Leonhard Euler

Mary Stone | 10 januára, 2023

Zhrnutie

Leonhard Euler (15. apríla 1707, Bazilej, Švajčiarsko – 7. (18.) septembra 1783, Petrohrad, Ruské impérium) bol švajčiarsky, pruský a ruský matematik a mechanik, ktorý zásadne prispel k rozvoju týchto vied (ako aj fyziky, astronómie a viacerých aplikovaných vied). Spolu s Lagrangeom bol najväčším matematikom 18. storočia a je považovaný za jedného z najväčších matematikov v histórii. Euler napísal viac ako 850 prác (vrátane dvoch desiatok základných monografií) o matematickej analýze, diferenciálnej geometrii, teórii čísel, aproximatívnom počítaní, nebeskej mechanike, matematickej fyzike, optike, balistike, stavbe lodí, hudobnej teórii a ďalších predmetoch. Študoval medicínu, chémiu, botaniku, letectvo, hudobnú teóriu a mnohé európske a antické jazyky. Akademik Petrohradskej, Berlínskej, Turínskej, Lisabonskej a Bazilejskej akadémie vied, zahraničný člen Parížskej akadémie vied. Prvý ruský člen Americkej akadémie vied a umení.

Takmer polovicu svojho života strávil v Rusku, kde významne prispel k rozvoju ruskej vedy. V roku 1726 ho pozvali pracovať do Petrohradu, kam sa presťahoval o rok neskôr. V rokoch 1726 až 1741 a od roku 1766 bol akademikom Petrohradskej akadémie vied (v rokoch 1741 až 1766 pôsobil v Berlíne (zároveň zostal čestným členom Petrohradskej akadémie). Po ročnom pobyte v Rusku dobre ovládal ruštinu a niektoré jeho diela (najmä učebnice) vyšli v ruštine. Prví ruskí akademici – matematici (S. K. Kotelnikov) a astronómovia (S. Ja. Rumovský) boli Eulerovými žiakmi.

Švajčiarsko (1707-1727)

Leonhard Euler sa narodil v roku 1707 v rodine bazilejského pastora Paula Eulera, priateľa rodiny Bernoulliovcov, a Marguerite Eulerovej, rodenej Brookerovej. Krátko po jeho narodení sa rodina presťahovala do Richengu, kde chlapec strávil svoje prvé roky života. Leonard získal základné vzdelanie doma pod vedením svojho otca (ten študoval matematiku u Jakoba Bernoulliho). Pastor pripravoval svojho najstaršieho syna na duchovnú kariéru, ale učil ho aj matematiku, aby sa zabavil a rozvíjal svoje logické myslenie, a Leonard už v ranom veku prejavil matematický talent.

Keď Leonard vyrástol, odviezli ho k starej mame do Bazileja, kde navštevoval gymnázium (a zároveň naďalej vášnivo študoval matematiku). V roku 1720 mu bolo umožnené navštevovať verejné prednášky na univerzite v Bazileji, kde upútal pozornosť profesora Johanna Bernoulliho (mladšieho brata Jakoba Bernoulliho). Slávny vedec poslal mladému matematikovi na preštudovanie matematické články a dovolil mu, aby v sobotu popoludní prišiel k nemu domov a objasnil mu zložité otázky.

20. októbra 1720 sa 13-ročný Leonhard Euler stal študentom Filozofickej fakulty Bazilejskej univerzity. Jeho láska k matematike však Leonarda viedla inou cestou. Na návšteve v dome svojho učiteľa sa Euler zoznámil s jeho synmi Danielom a Mikulášom, ktorí tiež v súlade s rodinnou tradíciou dôkladne študovali matematiku. V roku 1723 dostal Euler (ako to bolo zvykom na Bazilejskej univerzite) svoju prvú cenu (primam lauream). 8. júla 1724 predniesol 17-ročný Leonhard Euler prejav v latinčine, v ktorom porovnal filozofické názory Descarta a Newtona, a získal titul magistra umenia.

V nasledujúcich dvoch rokoch napísal mladý Euler niekoľko vedeckých prác. Jedna z nich, „Dizertačná práca o fyzike zvuku“, bola predložená do výberového konania na náhle uvoľnené miesto profesora fyziky na univerzite v Bazileji (1725). Napriek priaznivému hodnoteniu bol však 19-ročný Euler považovaný za príliš mladého kandidáta na profesúru. V tom čase bol počet voľných vedeckých miest vo Švajčiarsku veľmi malý. Bratia Daniel a Nikolaj Bernoulliovci preto odišli do Ruska, kde sa zakladala Akadémia vied, a sľúbili, že požiadajú o miesto pre Eulera.

Začiatkom zimy 1726-1727 dostal Euler správu z Petrohradu: na odporúčanie bratov Bernoulliovcov ho pozvali na miesto mimoriadneho profesora na katedre fyziológie (na tejto katedre pôsobil D. Bernoulli) s ročným platom 200 rubľov (Euler si uchoval list prezidentovi akadémie z 9. novembra 1726 s poďakovaním za prijatie do akadémie). Keďže Johann Bernoulli bol slávny lekár, v Rusku bol za lekára považovaný aj Leonhard Euler ako jeho najlepší žiak. Euler však odložil svoj odchod z Bazileja na jar a zvyšné mesiace venoval serióznemu štúdiu lekárskych vied, ktorých hlboké znalosti neskôr zapôsobili na jeho súčasníkov. Napokon 5. apríla 1727 Euler navždy opustil Švajčiarsko, hoci si do konca života ponechal švajčiarske (bazilejské) občianstvo.

Rusko (1727-1741)

22. januára (2. februára) 1724 Peter I. schválil projekt Petrohradskej akadémie. 28. januára (8. februára) 1724 vydal Senát dekrét o zriadení Akadémie. Z 22 profesorov a docentov pozvaných v prvých rokoch sa objavilo 8 matematikov, ktorí sa zaoberali aj mechanikou, fyzikou, astronómiou, kartografiou, teóriou stavby lodí, službou mier a váh.

Euler (ktorého cesta z Bazileja viedla cez Lübeck, Revel a Kronštadt) prišiel do Petrohradu 24. mája 1727; niekoľko dní predtým zomrela cárovná Katarína I., patrónka akadémie, a učenci boli skľúčení a zmätení. Eulerovi pomohli zvyknúť si na nové miesto bázickí kolegovia: akademici Daniil Bernoulli a Jakob Hermann; druhý menovaný, profesor na katedre vyššej matematiky, bol mladému vedcovi vzdialeným príbuzným a ponúkal mu všemožnú záštitu. Euler sa stal mimoriadnym profesorom vyššej matematiky (a nie fyziológie, ako pôvodne plánoval), hoci v Petrohrade viedol výskum v oblasti dynamiky tekutín, dostával plat 300 rubľov ročne a bol mu poskytnutý byt.

Euler sa v priebehu niekoľkých mesiacov po príchode do Petrohradu naučil plynule po rusky.

V roku 1728 začal vychádzať prvý ruský vedecký časopis Komentáre Petrohradskej akadémie vied (v latinčine). Už druhý zväzok obsahoval tri Eulerove články a v nasledujúcich rokoch takmer každé číslo akademickej ročenky obsahovalo niekoľko jeho nových prác. Celkovo bolo v tejto edícii uverejnených viac ako 400 Eulerových článkov.

V septembri 1730 vypršali zmluvy akademikov J. Hermana (katedra matematiky) a H. B. Bilfingera (katedra experimentálnej a teoretickej fyziky). Hermann (katedra matematiky) a G. B. Bilfinger (katedra experimentálnej a teoretickej fyziky). Daniil Bernoulli a Leonard Ayler boli schválení na ich voľné miesta, pričom druhý menovaný dostal plat až 400 rubľov a 22. januára 1731 dostal oficiálne miesto profesora. O dva roky neskôr (1733) sa Daniel Bernoulli vrátil do Švajčiarska a Euler, ktorý opustil katedru fyziky, zaujal jeho miesto a stal sa akademikom a profesorom vyššej matematiky s platom 600 rubľov (Daniel Bernoulli však dostával dvakrát viac).

27. decembra 1733 sa 26-ročný Leonhard Euler oženil so svojou rovesníčkou Katarínou (nem. Katharina Gsell), dcérou akademického maliara Georga Gsella (Švajčiara z Petrohradu). Manželia si kúpili dom na nábreží rieky Nevy, kde sa usadili. Rodina Eulerovcov mala 13 detí, ale prežili traja synovia a dve dcéry.

Mladý profesor mal veľa práce: kartografiu, najrôznejšie skúšky, konzultácie pre staviteľov lodí a delostrelcov, vypracovávanie výcvikových príručiek, navrhovanie požiarnych čerpadiel atď. Dokonca musel zostavovať horoskopy, ktoré Euler so všetkou taktnosťou postúpil astronómovi. Alexander Puškin uvádza romantickú historku: Euler vraj zostavil horoskop pre novonarodené knieža Jána Antonoviča (1740), ale výsledok ho tak vystrašil, že ho nikomu neukázal a až po smrti nešťastného kniežaťa o ňom povedal grófovi K. G. Razumovskému. Pravosť tejto historickej anekdoty je veľmi pochybná.

Počas svojho prvého pôsobenia v Rusku napísal viac ako 90 významných vedeckých prác. Veľká časť akademických „Poznámok“ je vyplnená Eulerovými spismi. Prednášal na vedeckých seminároch, mal verejné prednášky a zúčastňoval sa na rôznych technických objednávkach vládnych agentúr. V 30. rokoch 17. storočia Euler viedol práce na mapovaní Ruskej ríše, ktoré boli (po Eulerovom odchode v roku 1745) ukončené vydaním atlasu krajiny. Ako uviedol N. I. Fuss, v roku 1735 dostala Akadémia úlohu vykonať naliehavý a veľmi ťažkopádny matematický výpočet a skupina akademikov požiadala o tri mesiace, ale Euler sa práce ujal za tri dni – a zvládol ju sám; preťaženie však neprešlo bez následkov: ochorel a stratil zrak na pravom oku. Samotný Euler však v jednom zo svojich listov pripísal stratu oka svojej práci kartografa na geografickom oddelení akadémie.

Dvojzväzkové dielo Mechanika alebo analyticky podaná veda o pohybe, ktoré vyšlo v roku 1736, prinieslo Eulerovi všeobecnú európsku slávu. V tejto monografii Euler úspešne aplikoval metódy matematickej analýzy na všeobecné riešenie problémov pohybu v prázdnote a v odporovom prostredí.

Jednou z najdôležitejších úloh akadémie bolo vzdelávanie domáceho personálu, na čo bola pri akadémii zriadená univerzita a gymnázium. Vzhľadom na akútny nedostatok učebníc ruštiny požiadala akadémia svojich členov, aby takéto príručky zostavili. Euler zostavil veľmi kvalitnú „Príručku aritmetiky“ v nemčine, ktorá bola okamžite preložená do ruštiny a niekoľko rokov slúžila ako základná učebnica. Prvý diel preložil v roku 1740 Vasilij Adodurov, prvý ruský adjunkt akadémie a Eulerov žiak.

Situácia sa zhoršila, keď v roku 1740 zomrela cisárovná Anna Ioannovna a mladý Ján VI. bol vyhlásený za cisára. „Chystalo sa niečo nebezpečné,“ napísal neskôr Euler vo svojej autobiografii.  – Po smrti ctihodnej cisárovnej Anny počas nasledujúceho regentstva… sa situácia začala javiť ako neistá. Za vlády Anny Leopoldovny petrohradská akadémia definitívne schátrala. Euler začal zvažovať možnosť vrátiť sa domov alebo sa presťahovať do inej krajiny. Nakoniec prijal ponuku pruského kráľa Friedricha, ktorý ho za veľmi výhodných podmienok pozval na Berlínsku akadémiu na miesto riaditeľa jej matematického oddelenia. Akadémia vznikla na základe pruskej Kráľovskej spoločnosti, ktorú založil Leibniz, ale ktorá bola v tom čase v dezolátnom stave.

Prusko (1741-1766)

Euler predložil vedeniu Petrohradskej akadémie svoju rezignáciu:

Z tohto dôvodu som nútený zo zdravotných i iných dôvodov vyhľadať príjemnejšie podnebie a prijať výzvu Jeho Kráľovského Veličenstva. Z tohto dôvodu prosím Cisársku akadémiu vied, aby ma láskavo prepustila a mne a mojej rodine poskytla potrebný pas na cestu.

Dňa 29. mája 1741 získal povolenie Akadémie. Euler bol „prepustený“ a schválený za čestného člena akadémie s platom 200 rubľov. V júni 1741 prišiel do Berlína 34-ročný Leonhard Euler s manželkou, dvoma synmi a štyrmi synovcami. Strávil tam 25 rokov a vydal približne 260 diel.

Spočiatku bol Euler v Berlíne prijatý láskavo, dokonca ho pozývali na dvorné plesy. Markíz Condorcet spomínal, že krátko po presťahovaní do Berlína bol Euler pozvaný na dvorný ples. Na otázku kráľovnej matky, prečo je taký mlčanlivý, Euler odpovedal: „Pochádzam z krajiny, kde každého, kto prehovorí, obesia.

Euler mal veľa práce. Okrem matematického výskumu viedol hvezdáreň a podieľal sa na mnohých praktických záležitostiach vrátane výroby kalendárov (hlavný zdroj príjmov akadémie), razby pruských mincí, pokládky nového vodovodu a organizácie dôchodkov a lotérií.

V roku 1742 vyšla štvorzväzková zbierka prác Johanna Bernoulliho. Keď ho starý vedec posielal z Bazileja Eulerovi do Berlína, napísal svojmu žiakovi: „Venoval som sa detstvu vyššej matematiky. Ty, priateľ môj, budeš pokračovať v jeho formovaní v zrelosti.“ V berlínskom období vychádzali jedno Eulerovo dielo za druhým: „Úvod do analýzy nekonečných čísel“ (1748), „Nauka o mori“ (1749), „Teória pohybu Mesiaca“ (1753), „Učebnica diferenciálneho počtu“ (lat. Institutiones calculi differentialis, 1755). Početné články o vybraných otázkach boli uverejnené v publikáciách Berlínskej a Petrohradskej akadémie. V roku 1744 Euler objavil variačný počet. Vo svojich prácach používa zložitú terminológiu a matematické symboly, ktoré sa z veľkej časti zachovali dodnes, a svoje výklady posúva na úroveň praktických algoritmov.

Počas celého svojho pobytu v Nemecku udržiaval Euler kontakty s Ruskom. Euler sa podieľal na vydávaní publikácií Petrohradskej akadémie, nakupoval pre ňu knihy a nástroje a redigoval matematické rubriky ruských časopisov. V jeho byte s plnou penziou žili roky mladí ruskí vedci vyslaní na školenie. Je známa živá korešpondencia Eulera s M. V. Lomonosovom; v roku 1747 dal prezidentovi Akadémie vied grófovi K. G. Razumovskému priaznivé stanovisko k Lomonosovovým článkom o fyzike a chémii, pričom uviedol:

Všetky tieto tézy sú nielen dobré, ale aj veľmi vynikajúce, pretože píše o veci fyzikálnej a chemickej veľmi potrebnej, ktorá doteraz nebola známa a nemohli ju vyložiť ani tí najbystrejší ľudia, čo urobil s takým úspechom, že som plne presvedčený o spravodlivosti jeho vysvetlení. V tomto prípade treba pánovi Lomonosovovi uznať, že mal vynikajúci talent na interpretáciu fyzikálnych a chemických javov. Treba dúfať, že aj ostatné akadémie budú schopné priniesť takéto odhalenia, ako ukázal pán Lomonosov.

Tomuto vysokému odhadu nebránila ani skutočnosť, že Lomonosov nepísal matematické práce a nepoznal vyššiu matematiku. Napriek tomu v roku 1755 v dôsledku netaktnosti Lomonosova, ktorý bez Eulerovho súhlasu zverejnil svoj súkromný list na jeho podporu, Euler s ním ukončil všetky vzťahy. Vzťahy sa obnovili v roku 1761, pretože Lomonosov umožnil Eulerov návrat do Ruska.

Jeho matka oznámila Eulerovi otcovu smrť vo Švajčiarsku (čoskoro sa presťahovala k Eulerovi (zomrela v roku 1761). V roku 1753 si Euler kúpil v Charlottenburgu (predmestie Berlína) usadlosť so záhradou a pozemkom na bývanie pre svoju početnú rodinu.

Podľa jeho súčasníkov bol Euler skromný, veselý, mimoriadne sympatický a vždy pripravený pomôcť iným. Jeho vzťah s kráľom však nevyšiel: Fridrich považoval nového matematika za neznesiteľne nudného, úplne nespoločenského a správal sa k nemu opovržlivo. V roku 1759 zomrel Mauperthuis, prezident Berlínskej akadémie vied a Eulerov priateľ. Kráľ Fridrich II. ponúkol D’Alumbertovi post prezidenta akadémie, ale ten odmietol. Friedrich, ktorý nemal Eulera rád, ho napriek tomu poveril vedením akadémie, ale bez titulu prezidenta.

Počas sedemročnej vojny poľný maršal Saltykov okamžite uhradil straty a neskôr cisárovná Alžbeta poslala ďalších 4 000 rubľov od seba.

V roku 1765 bola publikovaná Teória pohybu telies a o rok neskôr nasledovala kniha Elements of Calculus of Variation. Práve tu sa prvýkrát objavil názov novej časti matematiky, ktorú vytvorili Euler a Lagrange.

V roku 1762 nastúpila na ruský trón Katarína II., ktorá presadzovala politiku osvieteného absolutizmu. Dobre si uvedomovala význam vedy pre pokrok štátu a pre svoju vlastnú prestíž, preto uskutočnila niekoľko dôležitých zmien v systéme verejného vzdelávania a kultúry, ktoré boli priaznivé pre vedu. Cisárovná ponúkla Eulerovi vedenie matematickej triedy, titul konferenčného tajomníka akadémie a plat 1800 rubľov ročne. A ak sa vám to nebude páčiť,“ píše sa v liste jej zástupkyni, „rada vám oznámi svoje podmienky, ak nebudete váhať a prídete do Petrohradu.“

Euler v odpovedi oznámil svoje podmienky:

Všetky tieto podmienky boli prijaté. 6. januára 1766 Katarína informovala grófa Voroncova:

List pána Eulera, ktorý vám poslal, ma veľmi potešil, pretože som sa z neho dozvedel, že sa chce vrátiť do mojich služieb. Samozrejme, považujem ho za úplne hodného želaného titulu podpredsedu Akadémie vied, ale na to je potrebné prijať určité opatrenia, kým tento titul ustanovím – hovorím ustanovím, pretože doteraz neexistoval. Za súčasného stavu vecí nie sú peniaze na plat 3000 rubľov, ale pre takého zaslúžilého človeka, akým je pán Euler, pridám k akademickému platu zo štátnych príjmov, ktoré spolu predstavujú požadovaných 3000 rubľov… Som si istý, že moja akadémia povstane z popola takej významnej akvizície a vopred si gratulujem, že som vrátil Rusku veľkého človeka.

Neskôr Euler predložil niekoľko ďalších podmienok (ročný dôchodok 1 000 rubľov pre manželku po jeho smrti, náhradu cestovných nákladov, miesto pre syna, ktorý sa liečil, a hodnosť pre samotného Eulera). Katarína tiež splnila tieto Eulerove podmienky, okrem požiadavky na hodnosť, a žartovne povedala: „Bol by som mu dal, ak by si to želal, hodnosť… (vo francúzskej predlohe listu je kolegiálny radca preškrtnutý), keby som sa neobával, že táto hodnosť by ho zrovnoprávnila s mnohými ľuďmi, ktorí neboli hodní pána Eulera. Vskutku, jeho sláva je lepšia ako hodnosť, aby mu vzdali náležitú úctu“.

Euler požiadal kráľa o prepustenie zo služby, ale nedostal žiadnu odpoveď. Opäť sa prihlásil – ale Frederick nebol ochotný diskutovať ani o otázke jeho odchodu. Rozhodujúcu podporu Eulerovi poskytli naliehavé žiadosti ruskej reprezentácie v mene cisárovnej. Dňa 2. mája 1766 dal Fridrich veľkému učencovi povolenie opustiť Prusko, hoci sa vo svojej korešpondencii nemohol zdržať štipľavých vtipov na Eulerovu adresu (25. júla napísal D’Alambertovi: „Pán Euler, ktorý bláznivo miloval Veľký voz a Malý voz, sa presťahoval bližšie k severu, aby ich mohol pohodlne pozorovať“). Pravda, slúžil ako podplukovník delostrelectva (neskôr sa vďaka príhovoru Kataríny II. mohol ešte pripojiť k svojmu otcovi a bol povýšený na generálporučíka ruskej armády. V lete 1766 sa Euler vrátil do Ruska – teraz už natrvalo.

Rusko opäť (1766-1783)

17. (28.) júla 1766 prišiel 60-ročný Euler s rodinou a domácnosťou (spolu 18 osôb) do ruského hlavného mesta. Hneď po príchode ho prijala cisárovná. Katarína II. ho privítala ako vznešenú osobu a zahrnula ho milosťami: poskytla mu 8000 rubľov na kúpu domu na Vasilievskom ostrove a na nákup nábytku, prvýkrát mu poskytla jedného zo svojich kuchárov a poverila ho, aby pripravil úvahy o reorganizácii akadémie.

Bohužiaľ, po návrate do Petrohradu sa u Eulera objavil šedý zákal na jeho jedinom ľavom oku a čoskoro oslepol natrvalo. Pravdepodobne z tohto dôvodu nikdy nedostal sľúbenú funkciu podpredsedu Akadémie (čo Eulerovi a jeho potomkom nebránilo v tom, aby sa takmer sto rokov podieľali na riadení Akadémie). Slepota však neovplyvnila vedcovu schopnosť pracovať, iba poznamenal, že teraz ho matematika bude menej rozptyľovať. Predtým, ako si Euler zaobstaral sekretárku, diktoval svoju prácu urastenému chlapcovi, ktorý všetko zapisoval v nemčine. Počet jeho publikovaných prác sa ešte zvýšil; počas svojho druhého pobytu v Rusku nadiktoval Euler viac ako 400 článkov a 10 kníh, čo predstavuje viac ako polovicu jeho tvorivého odkazu.

V rokoch 1768-1770 vydal svoju klasickú dvojzväzkovú monografiu Univerzálna aritmetika (publikovanú aj pod názvami Elements of Algebra a The Complete Course of Algebra). Toto dielo bolo prvýkrát publikované v ruštine (1768-1769) a o dva roky neskôr vyšlo aj nemecké vydanie. Kniha bola preložená do mnohých jazykov a dočkala sa asi 30 reedícií (trikrát v ruštine). Všetky nasledujúce učebnice algebry boli silne ovplyvnené Eulerovou knihou.

V tých istých rokoch vydal trojzväzkové dielo Dioptrica (1769-1771) o sústavách šošoviek a základné Institutiones calculi integralis (1768-1770), tiež v troch zväzkoch.

Eulerove „Listy o rôznych fyzikálnych a filozofických otázkach napísané nemeckej princeznej“ (1768) sa stali veľmi populárnymi v 18. storočí a čiastočne aj v 19. storočí. (1768), ktorá sa dočkala viac ako 40 vydaní v 10 jazykoch (vrátane 4 vydaní v ruštine). Bola to populárno-vedecká encyklopédia so širokým záberom, napísaná živým a všeobecne prístupným spôsobom.

V roku 1771 sa v Eulerovom živote odohrali dve vážne udalosti. V máji vypukol v Petrohrade veľký požiar, ktorý zničil stovky budov vrátane domu a takmer všetkého Eulerovho majetku. Samotný vedec sa ledva zachránil. Pred požiarom sa zachránili všetky rukopisy, zhorela len časť jeho „Novej teórie pohybu Mesiaca“, ktorú sa však podarilo rýchlo obnoviť s pomocou Eulera, ktorý si až do vysokého veku zachoval fenomenálnu pamäť. Euler sa musel dočasne presťahovať do iného domu. Druhá udalosť: v septembri toho istého roku prišiel do Petrohradu na špeciálne pozvanie cisárovnej slávny nemecký oftalmológ barón Wentzel, aby liečil Eulera. Po vyšetrení súhlasil s operáciou Eulera a odstránil mu šedý zákal z ľavého oka. Euler opäť videl. Lekár mu predpísal, aby oko chránil pred jasným svetlom, nepísal, nečítal – len si postupne zvykal na nový stav. Ale už o niekoľko dní po operácii si Euler obväz sňal a čoskoro opäť stratil zrak. Tentoraz nadobro.

1772: „Nová teória pohybu Mesiaca“. Euler konečne zavŕšil svoju dlhoročnú prácu približným vyriešením problému troch telies.

V roku 1773 na odporúčanie Daniela Bernoulliho prišiel do Petrohradu z Bazileja Bernoulliho žiak Nikolaus Fuss. Pre Eulera to bolo veľké šťastie. Fuss, nadaný matematik, sa hneď po svojom príchode ujal vedenia Eulerovej matematickej práce. Fuss sa čoskoro oženil s Eulerovou vnučkou. Počas nasledujúcich desiatich rokov – až do svojej smrti – Euler diktoval svoje práce prevažne jemu, hoci občas využíval „oči svojho najstaršieho syna“ a ďalších študentov. V tom istom roku 1773 zomrela Eulerova manželka, s ktorou žil takmer 40 rokov. Smrť manželky bola pre vedca, ktorý bol úprimne pripútaný k svojej rodine, bolestnou ranou. Euler sa čoskoro oženil so Salome Abigail, nevlastnou sestrou svojej zosnulej manželky.

Všeobecná sférická trigonometria“ vyšla v roku 1779 a bola prvým úplným výkladom celého systému sférickej trigonometrie.

Euler aktívne pracoval až do svojich posledných dní. V septembri 1783 začal 76-ročný vedec pociťovať bolesti hlavy a slabosť. 7. (18.) septembra, po večeri strávenej s rodinou, keď sa rozprával s akademikom A. I. Lexelom o novoobjavenej planéte Urán a jej dráhe, sa mu náhle urobilo zle. Euler dokázal vysloviť: „Zomieram,“ a odpadol. O niekoľko hodín neskôr zomrel na krvácanie do mozgu.

„Prestal počítať a žil,“ povedal Condorcet na smútočnom zasadnutí Parížskej akadémie vied (fr. Il cessa de calculer et de vivre).

Bol pochovaný na Smolenskom luteránskom cintoríne v Petrohrade. Nápis na pomníku v nemčine znie: „Tu ležia pozostatky svetoznámeho Leonharda Eulera, mudrca a spravodlivého muža. Narodil sa 4. apríla 1707 v Bazileji a zomrel 7. septembra 1783. Po Eulerovej smrti sa jeho hrobka stratila a našla sa v opustenom stave až v roku 1830. V roku 1837 nahradila Akadémia vied tento náhrobok novým žulovým náhrobkom (dodnes stojí) s nápisom v latinčine „Leonhard Euler – Academia Petropolitana“ (lat. Leonhardo Eulero – Academia Petropolitana).

Počas osláv 250. výročia narodenia Eulera (1957) bol popol veľkého matematika prenesený do „Nekropoly 18. storočia“ na Lazarevskom cintoríne Alexandrovskej lavry, kde sa nachádza v blízkosti hrobu M. V. Lomonosova.

Euler zanechal významné diela v rôznych oblastiach matematiky, mechaniky, fyziky, astronómie a mnohých aplikovaných vied. Euler mal encyklopedické vedomosti; okrem matematiky študoval botaniku, medicínu, chémiu, teóriu hudby a mnohé európske a antické jazyky.

Euler sa ochotne zúčastňoval na vedeckých diskusiách, z ktorých bol najznámejší:

Vo všetkých uvedených prípadoch Eulerovo stanovisko podporuje moderná veda.

Matematika

Z hľadiska matematiky je 18. storočie obdobím Eulera. Zatiaľ čo pred ním boli pokroky v matematike rozptýlené a nie vždy koherentné, Euler po prvýkrát spojil analýzu, algebru, geometriu, trigonometriu, teóriu čísel a ďalšie disciplíny do jednotného systému a zároveň pridal mnoho vlastných objavov. Veľká časť matematiky sa odvtedy vyučuje „podľa Eulera“ takmer bezo zmeny.

Vďaka Eulerovi matematika obsahuje všeobecnú teóriu radov, základnú „Eulerovu formulu“ v teórii komplexných čísel, operáciu porovnávania modulo, úplnú teóriu spojitých zlomkov, analytické základy mechaniky, početné techniky integrácie a riešenia diferenciálnych rovníc, číslo e, zápis i pre imaginárnu jednotku, množstvo špeciálnych funkcií a mnoho ďalšieho.

V skutočnosti to bol Euler, kto vytvoril niekoľko nových matematických disciplín – teóriu čísel, variačný počet, teóriu komplexných funkcií, diferenciálnu geometriu plôch; položil základy teórie špeciálnych funkcií. Medzi jeho ďalšie oblasti práce patrí diofantická analýza, matematická fyzika, štatistika atď.

Historik vedy Clifford Truesdell napísal: „Euler bol prvým vedcom v západnej civilizácii, ktorý písal o matematike jasným a zrozumiteľným jazykom. Životopisci zdôrazňujú, že Euler bol virtuóznym algoritmikom. Svoje objavy sa vždy snažil dostať na úroveň konkrétnych výpočtových metód a bol majstrom numerických výpočtov. J. Condorcet povedal, že raz dvaja študenti, ktorí nezávisle od seba robili zložité astronomické výpočty, dostali trochu odlišné výsledky v 50. znamienku a požiadali Eulera o pomoc. Euler urobil v duchu rovnaké výpočty a uviedol správny výsledok.

П. L. Čebyšev napísal: „Euler položil základy všetkých výskumov, ktoré tvoria všeobecnú teóriu čísel.“ Väčšina matematikov 18. storočia sa zaoberala rozvojom analýzy, ale Euler si vášeň pre antickú aritmetiku niesol po celý život. Vďaka jeho prácam sa koncom storočia oživil záujem o teóriu čísel.

Euler pokračoval vo výskume Fermata, ktorý predtým (pod vplyvom Diofanta) vyslovil niekoľko roztrúsených hypotéz o prirodzených číslach. Euler tieto hypotézy dôsledne dokázal, značne ich zovšeobecnil a spojil do zmysluplnej teórie čísel. Do matematiky zaviedol mimoriadne dôležitú „Eulerovu funkciu“ a použil ju na formuláciu „Eulerovej vety“. Vyvrátil Fermatovu hypotézu, že všetky čísla v tvare F n = 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} – {display} sú jednoduché; ukazuje sa, že F 5 {displaystyle F_{5}} {displaystyle F_{5}} je deliteľné číslom 641. Dokázal Fermatov výrok o zobrazení nepárneho prvočísla ako súčtu dvoch štvorcov. Poskytol jedno z riešení problému štyroch kociek. Dokázal, že Mersennovo číslo 2 31 – 1 = 2147483647 {displaystyle 2^{31}-1=2147483647} – je prvočíslo; takmer sto rokov (do roku 1867) bolo najväčším známym prvočíslom.

Euler vytvoril základy teórie komparácií a kvadratických dedukcií, pričom pre druhú z nich určil kritérium riešiteľnosti. Euler zaviedol pojem pôvodného koreňa a predpokladal, že pre každé prvočíslo p existuje pôvodný koreň modulo p; nepodarilo sa mu to dokázať, ale LeGendre a Gauss neskôr túto vetu dokázali. Ďalšia Eulerova domnienka, zákon kvadratickej reciprocity, ktorú tiež dokázal Gauss, mala v teórii veľký význam. Euler dokázal Fermatovu veľkú vetu pre n = 3 {displaystyle n = 3} и n = 4 {displaystyle n=4} , vytvoril úplnú teóriu spojitých zlomkov, skúmal rôzne triedy diferenciálnych rovníc a teóriu delenia čísel na členy.

V probléme o počte delení prirodzeného čísla n {displaystyle n} dostal vzorec vyjadrujúci derivačnú funkciu počtu oddielov p ( n ) {displaystyle p(n)} {zobrazenie p(n ) prostredníctvom nekonečného súčinu

Euler definoval zeta funkciu, ktorej zovšeobecnenie neskôr pomenoval Riemann:

kde s {displaystyle displaystyle s} je reálne číslo (v Riemannovom jazyku je to komplexné číslo). Euler preň odvodil rozklad:

kde sa súčin berie cez všetky prvočísla p {displaystyle displaystyle p} . Takto zistil, že v teórii čísel je možné aplikovať metódy matematickej analýzy, čím vznikla analytická teória čísel, ktorá je založená na Eulerovej identite a všeobecnej metóde derivácie funkcií.

Jedným z Eulerových hlavných prínosov pre vedu bola jeho monografia „Úvod do analýzy nekonečných čísel“ (1748). V roku 1755 vyšiel doplnený „Diferenciálny počet“ a v rokoch 1768-1770 boli vydané tri zväzky „Integrálneho počtu“. Celkovo ide o základný, dobre ilustrovaný kurz s prepracovanou terminológiou a symbolikou. „Dá sa povedať, že dobrá polovica toho, čo sa dnes vyučuje v kurzoch vyššej algebry a vyššej analýzy, je v Eulerových spisoch“ (N. N. Luzin). Euler ako prvý podal systematickú teóriu integrácie a techniky, ktoré sa pri nej používajú. Je najmä autorom klasickej metódy integrácie racionálnych funkcií ich rozkladom na jednoduché zlomky a metódy riešenia diferenciálnych rovníc ľubovoľného rádu s konštantnými koeficientmi.

Euler vždy venoval osobitnú pozornosť metódam riešenia diferenciálnych rovníc, obyčajných aj parciálnych derivácií, pričom objavil a opísal dôležité triedy integrovateľných diferenciálnych rovníc. Vypracoval Eulerovu metódu lomených čiar (1768), numerickú metódu na riešenie sústav obyčajných diferenciálnych rovníc. Spolu s A. C. Clerom odvodil podmienky integrovateľnosti lineárnych diferenciálnych foriem dvoch alebo troch premenných (1739). Dosiahol závažné výsledky v teórii eliptických funkcií vrátane prvých tvrdení o sčítaní eliptických integrálov (1761). Ako prvý skúmal maximá a minimá funkcií mnohých premenných.

Základ prirodzených logaritmov bol známy už od čias Nepera a Jacoba Bernoulliho, ale Euler vykonal takú dôkladnú štúdiu tejto najdôležitejšej konštanty, že bola pomenovaná po ňom. Skúmal aj ďalšiu konštantu: Eulerovu-Mascheroniho konštantu.

Jeho zásluhou je aj moderná definícia exponenciálnej, logaritmickej a trigonometrickej funkcie, ako aj ich symbolika a zovšeobecnenie na komplexný prípad. Vzorce, ktoré sa v učebniciach často označujú ako „Cauchyho-Riemannove podmienky“, by sa mali skôr nazývať „D’Alambertove-Eulerove podmienky“.

Spolu s Lagrangeom sa podelil o objavenie variačného počtu tým, že napísal Eulerove-Lagrangeove rovnice pre všeobecný variačný problém. V roku 1744 Euler publikoval svoje pojednanie „Metóda hľadania kriviek…“  – prvé dielo o variačnom počte (okrem iného obsahovalo prvý systematický výklad teórie pružných kriviek a výsledky o odolnosti materiálov).

Euler výrazne rozvinul teóriu radov a rozšíril ju na komplexný obor, pričom uviedol slávny Eulerov vzorec, ktorý udáva trigonometrické vyjadrenie komplexného čísla. Na matematický svet urobili veľký dojem rady, ktoré ako prvý zhrnul Euler, vrátane inverzných štvorcových radov, čo sa nikomu pred ním nepodarilo:

Euler používal rady na štúdium transcendentálnych funkcií, t. j. funkcií, ktoré nie sú vyjadrené algebraickou rovnicou (napr. integrálny logaritmus). Objavil (1729-1730) „Eulerove integrály“ – špeciálne funkcie, ktoré teraz vstúpili do vedy ako Eulerove funkcie gama a beta. V roku 1764 pri riešení problému kmitania pružnej membrány (ktorý vznikol pri určovaní výšky zvuku kotlov) Euler ako prvý zaviedol Besselove funkcie pre akýkoľvek prirodzený index (výskum F. W. Bessela, ktorého meno tieto funkcie dnes nesú, sa datuje do roku 1824).

Z neskoršieho hľadiska nemožno Eulerove postupy s nekonečnými radmi považovať vždy za správne (zdôvodnenie analýzy sa uskutočnilo až o polstoročie neskôr), ale jeho fenomenálna matematická intuícia mu takmer vždy napovedala správny výsledok. V mnohých dôležitých ohľadoch však jeho poznatky predbehli svoju dobu – napríklad ním navrhnuté všeobecné chápanie súčtu divergentných radov a operácií s nimi slúžilo ako základ modernej teórie týchto radov, ktorá sa rozvinula koncom 19. a začiatkom 20. storočia.

V elementárnej geometrii Euler objavil niekoľko faktov, ktoré Euklides nezaznamenal:

Druhý diel Úvodu do analýzy nekonečných čísel (1748) bol prvou učebnicou analytickej geometrie a základov diferenciálnej geometrie na svete. Euler podal klasifikáciu algebraických kriviek 3. a 4. rádu, ako aj plôch druhého rádu. Pojem „afinné transformácie“ bol prvýkrát zavedený v tejto knihe spolu s teóriou týchto transformácií. V roku 1732 Euler odvodil všeobecnú rovnicu geodetických priamok na povrchu.

V roku 1760 boli publikované základné „Výskumy o zakrivení povrchov“. Euler zistil, že v každom bode hladkého povrchu existujú dva normálové rezy s minimálnym a maximálnym polomerom krivosti a že ich roviny sú navzájom kolmé. Odvodil vzorec pre vzťah medzi krivosťou povrchového rezu a hlavnými krivkami.

V roku 1771 Euler publikoval prácu „O telesách, ktorých povrch možno rozložiť na rovinu“. Táto práca zavádza pojem skladateľného povrchu, t. j. povrchu, ktorý možno položiť na rovinu bez záhybov alebo prerušenia. Euler tu však podáva celkom všeobecnú teóriu metriky, od ktorej závisí celá vnútorná geometria povrchu. Neskôr sa štúdium metriky stáva hlavným nástrojom teórie povrchov.

V súvislosti s úlohami kartografie Euler podrobne skúmal konformné zobrazenia a prvýkrát použil nástroje komplexnej analýzy.

Euler venoval veľkú pozornosť reprezentácii prirodzených čísel ako súčtov špeciálneho druhu a sformuloval niekoľko viet na výpočet počtu delení. Pri riešení kombinatorických problémov podrobne skúmal vlastnosti kombinácií a permutácií a zaviedol Eulerove čísla.

Euler skúmal algoritmy na konštrukciu magických štvorcov pomocou obchádzania šachových koní. Dve z jeho prác (1776, 1779) položili základy všeobecnej teórie latinských a grécko-latinských štvorcov, ktorých veľký praktický význam sa ukázal po tom, ako Ronald Fisher vytvoril metódy plánovania experimentov, ako aj v teórii kódov na opravu chýb.

Eulerov článok „Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis“ (Riešenie problémov ad geometriam situs pertinentis) z roku 1736 znamenal začiatok teórie grafov ako matematickej disciplíny. Ako východiskový bod štúdie vznikol problém mostov v Königsbergu: možno prejsť po každom moste raz a vrátiť sa do východiskového bodu? Euler ho formalizoval tak, že ho zredukoval na problém existencie cyklu alebo cesty v grafe (ktorého vrcholy zodpovedajú častiam mesta oddeleným ramenami rieky Pregolia a hrany mostom), ktorý prechádza cez každú hranu presne raz (v modernej terminológii Eulerov cyklus a Eulerova cesta). Pri riešení posledného problému Euler ukázal, že aby v grafe existoval Eulerov cyklus, musí byť jeho stupeň (počet hrán opúšťajúcich vrchol) pre každý vrchol párny a Eulerova cesta musí byť párna pre všetky vrcholy okrem dvoch (v probléme o Königsberských mostoch to tak nie je: stupne sú 3, 3, 3 a 5).

Euler významne prispel k teórii a metódam približného výpočtu. Ako prvý použil analytické metódy v kartografii. Navrhol vhodnú metódu grafického znázornenia vzťahov a operácií na množinách, ktorá sa nazýva Eulerove kružnice (alebo Euler-Vennes).

Mechanika a fyzika

Mnohé Eulerove práce sa venujú rôznym odvetviam mechaniky a fyziky. Na tému Eulerovej kľúčovej úlohy pri formovaní mechaniky ako exaktnej vedy C. Truesdell napísal: „Mechanika, ako sa dnes učí pre inžinierov a matematikov, je do veľkej miery jeho výtvorom.“

V roku 1736 vyšlo Eulerovo dvojzväzkové pojednanie „Mechanika alebo veda o pohybe v analytickom výklade“, ktoré znamenalo novú etapu vo vývoji tejto starobylej vedy a venovalo sa dynamike hmotného bodu. Na rozdiel od zakladateľov tejto disciplíny dynamiky, Galilea a Newtona, ktorí používali geometrické metódy, 29-ročný Euler navrhol pravidelnú a jednotnú analytickú metódu na riešenie rôznych problémov dynamiky: zostavenie diferenciálnych rovníc pohybu hmotného objektu a ich následnú integráciu za daných počiatočných podmienok.

Prvý zväzok pojednania sa zaoberá pohybom voľného hmotného bodu, druhý pohybom vlastného bodu a skúma sa aj pohyb v prázdnote a v odporovom prostredí. Problémy balistiky a teórie kyvadla sa posudzujú samostatne. Euler tu po prvýkrát zapísal diferenciálnu rovnicu priamočiareho pohybu bodu a pre všeobecný prípad krivočiareho pohybu zaviedol prirodzené pohybové rovnice – rovnice v priemetoch na osi sprievodného trojuholníka. V mnohých konkrétnych problémoch dokončuje integráciu pohybových rovníc až do konca; v prípadoch bodového pohybu bez odporu systematicky používa prvý integrál pohybových rovníc – integrál energie. V druhom zväzku je v súvislosti s problémom pohybu bodu na ľubovoľne zakrivenej ploche predstavená diferenciálna geometria plôch vytvorená Eulerom.

Euler sa k dynamike hmotného bodu vrátil neskôr. V roku 1746 pri skúmaní pohybu hmotného bodu na pohybujúcej sa ploche dospel (súčasne s D. Bernoullim a P. Darcym) k vete o zmene uhlového momentu hybnosti. V roku 1765 Euler, ktorý využil myšlienku C. McLarena z roku 1742 o rozklade rýchlostí a síl pozdĺž troch pevných súradnicových osí, prvýkrát zapísal diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu v priemetoch na karteziánske pevné osi.

Tento výsledok Euler uverejnil vo svojom druhom základnom pojednaní o analytickej dynamike – v knihe Teória pohybu telies (1765). Jej hlavný obsah je však venovaný inej časti mechaniky – dynamike telies, ktorej bol Euler zakladateľom. Pojednanie obsahuje najmä odvodenie sústavy šiestich diferenciálnych rovníc pohybu voľného pevného telesa. Pre statiku je dôležitá veta o redukcii sústavy síl pôsobiacich na pevné teleso na dve sily, ktorá je uvedená v § 620 tohto pojednania. Prenesením podmienok rovnosti týchto síl na nulu na súradnicové osi Euler po prvýkrát získal rovnice rovnováhy pevného telesa pri pôsobení ľubovoľnej priestorovej sústavy síl.

V traktáte z roku 1765 je uvedených aj niekoľko základných Eulerových výsledkov týkajúcich sa kinematiky telies (v 18. storočí ešte kinematika nebola vyčlenená ako samostatný odbor mechaniky). Spomedzi nich môžeme vyzdvihnúť Eulerove vzorce pre rozloženie rýchlostí bodov absolútne pevného telesa (vektorovým ekvivalentom týchto vzorcov je Eulerov kinematický vzorec) a kinematické Eulerove rovnice, ktoré udávajú derivácie Eulerových uhlov (používaných v mechanike na určenie orientácie pevného telesa) prostredníctvom projekcií uhlovej rýchlosti na súradnicové osi.

Okrem tohto pojednania sú pre dynamiku telies dôležité aj dve skoršie Eulerove práce: „Skúmanie mechanického poznania telies“ a „Otáčavý pohyb telies okolo premennej osi“, ktoré boli predložené Berlínskej akadémii vied v roku 1758, ale boli publikované v jej „Poznámkach“ neskôr (v tom istom roku 1765 ako pojednanie). V nich: bola rozvinutá teória momentov zotrvačnosti (bola stanovená existencia aspoň troch osí voľnej rotácie v každom tuhom telese s pevným bodom; boli získané dynamické Eulerove rovnice opisujúce dynamiku tuhého telesa s pevným bodom; bolo dané analytické riešenie týchto rovníc v prípade nulového hlavného momentu vonkajšej sily (Eulerov prípad) – jeden z troch všeobecných prípadov integrovateľnosti v probléme dynamiky ťažkého tuhého telesa s pevným bodom.

V článku „Všeobecné vzorce pre ľubovoľné premiestnenie tuhého telesa“ (1775) Euler formuluje a dokazuje Eulerovu základnú vetu o rotácii, podľa ktorej ľubovoľné premiestnenie absolútne tuhého telesa s pevným bodom je otočenie o určitý uhol okolo osi prechádzajúcej pevným bodom.

Euler sa zaslúžil o analytickú formuláciu princípu najmenšieho pôsobenia (navrhnutú v roku 1744 – vo veľmi rozmazanej podobe – P. L. Mauperthuisom), správne pochopenie podmienok použiteľnosti tohto princípu a jeho prvý dôkaz (vykonaný v tom istom roku 1744 pre prípad jedného hmotného bodu pohybujúceho sa pôsobením centrálnej sily). Akcia (tzv. skrátená akcia a nie Hamiltonova akcia) vzhľadom na sústavu hmotných bodov sa tu chápe ako integrál

kde A {displaystyle A} и B {displaystyle B} – dve konfigurácie systému, m i , v i {displaystyle m_{i},;v_{i}} и d s i {displaystyle mathrm {d} s_{i}} – hmotnosť, algebraická rýchlosť a oblúkový prvok trajektórie. i {displaystyle i} -tý bod, n {displaystyle n} – je počet bodov.

Výsledkom bol Mauperthuisov-Eulerov princíp, prvý z radu integrálnych variačných princípov mechaniky, ktorý vstúpil do vedy; neskôr ho zovšeobecnil J. L. Lagrange a v súčasnosti sa zvyčajne považuje za jednu z foriem (Mauperthuisova-Eulerova forma, uvažovaná spolu s Lagrangeovou formou a Jacobiho formou) Mauperthuisovho-Lagrangeovho princípu. Napriek svojmu rozhodujúcemu prínosu Euler v diskusii, ktorá vznikla okolo princípu najmenšej akcie, dôrazne obhajoval Mauperthuisovu prioritu a poukázal na zásadný význam tohto princípu v mechanike. Táto myšlienka upútala pozornosť fyzikov, ktorí v devätnástom a dvadsiatom storočí objavili základnú úlohu variačných princípov v prírode a aplikovali variačný prístup v mnohých častiach svojej vedy.

Viaceré Eulerove práce sa venujú mechanike strojov. Vo svojom spise „O najvýhodnejšom použití jednoduchých a zložitých strojov“ (1747) Euler navrhol skúmať stroje nie v stave pokoja, ale v stave pohybu. Tento nový, „dynamický“ prístup Euler zdôvodnil a rozvinul vo svojom spise O strojoch všeobecne (v ňom ako prvý v dejinách vedy poukázal na tri základné časti strojov, ktoré boli v 19. storočí definované ako motory, prevody a pracovné časti. Euler vo svojom diele „Princípy teórie strojov“ (1763) ukázal, že pri výpočte dynamických charakteristík strojov v prípade ich zrýchleného pohybu treba brať do úvahy nielen odporové sily a zotrvačnosť užitočného zaťaženia, ale aj zotrvačnosť všetkých súčastí stroja, a uviedol (v súvislosti s hydraulickými motormi) príklad takéhoto výpočtu.

Euler sa zaoberal aj aplikovanou teóriou strojov, napríklad teóriou hydraulických strojov a veterných mlynov, štúdiom trenia v strojových súčiastkach a profilovaním ozubených kolies (tu zdôvodnil a rozvinul analytickú teóriu evolventného ozubenia). V roku 1765 položil základy teórie trenia ohybných káblov a získal najmä Eulerov vzorec na určenie napätia kábla, ktorý sa dodnes používa pri riešení mnohých praktických problémov (napr. pri výpočte mechanizmov s ohybnými článkami).

Euler sa spája aj s dôsledným zavedením myšlienky kontinua do mechaniky, podľa ktorej sa hmotné teleso predstavuje, abstrahované od jeho molekulárnej alebo atómovej štruktúry, ako spojité kontinuálne prostredie. Model kontinua predstavil Euler vo svojom memoári „Objav nového princípu mechaniky“ (ktorý v roku 1750 predložil Berlínskej akadémii vied a o dva roky neskôr publikoval v jej „Pamätiach“).

Autor spomienok vychádzal z Eulerovho princípu hmotných častíc, ktorý sa dodnes uvádza v mnohých učebniciach mechaniky a fyziky (často bez uvedenia Eulera): pevné teleso možno modelovať s ľubovoľnou mierou presnosti tak, že ho myšlienkovo rozložíme na dostatočne malé častice a každú z nich budeme považovať za hmotný bod. Pomocou tohto princípu možno odvodiť rôzne dynamické vzťahy pre spojité teleso tak, že sa zapíšu ich analógie pre jednotlivé hmotné častice (v Eulerovej terminológii „telieska“) a sčítajú sa (v tomto prípade sa súčet nad všetkými bodmi nahradí integráciou cez objem plochy, ktorú teleso zaberá). Tento prístup umožnil Eulerovi vyhnúť sa použitiu takých prostriedkov moderného integrálneho počtu (ako je Stiltjesov integrál), ktoré v 18. storočí ešte neboli známe.

Na základe tohto princípu získal Euler – aplikáciou vety o zmene uhlového momentu na elementárny hmotný objem – prvý Eulerov pohybový zákon (neskôr sa objavil aj druhý Eulerov pohybový zákon – výsledok aplikácie vety o zmene uhlového momentu). Eulerove pohybové zákony v skutočnosti predstavovali základné pohybové zákony mechaniky kontinua; jediné, čo chýbalo k tomu, aby sa prešlo na v súčasnosti používané všeobecné pohybové rovnice pre takéto prostredia, bolo vyjadrenie povrchových síl prostredníctvom tenzora napätia (to urobil O. Cauchy v roku 1820). Euler získané výsledky aplikoval na štúdium konkrétnych modelov tuhých telies – jednak v dynamike tuhých telies (práve v spomínanej memoárovej práci boli prvýkrát uvedené rovnice dynamiky telesa s pevným bodom, vztiahnuté k ľubovoľným karteziánskym osiam), jednak v dynamike tekutín a v teórii pružnosti.

V teórii pružnosti sa viaceré Eulerove štúdie venujú teórii ohybu nosníkov a tyčí; vo svojich prvých prácach (40. roky 17. storočia) riešil problém pozdĺžneho ohybu pružnej tyče, pričom zostavil a vyriešil diferenciálnu rovnicu ohnutej osi tyče. V roku 1757 Euler vo svojej práci O zaťažení stĺpov ako prvý v histórii odvodil vzorec pre kritické zaťaženie pružnej tyče v tlaku, čím vznikla teória stability pružných systémov. Praktické využitie tohto vzorca prišlo oveľa neskôr, takmer o storočie neskôr, keď sa v mnohých krajinách (predovšetkým v Anglicku) začali stavať železnice, ktoré si vyžadovali výpočet pevnosti železničných mostov; práve vtedy inžinieri po určitom zdokonalení prijali Eulerov model.

Euler je spolu s D. Bernoullim a J. L. Lagrangeom jedným zo zakladateľov analytickej dynamiky kvapalín; tu sa zaslúžil o vytvorenie teórie pohybu ideálnej kvapaliny (t. j. kvapaliny bez viskozity) a vyriešenie niektorých špecifických problémov mechaniky kvapalín. V knihe „Princípy pohybu kvapalín“ (publikovanej o deväť rokov neskôr) aplikoval svoje rovnice dynamiky elementárneho hmotného objemu spojitého prostredia na model nestlačiteľnej dokonalej kvapaliny a po prvýkrát získal pre takúto kvapalinu pohybové rovnice, ako aj (pre všeobecný trojrozmerný prípad) rovnicu kontinuity. Pri štúdiu bezvírivého pohybu nestlačiteľnej kvapaliny zaviedol Euler funkciu S {displaystyle S} (neskôr Helmholtz nazval rýchlostný potenciál) a ukázal, že spĺňa parciálnu diferenciálnu rovnicu – tak sa do vedy dostala rovnica, dnes známa ako Laplaceova rovnica.

Výsledky tejto práce podstatne zovšeobecnil Euler vo svojom diele „Všeobecné princípy pohybu kvapalín“ (1755). Tu pre prípad stlačiteľnej ideálnej kvapaliny predstavil (prakticky v modernom ponímaní) rovnicu kontinuity a pohybové rovnice (tri skalárne diferenciálne rovnice, ktorým vo vektorovej forme zodpovedá Eulerova rovnica – základná rovnica hydrodynamiky ideálnej kvapaliny). Euler upozornil, že na uzavretie tejto sústavy štyroch rovníc je potrebný konštitutívny vzťah, ktorý umožňuje vyjadriť tlak p {displaystyle p} (ktorú Euler nazval „elasticita“) ako funkcia hustoty q {displaystyle q} a „ďalšia vlastnosť r {displaystyle r} {displaystyle r}, ktorý ovplyvňuje pružnosť“ (v skutočnosti sa vzťahuje na teplotu). Pri diskusii o možnosti existencie nepotenciálnych pohybov nestlačiteľnej kvapaliny Euler uviedol prvý konkrétny príklad jej vírivého prúdenia a pre potenciálne pohyby takejto kvapaliny získal prvý integrál – špeciálny prípad dnes známeho Lagrangeovho-Cauchyho integrálu.

V tom istom roku vyšiel aj Eulerov memoár „General Principles of the Equilibrium State of Liquids“, ktorý obsahoval systematickú prezentáciu hydrostatiky ideálnej kvapaliny (vrátane odvodenia všeobecnej rovnice rovnováhy kvapalín a plynov) a odvodil barometrický vzorec pre izotermickú atmosféru.

V uvedených prácach Euler pri zápise pohybových a rovnovážnych rovníc kvapaliny použil ako nezávislé priestorové premenné karteziánske súradnice aktuálnej polohy hmotnej častice – Eulerove premenné (D’Alambert ako prvý použil tieto premenné v hydrodynamike). Neskôr v článku „O princípoch pohybu kvapalín. Druhá časť“ (1770) Euler zaviedol druhú formu rovníc hydrodynamiky, v ktorej sa za nezávislé priestorové premenné považovali karteziánske súradnice polohy hmotnej častice v počiatočnom časovom okamihu (dnes známe ako Lagrangeove premenné).

Euler zhromaždil hlavné výsledky v tejto oblasti v trojzväzkovom diele Dioptrica (latinsky: Dioptrica, 1769-1771). Medzi hlavné výsledky patria: pravidlá na výpočet optimálnych vlastností refraktorov, reflektorov a mikroskopov, výpočet najväčšieho jasu obrazu, najväčšieho zorného poľa, najkratšej dĺžky prístroja, najväčšieho zväčšenia, vlastností okulára.

Newton tvrdil, že vytvorenie achromatickej šošovky je v podstate nemožné. Euler tvrdil, že problém by mohla vyriešiť kombinácia materiálov s rôznymi optickými vlastnosťami. V roku 1758 sa Eulerovi po dlhej polemike podarilo presvedčiť anglického optika Johna Dollonda, ktorý potom vytvoril prvý achromatický objektív spojením dvoch šošoviek zo skiel rôzneho zloženia a v roku 1784 akademik F. Epinus v Petrohrade zostrojil prvý achromatický mikroskop na svete.

Astronómia

Euler intenzívne pracoval v oblasti nebeskej mechaniky. Jednou z naliehavých úloh v tom čase bolo určiť parametre dráhy nebeského telesa (napr. kométy) z malého počtu pozorovaní. Euler na tento účel výrazne zdokonalil numerické metódy a prakticky ich použil na určenie eliptickej dráhy kométy z roku 1769; o tieto práce sa opieral Gauss, ktorý poskytol konečné riešenie problému.

Euler položil základy teórie perturbácií, ktorú neskôr dokončili Laplace a Poincaré. Zaviedol základný pojem kmitajúcich prvkov dráhy a odvodil diferenciálne rovnice určujúce ich zmenu v čase. Vytvoril teóriu precesie a nutácie zemskej osi a predpovedal „voľný pohyb pólov“ Zeme, ktorý o storočie neskôr objavil Chandler.

V rokoch 1748-1751 Euler publikoval kompletnú teóriu aberácie svetla a paralaxy. V roku 1756 uverejnil diferenciálnu rovnicu astronomickej refrakcie a skúmal závislosť refrakcie od tlaku a teploty v mieste pozorovania. Tieto výsledky mali obrovský vplyv na vývoj astronómie v nasledujúcich rokoch.

Euler vytvoril veľmi presnú teóriu pohybu Mesiaca a na tento účel vyvinul špeciálnu metódu variácie orbitálnych prvkov. Následne v 19. storočí bola táto metóda rozšírená a aplikovaná na modely pohybu veľkých planét a používa sa dodnes. Mayerove tabuľky vypočítané na základe Eulerovej teórie (1767) sa ukázali ako vhodné aj na riešenie naliehavého problému určovania zemepisnej dĺžky na mori a anglická admiralita za ne Mayerovi a Eulerovi vyplatila osobitnú cenu. Eulerove hlavné práce v tejto oblasti:

Euler skúmal gravitačné pole nielen sférických, ale aj elipsoidných telies, čo predstavovalo významný krok vpred. Bol tiež prvým vedcom, ktorý poukázal na sekulárny posun sklonu roviny ekliptiky (1756), a na jeho podnet sa odvtedy za referenčný považuje sklon zo začiatku roka 1700. Vypracoval základy teórie pohybu satelitov Jupitera a iných silne stlačených planét.

V roku 1748, dlho pred prácou P. N. Lebedeva, Euler vyslovil hypotézu, že chvosty komét, polárne žiary a svetlo zverokruhu majú spoločný účinok slnečného žiarenia na atmosféru alebo látku nebeských telies.

Teória hudby

Euler sa celý život zaujímal o hudobnú harmóniu a snažil sa jej dať jasný matematický základ. Cieľom jeho raného diela Tentamen novae theoriae musicae (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) bolo matematicky opísať, ako sa príjemná (eufonická) hudba líši od nepríjemnej (nepríjemnej) hudby. Na konci VII. kapitoly „Skúsenosti“ Euler usporiadal intervaly do „stupňov súhlasnosti“ (gradus suavitatis), pričom oktáva bola zaradená do II (niektoré triedy (vrátane prvej, tretej a šiestej) v Eulerovej tabuľke súhlasnosti boli vynechané. O tomto diele sa vtipkovalo, že obsahuje príliš veľa hudby pre matematikov a príliš veľa matematiky pre hudobníkov.

V neskorších rokoch, v roku 1773, Euler predniesol v Petrohradskej akadémii vied príspevok, v ktorom sformuloval svoje mriežkové zobrazenie zvukového systému v jeho konečnej podobe; toto zobrazenie autor metaforicky označil ako „zrkadlo hudby“ (lat. speculum musicae). Nasledujúci rok bol Eulerov článok publikovaný ako malé pojednanie De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis („O pravých základoch harmónie prezentovaných prostredníctvom speculum musicae“). Pod názvom Tonnetz sa Eulerova mriežka hojne používala v nemeckej hudobnej teórii 19. storočia.

Ďalšie oblasti znalostí

V roku 1749 Euler vydal dvojzväzkovú monografiu „The Science of the Sea, or a Treatise on Shipbuilding and Ship Navigation“, v ktorej aplikoval analytické metódy na praktické problémy stavby lodí a plavby na mori, ako napríklad tvar lodí, otázky stability a rovnováhy, metódy riadenia pohybu lodí. Krylovova všeobecná teória stability lode je založená na „námornej vede“.

Medzi Eulerove vedecké záujmy patrila aj fyziológia; najmä aplikoval metódy hydrodynamiky na štúdium princípov prúdenia krvi v cievach. V roku 1742 poslal Akadémii v Dijone článok o prúdení tekutín v elastických trubiciach (považovaných za modely ciev) a v decembri 1775 predložil Petrohradskej akadémii vied memoár s názvom Principia pro motu sanguines per arteria determinando (Zásady určovania pohybu krvi v tepnách). Táto práca analyzovala fyzikálne a fyziologické princípy pohybu krvi spôsobeného periodickými sťahmi srdca. Euler považoval krv za nestlačiteľnú kvapalinu a našiel riešenie pohybových rovníc, ktoré zostavil pre prípad tuhých rúrok, a v prípade pružných rúrok sa obmedzil na odvodenie všeobecných rovníc konečného pohybu.

Jednou z hlavných úloh, ktoré Euler dostal po príchode do Ruska, bolo školenie vedeckého personálu. Medzi Eulerovými priamymi žiakmi:

Jednou z Eulerových priorít bola tvorba učebníc. Sám napísal „Príručku aritmetiky pre gymnázium cisárskej akadémie vied“ (1738-1740), „Univerzálnu aritmetiku“ (1768-1769). Euler sa podľa Fussa uchýlil k originálnej metóde – diktoval učebnicu sluhovi a sledoval, ako text pochopí. Vďaka tomu sa chlapec naučil samostatne riešiť problémy a vykonávať výpočty.

Euler je pomenovaný po ňom:

Kompletné Eulerove diela, ktoré od roku 1909 vydáva Švajčiarska spoločnosť prírodovedcov, sú stále neúplné; plánovaných bolo 75 zväzkov, z ktorých bolo vydaných 73:

Ďalších osem zväzkov bude venovaných Eulerovej vedeckej korešpondencii (viac ako 3000 listov).

V roku 1907 ruskí a mnohí ďalší vedci oslavovali 200. narodeniny veľkého matematika a v roku 1957 sovietska a berlínska akadémia vied venovali slávnostné zasadnutia jeho 250. narodeninám. V predvečer Eulerových 300. narodenín (2007) sa v Petrohrade konalo medzinárodné fórum k výročiu a bol natočený film o Eulerovom živote. V tom istom roku bol pri vchode do Medzinárodného Eulerovho inštitútu v Petrohrade odhalený Eulerov pomník. Petrohradské úrady však všetky návrhy na pomenovanie námestia alebo ulice po vedcovi zamietli; v Rusku dodnes nie sú žiadne Eulerove ulice.

Osobné vlastnosti a známky

Podľa jeho súčasníkov bol Euler dobrosrdečný, miernej povahy a takmer s nikým sa nehádal. Dokonca aj Johann Bernoulli, ktorého tvrdú povahu zažil jeho brat Jacob a jeho syn Daniel, sa k nemu správal vždy srdečne. Euler potreboval k plnosti života len jednu vec – možnosť pravidelnej matematickej tvorivosti. Dokázal intenzívne pracovať aj „s dieťaťom na kolenách a mačkou na chrbte“. Euler bol zároveň veselý, spoločenský, miloval hudbu a filozofické rozhovory.

Akademik P. P. Pekarskij na základe svedectiev Eulerových súčasníkov zrekonštruoval obraz učenca: „Euler mal veľké umenie nevystatovať sa svojou učenosťou, skrývať svoju nadradenosť a byť na úrovni všetkých. Vždy vyrovnaná povaha, jemná a prirodzená veselosť, nejaký ten úškrn s prímesou dobrosrdečnosti, naivný a vtipný rozhovor – to všetko robilo rozhovor s ním rovnako príjemným ako príťažlivým.

Ako poznamenávajú súčasníci, Euler bol veľmi nábožensky založený. Podľa Condorceta sa Euler každý večer schádzal so svojimi deťmi, sluhami a žiakmi, ktorí s ním žili, aby sa modlili. Čítal im kapitolu z Biblie a niekedy čítanie sprevádzal kázňou. V roku 1747 Euler vydal traktát na obranu kresťanstva proti ateizmu s názvom „Obrana Božieho zjavenia proti útokom voľnomyšlienkárov“. Eulerova fascinácia teologickým uvažovaním spôsobila, že jeho slávni súčasníci – D’Alembert a Lagrange – mali k nemu (ako k filozofovi) negatívny postoj. Fridrich II., ktorý sa považoval za „voľnomyšlienkara“ a dopisoval si s Voltairom, povedal, že Euler „smrdí kňazom“.

Euler bol starostlivý rodinný človek, ktorý ochotne pomáhal kolegom a mladým ľuďom a veľkoryso sa s nimi delil o svoje nápady. Je známe, že Euler odložil svoje publikácie o variačnom počítaní, aby ich mohol ako prvý uverejniť vtedy mladý a neznámy Lagrange, ktorý nezávisle od neho dospel k rovnakým objavom. Lagrange vždy obdivoval Eulera ako matematika aj ako človeka; povedal: „Ak naozaj milujete matematiku, čítajte Eulera.

„Čítajte, čítajte Eulera, je to náš spoločný učiteľ“, ako rád opakoval Laplace (Fr. Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous.). Eulerove práce s veľkým prínosom študoval „kráľ matematikov“ Karl Friedrich Gauss a prakticky všetci slávni vedci 18. a 19. storočia.

D’Alambert v jednom zo svojich listov Lagrangeovi nazýva Eulera „tým diablom“ (frès se diable d’homme), akoby tým chcel podľa komentátorov naznačiť, že to, čo Euler dokázal, bolo nad ľudské sily.

М.  V. Ostrogradský v liste N. N. Fussovi uviedol: „Euler vytvoril modernú analýzu, sám ju obohatil viac ako všetci jeho nasledovníci dokopy a urobil z nej najmocnejší nástroj ľudského rozumu.“ Akademik S. I. Vavilov napísal: „Spolu s Petrom I. a Lomonosovom sa Euler stal dobrým géniom našej akadémie, ktorý určil jej slávu, jej pevnosť, jej produktivitu.

Adresy bydliska

V rokoch 1743 až 1766 žil Euler v dome na Berenstrasse 21

Od roku 1766 žil Euler v obytnom dome na Nikolajevskom nábreží 15 (s prestávkou spôsobenou veľkým požiarom). V sovietskych časoch bola ulica premenovaná na Nábrežie poručíka Schmidta. Na dome je pamätná tabuľa a v súčasnosti sa v ňom nachádza stredná škola.

Známky, mince, bankovky

V roku 2007 vydala Ruská centrálna banka pamätnú mincu k 300. výročiu narodenia L. Eulera. Eulerov portrét bol umiestnený aj na švajčiarskej bankovke v hodnote 10 frankov (séria 6) a na poštových známkach Švajčiarska, Ruska a Nemecka.

Matematické olympiády

Mnohé fakty z geometrie, algebry a kombinatoriky, ktoré Euler dokázal, sa všeobecne používajú v matematických olympiádach.

15. apríla 2007 sa pri príležitosti 300. výročia narodenia Leonharda Eulera uskutočnila internetová matematická olympiáda pre žiakov, ktorú podporilo viacero organizácií. Od roku 2008 sa koná Matematická olympiáda Leonharda Eulera pre žiakov 8. ročníka, ktorá má čiastočne nahradiť stratu regionálnych a finálových etáp Celoruskej matematickej olympiády pre žiakov 8. ročníka.

Historici objavili niečo vyše tisíc priamych potomkov Leonharda Eulera. Najstarší syn Johann Albrecht sa stal významným matematikom a fyzikom. Druhý syn Karl bol slávny lekár. Mladší syn Krištof sa neskôr stal generálporučíkom ruskej armády a veliteľom Sestroreckého zbrojného závodu. Všetky Eulerove deti prijali ruské občianstvo (sám Euler zostal celý život švajčiarskym poddaným).

Koncom 80. rokov 20. storočia historici napočítali asi 400 žijúcich potomkov, z ktorých asi polovica žila v ZSSR.

Tu je stručný genealogický strom niektorých známych Eulerových potomkov (priezvisko je uvedené, ak nie je „Euler“).

Medzi ďalších Eulerových potomkov patria N. I. Gekker, V. F. Gekker a I. R. Gekker, V. E. Scalon a E. N. Behrendts. Medzi potomkami je mnoho vedcov, geológov, inžinierov, diplomatov a lekárov; je medzi nimi aj deväť generálov a jeden admirál. Eulerovým potomkom je prezident Medzinárodného kriminologického klubu v Petrohrade D. A. Šestakov.

Zdroje

1. Эйлер, Леонард
2. Leonhard Euler
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том второй. Издание отделения русского языка и словесности Императорской Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук. 1873
4. Впервые эти формулы получены в работе Эйлера «Открытие нового принципа механики» (1750); там же доказано наличие у движущегося твёрдого тела с неподвижной точкой оси мгновенного вращения — такой прямой, проходящей через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны в данный момент времени нулю (результат, независимо полученный в 1749 году Ж. Л. Д’Аламбером).
5. Данный результат был — тремя годами ранее — независимо получен также Я. Сегнером.
6. Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2015, S. 11.
7. Luzia Knobel: Leonhard Euler. In: Gemeinde Lexikon Riehen.
8. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, S. 448.
9. Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982. S. 16.
10. ^ The pronunciation /ˈjuːlər/ YOO-lər is considered incorrect[2][3][4][5]
11. a et b (en) William Dunham, Euler : The Master of Us All, Washington, MAA, 1999, 185 p. (ISBN 978-0-88385-328-3, lire en ligne), p. 17.
12. Dunham 1999, p. xiii
13. Bogolyubov, Mikhailov et Yushkevich 2007, p. 400.