Евклид

gigatos | 7 мая, 2023

Суммури

Евклид (греч. Εὐκλείδης, Eukleidēs, лат. Euclīdēs) — греческий математик и геометр (ок. 325 до н. э. — ок. 265 до н. э.). Он известен как «отец геометрии». Он работал в Александрии (Древний Египет) во времена Птолемея I Сотера (323 — 283 гг. до н.э.). Он был основателем городской математической школы.

Самой известной его работой были «Элементы», которые часто считаются самым успешным учебником в истории математики. Свойства геометрических объектов и натуральных чисел выводятся из небольшого набора аксиом. Эта работа, один из старейших известных трактатов, в котором систематически представлен с доказательствами большой набор теорем по геометрии и теоретической арифметике, выдержала сотни изданий на всех языках, а ее темы остаются в основе преподавания математики на среднем уровне во многих странах. Имя Евклида связано с алгоритмом Евклида, евклидовой геометрией (и неевклидовой геометрией) и евклидовым делением. Он также писал о перспективе, конических сечениях, сферической геометрии и теории чисел.

Его жизнь малоизвестна, поскольку он жил в Александрии (город на севере Египта) во время правления Птолемея I. Некоторые арабские авторы утверждают, что Евклид родился в Тире и жил в Дамаске. Некоторые арабские авторы утверждают, что Евклид родился в Тире и жил в Дамаске. Прямых источников о жизни Евклида нет: ни одного письма, ни одного автобиографического указания (даже в виде предисловия в каком-либо произведении), ни одного официального документа и даже ни одного упоминания кого-либо из его современников. Как резюмирует историк математики Петер Шрайбер, «о жизни Евклида не известно ни одного определенного факта. Он был сыном Наукрата, и были выдвинуты три гипотезы:

Вероятно, Евклид учился в Академии Платона, изучая основы своих знаний.

Прокл, последний из великих греческих философов, живший около 450 года, написал важные комментарии к первой книге «Элементов». Эти комментарии представляют собой ценный источник информации по истории греческой математики. Так, например, мы знаем, что Евклид объединил труды Евдокса Книдского по теории пропорций и Теэтета по правильным многогранникам.

Именно, самое древнее известное сообщение о жизни Евклида содержится в кратком изложении истории геометрии, написанном в V веке нашей эры философом-неоплатоником Проклом, комментатором первой книги «Элементов». Сам Прокл не приводит никаких источников для своих указаний. Он говорит только: «собирая свои «Элементы», он вызывает в неопровержимых демонстрациях то, чему его предшественники учили в непринужденной манере». Этот человек жил, с другой стороны, при первом Птолемее, поскольку Архимед упоминает Евклида. Таким образом, Евклид более поздний, чем ученики Платона, но более древний, чем Архимед и Эратосфен».

Если принять хронологию Прокла, то Евклид жил между Платоном и Архимедом и был современником Птолемея I, около 300 г. до н.э.

Ни один документ не противоречит этим нескольким предложениям, но и не подтверждает их. Прямое упоминание Евклида о работах Архимеда содержится в отрывке, который считается сомнительным.

Архимед ссылается на некоторые результаты Элементов и на острак, найденный на острове Элефантина и датируемый III годом до н.э.: в нем рассматриваются фигуры, изученные в XIII книге Элементов, такие как десятиугольник и икосаэдр, но без точного воспроизведения евклидовых утверждений; следовательно, они могли происходить из источников, предшествующих Евклиду. Приблизительная дата 300 г. до н.э., однако, считается совместимой с анализом содержания евклидовой работы и является принятой историками математики.

С другой стороны, есть упоминание математика Папо из Александрии в IV веке н.э., которое предполагает, что ученики Евклида могли преподавать в Александрии. Некоторые авторы связывают Евклида с Мусейоном Александрии на этом основании, но он не фигурирует ни в одном официальном документе. Эпитет, который часто ассоциируется с Евклидом в античности, — просто Стоитексейот, автор «Элементов».

Об Евклиде ходит несколько анекдотов, но так как они появляются и о других математиках, они не считаются реальными: например, знаменитый, объясненный Проклом, согласно которому Евклид должен был ответить Птолемею — который хотел получить более легкий путь, чем те, что в Элементах — что в геометрии нет реальных путей; вариант того же анекдота также приписывается Менекмю и Александру Великому. Аналогичным образом, начиная с поздней античности, к рассказам о жизни Евклида добавлялись различные детали, без новых источников и часто противоречивым образом. У одних авторов Евклид родился в Тире, у других — в Геле; ему приписываются различные генеалогии, конкретные мастера, разные даты рождения и смерти, чтобы соблюсти правила жанра или отдать предпочтение определенным интерпретациям. В Средние века и в начале эпохи Возрождения математика Евклида часто путают с современником Платона, Евклидом из Мегары.

Упоминания о работах, приписываемых Евклиду, встречаются у нескольких авторов, в частности, в «Математическом сборнике» Паппуса (обычно датируемом III или IV веком) и в «Комментарии к «Началам» Евклида» Прокла. До наших дней сохранилась лишь часть этих работ.

До нас дошли пять работ: «Данные», «О делениях», «Катоптрика», «Явления неба» и «Оптика». Из арабских источников Евклиду приписывается несколько трактатов по механике. В «О тяжелом и легком» в девяти определениях и пяти предложениях содержатся аристотелевские представления о движении тел и понятие удельного веса. В «О равновесии» теория рычага рассматривается также аксиоматически, с одним определением, двумя аксиомами и четырьмя предложениями. Третий фрагмент, посвященный окружностям, описываемым концами подвижного рычага, содержит четыре предложения. Эти три работы дополняют друг друга таким образом, что возникло предположение, что они являются остатками единого трактата по механике, написанного Евклидом.

Элементы

Его «Элементы» являются одним из самых известных научных произведений в мире и представляли собой компиляцию знаний, преподаваемых в академическом мире того времени. Элементы» не были, как иногда считают, компендиумом всех геометрических знаний, а скорее вводным текстом, охватывающим всю элементарную математику, т.е. арифметику, синтетическую геометрию и алгебру.

Элементы» разделены на тринадцать книг или глав, из которых первые полдюжины посвящены элементарной геометрии плоскости, следующие три — теории чисел, книга X — несоизмеримости, а последние три — в основном геометрии твердых тел.

В книгах, посвященных геометрии, изучение свойств прямых и плоскостей, окружностей и сфер, треугольников и конусов и т.д., т.е. правильных форм, представлено формально, начиная всего с пяти постулатов. Вероятно, ни один из результатов «Элементов» не был впервые продемонстрирован Евклидом, но организация материала и его изложение, несомненно, принадлежат ему. На самом деле есть много доказательств того, что при написании «Элементов» Евклид пользовался более ранними учебниками, поскольку он приводит большое количество определений, которые не используются, например, определение продолговатости, ромба и ромбоида. Теоремы Евклида — это те теоремы, которые обычно изучают в современной школе. Приведем некоторые из наиболее известных:

В книгах VII, VIII и IX «Элементов» изучается теория делимости. В них рассматривается связь между совершенными числами и простыми числами Мерсенна (известная как теорема Евклида-Эйлера), бесконечность простых чисел (теорема Евклида), лемма Евклида о факторизации (которая приводит к фундаментальной теореме арифметики о единственности факторизации простых чисел) и алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

Геометрия Евклида, помимо того, что она является мощным инструментом для дедуктивных рассуждений, оказалась чрезвычайно полезной во многих областях знаний, например, в физике, астрономии, химии и различных инженерных областях. Безусловно, она очень полезна и в математике. Вдохновленный гармонией изложения Евклида, во втором веке была сформулирована птолемеевская теория мироздания, согласно которой Земля является центром Вселенной, а планеты, Луна и Солнце вращаются вокруг нее по идеальным линиям, то есть окружностям и комбинациям окружностей. Однако идеи Евклида представляют собой значительную абстракцию от реальности. Например, он предполагает, что точка не имеет размера; что линия — это совокупность точек, которая не имеет ни ширины, ни толщины, только длину; что поверхность не имеет толщины и так далее. Поскольку точка, согласно Евклиду, не имеет размера, ей присваивается размерность ноль. Линия имеет только длину, поэтому она приобретает размерность, равную единице. У поверхности нет ни толщины, ни высоты, поэтому она имеет размерность два: ширина и длина. Наконец, твердое тело, например, куб, имеет размерность три: длина, ширина и высота. Евклид попытался обобщить все математические знания в своей книге «Элементы». Геометрия Евклида была работой, которая оставалась неизменной вплоть до 19 века.

Из исходных аксиом только аксиома параллелей казалась менее очевидной. Различные математики безуспешно пытались обойтись без этой аксиомы, пытаясь вывести ее из остальных аксиом. Они пытались представить ее в виде теоремы, но не преуспели в этом.

Наконец, некоторые авторы создали новые геометрии, основанные на аннулировании или замене аксиомы параллелей, что привело к появлению «неевклидовых геометрий». Главная особенность этих геометрий заключается в том, что при изменении аксиомы параллелей углы треугольника больше не складываются в 180 градусов.

Сведения (Δεδομένα) — единственная работа Евклида, посвященная геометрии, от которой сохранилась греческая версия (она есть, например, в рукописи X, обнаруженной Пейраром). Она также подробно описана в VII книге «Математического сборника» Папо, «Сокровищнице анализа», тесно связанной с первыми четырьмя книгами «Элементов». В ней рассматривается тип информации, даваемой в геометрических задачах, и ее природа. Данные помещены в рамки плоской геометрии и рассматриваются историками как дополнение к Элементам, в форме, более подходящей для анализа задач. Работа содержит 15 определений, объясняет, что означает геометрический объект, в положении, в форме, в размере, и 94 теоремы. Они объясняют, что если даны некоторые элементы фигуры, то можно определить другие отношения или элементы.

О подразделениях

Это произведение (есть части на латыни (De divisionibus), но прежде всего существует рукопись на арабском языке, обнаруженная в 19 веке, которая содержит 36 предложений, четыре из которых доказаны.

Она посвящена делению геометрических фигур на две или более равные части или на части заданных пропорций. Она похожа на работу Герона Александрийского, написанную в III веке нашей эры. В этой работе он пытается построить прямые линии, которые делят заданные фигуры на заданные пропорции и формы. Например, задан треугольник и точка внутри треугольника, нужно построить прямую, проходящую через точку и разрезающую треугольник на две фигуры равной площади; или, задан круг, нужно построить две параллельные прямые так, чтобы часть круга, которую они ограничивают, составляла одну треть площади круга.

О заблуждениях (Pseudaria)

О заблуждениях (Περὶ Ψευδαρίων), текст об ошибках в рассуждениях, является утраченным произведением, известным только по описанию, данному Проклом. По его словам, целью работы было приучить начинающих выявлять ложные рассуждения, в частности те, которые имитируют дедуктивные рассуждения и таким образом имеют видимость истины. Он привел примеры параллелогизмов.

Четыре книги о конических сечениях

Четыре книги о конических сечениях (Κωνικῶν Βιβλία) в настоящее время утрачены. Это был труд о конических сечениях, который был расширен Аполлонием Пергским в знаменитой книге на ту же тему. Вполне вероятно, что первые четыре книги труда Аполлония были заимствованы непосредственно у Евклида. Согласно Папо, «Аполлоний, завершив четыре книги Евклида о кониках и добавив еще четыре, оставил восемь томов о кониках». Коники Аполлония быстро заменили оригинальную работу, и ко времени Папо работа Евклида была утеряна.

Три книги поризмов

Три книги поризмов (Πορισμάτων Βιβλία), возможно, были продолжением его работы о конических сечениях, но смысл названия неясен. Это работа, которая потеряна. Эта работа упоминается в двух отрывках Прокла, и, прежде всего, она является предметом длинного изложения в VII книге сборника Паппуса «Сокровищница анализа», как значительный и далеко идущий пример аналитического подхода. Слово porisma имеет несколько значений: согласно Паппусу, оно обозначает здесь утверждение промежуточного типа между теоремами и задачами. Работа Евклида содержала 171 такое утверждение и 38 лемм. Папо приводит такие примеры, как «если, начиная с двух данных точек, провести прямые линии, пересекающиеся с данной прямой, и если одна из них вырежет отрезок на данной прямой, то другая сделает то же самое на другой прямой, причем отношение между двумя вырезанными отрезками будет фиксированным». Точное определение того, что такое поризм, и, возможно, восстановление всех или части утверждений работы Евклида на основе информации, оставленной Папюсом, занимало многих математиков: наиболее известны попытки Пьера Ферма в XVII веке, Роберта Симсона в XVIII веке и, прежде всего, Мишеля Шасле в XIX веке. Если реконструкция Шасле не воспринимается современными историками всерьез, она дала математику возможность развить понятие ангармонического отношения.

Две книги о геометрических местах

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β» речь шла о геометрических местах на поверхностях или о геометрических местах, которые сами являются поверхностями. В более поздней интерпретации выдвигается гипотеза о том, что работа могла быть посвящена квадрическим поверхностям. Это также утраченное произведение из двух книг, упомянутое в сокровищнице анализа Паппуса. Указания Прокла или Паппуса на эти места Евклида неоднозначны, и точный вопрос, заданный в работе, неизвестен. В традиции древнегреческой математики, места — это наборы точек, которые подтверждают заданное свойство. Эти множества часто представляют собой прямые линии или конические сечения, но они также могут быть, например, плоскими поверхностями. По оценкам большинства историков, локусами Евклида могли быть поверхности вращения, сферы, конусы или цилиндры.

Внешний вид неба

Явления неба или Феномены (# Φαινόμενα) — это трактат по позиционной астрономии, сохранившийся на греческом языке. Он весьма похож на работу Автолита («О понятии сферы») и обсуждает применение геометрии сферы к астрономии и сохранился на греческом языке в нескольких рукописных версиях, самая старая из которых датируется X веком. Этот текст объясняет то, что называется «малой астрономией», в отличие от предметов, рассматриваемых в Большом сочинении Птолемея (Альмагест). Он содержит 18 предложений и близок к сохранившимся работам на ту же тему Автолита Питанского.

Оптика

Оптика (Ὀπτικά) — древнейший из дошедших до нас греческих трактатов, в нескольких версиях посвященный проблемам, которые мы сейчас сказали бы о перспективе, и, очевидно, предназначенный для использования в астрономии, принимает форму Элементов: это продолжение 58 предложений, доказательство которых опирается на определения и постулаты, изложенные в начале текста. В своих определениях Евклид следует платоновской традиции, которая гласит, что зрение вызывается лучами, исходящими из глаза. Евклид описывает видимый размер объекта в зависимости от его расстояния до глаза, а также исследует видимые формы цилиндров и конусов, если смотреть на них под разными углами.

Евклид показывает, что видимые размеры одинаковых предметов не пропорциональны их расстоянию от нашего глаза (предложение 8). Он объясняет, например, наше видение сферы (и других простых поверхностей): глаз видит меньшую поверхность в середине сферы, еще меньшую долю по мере приближения к сфере, даже если видимая поверхность кажется больше, а контур видимой поверхности — кругом. Трактат, в частности, противоречит мнению, отстаиваемому в некоторых школах мысли, согласно которому реальный размер объектов (в частности, небесных тел) — это их видимый размер, тот, который виден.

Папо считал эти результаты важными для астрономии и включил «Оптику» Евклида вместе с его «Феноменами» в сборник второстепенных работ, которые следовало изучить до «Альмагеста» Клавдия Птолемея.

Трактат о музыке

Прокл приписывает Евклиду трактат о музыке (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), который, как и астрономия, теоретическая музыка, например, в форме прикладной теории пропорций, относится к числу математических наук. Два небольших сочинения сохранились на греческом языке и были включены в древние издания Евклида, но их принадлежность неясна, как и их возможные связи с Элементами. С другой стороны, эти два сочинения (Раздел канона о музыкальных интервалах и Гармоническое введение) считаются противоречащими друг другу, а второе, по крайней мере, сейчас рассматривается учеными как сочинение другого автора.

Работы, ошибочно приписываемые Евклиду

Катоптрика (Κατοητρικά) посвящена математической теории зеркал, в частности, изображений, формируемых в вогнутых плоских и сферических зеркалах. Ее авторство Евклиду сомнительно; возможно, ее автором был Теон Александрийский. Она появляется в тексте Евклида по оптике и в комментариях Прокла. В настоящее время он считается утраченным, в частности, Catoptricus, долгое время публиковавшийся в древних изданиях как продолжение «Оптики», больше не приписывается Евклиду; считается, что это более поздняя компиляция.

Евклид также упоминается как автор фрагментов, относящихся к механике, в частности, текстов о рычаге и весах, в некоторых латинских или арабских рукописях. В настоящее время эта атрибуция считается сомнительной.

Другие ссылки

Источники

1. Euclides
2. Евклид
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
8. Евклид. Большая российская энциклопедия.
9. Зубов, 2007, с. 510.
10. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.