Arkimedes
gigatos | januari 5, 2022
Sammanfattning
Arkimedes av Syrakusa (Syrakusa, ca 287 f.Kr. – Syrakusa, 212 f.Kr.) var en siciliansk matematiker, fysiker och uppfinnare.
Han betraktas som en av historiens största vetenskapsmän och matematiker och bidrog till att öka kunskapen inom områden som sträcker sig från geometri till hydrostatik, optik och mekanik: Han kunde beräkna sfärens yta och volym och formulerade lagarna för kroppars flytförmåga; inom ingenjörsvetenskapen upptäckte och utnyttjade han hävstångarnas funktionsprinciper och hans namn är förknippat med många maskiner och anordningar, t.ex. Archimedes” skruv, som visar hans uppfinningsrikedom; de krigsmaskiner som Archimedes sägs ha förberett för att försvara Syrakusa mot romarnas belägring är fortfarande omgärdade av en mystisk aura.
Hans liv är ihågkommet genom många anekdoter, ibland av osäkert ursprung, som har bidragit till att bygga upp vetenskapsmannens personlighet i den kollektiva föreställningsvärlden. Till exempel hans utrop èureka! (εὕρηκα! – Jag har hittat det!) som tillskrivs honom efter upptäckten av principen om kroppars flytförmåga som fortfarande bär hans namn.
Läs också: biografier – Mark Twain
Historiska inslag
Det finns få säkra uppgifter om hans liv. Alla källor är överens om att han var syrakusianare och att han dödades under romarnas plundring av Syrakusa 212 f.Kr. Diodorus Siculus har också berättat att han vistades i Egypten och att det var i Alexandria som han blev vän med matematikern och astronomen Conon av Samos. Det var sannolikt inte fallet: vetenskapsmannen skulle ha velat komma i kontakt med de tidens lärda från Alexandriaskolan, till vilka han skickade många av sina skrifter. Under denna hypotetiska vistelse sägs Archimedes ha uppfunnit den hydrauliska skruven.
Det enda som är säkert är att han hade kontakt med Conon (vilket framgår av att han i vissa av sina verk beklagar hans död), som han kanske träffade på Sicilien. Han brevväxlade med olika vetenskapsmän i Alexandria, bland annat Eratosthenes, som han tillägnade sin avhandling Metoden och Dositheus. Ett bra exempel på samarbetet mellan vetenskapsmannen och alexandrinerna är introduktionsbrevet till avhandlingen On Spirals.
Enligt Plutarch var han släkt med monarken Hieron II. Tesen är kontroversiell men stöds av den nära vänskap och uppskattning som enligt andra författare förenade dem. Födelsedatumet är osäkert. Datumet 287 f.Kr. brukar accepteras, baserat på information från den bysantinske forskaren John Tzetzes om att han dog vid sjuttiofem års ålder. Man vet dock inte om Tzetzes förlitade sig på tillförlitliga källor, som nu är försvunna, eller om han bara försökte kvantifiera det faktum, som rapporterats av olika författare, att Arkimedes var gammal vid sin död. Hypotesen att han var son till en syrakusisk astronom vid namn Phidias (i övrigt okänd) bygger på filologen Friedrich Blass” rekonstruktion av en mening av Archimedes i Arenarius, som i manuskriptet hade blivit förvanskad och meningslös. Om denna hypotes stämmer kan man anta att han ärvde sin fars kärlek till de exakta vetenskaperna.
Av de verk som bevarats och vittnesmålen vet man att han behandlade alla vetenskapsgrenar som fanns på sin tid (aritmetik, plan och fast geometri, mekanik, optik, hydrostatik, astronomi etc.) och olika tekniska tillämpningar.
Polybios rapporterar att han under det andra puniska kriget, på Hieron II:s begäran, ägnade sig åt att bygga krigsmaskiner som skulle hjälpa hans stad att försvara sig mot det romerska angreppet (enligt Plutarkos med mindre entusiasm men enligt alla tre med stor framgång). Plutarkos säger att Syrakus hade bara några tusen män och en gammal mans genialitet mot Roms legioner och mäktiga flotta; Archimedes maskiner skulle ha kastat cyklopiska stenblock och en järnstorm mot Marcus Claudius Marcellus sextio massiva quinquerems. Han dödades 212 f.Kr. i samband med Syrakusas plundring. Enligt traditionen var mördaren en romersk soldat som inte kände igen honom och inte utförde ordern att fånga honom levande.
Archimedes var mycket uppskattad både i sitt eget land, där han var en referenspunkt för kung Hieron, i Alexandria, där han korresponderade med sin tids mest berömda matematiker, och bland romarna, så mycket att han enligt legenden beordrades tillfångatagas levande (men dödades). Den romerska befälhavaren lät bygga en grav till hans ära.
Archimedes fascinerade sin samtid i sådan utsträckning att biografiska händelser med tiden har blivit nära sammanflätade med legender och det är fortfarande svårt att skilja på fiktiva element och historisk verklighet. Till bristen på bevis läggs det faktum att Archimedes endast skrev teoretiska och spekulativa verk.
Läs också: biografier – Vlad III Dracula
Två berömda anekdoter
I den kollektiva fantasin är Archimedes oupplösligt förknippad med två anekdoter. Vitruvius berättar att han började arbeta med hydrostatik eftersom kung Hieron II bad honom avgöra om en krona hade tillverkats av rent guld eller av andra metaller (inuti kronan). Han upptäckte hur han kunde lösa problemet när han tog ett bad och konstaterade att vattnet höjde nivån när han doppade sig i det. Observationen skulle ha gjort honom så lycklig att han skulle ha lämnat sitt hus naken och sprungit genom Syrakusas gator och utropat ”εὕρηκα” (èureka!, jag har hittat det!). Om vi inte hade känt till avhandlingen om flytande kroppar skulle vi inte ha kunnat härleda den arkeimediska hydrostatiken från den vitruvianska skildringen.
Vitruvius rapporterar att problemet skulle ha lösts genom att mäta volymerna av kronan och en lika stor vikt av guld genom att sänka dem i ett kärl fyllt med vatten och mäta det överflödande vattnet. Detta förfarande är dock osannolikt, både för att det innebär ett alltför stort fel och för att det inte har något samband med den hydrostatik som utvecklades av Archimedes. Enligt en mer tillförlitlig rekonstruktion, som finns bevarad i senantiken, föreslog Arkimedes att kronan och en lika stor mängd guld skulle vägas i vatten. Om kronan hade varit av rent guld skulle balansen ha varit balanserad. Men eftersom vågen tippade över till guldets sida kunde man dra slutsatsen att kronan, eftersom vikterna var lika stora, hade genomgått en större hydrostatisk tryckkraft uppåt och därför måste ha haft en större volym, vilket innebar att den måste ha tillverkats av andra metaller, eftersom dessa metaller (som till exempel silver) hade en lägre densitet än guld.
Enligt en annan lika berömd anekdot kunde Archimedes (eller Hieron) flytta ett fartyg med hjälp av en maskin som han hade uppfunnit. Han var upphöjd av sin förmåga att bygga maskiner som kunde flytta stora vikter med små krafter och sägs ha utropat vid detta eller något annat tillfälle: ”Ge mig ett fotfäste så lyfter jag jorden”. Uttrycket citeras, med små variationer, av olika författare, inklusive Pappus av Alexandria.
Läs också: biografier – Guy Fawkes
Legender om döden
Legenden har också fört över till eftervärlden Archimedes sista ord till soldaten som skulle döda honom: ”noli, obsecro, istum disturbare” (förstör inte den här teckningen). tre olika versioner av Archimedes död.
I den första sägs en romersk soldat ha beordrat Archimedes att följa med honom till Marcellus; när han vägrade dödade soldaten honom.
I den andra sägs en romersk soldat ha kommit för att döda Archimedes och denne bad honom förgäves att låta honom avsluta den demonstration som han höll på med.
I det tredje fallet sägs soldater ha stött på Archimedes när han förde med sig några vetenskapliga instrument, solur, sfärer och kvadrater, till Marcellus i en låda; soldaterna trodde att lådan innehöll guld och ska ha dödat Archimedes för att kunna lägga beslag på den.
Enligt Titus Livius var Marcellus, som skulle ha känt till och uppskattat det enorma värdet av Archimedes” genialitet och kanske velat använda den i republikens tjänst, djupt bedrövad över hans död. Dessa författare säger att han lät ge vetenskapsmannen en hedervärd begravning. Detta rapporteras dock inte av Polybius, som anses vara den mest auktoritativa källan om belägringen och plundringen av Syrakusa.
Cicero säger att han upptäckte Archimedes grav tack vare en sfär som var inskriven i en cylinder, som skulle ha huggits i enlighet med vetenskapsmannens önskemål.
Läs också: biografier – Georgia O’Keeffe
Ordnance
Archimedes har en stor del av sin popularitet att tacka för sitt bidrag till försvaret av Syrakusa mot den romerska belägringen under det andra puniska kriget. Polybius, Livius och Plutarch beskriver krigsmaskiner som han uppfunnit, bland annat manus ferrea, en mekanisk klo som kan få fiendens fartyg att kantra, och jetvapen som han har utvecklat.
På 200-talet rapporterade författaren Lucian av Samosata att Archimedes under belägringen av Syrakusa (ca 214-212 f.Kr.) förstörde fiendens fartyg med eld. Flera århundraden senare nämner Antemius av Tralles ”linser med eld” som vapen som Archimedes konstruerat. Instrumentet, som kallades ”Archimedes brinnande speglar”, utformades för att koncentrera solljuset på fartyg som närmade sig och få dem att fatta eld.
Detta hypotetiska vapen har sedan renässansen varit föremål för debatter om dess sanningshalt. René Descartes trodde att den var falsk, medan moderna forskare har försökt återskapa effekten med hjälp av de enda medel som Arkimedes hade tillgång till. Det har föreslagits att ett stort antal polerade sköldar i brons eller koppar har använts som speglar för att fokusera solljuset på ett fartyg. Denna skulle ha använt sig av principen om parabolisk reflektion på ett liknande sätt som en solugn.
Ett experiment för att testa Archimedes brinnande speglar utfördes 1973 av den grekiske forskaren Ioannis Sakkas. Experimentet ägde rum på marinbasen Skaramagas utanför Aten. Vid detta tillfälle användes 70 speglar, alla med kopparbeläggning och med en storlek på cirka 1,5 meter. Speglarna riktades mot en plywoodkopia av ett romerskt krigsfartyg på ett avstånd av cirka 50 meter. När speglarna fokuserade solens strålar på rätt sätt började fartyget brinna inom några sekunder. Modellen hade en beläggning av tjärfärg som kan ha underlättat förbränningen. En sådan beläggning skulle ha varit vanlig på den tidens fartyg.
Läs också: biografier – Paul Klee
Syracuse
Moschion, i ett verk som Athenéus ger stora utdrag ur, beskriver ett enormt skepp som beställdes av kung Hieron II och byggdes av Archias från Korinth Skeppet, det mest imponerande i antiken, kallades Syrakusia. Namnet ändrades till Alexandria när den skickades som en gåva till kung Ptolemaios III av Egypten tillsammans med en last spannmål för att visa den sicilianska stadens rikedom. För denna båt använde Archimedes ett instrument, cochlea, som gjorde det möjligt att pumpa ut vatten ur lastrummen och hålla dem torra.
Läs också: biografier – Albert Gobat
Vattenklocka
Ett arabiskt manuskript innehåller en beskrivning av en genial vattenklocka som Archimedes har konstruerat. I klockan hölls utflödet av vatten konstant genom en flytande ventil.
Klockan bestod av två tankar, den ena upphöjd över den andra. Den övre var utrustad med en kran som gav ett konstant vattenflöde till den nedre bassängen.
Ovanför den nedre bassängen fanns en vridbar bräda med en tråd i vars ändar en liten sten och en flottör var bundna.
I början av dagen måste den nedre tanken vara tom och linan dras ner så att flottören rörde vid botten och stenen steg upp till toppen.
Längden på linan och vattenflödet kalibrerades så att klockan var 12 när flötet befann sig på stenens höjd och klockan 6 på eftermiddagen när stenen befann sig på botten.
Archimedes stod inför problemet att upprätthålla ett konstant flöde från kranen: när den övre bassängen tömdes minskade vattentrycket och flödet minskade. Han lade därför till en tredje tank högre upp än de två första, som fyllde den andra tanken med hjälp av en flottör för att hålla nivån konstant och därmed trycket på vattnet som kom ut ur kranen.
Archimedes anses idag också vara den förste som tolkade tiden som en fysisk storhet som kan analyseras med de matematiska verktyg som används för geometriska storheter (t.ex. i sin avhandling om spiraler representerar han tidsintervallerna med segment och tillämpar Euklids teori om proportioner på dem).
Läs också: biografier – Andy Warhol
Athenaeus, säger de att Arkimedes hade konstruerat en maskin med vilken en enda man kunde flytta ett fartyg med besättning och last. Hos Athenéus avser episoden sjösättningen av Syrakusa, medan Plutarkos talar om ett demonstrationsexperiment som utfördes för att visa suveränen mekanikens möjligheter. Dessa berättelser innehåller utan tvekan överdrifter, men det faktum att Archimedes hade utvecklat den mekaniska teorin som gjorde det möjligt att konstruera maskiner med stor mekanisk fördel garanterar att de hade en verklig grund.
Enligt Athenaeus vittnesmål hade han uppfunnit den mekanism för att pumpa vatten som används för att bevattna odlade fält och som kallas Archimedes skruv.
Teknikhistorikern Andre W. Sleeswyk har också tillskrivit Archimedes den kilometerräknare som Vitruvius beskrev.
Architronito, som beskrevs av Leonardo da Vinci, var en ångkanon vars uppfinning kan spåras tillbaka till Archimedes från Syrakusa omkring 200 f.Kr. Man tror att maskinen användes vid belägringen av Syrakusa 212 f.Kr. och 49 f.Kr., vilket Julius Caesar vittnar om under belägringen av Marseille.
Läs också: biografier – Nikola Tesla
Planetarium
En av Archimedes mest beundrade prestationer under antiken var planetariet. Den bästa informationen om denna apparat kommer från Cicero, som skriver att konsul Marcus Claudius Marcellus 212 f.Kr., när Syrakusa plundrades av romerska trupper, tog med sig till Rom en anordning som byggts av Arkimedes och som återgav himlens valv på en sfär, och en annan som förutspådde solens, månens och planeternas skenbara rörelser, vilket alltså motsvarar en modern armillär sfär. Cicero, som rapporterar om Gaius Sulpicius Gallus intryck av att ha observerat det extraordinära objektet, understryker hur Archimedes” genialitet hade lyckats generera planeternas rörelser, som var så olika från varandra, från en enda rotation. Tack vare Pappo vet man att Archimedes hade beskrivit byggandet av planetariet i sitt försvunna verk On the Construction of the Spheres.
Upptäckten av Antikythera-maskinen, en kugghjulsapparat som enligt vissa undersökningar härstammar från andra hälften av 200-talet f.Kr. och som visar hur genomarbetade de mekanismer som byggdes för att återge stjärnornas rörelser var, har återuppväckt intresset för Archimedes planetarium. En redskap som kan identifieras som tillhörande Archimedes planetarium påstods ha hittats i juli 2006 i Olbia. Studier av fyndet presenterades för allmänheten i december 2008. Enligt en rekonstruktion kan planetariet, som sägs ha övergått till ättlingar till Syrakusas erövrare, ha gått förlorat under jorden i Olbia (en trolig hamn som resan anlöpte) innan fartyget med Marcus Claudius Marcellus (konsul 166 f.Kr.) till Numidien förliste.
Läs också: biografier – Humajun
Mätning av pupilldiameter
I Arenarius (bok I, kap. 13), efter att ha nämnt en metod för att mäta solens vinkel med hjälp av en måttstock på vilken han placerade en liten cylinder, konstaterar Archimedes att den vinkel som bildas på detta sätt (topp i ögat och tangenter till cylinderns och solens kanter) inte är ett korrekt mått eftersom pupillens storlek ännu inte är känd. Genom att placera en andra cylinder av en annan färg och placera ögat längre bak från linjalens ände får han på detta sätt fram pupillens genomsnittliga diameter och därmed en mer exakt uppskattning av solens diameter. Den till och med korta diskussionen i ämnet tyder på att Archimedes, snarare än att hänvisa till Euklides skrifter, i detta fall också tog hänsyn till studierna av Herophilus av Chalcedon, som hade ägnat flera skrifter åt ögats sammansättning, vilka alla har gått helt förlorade och endast är kända genom Galens citat.
Archimedes vetenskapliga prestationer kan avslöjas genom att först beskriva innehållet i de bevarade verken och sedan bevisen för de förlorade verken.
Läs också: biografier – Maxentius
Bevarade verk
Redan i Bibeln föreslogs att förhållandet mellan halvcirkeln och radien var ungefär 3, och denna uppskattning accepterades allmänt.
I det korta verket La misura del cerchio (Cirkelns mått) visar Archimedes först och främst att en cirkel är likvärdig med en triangel vars bas är lika lång som omkretsen och vars höjd är lika stor som radien. Detta resultat uppnås genom att cirkeln approximeras, både från insidan och från utsidan, med regelbundna polygoner som är inskrivna och omskrivna. På samma sätt förklarar Archimedes en metod för att så långt som möjligt närma sig förhållandet mellan längden på en omkrets och diametern på en given cirkel, som idag betecknas med π. De erhållna uppskattningarna begränsar detta värde till mellan 227 (ca 3,1429) och 22371 (ca 3,1408).
I verket Quadrature de la parabola (som Archimedes tillägnade Dositeo) beräknas arean av ett parabelsegment, en figur som avgränsas av en parabel och en sekantlinje, som inte nödvändigtvis är ortogonal till parabelns axel, och man finner att den är värd 43 av arean av den största triangel som är inskriven i den.
Det visas att den största inskrivna triangeln kan erhållas genom ett visst förfarande. Sekantens segment mellan de två skärningspunkterna kallas för parabelsegmentets bas. Linjerna som är parallella med parabelns axel och som går genom basens ändar betraktas. En tredje linje dras sedan parallellt med de två första linjerna och på samma avstånd från dem.
Den senare linjens skärningspunkt med parabeln bestämmer triangelns tredje hörn. Genom att subtrahera den största inskrivna triangeln från parabolsegmentet får man två nya parabolsegment, i vilka två nya trianglar kan skrivas in. Parabelsegmentet fylls sedan med ett oändligt antal trianglar.
Den erforderliga arean erhålls genom att beräkna trianglarnas areor och summera de oändliga termerna som erhålls. Det sista steget reduceras till summan av de geometriska serierna i orsak 14:
Detta är det första kända exemplet på summan av en serie. I början av arbetet introduceras det som nu kallas Archimedes axiom.
Givet ett parabelsegment som avgränsas av sekanten AC, är en första maximal triangel ABC inskriven.
I de två parabelsegmenten AB och BC är två andra trianglar ADB och BEC inskrivna.
Fortsätt på samma sätt för de fyra parabolsegmenten AD, DB, BE och EC för att bilda trianglarna AFD, DGB, BHE och EIC.
Med hjälp av parabelns egenskaper visar vi att arean av triangeln ABC är lika med fyra gånger arean av ADB + BEC och att:ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}
För varje steg läggs 14 av den föregående triangelns area till triangelns area.
Det räcker nu att visa att den polygon som konstrueras på detta sätt faktiskt närmar sig parabelsegmentet och att summan av trianglarnas areor är lika med 43 för den första triangeln.
On the equilibrium of planes, eller snarare: on the centres of gravity of planes, ett verk i två böcker, är den första avhandling om statik som har kommit till oss. Archimedes fastställer en rad postulat på vilka han baserar sin nya vetenskap och visar på hävstångens lag. Postulaten definierar också implicit begreppet tyngdpunkt, vars läge bestäms för olika plana geometriska figurer.
I On Spirals, som är ett av hans huvudverk, definierar Archimedes med en kinematisk metod det som idag kallas Archimedes spiral och kommer fram till två resultat av stor betydelse. Först beräknar han arean av spiralens första vändning med hjälp av en metod som föregriper Riemanns integration. Archimedes definition av spiralen: en rak linje med en fast ände roterar jämnt; en punkt rör sig jämnt på den: den kurva som beskrivs av denna punkt är spiralen.
De viktigaste resultaten av Della sfera e del cilindro, ett verk i två böcker, är att arean av sfärens yta är fyra gånger arean av dess maximala cirkel och att sfärens volym är två tredjedelar av volymen av den omskrivna cylindern.
Enligt en tradition som överlämnats av Plutarch och Cicero var Archimedes så stolt över denna sista prestation att han ville att den skulle återges som en epitafium på hans grav.
I verket On conoids and spheroids definierar Archimedes rotationsellipsoider, paraboloider och hyperboloider, betraktar segment som erhålls genom att dela upp dessa figurer med plan och beräknar deras volymer.
On Floating Bodies är ett av Arkimedes viktigaste verk, med vilket vetenskapen hydrostatik grundades. I den första av de två böckerna i verket anges ett postulat från vilket det som i dag felaktigt kallas Archimedes princip härleds som en sats. Förutom att beräkna flottörernas statiska jämviktslägen visas att vattnet i haven under jämviktsförhållanden antar en sfärisk form. Sedan Parmenides tid har grekiska astronomer vetat att jorden har en sfärisk form, men för första gången här dras slutsatsen av fysikaliska principer.
I den andra boken studeras stabiliteten hos jämvikten hos flytande paraboloidsegment. Problemet valdes ut för att det är intressant med tanke på dess tillämpningar inom sjöfartstekniken, men lösningen är också av stort matematiskt intresse. Archimedes studerar stabiliteten när två parametrar varierar, en formparameter och en densitet, och fastställer tröskelvärden för båda parametrarna som skiljer stabila från instabila konfigurationer. För E.J. Dijksterhuis är dessa resultat ”definitivt utanför den klassiska matematikens gränser”.
I Arenarius (se länk längst ner för italiensk översättning), som är adresserad till Gelon II, försöker Arkimedes fastställa hur många sandkorn som kan fylla en sfär av fixstjärnor. Problemet beror på det grekiska siffersystemet, som inte tillåter att så stora tal uttrycks. Även om detta arbete är den enklaste av Archimedes matematiska tekniker är det intressant i flera avseenden. För det första införs ett nytt numeriskt system som praktiskt taget gör det möjligt att generera hur stora tal som helst. Det största talet som nämns är det som nu skrivs 108-1016. Det astronomiska sammanhanget motiverar sedan två viktiga utvikningar. Den första handlar om Aristarkos” heliocentriska teori och är den viktigaste källan i ämnet. Den andra beskriver en noggrann mätning av solens skenbara magnitud, vilket ger en sällsynt illustration av den antika experimentella metoden. Det bör dock noteras att utmaningen mot Aristarkos” heliocentriska teser huvudsakligen är geometrisk, inte astronomisk, för även om man antar att kosmos är en sfär med jorden i centrum, påpekar Arkimedes att sfärens centrum inte har någon storlek och inte kan ha något förhållande till ytan (Bok I, kap. 6).
Ur vetenskaplig synvinkel är Archimedes demonstrationer av hävstängerna ganska innovativa. Den sicilianska vetenskapsmannen använder sig av en strikt deduktiv metod som bygger på mekaniken för fasta kroppars jämvikt. För att göra detta demonstrerade han sina teser och begrepp om jämvikt och barycentrum med hjälp av proportionsteorin och i geometriska termer. På grundval av dessa studier fastställdes den första lagen om hävstångens jämvikt:
Baserat på idén om en balans, som består av ett segment och en brytpunkt, där två kroppar hänger i jämvikt, kan man säga att vikten av de två kropparna är direkt proportionell mot kropparnas area och volym.Enligt legenden sa Archimedes: ”Ge mig en hävstång och jag ska lyfta världen” efter att ha upptäckt den andra lagen om hävstänger. Med hjälp av fördelaktiga spakar kan tunga laster lyftas med en liten kraft, enligt lagen:
P:R=bR:bP{displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}
där P{displaystyle P} är effekten och R{displaystyle R} är motståndet, medan bP{displaystyle b_{P}}} och bR{displaystyle b_{R}} är respektive verkningsarm.
Det korta verket The Method on Mechanical Problems, som varit försvunnet åtminstone sedan medeltiden, lästes för första gången i den berömda palimpsest som Heiberg hittade 1906. Det försvann sedan på nytt, troligen stulet av en munk vid en överföring av manuskript, och återupptäcktes 1998. Den ger en inblick i de metoder som Archimedes använde i sin forskning. När han vänder sig till Eratosthenes förklarar han att han använde två metoder i sitt arbete.
När han väl hade funnit resultatet använde han det som senare kallades utmattningsmetoden för att formellt demonstrera det, vilket det finns många exempel på i hans andra verk. Denna metod gav dock inte någon nyckel för att identifiera resultaten. För detta ändamål använde Archimedes en ”mekanisk metod” som byggde på hans statik och idén om att dela upp figurer i ett oändligt antal oändligt små delar. Archimedes ansåg att denna metod inte var strikt, men till andra matematikers fördel gav han exempel på dess heuristiska värde när det gäller att hitta areor och volymer; till exempel används den mekaniska metoden för att hitta arean av ett parabelsegment.
Metoden har också filosofiska konnotationer eftersom den ställer problemet att betrakta matematikens tillämpning på fysiken som en nödvändig begränsning. Archimedes använde sig av intuition för att få omedelbara och innovativa mekaniska resultat, men började sedan noggrant demonstrera dem ur geometrisk synvinkel.
Läs också: biografier – Pius XI
Fragment och vittnesmål om förlorade verk
Stomachion är ett grekiskt pussel som liknar tangrammet och som Archimedes tillägnade ett verk som det finns två fragment av, det ena i arabisk översättning och det andra i Archimedes Palimpsest. Analyser som utfördes i början av 2000-talet har gjort det möjligt att läsa nya delar, som klargör att Archimedes” mål var att avgöra på hur många sätt de ingående figurerna kunde sättas ihop till en kvadrat. Det är ett svårt problem där kombinatoriska aspekter är sammanflätade med geometriska aspekter.
Problemet med oxarna består av två manuskript med ett epigram där Archimedes utmanar de alexandrinska matematikerna att beräkna antalet oxar och kor i Armenti del Sole genom att lösa ett system av åtta linjära ekvationer med två kvadratiska villkor. Det är ett diophantinskt problem som uttrycks i enkla termer, men dess minsta lösning består av tal med 206 545 siffror.
Frågan togs upp ur en annan synvinkel 1975 av Keith G. Calkins och togs upp igen 2004 av Umberto Bartocci och Maria Cristina Vipera, två matematiker från universitetet i Perugia. Hypotesen är att ett ”litet” fel i översättningen av problemtexten har gjort det ”omöjligt” (vissa hävdar att detta var Archimedes avsikt) att lösa en fråga som, om den hade formulerats på ett något annorlunda sätt, skulle ha kunnat lösas med den tidens matematiska metoder.
Enligt Calogero Savarino är det inte ett översättningsfel i texten utan en feltolkning eller en kombination av de två.
Lemmaboken har kommit över genom en förvanskad arabisk text. Den innehåller en rad geometriska lemman vars intresse minskas av dagens okunskap om i vilket sammanhang de användes.
Archimedes hade skrivit Catoctrica, en avhandling om ljusets reflektion, som vi har indirekta uppgifter om. Apuleius hävdar att det var ett omfattande verk som bland annat handlade om förstoring med hjälp av böjda speglar, brinnande speglar och regnbågen. Enligt Olympiodoros den yngre studerades även fenomenet brytning. En skribent till den pseudoeuklidiska katotrikerna tillskriver Archimedes att han har dragit slutsatsen om lagarna för reflektion från principen om den optiska vägens reversibilitet.
I ett förlorat verk, som Pappo ger information om, beskrev Archimedes konstruktionen av tretton halvstyva polyeder, som fortfarande kallas archimediska polyeder (i modern terminologi finns det femton archimediska polyeder, eftersom de också inkluderar två polyeder som Archimedes inte hade tänkt på, de som felaktigt kallas archimediskt prisma och archimediskt antiprisma).
Heros formel, som uttrycker arean av en triangel utifrån dess sidor, kallas så eftersom den finns i Metrica av Hero av Alexandria, men enligt al-Birunis vittnesmål är den verkliga författaren Archimedes, som skulle ha beskrivit den i ett annat förlorat verk. Den demonstration som Hero överförde är särskilt intressant eftersom en kvadrat kvadreras, vilket är ett märkligt förfarande i grekisk matematik, eftersom den erhållna enheten inte kan representeras i ett tredimensionellt rum.
Thābit ibn Qurra presenterar en text på arabiska översatt av J. Tropfke som Archimedes bok. Bland de teorem som ingår i detta arbete finns konstruktionen av en regelbunden heptagon, ett problem som inte kan lösas med linjal och kompass.
Ett avsnitt från Hipparchus som citerar Archimedes bestämningar av solstickorna, som överförts av Ptolemaios, tyder på att han också skrev astronomiska verk. Pappus, Heron och Simplicius tillskriver honom olika avhandlingar om mekanik och flera titlar på geometriska verk har överförts av arabiska författare. Boken om konstruktionen av en mekanisk vattenklocka, som endast finns bevarad i arabisk översättning och som tillskrivs pseudo-Arkimedes, är i själva verket troligen ett verk av Philo av Bysans.
Archimedes Palimpsest är en medeltida pergamentkodx som innehåller några av den syrakusiske vetenskapsmannens verk i den underliggande skriften. År 1906 undersökte den danske professorn Johan Ludvig Heiberg 177 pergamentark av getskinn i Konstantinopel, som innehöll böner från 1200-talet (palimpsest), och upptäckte att det fanns tidigare skrifter av Arkimedes. På grund av den höga kostnaden för pergament var det vid den tiden vanligt att man skrapade bort de redan skrivna arken och skrev om andra texter på dem, vilket innebar att man återanvände mediet. Namnet på författaren till förstörelsen är känt: Johannes Myronas, som avslutade omskrivningen av bönerna den 14 april 1229. Palimpsestet tillbringade hundratals år i ett bibliotek i klostret i Konstantinopel innan det stals och såldes till en privat samlare 1920. Den 29 oktober 1998 såldes den på auktion av Christie”s i New York till en anonym köpare för två miljoner dollar.
Kodexen innehåller sju avhandlingar av Arkimedes, inklusive det enda bevarade exemplaret på grekiska (bysantinska) av Om flytande kroppar och det enda exemplaret av Metoden för mekaniska teorem, som nämns i Suida och som man trodde var förlorat för alltid. Stomachion identifierades också på sidorna, med en mer exakt analys. Palimpsestet studerades på Walters Art Museum i Baltimore, Maryland, där det genomgick en rad moderna tester, inklusive användning av ultraviolett och röntgenstrålar för att läsa den underliggande texten. I slutet av arbetet publicerade Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska och Nigel Wilson The Archimedes Palimpsest (2011) i två volymer: den första volymen är huvudsakligen kodikologisk och beskriver handskrifterna, deras historia, de tekniker som använts för att återskapa dem och presentationen av texterna; den andra volymen innehåller, på sidorna bredvid varandra, den fotograferade uppslagsbladet av codexen med transkriptionen av den grekiska texten och den engelska översättningen. Sidorna i palimpsestet finns tillgängliga på nätet som fotografiska bilder, men de är nästan omöjliga att läsa.
Archimedes avhandlingar i palimpsest är: Om planens balans, om spiraler, mätning av en cirkel, om sfären och cylindern, om flytande kroppar, metod för mekaniska teorem och stomachion. Palimpsestet innehåller också två tal av Hyperides (mot Dionda och mot Timander), en kommentar till Aristoteles” Kategorier (troligen en del av Porfyrs kommentar Ad Gedalium) och, av okända författare, ett liv av den helige Pantaleon, två andra texter och en Menaion, en östkyrklig text för helgdagar som inte är beroende av påsken.
I själva verket är den fascinerande historien om palimpsestet bara en aspekt av traditionen av Archimedes verk, dvs. den process genom vilken hans verk har kommit till oss.
Vi måste börja med att notera att även under antiken var hans mest avancerade texter inte särskilt uppskattade, så till den grad att Eutocius (600-talet e.Kr.) inte tycks ha känt till vare sig parabelns kvadratur eller spiralerna. På Eutocius tid verkar det faktiskt bara ha funnits två böcker om sfären och cylindern, om cirkelns mått och två böcker om planernas jämvikt i omlopp. Araberna tycks faktiskt inte ha känt till mycket mer eller annat än Archimedes arbete, så till den grad att den enda Archimediska texten som fanns i omlopp under den latinska medeltiden var olika versioner av Measure of the Circle översatta från arabiska.
Situationen i den grekiska världen var annorlunda: på 800-talet upprättades minst tre kodices med Archimedes verk i Konstantinopel av matematikern Leo: codex A, codex ฿ (b ”gotisk”) och codex C, den som skulle bli en palimpsest på 1000-talet. A och ฿ hittades under 1200-talets andra hälft i biblioteket vid den påvliga domstolen i Viterbo: Vilhelm av Moerbeke använde dem i sin översättning av Archimedes verk år 1269. Vilhelms översättning finns idag bevarad i ms. Ottob. Lat. 1850 i Vatikanbiblioteket, där den upptäcktes av Valentin Rose 1882. Codex ฿ (som var den enda, förutom codex C, som innehöll den grekiska texten till Floaten) gick förlorad efter 1311. Codex A fick ett annat öde: under 1400-talet kom den i kardinal Bessariones ägo, som lät göra en kopia som nu finns i Biblioteca Nazionale Marciana i Venedig, och sedan i humanisten Giorgio Valla från Piacenza, som publicerade några korta utdrag ur Eutocius” kommentar i sin encyklopedi De expetendis et fugiendis rebus opus, som publicerades postumt i Venedig 1501. Codex A kopierades flera gånger till och hamnade i kardinal Rodolfo Prios ägo, men såldes vid hans död (1564) och har inte återfunnits sedan dess.
De många kopior som finns kvar av den (och i synnerhet ms Laurenziano XXVIII,4, som Poliziano hade kopierat för Lorenzo de Medici med absolut trohet mot den antika förlagan från 800-talet) har dock gjort det möjligt för den store danske filologen Johan Ludvig Heiberg att rekonstruera denna viktiga försvunna codex (Heibergs slutgiltiga utgåva av korpusen är från 1910-1915).
Iacopo da San Cassianos översättning från mitten av 1400-talet förtjänar ett särskilt omnämnande. Efter Heiberg trodde man hittills att Iacopo hade översatt med hjälp av codex A. Nya studier har visat att Iacopo använde en modell som är oberoende av A. Hans översättning utgör alltså en modell som är oberoende av A. Nyare studier har visat att Iacopo använde en modell som är oberoende av A. Hans översättning utgör således en fjärde gren av den arkimediska traditionen, tillsammans med A, ฿ och palimpsest C.
Archimedes arbete är en av höjdpunkterna i antikens vetenskapliga utveckling. I den kombineras förmågan att identifiera uppsättningar av postulat som är användbara för att grunda nya teorier med kraften och originaliteten hos de matematiska verktyg som introduceras, med ett större intresse för vetenskapens och matematikens grunder. Plutarkos berättar att Archimedes övertalades av kung Hieron att ägna sig åt de mer tillämpade aspekterna och bygga maskiner, främst av krigisk karaktär, för att på ett mer konkret sätt bidra till samhällets utveckling och säkerhet. Archimedes ägnade sig åt matematik, fysik och ingenjörskonst vid en tid då uppdelningen mellan dessa discipliner inte var lika tydlig som i dag, men då matematiken enligt den platonska filosofin måste vara abstrakt och inte tillämpad som i hans uppfinningar. Archimedes arbete utgjorde således för första gången en viktig tillämpning av geometriens lagar på fysiken, särskilt på statik och hydrostatik.
Under antiken beskrevs Archimedes och hans uppfinningar med förundran och förvåning av klassiska grekiska och latinska författare som Cicero, Plutarch och Seneca. Tack vare dessa redogörelser under senmedeltiden och den tidiga moderna tiden väcktes ett stort intresse för att söka och återskapa Archimedes verk, som under medeltiden överfördes och ibland förlorades i manuskript. Den romerska kulturen imponerades alltså mer av Archimedes maskiner än av hans matematiska och geometriska studier, till den grad att matematikhistorikern Carl Benjamin Boyer gick så långt att han mer än bestämt hävdade att Ciceros upptäckt av Archimedes grav var det största bidraget, kanske det enda, som den romerska världen gav till matematiken.
Piero della Francesca, Stevino, Galileo, Kepler och andra fram till Newton studerade, återupptog och utvidgade systematiskt Archimedes vetenskapliga studier, särskilt när det gäller infinitesimal kalkyl.
Införandet av den moderna vetenskapliga metoden för att studera och verifiera de erhållna resultaten inspirerades av den metod som Archimedes använde för att följa och demonstrera sina intuitioner. Dessutom hittade den pisanska vetenskapsmannen ett sätt att tillämpa geometriska metoder som liknar Archimedes” för att beskriva fallande kroppars accelererade rörelse, och lyckades till slut övervinna den beskrivning av fysiken för enbart statiska kroppar som utvecklats av den syrakusiska vetenskapsmannen. Galilei själv beskrev Archimedes i sina skrifter som ”min mästare”, så mycket vördades hans arbete och arv.
Studiet av Archimedes verk engagerade därför forskare i den tidiga modern tid under lång tid och utgjorde en viktig stimulans för utvecklingen av vetenskapen så som den uppfattas idag. Forskarna har gjort olika bedömningar av Archimedes inflytande under de senaste århundradena (t.ex. på utvecklingen av rigorösa matematiska analyser).
Läs också: biografier – Thomas Newcomen
Konst
I Raphael Sanzios berömda fresco Skolan i Aten avbildas Archimedes när han studerar geometri. Donato Bramante har gjort en avbild av honom.
Den tyske poeten Schiller skrev dikten Archimedes och den unge mannen.
Archimedes avbild förekommer också på frimärken som utfärdats av Östtyskland (1973), Grekland (1983), Italien (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) och Spanien (1963).
Det italienska progressiva rockbandet Premiata Forneria Marconi har tillägnat vetenskapsmannen sitt senaste spår på albumet Stati di immaginazione med titeln Visioni di Archimede (Visions of Archimedes), med en video som skildrar hans liv och uppfinningar.
Archimedes är huvudpersonen i romanen Il matematico che sfidò Roma av Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).
Läs också: historia-sv – Gestapo
Vetenskap
Pi-dagen firas över hela världen den 14 mars, eftersom den motsvarar 314 i anglosaxiska länder. Den här dagen anordnas matematiska tävlingar och Archimedes bidrag, som gav den första exakta uppskattningen av pi. Både månkratern Archimedes och asteroiden 3600 Archimedes har fått sitt namn efter Archimedes.
På baksidan av Fieldsmedaljen, den högsta utmärkelsen för matematiker, finns ett porträtt av Arkimedes med en mening som tillskrivs honom: Transire suum pectus mundoque potiri, som kan översättas till: ”Att höja sig över sig själv och erövra världen”.
Läs också: biografier – Frans II (tysk-romersk kejsare)
Teknik
Archimede Solar Car 1.0, en solcellsdriven bil, designades och byggdes på Sicilien.
Archimedesprojektet, ett solkraftverk nära Priolo Gargallo som använder en serie speglar för att producera elektricitet, har förverkligats.
Läs också: biografier – Jesse Owens
Museer och monument
I Syracuse finns en staty till vetenskapsmannens ära och Archimedes Technopark, ett område där uppfinningar har reproducerats.
En annan staty av Archimedes finns i Berlins Treptower Park.
I Archea Olympia i Grekland finns ett museum tillägnat Archimedes.
Källor
