Constantin Carathéodory

Delice Bette | 10 októbra, 2022

Constantin Carathéodory (13. septembra 1873 – 2. februára 1950) bol grécky matematik, ktorý väčšinu svojej profesionálnej kariéry strávil v Nemecku. Významne prispel k reálnej a komplexnej analýze, variačnému počtu a teórii miery. Vytvoril tiež axiomatickú formuláciu termodynamiky. Carathéodory je považovaný za jedného z najväčších matematikov svojej doby a za najznámejšieho gréckeho matematika od čias antiky.

Jeho kolegovia si ho pamätali ako slušného a kultivovaného človeka.

Constantin Carathéodory sa narodil v roku 1873 v Berlíne gréckym rodičom a vyrastal v Bruseli. Jeho otec Stephanos, právnik, pôsobil ako osmanský veľvyslanec v Belgicku, Petrohrade a Berlíne. Jeho matka Despina, rodená Petrokokkinos, pochádzala z ostrova Chios. Rodina Carathéodory, pochádzajúca z Bosnochori alebo Vyssy, bola v Konštantínopole dobre etablovaná a rešpektovaná a jej členovia zastávali mnohé významné vládne funkcie.

Rodina Carathéodoryovcov strávila roky 1874-75 v Konštantínopole, kde žil Constantinov starý otec, zatiaľ čo jeho otec Stephanos bol na dovolenke. Potom v roku 1875 odišli do Bruselu, keď tam bol Stephanos vymenovaný za osmanského veľvyslanca. V Bruseli sa narodila Constantinova mladšia sestra Julia. Rok 1879 bol pre rodinu tragický, pretože v tom roku zomrel Constantinov starý otec, ale oveľa tragickejšie bolo, že Constantinova matka Despina zomrela v Cannes na zápal pľúc. Constantinova stará mama z matkinej strany sa ujala výchovy Constantina a Júlie v otcovom dome v Belgicku. Zamestnali nemeckú slúžku, ktorá deti naučila hovoriť po nemecky. Constantin bol v tom čase už dvojjazyčný vo francúzštine a gréčtine.

V roku 1881 začal Constantin navštevovať súkromnú školu vo Vanderstocku. Po dvoch rokoch ju opustil a potom strávil čas so svojím otcom na návšteve v Berlíne a zimy v rokoch 1883-84 a 1884-85 strávil aj na talianskej riviére. Po návrate do Bruselu v roku 1885 navštevoval rok gymnázium, kde sa začal prvýkrát zaujímať o matematiku. V roku 1886 nastúpil na gymnázium Athénée Royal d’Ixelles, kde študoval až do maturity v roku 1891. Počas štúdia na tejto škole Constantin dvakrát získal cenu ako najlepší študent matematiky v Belgicku.

V tejto fáze sa Carathéodory začal vzdelávať ako vojenský inžinier. Od októbra 1891 do mája 1895 navštevoval École Militaire de Belgique a v rokoch 1893 až 1896 študoval aj na École d’Application. V roku 1897 vypukla vojna medzi Osmanskou ríšou a Gréckom. To Carathéodoryho postavilo do zložitej situácie, keďže stál na strane Grékov, ale jeho otec slúžil vláde Osmanskej ríše. Keďže bol vyštudovaný inžinier, dostal ponuku pracovať v britských koloniálnych službách. Táto práca ho zaviedla do Egypta, kde do apríla 1900 pracoval na výstavbe priehrady v Asjúte. Počas období, keď sa stavebné práce museli zastaviť kvôli záplavám, študoval matematiku z niektorých učebníc, ktoré mal so sebou, ako napríklad Jordanov Cours d’Analyse a Salmonov text o analytickej geometrii kužeľových rezov. Navštívil aj Cheopsovu pyramídu a vykonal merania, ktoré spísal a uverejnil v roku 1901. V tom istom roku vydal aj knihu o Egypte, ktorá obsahovala množstvo informácií o histórii a geografii krajiny.

Carathéodory študoval inžinierstvo v Belgicku na Kráľovskej vojenskej akadémii, kde bol považovaný za charizmatického a brilantného študenta.

Doktorandi

Carathéodory mal približne 20 doktorandov, medzi ktorými boli Hans Rademacher, známy svojou prácou v oblasti analýzy a teórie čísel, a Paul Finsler, známy svojím vytvorením Finslerovho priestoru.

Akademické kontakty v Nemecku

Carathéodoryho kontakty v Nemecku boli početné a zahŕňali také známe mená ako: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. V ťažkom období druhej svetovej vojny boli jeho blízkymi spolupracovníkmi v Bavorskej akadémii vied Perron a Tietze.

Einstein, vtedy člen Pruskej akadémie vied v Berlíne, pracoval na svojej všeobecnej teórii relativity, keď kontaktoval Carathéodoryho so žiadosťou o vysvetlenie Hamiltonovej-Jacobiho rovnice a kanonických transformácií. Chcel vidieť uspokojivé odvodenie prvej z nich a pôvod druhej. Einstein Carathéodorymu povedal, že jeho odvodenie je „krásne“, a odporučil jeho uverejnenie v Annalen der Physik. Einstein použil prvé z nich v článku z roku 1917 s názvom Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (O kvantovej vete Sommerfelda a Epsteina). Carathéodory vysvetlil niektoré základné detaily kanonických transformácií a odkázal Einsteina na Analytickú dynamiku E. T. Whittakera. Einstein sa snažil vyriešiť problém „uzavretých časových línií“ alebo geodetických línií zodpovedajúcich uzavretej trajektórii svetla a voľných častíc v statickom vesmíre, ktorý predstavil v roku 1917.

Landau a Schwarz podnietili jeho záujem o štúdium komplexnej analýzy.

Akademické kontakty v Grécku

Počas pobytu v Nemecku si Carathéodory udržiaval početné kontakty s gréckym akademickým svetom, o ktorých možno nájsť podrobné informácie v Georgiadouovej knihe. Priamo sa podieľal na reorganizácii gréckych univerzít. Mimoriadne blízkym priateľom a kolegom v Aténach bol Nicolaos Kritikos, ktorý navštevoval jeho prednášky v Göttingene, neskôr s ním odišiel do Smyrny a potom sa stal profesorom na aténskej polytechnike. Kritikos a Carathéodory pomohli gréckemu topológovi Christosovi Papakyriakopoulosovi získať doktorát z topológie na Aténskej univerzite v roku 1943 za veľmi ťažkých okolností. Počas vyučovania na Aténskej univerzite mal Carathéodory za vysokoškolského študenta Evangelosa Stamatisa, ktorý neskôr dosiahol značné uznanie ako vedec starogréckej matematickej klasiky.

Variačný počet

Vo svojej dizertačnej práci Carathéodory ukázal, ako rozšíriť riešenia na nespojité prípady a študoval izoperimetrické problémy.

Predtým, od polovice 17. storočia do polovice 18. storočia, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre a Carl Gustav Jacob Jacobi dokázali stanoviť nevyhnutné, ale nedostatočné podmienky pre existenciu silného relatívneho minima. V roku 1879 Karl Weierstrass pridal štvrtú, ktorá skutočne zaručuje existenciu takejto veličiny. Carathéodory skonštruoval svoju metódu odvodenia postačujúcich podmienok na základe použitia Hamiltonovej-Jacobiho rovnice na konštrukciu poľa extrémov. Tieto myšlienky úzko súvisia so šírením svetla v optike. Metóda sa stala známou ako Carathéodoryho metóda ekvivalentných variačných problémov alebo kráľovská cesta k variačnému kalkulu. Hlavnou výhodou Carathéodoryho práce na túto tému je, že osvetľuje vzťah medzi variačným počtom a parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Umožňuje rýchle a elegantné odvodenie podmienok dostatočnosti vo variačnom kalkulu a vedie priamo k Eulerovej-Lagrangeovej rovnici a Weierstrassovej podmienke. V roku 1935 uverejnil svoju prácu Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Variačný počet a parciálne diferenciálne rovnice prvého rádu).

V poslednom čase sa Carathéodoryho práca o variačnom počte a Hamiltonovej-Jacobiho rovnici dostala do teórie optimálneho riadenia a dynamického programovania. Metódu možno rozšíriť aj na viacnásobné integrály.

Konvexná geometria

Carathéodoryho veta v konvexnej geometrii hovorí, že ak je bod x {displaystyle x} z R d {displaystyle mathbb {R} ^{d}} leží v konvexnom plášti množiny P {displaystyle P} , potom x {displaystyle x} možno zapísať ako konvexnú kombináciu najviac d + 1 {displaystyle d+1} bodov v P {displaystyle P} . Konkrétne existuje podmnožina P ′ {displaystyle P‘} z P {displaystyle P} pozostávajúci z d + 1 {displaystyle d+1} alebo menej bodov tak, že x {displaystyle x} leží v konvexnom tele P ′ {displaystyle P‘} . Ekvivalentne, x {displaystyle x} leží v r {displaystyle r} -simplex s vrcholmi v P {displaystyle P} , kde r ≤ d {displaystyle rleq d} . Najmenší r {displaystyle r} ktorý robí posledný výrok platným pre každý x {displaystyle x} v konvexnom plášti P je definované ako Carathéodoryho číslo P {displaystyle P} . V závislosti od vlastností P {displaystyle P}. možno získať horné hranice nižšie ako tie, ktoré poskytuje Carathéodoryho veta.

Pripisuje sa mu autorstvo Carathéodoryho domnienky, ktorá tvrdí, že uzavretá konvexná plocha má aspoň dva umbilické body. Od roku 2021 zostala táto domnienka nedokázaná napriek tomu, že prilákala veľké množstvo výskumov.

Skutočná analýza

Dokázal existenčnú vetu pre riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc za miernych podmienok regulárnosti.

Ďalšiu jeho vetu o derivácii funkcie v bode možno použiť na dôkaz reťazového pravidla a vzorca pre deriváciu inverzných funkcií.

Komplexná analýza

Výrazne rozšíril teóriu konformnej transformácie a dokázal svoju vetu o rozšírení konformného mapovania na hranice Jordanových domén. Pri štúdiu hraničnej korešpondencie bol pôvodcom teórie prvých koncov. Predložil základný dôkaz Schwarzovej lemy.

Carathéodory sa zaujímal aj o teóriu funkcií viacerých komplexných premenných. Vo svojich výskumoch na túto tému hľadal analógie klasických výsledkov z prípadu jednej premennej. Dokázal, že guľa v C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} nie je holomorfne ekvivalentná s bidiskom.

Teória miery

Jeho zásluhou je Carathéodoryho veta o rozšírení, ktorá je základom modernej teórie miery. Neskôr Carathéodory rozšíril teóriu z množín na boolovské algebry.

Termodynamika

Termodynamika bola pre Carathéodoryho blízkou témou už od jeho pôsobenia v Belgicku. V roku 1909 uverejnil priekopnícku prácu „Skúmanie základov termodynamiky“, v ktorej formuloval druhý termodynamický zákon axiomaticky, t. j. bez použitia Carnotových motorov a chladničiek a len matematickou úvahou. Ide o ďalšiu verziu druhého zákona popri tvrdeniach Clausia a Kelvina a Plancka. Carathéodoryho verzia vzbudila pozornosť niektorých špičkových fyzikov tej doby vrátane Maxa Plancka, Maxa Borna a Arnolda Sommerfelda. Podľa Bailynovho prehľadu termodynamiky sa Carathéodoryho prístup nazýva skôr „mechanický“ než „termodynamický“. Max Born ocenil tento „prvý axiomaticky pevný základ termodynamiky“ a svoje nadšenie vyjadril v listoch Einsteinovi. Max Planck mal však určité pochybnosti v tom zmysle, že hoci naňho Carathéodoryho matematická zdatnosť urobila dojem, vzhľadom na štatistickú povahu druhého zákona nepovažoval túto formuláciu za základnú.

Vo svojej teórii zjednodušil základné pojmy, napríklad teplo nie je základný pojem, ale odvodený. Sformuloval axiomatický princíp nezvratnosti v termodynamike, v ktorom uviedol, že nedostupnosť stavov súvisí s existenciou entropie, pričom teplota je integračnou funkciou. Druhý termodynamický zákon vyjadril prostredníctvom tejto axiómy: „V okolí ľubovoľného počiatočného stavu existujú stavy, ku ktorým sa nemožno ľubovoľne priblížiť prostredníctvom adiabatických zmien stavu.“ V tejto súvislosti zaviedol pojem adiabatická prístupnosť.

Optika

Carathéodoryho práca v optike úzko súvisí s jeho metódou variačného počtu. V roku 1926 podal prísny a všeobecný dôkaz, že žiadna sústava šošoviek a zrkadiel sa nevyhne aberácii, s výnimkou triviálneho prípadu rovinných zrkadiel. Vo svojej neskoršej práci uviedol teóriu Schmidtovho ďalekohľadu. Vo svojej práci Geometrische Optik (1937) Carathéodory dokázal ekvivalenciu Huygensovho princípu a Fermatovho princípu, pričom vychádzal z prvého princípu pomocou Cauchyho teórie charakteristík. Tvrdil, že dôležitou výhodou jeho prístupu je, že pokrýva integrálne invarianty Henriho Poincarého a Élieho Cartana a dopĺňa Malusov zákon. Vysvetlil, že Pierre de Fermat pri svojich výskumoch v optike koncipoval minimálny princíp podobný tomu, ktorý vyslovil Hero Alexandrijský na štúdium odrazu.

Historické stránky

Počas druhej svetovej vojny Carathéodory vydal dva zväzky Eulerových kompletných prác zaoberajúcich sa variačným počtom, ktoré boli predložené na vydanie v roku 1946.

Atény boli v tom čase jediným významným vzdelávacím centrom v širšej oblasti a mali obmedzenú kapacitu, aby dostatočne uspokojili rastúce vzdelávacie potreby východnej časti Egejského mora a Balkánu. Constantin Carathéodory, ktorý bol v tom čase profesorom na Berlínskej univerzite, navrhol založenie novej univerzity – ťažkosti týkajúce sa založenia gréckej univerzity v Konštantínopole ho viedli k tomu, aby zvážil tri ďalšie mestá: Solún, Chios a Smyrna.

Na pozvanie gréckeho premiéra Eleftheriosa Venizelosa predložil 20. októbra 1919 plán na vytvorenie novej univerzity v Smyrne v Malej Ázii, ktorá mala niesť názov Iónska univerzita v Smyrne. V roku 1920 bol Carathéodory vymenovaný za dekana univerzity a významne sa podieľal na založení inštitúcie, pričom cestoval po Európe, aby nakúpil knihy a vybavenie. Univerzita však nikdy neprijímala študentov kvôli vojne v Malej Ázii, ktorá sa skončila veľkým požiarom Smyrny. Carathéodorovi sa podarilo zachrániť knihy z knižnice a až v poslednej chvíli ho zachránil novinár, ktorý ho na člne dopravil na bojovú loď Naxos, ktorá stála na mieste. Carathéodory priniesol do Atén časť univerzitnej knižnice a zostal v Aténach, kde vyučoval na univerzite a technickej škole až do roku 1924.

V roku 1924 bol Carathéodory vymenovaný za profesora matematiky na Mníchovskej univerzite a túto funkciu zastával až do odchodu do dôchodku v roku 1938. Neskôr pôsobil na Bavorskej akadémii vied až do svojej smrti v roku 1950.

Nová grécka univerzita v širšej oblasti juhovýchodného Stredomoria, ako ju pôvodne plánoval Carathéodory, sa nakoniec uskutočnila založením Aristotelovej univerzity v Solúne v roku 1925.

Carathéodory vynikal v jazykoch, podobne ako mnohí členovia jeho rodiny. Jeho prvými jazykmi boli gréčtina a francúzština a nemčinu ovládal tak dokonale, že jeho spisy napísané v nemeckom jazyku sú štylistickým majstrovstvom. Carathéodory bez námahy hovoril a písal aj po anglicky, taliansky, turecky a starovekými jazykmi. Takýto impozantný jazykový arzenál mu umožnil komunikovať a vymieňať si myšlienky priamo s inými matematikmi počas jeho početných ciest a výrazne rozšíril oblasť jeho poznania.

Carathéodory bol pre svojich kolegov profesorov z mníchovskej katedry filozofie cenným partnerom v rozhovoroch. Uznávaný nemecký filológ a profesor starovekých jazykov Kurt von Fritz Carathéodoryho chválil s odôvodnením, že sa od neho možno dozvedieť nekonečne veľa o starom a novom Grécku, starogréckom jazyku a helénskej matematike. Von Fritz viedol s Carathéodorym početné filozofické diskusie.

Matematik poslal svojho syna Štefanosa a dcéru Despinu na nemecké gymnázium, ale denne ich navštevoval aj grécky kňaz a doma im dovolil hovoriť len po grécky.

Carathéodory bol talentovaný rečník a často ho pozývali, aby prednášal. V roku 1936 to bol on, kto na zasadnutí Medzinárodného kongresu matematikov v nórskom Osle odovzdal vôbec prvé Fieldsove medaily.

V roku 2002 Mníchovská univerzita na znak uznania jeho zásluh pomenovala jednu z najväčších prednáškových miestností matematického inštitútu Prednášková sála Constantin-Carathéodory.

V meste Nea Vyssa, rodisku Caratheodoryovcov, sa nachádza jedinečné rodinné múzeum. Múzeum sa nachádza na centrálnom námestí mesta v blízkosti kostola a obsahuje množstvo Karatheodoryho osobných predmetov, ako aj listy, ktoré si vymenil s Albertom Einsteinom. Viac informácií nájdete na pôvodnej webovej stránke klubu http:

Grécke úrady zároveň už dávnejšie zamýšľali vytvoriť múzeum na počesť Karatheodorisa v Komotini, veľkom meste severovýchodného gréckeho regiónu, vzdialenom viac ako 200 km od jeho rodného mesta. Múzeum „Karatheodoris“ (Καραθεοδωρής) otvorilo svoje brány verejnosti v Komotini 21. marca 2009.

Koordinátor múzea Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης) uviedol, že múzeum poskytuje domov originálnym rukopisom matematika v rozsahu približne 10 000 strán, vrátane korešpondencie s nemeckým matematikom Arthurom Rosenthalom o algebraizácii miery. Vo vitríne si návštevníci môžu prezrieť aj knihy “ Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4 „, „Mass und ihre Algebraiserung“, “ Reelle Functionen Band 1″, “ Zahlen

Pokračujú snahy o vybavenie múzea ďalšími exponátmi.

Články v časopisoch

Úplný zoznam Carathéodoryho publikácií v časopisoch nájdete v jeho Zborníku prác (Ges. Math. Schr.). Významné publikácie sú:

Konferencie

1. Constantin Carathéodory
2. Constantin Carathéodory
3. ^ „The Mathematics Genealogy Project – Constantin Carathéodory“. Mathematics Genealogy Project. North Dakota State University Department of Mathematics. Archived from the original on 13 July 2018. Retrieved 27 August 2017.
4. ^ Hallett, Michael; Majer, Ulrich (2004). David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902. Springer Science & Business Media. p. 11. ISBN 978-3-540-64373-9.
5. ^ Szpiro, George G. (2008). Poincare’s Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math’s Greatest Puzzles. Penguin. p. 104. ISBN 978-1-4406-3428-4.
6. 2,0 2,1 MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 22  Αυγούστου 2017.
7. Holger Krahnke: Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001 (= Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse. Folge 3, Bd. 246 = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 56.
8. Grab von Carathéodory auf dem Münchner Waldfriedhof (Grabfeld 303, Lage48.1052211.49014, Bilder)
9. Ver Carathéodory’s theorem
10. «Constantin Carathéodory-Hörsaal» (PDF). Consultado em 25 de junho de 2009. Arquivado do original (PDF) em 29 de setembro de 2007