Каратеодори, Константин

gigatos | 22 января, 2022

Post Views: 104

Суммури

Константин Каратеодори (13 сентября 1873 — 2 февраля 1950) был греческим математиком, который провел большую часть своей профессиональной карьеры в Германии. Он внес значительный вклад в вещественный и комплексный анализ, вариационное исчисление и теорию мер. Он также создал аксиоматическую формулировку термодинамики. Каратеодори считается одним из величайших математиков своей эпохи и самым известным греческим математиком со времен античности.

Коллеги запомнили его как уважаемого и культурного человека.

Константин Каратеодори родился в 1873 году в Берлине от греческих родителей и вырос в Брюсселе. Его отец Стефанос, юрист, служил послом Османской империи в Бельгии, Санкт-Петербурге и Берлине. Его мать, Деспина, урожденная Петрококкинос, была родом с острова Хиос. Семья Каратеодори, родом из Боснохори или Выссы, была хорошо известна и уважаема в Константинополе, а ее члены занимали многие важные государственные посты.

Семья Каратеодори провела 1874-75 годы в Константинополе, где жил дед Константина по отцовской линии, пока его отец Стефанос был в отпуске. Затем в 1875 году они отправились в Брюссель, когда Стефанос был назначен туда послом Османской империи. В Брюсселе родилась младшая сестра Константина Юлия. 1879 год стал трагическим для семьи, так как в этом году умер дед Константина по отцовской линии, но еще более трагично то, что мать Константина Деспина умерла от пневмонии в Каннах. Бабушка Константина по материнской линии взяла на себя задачу по воспитанию Константина и Юлии в доме его отца в Бельгии. Они наняли горничную-немку, которая научила детей говорить по-немецки. К этому времени Константин уже владел французским и греческим языками.

Константин начал свое формальное обучение в частной школе в Вандерстоке в 1881 году. Он покинул ее через два года и затем провел время с отцом во время поездки в Берлин, а также провел зимы 1883-84 и 1884-85 годов на итальянской Ривьере. Вернувшись в Брюссель в 1885 году, он в течение года посещал гимназию, где впервые начал интересоваться математикой. В 1886 году он поступил в среднюю школу Athénée Royal d»Ixelles и учился там до окончания школы в 1891 году. Дважды за время обучения в этой школе Константин получал приз как лучший ученик по математике в Бельгии.

На этом этапе Каратеодори начал обучение на военного инженера. Он учился в Военной школе Бельгии с октября 1891 по май 1895 года, а также в Школе применения с 1893 по 1896 год. В 1897 году началась война между Османской империей и Грецией. Это поставило Каратеодори в сложное положение, поскольку он был на стороне греков, в то время как его отец служил правительству Османской империи. Поскольку он был квалифицированным инженером, ему предложили работу в британской колониальной службе. Эта работа привела его в Египет, где он работал на строительстве плотины в Асьюте до апреля 1900 года. В периоды, когда строительные работы приходилось останавливать из-за наводнений, он изучал математику по некоторым учебникам, которые были у него с собой, таким как «Курс анализа» Джордана и «Аналитическая геометрия конических сечений» Салмона. Он также посетил пирамиду Хеопса и провел измерения, которые записал и опубликовал в 1901 году. В том же году он опубликовал книгу о Египте, в которой содержалась обширная информация по истории и географии этой страны.

Каратеодори изучал инженерное дело в Бельгии в Королевской военной академии, где его считали харизматичным и блестящим студентом.

Докторанты

У Каратеодори было около 20 докторантов, среди которых были Ганс Радемахер, известный своими работами по анализу и теории чисел, и Пауль Финслер, известный созданием финслерова пространства.

Читайте также, биографии — Мария Стюарт

Академические контакты в Германии

Контакты Каратеодори в Германии были многочисленными и включали такие известные имена, как: Герман Минковский, Давид Гильберт, Феликс Клейн, Альберт Эйнштейн, Эдмунд Ландау, Герман Амандус Шварц, Липот Фежер. В трудный период Второй мировой войны его близкими сотрудниками в Баварской академии наук были Перрон и Тице.

Эйнштейн, в то время член Прусской академии наук в Берлине, работал над своей общей теорией относительности, когда связался с Каратеодори и попросил разъяснений по поводу уравнения Гамильтона-Якоби и канонических преобразований. Он хотел увидеть удовлетворительный вывод первого и происхождение второго. Эйнштейн сказал Каратеодори, что его вывод «прекрасен», и рекомендовал опубликовать его в журнале «Annalen der Physik». Эйнштейн использовал первую теорему в работе 1917 года под названием «Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein» («О квантовой теореме Зоммерфельда и Эпштейна»). Каратеодори объяснил некоторые фундаментальные детали канонических преобразований и отослал Эйнштейна к «Аналитической динамике» Э.Т. Уиттакера. Эйнштейн пытался решить проблему «замкнутых временных линий» или геодезических, соответствующих замкнутой траектории света и свободных частиц в статичной Вселенной, которую он ввел в 1917 году.

Ландау и Шварц стимулировали его интерес к изучению комплексного анализа.

Читайте также, биографии — Гесиод

Академические контакты в Греции

Находясь в Германии, Каратеодори сохранял многочисленные связи с греческим академическим миром, подробную информацию о которых можно найти в книге Георгиаду. Он принимал непосредственное участие в реорганизации греческих университетов. Особенно близким другом и коллегой в Афинах был Николаос Критикос, который посещал его лекции в Геттингене, позже переехал с ним в Смирну, а затем стал профессором Афинского политехнического института. Критикос и Каратеодори помогли греческому топологу Христосу Папакирьякопулосу получить докторскую степень по топологии в Афинском университете в 1943 году в очень сложных обстоятельствах. Во время преподавания в Афинском университете у Каратеодори был студент-бакалавр Евангелос Стаматис, который впоследствии добился значительных успехов как исследователь древнегреческой математической классики.

Вариационное исчисление

В своей докторской диссертации Каратеодори показал, как распространить решения на прерывные случаи, и изучил изопериметрические задачи.

Ранее, с середины 1700-х до середины 1800-х годов, Леонгард Эйлер, Адриен-Мари Лежандр и Карл Густав Якоб Якоби смогли установить необходимые, но недостаточные условия существования сильного относительного минимума. В 1879 году Карл Вейерштрасс добавил четвертое, которое действительно гарантирует существование такого количества. Каратеодори построил свой метод выведения достаточных условий на основе использования уравнения Гамильтона-Якоби для построения поля экстремалей. Идеи тесно связаны с распространением света в оптике. Метод стал известен как метод эквивалентных вариационных задач Каратеодори или королевский путь к вариационному исчислению. Ключевым преимуществом работы Каратеодори по этой теме является то, что она освещает связь между вариационным исчислением и дифференциальными уравнениями. Она позволяет быстро и элегантно вывести условия достаточности в вариационном исчислении и приводит непосредственно к уравнению Эйлера-Лагранжа и условию Вейерштрасса. В 1935 году он опубликовал работу «Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения первого порядка» (Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung).

В последнее время работа Каратеодори по вариационному исчислению и уравнению Гамильтона-Якоби была перенесена в теорию оптимального управления и динамического программирования. Метод также может быть распространен на кратные интегралы.

Выпуклая геометрия

Теорема Каратеодори в выпуклой геометрии гласит, что если точка x{displaystyle x} из Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}} лежит в выпуклом корпусе множества P{displaystyle P}, то x{displaystyle x} можно записать как выпуклую комбинацию не более d+1{displaystyle d+1} точек в P{displaystyle P}. То есть, существует подмножество P′{displaystyle P»} из P{displaystyle P}, состоящее из d+1{displaystyle d+1} или меньше точек, такое, что x{displaystyle x} лежит в выпуклом корпусе P′{displaystyle P»}. Эквивалентно, x{displaystyle x} лежит в r{displaystyle r}-симплексе с вершинами в P{displaystyle P}, где r≤d{displaystyle rleq d}. Наименьшее r{displaystyle r}, при котором последнее утверждение справедливо для каждого x{displaystyle x} в выпуклом корпусе P, определяется как число Каратеодори для P{displaystyle P}. В зависимости от свойств P{displaystyle P} могут быть получены верхние границы, меньшие, чем те, которые дает теорема Каратеодори.

Ему приписывают авторство гипотезы Каратеодори, утверждающей, что замкнутая выпуклая поверхность допускает по крайней мере две пупочные точки. По состоянию на 2021 год эта гипотеза оставалась недоказанной, несмотря на большое количество исследований.

Реальный анализ

Он доказал теорему существования для решения обыкновенных дифференциальных уравнений при мягких условиях регулярности.

Другая его теорема о производной функции в точке может быть использована для доказательства правила цепей и формулы для производной обратной функции.

Читайте также, биографии — Сюлли-Прюдом

Комплексный анализ

Он значительно расширил теорию конформных преобразований, доказав теорему о распространении конформных отображений на границы доменов Жордана. При изучении соответствия границ он создал теорию простых концов. Он представил элементарное доказательство леммы Шварца.

Каратеодори также интересовался теорией функций нескольких комплексных переменных. В своих исследованиях на эту тему он искал аналоги классических результатов, полученных в случае одной переменной. Он доказал, что шар в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} не является голоморфно эквивалентным бидиску.

Теория меры

Ему принадлежит теорема о расширении Каратеодори, которая является фундаментальной для современной теории меры. Позже Каратеодори распространил теорию от множеств на булевы алгебры.

Термодинамика

Термодинамика была близкой темой для Каратеодори еще со времен его учебы в Бельгии. В 1909 году он опубликовал новаторскую работу «Исследования по основам термодинамики», в которой сформулировал второй закон термодинамики аксиоматически, то есть без использования двигателей Карно и холодильников, а только с помощью математических рассуждений. Это еще одна версия второго закона, наряду с утверждениями Клаузиуса, а также Кельвина и Планка. Версия Каратеодори привлекла внимание некоторых ведущих физиков того времени, включая Макса Планка, Макса Борна и Арнольда Зоммерфельда. Согласно обзору термодинамики Бейлина, подход Каратеодори называется «механическим», а не «термодинамическим». Макс Борн высоко оценил этот «первый аксиоматически жесткий фундамент термодинамики» и выразил свой энтузиазм в письмах к Эйнштейну. Однако у Макса Планка были некоторые сомнения: хотя он был впечатлен математическим мастерством Каратеодори, он не соглашался с тем, что это фундаментальная формулировка, учитывая статистическую природу второго закона.

В своей теории он упростил основные понятия, например, теплота — это не основное, а производное понятие. Он сформулировал аксиоматический принцип необратимости в термодинамике, утверждая, что недоступность состояний связана с существованием энтропии, где температура — функция интегрирования. Второй закон термодинамики был выражен через следующую аксиому: «В окрестности любого начального состояния существуют состояния, к которым нельзя приблизиться произвольно близко посредством адиабатических изменений состояния». В связи с этим он ввел термин «адиабатическая доступность».

Оптика

Работы Каратеодори в области оптики тесно связаны с его методом в вариационном исчислении. В 1926 году он дал строгое и общее доказательство того, что ни одна система линз и зеркал не может избежать аберрации, за исключением тривиального случая плоских зеркал. В своих более поздних работах он дал теорию телескопа Шмидта. В своей работе «Геометрическая оптика» (1937) Каратеодори продемонстрировал эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма, начиная с первого, используя теорию характеристик Коши. Он утверждал, что важным преимуществом его подхода является то, что он охватывает интегральные инварианты Анри Пуанкаре и Эли Картана и завершает закон Малюса. Он пояснил, что в своих исследованиях в области оптики Пьер де Ферма придумал принцип минимума, аналогичный тому, который был сформулирован Герой Александрийским для изучения отражения.

Исторический

Во время Второй мировой войны Каратеодори редактировал два тома Полного собрания сочинений Эйлера, посвященных вариационному исчислению, которые были представлены к публикации в 1946 году.

В то время Афины были единственным крупным образовательным центром на обширной территории и имели ограниченные возможности для достаточного удовлетворения растущих образовательных потребностей восточной части Эгейского моря и Балкан. Константин Каратеодори, который в то время был профессором Берлинского университета, предложил создать новый университет — трудности, связанные с созданием греческого университета в Константинополе, заставили его рассмотреть три других города: Салоники, Хиос и Смирна.

По приглашению премьер-министра Греции Элефтериоса Венизелоса 20 октября 1919 года он представил план создания нового университета в Смирне в Малой Азии, который должен был называться Ионическим университетом в Смирне. В 1920 году Каратеодори был назначен деканом университета и принял активное участие в создании учебного заведения, объездив Европу для покупки книг и оборудования. Однако университет так и не смог принять студентов из-за войны в Малой Азии, которая закончилась Великим пожаром Смирны. Каратеодори удалось спасти книги из библиотеки, и только в последний момент его спас журналист, который доставил его на лодке к стоявшему наготове линкору «Наксос». Каратеодори привез в Афины часть университетской библиотеки и остался в Афинах, преподавая в университете и технической школе до 1924 года.

В 1924 году Каратеодори был назначен профессором математики в Мюнхенском университете и занимал эту должность до выхода на пенсию в 1938 году. Позже он работал в Баварской академии наук до своей смерти в 1950 году.

Новый греческий университет в более широкой области Юго-Восточного Средиземноморья, как первоначально предполагал Каратеодори, наконец, материализовался с созданием Университета Аристотеля в Салониках в 1925 году.

Каратеодори прекрасно владел языками, как и многие члены его семьи. Греческий и французский были его первыми языками, а немецкий он освоил с таким совершенством, что его сочинения, написанные на немецком языке, являются стилистическими шедеврами. Каратеодори также без труда говорил и писал на английском, итальянском, турецком и древних языках. Такой впечатляющий лингвистический арсенал позволил ему общаться и обмениваться идеями непосредственно с другими математиками во время его многочисленных путешествий и значительно расширил область его знаний.

Более того, Каратеодори был заветным собеседником для своих коллег-профессоров на мюнхенской кафедре философии. Уважаемый немецкий филолог, профессор древних языков Курт фон Фриц высоко оценивал Каратеодори, говоря, что от него можно узнать бесконечно много о старой и новой Греции, древнегреческом языке и эллинской математике. Фриц вел многочисленные философские дискуссии с Каратеодори.

В доме Каратеодори говорили исключительно на греческом языке — его сын Стефанос и дочь Деспина ходили в немецкую гимназию, но ежедневно получали дополнительное обучение греческому языку и культуре от греческого священника. Дома им не разрешалось говорить ни на каком другом языке.

Каратеодори был талантливым оратором, и его часто приглашали для произнесения речей. В 1936 году именно он вручил первые в истории Филдсовские медали на заседании Международного конгресса математиков в Осло, Норвегия.

В 2002 году в знак признания его заслуг Мюнхенский университет назвал одну из самых больших аудиторий математического института Лекционным залом Константина-Каратеодори.

В городе Неа Высса, откуда родом семья Каратеодори, находится уникальный музей семьи Каратеодори. Музей расположен на центральной площади города рядом с церковью, и в нем хранятся многие личные вещи Константина, а также письма, которыми он обменивался с А. Эйнштейном. Для получения дополнительной информации посетите оригинальный сайт клуба http

Координатор музея Афанасиос Липордезис (Αθανάσιος Λιπορδέζης) отметил, что в музее хранятся оригинальные рукописи математика объемом около 10 000 страниц, включая переписку Каратеодори с немецким математиком Артуром Розенталем по алгебраизации меры. Также посетители могут увидеть на витринах книги «Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4», «Mass und ihre Algebraiserung», «Reelle Functionen Band 1», «Zahlen

В настоящее время продолжаются работы по оснащению музея новыми экспонатами.

Журнальные статьи

Полный список публикаций Каратеодори в журналах можно найти в его Собрании сочинений (Ges. Math. Schr.). Среди известных публикаций можно отметить следующие:

Читайте также, биографии — Перон, Эва

Конференции

Источники