.

Em Setembro de 1730 os contratos celebrados com os académicos J. Herman (Cadeira de Matemática) e H. B. Bilfinger (Cadeira de Física Experimental e Teórica) expiraram. Hermann (Cadeira de Matemática) e G. B. Bilfinger (Cadeira de Física Experimental e Teórica). Daniil Bernoulli e Leonard Ayler foram aprovados para as suas vagas, sendo este último pago até 400 rublos, e no dia 22 de Janeiro de 1731 ele foi nomeado professor oficial. Após mais dois anos (1733), Daniel Bernoulli regressou à Suíça, e Euler, deixando a cadeira de física, tomou o seu lugar, tornando-se um académico e professor de matemática superior com um salário de 600 rublos (no entanto, Daniel Bernoulli recebeu mais duas vezes).

A 27 de Dezembro de 1733, Leonhard Euler, de 26 anos, casou com a sua colega Katharina (alemã: Katharina Gsell), filha do pintor académico Georg Gsell (um suíço de São Petersburgo). O casal comprou uma casa no aterro de Neva, onde se estabeleceram. A família Euler teve 13 filhos, mas três filhos e duas filhas sobreviveram.

O jovem professor tinha muito trabalho a fazer: cartografia, todo o tipo de exames, consultas para construtores navais e artilheiros, elaboração de manuais de formação, concepção de bombas de incêndio, etc. Era mesmo obrigado a compilar horóscopos, que Euler com todo o tacto devido se referia a um astrónomo do pessoal. Alexander Pushkin cita uma história romântica: supostamente Euler compôs um horóscopo para um príncipe recém-nascido John Antonovich (1740), mas o resultado foi tão assustador que ele não o mostrou a ninguém, e só depois da morte do pobre príncipe o contou ao Conde K.G. Razumovsky. A autenticidade desta anedota histórica é altamente duvidosa.

Durante o seu primeiro período na Rússia, escreveu mais de 90 artigos científicos importantes. Uma grande parte das “Notas” académicas é preenchida com os escritos de Euler. Deu artigos em seminários científicos, deu palestras públicas, e participou em várias ordens técnicas de agências governamentais. Durante a década de 1730 Euler liderou o trabalho de cartografia do Império Russo, que (após a partida de Euler em 1745) foi concluído com a publicação do atlas do país. Como informou N. I. Fuss, em 1735 foi pedido à Academia que efectuasse um cálculo matemático urgente e muito pesado, e um grupo de académicos pediu três meses, mas Euler empreendeu o trabalho durante 3 dias – e conseguiu fazê-lo ele próprio; contudo, o esforço excessivo não desapareceu: ele adoeceu e perdeu a visão no seu olho direito. Contudo, o próprio Euler, numa das suas cartas, atribuiu a perda do seu olho ao seu trabalho no departamento geográfico da Academia.

O trabalho de dois volumes Mechanics, ou a ciência do movimento exposta analiticamente, publicado em 1736, trouxe à Euler a fama geral europeia. Nesta monografia, Euler aplicou com sucesso métodos de análise matemática à solução geral de problemas de movimento num vazio e num meio resistente.

Uma das tarefas mais importantes da Academia era a formação de pessoal doméstico, para a qual foram criadas uma universidade e um ginásio no âmbito da Academia. Devido à grande escassez de livros escolares em russo, a Academia pediu aos seus membros que compilassem tais manuais. Euler compilou em alemão um “Manual de Aritmética” muito bom, que foi imediatamente traduzido para russo e serviu durante vários anos como livro de texto primário. A tradução da primeira parte foi feita em 1740 por Vasily Adodurov, o primeiro adjunto russo da Academia e um aluno de Euler.

A situação agravou-se quando a imperatriz Anna Ioannovna morreu em 1740 e o jovem João VI foi declarado imperador. “Algo perigoso estava prestes a acontecer”, Euler escreveu mais tarde na sua autobiografia. – Após a morte da venerável imperatriz Ana durante a regência que se seguiu … a situação começou a apresentar-se como incerta. De facto, durante a regência de Anna Leopoldovna, a Academia de São Petersburgo acabou por cair em desgraça. Euler começou a considerar a opção de regressar a casa ou de se mudar para outro país. No final, aceitou uma oferta do rei prussiano Friedrich, que o convidou em condições muito favoráveis para a Academia de Berlim, para o cargo de director do seu departamento matemático. A Academia baseava-se na Sociedade Real Prussiana, fundada por Leibniz, mas que na altura se encontrava num estado deplorável.

Prússia (1741-1766)

Euler apresentou a sua demissão à direcção da Academia de São Petersburgo:

Por esta razão, sou obrigado, tanto por razões de saúde precária como por outras circunstâncias, a procurar um clima mais agradável e a aceitar o apelo de Sua Majestade Real Prussiana para mim. Por esta razão, peço à Academia Imperial das Ciências que gentilmente me dispense e me forneça, a mim e à minha família, o passaporte necessário para a minha viagem.

A 29 de Maio de 1741 foi obtida a permissão da Academia. Euler foi “libertado” e confirmado como membro honorário da Academia com um salário de 200 rublos. Em Junho de 1741 Leonhard Euler, 34 anos, com a sua esposa, dois filhos e quatro sobrinhos, chegou a Berlim. Lá passou 25 anos e publicou cerca de 260 obras.

No início Euler foi gentilmente recebido em Berlim, tendo mesmo sido convidado para as bolas de tribunal. O Marquês Condorcet recordou que logo após se ter mudado para Berlim, Euler foi convidado para um baile de campo. Perguntado pela Rainha Mãe porque estava tão reticente, Euler respondeu: “Vim de um país onde quem quer que fale é enforcado.

Euler tinha muito trabalho a fazer. Para além da investigação matemática, dirigiu um observatório e esteve envolvido em muitos assuntos práticos, incluindo a produção de calendários (a principal fonte de rendimento da Academia), a cunhagem de moedas prussianas, a colocação de uma nova conduta de água, e a organização de pensões e lotarias.

Em 1742, foi publicada uma colecção de quatro volumes de obras de Johann Bernoulli. Ao enviá-la de Basileia para Euler em Berlim, o velho cientista escreveu ao seu aluno: “Tenho-me dedicado à infância da matemática superior. Tu, meu amigo, continuarás a sua formação em maturidade”. Durante o período berlinense, um após outro, surgiram os trabalhos de Euler: “Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748), “Science of the Sea” (1749), “Theory of Moon Motion” (1753), “Tutorial on differential calculus” (Lat. Institutiones calculi diferencialis, 1755). Numerosos artigos sobre temas seleccionados foram impressos em publicações das Academias de Berlim e São Petersburgo. Em 1744 Euler descobriu o cálculo de variações. Os seus trabalhos utilizam terminologia elaborada e símbolos matemáticos que em grande parte sobreviveram até aos dias de hoje, e ele leva a sua exposição ao nível de algoritmos práticos.

Ao longo dos seus anos na Alemanha, Euler manteve-se em contacto com a Rússia. Euler participou nas publicações da Academia de São Petersburgo, comprou livros e instrumentos para ela, e editou as secções matemáticas das revistas russas. No seu apartamento, num quadro completo, viveu durante anos jovens cientistas russos enviados para formação. É conhecida a animada correspondência de Euler com M. V. Lomonosov; em 1747 deu um parecer favorável ao Presidente da Academia das Ciências, Conde K. G. Razumovsky, sobre os artigos de Lomonosov sobre física e química, declarando:

Todas estas teses são não só boas, mas também muito excelentes, porque ele escreve sobre a questão física e química muito necessária, que até agora não era conhecida e não podia ser interpretada pelas pessoas mais espirituosas, o que ele fez com tanto sucesso que estou plenamente confiante na justiça das suas explicações. Neste caso, o Sr. Lomonosov deve ser creditado por ter um excelente talento para a interpretação de fenómenos físicos e químicos. É de esperar que as outras Academias sejam capazes de produzir tais revelações, como o Sr. Lomonosov demonstrou.

Esta estimativa elevada não foi impedida mesmo pelo facto de Lomonosov não ter escrito obras matemáticas e não conhecer matemática superior. No entanto, em 1755, como resultado da falta de tacto de Lomonosov, que publicou sem a permissão de Euler a sua carta privada em seu apoio, Euler pôs fim a todas as relações com ele. As relações foram restauradas em 1761, porque Lomonosov facilitou o regresso de Euler à Rússia.

A sua mãe notificou Euler da morte do seu pai na Suíça (ela logo se mudou com Euler (ela morreu em 1761). Em 1753 Euler comprou uma propriedade em Charlottenburg (um subúrbio de Berlim) com um jardim e um terreno para albergar a sua grande família.

De acordo com os contemporâneos, Euler permaneceu modesto, alegre, extremamente solidário e sempre pronto a ajudar os outros. Contudo, a sua relação com o rei não resultou: Frederick considerou o novo matemático intoleravelmente aborrecido, totalmente anti-social e tratou-o de forma desdenhosa. Em 1759, Mauperthuis, presidente da Academia das Ciências de Berlim e amigo de Euler, morreu. O rei Frederick II ofereceu o cargo de presidente da Academia a D’Alumbert, mas ele recusou. Friedrich, que não gostava de Euler, confiou-lhe no entanto a liderança da Academia, mas sem o título de presidente.

Durante a Guerra dos Sete Anos, o Marechal de Campo Saltykov reembolsou imediatamente as suas perdas, e mais tarde a Imperatriz Elisabeth enviou mais 4.000 rublos de si própria.

Em 1765, foi publicada a Teoria do Movimento dos Sólidos, seguida, um ano depois, por Elementos de Cálculo de Variação. Foi aqui que o nome da nova secção de matemática criada por Euler e Lagrange apareceu pela primeira vez.

Em 1762, Catarina II ascendeu ao trono russo e prosseguiu uma política de absolutismo esclarecido. Bem consciente da importância da ciência para o progresso do Estado e para o seu próprio prestígio, levou a cabo uma série de importantes mudanças no sistema de educação pública e cultura favorável à ciência. A Imperatriz ofereceu a Euler a gestão de uma classe matemática, o título de secretária de conferência da Academia e um salário de 1800 rublos por ano. E se não gostar”, disse a carta ao seu representante, “ela terá todo o prazer em comunicar os seus termos, desde que não hesite em vir a São Petersburgo”.

Euler comunicou os seus termos em resposta:

Todas estas condições foram aceites. A 6 de Janeiro de 1766 Catherine informou o Conde Vorontsov:

A carta que o Sr. Euler lhe endereçou deu-me grande prazer, porque dela aprendi o seu desejo de voltar a juntar-se ao meu serviço. Claro que o considero perfeitamente digno do desejável título de Vice-presidente da Academia das Ciências, mas para isso algumas medidas devem ser tomadas antes de eu estabelecer o título – digo estabelecê-lo, pois até agora não existia. No actual estado de coisas não há dinheiro para o salário de 3000 rublos, mas para um homem de tal mérito como o Sr. Euler, acrescentarei ao salário académico das receitas do Estado, que no seu conjunto ascendem aos 3000 rublos necessários… Estou certo de que a minha Academia se erguerá das cinzas de uma aquisição tão importante e felicito-me antecipadamente por ter devolvido um grande homem à Rússia.

Mais tarde, Euler apresentou uma série de outras condições (uma pensão anual de 1.000 rublos para a sua esposa após a sua morte, compensação pelas despesas de viagem, um lugar para o seu filho médico e um posto para o próprio Euler). Catherine também satisfez estas condições de Euler, excepto no que diz piadas sobre a procura de posto: “Eu ter-lhe-ia dado, se ele tivesse desejado, a patente de… (no rascunho francês da carta o conselheiro colegial é riscado), se eu não tivesse receado que esta patente o tivesse igualado a tantas pessoas que não eram dignas do Sr. Euler. Na verdade, a sua fama é melhor do que a patente para lhe dar o devido respeito”.

Euler solicitou ao rei a demissão do serviço, mas não recebeu qualquer resposta. Voltou a candidatar-se – mas Frederick não estava sequer disposto a discutir a questão da sua partida. O apoio decisivo a Euler foi dado pelas insistentes petições da representação russa em nome da Imperatriz. A 2 de Maio de 1766, Friedrich finalmente deu autorização ao grande estudioso para deixar a Prússia, embora não pudesse abster-se de fazer piadas sobre Euler na sua correspondência (assim, a 25 de Julho escreveu a D’Alamberto: “Herr Euler, que amava loucamente a Ursa Maior e a Ursa Menor, aproximou-se do norte para a conveniência de os observar”). É verdade, serviu como tenente-coronel de artilharia (mais tarde, por intercessão de Catarina II, ainda pôde juntar-se ao seu pai e foi promovido a tenente-general no exército russo. No Verão de 1766, Euler regressou à Rússia – agora permanentemente.

Rússia novamente (1766-1783)

A 17 (28) de Julho de 1766, o Euler de 60 anos, a sua família e o seu agregado familiar (18 no total) chegaram à capital russa. Imediatamente após a sua chegada foi recebido pela imperatriz. Catarina II acolheu-o como uma pessoa augusta e deu-lhe banho de favores: concedeu 8000 rublos para a compra de uma casa na ilha Vasilievsky e para a compra de mobiliário, forneceu pela primeira vez um dos seus cozinheiros e instruiu-o a preparar considerações para a reorganização da Academia.

Infelizmente, após o seu regresso a São Petersburgo, Euler desenvolveu cataratas no seu único olho esquerdo remanescente e depressa se tornou permanentemente cego. Provavelmente por esta razão, nunca recebeu o prometido posto de vice-presidente da Academia (o que não impediu Euler e os seus descendentes de participar na gestão da Academia durante quase cem anos). Contudo, a cegueira não afectou a capacidade de trabalho do cientista; ele apenas observou que agora estaria menos distraído com a matemática. Antes de adquirir uma secretária, Euler ditou o seu trabalho a um menino portentoso, que escreveu tudo em alemão. O número das suas obras publicadas até aumentou; durante a sua segunda estadia na Rússia, Euler ditou mais de 400 artigos e 10 livros, o que representa mais de metade do seu legado criativo.

Em 1768-1770 publicou a sua monografia clássica de dois volumes, Aritmética Universal (também publicada como Elementos de Álgebra e O Curso Completo de Álgebra). Esta obra foi publicada pela primeira vez em russo (1768-1769), e uma edição alemã foi publicada dois anos mais tarde. O livro foi traduzido em muitas línguas e foi reimpresso cerca de 30 vezes (três vezes em russo). Todos os livros de álgebra subsequentes foram fortemente influenciados pelo livro de Euler.

Durante os mesmos anos, publicou a sua Dioptrica de três volumes (1769-1771) sobre sistemas de lentes e o fundamental Institutiones calculi integralis (1768-1770), também em três volumes.

As “Cartas sobre vários assuntos físicos e filosóficos, escritas a uma princesa alemã” de Euler (1768) tornaram-se muito populares no século XVIII, e em parte também no século XIX. (1768), que teve mais de 40 edições em 10 línguas (incluindo 4 edições em russo). Era uma enciclopédia científica popular de grande alcance, escrita de uma forma vívida e geralmente acessível.

Em 1771 ocorreram dois acontecimentos graves na vida de Euler. Em Maio houve um grande incêndio em São Petersburgo que destruiu centenas de edifícios, incluindo a casa e quase todos os bens de Euler. O próprio cientista mal foi salvo. Todos os manuscritos foram salvos do incêndio; apenas uma parte da sua “Nova Teoria do Movimento da Lua” foi queimada, mas foi rapidamente restaurada com a ajuda de Euler, que manteve a sua memória fenomenal até à sua velhice. Euler teve de se mudar temporariamente para outra casa. O segundo acontecimento: em Setembro do mesmo ano, a convite especial da Imperatriz, o famoso oftalmologista alemão Barão Wentzel chegou a São Petersburgo para tratar Euler. Após um exame, concordou em realizar uma operação em Euler e retirou uma catarata do seu olho esquerdo. Euler pôde voltar a ver. O médico prescreveu-lhe que mantivesse o olho longe da luz brilhante, que não escrevesse, que não lesse – apenas se habituasse gradualmente à nova condição. Mas poucos dias após a operação, Euler tirou a ligadura e logo perdeu de novo a visão. Desta vez, para sempre.

1772: “Uma nova teoria do movimento da lua”. Euler finalmente completou o seu trabalho de muitos anos, resolvendo aproximadamente o problema dos três corpos.

Em 1773, por recomendação de Daniel Bernoulli, o aluno de Bernoulli, Nikolaus Fuss, chegou a São Petersburgo vindo de Basileia. Este foi um grande golpe de sorte para Euler. Fuss, um matemático dotado, encarregou-se do trabalho matemático de Euler imediatamente após a sua chegada. Fuss logo se casou com a neta de Euler. Durante os dez anos seguintes – até à sua morte – Euler ditou-lhe predominantemente o seu trabalho, embora por vezes utilizasse os “olhos do seu filho mais velho” e dos seus outros estudantes. No mesmo ano de 1773 morreu a mulher de Euler, com quem viveu durante quase 40 anos. A morte da sua esposa foi um doloroso golpe para o cientista, que estava sinceramente ligado à sua família. Euler cedo casou com Salome Abigail, meia-irmã da sua falecida esposa.

General Spherical Trigonometry” foi publicado em 1779 e foi a primeira exposição completa de todo o sistema de trigonometria esférica.

Euler trabalhou activamente até aos seus últimos dias. Em Setembro de 1783, o cientista de 76 anos começou a sentir dores de cabeça e fraqueza. A 7 (18) de Setembro, após um jantar passado com a sua família, falando com o académico A. I. Lexel sobre o recém-descoberto planeta Urano e a sua órbita, ele sentiu-se subitamente doente. Euler conseguiu pronunciar-se: “Estou a morrer”, e desmaiou. Algumas horas mais tarde, sem recuperar a consciência, morreu de uma hemorragia cerebral.

“Parou de calcular e viveu”, disse Condorcet numa reunião lamentosa da Academia das Ciências de Paris (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Foi enterrado no Cemitério Luterano de Smolensk, em São Petersburgo. A inscrição no monumento em alemão lê-se: “Aqui jazem os restos mortais do mundialmente famoso Leonhard Euler, sábio e homem justo. Nascido a 4 de Abril de 1707 em Basileia, morreu a 7 de Setembro de 1783”. Após a morte de Euler, o seu túmulo foi perdido e só foi encontrado, num estado degradado, em 1830. Em 1837, a Academia das Ciências substituiu esta pedra tumular por uma nova pedra tumular de granito (ainda de pé) com a inscrição em latim “Leonhard Euler – Academia Petropolitana” (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Durante a celebração dos 250 anos de Euler (1957), as cinzas do grande matemático foram transferidas para a “Necrópole do século XVIII” no cemitério Lazarevsky de Alexander Nevsky Lavra, onde estão situadas perto do túmulo de M. V. Lomonosov.

Euler deixou obras importantes em vários ramos da matemática, mecânica, física, astronomia e uma série de ciências aplicadas. O conhecimento de Euler era enciclopédico; além da matemática, estudou botânica, medicina, química, teoria da música, e muitas línguas europeias e antigas.

Euler participou de boa vontade em discussões científicas, das quais era mais conhecido:

Em todos os casos mencionados, a posição de Euler é apoiada pela ciência moderna.

Matemática

Em termos de matemática, o século XVIII é a era de Euler. Enquanto antes dele os avanços da matemática eram dispersos e nem sempre coerentes, Euler ligou pela primeira vez a análise, álgebra, geometria, trigonometria, teoria dos números e outras disciplinas num sistema unificado, ao mesmo tempo que acrescentou muitas das suas próprias descobertas. Grande parte da matemática tem sido ensinada desde então “de acordo com Euler” quase inalterada.

Graças à matemática de Euler incluiu a teoria geral das séries, a “fórmula de Euler” fundamental na teoria dos números complexos, a operação de comparação modulada, a teoria completa das fracções contínuas, a base analítica da mecânica, numerosas técnicas de integração e solução de equações diferenciais, o número e, a notação i para uma unidade imaginária, um número de funções especiais e muito mais.

De facto, foi Euler quem criou várias novas disciplinas matemáticas – teoria dos números, cálculo de variações, teoria das funções complexas, geometria diferencial de superfícies; ele lançou as bases da teoria das funções especiais. As suas outras áreas de trabalho incluem a análise de diophantine, física matemática, estatística, etc.

O historiador da ciência Clifford Truesdell escreveu: ‘Euler foi o primeiro cientista da civilização ocidental a escrever sobre matemática numa linguagem clara e fácil de ler’. Os biógrafos salientam que Euler era um virtuoso algorítmico. Ele tentou invariavelmente trazer as suas descobertas ao nível de métodos computacionais específicos, e foi um mestre dos cálculos numéricos. J. Condorcet disse que uma vez dois estudantes que faziam cálculos astronómicos complexos de forma independente obtiveram resultados ligeiramente diferentes no 50º sinal e pediram ajuda a Euler. Euler fez os mesmos cálculos na sua mente e declarou o resultado correcto.

П. L. Chebyshev escreveu: “Euler foi o início de todas as investigações que constituem a teoria geral dos números”. A maioria dos matemáticos do século XVIII estavam empenhados no desenvolvimento da análise, mas Euler carregou a paixão pela aritmética antiga através da sua vida. Graças aos seus escritos, o interesse pela teoria dos números foi reavivado no final do século.

Euler continuou a investigação de Fermat, que anteriormente (sob a influência de Diophantus) tinha feito uma série de hipóteses dispersas sobre números naturais. Euler provou rigorosamente estas hipóteses, generalizou-as consideravelmente e combinou-as numa teoria significativa dos números. Ele introduziu a extremamente importante “função de Euler” na matemática e utilizou-a para formular o “teorema de Euler”. Ele refutou a hipótese de Fermat de que todos os números da forma F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} são simples; acontece que F 5 F_{5}displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} é divisível por 641. A afirmação de Fermat sobre a representação de um número primo ímpar como uma soma de dois quadrados foi provada. Deu uma das soluções para o problema dos quatro cubos. Provou que o número Mersenne 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – é um número primo; durante quase cem anos (até 1867) permaneceu o maior número primo conhecido.

Euler criou a base para a teoria das comparações e das deduções quadráticas, especificando o critério de solvabilidade para estas últimas. Euler introduziu a noção de raiz inicial e formulou a hipótese de que para qualquer número primo p existe um modulo raiz inicial p; não o conseguiu provar, mas LeGendre e Gauss provaram mais tarde o teorema. A outra conjectura de Euler, a lei da reciprocidade quadrática, também provada por Gauss, foi de grande importância na teoria. Euler provou o Grande Teorema de Fermat para n = 3 {estilo de jogo n = 3} и n = 4 {estilo n=4}displaystyle A teoria da divisão dos números em termos, criou uma teoria completa das fracções contínuas, investigou várias classes de equações diffeomórficas, e a teoria da divisão dos números em termos.

No problema do número de divisórias de um número natural n {estilo de jogo n} obteve a fórmula que expressa a função derivada do número de partições p ( n ) {p(n)}displaystyle p(n)} {display p(n ) através do produto infinito de

Euler definiu a função zeta, uma generalização da qual se chamou mais tarde Riemann:

onde s {Estilo de jogo} é um número real (em Riemann é complexo). Euler derivou uma decomposição para ele:

onde o produto é tomado em todos os números primos p {estilo de jogo p} . Desta forma, descobriu que na teoria dos números é possível aplicar métodos de análise matemática, dando origem à teoria analítica dos números, que se baseia na identidade de Euler e no método geral das funções derivadas.

Uma das principais contribuições de Euler para a ciência foi a sua monografia “Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748). Em 1755 foi publicado o suplemento “Cálculo Diferencial”, e em 1768-1770 foram publicados três volumes de “Cálculo Integral”. Em conjunto, este é um curso fundamental, bem ilustrado, com terminologia e simbolismo elaborados. “É seguro dizer que uma boa metade do que é agora ensinado em cursos de álgebra superior e análise superior está nos escritos de Euler” (N. N. Luzin). Euler foi o primeiro a dar uma teoria sistemática da integração e das técnicas utilizadas na mesma. Em particular, é o autor do método clássico de integração de funções racionais, decompondo-as em fracções simples e do método de resolução de equações diferenciais de ordem arbitrária com coeficientes constantes.

Euler prestou sempre particular atenção aos métodos de resolução de equações diferenciais, tanto ordinárias como parciais, tendo descoberto e descrito importantes classes de equações diferenciais integráveis. Ele elaborou o método de Euler de linhas quebradas (1768), o método numérico para resolver os sistemas de equações diferenciais ordinárias. Juntamente com A. C. Clero ele derivou condições de integrabilidade de formas diferenciais lineares de duas ou três variáveis (1739). Obteve resultados sérios na teoria das funções elípticas, incluindo os primeiros teoremas sobre a adição de integrais elípticos (1761). Foi o primeiro a investigar os máximos e mínimos de funções de muitas variáveis.

A base dos logaritmos naturais é conhecida desde os dias de Neper e Jacob Bernoulli, mas Euler realizou um estudo tão aprofundado desta constante tão importante que desde então recebeu o seu nome. Outra constante que ele estudou: a constante Euler-Mascheroni.

A definição moderna das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas é também do seu mérito, bem como o seu simbolismo e generalização para o caso complexo. As fórmulas frequentemente referidas nos livros escolares como “condições de Cauchy-Riemann” seriam mais propriamente chamadas “condições de D’Alambert-Euler”.

Partilha com Lagrange a honra de descobrir o cálculo das variações ao escrever as equações de Euler-Lagrange para o problema geral das variações. Em 1744 Euler publicou o seu tratado “Método de encontrar curvas…”. – o primeiro trabalho sobre cálculo de variações (continha, entre outras coisas, a primeira exposição sistemática da teoria das curvas elásticas e resultados sobre a resistência dos materiais).

Euler avançou consideravelmente a teoria das séries e alargou-a ao domínio complexo, dando a famosa fórmula de Euler que dá a representação trigonométrica de um número complexo. O mundo matemático ficou muito impressionado com a série resumida pela primeira vez por Euler, incluindo a série quadrada inversa que ninguém tinha sido capaz de fazer antes dele:

Euler usou séries para estudar funções transcendentais, ou seja, aquelas funções que não são expressas por uma equação algébrica (por exemplo, o logaritmo integral). Ele descobriu (1729-1730) os “integrais de Euler” – funções especiais que agora entraram na ciência como as funções gama e beta de Euler. Em 1764, ao resolver o problema sobre as oscilações de uma membrana elástica (que teve origem na determinação da altura sonora dos timbales), Euler foi o primeiro a introduzir as funções de Bessel para qualquer índice natural (a pesquisa de F. W. Bessel, cujo nome estas funções agora levam, data de 1824).

De um ponto de vista posterior, as acções de Euler com séries infinitas nem sempre podem ser consideradas correctas (a justificação da análise só foi feita meio século depois), mas a sua intuição matemática fenomenal quase sempre lhe disse o resultado certo. Contudo, em muitos aspectos importantes, a sua intuição estava à frente do seu tempo – por exemplo, a sua proposta de compreensão generalizada da soma de séries divergentes e operações sobre elas serviu de base à teoria moderna destas séries, desenvolvida no final do século XIX e início do século XX.

Na geometria elementar Euler descobriu vários factos não notados por Euclides:

O segundo volume de Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748) foi o primeiro livro do mundo sobre geometria analítica e os fundamentos da geometria diferencial. Euler deu uma classificação das curvas algébricas de 3ª e 4ª ordens, bem como das superfícies de segunda ordem. O termo “transformações afins” foi introduzido pela primeira vez neste livro, juntamente com a teoria de tais transformações. Em 1732, Euler derivou a equação geral das linhas geodésicas sobre uma superfície.

Em 1760, foram publicadas as Investigações fundamentais sobre a Curvatura das Superfícies. Euler descobriu que em cada ponto de uma superfície lisa existem duas secções normais com raios mínimos e máximos de curvatura e que os seus planos são mutuamente perpendiculares. Ele derivou uma fórmula para a relação entre a curvatura da secção da superfície e as principais curvaturas.

Em 1771, Euler publicou a sua obra “Sobre corpos cuja superfície pode ser desdobrada sobre um plano”. Esta obra introduz a noção de uma superfície desdobrável, ou seja, uma superfície que pode ser sobreposta a um plano sem dobras ou descontinuidades. Euler, contudo, dá aqui uma teoria bastante geral da métrica da qual depende toda a geometria interna da superfície. Mais tarde ele faz do estudo da métrica a principal ferramenta da teoria da superfície.

Em ligação com as tarefas de cartografia, Euler investigou em profundidade mapeamentos conformes, aplicando pela primeira vez as ferramentas de análise complexa.

Euler prestou muita atenção à representação dos números naturais como somas de um tipo especial e formulou um número de teoremas para calcular o número de partições. Ao resolver problemas combinatórios, estudou em profundidade as propriedades das combinações e permutações e introduziu os números de Euler.

Euler investigou algoritmos para a construção de quadrados mágicos através da travessia de cavalos de xadrez. Duas das suas obras (1776, 1779) lançaram as bases da teoria geral dos quadrados latinos e greco-latinos, cujo grande valor prático se tornou claro depois de Ronald Fisher ter criado métodos para planear experiências, bem como na teoria dos códigos de correcção de erros.

O artigo de Euler de 1736 “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis) marcou o início da teoria gráfica como uma disciplina matemática. O problema das pontes em Königsberg surgiu como ponto de partida para o estudo: pode-se atravessar cada ponte uma vez e regressar ao ponto de partida? Euler formalizou-o, reduzindo-o ao problema da existência num gráfico (cujos vértices correspondem a partes da cidade separadas por ramos do rio Pregolya, e as margens das pontes) de um ciclo ou de um caminho que passa por cada margem exactamente uma vez (em terminologia moderna, respectivamente, de um ciclo euleriano e de um caminho euleriano). Resolvendo este último problema, Euler mostrou que para que um ciclo Euleriano exista num gráfico, o seu grau (o número de arestas que deixam o vértice) deve ser igual para cada vértice, e o caminho Euleriano deve ser igual para todos excepto dois (no problema das pontes de Königsberg isto não é assim: os graus são 3, 3, 3 e 5).

Euler deu um contributo significativo para a teoria e métodos de cálculo aproximado. Ele foi o primeiro a aplicar métodos analíticos à cartografia. Propôs um método conveniente de representação gráfica de relações e operações em conjuntos, chamado Euler Circles (ou Euler-Vennes).

Mecânica e física

Muitas das obras de Euler são dedicadas a vários ramos da mecânica e da física. Sobre o tema do papel fundamental de Euler na moldagem da mecânica numa ciência exacta, C. Truesdell escreveu: “A mecânica, tal como é ensinada aos engenheiros e matemáticos de hoje, é em grande parte sua criação”.

Em 1736, foi publicado o tratado de dois volumes de Euler “Mecânica, ou a ciência do movimento, numa declaração analítica”, que marcou uma nova etapa no desenvolvimento desta ciência antiga e foi dedicado à dinâmica do ponto material. Ao contrário dos fundadores deste ramo da dinâmica, Galileo e Newton, que utilizaram métodos geométricos, Euler, de 29 anos, propôs um método analítico regular e uniforme para resolver vários problemas de dinâmica: compilação de equações diferenciais de movimento de um objecto material e a sua posterior integração sob determinadas condições iniciais.

O primeiro volume do tratado trata do movimento de um ponto material livre, o segundo – de um ponto proprietário, e o movimento num vazio, bem como num meio resistente, é investigado. Os problemas de balística e a teoria do pêndulo são considerados separadamente. Aqui Euler escreve pela primeira vez a equação diferencial do movimento rectilíneo de um ponto, e para o caso geral do movimento curvilíneo introduz as equações naturais do movimento – equações em projecções sobre os eixos do triedro que o acompanha. Em muitos problemas concretos ele completa a integração das equações do movimento até ao fim; nos casos de movimento pontual sem resistência ele utiliza sistematicamente a primeira integral das equações do movimento – a integral da energia. No segundo volume, em ligação com o problema do movimento de um ponto sobre uma superfície arbitrariamente curva, é apresentada a geometria diferencial das superfícies criadas por Euler.

Euler regressou mais tarde à dinâmica de um ponto material. Em 1746, investigando o movimento de um ponto material numa superfície em movimento, chegou (simultaneamente com D. Bernoulli e P. Darcy) ao teorema sobre a mudança de impulso angular. Em 1765 Euler, tendo utilizado a ideia apresentada em 1742 por C. McLaren de velocidades e forças de decomposição ao longo de três eixos de coordenadas fixas, escreveu pela primeira vez as equações diferenciais de movimento de um ponto material em projecções sobre os eixos fixos cartesianos.

Este último resultado foi publicado por Euler no seu segundo tratado fundamental sobre dinâmica analítica – o livro “Teoria do movimento dos sólidos” (1765). O seu conteúdo principal, porém, é dedicado a outra secção da mecânica – a dinâmica dos sólidos, da qual Euler foi o fundador. O tratado contém, em particular, a derivação de um sistema de seis equações diferenciais do movimento de um corpo sólido livre. O teorema sobre a redução do sistema de forças aplicado a um corpo sólido a duas forças, enunciado no § 620 do tratado, é importante para a estática. Ao projectar as condições de igualdade destas forças para zero nos eixos coordenados, Euler obtém pela primeira vez as equações de equilíbrio de um corpo sólido sob a acção de um sistema espacial arbitrário de forças.

Vários resultados fundamentais de Euler relacionados com a cinemática dos sólidos (a cinemática ainda não tinha sido identificada como um ramo separado da mecânica no século XVIII) são também declarados no tratado de 1765. Entre elas, podemos destacar as fórmulas de Euler para a distribuição de velocidades de pontos de um corpo absolutamente sólido (o equivalente vectorial destas fórmulas é a fórmula cinemática de Euler) e as equações cinemáticas de Euler, que dão os derivados dos ângulos de Euler (utilizados na mecânica para especificar a orientação de um corpo sólido) através de projecções de velocidade angular em eixos coordenados.

Para além deste tratado, duas obras anteriores de Euler são importantes para a dinâmica dos sólidos: “Estudos sobre o conhecimento mecânico dos corpos” e “O movimento rotativo dos sólidos em torno de um eixo variável”, que foram submetidos à Academia das Ciências de Berlim em 1758, mas foram publicados nas suas “Notas” mais tarde (no mesmo 1765 que o tratado). Nelas: foi desenvolvida a teoria dos momentos de inércia (estabeleceu a existência de pelo menos três eixos de rotação livre em qualquer corpo rígido com um ponto fixo; foram obtidas as equações dinâmicas de Euler descrevendo a dinâmica de um corpo rígido com um ponto fixo; foi dada uma solução analítica destas equações no caso do momento principal de força externa zero (o caso de Euler) – um dos três casos gerais de integrabilidade no problema da dinâmica de um corpo sólido rígido com um ponto fixo.

No artigo “Fórmulas gerais para deslocamento arbitrário de um corpo rígido” (1775), Euler formula e prova o teorema fundamental de rotação de Euler, segundo o qual o deslocamento arbitrário de um corpo absolutamente rígido com um ponto fixo é uma rotação por algum ângulo em torno de um eixo que passa através do ponto fixo.

Euler é creditada com a formulação analítica do princípio da menor acção (proposto em 1744 – de forma muito difusa – por P. L. Mauperthuis), a correcta compreensão das condições de aplicabilidade do princípio e a sua primeira prova (realizada no mesmo ano de 1744 para o caso de um ponto material se deslocar sob a acção de uma força central). A acção aqui (a chamada acção abreviada e não a acção hamiltoniana) no que diz respeito ao sistema de pontos materiais é entendida como a integral

onde A {estilo de jogo A} и B {estilo B} – duas configurações do sistema, m i , v i {estilo m_i, v_i и d s i {s_mathrm – massa, velocidade algébrica e elemento de trajectória do arco, respectivamente i {estilo de jogo i} -o ponto, n {estilo de jogo n} – é o número de pontos.

Como resultado, o princípio Mauperthuis-Euler, o primeiro de uma série de princípios de variação integral da mecânica, entrou na ciência; mais tarde foi generalizado por J. L. Lagrange, e agora é normalmente tratado como uma das formas (forma Mauperthuis-Euler, considerada juntamente com a forma Lagrange e a forma Jacobi) do princípio Mauperthuis-Lagrange. Apesar da sua contribuição determinante, na discussão que surgiu em torno do princípio da menor acção, Euler defendeu fortemente a prioridade de Mauperthuis e apontou a importância fundamental deste princípio na mecânica. Esta ideia atraiu a atenção dos físicos que, nos séculos XIX e XX, descobriram o papel fundamental dos princípios variacionais na natureza e aplicaram a abordagem variacional em muitas partes da sua ciência.

Vários trabalhos de Euler são dedicados à mecânica das máquinas. Nas suas memórias “Sobre a aplicação mais rentável de máquinas simples e complexas” (1747) Euler propôs estudar máquinas não em estado de repouso, mas em estado de movimento. Esta nova abordagem “dinâmica”, Euler justificou e desenvolveu no seu livro de memórias “Sobre as máquinas em geral” (no qual foi o primeiro na história da ciência a apontar as três partes constituintes das máquinas, que no século XIX foram definidas como motores, engrenagens e peças de trabalho. Nas suas memórias “Princípios da Teoria das Máquinas” (1763), Euler mostrou que ao calcular as características dinâmicas das máquinas em caso de movimento acelerado, não só as forças de arrastamento e inércia da carga útil devem ser tidas em conta, mas também a inércia de todos os componentes das máquinas, e deu (em relação aos motores hidráulicos) um exemplo de tal cálculo.

Euler também esteve envolvido na teoria aplicada às máquinas, tais como a teoria das máquinas hidráulicas e moinhos de vento, o estudo do atrito em peças de máquinas, e o perfil das engrenagens (aqui justificou e desenvolveu a teoria analítica das engrenagens involutas). Em 1765, lançou as bases da teoria de fricção de cabos flexíveis e obteve em particular a fórmula de Euler para determinar a tensão do cabo, que ainda é utilizada na resolução de vários problemas práticos (por exemplo, no cálculo de mecanismos com ligações flexíveis).

Euler está também associado à introdução consistente da ideia do contínuo na mecânica, segundo a qual um corpo material é representado, abstraído da sua estrutura molecular ou atómica, como um meio contínuo contínuo contínuo. O modelo do contínuo foi introduzido por Euler nas suas “Memórias de Descoberta de um Novo Princípio da Mecânica” (relatado em 1750 à Academia das Ciências de Berlim e publicado nas suas “Memórias” dois anos mais tarde).

O autor das memórias baseou a sua análise no princípio de Euler das partículas materiais, uma proposta que ainda é citada em muitos livros sobre mecânica e física (muitas vezes sem mencionar Euler): um corpo sólido pode ser modelado com qualquer grau de precisão, decompondo-o mentalmente em partículas suficientemente pequenas e tratando cada uma delas como um ponto material. Usando este princípio, pode-se derivar várias relações dinâmicas para um corpo contínuo escrevendo os seus análogos para partículas materiais individuais (em termos de Euler, “corpúsculos”) e somando-as (neste caso, substituindo a soma sobre todos os pontos por integração sobre o volume da área ocupada pelo corpo). Esta abordagem permitiu a Euler evitar utilizar tais meios de cálculo integral moderno (como o integral Stiltjes), que ainda não eram conhecidos no século XVIII.

Com base neste princípio, Euler obteve – aplicando o teorema sobre a mudança de impulso angular a um volume material elementar – a primeira lei do movimento de Euler (mais tarde, apareceu também a segunda lei do movimento de Euler – o resultado da aplicação do teorema sobre a mudança de impulso angular). As leis do movimento de Euler representavam de facto as leis básicas da mecânica do movimento contínuo; a única coisa que faltava para passar às equações gerais de movimento actualmente utilizadas para tais meios era a expressão das forças de superfície através do tensor de tensão (isto foi feito por O. Cauchy na década de 1820). Euler aplicou os resultados obtidos ao estudo de modelos específicos de corpos sólidos – tanto na dinâmica de corpos sólidos (foi nas memórias mencionadas que as equações de dinâmica de um corpo com um ponto fixo, referidas a eixos cartesianos arbitrários, foram dadas pela primeira vez), como na hidrodinâmica e na teoria da elasticidade.

Na teoria da elasticidade, vários estudos de Euler são dedicados à teoria da flexão de vigas e hastes; nos seus primeiros trabalhos (1740s) resolveu o problema da flexão longitudinal de uma haste elástica, compondo e resolvendo a equação diferencial do eixo dobrado da haste. Em 1757, no seu “Sobre a carga de colunas”, Euler foi o primeiro na história a obter uma fórmula para a carga crítica em compressão de uma haste elástica, dando origem à teoria da estabilidade dos sistemas elásticos. A aplicação prática desta fórmula veio muito mais tarde, quase um século depois, quando muitos países (principalmente Inglaterra) começaram a construir caminhos-de-ferro, exigindo o cálculo da resistência das pontes ferroviárias; foi nesta altura que os engenheiros adoptaram – após algum refinamento – o modelo de Euler.

Euler é – juntamente com D. Bernoulli e J. L. Lagrange – um dos fundadores da dinâmica dos fluidos analíticos; aqui é-lhe creditada a criação da teoria do movimento de um fluido ideal (ou seja, um fluido sem viscosidade) e a resolução de alguns problemas específicos da mecânica dos fluidos. Em “Princípios de movimento de fluidos” (publicado nove anos depois) ele, aplicando as suas equações de dinâmica de um volume material elementar de um meio contínuo ao modelo de um fluido perfeito incompressível, pela primeira vez obteve para tal fluido as equações de movimento, bem como (para o caso geral tridimensional) a equação de continuidade. Ao estudar o movimento sem vórtice de um fluido incompressível, Euler introduziu a função S {estilo S} (mais tarde chamada de potencial de velocidade por Helmholtz) e mostrou que satisfaz uma equação diferencial parcial – assim a equação, agora conhecida como a equação de Laplace, entrou na ciência.

Os resultados deste trabalho foram substancialmente generalizados por Euler no seu tratado “Princípios Gerais de Movimento de Fluidos” (1755). Aqui, para o caso de um fluido ideal compressível, apresentou (praticamente em termos modernos) a equação de continuidade e as equações de movimento (três equações diferenciais escalares, às quais a equação de Euler – a equação básica da hidrodinâmica de um fluido ideal – corresponde em forma vectorial). Euler salientou que, para fechar este sistema de quatro equações, é necessária uma relação constitutiva que permita expressar a pressão p p (a que Euler chamou “elasticidade”) em função da densidade q {estilo de jogo q} e “outro bem r {r estilo de jogo} {r] que afecta a elasticidade” (na verdade, referia-se à temperatura). Discutindo a possibilidade de existência de movimentos não potenciais de um fluido incompressível, Euler deu o primeiro exemplo concreto do seu fluxo de vórtice, e para potenciais movimentos de tal fluido obteve o primeiro integral – um caso especial do agora conhecido integral Lagrange-Cauchy.

No mesmo ano, as memórias de Euler “Princípios Gerais do Estado de Equilíbrio de Líquidos”, que continham uma apresentação sistemática da hidrostática de um líquido ideal (incluindo a derivação da equação geral de equilíbrio de líquidos e gases) e derivaram uma fórmula barométrica para uma atmosfera isotérmica, datam também desse ano.

Nos trabalhos acima referidos Euler, escrevendo equações de movimento e equilíbrio de um fluido, tomou como variáveis espaciais independentes as coordenadas cartesianas da posição actual de uma partícula material – variáveis Euler (D’Alambert foi o primeiro a utilizar tais variáveis em hidrodinâmica). Mais tarde, em “Sobre os princípios de movimento dos fluidos”. Secção Dois” (1770), Euler introduziu a segunda forma das equações da hidrodinâmica, na qual as coordenadas cartesianas da posição de uma partícula material no momento inicial (agora conhecidas como variáveis de Lagrange) foram tomadas como variáveis espaciais independentes.

Euler compilou as principais realizações neste campo numa Dioptrica de três volumes (Latim: Dioptrica, 1769-1771). Entre os principais resultados: regras de cálculo das características óptimas dos refractores, reflectores e microscópios, cálculo do maior brilho de imagem, do maior campo de visão, do menor comprimento do instrumento, da maior ampliação, das características da ocular.

Newton argumentou que a criação de uma lente acromática é fundamentalmente impossível. Euler argumentou que uma combinação de materiais com características ópticas diferentes poderia resolver o problema. Em 1758, depois de uma longa polémica, Euler conseguiu convencer o oculista inglês John Dollond, que então fez a primeira lente acromática ligando duas lentes feitas de óculos de composição diferente uma à outra, e em 1784 o académico F. Epinus em São Petersburgo construiu o primeiro microscópio acromático do mundo.

Astronomia

Euler trabalhou extensivamente no campo da mecânica celestial. Uma das tarefas urgentes na altura era determinar os parâmetros da órbita de um corpo celeste (por exemplo, um cometa) a partir de um pequeno número de observações. Euler melhorou significativamente os métodos numéricos para este fim e aplicou-os praticamente na determinação da órbita elíptica do cometa de 1769; estes trabalhos foram confiados por Gauss, que deu a solução final ao problema.

Euler lançou as bases da teoria da perturbação, mais tarde completada por Laplace e Poincaré. Ele introduziu o conceito fundamental dos elementos oscilantes de uma órbita e derivou as equações diferenciais que determinam a sua mudança com o tempo. Construiu a teoria da precessão e nutação do eixo da Terra, e previu a “livre circulação dos pólos” da Terra, descoberta um século mais tarde por Chandler.

Em 1748-1751 Euler publicou uma teoria completa da aberração da luz e da paralaxe. Em 1756 publicou a equação diferencial da refracção astronómica e investigou a dependência da refracção da pressão e da temperatura no ponto de observação. Estes resultados tiveram uma enorme influência sobre o desenvolvimento da astronomia nos anos seguintes.

Euler estabeleceu uma teoria muito precisa sobre o movimento da Lua, desenvolvendo um método especial de variação dos elementos orbitais para este fim. Posteriormente, no século XIX, este método foi alargado e aplicado a modelos do movimento dos grandes planetas e ainda hoje está em uso. As tabelas de Mayer, calculadas com base na teoria de Euler (1767), também se mostraram adequadas para resolver o problema urgente da determinação da longitude no mar, e o Almirantado inglês pagou a Mayer e Euler um prémio especial por isso. Os principais trabalhos de Euler neste campo:

Euler investigou o campo gravitacional não só de corpos esféricos mas também elipsoidais, o que representou um passo em frente significativo. Foi também o primeiro cientista a apontar a mudança secular na inclinação do plano eclíptico (1756), e por sugestão sua a inclinação no início de 1700 foi desde então adoptada como referência. Ele desenvolveu a base para a teoria do movimento dos satélites de Júpiter e de outros planetas fortemente comprimidos.

Em 1748, muito antes do trabalho de P. N. Lebedev, Euler formulou a hipótese de que as caudas de cometa, as auroras e a luz zodiacal têm em comum o efeito da radiação solar sobre a atmosfera ou substância dos corpos celestes.

Teoria da música

Ao longo da sua vida, Euler interessou-se pela harmonia musical, esforçando-se por lhe dar uma base matemática clara. O objectivo do seu trabalho inicial, Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739), era descrever matematicamente o quão agradável (eufoniosa) a música difere da música desagradável (desagradável). No final do capítulo VII de ‘Experience’ Euler organizou intervalos em ‘graus de agradabilidade’ (gradus suavitatis), sendo a oitava atribuída a II (algumas classes (incluindo a primeira, terceira e sexta) na tabela de agradabilidade de Euler foram omitidas. Havia uma piada sobre este trabalho que continha demasiada música para os matemáticos e demasiada matemática para os músicos.

Nos seus últimos anos, em 1773, Euler deu um trabalho na Academia de Ciências de São Petersburgo, no qual formulou a sua representação grelha do sistema sonoro na sua forma final; esta representação foi metaforicamente designada pelo autor como o “espelho da música” (lat. speculum musicae). No ano seguinte, o artigo de Euler foi publicado como um pequeno tratado De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (“Sobre os verdadeiros alicerces da harmonia apresentada através do speculum musicae”). Sob o nome Tonnetz, a grelha Euleriana foi amplamente utilizada na teoria musical alemã do século XIX.

Outras áreas de conhecimento

Em 1749 Euler publicou uma monografia de dois volumes, “A Ciência do Mar, ou um Tratado sobre a Construção e Navegação Naval”, na qual aplicou métodos analíticos aos problemas práticos da construção naval e da navegação no mar, tais como a forma dos navios, questões de estabilidade e equilíbrio, métodos de controlo do movimento dos navios. A teoria geral de Krylov sobre a estabilidade dos navios baseia-se na “Ciência Marinha”.

Os interesses científicos de Euler incluíam também a fisiologia; em particular, aplicou os métodos da hidrodinâmica ao estudo dos princípios do fluxo sanguíneo nos vasos. Em 1742 enviou à Academia de Dijon um artigo sobre o fluxo de fluidos em tubos elásticos (considerados como modelos de vasos), e em Dezembro de 1775 apresentou à Academia de Ciências de São Petersburgo um livro de memórias intitulado Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Princípios de determinação do movimento do sangue através das artérias). Este trabalho analisava os princípios físicos e fisiológicos do movimento do sangue causado pelas contracções periódicas do coração. Ao tratar o sangue como um fluido incompressível, Euler encontrou uma solução para as equações de movimento que compôs para o caso dos tubos rígidos, e no caso dos tubos elásticos limitou-se a derivar equações gerais de movimento finito.

Uma das principais tarefas atribuídas a Euler na sua chegada à Rússia foi a de formar pessoal científico. Entre os alunos directos de Euler:

Uma das prioridades de Euler era a criação de manuais escolares. Ele próprio escreveu “O Manual de Aritmética para uso no ginásio da Academia Imperial de Ciências” (1738-1740), “Aritmética Universal” (1768-1769). Euler, segundo Fuss, recorreu a um método original – ditou o manual a um rapaz-servo, observando como entendia o texto. Como resultado, o rapaz aprendeu a resolver problemas e a efectuar cálculos de forma independente

Euler tem o seu nome:

As obras completas de Euler, publicadas desde 1909 pela Sociedade Suíça de Naturalistas, estão ainda incompletas; foram planeados 75 volumes, dos quais 73 foram publicados:

Oito volumes adicionais serão dedicados à correspondência científica de Euler (mais de 3.000 cartas).

Em 1907, a Rússia e muitos outros cientistas celebraram o 200º aniversário do grande matemático, e em 1957 as Academias de Ciências Soviéticas e de Berlim dedicaram sessões solenes ao seu 250º aniversário. Na véspera do 300º aniversário de Euler (2007), realizou-se um fórum internacional de aniversário em São Petersburgo, e foi realizado um filme sobre a vida de Euler. No mesmo ano, um monumento a Euler foi revelado na entrada do Instituto Internacional Euler em São Petersburgo. As autoridades de São Petersburgo, contudo, rejeitaram todas as propostas de nomear uma praça ou uma rua com o nome do cientista; ainda não há nenhuma rua Euler na Rússia.

Qualidades e notas pessoais

De acordo com os seus contemporâneos, Euler era bondoso, de carácter gentil e não teve quase nenhuma desavença com ninguém. Até Johann Bernoulli, cujo carácter duro foi experimentado pelo seu irmão Jacob e pelo seu filho Daniel, era infalivelmente caloroso para ele. Euler precisava apenas de uma coisa para a plenitude da vida – a possibilidade de uma criatividade matemática regular. Ele podia trabalhar intensamente mesmo “com uma criança no colo e um gato nas costas”. Ao mesmo tempo, Euler era alegre, sociável, adorava música e conversas filosóficas.

O académico P.P. Pekarsky, com base nas provas dos contemporâneos de Euler, reconstruiu a imagem do académico: “Euler tinha a grande arte de não ostentar a sua bolsa de estudo, de esconder a sua superioridade e de estar ao nível de todos. Sempre um temperamento equilibrado, gentil e natural, algum desprezo com um toque de boa natureza, conversa ingénua e humorística – tudo isto tornava a conversa com ele tão agradável como atraente.

Como os contemporâneos notam, Euler era muito religioso. Segundo Condorcet, todas as noites Euler reunia os seus filhos, servos e alunos que viviam com ele para rezar. Ele lia-lhes um capítulo da Bíblia e por vezes acompanhava a leitura com um sermão. Em 1747 Euler publicou um tratado em defesa do cristianismo contra o ateísmo, “Defesa do Apocalipse Divino contra os Ataques dos Pensadores Livres”. O fascínio de Euler pelo raciocínio teológico causou uma atitude negativa em relação a ele (como filósofo) dos seus famosos contemporâneos – D’Alembert e Lagrange. Frederico II, que se considerava um “livre-pensador” e correspondia a Voltaire, disse que Euler “cheirava a padre”.

Euler era um homem de família atencioso, ansioso por ajudar os colegas e os jovens, e generosamente partilhou as suas ideias com eles. É bem sabido que Euler atrasou as suas publicações sobre cálculo de variações para que os então jovens e desconhecidos Lagrange, que tinham chegado independentemente às mesmas descobertas, as pudessem publicar primeiro. Lagrange sempre admirou Euler tanto como matemático como como homem; ele disse: “Se realmente ama a matemática, leia Euler”.

“Leia, leia Euler, ele é o nosso professor comum”, como Laplace gostava de repetir (Pe. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.) As obras de Euler foram estudadas com grande benefício pelo “rei dos matemáticos” Karl Friedrich Gauss e praticamente todos os cientistas famosos dos séculos XVIII e XIX.

D’Alambert, numa das suas cartas a Lagrange, chama Euler “aquele diabo” (frès se diable d’homme), como se quisesse indicar por isto, segundo comentadores, que o que Euler tinha feito estava para além do poder humano.

М. V. Ostrogradsky declarou numa carta a N. N. Fuss: “Euler criou a análise moderna, enriqueceu-a mais do que todos os seus seguidores juntos, e fez dela o instrumento mais poderoso da razão humana”. O académico S. I. Vavilov escreveu: “Juntamente com Peter I e Lomonosov, Euler tornou-se o bom génio da nossa Academia, que determinou a sua glória, a sua fortaleza, a sua produtividade.

Endereços de residência

Entre 1743 e 1766, Euler viveu na casa a 21 Berenstrasse

A partir de 1766, Euler viveu num edifício de apartamentos em 15 Embarcações Nikolayevskaya (com uma interrupção causada por um grande incêndio). Durante a época soviética, a rua passou a chamar-se Lieutenant Schmidt Quay. Há uma placa na casa e agora abriga uma escola secundária.

Selos, moedas, notas de banco

Em 2007, o Banco Central da Rússia emitiu uma moeda comemorativa do 300º aniversário do nascimento de L. Euler. O retrato de Euler foi também colocado na nota suíça de 10 francos (série 6) e em selos postais da Suíça, Rússia e Alemanha.

Olimpíadas de Matemática

Muitos dos factos em geometria, álgebra e combinatória provados por Euler são utilizados universalmente na matemática das Olimpíadas.

A 15 de Abril de 2007, realizou-se uma olimpíada de matemática na Internet para crianças em idade escolar para comemorar o 300º aniversário do nascimento de Leonhard Euler, apoiada por uma série de organizações. Desde 2008, realizou-se a Olimpíada de Matemática Leonhard Euler para alunos do oitavo ano, destinada em parte a substituir a perda das fases regional e final da Olimpíada de Matemática para alunos do oitavo ano.

Os historiadores descobriram pouco mais de mil descendentes directos de Leonhard Euler. O filho mais velho Johann Albrecht tornou-se um grande matemático e físico. O segundo filho Karl era um médico famoso. Mais tarde, o filho mais novo Christopher tornou-se tenente-geral do exército russo e comandante da Fábrica de Armas Sestroretsk. Todos os filhos de Euler aceitaram a cidadania russa (o próprio Euler continuou a ser um súbdito suíço durante toda a sua vida).

No final da década de 1980, os historiadores contavam cerca de 400 descendentes vivos, cerca de metade dos quais viviam na URSS.

Eis uma breve árvore genealógica de alguns dos descendentes conhecidos de Euler (o apelido é dado se não for “Euler”).

Outros descendentes de Euler incluem N. I. Gekker, V. F. Gekker e I. R. Gekker, V. E. Scalon e E. N. Behrendts. Os descendentes incluem muitos cientistas, geólogos, engenheiros, diplomatas e médicos; há também nove generais e um almirante. Um descendente de Euler é o presidente do Clube Internacional de Criminologia de São Petersburgo, D. A. Shestakov.

Fontes

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. 300-летие со дня рождения Л. Эйлера  (неопр.). Серия: Выдающиеся личности России. Центральный банк Российской Федерации (2 апреля 2007). Дата обращения: 22 октября 2008. Архивировано 14 января 2012 года.
7. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
8. Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
9. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
10. ^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
11. ^ The quote appeared in Gugliemo Libri’s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: “… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : ‘Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.’ ” [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: ‘Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][138]
12. ^ This quote appeared in a letter from Carl Friedrich Gauss to Paul Fuss dated September 11, 1849:[9] “Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, […] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird.” [The special publication of the smaller Euler treatises is certainly something highly deserving, […] and the study of all Euler’s works will always remain the best school for the various mathematical fields, which cannot be replaced by anything else.]
13. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
14. Dunham 1999, p. xiii