Эйлер, Леонард

Dimitris Stamatios | 1 мая, 2023

Post Views: 1

Суммури

Леонгард Эйлер († 7 сентябряюл.

Он сделал важные и далеко идущие открытия во многих отраслях математики, таких как исчисление бесконечно малых и теория графов. В то же время Эйлер внес фундаментальный вклад в другие области, такие как топология и аналитическая теория чисел. Он сформировал значительную часть математической терминологии и обозначений, которые до сих пор используются во всем мире. Например, Эйлер ввел понятие математической функции в исчисление. Он также известен своими работами в области механики, гидродинамики, оптики, астрономии и теории музыки.

Эйлер, который провел большую часть своей жизни в Санкт-Петербурге и Берлине, был одним из самых выдающихся математиков XVIII века. Его выдающиеся достижения не уменьшились даже после его слепоты в 1771 году и уже были признаны современниками. Сегодня он считается одним из самых блестящих и продуктивных математиков всех времен. Его собрание сочинений Opera omnia состоит из 76 томов — математическое произведение, масштаб которого и по сей день остается непревзойденным.

В честь Леонгарда Эйлера его именем были названы две математические константы: число Эйлера e ≈ 2,718 28 {displaystyle mathrm {e} approx 2{,}71828} (основание натурального логарифма) и постоянная Эйлера-Машерони γ ≈ 0,577 21 {displaystyle gamma approx 0{,}57721} из теории чисел, иногда также называется константой Эйлера.

Работы Леонгарда Эйлера служили источником вдохновения для многих поколений математиков, включая Пьера-Симона Лапласа, Карла Густава Якоби и Карла Фридриха Гаусса. Говорят, что Лаплас сказал своим студентам: «Читайте Эйлера, он — мастер всех нас!

Детство, юность и образование

Эйлер родился в Базеле, старший сын священника Пауля III Эйлера (1670-1745) и его жены Маргареты Брукер (1677-1761), дочери священника. У него было две младших сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат, Иоганн Генрих.

Вскоре после рождения Леонгарда, в связи с переездом его отца, семья Эйлеров переехала из Базеля в соседнюю деревню Риен, где с 1708 года Леонгард провел большую часть своего детства. Интеллектуальный климат в приходском доме был вдохновляющим: мать Эйлера сама происходила из образованной семьи, а отец имел математические интересы и не только слушал лекции Якоба I Бернулли, но даже написал математическую диссертацию в 1688 году. Леонгард Эйлер посещал гимназию на Мюнстерплац в Базеле и одновременно брал частные уроки у теолога Иоганна Буркхардта (1691-1743). Это было организовано для него отцом, поскольку уроки математики в школе были отменены. Известно также, что молодой Эйлер успешно изучал книгу «Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genannt werden» Кристофа Рудольфа (1499-1545). Его отец, энтузиаст математики, был другом Бернулли и особенно ведущего математика Европы Иоганна I Бернулли, который впоследствии оказал большое влияние на молодого Леонгарда.

В 1720 году, в возрасте 13 лет, он поступил в Базельский университет. По просьбе отца, который планировал сделать для сына карьеру пастора, Эйлер начал изучать теологию, а также греческий и иврит. Через три года он получил степень магистра. В представленной им диссертации он сравнил философию Декарта и Ньютона. В то же время он еженедельно брал уроки у Иоганна Бернулли, который заметил исключительный математический талант своего нового ученика и начал поощрять его. Затем Бернулли убедил Пауля Эйлера, что Леонгарду лучше обратиться к математике и физике.

В 1726 году Эйлер завершил еще одну диссертацию под названием «De Sono», работу о распространении звука. В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на соискание премии Парижской академии, задачей которого было решение проблемы оптимального размещения корабельных мачт. Каждый год Парижская академия составляла отчет о премии, и эти отчеты впоследствии публиковались в их призовых томах Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences de Paris (Доклады, получившие премию Королевской академии наук в Париже). Представленная Эйлером работа заняла лишь третье место, но решила проблему. Конкурс выиграл Пьер Бугер, который позже стал известен как «отец кораблестроения». В общей сложности Эйлер выиграл двенадцать последующих конкурсов. С момента первого конкурса в 1720 году и до конца XVIII века Парижская премия считалась самой важной научной наградой в Европе.

Время в Санкт-Петербурге

Примерно в это время два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николай, работали в недавно открытой в 1725 году Императорской Российской академии наук в Санкт-Петербурге. 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита. Когда Даниил занял место своего брата на кафедре математики.

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург 17 мая 1727 года. С младшей должности в медицинском отделении Академии он был переведен на должность в математическом отделении. В это время он жил у Даниэля Бернулли, с которым часто тесно сотрудничал. После недолгого пребывания в Академии Эйлер уже свободно говорил по-русски и поселился в Санкт-Петербурге. Некоторые источники (в основном старые вторичные работы) утверждают, что он стал медиком в русском флоте (на основании премии Парижской академии за корабельные мачты и курсы физиологии). Однако никаких сведений об этом нет.

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим, была призвана улучшить образование в России и догнать научное превосходство Западной Европы. С этой целью она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. Академия располагала значительными финансовыми средствами и обширной библиотекой, которая была собрана из частных библиотек Петра и дворянства. Чтобы облегчить учебную нагрузку преподавателей, в Академии обучалось очень мало студентов. Академия уделяла повышенное внимание научным исследованиям и предоставляла своим членам время и свободу для решения научных вопросов.

Екатерина I, которая продолжала прогрессивную политику своего покойного мужа и поддерживала Академию, умерла в день приезда Эйлера. С приходом к власти двенадцатилетнего Петра II российское дворянство приобрело влияние. Дворянство, враждебно относившееся к иностранным ученым Академии, сократило финансирование и тем самым создавало все большие трудности для Эйлера и его коллег.

После смерти Петра II условия для науки снова несколько улучшились. Благодаря своим достижениям Эйлер быстро возвысился и в 1731 году был назначен профессором физики. Два года спустя Даниэль Бернулли, который больше не мог выносить цензуру и вражду в Санкт-Петербурге, переехал в Базель. Эйлер сменил его на посту профессора математики в 1733 году.

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселл (1707-1773), дочери художника Георга Гселла от его первого брака с Марией Гертруд ван Лоен. Молодая пара купила дом на Неве. Из их 13 детей только пятеро пережили детство. Шарлотта Анна Вильгельмина († 1800) была замужем за Якобом Бернулли († 1789) без детей.

По оценке самого Эйлера, петербургские годы позволили ему стать сильным ученым. Об этом свидетельствуют различные письма, сохранившиеся со времени его пребывания в Берлине.

Время в Берлине

Обеспокоенный продолжающимися политическими неурядицами и борьбой за власть после смерти царицы Анны I в России, Эйлер 19 июня 1741 года покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Королевской прусской академии наук в Берлине, которую ему предложил Фридрих II Прусский. Там Эйлер переписывался с Христианом Гольдбахом и сравнивал его теории со своими.

Кроме того, Эйлера попросили поработать воспитателем Фридерике Шарлотты фон Бранденбург-Шведт, троюродной сестры Фридриха. В начале 1760-х годов Эйлер написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в книгу под названием «Письма немецкой принцессе о различных предметах физики и философии». Эта работа содержала комментарии Эйлера по различным темам физики и математики и давала ценные сведения о его личности и религиозных убеждениях. Книга стала более популярной, чем все его математические работы, и была опубликована по всей Европе и в Соединенных Штатах. Популярность «Писем» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные темы до широкой аудитории, что считалось редкостью среди преданных своему делу исследователей.

Зрение Эйлера ухудшилось в ходе его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он перенес опасную для жизни болезнь (из записей врача Эйлера того времени неясно, какая именно болезнь имела место), он почти полностью ослеп на правый глаз. Однако Эйлер винил в этом напряженную работу над картографией для Санкт-Петербургской академии. Во время пребывания в Германии зрение на этом глазу настолько ухудшилось, что Фридрих вскоре назвал его «мой циклоп». Эйлер заметил по поводу потери зрения: «Теперь меня будут меньше отвлекать».

Несмотря на огромный вклад Эйлера в репутацию Академии, он вступил в конфликт с Фридрихом. Прусский король имел при дворе большой круг интеллектуалов. Однако он считал математика неискушенным и слишком плохо осведомленным о вещах, выходящих за рамки чисел и величин. В письме к своему брату Августу Вильгельму Фридрих писал:

Простой, набожный человек, никогда не ставивший под сомнение существующий социальный порядок или общепринятые убеждения, Эйлер во многом считался полной противоположностью Вольтеру, который пользовался большим уважением при дворе Фридриха. Эйлер не был искусным оратором и часто вступал в споры о предметах, в которых плохо разбирался, что сделало его объектом насмешек Вольтера. В споре между Пьером Мопертюи и Вольтером, известном как спор об Академии, Эйлер, наряду с Фридрихом II, был одним из немногих, кто встал на сторону Мопертюи.

Фридрих не понимал манеру работы и самовыражения Эйлера. Среди прочего, попытки Эйлера рассматривать музыку на основе математики вызывали у Фридриха лишь насмешливые замечания. Он также выразил свое разочарование в практических способностях Эйлера как инженера:

Однако, по мнению физика Майкла Эккерта, неудача проекта строительства была вызвана не просчетами Эйлера, а некачественными строительными материалами.

Однако причиной окончательного разрыва между Эйлером и Фридрихом стал отказ монарха назначить Эйлера своим преемником на посту президента Академии после смерти Пьера Мопертюи. Вместо него Фридрих отдал предпочтение французскому математику Жану-Батисту ле Ронду д’Алемберу. Когда последний не принял должность и предложил вместо себя Эйлера, Фридрих проигнорировал это. В ответ Эйлер подал прошение об увольнении, но его просьба не увенчалась успехом. Только после второй попытки Фридрих отпустил его. Вскоре после ухода Эйлера Фридрих назначил президентом математика Жозефа-Луи Лагранжа, с которым Эйлер работал над созданием вариационного исчисления.

Эйлер прожил в Берлине в общей сложности 25 лет, где написал более 380 статей. В Берлине он опубликовал две свои самые известные работы: «Introductio in analysin infinitorum», текст о функциях, опубликованный в 1748 году, и работу «Institutiones calculi differentialis», посвященную дифференциальному исчислению и опубликованную в 1755 году. В 1755 году он также был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук.

Возвращение в Санкт-Петербург и смерть

В 1760 году, во время Семилетней войны, имение Эйлера в Шарлоттенбурге было разграблено наступающими русскими войсками. Когда генерал Иван Петрович Салтыков узнал об этом инциденте, он выплатил Эйлеру компенсацию за утраченное имущество, а императрица Елизавета Петровна позже добавила еще 4000 рублей — огромную по тем временам сумму. После вступления на престол Екатерины Великой политическая ситуация в России стабилизировалась, и Эйлер принял приглашение вернуться в Санкт-Петербургскую академию в 1766 году. Эйлер выдвинул условия: ежегодное жалование в 3000 рублей, пенсия для жены и обещание назначить его сыновей на высокие должности. Все эти просьбы были удовлетворены. Ему предстояло провести остаток жизни в России.

В 1771 году он полностью ослеп. В его левом глазу развилась катаракта, которая была обнаружена в 1766 году. Восстановление зрения путем операции на левом глазу временно улучшило его зрение. Однако в октябре в результате осложнения, возможно, инфекции, он почти полностью ослеп и периодически испытывал боль. На тот момент ему было 59 лет. Однако его состояние, похоже, не сильно повлияло на его производительность, так как он компенсировал многое своими умственными арифметическими навыками и исключительной памятью. С помощью своих переписчиков Эйлер даже смог увеличить число своих публикаций. Эйлеры носили двойное имя — Эйлер-Шёльпи, которое происходит от слов «schelb» и «schief», означающих косящие или кривые глаза. Это позволяет предположить, что Эйлеры могли быть склонны к проблемам с глазами.

Несмотря на слепоту, почти половина работ его жизни была написана во второй петербургский период. Ему помогали его сыновья Иоганн Альбрехт, Карл и Кристоф, а также его секретарь Николаус Фусс. Несмотря на свою научную продуктивность, он так и не стал президентом университета. Отношения Эйлера с директором Петербургской академии Владимиром Григорьевичем Орловым, который занял этот пост в возрасте 23 лет, снова оказались сложными. Вскоре Эйлер отказался от своих официальных академических обязанностей в Петербургской академии, что дало ему больше свободы для научной работы.

Его второе пребывание в России, помимо слепоты, было отмечено и другими радикальными событиями. Пожар в Санкт-Петербурге в 1771 году стоил ему дома и почти жизни. Помимо прочего, жертвами пламени стали его библиотека и мебель, но быстрая реакция Владимира Орлова спасла многие рукописи. Одной из потерь была работа по лунной теории, которая должна была быть опубликована Академией в Париже в 1772 году. Иоганну Альбрехту Эйлеру впоследствии пришлось переписывать ее слово в слово. Наконец, в 1773 году умерла его первая жена Катарина. Эта утрата чрезвычайно осложнила домашнюю жизнь, поскольку Катарина вела все хозяйство. Эйлер твердо решил оставаться независимым и не полагаться на своих сыновей, хотя в то время было вполне обычным делом, когда пожилой родитель жил с детьми и находился под их опекой. Он работал в Кунсткамере, как и в первый петербургский период.

Через три года после смерти жены Эйлер женился на ее сводной сестре Саломее Абигайль Гселл (1723-1794), дочери Георга Гселла и его третьей жены Марии Доротеи Гселл, дочери Марии Сибиллы Мериан. Этот брак продлился до его смерти. В 1782 году он был избран почетным иностранным членом Американской академии искусств и наук.

18 сентября 1783 года (по григорианскому календарю) Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту в Санкт-Петербурге после обеда со своей семьей и коллегой Андерсом Йоханом Лекселем, когда он упал в обморок в результате кровоизлияния в мозг. Через несколько часов, около одиннадцати часов вечера, он умер. Якоб фон Стахлин написал краткий некролог для Российской академии наук, а Николаус Фусс произнес более подробный панегирик на поминальной встрече. Маркиз де Кондорсе написал в связи с кончиной Эйлера:

Эйлер был похоронен рядом со своей женой на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове в Санкт-Петербурге. Российская академия наук установила камень на могиле в 1837 году. В честь 250-летия со дня рождения Эйлера в 1956 году надгробие вместе с его останками было перенесено в некрополь на кладбище Лазаря Александро-Невского монастыря.

Новаторские достижения Эйлера во многих областях были известны уже его современникам. Поэтому его прославляли как «воплощение анализа» и «солнце всех математиков». В своем подробном панегирике Николас Фусс подчеркнул влияние Эйлера на науку:

Этот некролог — один из самых известных, дошедших до нас из истории науки. Оригинальная версия была написана на французском языке и прочитана вслух 23 октября 1783 года (по григорианскому календарю — 3 ноября) в Императорской Академии наук в Санкт-Петербурге.

После Октябрьской революции 1917 года некоторые его потомки вернулись из России в Швейцарию, в том числе родители ставшего впоследствии национальным советником Александра Эйлера (1929-2012).

Исследования Эйлера были очень разносторонними. Он работал практически во всех областях математики и считается одним из самых продуктивных математиков в истории. Среди прочего, он опубликовал работы по геометрии, исчислению бесконечно малых, тригонометрии, алгебре и теории чисел, а также по механике сплошной среды, лунной теории и другим областям физики. Его собрание сочинений Opera omnia состоит из 74 томов. Всего известно 866 его публикаций. Таким образом, его полное собрание сочинений составляет примерно треть всего объема математических, физических и механических исследований за последние три четверти XVIII века. Имя Эйлера связано с большим количеством результатов и научных областей.

В честь Леонгарда Эйлера названы две математические константы: число Эйлера e ≈ 2,718 28 {displaystyle mathrm {e} approx 2{,}71828} из исчисления и постоянная Эйлера-Маскерони γ (гамма) из теории чисел, иногда называемая просто постоянной Эйлера, которая приблизительно равна 0,57721.

Его математические работы служили источником вдохновения для многих поколений математиков. Среди прочих, он повлиял на работу Пьера-Симона Лапласа, Жозефа-Луи Лагранжа, Карла Фридриха Гаусса, Карла Густава Якоби, Нильса Хенрика Абеля, Эвариста Галуа, Карла Вейерштрасса и Бернхарда Римана.

Математические обозначения

Эйлер ввел несколько условных обозначений в своих многочисленных учебниках. Благодаря широкому распространению книг многие из его обозначений получили длительное признание. Он ввел понятие математической функции и первым написал f(x) для обозначения функции f, применяемой к аргументу x. Он также ввел обозначения, которые до сих пор используются для тригонометрических функций, букву e для основания натурального логарифма, греческую букву Σ (сигма) для сумм и букву i для обозначения мнимой единицы. Использование греческой буквы π для обозначения отношения окружности и диаметра круга (число окружности) также было популяризировано Эйлером, хотя первоначально оно восходило к валлийскому математику Уильяму Джонсу.

Анализ

Эйлера можно считать одним из основателей исчисления. Благодаря постоянным исследованиям, в 18 веке бесконечно малое исчисление было на подъеме. В частности, друзья Эйлера, Бернуллисы, были ответственны за значительную часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение бесконечно малых стало основным направлением работы Эйлера.

Особенно новаторским было его доказательство ряда Тейлора экспоненциальной функции.

а также его решение так называемой Базельской проблемы:

Эйлер впервые использовал экспоненциальную функцию и логарифмы в аналитических доказательствах и успешно определил их для комплексных чисел. Это значительно расширило область их применения. Таким образом, он обнаружил тесную связь с тригонометрическими функциями. Для каждого действительного числа φ {displaystyle varphi } (в радианах), формула Эйлера утверждает, что комплексная экспоненциальная функция удовлетворяет этому уравнению:

Частный случай вышеприведенной формулы известен как эйлерово тождество:

Теорема о пятиугольных числах из теории функций и комбинаторики — еще одно открытие Леонгарда Эйлера. Она гласит, что следующее произведение Эйлера можно представить в виде ряда сумм Маклорена, используя в качестве экспоненты пятиугольные числа и числа карточного домика:

Для всех комплексных чисел (x ∈ ℂ) ∩ (

Греческая буква Ψ используется здесь для выражения пси-функции Рамануджана, а буква ϑ — для выражения тэта-функции.

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно проследить по влиянию Христиана Гольдбаха, друга по Санкт-Петербургской академии. Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма. Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые его гипотезы.

Эйлер связал природу распределения простых чисел с идеями из исчисления. Например, он доказал, что сумма взаимно обратных простых чисел расходится. При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; его открытие известно сегодня как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана. Он использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о распределении простых чисел. Работа Эйлера в этой области привела к разработке теоремы о простых числах.

Эйлер доказал малую теорему Ферма, теорему Ферма о сумме двух квадратов и внес важный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадратах. Он также ввел эйлерову функцию phi. Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма в то, что сегодня известно как теорема Эйлера. Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел, которая увлекала математиков со времен Евклида. Эйлер доказал, что связь, показанная Евклидом между (четными) совершенными числами и простыми числами Мерсенна, равна один к одному. Этот результат известен как теорема Евклида-Эйлера. Эйлер также предположил закон квадратичной взаимности, который позже был доказан Карлом Фридрихом Гауссом. Это одно из самых фундаментальных понятий в теории чисел. В 1772 году Эйлер доказал, что 2 31 — 1 = {displaystyle 2^{31}-1=} 2,147,483,647 — простое число Мерсенна. Оно считалось самым большим простым числом, найденным до 1867 года.

В честь Эйлера названы различные числа и последовательности чисел, см. числа Эйлера (объяснение терминов).

Прикладная математика

К величайшим достижениям Эйлера относятся аналитические решения практических задач и описание многочисленных приложений чисел Бернулли, рядов Фурье, чисел Эйлера, констант e и π, продолженных дробей и интегралов. Он объединил дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий (ньютоновское описание производной) и разработал методы, облегчающие применение математики к физическим проблемам. Он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов. Наиболее известными из этих приближений являются явный метод Эйлера и формула Эйлера-Маклаурина. Он признал полезность дифференциальных уравнений и ввел постоянную Эйлера-Машерони:

который играет роль, в частности, в законе Ципфа, а также во многих других областях. В других работах Эйлер занимался вопросами применения математических методов в социальных и экономических науках (например, рост населения, продолжительность жизни и страхование жизни). Из-за его вклада в динамику населения уравнение Эйлера-Лотки частично названо в его честь.

Теория графов и топология

В 1735 году (опубликована в 1736 году и издана в 1741 году) в работе «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» Эйлер представил решение проблемы моста в Кенигсберге. Город Кенигсберг в Пруссии лежал на реке Прегель и состоял из двух больших островов, соединенных между собой и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли выбрать путь, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно, потому что для этого графа не существует круга Эйлера. Это решение Эйлера считается первой теоремой теории графов, особенно теории планарных графов.

Эйлер открыл формулу E — K + F = 2 {displaystyle E-K+F=2} относительно количества вершин (E), ребер (K) и граней (F) выпуклого многогранника, плоского графа. Константа в этой формуле теперь называется характеристикой Эйлера графа (или другого математического объекта) и напрямую связана с математическим родом объекта. Изучение и обобщение этой формулы, особенно Коши, положило начало топологии.

Логика

Эйлеру принадлежит заслуга использования замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений. Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера. В Письмах немецкой принцессе 101-108, написанных в феврале и марте 1761 года, Эйлер ввел то, что сейчас называется диаграммами Венна, хотя это неверное название. Диаграммы для математических представлений в логике появились в некоторых трактатах восемнадцатого века по этому предмету, и возможно, что Иоганн Генрих Ламберт использовал их незадолго до писем Эйлера. В письмах 101 и 102 Эйлер подчеркивал необходимость дисциплинированного языка в представлении общих идей и их расширения; он использовал круги в диаграммах для объяснения различных форм силлогизмов и гипотетических предложений.

Физика и астрономия

Эйлер оказал выдающиеся услуги в очень многих классических областях физики.

В таких работах, как «Mechanica, sive motus scientia analytica exposita» (1736) и «Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» (1765), Эйлер применил математику к вопросам физики. 3 сентября 1750 года он прочитал перед Берлинской академией наук мемуар, в котором представил принцип «сила равна массе, умноженной на ускорение» в контексте «уравнения Эйлера для вращения твердого тела» как свое собственное и новое открытие.

В 1757 году он опубликовал важные уравнения, описывающие течение упругих жидкостей без трения. Сегодня они известны как уравнения Эйлера в механике жидкости. Леонгард Эйлер также занимался механикой в области уравнения турбины и гироскопической теории (гироскопические уравнения Эйлера).

Первое аналитическое описание смятия бруса, нагруженного сжимающей силой, восходит к Эйлеру; с его помощью он основал теорию устойчивости. Он помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли, которое стало краеугольным камнем инженерной науки. Помимо успешного применения своих аналитических инструментов для решения задач классической механики, Эйлер также применял их в астрономии — эта работа была отмечена рядом премий Парижской академии в течение его карьеры. Среди его достижений — точное определение орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца. Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы.

В области оптики он опубликовал работы по волновой теории света и по расчету оптических линз, позволяющих избежать ошибок в цвете. В «Оптике» он опроверг господствовавшую в то время корпускулярную теорию света Ньютона. Его работы по оптике 1740-х годов способствовали тому, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, стала доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света.

В 1745 году Эйлер перевел на немецкий язык труд англичанина Бенджамина Робинса «Новые принципы артиллерии», значительно расширив сферу его применения. Таким образом, благодаря Робинсу и с помощью Эйлера был создан «первый учебник баллистики». Во Франции, например, он был введен (во французском переводе) в качестве официального учебника в военных школах. Наполеону Бонапарту пришлось изучать его в звании лейтенанта.

Менее известна его работа по критерию устойчивости кораблей, в которой он возобновил уже приобретенные, но вновь утраченные знания Архимеда.

Математическая теория музыки

В области музыки мысли Эйлера также в основном основывались на математике. Хотя его труды по теории музыки составляют лишь небольшую часть его творчества (несколько сотен страниц из общего объема около 30 000 страниц), они, тем не менее, отражают интерес, который пробудился в раннем возрасте и не покидал его на протяжении всей жизни. Одним из основных направлений его работы было присвоение «степени сладости» многофоновым звукам, таким как музыкальные интервалы или даже аккорды, например, трезвучия. Абстрактно это можно понимать как теоретико-числовую функцию, которая подразумевает увеличение сложности (т.е. уменьшение приятности) звука с увеличением значения.

Современный

Репутация и влияние Эйлера уже при его жизни считались чрезвычайно высокими. В течение примерно двух десятилетий он был «интеллектуальным лидером образованных кругов» в протестантской части Германии. Он оказал важные услуги в качестве «золотого моста между двумя академиями», о чем свидетельствует его переписка, а также тот факт, что за время его пребывания в Берлине с 1741 по 1766 год из-под его пера вышло 109 публикаций в петербургских досье (томах журналов Академии) по сравнению со 119 публикациями в «Мемуарах» Прусской академии. В общей сложности Эйлер получил двенадцать международных премий Академии, не считая восьми премий его сыновей Иоганна Альбрехта (7) и Карла (1), в которые он внес решающий вклад. Людовик XVI подарил ему 1000 рублей за вторую теорию корабля, а Екатерина II — вдвое больше.

Первая лунная теория Эйлера имела практические последствия, которые нельзя недооценивать: в 1755 году геттингенский астроном Тобиас Майер составил лунные таблицы по формулам Эйлера, что позволило определить положение спутника Земли и, следовательно, географическую долготу корабля в открытом море с точностью, никогда ранее не достигавшейся в навигационной науке того времени. В 1714 году британский парламент предложил значительную денежную премию за определение долготы в открытом море с погрешностью менее половины градуса. Впервые эта премия была присуждена в 1765 году: вдова Майера получила 3000 фунтов, а Эйлер — 300 фунтов за теорию, на которой были основаны таблицы Майера. Эти лунные таблицы были включены во все навигационные альманахи, и этот метод использовался в мореплавании более века.

Говорят, что Пьер-Симон Лаплас сказал своим студентам:

В 19 веке

Книги Эйлера, которые, по словам Эмиля Фельмана, «характеризуются высочайшим стремлением к ясности и простоте» и «представляют собой первые настоящие учебники в современном смысле», утвердили Эйлера не только «как учителя Европы своего времени», но и глубоко в 19 веке: работы Бернхарда Римана, например, носят «безошибочные эйлеровы черты». Анри Пуанкаре сообщил, что, по словам Теодора Стронга, «Эйлер был богом математики, смерть которого ознаменовала упадок математических наук».

В отличие от этого, учение Эйлера о «двух материях», одной «грубой» и одной «тонкой», к которым можно отнести все явления, было отвергнуто в 19 веке. Соответственно, в то время они не получили дальнейшего развития. Мысли Эйлера о таком дуализме были опубликованы посмертно в его «Anleitung zur Naturlehre». Здесь «грубая материя» отвечала за «разнообразные вещества» (точное исследование которых Эйлер оставил химии), а «тонкая материя» (эфир) — за гравитацию, электричество, магнетизм и оптику. Однако считается возможным, что Бернхард Риман изучал это руководство и находился под его влиянием.

Считается, что труды Эйлера оказали особое влияние на Карла Густава Якоби, одного из самых выдающихся математиков XIX века. Он собирал книги Эйлера, с увлечением изучал их и в 1849 году в письме к своему брату заметил:

Он тщетно пытался получить два тома «Opuscula analytica» Эйлера, опубликованные в Петербурге в 1783 и 1785 годах. Когда правнук Эйлера Пауль Генрих фон Фусс прислал ему эти тома из Петербурга, Якоби ответил ему письмом от 3 мая 1841 года:

Труды Эйлера стали для Якоби «сокровищницей вдохновения», а его результаты и методы привели Якоби к новым «проницательным открытиям». Прежде всего, это относится к найденному Якоби тройному произведению, которое он назвал «вероятно, самым важным и плодотворным из того, что было изобретено в чистой математике». Это прямое обобщение теоремы Эйлера о пятиугольнике и имеет важные последствия для теории тэта-функций.

Карл Фридрих Гаусс высоко оценил работу Эйлера и подчеркнул ее ценность для будущих поколений математиков:

В 20 веке до сегодняшнего дня

С точки зрения сегодняшней истории науки считается, что Леонгард Эйлер сыграл очень важную роль в прогрессе математики и техники. Однако в отношении его не всегда строгого исполнения аналитических методов «логические пробелы» время от времени подвергаются критике. В частности, его работа с бесконечно большими величинами подвергалась критике, хотя ему часто приписывают большую «аналитическую силу» из-за множества правильных конечных результатов.

Рональд Калингер помещает феномен Эйлера и его достижения в историю науки следующим образом: В математике в начале эпохи Просвещения ожидалось мало новых великих достижений или фундаментальных инноваций. XVII век — когда большинство специалистов в этой области были выходцами из аристократии или занимали должности в медицине, юриспруденции или религии — считался «золотым веком» математики. К середине века Рене Декарт и Пьер де Фермат независимо друг от друга создали то, что сейчас называется аналитической геометрией. Кульминацией этого периода стало зарождение дифференциального исчисления в «Методе флюксий» Ньютона и работах Готфрида Вильгельма Лейбница. Многие теперь полагали, что осталось немного общего значения. Но другие ученые вместо этого ожидали «плодотворной эры» не только в исчислении, включая создание его основных ветвей, но и в математике в целом — как в теории, так и в применении. Прежде всего, все это должно было произойти благодаря обширным исследованиям и трудам Леонгарда Эйлера.

Движимый «огромной энергией», «страстью к математике» и точным наукам, «стремлением» создать «прочную институциональную базу» для этих областей и «упорной защитой» реформатского христианства, Эйлер, за исключением нескольких тяжелых приступов лихорадки, «усердно» выполнял «огромную программу исследований, расчетов и письменных работ» в чистой и прикладной математике и смежных областях со времени своего пребывания в Базеле. Только в области дифференциального исчисления он сделал сотни открытий и доказательств, а также провел множество «бесстрашных» вычислений для упрощения и уточнения методов дифференциального исчисления, бесконечных рядов и интегрального исчисления. Он был главным изобретателем основных ветвей дифференциальных уравнений в полугеометрической аналитической форме и (вместе с Лагранжем) позднее аналитического вариационного исчисления. В сотнях статей и трилогии по анализу, начиная с двухтомного «Введения в анализ бесконечного» (Introductio in analysin infinitorum, E101 и E102, 1748), Эйлер заложил основы: они были им «методически упорядочены», «разработаны» и «переданы в виде исчисления». Таким образом, он заложил основу для первоначальной программы развития исчисления бесконечно малых. Как основной результат его исследований, исчисление вытеснило евклидову геометрию с ее двухтысячелетнего господства в математике и стало моделью разума в esprit géométrique той эпохи. В чистой математике Эйлер сделал больше: он добился «существенных успехов» в теории чисел, алгебре, комбинаторике, теории графов, вероятности, топологии и геометрии, а также стал пионером дифференциальной геометрии поверхностей. Эйлер также был «глубоко укоренен» в точных науках — механике, оптике и астрономии — и внес вклад в прикладную математику, который «не имел аналогов по сочетанию масштаба и глубины».

По словам Александра Гельфонда, для Леонгарда Эйлера математика была «неразрывно связана с ее приложениями». В поисках алгоритма решения задач «на первом месте стояли бы методы, которые вели бы к цели с помощью наиболее удобных, практичных и простых операций». Эйлер видел в математике «мощный инструмент», который был «незаменим» для поиска алгоритмов решения. Это всегда было на первом плане и определяло «алгебраическую и конструктивную окраску» методов, которые Эйлер ввел в анализ.

Что касается понятия бесконечного, то Эйлер «вместо каких-либо точных определений проводит длинные философские объяснения», которые «не освещают сути вопроса». Однако он не допускает «никаких ошибок» при работе с бесконечно возрастающими или убывающими величинами, поскольку всегда учитывает «быстроту возрастания или убывания» этих величин, когда сталкивается с ними, например, в виде соотношений. В различных местах «он также говорит о бесконечности бесконечно большого порядка по сравнению с другим бесконечным». Так, например, в работе «De summa seriei ex numeris primis formatae» он говорит, что «бесконечное, которое представлено рядом

логарифм той бесконечности, которая задается гармоническим рядом

представлена». Таким образом, «вторая бесконечность имеет бесконечно более высокий порядок, чем первая». Он всегда «обходил» возникающие проблемы с недостаточной сходимостью (например, при значениях дзета-функции Римана в отрицательных точках), в частности, «используя так называемый метод суммирования Абеля» и тем самым «предвосхищая его на целое столетие». Детлеф Лаугвиц отмечает в этом контексте привычку Эйлера использовать такие уравнения, как

или также

использовать (где здесь Ω {displaystyle Omega } это «больше любого конечного числа»), что «вызвало некоторую критику». Эмиль Фельманн указывает на отсутствие аксиоматического введения действительных чисел из-за слабостей Эйлера в работе с бесконечными:

Томас Сонар особым образом подчеркивает важность «исчисления нулей» Эйлера как великого достижения. Оно было доведено Эйлером до «высочайшего совершенства». Сонар ссылается, в частности, на вклад Лейбница в теорию движения, где говорится о «зачатках и началах линий и фигур», которые «меньше любого измеримого размера». В «виртуозной» манере Эйлеру удалось с помощью этого инструмента создать бесконечные ряды для экспоненциальной функции и логарифма, которые были заведомо правильными, а также производные, такие как

вывести.

Историк науки Эмиль Фельманн называет три ключевых компонента, касающихся феномена продуктивности и методов работы Эйлера. Во-первых, Эйлер должен был обладать «даром, вероятно, уникальной памяти». Все, что Эйлер когда-либо слышал, видел или писал, похоже, «навсегда запечатлелось в его памяти». Об этом есть «бесчисленные свидетельства современников». Например, говорят, что даже в старости он «очаровывал членов своей семьи, друзей и общество дословным пересказом любой песни из «Энеиды» Вергилия, а спустя десятилетия он все еще знал наизусть протоколы заседаний академии — не говоря уже о его памяти на математические вопросы». В качестве второго момента Феллманн подчеркивает «редкую способность Эйлера к концентрации». Шум и активность в его ближайшем окружении «едва ли помешали бы ему в его мыслительной работе». Цитата: «Ребенок на коленях, кошка на спине — вот как он писал свои бессмертные произведения», передана Дьедонне Тьебо. Третьим ключом была «просто устойчивая, спокойная работа».

Имена для призов и наград

В честь Леонгарда Эйлера названо несколько математических премий. С 1991 года Российская академия наук присуждает золотую медаль имени Леонгарда Эйлера за особо выдающиеся достижения в области математики и физики. За особые достижения в области комбинаторики Институт комбинаторики и ее приложений с 1993 года ежегодно присуждает так называемую медаль Эйлера.

В честь Леонгарда Эйлера также названа книжная премия Эйлера, ежегодно присуждаемая Математической ассоциацией Америки за «выдающуюся книгу по математике».

Выставки, коллоквиумы и лекции

По случаю 200-летия со дня его смерти в 1983 году Технический университет Берлина организовал коллоквиум Эйлера, на котором с лекциями выступили Эмиль Фельман, Эрхард Хайнц, Олли Лехто, Курт Штребель и другие.

По случаю 300-летия со дня рождения Леонхарда Эйлера Ландесмузеум Брауншвейга посвятил ему выставку и цикл лекций. Целью выставки было «сотрудничество с различными дисциплинами в исследовании, представлении и передаче информации по вопросам истории науки, для чего «Проект Эйлера» предложил себя наилучшим образом». Кроме того, в отчете о выставке говорится:

Другие выставки были организованы, в частности, Базельским университетом.

Телескоп Леонгарда Эйлера

Также в честь Эйлера назван телескоп Леонгарда Эйлера — отражающий телескоп с апертурой 1,2 м в Женевской обсерватории в обсерватории Ла Силла Европейской южной обсерватории.

Леонгард Эйлер как эпоним

Методы или идеи, разработанные Леонгардом Эйлером и носящие его имя:

Уравнения:

Формулы:

Теоремы и теоремы:

Константы и последовательности чисел:

Предположение:

Функции и (математические) процедуры:

Геометрия и топология:

Теория графов:

Теория музыки:

Физика и механика:

Другие почести и посвящения

Евангелическо-лютеранская церковь в Америке отмечает день памяти Леонгарда Эйлера, а также Николая Коперника 24 мая.

В Базеле у входа в Бернуллианум в 1875 году был установлен бюст в честь Леонгарда Эйлера. На текстовой табличке указано, что Бернуллианум был построен в 1872-1874 годах Иоганном Якобом Штелином Младшим (1826-1894) к 400-летию университета естественно-научных дисциплин на месте построенного в 1530 году Васенбольверка.

О его деятельности и бывшей резиденции в Берлине напоминает мемориальная доска на Беренштрассе 21.

С 1976 года на лицевой стороне банкноты номиналом 10 швейцарских франков изображался портрет Эйлера. На оборотной стороне банкноты изображались водяная турбина (Эйлер первым разработал такую высокоэффективную турбину), наша солнечная система и путь лучей в системе линз. В резервной серии, разработанной в 1980-х годах (так называемый секретный резерв, который должен был циркулировать в случае массовой подделки), Леонгард Эйлер также был изображен на 10-франковой купюре. Однако и портрет, и мотив изменились. На резервной банкноте изображены гамма-функция, Солнечная система и таблица чисел на заднем плане.

Кроме того, в его честь названы лунный кратер (кратер Эйлер) и астероид (2002) Эйлер. Последнее было сделано в 2002 году в знак признания «его вклада в математику и естественные науки».

Телескоп Леонгарда Эйлера — это отражающий телескоп Женевской обсерватории в обсерватории Ла Силла Европейской южной обсерватории в Чили.

Его имя также носит программа для численных и символьных расчетов (Euler Math Toolbox). В 1925 году в его честь был назван род растений Euleria Urb. из семейства сумаховых (Anacardiaceae).

Леонгард Эйлер несколько раз отмечался на марках: в Швейцарии в 1957 и 2007 годах, в ГДР в 1950, 1957 и 1983 годах и в Советском Союзе в 1983 году. В 2007 году в России в честь Эйлера была выпущена памятная монета.

В Базеле и Берлине, среди прочих мест, улицы были названы в честь Леонгарда Эйлера.

Немецкие переводы и издания его произведений

Opera Omnia

Эйлер опубликовал около двух десятков книг и 500 научных эссе. Немецкий математик Фердинанд Рудио (1856-1929) инициировал публикацию полного собрания сочинений Эйлера. При жизни Рудио было опубликовано более 30 томов. К 2013 году было опубликовано более 70 отдельных томов, а также четыре тома обширной переписки. Работы представлены на языке оригинала, в основном на французском или латыни.

Собрание сочинений публикуется с 1911 года под названием Opera Omnia в издательстве Birkhäuser (Springer) комиссией Эйлера, которую основал Фердинанд Рудио. В то время в издании также участвовали Адольф Крейзер, Рудольф Футер, Генрих Вебер, Пауль Штекель и Карл фон дер Мюлль. В дальнейшем редакторами отдельных томов были Людвиг Шлезингер, Фридрих Энгель, Андреас Шпейзер, Клиффорд Трюсделл (физика, механика, весь том 11-1 представляет собой историю теории упругости в XVII и XVIII веках, написанную Трюсделлом), Александр Михайлович Ляпунов, Георг Фабер, Август Гутцмер, Карл Бём, Константин Каратеодори, Анри Дюлак, Макс Герцбергер, Эмиль Шербулье, Шарль Блан и Эрик Эйтон (физика). После Рудио главными редакторами журнала были Андреас Шпейзер (с 1928 года), Вальтер Хабихт (с 1965 года) и, с 1985 года, Ханс-Кристоф Им Хоф. Среди других редакторов были Эмиль Фельманн, Адольф Юшкевич, Анри Дюлак, Пьер Костабель, Рене Татон, Владимир Иванович Смирнов, Алот Т. Григорян, Иоахим Отто Флекенштейн, Иоганн Якоб Буркхардт, Глеб К. Михайлов, Франц Леммермайер, Андреас Кляйнерт и Мартин Маттмюллер.

Издание состоит из

Письма

Переписка была опубликована в рамках сборника «Opera Omnia»:

Кроме того, за пределами Opera Omnia появились следующие корреспонденции:

Пауль-Генрих Фусс опубликовал части переписки Эйлера с Гольдбахом, Николаусом Фуссом, Иоганном I, Николаусом и Даниэлем Бернулли в 1845 году. Том 14 издания трудов Лагранжа также содержит переписку с Эйлером.

Справочные работы

Об Эйлере

Из Эйлера

Источники

Leonhard Euler
Эйлер, Леонард
История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
Leonhard Euler | Gemeindelexikon Riehen. Abgerufen am 19. Februar 2023.
Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
^ However, in the Swiss variety of Standard German with audible /r/: [ˈɔʏlər].
^ The quote appeared in Gugliemo Libri’s review of a recently published collection of correspondence among eighteenth-century mathematicians: «… nous rappellerions que Laplace lui même, … ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche : ‘Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.’ » [… we would recall that Laplace himself, … never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: ‘Read Euler, read Euler, he is our master in everything.][138]
^ This quote appeared in a letter from Carl Friedrich Gauss to Paul Fuss dated September 11, 1849:[9] «Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, […] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird.» [The special publication of the smaller Euler treatises is certainly something highly deserving, […] and the study of all Euler’s works will always remain the best school for the various mathematical fields, which cannot be replaced by anything else.]
a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
Dunham 1999, p. xiii