Constantin Carathéodory
gigatos | maj 20, 2022
Sammanfattning
Constantin Carathéodory (13 september 1873-2 februari 1950) var en grekisk matematiker som tillbringade större delen av sin yrkeskarriär i Tyskland. Han gjorde betydande bidrag till reell och komplex analys, variationskalkyl och mätteori. Han skapade också en axiomatisk formulering av termodynamiken. Carathéodory anses vara en av de största matematikerna i sin tid och den mest kända grekiska matematikern sedan antiken.
Hans kollegor minns honom som en respektabel och kultiverad man.
Constantin Carathéodory föddes 1873 i Berlin av grekiska föräldrar och växte upp i Bryssel. Hans far Stephanos, som var advokat, var ottomansk ambassadör i Belgien, Sankt Petersburg och Berlin. Hans mor, Despina, född Petrokokkinos, var från ön Chios. Familjen Carathéodory, som ursprungligen kom från Bosnochori eller Vyssa, var väletablerad och respekterad i Konstantinopel, och dess medlemmar innehade många viktiga regeringsuppdrag.
Familjen Carathéodory tillbringade åren 1874-75 i Konstantinopel, där Konstantins farfars farfar bodde, medan hans far Stephanos var på permission. År 1875 åkte de sedan till Bryssel när Stephanos utsågs till ottomansk ambassadör där. I Bryssel föddes Konstantins lillasyster Julia. År 1879 var ett tragiskt år för familjen eftersom Konstantins farfars farfars farfar dog det året, men mycket mer tragiskt var att Konstantins mor Despina dog av lunginflammation i Cannes. Konstantins mormor mors mormor tog på sig uppgiften att uppfostra Constantin och Julia i faderns hem i Belgien. De anställde ett tyskt hembiträde som lärde barnen att tala tyska. Constantin var redan vid denna tid tvåspråkig på franska och grekiska.
Constantin började sin skolgång i en privatskola i Vanderstock 1881. Han lämnade skolan efter två år och tillbringade sedan tid med sin far på besök i Berlin och tillbringade även vintrarna 1883-84 och 1884-85 på den italienska Rivieran. Tillbaka i Bryssel 1885 gick han i ett år på en gymnasieskola där han för första gången började intressera sig för matematik. År 1886 började han på gymnasiet Athénée Royal d”Ixelles och studerade där fram till sin examen 1891. Två gånger under sin tid vid denna skola vann Constantin ett pris som bästa matematikstudent i Belgien.
I detta skede började Carathéodory utbilda sig till militäringenjör. Han gick vid École Militaire de Belgique från oktober 1891 till maj 1895 och studerade även vid École d”Application från 1893 till 1896. År 1897 utbröt ett krig mellan det osmanska riket och Grekland. Detta försatte Carathéodory i en svår situation eftersom han ställde sig på grekernas sida, men hans far tjänade det osmanska rikets regering. Eftersom han var utbildad ingenjör erbjöds han ett jobb i den brittiska kolonialmyndigheten. Detta jobb förde honom till Egypten där han arbetade med byggandet av Assiutdammen fram till april 1900. Under de perioder då byggnadsarbetet måste avbrytas på grund av översvämningar studerade han matematik med hjälp av några läroböcker som han hade med sig, till exempel Jordans Cours d”Analyse och Salmons text om koniska sektioners analytiska geometri. Han besökte också Cheopspyramiden och gjorde mätningar som han skrev ner och publicerade 1901. Samma år publicerade han också en bok om Egypten som innehöll en mängd information om landets historia och geografi.
Carathéodory studerade ingenjörsvetenskap i Belgien vid den kungliga militärakademin, där han ansågs vara en karismatisk och briljant student.
Läs också: biografier – Woodrow Wilson
Doktorander
Carathéodory hade omkring 20 doktorander, bland dem Hans Rademacher, känd för sitt arbete med analys och talteori, och Paul Finsler, känd för sin skapelse av Finslerrymden.
Läs också: biografier – Tamasp I
Akademiska kontakter i Tyskland
Carathéodory hade många kontakter i Tyskland, bland annat kända namn som: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. Under den svåra perioden under andra världskriget var Perron och Tietze hans nära medarbetare vid den bayerska vetenskapsakademin.
Einstein, som då var medlem av den preussiska vetenskapsakademin i Berlin, arbetade med sin allmänna relativitetsteori när han kontaktade Carathéodory och bad om förtydliganden om Hamilton-Jacobi-ekvationen och kanoniska transformationer. Han ville se en tillfredsställande härledning av den förstnämnda och ursprunget till den sistnämnda. Einstein sade till Carathéodory att hans härledning var ”vacker” och rekommenderade att den skulle publiceras i Annalen der Physik. Einstein använde sig av den förstnämnda i en artikel från 1917 med titeln Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Om Sommerfelds och Epsteins kvantteorem). Carathéodory förklarade några grundläggande detaljer om de kanoniska transformationerna och hänvisade Einstein till E.T. Whittaker”s Analytical Dynamics. Einstein försökte lösa problemet med ”slutna tidslinjer” eller de geodetiska linjer som motsvarar ljusets och de fria partiklarnas slutna bana i ett statiskt universum, som han introducerade 1917.
Landau och Schwarz stimulerade hans intresse för studiet av komplex analys.
Läs också: biografier – Effie Gray
Akademiska kontakter i Grekland
Under sin vistelse i Tyskland upprätthöll Carathéodory många kontakter med den grekiska akademiska världen, om vilka detaljerad information finns i Georgiadous bok. Han var direkt involverad i omorganisationen av de grekiska universiteten. En särskilt nära vän och kollega i Aten var Nicolaos Kritikos som hade deltagit i hans föreläsningar i Göttingen, senare följde han med honom till Smyrna och blev sedan professor vid Atens polytekniska skola. Kritikos och Carathéodory hjälpte den grekiske topologen Christos Papakyriakopoulos att under mycket svåra omständigheter ta en doktorsexamen i topologi vid Atens universitet 1943. När Carathéodory undervisade vid Atens universitet hade han Evangelos Stamatis som student i grundutbildningen, som senare uppnådde stor betydelse som forskare i de gamla grekiska matematiska klassikerna.
Läs också: biografier – Bindusara
Variationsberäkning
I sin doktorsavhandling visade Carathéodory hur man kan utvidga lösningar till diskontinuerliga fall och studerade isoperimetriska problem.
Tidigare, mellan mitten av 1600-talet och mitten av 1800-talet, kunde Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre och Carl Gustav Jacob Jacobi fastställa nödvändiga men otillräckliga villkor för existensen av ett starkt relativt minimum. År 1879 lade Karl Weierstrass till ett fjärde som faktiskt garanterar att en sådan kvantitet existerar. Carathéodory konstruerade sin metod för att härleda tillräckliga villkor utifrån användningen av Hamilton-Jacobi-ekvationen för att konstruera ett fält av extremaler. Idéerna är nära besläktade med ljusutbredning inom optiken. Metoden blev känd som Carathéodory”s metod för ekvivalenta variationsproblem eller den kungliga vägen till variationskalkylen. En viktig fördel med Carathéodorys arbete i detta ämne är att det belyser förhållandet mellan variationskalkylen och partiella differentialekvationer. Det gör det möjligt att snabbt och elegant härleda tillräcklighetsvillkor i variationskalkylen och leder direkt till Euler-Lagrange-ekvationen och Weierstrassvillkoret. Han publicerade sin Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Variationskalkyl och partiella differentialekvationer av första ordningen) 1935.
På senare tid har Carathéodory”s arbete med variationskalkyl och Hamilton-Jacobi-ekvationen tagits med i teorin om optimal kontroll och dynamisk programmering. Metoden kan också utvidgas till att omfatta multipla integraler.
Läs också: strider – Gerry Goffin
Konvex geometri
Carathéodorys sats inom konvex geometri säger att om en punkt x{displaystyle x} i Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}} ligger i det konvexa höljet av en uppsättning P{displaystyle P}, så kan x{displaystyle x} skrivas som en konvex kombination av högst d+1{displaystyle d+1} punkter i P{displaystyle P}. Det finns nämligen en delmängd P′{displaystyle P”} av P{displaystyle P} som består av d+1{displaystyle d+1} eller färre punkter så att x{displaystyle x} ligger i det konvexa höljet av P′{displaystyle P”}. På motsvarande sätt ligger x{displaystyle x} i ett r{displaystyle r}-simplex med hörn i P{displaystyle P}, där r≤d{displaystyle rleq d}. Det minsta r{displaystyle r} som gör det sista påståendet giltigt för varje x{displaystyle x} i P:s konvexa skrov definieras som Carathéodorys tal för P{displaystyle P}. Beroende på egenskaperna hos P{displaystyle P} kan man få övre gränser som är lägre än de som ges av Carathéodorys sats.
Han anses vara upphovsmannen till Carathéodory-konjekturen som hävdar att en sluten konvex yta har minst två navelpunkter. År 2021 var denna gissning fortfarande obevisad trots att den har lockat till sig en stor mängd forskning.
Läs också: biografier – Samuel Taylor Coleridge
Verklig analys
Han bevisade en existenssats för lösningen på vanliga differentialekvationer under milda regularitetsvillkor.
En annan av hans teorem om derivatan av en funktion i en punkt kan användas för att bevisa kedjeregeln och formeln för derivatan av omvända funktioner.
Läs också: biografier – Sigmund Freud
Komplex analys
Han utvidgade kraftigt teorin om konform omvandling genom att bevisa sitt teorem om utvidgningen av konform avbildning till gränsen av Jordans områden. När han studerade gränskorrespondensen skapade han teorin om primära ändar. Han visade ett elementärt bevis för Schwarz-lemmat.
Carathéodory var också intresserad av teorin om funktioner med flera komplexa variabler. I sina undersökningar i detta ämne sökte han efter analoger till klassiska resultat från fallet med en enda variabel. Han bevisade att en boll i C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} inte är holomorfiskt likvärdig med bidisc.
Läs också: biografier – Russell Kirk
Mätningsteori
Han är känd för sin Carathéodory-utvidgningssats som är grundläggande för modern måttteori. Senare utvidgade Carathéodory teorin från mängder till Boolska algebraer.
Läs också: biografier – Vladislav II av Polen
Termodynamik
Termodynamiken hade varit ett ämne som Carathéodory varit mycket intresserad av sedan hans tid i Belgien. År 1909 publicerade han ett banbrytande arbete ”Investigations on the Foundations of Thermodynamics” där han formulerade termodynamikens andra lag axiomatiskt, det vill säga utan användning av Carnotmotorer och kylskåp och endast genom matematiska resonemang. Detta är ännu en version av den andra lagen, vid sidan av Clausius, Kelvin och Planck. Carathéodorys version väckte uppmärksamhet hos några av tidens främsta fysiker, däribland Max Planck, Max Born och Arnold Sommerfeld. Enligt Bailyns översikt över termodynamiken kallas Carathéodorys tillvägagångssätt för ”mekaniskt” snarare än ”termodynamiskt”. Max Born hyllade denna ”första axiomatiskt rigida grund för termodynamiken” och han uttryckte sin entusiasm i sina brev till Einstein. Max Planck hade dock vissa betänkligheter i och med att han visserligen var imponerad av Carathéodorys matematiska skicklighet, men han accepterade inte att detta var en grundläggande formulering, med tanke på den andra lagens statistiska karaktär.
I sin teori förenklade han de grundläggande begreppen, till exempel är värme inte ett grundläggande begrepp utan ett härlett begrepp. Han formulerade den axiomatiska principen om irreversibilitet inom termodynamiken och förklarade att otillgängliga tillstånd är relaterade till förekomsten av entropi, där temperaturen är integrationsfunktionen. Termodynamikens andra lag uttrycktes genom följande axiom: ”I närheten av varje utgångstillstånd finns det tillstånd som inte kan närmas godtyckligt nära genom adiabatiska tillståndsändringar”. I detta sammanhang myntade han termen adiabatisk tillgänglighet.
Läs också: biografier – Lucian Freud
Optik
Carathéodorys arbete inom optiken är nära förknippat med hans metod i variationskalkylen. År 1926 gav han ett strikt och allmänt bevis för att inget system av linser och speglar kan undvika aberration, med undantag för det triviala fallet med plana speglar. I sin Geometrische Optik (1937) visade Carathéodory att Huygens princip och Fermats princip är likvärdiga med utgångspunkt i den förstnämnda principen med hjälp av Cauchys teori om egenskaper. Han hävdade att en viktig fördel med hans tillvägagångssätt var att det täcker Henri Poincarés och Élie Cartans integralinvarianter och kompletterar Maluslagen. Han förklarade att Pierre de Fermat i sina optiska undersökningar tänkte sig en minimiprincip som liknar den som Hero av Alexandria angav för att studera reflektion.
Läs också: biografier – Estácio de Sá
Historiskt
Under andra världskriget redigerade Carathéodory två volymer av Eulers fullständiga verk som handlade om variationskalkylen och som lades fram för publicering 1946.
Vid den tiden var Aten det enda större utbildningscentrumet i det större området och hade begränsad kapacitet att tillgodose det växande utbildningsbehovet i den östra delen av Egeiska havet och på Balkan. Constantin Carathéodory, som då var professor vid universitetet i Berlin, föreslog att ett nytt universitet skulle inrättas – svårigheterna med att inrätta ett grekiskt universitet i Konstantinopel fick honom att överväga tre andra städer: Thessaloniki, Chios och Smyrna.
På inbjudan av den grekiske premiärministern Eleftherios Venizelos lade han den 20 oktober 1919 fram en plan för inrättandet av ett nytt universitet i Smyrna i Mindre Asien, som skulle heta Joniska universitetet i Smyrna. År 1920 utsågs Carathéodory till dekanus för universitetet och tog stor del i inrättandet av institutionen genom att resa runt i Europa för att köpa böcker och utrustning. Universitetet tog dock aldrig emot studenter på grund av kriget i Mindre Asien som slutade med den stora branden i Smyrna. Carathéodory lyckades rädda böcker från biblioteket och räddades först i sista stund av en journalist som tog honom i roddbåt till slagskeppet Naxos som stod redo. Carathéodory tog med sig en del av universitetsbiblioteket till Aten och stannade kvar i Aten och undervisade vid universitetet och den tekniska skolan fram till 1924.
1924 utnämndes Carathéodory till professor i matematik vid universitetet i München, en position som han innehade fram till sin pensionering 1938. Han arbetade senare från den bayerska vetenskapsakademin fram till sin död 1950.
Det nya grekiska universitetet i det bredare området i sydöstra Medelhavsområdet, som Carathéodory ursprungligen hade tänkt sig, förverkligades slutligen genom inrättandet av Aristotelesuniversitetet i Thessaloniki 1925.
Carathéodory var en utmärkt språklärare, precis som många andra i sin familj. Grekiska och franska var hans första språk, och han behärskade tyskan med sådan perfektion att hans skrifter på tyska är stilistiska mästerverk. Carathéodory talade och skrev också engelska, italienska, turkiska och de gamla språken utan någon ansträngning. En sådan imponerande språklig arsenal gjorde det möjligt för honom att kommunicera och utbyta idéer direkt med andra matematiker under sina många resor och utvidgade hans kunskapsområden avsevärt.
Carathéodory var dessutom en uppskattad samtalspartner för sina professorkollegor vid filosofiska institutionen i München. Den välrenommerade tyska filologen och professorn i gamla språk, Kurt von Fritz, berömde Carathéodory med motiveringen att man av honom kunde lära sig oändligt mycket om det gamla och nya Grekland, det gamla grekiska språket och den grekiska matematiken. Von Fritz förde många filosofiska diskussioner med Carathéodory.
Matematikern skickade sin son Stephanos och dotter Despina till en tysk gymnasieskola, men de fick också dagligen extra undervisning i grekiskt språk och kultur av en grekisk präst, och hemma tillät han dem att endast tala grekiska.
Carathéodory var en begåvad talare och blev ofta inbjuden att hålla tal. År 1936 var det han som delade ut de första Fieldsmedaljerna någonsin vid mötet med Internationella matematikkongressen i Oslo, Norge.
Som ett erkännande av hans insatser gav universitetet i München 2002 Constantin-Carathéodory-föreläsningssalen namn åt en av de största föreläsningssalarna i det matematiska institutet.
I staden Nea Vyssa, Caratheodory”s stamhem, finns ett unikt familjemuseum. Museet ligger på stadens centrala torg i närheten av dess kyrka och innehåller ett antal av Karatheodorys personliga föremål samt brev som han utbytte med Albert Einstein. Mer information finns på klubbens ursprungliga webbplats, http:
Samtidigt hade de grekiska myndigheterna länge haft för avsikt att skapa ett museum för att hedra Karatheodoris i Komotini, en större stad i den nordöstra grekiska regionen, mer än 200 km från hans hemstad ovan. Den 21 mars 2009 öppnade Karatheodoris-museet (Καραθεοδωρής) sina portar för allmänheten i Komotini.
Museets samordnare Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης) har påpekat att museet är ett hem för matematikerns originalmanuskript som omfattar cirka 10 000 sidor, inklusive korrespondens med den tyske matematikern Arthur Rosenthal om algebraiseringen av mått. Vid utställningen kan besökarna också se böckerna ” Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4 ”, ”Mass und ihre Algebraiserung”, ” Reelle Functionen Band 1″, ” Zahlen
Arbetet med att utrusta museet med fler utställningar pågår.
Läs också: biografier – Lorenzo Ghiberti
Tidskriftsartiklar
En fullständig förteckning över Carathéodory”s publikationer i tidskrifter finns i hans samlade verk (Ges. Math. Schr.). Noterbara publikationer är:
Läs också: historia-sv – Surrealism
Konferenser
Källor
