Pappos

Delice Bette | december 28, 2022

Sammanfattning

Pappus av Alexandria (ca 290 – ca 350 e.Kr.) var en av de sista stora grekiska matematikerna i antiken, känd för sin Synagoge (Συναγωγή) eller samling (ca 340) och för Pappus” hexagonteorem i projektiv geometri. Man vet ingenting om hans liv, annat än vad som kan hittas i hans egna skrifter: att han hade en son som hette Hermodoros och att han var lärare i Alexandria.

Collection, hans mest kända verk, är ett kompendium om matematik i åtta volymer, varav huvuddelen har bevarats. Den täcker ett brett spektrum av ämnen, inklusive geometri, rekreationsmatematik, fördubbling av kuben, polygoner och polyeder.

Pappus var verksam på 400-talet e.Kr. Under en period av allmän stagnation i matematiska studier framstår han som ett anmärkningsvärt undantag. ”Hur långt han stod över sina samtida, hur lite han uppskattades eller förstods av dem, framgår av avsaknaden av hänvisningar till honom i andra grekiska författare och av det faktum att hans arbete inte hade någon effekt när det gällde att stoppa den matematiska vetenskapens förfall”, skriver Thomas Little Heath. ”I detta avseende liknar Pappus öde påfallande mycket Diophantus öde.”

I sina överlevande skrifter ger Pappus inga uppgifter om dateringen av de författare vars verk han använder sig av, eller om den tid (se nedan) då han själv skrev. Om inga andra datumuppgifter fanns tillgängliga skulle allt man kunde veta vara att han var senare än Ptolemaios (död ca 168 e.Kr.), som han citerar, och tidigare än Proclus (född ca 411), som citerar honom.

Enligt Suda från 900-talet var Pappus i samma ålder som Theon av Alexandria, som var verksam under kejsar Theodosius I:s regeringstid (372-395). Ett annat datum anges i en marginalanteckning till ett manuskript från slutet av 900-talet (en kopia av en kronologisk tabell av samma Theon), där det vid sidan av en post om kejsar Diocletianus (regerade 284-305) står att ”vid den tiden skrev Pappus”.

Ett verifierbart datum kommer dock från dateringen av en solförmörkelse som Pappus själv nämner. I sin kommentar till Almagest beräknar han ”platsen och tiden för den konjunktion som gav upphov till solförmörkelsen i Tybi år 1068 efter Nabonassar”. Detta ger den 18 oktober 320, och Pappus måste alltså ha varit verksam omkring 320.

Pappus stora verk, som består av åtta böcker och har titeln Synagoge eller samling, har inte bevarats i sin helhet: den första boken är förlorad och resten har lidit avsevärt. Suda räknar upp andra verk av Pappus: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike eller Beskrivning av den bebodda världen), en kommentar till de fyra böckerna i Ptolemaios Almagest, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Floderna i Libyen) och Ὀνειροκριτικά (Drömtolkningen). Pappus nämner själv en annan egen kommentar till Ἀνάλημμα (Analemma) av Diodorus av Alexandria. Pappus skrev också kommentarer till Euklids Elementar (av vilka fragment finns bevarade i Proclus och Scholia, medan den om den tionde boken har hittats i ett arabiskt manuskript) och till Ptolemaios Ἁρμονικά (Harmonika).

Federico Commandino översatte Pappus” samling till latin 1588. Den tyske klassikern och matematikhistorikern Friedrich Hultsch (1833-1908) publicerade en slutgiltig presentation i tre volymer av Commandinos översättning med både den grekiska och den latinska versionen (Berlin, 1875-1878). Med hjälp av Hultschs arbete var den belgiske matematikhistorikern Paul ver Eecke den förste som publicerade en översättning av samlingen till ett modernt europeiskt språk; hans franska översättning i två volymer har titeln Pappus d”Alexandrie. La Collection Mathématique. (Paris och Brügge, 1933).

Pappus” samling kännetecknas av att den innehåller en systematisk redogörelse för de viktigaste resultaten som hans föregångare har uppnått, och för det andra anteckningar som förklarar eller utvidgar tidigare upptäckter. Dessa upptäckter utgör i själva verket en text som Pappus utvidgar på ett diskursivt sätt. Heath ansåg att de systematiska introduktionerna till de olika böckerna var värdefulla, eftersom de tydligt anger en översikt över innehållet och den allmänna omfattningen av de ämnen som skall behandlas. Utifrån dessa introduktioner kan man bedöma stilen i Pappus skrivande, som är utmärkt och till och med elegant i det ögonblick han är fri från de matematiska formlernas och uttryckens bojor. Heath ansåg också att hans karakteristiska exakthet gjorde hans samling till ”en mycket beundransvärd ersättning för texterna i de många värdefulla avhandlingar av tidigare matematiker som tiden har berövat oss”.

De kvarvarande delarna av samlingen kan sammanfattas på följande sätt.

Vi kan bara gissa att den förlorade boken I, liksom bok II, handlade om aritmetik, eftersom bok III tydligt presenteras som början på ett nytt ämne.

Hela bok II (vars första del är förlorad och vars fragment börjar i mitten av 1300-talet) diskuterar en multiplikationsmetod från en icke namngiven bok av Apollonius av Perga. De sista propositionerna handlar om att multiplicera de grekiska bokstävernas numeriska värden i två rader av poesi, vilket ger två mycket stora tal som är ungefär lika stora som 2×1054 och 2×1038.

Bok III innehåller geometriska problem, både plana och solida. Den kan delas in i fem avsnitt:

I bok IV har titeln och förordet gått förlorade, så programmet måste hämtas från själva boken. I början finns den välkända generaliseringen av Euklides I.47 (Pappus arealsats), därefter följer olika satser om cirkeln, vilket leder fram till problemet med konstruktionen av en cirkel som ska omsluta tre givna cirklar som berör varandra två och två. Detta och flera andra satser om beröring, t.ex. fall av cirklar som rör varandra och som är inskrivna i figuren som består av tre halvcirklar och som kallas arbelos (Pappus övergår sedan till en betraktelse av vissa egenskaper hos Archimedes spiral, Nicomedes” conchoid (som redan nämns i bok I som en metod för att fördubbla kuben) och den kurva som troligen upptäcktes av Hippias av Elis omkring 420 f.Kr. och som är känd under namnet τετραγωνγισμός, eller quadratrix. Proposition 30 beskriver konstruktionen av en kurva med dubbel krökning som av Pappus kallas helix på en sfär; den beskrivs av en punkt som rör sig jämnt längs en storcirkelbåge, som själv vänder sig jämnt runt sin diameter, varvid punkten beskriver en kvadrant och storcirkeln ett fullständigt varv på samma gång. Man finner arean av den yta som ingår mellan denna kurva och dess bas – det första kända fallet av en kvadratur av en krökt yta. Resten av boken behandlar tredelning av en vinkel och lösningen av mer allmänna problem av samma slag med hjälp av kvadratris och spiral. I en lösning av det förstnämnda problemet finns den första dokumenterade användningen av egenskapen hos en konisk (en hyperbel) med hänvisning till fokus och direktrix.

I bok V, efter ett intressant förord om regelbundna polygoner, som innehåller anmärkningar om den sexkantiga formen hos cellerna i honungskakor, ägnar sig Pappus åt en jämförelse av areorna hos olika plana figurer som har samma omkrets (efter Zenodorus” avhandling i detta ämne), och av volymerna hos olika fasta figurer som har samma yta, och slutligen en jämförelse av Platons fem regelbundna fasta figurer. För övrigt beskriver Pappus de tretton andra polyeder som avgränsas av liksidiga och likvinkliga men inte liknande polygoner, som upptäcktes av Archimedes, och finner, med en metod som påminner om Archimedes”, ytan och volymen av en sfär.

Enligt förordet är bok VI avsedd att lösa svårigheter som uppstår i de så kallade ”mindre astronomiska verken” (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), det vill säga andra verk än Almagest. Den kommenterar följaktligen Theodosius” Sphaerica, Autolykos” Moving Sphere, Theodosius” bok om dag och natt, Aristarchos” traktat om solens och månens storlek och avstånd samt Euklides Optics and Phaenomena.

Läs också: biografier – Alexander von Humboldt

Bok VII

Sedan Michel Chasles citerade Pappus bok i sin historia om geometriska metoder har den blivit föremål för stor uppmärksamhet.

I förordet till bok VII förklaras begreppen analys och syntes och skillnaden mellan teorem och problem. Pappus räknar sedan upp verk av Euklides, Apollonius, Aristaeus och Eratosthenes, sammanlagt trettiotre böcker, vars innehåll han har för avsikt att ge, med de lemmor som är nödvändiga för att förklara dem. Med omnämnandet av Euklids porismer har vi en redogörelse för porismens förhållande till teorem och problem. I samma förord ingår (a) det berömda problemet som är känt under Pappus namn och som ofta uttalas så här: När ett antal räta linjer är givna, att finna den geometriska platsen för en punkt som är sådan att längderna av de lodräta linjerna på, eller (mer allmänt) de linjer som dras från den snett med givna lutningar till, de givna linjerna uppfyller villkoret att produkten av vissa av dem kan stå i ett konstant förhållande till produkten av de återstående linjerna; (Pappus uttrycker det inte i denna form utan genom sammansättning av förhållanden, och säger att om det förhållande ges som är sammansatt av förhållandet mellan paren av en uppsättning och ett av en annan uppsättning av de linjer som dras på detta sätt, och av förhållandet mellan den udda linjen, om det finns något, och en given rät linje, kommer punkten att ligga på en given kurva med en given position). b) Satserna som återupptäcktes och namngavs efter Paul Guldin, men som tycks ha upptäckts av Pappus själv.

Bok VII innehåller också följande

Chasles citat av Pappus upprepades av Wilhelm Blaschke I Cambridge, England, gav John J. Milne läsarna tillgång till hans läsning av Pappus. År 1985 skrev Alexander Jones sin avhandling vid Brown University i ämnet. En reviderad form av hans översättning och kommentar publicerades av Springer-Verlag året därpå. Jones lyckas visa hur Pappus manipulerade den kompletta fyrhörningen, använde relationen mellan projektiva harmoniska konjugater och visade en medvetenhet om korsförhållanden mellan punkter och linjer. Dessutom avslöjas begreppet pol och polar som ett lemma i bok VII.

Läs också: biografier – Trajanus

Bok VIII

Slutligen behandlar bok VIII huvudsakligen mekanik, tyngdpunktens egenskaper och vissa mekaniska krafter. Det finns också några förslag om ren geometri. Proposition 14 visar hur man ritar en ellips genom fem givna punkter, och Prop. 15 ger en enkel konstruktion för axlarna på en ellips när ett par konjugerade diametrar är givna.

Pappus samling var praktiskt taget okänd för araberna och de medeltida européerna, men utövade ett stort inflytande på 1600-talets matematik efter att ha översatts till latin av Federico Commandino. Diophantus Arithmetica och Pappus” samling var de två viktigaste källorna till Viètes Isagoge in artem analyticam (1591). Pappus problem och dess generalisering ledde Descartes till utvecklingen av den analytiska geometrin. Fermat utvecklade också sin version av analytisk geometri och sin metod för maxima och minima från Pappus sammanfattningar av Apollonius förlorade verk Plane Loci och On Determinate Section. Andra matematiker som påverkades av Pappus var Pacioli, da Vinci, Kepler, van Roomen, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Gauss, Gergonne, Steiner och Poncelet.

Tillräknelighet:

Källor

1. Pappus of Alexandria
2. Pappos
3. ^ a b Bird, John (14 July 2017). Engineering Mathematics. Taylor & Francis. p. 590. ISBN 978-1-317-20260-8.
4. ^ a b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Mathematics And Mathematicians, Vol. 1, p. 149 (trans. Judith V. Field) (Transworld Student Library, 1974)
5. ^ a b c d e f g h i j k l m n Heath 1911, p. 740.
6. a b  Heath, Thomas Little (1910-1911). «Encyclopædia Britannica». En Chisholm, Hugh, ed. Encyclopædia Britannica. A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General information (en inglés) (11.ª edición). Encyclopædia Britannica, Inc.; actualmente en dominio público.
7. Whitehead, David (ed.). ”Suda On Line – Pappos”. Suda On Line y el Consorcio Stoa. Recuperado el 11 de julio de 2012. Alejandrino, filósofo, nacido en tiempos del emperador mayor Teodosio, cuando también floreció el filósofo Teón, el que escribió sobre el Canon de Ptolomeo. Sus libros son Descripción del mundo habitado; un comentario sobre los cuatro libros de la Gran Sintaxis de Ptolomeo; Los ríos de Libia; y La interpretación de los sueños.
8. a b c d e f g h i j Heath, 1911, p. 740.
9. Smith, David Eugene (January 1934). «Review of Pappus d”Alexandrie. La Collection Mathématique de Paul ver Eecke». Bull. Am. Math. Soc. 40 (1): 11-12.
10. 1 2 Pappus Alexandrinus // Catalogue of the Library of the Pontifical University of Saint Thomas Aquinas
11. Identifiants et Référentiels (фр.) — ABES, 2011.
12. 1 2 3 4 Боголюбов, 1983, с. 363.
13. 1 2 3 4 Рыбников, 1974, с. 93.
14. Моисеев, 1961, с. 53—54.
15. En grec ancien Συναγωγή (traduit en français sous le titre de Collection mathématique).
16. Viète, Fermat, Wallis, Simson, etc. Cf. à ce sujet ver Eecke 1933, Introduction.