Eukleides z Alexandrie

gigatos | 13 januára, 2023

Zhrnutie

Euklides (grécky Εὐκλείδης, Eukleidēs, latinsky Euclīdēs) bol grécky matematik a geometr (asi 325 pred Kr. – asi 265 pred Kr.). Je známy ako „otec geometrie“. Pôsobil v Alexandrii (staroveký Egypt) v čase Ptolemaia I. Sotera (323 – 283 pred n. l.) Bol zakladateľom mestskej matematickej školy.

Jeho najznámejším dielom boli Elementy, ktoré sa často považujú za najúspešnejšiu učebnicu v dejinách matematiky. Vlastnosti geometrických objektov a prirodzených čísel sú odvodené z malého súboru axióm. Toto dielo, jedno z najstarších známych pojednaní, ktoré systematicky a s dôkazmi uvádza veľký súbor tvrdení o geometrii a teoretickej aritmetike, sa dočkalo stoviek vydaní vo všetkých jazykoch a jeho témy sú dodnes základom vyučovania matematiky na stredných školách v mnohých krajinách. Euklidovo meno je odvodené od Euklidovho algoritmu, euklidovskej geometrie (a neeuklidovskej geometrie) a euklidovského delenia. Písal aj o perspektíve, kužeľových rezoch, sférickej geometrii a teórii čísel.

Jeho život je málo známy, pretože žil v Alexandrii (mesto v severnom Egypte) počas vlády Ptolemaia I. Niektorí arabskí autori tvrdia, že Euklides sa narodil v Týre a žil v Damasku. Niektorí arabskí autori tvrdia, že Euklides sa narodil v Týre a žil v Damasku. Neexistuje žiadny priamy prameň o Euklidovom živote: žiadny list, žiadny autobiografický údaj (dokonca ani vo forme predslovu v diele), žiadny oficiálny dokument a dokonca ani žiadna narážka niektorého z jeho súčasníkov. Ako to zhrnul historik matematiky Peter Schreiber, „o Euklidovom živote nie je známy ani jeden istý fakt. Bol synom Naukrata a predkladajú sa tri hypotézy:

Euklides pravdepodobne študoval na Platónovej akadémii, kde sa naučil základy svojich vedomostí.

Proklos, posledný z veľkých gréckych filozofov, ktorý žil okolo roku 450, napísal dôležité komentáre k prvej knihe Elementov. Tieto komentáre predstavujú cenný zdroj informácií o dejinách gréckej matematiky. Tak napríklad vieme, že Euklides spojil príspevky Eudoxa z Knidu o teórii proporcií a Theaeteta o pravidelných mnohostenoch.

Najstarší známy spis o Euklidovom živote sa nachádza v súhrne dejín geometrie, ktorý v 5. storočí n. l. napísal neoplatonický filozof Proklos, komentátor prvej knihy Elementov. Proklos sám neuvádza žiadny zdroj svojich údajov. Hovorí len: „zhromažďuje svoje prvky a v nevyvrátiteľných dôkazoch pripomína to, čo jeho predchodcovia učili uvoľneným spôsobom. Na druhej strane tento muž žil za prvého Ptolemaia, pretože Archimedes spomína Euklida. Euklides je teda novší ako Platónovi žiaci, ale starší ako Archimedes a Eratosthenes.“

Ak prijmeme Proklovu chronológiu, Euklides žil medzi Platónom a Archimedom a bol súčasníkom Ptolemaia I. okolo roku 300 pred Kr.

Žiadny dokument týmto niekoľkým vetám neodporuje, ani ich v skutočnosti nepotvrdzuje. Priama Euklidova zmienka o Archimedových prácach pochádza z pasáže, ktorá sa považuje za pochybnú.

Archimedes sa odvoláva na niektoré výsledky Elementov a ostrachu, ktoré sa našli na ostrove Elephantine a sú datované do roku III pred n. l.: zaoberajú sa útvarmi skúmanými v XIII. knihe Elementov, ako sú dekagón a ikosaedr, ale bez toho, aby presne reprodukovali Euklidove tvrdenia; mohli teda pochádzať zo zdrojov pred Euklidesom. Približný dátum 300 pred n. l. sa však považuje za zlučiteľný s analýzou obsahu Euklidovho diela a historici matematiky ho prijali.

Na druhej strane existuje narážka matematika Papa Alexandrijského, ktorý predpokladá, že Euklidovi študenti mohli vyučovať v Alexandrii. Niektorí autori na základe toho spájajú Euklida s alexandrijským Museionom, ktorý sa však neobjavuje v žiadnom oficiálnom dokumente. Epitetom často spájaným s Euklidom v staroveku je jednoducho Stoitxeiotes, autor Elementov.

O Euklidovi koluje niekoľko anekdot, ale keďže sa objavujú aj u iných matematikov, nepovažujú sa za skutočné: napríklad slávna anekdota, ktorú vysvetlil Proklos, podľa ktorej mal Euklides odpovedať Ptolemaiovi, ktorý chcel jednoduchšiu cestu, než sú tie v Elementoch, že v geometrii neexistujú skutočné cesty; variant tej istej anekdoty sa pripisuje aj Menekmovi a Alexandrovi Veľkému. Podobne sa od neskorej antiky k opisom Euklidovho života pridávali rôzne detaily, bez nových zdrojov a často protichodným spôsobom. Niektorí autori uvádzajú, že sa Euklides narodil v Týre, iní v Gele; pripisujú mu rôzne genealógie, konkrétnych majstrov, rôzne dátumy narodenia a úmrtia, aby rešpektovali pravidlá žánru alebo uprednostnili určité interpretácie. V stredoveku a na začiatku renesancie sa matematik Euklides často zamieňal so súčasným Platónovým filozofom Euklidom z Megary.

Zmienky o dielach pripisovaných Euklidovi sa objavujú u viacerých autorov, najmä v Pappovej matematickej zbierke (zvyčajne datovanej do 3. alebo 4. storočia) a v Proklovom komentári k Euklidovým Elementom. Do súčasnosti sa zachovala len časť týchto diel.

Dostalo sa k nám päť diel: Dáta, O delení, Katoptria, Zjavenie oblohy a Optika. Z arabských zdrojov sa Euklidovi pripisuje niekoľko pojednaní o mechanike. O ťažkom a ľahkom obsahuje v deviatich definíciách a piatich vetách aristotelovské pojmy pohybu telies a pojem mernej hmotnosti. O rovnováhe sa zaoberá teóriou páky aj axiomatickým spôsobom, s jednou definíciou, dvoma axiómami a štyrmi vetami. Tretí fragment o kružniciach opísaných koncami pohyblivej páky obsahuje štyri vety. Tieto tri diela sa navzájom dopĺňajú takým spôsobom, že sa predpokladá, že sú pozostatkom jedného Euklidovho pojednania o mechanike.

Prvky

Jeho dielo Elementy je jedným z najznámejších vedeckých diel na svete a bolo súhrnom poznatkov, ktoré sa v tom čase vyučovali na akademickej pôde. Prvky neboli, ako sa niekedy predpokladá, kompendiom všetkých geometrických poznatkov, ale skôr úvodným textom pokrývajúcim celú elementárnu matematiku, t. j. aritmetiku, syntetickú geometriu a algebru.

Prvky sú rozdelené do trinástich kníh alebo kapitol, z ktorých prvá polovica je venovaná elementárnej rovinnej geometrii, ďalšie tri teórii čísel, kniha X nesúmernostiam a posledné tri najmä geometrii telies.

V knihách venovaných geometrii sa štúdium vlastností priamok a rovín, kružníc a gulí, trojuholníkov a kužeľov atď., t. j. pravidelných útvarov, podáva formálnym spôsobom, pričom sa vychádza len z piatich postulátov. Pravdepodobne žiadny z výsledkov Elementov nedokázal ako prvý Euklides, ale organizácia materiálu a jeho výklad sú nepochybne jeho zásluhou. V skutočnosti existuje veľa dôkazov, že Euklides pri písaní Elementov používal staršie učebnice, pretože uvádza veľké množstvo nepoužitých definícií, ako napríklad definíciu podlhovastého útvaru, kosoštvorca a kosodĺžnika. Euklidove vety sú tie, ktoré sa všeobecne učia v modernej škole. Uveďme niektoré z najznámejších:

Knihy VII, VIII a IX Elementov sa zaoberajú teóriou deliteľnosti. Uvažuje o súvislosti medzi dokonalými číslami a Mersennovými prvočíslami (známa ako Euklidova-Eulerova veta), o nekonečnosti prvočísel (Euklidova veta), Euklidovej leme o faktorizácii (ktorá vedie k základnej vete aritmetiky o jednoznačnosti faktorizácií prvočísel) a Euklidovom algoritme na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel.

Euklidova geometria, okrem toho, že je mocným nástrojom deduktívneho uvažovania, je mimoriadne užitočná v mnohých oblastiach poznania, napríklad vo fyzike, astronómii, chémii a rôznych technických odboroch. V matematike je to určite veľmi užitočné. V druhom storočí, inšpirovaní harmóniou Euklidovho podania, bola sformulovaná Ptolemaiova teória vesmíru, podľa ktorej je Zem stredom vesmíru a planéty, Mesiac a Slnko okolo nej obiehajú po dokonalých priamkach, t. j. po kružniciach a kombináciách kružníc. Euklidove myšlienky však predstavujú značnú abstrakciu od reality. Napríklad predpokladá, že bod nemá žiadnu veľkosť; že priamka je množina bodov, ktorá nemá šírku ani hrúbku, iba dĺžku; že plocha nemá hrúbku atď. Keďže bod podľa Euklida nemá žiadnu veľkosť, je mu priradená dimenzia nula. Úsečka má iba dĺžku, takže získava rozmer rovný jednej. Plocha nemá hrúbku ani výšku, takže má dva rozmery: šírku a dĺžku. Napokon, teleso, ako je kocka, má tri rozmery: dĺžku, šírku a výšku. Euklides sa pokúsil zhrnúť všetky matematické poznatky vo svojej knihe Prvky. Euklidova geometria bola dielom, ktoré sa nezmenilo až do 19. storočia.

Z východiskových axióm sa menej zrejmá zdala len axióma rovnobežiek. Rôzni matematici sa neúspešne pokúšali zbaviť tejto axiómy tým, že sa ju pokúšali odvodiť z ostatných axióm. Snažili sa ju prezentovať ako vetu, bez úspechu v

Nakoniec niektorí autori vytvorili nové geometrie na základe zrušenia alebo nahradenia axiómy rovnobežiek, čím vznikli „neeuklidovské geometrie“. Hlavnou charakteristikou týchto geometrií je, že zmenou axiómy rovnobežiek sa uhly trojuholníka už nesčítajú do 180 stupňov.

Dáta (Δεδομένα) sú jediným ďalším Euklidovým dielom, ktoré sa zaoberá geometriou a ktorého grécka verzia sa zachovala (nachádza sa napríklad v rukopise X, ktorý objavil Peyrard). Podrobne je opísaná aj v VII. knihe Papovej matematickej zbierky, „Pokladnici analýzy“, ktorá úzko súvisí s prvými štyrmi knihami Elementov. Zaoberá sa typom informácií uvedených v geometrických úlohách a ich povahou. Dáta sú zasadené do rámca rovinnej geometrie a historici ich považujú za doplnok Elementov, vo forme vhodnejšej na analýzu problémov. Dielo obsahuje 15 definícií a vysvetľuje, čo znamená geometrický objekt, v polohe, v tvare, vo veľkosti, a 94 viet. Tie vysvetľujú, že ak sú dané niektoré prvky obrázku, možno určiť ďalšie vzťahy alebo prvky.

O rozdelení

Toto dielo (existujú časti v latinčine (De divisionibus), ale predovšetkým existuje rukopis v arabčine objavený v 19. storočí, ktorý obsahuje 36 viet, z ktorých štyri sú dokázané.

Zaoberá sa delením geometrických útvarov na dve alebo viac rovnakých častí alebo na časti s daným pomerom. Je podobná dielu Heróna Alexandrijského z 3. storočia n. l. V tomto diele sa pokúša zostrojiť priamky, ktoré rozdeľujú dané figúry do daných proporcií a tvarov. Napríklad, ak je daný trojuholník a bod vo vnútri trojuholníka, treba zostrojiť priamku prechádzajúcu týmto bodom a rozdeľujúcu trojuholník na dva útvary s rovnakou plochou; alebo ak je daný kruh, treba zostrojiť dve rovnobežné priamky tak, aby časť kruhu, ktorú ohraničujú, tvorila jednu tretinu plochy kruhu.

O klamstvách (Pseudaria)

O omyloch (Περὶ Ψευδαρίων), text o chybách v uvažovaní, je stratené dielo, známe len z opisu, ktorý podal Proklos. Podľa neho bolo cieľom práce naučiť začiatočníkov odhaľovať falošné úvahy, najmä tie, ktoré imitujú deduktívne uvažovanie, a tak sa tvária ako pravdivé. Uviedol príklady paralelizmov.

Štyri knihy o kužeľových rezoch

Štyri knihy o kužeľosečkách (Κωνικῶν Βιβλία) sú už stratené. Bola to práca o kónických rezoch, ktorú rozšíril Apollónius z Pergy v slávnej knihe na tú istú tému. Je pravdepodobné, že prvé štyri knihy Apollónovho diela pochádzajú priamo od Euklida. Podľa Papa „Apollónius po dokončení Euklidových štyroch kníh o kužeľosečkách a pridaní ďalších štyroch zanechal osem zväzkov kužeľosečiek“. Apollóniove kóniky rýchlo nahradili pôvodné dielo a v Papovej dobe sa Euklidovo dielo stratilo.

Tri knihy porizmov

Tri knihy porizmov (Πορισμάτων Βιβλία) mohli byť rozšírením jeho práce o kónických rezoch, ale význam názvu nie je jasný. Je to dielo, ktoré sa stratilo. Dielo sa spomína v dvoch Proklových pasážach a predovšetkým je predmetom rozsiahlej prezentácie v VII. knihe Pappovej zbierky, „Pokladnici analýz“, ako významný a ďalekosiahly príklad analytického prístupu. Slovo porisma má viacero použití: podľa Papa by tu označovalo tvrdenie prechodného typu medzi tvrdeniami a problémami. Euklidovo dielo by obsahovalo 171 takýchto výrokov a 38 lemm. Pappos uvádza príklady, ako napríklad: „Ak sa z dvoch daných bodov narysujú priamky pretínajúce danú priamku a ak jedna z nich vyreže úsečku na danej priamke, druhá urobí to isté na inej priamke, pričom medzi oboma vyrezanými úsečkami je pevný vzťah. Výkladom presného významu toho, čo je porizmus, a prípadným obnovením všetkých alebo časti výrokov Euklidovho diela na základe informácií, ktoré zanechal Pappus, sa zaoberalo mnoho matematikov: najznámejšie sú pokusy Pierra Fermata v 17. storočí, Roberta Simsona v 18. storočí a predovšetkým Michela Chaslesa v 19. storočí. Ak Chaslesovu rekonštitúciu dnešní historici neberú vážne, dala matematikovi príležitosť rozvinúť pojem anharmonického vzťahu.

Dve knihy o geometrických miestach

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β‘ sa týkala geometrických miest na plochách alebo geometrických miest, ktoré sú samy plochami. V neskoršom výklade sa vyslovila hypotéza, že dielo sa mohlo týkať štvorcových plôch. Je to tiež stratené dielo o dvoch knihách, ktoré sa spomína v Pappovej analýze pokladnice. Údaje uvedené u Prokla alebo Pappa o týchto Euklidových miestach sú nejednoznačné a presná otázka položená v diele nie je známa. V tradícii starogréckej matematiky sú miesta množiny bodov, ktoré overujú danú vlastnosť. Tieto množiny sú často priamky alebo kužeľosečky, ale môžu to byť napríklad aj rovné plochy. Väčšina historikov odhaduje, že Euklidovým miestom mohli byť rotačné plochy, gule, kužele alebo valce.

Vzhľady oblohy

Zjavy oblohy alebo Fenomény (# Φαινόμενα) je traktát o pozičnej astronómii, ktorý sa zachoval v gréčtine. Je dosť podobná Autolytovmu dielu (O pojme gule) a pojednáva o aplikácii geometrie gule na astronómiu a zachovala sa v gréčtine v niekoľkých rukopisných verziách, z ktorých najstaršia pochádza z 10. storočia. Tento text vysvetľuje tzv. „malú astronómiu“, na rozdiel od tém spracovaných v Ptolemaiovej Veľkej skladbe (Almagest). Obsahuje 18 propozícií a je blízky zachovaným dielam na tú istú tému od Autolita z Pitane.

Optika

Optika (Ὀπτικά) je najstaršie zachované grécke pojednanie, v niekoľkých verziách venované problémom, ktoré by sme dnes povedali o perspektíve, a zrejme určené na použitie v astronómii, má podobu Elementov: je pokračovaním 58 viet, ktorých dôkaz sa opiera o definície a postuláty uvedené na začiatku textu. Euklides vo svojich definíciách nadväzuje na platónsku tradíciu, podľa ktorej je videnie spôsobené lúčmi vychádzajúcimi z oka. Euklides opisuje zdanlivú veľkosť objektu v závislosti od jeho vzdialenosti od oka a skúma zdanlivé tvary valcov a kužeľov pri pohľade z rôznych uhlov.

Euklides ukazuje, že zdanlivé veľkosti rovnakých predmetov nie sú úmerné ich vzdialenosti od nášho oka (veta 8). Vysvetľuje napríklad naše videnie gule (a iných jednoduchých plôch): oko vidí uprostred gule menšiu plochu, s približovaním sa ku guli ešte menšiu časť, aj keď sa videná plocha zdá byť väčšia a obrys videného je kruh. Tento traktát je najmä v rozpore s názorom, ktorý zastávajú niektoré myšlienkové školy a podľa ktorého skutočná veľkosť objektov (najmä nebeských telies) je ich zdanlivá veľkosť, teda tá, ktorú vidíme.

Papo považoval tieto výsledky za dôležité v astronómii a zaradil Euklidovu Optiku spolu s jeho Fenoménmi do zbierky menších diel, ktoré sa mali študovať pred Almagestom Claudia Ptolemea.

Pojednanie o hudbe

Proklos pripisuje Euklidovi pojednanie o hudbe (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), ktoré podobne ako astronómia, teoretická hudba, napríklad v podobe aplikovanej teórie proporcií, patrí medzi matematické vedy. V gréčtine sa zachovali dva malé spisy, ktoré boli zaradené do starovekých vydaní Euklida, ale ich zaradenie je neisté, rovnako ako ich možné spojenie s Elementmi. Na druhej strane sa tieto dva spisy (časť Kánon o hudobných intervaloch a Harmonický úvod) považujú za protichodné a prinajmenšom druhý spis je v súčasnosti bádateľmi považovaný za dielo iného autora.

Diela falošne pripisované Euklidovi

Katoptria (Κατοητρικά) sa zaoberá matematickou teóriou zrkadiel, najmä obrazmi vytvorenými v konkávnych rovinných a guľových zrkadlách. Jeho pripisovanie Euklidovi je pochybné; jeho autorom mohol byť Theón Alexandrijský. Objavuje sa v Euklidovom texte o optike a v Proklovom komentári. V súčasnosti sa považuje za stratený a najmä Catoptricus, ktorý bol dlho publikovaný ako pokračovanie Optiky v starovekých vydaniach, sa už nepripisuje Euklidovi; považuje sa za neskoršiu kompiláciu.

Euklides sa spomína aj ako autor fragmentov týkajúcich sa mechaniky, konkrétne v textoch o páke a váhach v niektorých latinských alebo arabských rukopisoch. V súčasnosti sa toto priradenie považuje za pochybné.

Ďalšie odkazy

Zdroje

1. Euclides
2. Eukleides z Alexandrie
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
5. Affirmation tenue pour exacte jusqu’à ce que l’érudit persan Alhazen (965-1040), dans son Kitab al-Manazir (livre d’optique), affirme le contraire[33].
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
9. Евклид. Большая российская энциклопедия.
10. Зубов, 2007, с. 510.
11. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.