Hipparchos

Dimitris Stamatios | december 26, 2022

Sammanfattning

Hipparchos (ca 190-120 f.Kr.) var en grekisk astronom, geograf och matematiker. Han anses vara grundaren av trigonometrin, men är mest känd för sin tillfälliga upptäckt av ekvinoxernas precession. Hipparkos föddes i Nicaea i Bithynia och dog troligen på ön Rhodos i Grekland. Man vet att han var en verksam astronom mellan 162 och 127 f.Kr.

Hipparchos anses vara den störste astronomiska observatören i antiken och, enligt vissa, den störste astronomen i hela antiken. Han var den förste vars kvantitativa och exakta modeller för solens och månens rörelse har överlevt. För detta använde han sig säkerligen av de observationer och kanske de matematiska tekniker som babylonierna och Meton av Aten (femte århundradet f.Kr.), Timocharis, Aristyllus, Aristarchos av Samos och Eratosthenes, bland andra, hade samlat på sig under århundraden.

Han utvecklade trigonometri och konstruerade trigonometriska tabeller, och han löste flera problem med sfärisk trigonometri. Med sina sol- och månteorier och sin trigonometri kan han ha varit den förste som utvecklade en tillförlitlig metod för att förutsäga solförmörkelser.

Bland hans andra kända bedrifter kan nämnas upptäckten och mätningen av jordens precession, sammanställningen av den första omfattande stjärnkatalogen i västvärlden och möjligen uppfinningen av astrolabiet, samt av den armillära sfären som han använde vid skapandet av en stor del av stjärnkatalogen. Ibland kallas Hipparchus för ”astronomins fader”, en titel som först gavs honom av Jean Baptiste Joseph Delambre.

Hipparkos föddes i Nicaea (grekiska Νίκαια) i Bithynia. De exakta datumen för hans liv är inte kända, men Ptolemaios tillskriver honom astronomiska observationer under perioden 147-127 f.Kr., och några av dessa uppges ha utförts på Rhodos; tidigare observationer sedan 162 f.Kr. kan också ha utförts av honom. Hans födelsedatum (ca 190 f.Kr.) beräknades av Delambre utifrån ledtrådar i hans verk. Hipparchus måste ha levt en tid efter 127 f.Kr. eftersom han analyserade och publicerade sina observationer från det året. Hipparchus fick information från Alexandria såväl som från Babylon, men det är inte känt när eller om han besökte dessa platser. Han tros ha dött på ön Rhodos, där han verkar ha tillbringat större delen av sitt senare liv.

På andra och tredje århundradet tillverkades mynt till hans ära i Bithynia som bär hans namn och visar honom med en jordglob.

Relativt lite av Hipparchus direkta arbete har överlevt till modern tid. Trots att han skrev minst fjorton böcker är det bara hans kommentar till Aratus populära astronomiska dikt som bevarats av senare kopister. Det mesta av det som är känt om Hipparchus kommer från Strabos Geografi och Plinius” Naturhistoria på första århundradet, Ptolemaios Almagest på andra århundradet och ytterligare hänvisningar till honom på fjärde århundradet av Pappus och Theon av Alexandria i deras kommentarer till Almagest.

Hipparchus var en av de första som beräknade ett heliocentriskt system, men han övergav sitt arbete eftersom den dåvarande vetenskapen ansåg att det var obligatoriskt att ha ett perfekt cirkulärt system. Även om en samtida till Hipparchus, Seleukos av Seleukia, fortsatte att förespråka den heliocentriska modellen, stöddes Hipparchus förkastande av heliocentrismen av idéer från Aristoteles och förblev dominerande i nästan 2 000 år tills den kopernikanska heliocentrismen vände på debattens vändning.

Hipparkos enda bevarade verk är Τῶν Ἀράτου καὶ Εὐδόξου φαινομένων ἐξήγησις (”Commentary on the Phaenomena of Eudoxus and Aratus”). Detta är en mycket kritisk kommentar i form av två böcker till en populär dikt av Aratus baserad på Eudoxus verk. Hipparchos gjorde också en förteckning över sina viktigaste verk som tydligen nämnde omkring fjorton böcker, men som endast är känd genom hänvisningar från senare författare. Hans berömda stjärnkatalog införlivades i Ptolemaios” katalog och kan nästan perfekt rekonstrueras genom att subtrahera två och två tredjedels grader från Ptolemaios” stjärnors longitud. Den första trigonometriska tabellen sammanställdes tydligen av Hipparchus, som därför nu kallas ”trigonometrins fader”.

Tidigare grekiska astronomer och matematiker påverkades i viss mån av den babyloniska astronomin, till exempel kan periodförhållandena för Metonic-cykeln och Saros-cykeln ha kommit från babyloniska källor (se ”Babyloniska astronomiska dagböcker”). Hipparchos verkar ha varit den förste som systematiskt utnyttjade babyloniska astronomiska kunskaper och tekniker. Eudoxus på 400-talet och Timocharis och Aristillus på 300-talet delade redan upp ekliptikan i 360 delar (våra grader, grekiska: moira) om 60 bågminuter och Hipparchus fortsatte denna tradition. Det var först på Hipparkos” tid (2000-talet) som denna indelning infördes (troligen av Hipparkos” samtida Hypsikles) för alla cirklar i matematiken. Eratosthenes (300-talet) använde däremot ett enklare sexagesimalt system som delade upp en cirkel i 60 delar. Hipparchos antog också den babyloniska astronomiska kubitenheten (akkadiska ammatu, grekiska πῆχυς pēchys) som motsvarade 2° eller 2,5° (”stor kubit”).

Hipparkos sammanställde troligen en lista över babyloniska astronomiska observationer; G. J. Toomer, en astronomihistoriker, har föreslagit att Ptolemaios kunskap om förmörkelseregister och andra babyloniska observationer i Almagest kom från en lista som Hipparkos hade gjort. Hipparkos” användning av babyloniska källor har alltid varit allmänt känd på grund av Ptolemaios uttalanden, men den enda text av Hipparkos som finns bevarad ger inte tillräckligt med information för att avgöra om Hipparkos” kunskaper (såsom hans användning av enheterna cubit och finger, grader och minuter, eller begreppet timstjärnor) var baserade på babylonisk praxis. Franz Xaver Kugler visade dock att de synodiska och anomalistiska perioder som Ptolemaios tillskriver Hipparchos redan hade använts i babyloniska efemerider, närmare bestämt i den samling texter som numera kallas ”System B” (som ibland tillskrivs Kidinnu).

Hipparkos långa drakonitiska månperiod (5 458 månader = 5 923 månnodalperioder) förekommer också några gånger i babyloniska dokument. Men den enda tavlan som uttryckligen är daterad är från tiden efter Hipparchos, så överföringsriktningen är inte fastställd av tavlorna.

Hipparkos drakonitiska månrörelse kan inte lösas med de fyra månargument som ibland föreslås för att förklara hans avvikande månrörelse. En lösning som har gett det exakta förhållandet 5,458⁄5,923 förkastas av de flesta historiker trots att den använder den enda antikvariskt belagda metoden för att bestämma sådana förhållanden, och den ger automatiskt förhållandets fyrsiffriga täljare och nämnare. Hipparchus använde ursprungligen (Almagest 6.9) sin förmörkelse från 141 f.Kr. med en babylonisk förmörkelse från 720 f.Kr. för att hitta det mindre exakta förhållandet 7 160 synodiska månader = 7 770 drakonitiska månader, som han förenklade till 716 = 777 genom division med 10. (På samma sätt fann han från 345-årscykeln förhållandet 4 267 synodiska månader = 4 573 anomalistiska månader och dividerade med 17 för att få standardförhållandet 251 synodiska månader = 269 anomalistiska månader). Om han sökte en längre tidsbas för denna drakonitiska undersökning kunde han använda sin samma 141 f.Kr. förmörkelse med en månuppgång 1245 f.Kr. förmörkelse från Babylon, ett intervall på 13,645 synodiska månader = 14,8807+1⁄2 drakonitiska månader ≈ 14,623+1⁄2 anomalistiska månader. Dividerar man med 5⁄2 får man 5 458 synodiska månader = 5 923 exakt. Den uppenbara huvudeinvändningen är att den tidiga förmörkelsen är oattesterad, även om det inte är förvånande i sig, och det finns ingen konsensus om huruvida babyloniska observationer registrerades så här avlägset. Även om Hipparkos” tabeller formellt sett bara gick tillbaka till 747 f.Kr., 600 år före hans tid, var tabellerna bra tillbaka till före förmörkelsen i fråga, eftersom det, som nyligen påpekats, inte är svårare att använda dem baklänges än framlänges.

Hipparchos är den första kända matematikern som ägde en trigonometrisk tabell, som han behövde för att beräkna excentriciteten hos månens och solens banor. Han tabellerade värden för ackordfunktionen, som för en central vinkel i en cirkel ger längden på det raka linjesträckan mellan de punkter där vinkeln skär cirkeln. Han beräknade detta för en cirkel med en omkrets på 21 600 enheter och en radie (denna cirkel har en enhetslängd på 1 bågminut längs sin omkrets. Han räknade ut ackorden för vinklar med steg på 7,5°. I moderna termer är den ackord som en central vinkel i en cirkel med given radie utgör lika med radien gånger två gånger sinus av halva vinkeln, dvs:

Det nu försvunna verket där Hipparchus sägs ha utvecklat sin ackordtabell kallas Tōn en kuklōi eutheiōn (Of Lines Inside a Circle) i Theon av Alexandrias kommentar från det fjärde århundradet till avsnitt I.10 i Almagest. Vissa hävdar att Hipparkos” tabell kan ha överlevt i astronomiska avhandlingar i Indien, till exempel Surya Siddhanta. Trigonometrin var en viktig innovation, eftersom den gjorde det möjligt för grekiska astronomer att lösa vilken triangel som helst, och gjorde det möjligt att göra kvantitativa astronomiska modeller och förutsägelser med hjälp av deras föredragna geometriska tekniker.

Hipparchus måste ha använt en bättre approximation för π än den från Archimedes på mellan 3+10⁄71 (3,14085) och 3+1⁄7 (3,14286). Kanske hade han den som senare användes av Ptolemaios: 3;8,30 (sexagesimal)(3.1417) (Almagest VI.7), men det är inte känt om han beräknade ett bättre värde.

Vissa forskare tror inte att Āryabhaṭas sinustabell har något att göra med Hipparkus” ackordtabell. Andra håller inte med om att Hipparchus ens konstruerade en ackordtabell. Bo C. Klintberg säger: ”Med matematiska rekonstruktioner och filosofiska argument visar jag att Toomers artikel från 1973 aldrig innehöll några avgörande bevis för hans påståenden att Hipparchus hade en 3438”-baserad ackordtabell och att indianerna använde den tabellen för att beräkna sina sinustabeller. Om man räknar om Toomers rekonstruktioner med en radie på 3600” – dvs. radien för ackordtabellen i Ptolemaios Almagest, uttryckt i ”minuter” i stället för ”grader” – får man fram hipparkusliknande förhållanden som liknar dem som produceras av en radie på 3438′. Därför är det möjligt att radien i Hipparkus” ackordtabell var 3600′ och att indierna oberoende av varandra konstruerade sin 3438′-baserade sinustabell.”

Hipparchus kan ha konstruerat sin ackordtabell med hjälp av Pythagoras sats och en sats som Archimedes kände till. Han kan också ha utvecklat och använt den sats som kallas Ptolemaios sats. Denna bevisades av Ptolemaios i hans Almagest (I.10) (och utvidgades senare av Carnot).

Hipparchus var den förste som visade att den stereografiska projektionen är konform och att den omvandlar cirklar på sfären som inte passerar genom projektionscentrumet till cirklar på planet. Detta var grunden för astrolabiet.

Förutom geometri använde Hipparchus även aritmetiska tekniker som utvecklats av kaldéerna. Han var en av de första grekiska matematikerna som gjorde detta och utökade på så sätt de tekniker som var tillgängliga för astronomer och geografer.

Det finns flera indikationer på att Hipparchus kände till sfärisk trigonometri, men den första text som finns kvar där den diskuteras är från Menelaos av Alexandria på första århundradet, som nu, på grundval av detta, allmänt anses ha upptäckt den. (Innan man hittade Menelaos” bevis för ett århundrade sedan, tillskrevs Ptolemaios uppfinningen av sfärisk trigonometri.) Ptolemaios använde senare sfärisk trigonometri för att beräkna saker som t.ex. ekliptikans upp- och nedgångspunkt eller för att ta hänsyn till månens parallax. Om han inte använde sfärisk trigonometri kan Hipparchus ha använt en jordglob för dessa uppgifter och läst av värden från koordinatnät som ritats på den, eller han kan ha gjort approximationer från planär geometri, eller kanske använt aritmetiska approximationer som utvecklats av kaldéerna.

Aubrey Diller har visat att de klimatberäkningar som Strabo bevarade från Hipparchus kunde ha utförts med sfärisk trigonometri med hjälp av den enda exakta obliquitet som man vet att de antika astronomerna använde, 23°40′. Alla tretton clima-beräkningar stämmer överens med Dillers förslag. Ytterligare bekräftelse på hans påstående är upptäckten att de stora felen i Hipparchus longitud för Regulus och båda longituderna för Spica, stämmer överens med några minuter i alla tre fallen med en teori om att han tog fel tecken för sin korrigering för parallax när han använde förmörkelser för att bestämma stjärnors positioner.

Läs också: biografier – Ginger Rogers

Månens rörelse

Hipparchos studerade också månens rörelse och bekräftade de exakta värden för två perioder av månens rörelse som de kaldeiska astronomerna allmänt antas ha haft före honom, oavsett deras slutliga ursprung. Det traditionella värdet (31,50,8,20 (sexagesimalt) = 29,5305941… dagar. Uttryckt som 29 dagar + 12 timmar + 793

Hipparkos kunde bekräfta sina beräkningar genom att jämföra förmörkelser från sin egen tid (förmodligen 27 januari 141 f.Kr. och 26 november 139 f.Kr. enligt ) med förmörkelser från babyloniska dokument 345 år tidigare (). Redan al-Biruni (Qanun VII.2.II) och Kopernikus (de revolutionibus IV.4) noterade att perioden 4 267 månar är ungefär fem minuter längre än det värde för förmörkelseperioden som Ptolemaios tillskriver Hipparchos. Babyloniernas tidsbestämningsmetoder hade dock ett fel på inte mindre än åtta minuter. Moderna forskare är överens om att Hipparkos avrundade förmörkelseperioden till närmaste timme och använde den för att bekräfta giltigheten av de traditionella värdena, snarare än att försöka härleda ett bättre värde från sina egna observationer. Utifrån moderna efemeriderider och med hänsyn till förändringen av dagslängden (se ΔT) uppskattar vi att felet i den antagna längden på den synodiska månaden var mindre än 0,2 sekunder under det fjärde århundradet f.Kr. och mindre än 0,1 sekund på Hipparchos tid.

Läs också: biografier – Giovanni Lorenzo Bernini

Månens bana

Det har länge varit känt att månens rörelse inte är jämn, utan att dess hastighet varierar. Detta kallas anomali och upprepas med sin egen period, den anomalistiska månaden. Kaldéerna tog hänsyn till detta på ett aritmetiskt sätt och använde sig av en tabell som visade månens dagliga rörelse i förhållande till datumet inom en lång period. Grekerna föredrog dock att tänka i geometriska modeller av himlen. I slutet av det tredje århundradet f.Kr. hade Apollonius av Perga föreslagit två modeller för månens och planeternas rörelse:

Apollonius visade att dessa två modeller faktiskt var matematiskt likvärdiga. Allt detta var dock teori och hade inte tillämpats i praktiken. Hipparchus är den första kända astronomen som försökte fastställa de relativa proportionerna och de faktiska storlekarna på dessa banor. Hipparchus utarbetade en geometrisk metod för att hitta parametrarna utifrån tre positioner av månen vid särskilda faser av dess anomali. I själva verket gjorde han detta separat för den excentriska och den epicykliska modellen. Ptolemaios beskriver detaljerna i Almagest IV.11. Hipparchus använde två uppsättningar av tre observationer av månförmörkelser som han noggrant valde ut för att uppfylla kraven. Den excentriska modellen anpassade han till dessa förmörkelser från sin babyloniska förmörkelselista: 22

De något märkliga siffrorna beror på den omständliga enhet han använde i sin ackordtabell enligt en grupp historiker, som förklarar att deras rekonstruktions oförmåga att stämma överens med dessa fyra siffror delvis beror på några slarviga avrundnings- och beräkningsfel av Hipparchos, som Ptolemaios kritiserade honom för samtidigt som han också gjorde avrundningsfel. En enklare alternativ rekonstruktion stämmer överens med alla fyra siffrorna. Hur som helst fann Hipparchus inkonsekventa resultat; han använde senare epicykelmodellens förhållande (3122+1⁄2 : 247+1⁄2), som är för litet (60 : 4;45 sexagesimalt). Ptolemaios fastställde ett förhållande på 60 : 5+1⁄4. (Den maximala vinkelavvikelsen som kan produceras med denna geometri är arcsin av 5+1⁄4 dividerat med 60, eller ungefär 5° 1”, en siffra som därför ibland anges som motsvarigheten till månens ekvation av centrum i den hipparkiska modellen).

Läs också: biografier – Gediminas

Solens skenbara rörelse

Innan Hipparkos hade Meton, Euctemon och deras elever i Aten observerat sommarsolståndet den 27 juni 432 f.Kr. (proleptisk juliansk kalender). Aristarkos från Samos sägs ha gjort detta år 280 f.Kr. och Hipparkos hade också en observation av Archimedes. Som framgår av en rapport från 1991 artikel beräknade Hipparchos 158 f.Kr. ett mycket felaktigt sommarsolstånd utifrån Callippus kalender. Han observerade sommarsolståndet i 146 och 135 f.Kr. båda med en noggrannhet på några timmar, men observationer av ekvinoxögonblicket var enklare, och han gjorde tjugo under sin livstid. Ptolemaios ger en utförlig diskussion om Hipparchus arbete om årets längd i Almagest III.1 och citerar många observationer som Hipparchus gjorde eller använde, som sträcker sig från 162-128 f.Kr. En analys av Hipparkus sjutton observationer av ekvinoxen som han gjorde på Rhodos visar att det genomsnittliga felet i deklinationen är positivt sju bågminuter, vilket nästan stämmer överens med summan av luftbrytning och Swerdlows parallax. Det slumpmässiga bruset är två bågminuter eller nästan en bågminut om man tar hänsyn till avrundning, vilket ungefär stämmer överens med ögats skärpa. Ptolemaios citerar en tidpunkt för dagjämningen som Hipparchus angav (den 24 mars 146 f.Kr. i gryningen) och som skiljer sig med fem timmar från den observation som gjordes på Alexandrias stora offentliga ekvatorialring samma dag (en timme före middagstid): Hipparchus kan ha besökt Alexandria men han gjorde inte sina observationer av dagjämningen där; förmodligen var han på Rhodos (på nästan samma geografiska longitud). Ptolemaios hävdar att hans solobservationer gjordes på ett transitinstrument som var inställt i meridianen.

Anne Tihon har nyligen översatt och analyserat papyrus P. Fouad 267 A och bekräftat det ovan nämnda resultatet från 1991 om att Hipparchos fick ett sommarsolstånd 158 f.Kr. Men i papyrusen anges datumet 26 juni, mer än en dag tidigare än 1991 års slutsats om 28 juni. I den tidigare studiens §M konstaterades att Hipparchus inte antog solstickan den 26 juni förrän 146 f.Kr. då han grundade solens bana som Ptolemaios senare antog. Om dessa uppgifter sammanfogas tyder det på att Hipparchus extrapolerade solståndet den 26 juni 158 f.Kr. från hans 145 solstånd 12 år senare, ett förfarande som endast skulle orsaka ett minimalt fel. Papyrusen bekräftade också att Hipparchos hade använt sig av kallippisk solrörelse 158 f.Kr., ett nytt fynd 1991 men inte direkt intygat förrän P. Fouad 267 A. En annan tabell på papyrusen är kanske för siderisk rörelse och en tredje tabell är för metonisk tropisk rörelse, med ett tidigare okänt år på 365+1⁄4-1⁄309 dagar. Detta hittades förmodligen genom att dela upp de 274 åren från 432 till 158 f.Kr. i motsvarande intervall på 100 077 dagar och 14+3⁄4 timmar mellan Metons soluppgång och Hipparkos solnedgångs-solstånd.

I slutet av sin karriär skrev Hipparchos en bok med titeln Peri eniausíou megéthous (”Om årets längd”) om sina resultat. Det fastställda värdet för det tropiska året, som infördes av Callippus i eller före 330 f.Kr. var 365+1⁄4 dagar. Att spekulera i ett babyloniskt ursprung för det kallippiska året är svårt att försvara, eftersom Babylon inte observerade solstickorna och därför var den enda bevarade årslängden i System B baserad på grekiska solstickorna (se nedan). Hipparchos” observationer av dagjämningen gav varierande resultat, men han påpekar själv (citerat i Almagest III.1(H195)) att observationsfelen hos honom själv och hans föregångare kan ha varit så stora som 1⁄4 dag. Han använde sig av gamla solståndsobservationer och fastställde en skillnad på ungefär en dag på cirka 300 år. Så han fastställde längden på det tropiska året till 365+1⁄4 – 1⁄300 dagar (= 365,24666… dagar = 365 dagar 5 timmar 55 min, vilket skiljer sig från det faktiska värdet (modern uppskattning, inklusive jordens snurracceleration) på hans tid på ca 365,2425 dagar, ett fel på ca 6 min per år, en timme per decennium, 10 timmar per århundrade.

Mellan Metons observation av solståndet och hans egen var det 297 år som omfattade 108 478 dagar. D. Rawlins noterade att detta innebär ett tropiskt år på 365,24579… dagar = 365 dagar;14,44,51 (= 365 dagar + 14

Ett annat värde för året som tillskrivs Hipparchus (av astrologen Vettius Valens på första århundradet) är 365 + 1.

Läs också: biografier – Gula kejsaren

Solens bana

Före Hipparchus visste astronomerna att årstiderna inte är lika långa. Hipparkos gjorde observationer av dagjämningen och solståndet och enligt Ptolemaios (Almagest III.4) fastställde han att våren (från vårdagjämningen till sommarsolståndet) varade 941⁄2 dagar och sommaren (från sommarsolståndet till höstdagjämningen) 92+1⁄2 dagar. Detta är oförenligt med förutsättningen att solen rör sig runt jorden i en cirkel med jämn hastighet. Hipparchos lösning var att placera jorden inte i centrum av solens rörelse utan på ett visst avstånd från centrum. Denna modell beskrev solens skenbara rörelse ganska väl. Idag vet man att planeterna, inklusive jorden, rör sig i ungefärliga ellipser runt solen, men detta upptäcktes inte förrän Johannes Kepler publicerade sina två första lagar för planeternas rörelse år 1609. Det värde för excentriciteten som Ptolemaios tillskriver Hipparchus är att förskjutningen är 1⁄24 av banans radie (vilket är lite för stort), och riktningen för apogee skulle vara på longitud 65,5° från vårdagjämningen. Hipparchus kan också ha använt andra uppsättningar observationer, vilket skulle leda till andra värden. En av hans två förmörkelsetrios sollängder stämmer överens med att han ursprungligen hade antagit felaktiga längder för våren och sommaren på 95+3⁄4 och 91+1⁄4 dagar. Hans andra trippel av solpositioner stämmer överens med 94+1⁄4 och 92+1⁄2 dagar, vilket är en förbättring av de resultat (94+1⁄2 och 92+1⁄2 dagar) som Ptolemaios tillskrev Hipparchos, och som några få forskare fortfarande ifrågasätter författarskapet till. Ptolemaios gjorde ingen ändring tre århundraden senare och uttryckte längder för höst- och vintersäsongerna som redan var implicita (vilket t.ex. A. Aaboe visat).

Läs också: biografier – Walter De Maria

Avstånd, parallax, månens och solens storlek

Hipparchus tog också itu med att ta reda på solens och månens avstånd och storlek. Hans resultat finns i två verk: Perí megethōn kaí apostēmátōn (Theon av Smyrna (200-talet) nämner verket med tillägget ”of the Sun and Moon”.

Hipparchus mätte solens och månens skenbara diametrar med sin diopter. Liksom andra före och efter honom fann han att månens storlek varierar när den rör sig på sin (excentriska) bana, men han fann ingen märkbar variation i solens skenbara diameter. Han konstaterade att på månens medelavstånd hade solen och månen samma skenbara diameter; på det avståndet passar månens diameter 650 gånger in i cirkeln, dvs. de genomsnittliga skenbara diametrarna är 360⁄650 = 0°33′14″.

Liksom andra före och efter honom noterade han också att månen har en märkbar parallax, dvs. att den verkar förskjuten från sin beräknade position (jämfört med solen eller stjärnorna), och att skillnaden är större när den är närmare horisonten. Han visste att detta beror på att i de då aktuella modellerna cirkulerar månen runt jordens centrum, men observatören befinner sig på ytan – månen, jorden och observatören bildar en triangel med en skarp vinkel som ändras hela tiden. Utifrån storleken på denna parallax kan månens avstånd mätt i jordradier bestämmas. För solen fanns det dock ingen observerbar parallax (vi vet nu att den är ungefär 8,8″, flera gånger mindre än upplösningen för det ohjälpta ögat).

I den första boken antar Hipparchus att solens parallax är 0, som om den befinner sig på oändligt avstånd. Han analyserar sedan en solförmörkelse, som Toomer (mot den åsikt som över hundra år av astronomer har gett uttryck för) antar vara solförmörkelsen den 14 mars 190 f.Kr. Den var total i Hellespontområdet (vid den tid Toomer föreslår förberedde sig romarna för krig mot Antiochus III i området, och förmörkelsen nämns av Livius i hans Ab Urbe Condita Libri VIII.2. Den observerades också i Alexandria, där solen rapporterades vara skymd 4

I den andra boken utgår Hipparchos från det motsatta extrema antagandet: han anger ett (minsta) avstånd till solen på 490 jordradier. Detta skulle motsvara en parallax på 7′, vilket tydligen är den största parallax som Hipparchus trodde inte skulle märkas (Tycho Brahe gjorde observationer med blotta ögat med en noggrannhet ner till 1′). I detta fall är jordens skugga en kon och inte en cylinder som enligt det första antagandet. Hipparchus observerade (vid månförmörkelser) att vid månens medelavstånd är skuggkonens diameter 2+1⁄2 måndiametrar. Denna skenbara diameter är, som han hade observerat, 360⁄650 grader. Med dessa värden och enkel geometri kunde Hipparchus bestämma medelavståndet; eftersom det beräknades för ett minimiavstånd till solen är det det största möjliga medelavståndet för månen. Med sitt värde för banans excentricitet kunde han också beräkna månens minsta och största avstånd. Enligt Pappus fann han ett minsta avstånd på 62, ett medelvärde på 67+1⁄3 och följaktligen ett största avstånd på 72+2⁄3 jordradier. Med denna metod är minimigränsen för det genomsnittliga avståndet 59 jordradier – exakt det genomsnittliga avstånd som Ptolemaios senare härledde – när solens parallax minskar (dvs. dess avstånd ökar).

Hipparchus hade alltså det problematiska resultatet att hans minsta avstånd (från bok 1) var större än hans största medelavstånd (från bok 2). Han var intellektuellt ärlig om denna diskrepans och insåg förmodligen att särskilt den första metoden är mycket känslig för observationernas och parametrarnas noggrannhet. (Faktum är att moderna beräkningar visar att storleken på solförmörkelsen i Alexandria 189 f.Kr. måste ha varit närmare 9⁄10th och inte den rapporterade 4⁄5th, en bråkdel som bättre stämmer överens med graden av totalitet i Alexandria av förmörkelser som inträffade 310 och 129 f.Kr. och som också var nästan totala i Hellespont, och som av många anses vara mer sannolika möjligheter till den förmörkelse som Hipparchos använde för sina beräkningar).

Ptolemaios mätte senare månens parallax direkt (Almagest V.13) och använde Hipparkos” andra metod med månförmörkelser för att beräkna solens avstånd (Almagest V.15). Han kritiserar Hipparchus för att ha gjort motsägelsefulla antaganden och fått motstridiga resultat (Almagest V.11): men uppenbarligen förstod han inte Hipparchus strategi att fastställa gränser som stämmer överens med observationerna, snarare än ett enda värde för avståndet. Hans resultat var det bästa hittills: månens faktiska medelavstånd är 60,3 jordradier, inom hans gränser från Hipparchus andra bok.

Theon av Smyrna skrev att enligt Hipparchos är solen 1 880 gånger större än jorden och jorden 27 gånger större än månen. Av geometrin i bok 2 följer att solen befinner sig på 2 550 jordradier och att månens medelavstånd är 60+1⁄2 radier. På samma sätt citerar Kleomedes Hipparchus för solens och jordens storlek som 1050:1; detta leder till ett medelavstånd till månen på 61 radier. Uppenbarligen har Hipparchus senare förfinat sina beräkningar och fått fram exakta enskilda värden som han kunde använda för att förutsäga solförmörkelser.

Se för en mer utförlig diskussion.

Läs också: biografier – Juan Perón

Förmörkelser

Plinius (Naturalis Historia II.X) berättar att Hipparchus visade att månförmörkelser kan inträffa med fem månaders mellanrum och solförmörkelser med sju månaders mellanrum (och att solen kan döljas två gånger på trettio dagar, men av olika nationer). Ptolemaios diskuterade detta utförligt ett århundrade senare i Almagest VI.6. Geometrin och gränserna för solens och månens positioner när en sol- eller månförmörkelse är möjlig förklaras i Almagest VI.5. Hipparchus gjorde tydligen liknande beräkningar. Resultatet att två solförmörkelser kan inträffa med en månads mellanrum är viktigt, eftersom detta inte kan baseras på observationer: den ena är synlig på det norra och den andra på det södra halvklotet – som Plinius anger – och det senare var otillgängligt för grekerna.

För att kunna förutsäga en solförmörkelse, dvs. exakt när och var den kommer att vara synlig, krävs en solid månteori och en korrekt behandling av månens parallax. Hipparchos måste ha varit den förste som kunde göra detta. En rigorös behandling kräver sfärisk trigonometri, så de som förblir säkra på att Hipparchus saknade detta måste spekulera i att han kan ha nöjt sig med planära approximationer. Han kan ha diskuterat dessa saker i Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs (”Om månens månatliga rörelse på latitud”), ett verk som nämns i Suda.

Plinius påpekar också att ”han upptäckte också av vilken exakt anledning, trots att skuggan som orsakar förmörkelsen måste ligga under jorden från soluppgången och framåt, det hände en gång i det förflutna att månen förmörkades i väster medan båda ljuskällorna var synliga ovanför jorden” (översättning av H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 s. 207). Toomer (1980) hävdade att detta måste hänvisa till den stora totala månförmörkelsen den 26 november 139 f.Kr., då månen över en ren havshorisont sett från Rhodos förmörkades i nordväst strax efter att solen gått upp i sydost. Detta skulle vara den andra förmörkelsen i det 345-åriga intervall som Hipparkos använde för att verifiera de traditionella babyloniska perioderna: detta ger ett sent datum för utvecklingen av Hipparkos” månteori. Vi vet inte vilket ”exakt skäl” Hipparchus fann för att se månen förmörkad när den uppenbarligen inte stod i exakt opposition till solen. Parallax sänker höjden på de lysande föremålen, refraktion höjer dem, och från en hög synvinkel sänks horisonten.

Hipparchus och hans föregångare använde olika instrument för astronomiska beräkningar och observationer, t.ex. gnomon, astrolabium och armillärsfären.

Hipparchus anses ha uppfunnit eller förbättrat flera astronomiska instrument, som länge användes för observationer med blotta ögat. Enligt Synesius av Ptolemais (400-talet) tillverkade han det första astrolabion: detta kan ha varit en armillär sfär (eller föregångaren till det plana instrument som kallas astrolabion (som också nämns av Theon av Alexandria)). Med ett astrolabium var Hipparchus den förste som kunde mäta geografisk latitud och tid genom att observera fixstjärnor. Tidigare gjordes detta på dagtid genom att mäta skuggan som kastades av en gnomon, genom att registrera längden på årets längsta dag eller med det bärbara instrument som kallas scaphe.

Ptolemaios nämner (Almagest V.14) att han använde ett liknande instrument som Hipparkos, kallat dioptra, för att mäta solens och månens skenbara diameter. Pappus av Alexandria beskrev det (i sin kommentar till Almagest i det kapitlet), liksom Proclus (Hypotyposis IV). Det var en fyra fot lång stav med en skala, ett sikthål i ena änden och en kil som kunde flyttas längs staven för att exakt skymma solens eller månens skiva.

Hipparchus observerade också solens dagjämningar, vilket kan göras med en ekvatorialring: dess skugga faller på sig själv när solen befinner sig på ekvatorn (dvs. i en av de ekvinoktiala punkterna på ekliptikan), men skuggan faller över eller under den motsatta sidan av ringen när solen befinner sig söder eller norr om ekvatorn. Ptolemaios citerar (lite längre fram beskriver han två sådana instrument som fanns i Alexandria på hans egen tid.

Hipparchus tillämpade sin kunskap om sfäriska vinklar på problemet med att ange platser på jordens yta. Före honom hade ett rutnätssystem använts av Dicaearchus av Messana, men Hipparchus var den förste som tillämpade matematisk stringens för att bestämma latitud och longitud för platser på jorden. Hipparchos skrev en kritik i tre böcker av geografen Eratosthenes av Cyrene (300-talet f.Kr.), kallad Pròs tèn Eratosthénous geographían (”Mot Eratosthenes” geografi”). Vi känner till den från Strabo av Amaseia, som i sin tur kritiserade Hipparchos i sin egen Geographia. Hipparkos gjorde tydligen många detaljerade korrigeringar av de platser och avstånd som Eratosthenes nämnde. Det verkar som om han inte införde många förbättringar av metoderna, men han föreslog ett sätt att bestämma olika städers geografiska longitud vid månförmörkelser (Strabo Geographia 1 januari 2012). En månförmörkelse är synlig samtidigt på halva jorden, och skillnaden i längd mellan olika platser kan beräknas utifrån skillnaden i lokal tid när månförmörkelsen observeras. Hans tillvägagångssätt skulle ge korrekta resultat om det utfördes korrekt, men begränsningarna i tidtagningsnoggrannheten på hans tid gjorde metoden opraktiskt.

Sent under sin karriär (möjligen omkring 135 f.Kr.) sammanställde Hipparchus sin stjärnkatalog, vars original inte finns kvar. Han konstruerade också en himmelsglob som visar konstellationerna utifrån sina observationer. Hans intresse för fixstjärnorna kan ha inspirerats av observationen av en supernova (enligt Plinius), eller av hans upptäckt av precession, enligt Ptolemaios, som säger att Hipparchos inte kunde förena sina uppgifter med tidigare observationer gjorda av Timocharis och Aristillus. För mer information se Upptäckten av precession. I Rafaels målning Atens skola avbildas Hipparkos med sin himmelsglob i handen, som en representativ figur för astronomin.

Tidigare hade Eudoxus av Cnidus på 400-talet f.Kr. beskrivit stjärnorna och konstellationerna i två böcker som hette Phaenomena och Entropon. Aratus skrev en dikt kallad Phaenomena eller Arateia som bygger på Eudoxus verk. Hipparchos skrev en kommentar till Arateia – hans enda bevarade verk – som innehåller många stjärnpositioner och tider för uppgång, kulmination och nedgång av konstellationerna, och dessa är sannolikt baserade på hans egna mätningar.

Enligt romerska källor gjorde Hipparchus sina mätningar med ett vetenskapligt instrument och fick fram positionerna för ungefär 850 stjärnor. Plinius den äldre skriver i bok II, 24-26 i sin Naturhistoria:

Denne Hipparchos, som aldrig kan få tillräckligt med beröm, (…) upptäckte en ny stjärna som uppstod i hans egen tid, och genom att observera dess rörelser den dag då den lyste, fick han anledning att tvivla på om det inte ofta händer att de stjärnor som vi tror är fasta rörelser har rörelser. Och samma person försökte, vad som skulle kunna förefalla förmätet till och med hos en gudom, nämligen att numrera stjärnorna för eftervärlden och uttrycka deras relationer genom lämpliga namn; han hade tidigare utformat instrument, med vilka han kunde markera platserna och storlekarna för varje enskild stjärna. På detta sätt skulle det lätt kunna upptäckas, inte bara om de förstördes eller skapades, utan också om de ändrade sina relativa positioner, och likaså om de ökade eller minskade; himlen lämnades på detta sätt som ett arv till var och en som befanns kompetent att fullborda hans plan.

I detta citat sägs följande

Det är okänt vilket instrument han använde. Armillarsfären uppfanns förmodligen först senare – kanske av Ptolemaios 265 år efter Hipparchus. Vetenskapshistorikern S. Hoffmann fann bevis för att Hipparchus observerade ”longituder” och ”latituder” i olika koordinatsystem och därmed med olika instrument. Högerascensionerna kunde till exempel ha observerats med en klocka, medan vinkelavstånden kunde ha mätts med en annan anordning.

Läs också: civilisationer – Oiraterna

Stjärnans magnitud

Hipparchus antas ha rangordnat stjärnornas synliga magnituder på en numerisk skala från 1, den ljusaste, till 6, den svagaste. Denna hypotes bygger på ett vagt uttalande av Plinius den äldre men kan inte bevisas av uppgifterna i Hipparkus” kommentar till Aratus” dikt. I detta enda verk av hans hand som har överlevt fram till idag använder han inte magnitudskalan utan uppskattar ljusstyrkorna på ett osystematiskt sätt. Detta bevisar eller motbevisar dock ingenting, eftersom kommentaren kan vara ett tidigt verk medan magnitudskalan kan ha införts senare. Det är okänt vem som uppfann denna metod.

Men detta system är definitivt tidigare än Ptolemaios, som använde det i stor utsträckning omkring 150 e.Kr. Systemet preciserades och utvidgades av N. R. Pogson 1856, som placerade magnituderna på en logaritmisk skala och gjorde stjärnor i magnitud 1 100 gånger ljusare än stjärnor i magnitud 6. På så sätt är varje magnitud 5√100 eller 2,512 gånger ljusare än den näst svagaste magnituden.

Läs också: biografier – Auguste och Louis Lumière

Koordinatsystem

Det är omtvistat vilket eller vilka koordinatsystem han använde. Ptolemaios katalog i Almagest, som härstammar från Hipparchus katalog, anges i ekliptiska koordinater. Även om Hipparchus strikt skiljer mellan ”tecken” (30°-avsnitt av zodiaken) och ”konstellationer” i zodiaken, är det högst tveksamt om han hade ett instrument för att direkt observera

Delambre drog i sin Histoire de l”Astronomie Ancienne (1817) slutsatsen att Hipparchus kände till och använde det ekvatoriella koordinatsystemet, en slutsats som ifrågasätts av Otto Neugebauer i sin A History of Ancient Mathematical Astronomy (1975). Hipparchus verkar ha använt en blandning av ekliptiska koordinater och ekvatorialkoordinater: i sin kommentar till Eudoxus anger han stjärnornas polära avstånd (motsvarande deklinationen i det ekvatoriala systemet), rätt uppstigning (ekvatorial), longitud (ekliptik), polär longitud (hybrid), men inte den himmelska latituden. Denna åsikt bekräftades av Hoffmanns noggranna undersökning, som oberoende studerade Hipparchus material, potentiella källor, tekniker och resultat och rekonstruerade hans himlaklot och dess tillverkning.

Liksom de flesta av hans arbeten antogs Hipparchus stjärnkatalog av Ptolemaios och kanske utökades den. Delambre ifrågasatte 1817 Ptolemaios arbete. Det har varit omtvistat om stjärnkatalogen i Almagest beror på Hipparchus, men 1976-2002 har statistiska och rumsliga analyser (av R. R. Newton, Dennis Rawlins, Gerd Grasshoff och Dennis Duke) visat slutgiltigt att stjärnkatalogen i Almagest nästan helt och hållet är hipparkisk. Ptolemaios har till och med (sedan Brahe, 1598) anklagats av astronomer för bedrägeri för att han uppgav (Syntaxis, bok 7, kapitel 4) att han observerade alla 1 025 stjärnor: för nästan varje stjärna använde han Hipparchus data och försköt den till sin egen epok 2+2⁄3 århundraden senare genom att lägga till 2°40” till longitud, med en felaktigt liten precessionskonstant på 1° per århundrade. Detta påstående är mycket överdrivet eftersom det tillämpar moderna normer för citat på en antik författare. Det enda som är sant är att ”den antika stjärnkatalogen”, som inleddes av Hipparchus på andra århundradet f.Kr., omarbetades och förbättrades flera gånger under de 265 år som gick till Almagest (vilket är god vetenskaplig praxis än idag). Även om Almagests stjärnkatalog bygger på Hipparchus”, är den inte bara en blindkopia utan berikad, förbättrad och därmed (åtminstone delvis) omobserverad.

Läs också: biografier – Homeros

Himmelsklocka

Hipparchus himmelsglob var ett instrument som liknade moderna elektroniska datorer. Han använde den för att bestämma uppstigningar, inställningar och kulminationer (se även Almagest, bok VIII, kapitel 3). Därför var hans glob monterad i ett horisontellt plan och hade en meridianring med en skala. I kombination med ett rutnät som delade in himmelsekvatorn i 24 timmars linjer (längder som motsvarar våra timmar i högra uppstigning) gjorde instrumentet det möjligt för honom att bestämma timmarna. Ekliptikan markerades och delades upp i 12 lika långa delar (tecken, som han kallade ”zodion” eller ”dodekatemoria” för att skilja dem från konstellationer (”astron”). Globen rekonstruerades praktiskt taget av en vetenskapshistoriker.

I vilket fall som helst har det arbete som påbörjades av Hipparchus haft ett bestående arv och uppdaterades mycket senare av al-Sufi (964) och Kopernikus (1543). Ulugh Beg återobserverade alla Hipparchus stjärnor som han kunde se från Samarkand 1437 med ungefär samma noggrannhet som Hipparchus. Katalogen ersattes först i slutet av 1500-talet av Brahe och Wilhelm IV av Kassel genom överlägsna regelinstrument och sfärisk trigonometri, som förbättrade noggrannheten med en storleksordning redan innan teleskopet uppfanns. Hipparchus anses vara den störste astronomen med observationsförmåga från den klassiska antiken fram till Brahe.

Läs också: biografier – Fra Angelico

Argument för och emot Hipparchus stjärnkatalog i Almagest

Contra

Slutsats: Hipparchus stjärnkatalog är en av källorna till Almagest stjärnkatalog, men inte den enda källan.

Hipparchos är allmänt erkänd som upptäckaren av ekvinoxernas precession 127 f.Kr. Hans två böcker om precession, On the Displacement of the Solstitial and Equinoctial Points och On the Length of the Year, nämns båda i Claudius Ptolemaios Almagest. Enligt Ptolemaios mätte Hipparchus längden för Spica och Regulus och andra ljusa stjärnor. Genom att jämföra sina mätningar med uppgifter från sina föregångare Timocharis och Aristillus drog han slutsatsen att Spica hade flyttat sig 2° i förhållande till höstdagjämningen. Han jämförde också längden på det tropiska året (den tid det tar för solen att återvända till en dagjämning) och det sideriska året (den tid det tar för solen att återvända till en fixstjärna), och fann en liten skillnad. Hipparchus drog slutsatsen att dagjämningarna rörde sig (”precessing”) genom zodiaken och att precessionen inte var mindre än 1° per århundrade.

Hipparkos” tre böcker långa avhandling Mot Eratosthenes” geografi är inte bevarad. Det mesta av vår kunskap om den kommer från Strabo, enligt vilken Hipparkos grundligt och ofta orättvist kritiserade Eratosthenes, främst för interna motsägelser och felaktigheter när det gällde att fastställa geografiska platsers positioner. Hipparkos insisterar på att en geografisk karta endast måste baseras på astronomiska mätningar av latituder och longitud och triangulering för att hitta okända avstånd. Hipparkos införde tre viktiga innovationer i geografisk teori och metoder.

Han var den förste som använde gradersystemet, som bestämde den geografiska latituden utifrån observationer av stjärnor, och inte bara utifrån solens höjd, en metod som var känd långt före honom, och som föreslog att den geografiska längden skulle kunna bestämmas genom samtidiga observationer av månförmörkelser på avlägsna platser. I den praktiska delen av sitt arbete, den så kallade ”tabellen över climata”, förtecknade Hipparchus latituder för flera tiotals orter. Han förbättrade särskilt Eratosthenes värden för Atens, Siciliens och Indiens sydligaste breddgrader. Vid beräkningen av latituder för climata (latituder som korrelerar med längden på den längsta solstitiella dagen) använde Hipparchus ett oväntat exakt värde för ekliptikans snedhet, 23°40” (det faktiska värdet under andra hälften av det andra århundradet f.Kr. var ungefär 23°43”), medan alla andra antika författare endast kände till ett grovt avrundat värde 24°, och till och med Ptolemaios använde ett mindre exakt värde, 23°51”.

Hipparkos motsatte sig den uppfattning som allmänt accepterades under den hellenistiska perioden att Atlanten, Indiska oceanen och Kaspiska havet är delar av ett enda hav. Samtidigt utvidgar han gränserna för oikoumene, dvs. den bebodda delen av landet, upp till ekvatorn och polcirkeln. Hipparkos” idéer fann sin återspegling i Ptolemaios” geografi. I huvudsak är Ptolemaios verk ett utvidgat försök att förverkliga Hipparkos” vision av vad geografi borde vara.

Hipparchus var i internationella nyheter 2005, då det återigen föreslogs (liksom 1898) att uppgifterna på Hipparchus” himmelsglob eller i hans stjärnkatalog kan ha bevarats i den enda överlevande stora antika himmelsglob som avbildar konstellationerna med måttlig noggrannhet, den glob som bärs av Farnese-atlasen. Det finns en rad felsteg i den mer ambitiösa artikeln från 2005, och därför accepterar inga specialister på området dess allmänt offentliggjorda spekulationer. I själva verket har det till och med visats att Farnese-globen visar konstellationer i den arateiska traditionen och avviker från konstellationerna i den matematiska astronomi som används av Hipparchus.

Lucio Russo har sagt att Plutarkos i sitt verk On the Face in the Moon redogjorde för vissa fysikaliska teorier som vi betraktar som newtonska och att dessa kan ha kommit ursprungligen från Hipparchos; han fortsätter med att säga att Newton kan ha påverkats av dem. Enligt en bokrecension har båda dessa påståenden förkastats av andra forskare.

En rad i Plutarchs Table Talk säger att Hipparchus räknade till 103 049 sammansatta satser som kan bildas av tio enkla satser. 103 049 är det tionde Schröder-Hipparchus-talet, som räknar antalet sätt att lägga till ett eller flera parentespar runt på varandra följande undersekvenser av två eller flera objekt i en sekvens av tio symboler. Detta har lett till spekulationer om att Hipparchus kände till enumerativ kombinatorik, ett område inom matematiken som utvecklats oberoende av den moderna matematiken.

Han kan vara avbildad mittemot Ptolemaios i Rafaels målning Atens skola från 1509-1511, även om denna figur vanligtvis identifieras som Zoroaster.

Det formella namnet på ESA:s rymdastrometriuppdrag Hipparcos var High Precision Parallax Collecting Satellite, vilket ger upphov till en efternamn, HiPParCoS, som är ett eko av och ett minne av namnet Hipparchus. Månkratern Hipparchus och asteroiden 4000 Hipparchus är uppkallade efter honom.

Han blev invald i International Space Hall of Fame 2004.

Jean Baptiste Joseph Delambre, astronomihistoriker, matematisk astronom och chef för Parisobservatoriet, ansåg i sin historia om astronomin på 1700-talet (1821) att Hipparchus tillsammans med Johannes Kepler och James Bradley var de största astronomerna genom tiderna. Astronomemonumentet vid Griffith-observatoriet i Los Angeles, Kalifornien, USA, har en relief av Hipparchos som en av sex av de största astronomerna genom tiderna och den enda från antiken. Johannes Kepler hade stor respekt för Tycho Brahes metoder och noggrannheten i hans observationer och ansåg att han var den nye Hipparchus, som skulle lägga grunden för en restaurering av astronomins vetenskap.

Läs också: biografier – Alessandro Scarlatti

Källor

Allmänt

Precession

Himmelskroppar

Stjärnkatalog

Källor

1. Hipparchus
2. Hipparchos
3. ^ These figures use modern dynamical time, not the solar time of Hipparchus”s era. E.g., the true 4267-month interval was nearer 126,007 days plus a little over half an hour.
4. Graßhoff G. The History of Ptolemy”s Star Catalogue. — Springer Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97181-5.
5. Duke D. W. (2002). «Associations between the ancient star catalogs» Архивная копия от 2 июня 2020 на Wayback Machine. Archive for the History of Exact Sciences 56 (5): 435—450.
6. Ксенофон Мусас. Древнегреческий компьютер. «Редкие земли» № 1 (8), 2017, стр.112-117.
7. New evidence for Hipparchus’ Star Catalogue revealed by multispectral imaging (неопр.). Дата обращения: 19 октября 2022. Архивировано 18 октября 2022 года.
8. First known map of night sky found hidden in Medieval parchment (неопр.). Дата обращения: 19 октября 2022. Архивировано 24 октября 2022 года.
9. a b Gerd Graßhoff: The Analysis of the Star Catalogue. In: The History of Ptolemy’s Star Catalogue. Band 14. Springer New York, New York, NY 1990, ISBN 978-1-4612-8788-9, S. 92–128, doi:10.1007/978-1-4612-4468-4_5.
10. C. M. Linton, From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy[νεκρός σύνδεσμος], σελ. 52, Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-82750-7
11. Μεταξύ των άλλων η Α” Οικουμενική Σύνοδος οροθέτησε και τον τρόπο προσδιορισμού του ετήσιου εορτασμού του χριστιανικού Πάσχα με βάση την πρώτη εαρινή Πανσέληνο, δηλαδή επί της ισημερίας και της σελήνης, δύο θέματα για τη γνώση και κατανόηση των οποίων είχαν προσφέρει τα μέγιστα οι μελέτες του Ίππαρχου.
12. Freeth, T., Bitsakis, Y., Moussas, X., Seiradakis, J. H., Tselikas, A., Mangou, H., … & Edmunds, M. G. (2006). «Decoding the ancient Greek astronomical calculator known as the Antikythera Mechanism. Nature, 444(7119), 587-591.». Nature, 444.7119: 587-591. doi:10.1038/nature05357. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2015-07-20. https://web.archive.org/web/20150720140838/http://www.antikythera-mechanism.gr/system/files/0608_Nature.pdf.